dinamica de rotacion

Universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Geolgica Minas y Metalrgica

Experimento

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Dinmica de Rotacin

Laboratorio 5 (Dinmica de rotacin)

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OBJETIVOS Observar el movimiento de rodadura de la rueda de Maxwell. Determinar el momento de inercia de la rueda de Maxwell con respecto al eje perpendicular que pasa por su centro de gravedad.


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INTRODUCCINEn el estudio de la dinmica de un cuerpo puntual, la segunda ley de Newton describe la relacin entre fuerza, masa y aceleracin del mvil. La idea de cuerpo puntual constituye una idealizacin que puede extenderse a cuerpos reales definiendo el punto llamado centro de masa del objeto, de forma que si es la suma de las fuerzas de F que actan sobre el objeto y m su masa, la aceleracin de su centro de masa viene dada por la ecuacin:

Un objeto puede moverse tambin manteniendo su centro de masa en reposo. El movimiento ms sencillo de este tipo corresponde a la rotacin alrededor de un eje fijo que atraviesa su centro de masa. Su importancia reside en el hecho de que cualquier movimiento de un cuerpo rgido puede describirse como una combinacin de movimiento de su centro de masa y la rotacin alrededor de este punto De igual forma que la 2 ley de Newton relaciona la fuerza, masa y aceleracin lineal, existe una relacin anloga que da ley de movimiento para la rotacin de un cuerpo alrededor de un eje fijo:

Que relaciona el momento angular de las fuerzas aplicadas M, con el momento de inercia del cuerpo alrededor de ese eje,I, y su aceleracin angular ???. La analoga entre movimiento lineal y rotacional puede extenderse al concepto de momento. El momento lineal P se define como el producto de la masa de un cuerpo por su velocidad. El momento angular L viene dado de forma anloga por el momento de inercia del cuerpo en rotacin multiplicado por su velocidad angular w:

Igual que existe una ley de conservacin del momento lineal, cuando 2 o mas cuerpos chocan debe conservarse tambin el momento angular, siempre y cuando no haya fuerzas externas actuando sobre los objetos o en caso de haberlas, su momento respecto al centro de masa ser cero. Si L1 y L2 son los momentos angulares de 2 cuerpos antes del choque, L1 y L2:


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FUNDAMENTO TERICOMOMENTO DE INERCIA (INERCIA ROTACIONAL):Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Ms concretamente el momento de inercia es una magnitud escalar que refleja la distribucin de masas de un cuerpo o un sistema de partculas en rotacin, respecto al eje de giro. El momento de inercia slo depende de la geometra del cuerpo y de la posicin del eje de giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento. El momento de inercia desempea un papel anlogo al de la masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. Es el valor escalar del momento angular longitudinal de un slido rgido. El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleracin angular. Para una masa puntual y un eje arbitrario, el momento de inercia es:

Donde m es la masa del punto, y r es la distancia al eje de rotacin. Dado un sistema de partculas y un eje arbitrario, se define como la suma de los productos de las masas de las partculas por el cuadrado de la distancia r de cada partcula a dicho eje. Matemticamente se expresa como:

Para un cuerpo de masa continua se generaliza como:


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El subndice V de la integral indica que se integra sobre todo el volumen del cuerpo. Este concepto desempea en el movimiento de rotacin un papel anlogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilneo y uniforme. La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslacin y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotacin. As, por ejemplo, la segunda ley de Newton: a = tiene como equivalente para la rotacin:

=IDonde:

es el momento aplicado al cuerpo. Ies el momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin y es la aceleracin angular. , mientras que la energa

La energa cintica de un cuerpo en movimiento con velocidad v es cintica de un cuerpo en rotacin con velocidad angular es con respecto al eje de rotacin.

, donde I es el momento de inercia

La conservacin de la cantidad de movimiento o momento lineal tiene por equivalente la conservacin del momento angular :

El vector momento angular, en general, no tiene la misma direccin que el vector velocidad angular . Ambos vectores tienen la misma direccin si el eje de giro es un eje principal de inercia. Cuando un eje es de simetra entonces es eje principal de inercia y entonces un giro alrededor de ese eje conduce a un momento angular dirigido tambin a lo largo de ese eje.

TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOSEstablece que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:


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Universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Geolgica Minas y Metalrgicadonde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa; I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de masa; M - Masa Total y h - Distancia entre los dos ejes paralelos considerados.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIN DE MASAS PUNTUALESTenemos que calcular la cantidad

Donde xi es la distancia de la partcula de masa m al eje de rotacin.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIN CONTINUA DE MASAPasamos de una distribucin de masas puntuales a una distribucin continua de masa. La frmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotacin.

ECUACIN DE LA DINMICA DE ROTACINConsideremos un sistema de partculas. Sobre cada partcula actan las fuerzas exteriores al sistema y las fuerzas de interaccin mutua entre las partculas del sistema. Supongamos un sistema formado por dos partculas. Sobre la partcula 1 acta la fuerza exterior F1 y la fuerza que ejerce la partcula 2, F12. Sobre la partcula 2 acta la fuerza exterior F2 y la fuerza que ejerce la partcula 1, F21. Por ejemplo, si el sistema de partculas fuese el formado por la Tierra y la Luna: las fuerzas exteriores seran las que ejerce el Sol ( y el resto de los planetas) sobre la Tierra y sobre la Luna. Las fuerzas interiores seran la atraccin mutua entre estos dos cuerpos celestes.


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Para cada unas de las partculas se cumple que la variacin del momento angular con el tiempo es igual al momento de la resultante de las fuerzas que actan sobre la partcula considerada.

Sumando miembro a miembro, aplicando la propiedad distributiva del producto vectorial, y teniendo en cuanta la tercera Ley de Newton, F12=-F21, tenemos que:

Como los vectores r1-r2 y F12 son paralelos su producto vectorial es cero. Por lo que nos queda:

La derivada del momento angular total del sistema de partculas con respecto del tiempo es igual al momento de las fuerzas exteriores que actan sobre las partculas del sistema. Consideremos ahora que el sistema de partculas es un slido rgido que est girando alrededor de un


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Universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Geolgica Minas y Metalrgica TRABAJO Y ENERGA EN EL MOVIMIENTO DE ROTACINEn otra pgina relacionamos el trabajo de la resultante de las fuerzas que actan sobre una partcula con la variacin de energa cintica de dicha partcula.

Considrese un cuerpo rgido que puede girar alrededor de un eje fijo tal como se indica en la figura. Supongamos que se aplica una fuerza exterior F en el punto P. El trabajo realizado por dicha fuerza a medida que el cuerpo gira recorriendo una distancia infinitesimal ds=rdt en el tiempo dt es

Fsen es la componente tangencial de la fuerza, la componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento. La componente radial de la fuerza no realiza trabajo, ya que es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo total cuando el slido gira un ngulo

es:

velocidad angular y aceleracin angular. Se obtiene una ecuacin anloga al teorema trabajo-energa para una partcula. El trabajo de los momentos de las fuerzas que actan sobre un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo modifica su energa cintica de rotacin.


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Universidad Nacional de Ingeniera Facultad de Ingeniera Geolgica Minas y Metalrgica DESCOMOPOSICON DE LA ENERGIA CINETICA EN ENERGIA DE TRASLACION Y ENERGIA DE ROTACIONLa rueda de maxwell consta de un aro de radio R y de un eje cilndrico concntrico de radio r(r

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