TRANSPORTE FERROVIARIO DINÁMICA DE LOS TRENES 209 CAPITULO XI DINAMICA DE LOS TRENES XI-1) MOVIMIENTO XI-1.1) Potencia y fuerza tractiva: Cuando todos los ejes son propulsores, el peso adherente es igual al peso de la locomotora, sino la relación entre el peso adherente y el total es la misma que existe entre el número de ejes propulsores y el total de número de ejes. Cabe aclarar que, a diferencia de los camiones, el peso de las locomotoras se distribuye casi uniformemente en todos los ejes. Resulta importante conocer la configuración de una locomotora. Los boggies de las locomotoras son de 2 ó 3 ejes, salvo excepciones, y poseen diferentes configuraciones. Los bogies de 3 ejes, pueden tener todos sus ejes propulsores, en cuyo caso el peso adherente coincide con el total y se nota como C-C ó Co-Co; ó sólo dos ejes propulsores, en cuyo caso se nota como A-1-A y el peso adherente es 2/3 del total. En este último caso siempre se deja libre el eje central. Los boggies de 2 ejes, pueden tener pueden tener ambos ejes propulsores, por lo que el peso adherente coincide con el total y se nota como B-B ó Bo-Bo; ó sólo un eje propulsor, en cuyo caso se nota como B-1 y el peso adherente es ½ del total. Para que haya movimiento con rodamiento, la fuerza propulsora debe ser menor que el producto del peso adherente (P a ) por la adherencia (ψ), es decir F t ≤ P.ψ, sino hay movimiento con deslizamiento. Si hay deslizamiento aparecen problemas en la circulación por lo que se busca andar siempre en rodamiento. La potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo, por lo que usando las unidades usuales, se tiene que: F kg .v kmk F kg .v kmk Pot HP 75,5.3,6 272 F kg .v kmk Pot kW 370 1 La potencia disponible en una locomotora es la potencia al freno menos la potencia utilizada en elementos internos. Además, no toda esa potencia es realmente utilizable sino que el fabricante indica qué porcentaje de la misma sí se usa a través de un coeficiente llamado rendimiento mecánico (), que generalmente varía entre 82 y 87 %. Para establecer la fuerza tractiva a partir de la potencia, se tiene que 1 1 HP = 0,736 kW
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TRANSPORTE FERROVIARIO DINÁMICA DE LOS TRENES
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CAPITULO XI
DINAMICA DE LOS TRENES
XI-1) MOVIMIENTO
XI-1.1) Potencia y fuerza tractiva:
Cuando todos los ejes son propulsores, el peso adherente es igual al peso de la
locomotora, sino la relación entre el peso adherente y el total es la misma que existe
entre el número de ejes propulsores y el total de número de ejes. Cabe aclarar que, a
diferencia de los camiones, el peso de las locomotoras se distribuye casi uniformemente
en todos los ejes.
Resulta importante conocer la configuración de una locomotora. Los boggies de las
locomotoras son de 2 ó 3 ejes, salvo excepciones, y poseen diferentes configuraciones.
Los bogies de 3 ejes, pueden tener todos sus ejes propulsores, en cuyo caso el peso
adherente coincide con el total y se nota como C-C ó Co-Co; ó sólo dos ejes
propulsores, en cuyo caso se nota como A-1-A y el peso adherente es 2/3 del total. En
este último caso siempre se deja libre el eje central. Los boggies de 2 ejes, pueden tener
pueden tener ambos ejes propulsores, por lo que el peso adherente coincide con el total
y se nota como B-B ó Bo-Bo; ó sólo un eje propulsor, en cuyo caso se nota como B-1 y
el peso adherente es ½ del total.
Para que haya movimiento con rodamiento, la fuerza propulsora debe ser menor que el
producto del peso adherente (Pa) por la adherencia (ψ), es decir Ft ≤ P.ψ, sino hay
movimiento con deslizamiento. Si hay deslizamiento aparecen problemas en la
circulación por lo que se busca andar siempre en rodamiento.
La potencia es el trabajo realizado por unidad de tiempo, por lo que usando las unidades
usuales, se tiene que:
F kg .v km k F kg .v km kPot HP
75,5.3,6 272
F kg .v km kPot kW
370
1
La potencia disponible en una locomotora es la potencia al freno menos la potencia
utilizada en elementos internos. Además, no toda esa potencia es realmente utilizable
sino que el fabricante indica qué porcentaje de la misma sí se usa a través de un
coeficiente llamado rendimiento mecánico (), que generalmente varía entre 82 y 87 %.
Para establecer la fuerza tractiva a partir de la potencia, se tiene que
1 1 HP = 0,736 kW
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( ). ( / )
( )272.
tF Kg v km hPot HP
272. ( ).( )
( / )t
Pot HPF kg
v km h
Como la potencia es constante, al graficar la fuerza tractiva en función de la velocidad,
se obtiene una hipérbola. Pero esto genera un inconveniente práctico, pues de ser así en
el arranque la velocidad sería nula y por tanto la fuerza tractiva infinita. En realidad, la
fuerza tractiva está limitada por la adherencia continua que es un parámetro dado por el
fabricante, que generalmente vale entre 21 y 27 %. Así se tiene la mínima velocidad a la
que una locomotora puede traccionar sin sufrir problemas, que generalmente ronda los
10 km/h y es llamada velocidad crítica. Mientras que la velocidad supere ese valor
mínimo, la locomotora puede traccionar indefinidamente sin hacer sufrir al motor.
Normalmente, en el tablero de la locomotora se tiene un indicador de cuánto tiempo se
puede andar a velocidades por debajo de la velocidad crítica, y también se tiene un
sistema que detecta el deslizamiento, mejorando la adherencia en el arranque. Así, la
gráfica fuerza en función de velocidad es entonces una hipérbola para velocidades
mayores a la crítica y se une en línea recta desde el punto crítico a la fuerza tractiva en
el arranque. Un riel húmedo tiene menor adherencia, por lo que las locomotoras tienen
sistemas que van tirando arena sobre riel dado que ésta es una sustancia abrasiva.
La adherencia disminuye con el aumento de la velocidad, es decir que es máxima en el
arranque cuando su valor varía hoy en día de 30 a 33 %. En el transporte por carretera,
dicho valor se duplica debido a que la fricción entre cubierta y pavimento es mayor que
entre los metales de la rueda y el riel. En el arranque, no sólo la fuerza tractiva es
máxima sino que la resistiva también.
En ese caso conociendo la adherencia continua ó el esfuerzo continuo, su relación está
dada en función de la velocidad crítica (vc) por
continuat
c
272.Pot HP .F kg
v km k
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XI-1.2) Ecuación del movimiento:
La ley de Newton indica que la aceleración, es decir la variación de la velocidad con el
tiempo, multiplicada por la masa es igual a la fuerza aceleratriz. En este caso, la fuerza
aceleratriz es la diferencia entre el esfuerzo continuo y el esfuerzo resistivo, ambas a la
velocidad considerada. Para poder acelerar, las fuerzas tractivas deben superar a las
resistivas; y si se igualan, la velocidad se mantiene constante.
a t
dvma m F F R
dt
: a
t
Siendo F la fuerza aceleratriz
F la fuerza tractiva
R la sumatoria de todas las fuerzas resistivas
XI-1.3) Resistencias al movimiento
Tanto el conjunto de las unidades que constituyen el tren como cada una de ellas
individualmente oponen al movimiento una serie de resistencias que es necesario
conocer a fin de realizar el estudio del movimiento del tren. Si el tren marcha sobre un
trayecto de características constantes, como ser alineación y pendiente, y a una
velocidad constante, las resistencias globales al movimiento son equilibradas por el
esfuerzo tractivo del vehículo motor en las llantas de los ejes motrices, si se considera el
conjunto del tren incluida la unidad tractiva, ó en el gancho de tracción si se considera
únicamente el material remolcado.
Del mismo modo, al cambiar el régimen de marcha ó las características de la línea, la
resistencia de inercia ó las correspondientes al nuevo trazado deben ser superadas por el
esfuerzo tractivo desarrollado por la unidad motriz.
Todas esas resistencias, que en su conjunto se denominan resistencia a la tracción, son
de naturaleza muy diversa, aunque puede señalarse que son función del peso y
velocidad del tren y son atribuibles a causas de carácter interno y externo. Las causas
internas dependen de las características constructivas de los vehículos y de la vía,
mientras que las externas de la configuración del trazado de la vía, como ser alineación
y pendiente, y de las condiciones atmosféricas en que se mueve el tren.
Las resistencias globales a la tracción están constituidas por las resistencias elementales
que pueden ser divididas en tres grandes grupos, a saber
► Resistencias al avance
■ resistencias a la rodadura ó mecánicas, y
■ resistencia del aire
► Resistencias locales
■ rampas,
■ pendientes, y
■ curvas
► Resistencias de inercia
■ cambios de la velocidad. Resulta de la energía necesaria para comunicar al tren
su velocidad de régimen partiendo del reposo ó al efectuar un cambio en el
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régimen de marcha. Este gasto de energía se refiere tanto a la velocidad de
traslación del tren como a la rotación de las partes giratorias (ruedas, motor de
tracción, etc.) tanto de la unidad motriz como del tren remolcado.
Las resistencias a la rodadura se expresan en kg ó en Newton. A veces se trabaja con la
resistencia específica, que se obtiene dividiendo la resistencia a la rodadura por el peso
del vehículo expresándose entonces en kg/ton ó N/ton.
XI-1.3.1) Resistencias al avance: a la rodadura o mecánicas
Rozamiento en las cajas punta de eje
i
0R
r.f.PP.000.1R
donde
● r es el radio del eje en el círculo de
rodadura (m),
● Ri es el radio de la llanta ó rueda (m),
● P es el peso total del vehículo (ton),
● P0 es el peso no suspendido (ton),
● f es el coeficiente de fricción entre el
cojinete y la punta del eje, y
● R es la resistencia (kg ó N).
El peso no suspendido incluye a la masa que se encuentra por debajo de los boggies; por
ejemplo los ejes, las cajas de grasa, las cajas de tracción, los motores eléctricos, etc.
El coeficiente de fricción es función del tipo de caja, por ejemplo caja de bronce,
cojinetes, etc., y también del peso sobre la caja, de la velocidad, de la viscosidad del
aceite, de la humedad y de la temperatura exterior.
La experiencia muestra que la resistencia a la rodadura disminuye dentro de ciertos
límites cuando aumenta la temperatura del aceite y es tanto más pequeña cuanto
mayores son las cargas y la tara de los vehículos. La resistencia es máxima en el
arranque y disminuye rápidamente hasta alcanzar un valor mínimo a 25Km/h; es tanto
mayor cuanto más baja es la temperatura exterior y más prolongada la parada del
vehículo previo al arranque.
Se tienen varias formulaciones de origen experimental. Por ejemplo, para un material
articulado de 4 ejes, la resistencia puede calcularse como R = 0,65.P + 52,8 (kg);
mientras que para vehículos de N ejes, Davies establece que R = 0,65.P + 13,2.N.
En el gráfico siguiente, se observa que R es función del peso del vehículo.
Por otro lado, r es función de la velocidad del vehículo. La resistencia al arranque en
vehículos con cojinetes es del orden del 100 % menor que en las cajas de bronce; a 25
km/h es del orden del 50 al 80 % menor; a 50 km/h del 20 % y a velocidades del orden
de 100 km/h del 5 %.
El coeficiente de fricción (f) en cajas con rodillos (cojinetes) varía entre 0,0015 a 0,002.
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Resistencia a la rodadura
La resistencia a la rodadura es provocada por la compresión del riel bajo la carga de la
rueda. La rueda y el riel se deforman hasta que existe una superficie de contacto
suficiente para soportar la carga. La deformación es más ó menos elástica, pero no lo
suficiente como para que al volver al estado inicial se libere toda la energía absorbida
durante la deformación. Una parte de esa energía de disipa en forma de calor y otra
parte en desintegración.
Las ruedas después de cierto recorrido acusan cierta elevación de la temperatura y
además la disminución del peso del riel y de la rueda confirman la existencia de una
desagregación del material.
La fuerza de tracción necesaria (R2) y la depresión del metal en el punto considerado ()
verifican la relación
R
.2.PR2
Si la dicha fuerza es proporcional al peso, puede definirse un coeficiente de
proporcionalidad () entre ellos, obteniéndose la fórmula de Dupuit que indica
R
.2
La resistencia específica r2 vale 1.000..
El valor de la depresión depende de la naturaleza de los metales de la rueda y el riel, y
es del orden de 18 x 10-10
m. Para ruedas de 1 m de diámetro resulta que = 8,65 x 10-5
y r2 ≈ 0,1 kg/ton, aproximadamente.
Resistencia debida a los choques y deformaciones de la vía
Al pasar por las juntas las ruedas sufren choques cuya importancia depende de la luz
entre las juntas. Estos choques producen una pérdida de fuerza viva y por lo tanto
implican una resistencia suplementaria a la tracción.
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En el dibujo anterior, la velocidad absoluta del punto M es VA = (V/R)AM.
Al pasar la junta, el centro de rotación pasa del punto A al B, y la velocidad absoluta del
punto M es entonces VB = (V/R)BM.
De este modo, la disminución de velocidad es
.R
V
R
VVV
BMAm
BA
Por lo que la disminución de fuerza viva para una junta es
g
P..
R
V.
2
1M..
R
V.
2
1WdM..
R
V.
2
1dW 0
222
Este valor multiplicado por el número de juntas es igual a la disminución de fuerza viva
debida a las juntas.
La integral se hace para toda la masa no suspendida. En cuanto a la masa suspendida, la
pérdida de energía viene representada por el trabajo de los resortes de suspensión,
correspondiente al descenso de la rueda en la discontinuidad, pero adquiere valores
despreciables.
Si se tiene un recorrido con rieles de longitud (l) conocida en el que entran un número
(n) de juntas también conocido, el esfuerzo resistente, que aplicado en las llantas da
lugar a un trabajo equivalente, es calculable por
l.g
P..
R
V.
2
1kgRl.n.Rn.
g
P..
R
V.
2
1 0
2
330
2
Y la resistencia específica es
l.g
P..
R
V.
2
1.
P
000.1tkgr 0
2
3
siendo en general el valor de r3 muy pequeño. Wilson experimentalmente da para estas
resistencias valores del orden de 0,125 a 0,25 kg/ton.
Resistencias debidas a las pérdidas de energía en los aparatos de tracción y en las
suspensiones
Las resistencias debidas a las pérdidas de energía en los aparatos de tracción y en las
suspensiones son de difícil determinación y lo más importante es reducirlas al mínimo
posible.
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Acción del viento lateral
Se supone que la acción del viento lateral es perpendicular al tren y se manifiesta por el
esfuerzo que provoca sobre la superficie lateral que ha llegado en ciertos casos a volcar
vehículos livianos de gran superficie. El empuje lateral provoca, una vez vencido el
rozamiento rueda – riel, que las pestañas rocen contra el riel en el punto A de la
siguiente figura
El punto C es el centro instantáneo de rotación. El esfuerzo de rozamiento que va
dirigido en sentido contrario al del movimiento vale el producto de la fuerza F y el
coeficiente de rozamiento f. El esfuerzo de traslación extra que es necesario aplicar en
el centro de la rueda para superar esa resistencia vale R5.R = f.F.z. El esfuerzo F totaliza
al empuje del viento sobre todos los vehículos del tren
Por ejemplo, para un tren con 10 vagones de 20 m de longitud por 2,5 m de altura y
suponiendo un viento violento que ejerza una presión de 80 kg/m2, tomando 2 cm como
valor de z, 0,50 m para R y 0,25 para f, se tiene que F = 10 x 20 x 2,5 x 80 = 40.000 kg
y que Rv = ( 40.000 x 0,25 x 0,02 ) / 0,5 = 400 kg. Si el tren pesa 400 ton, tiene una
resistencia específica (r5) de 1 kg/ton.
Resistencia del aire
La resistencia del aire es una de las mayores a considerar y es el resultado de una serie
de fenómenos complejos como son
► la compresión frontal del aire en la cabeza del tren,
► la deflexión de los filetes fluidos y su rozamiento con las caras laterales del tren,
► la depresión de la cola del tren, y
► la formación de torbellinos en diferentes lugares del tren.
Para la compresión frontal del aire en la cabeza del tren conviene aplicar la fórmula de
Newton R = ½.(C..v2.s), en que C es un coeficiente adimensionado que depende de la
forma del cuerpo, de la naturaleza de su superficie y del número de Reynolds, es la
masa específica del aire expresada en kg2/m
4 que vale 0,123 a 20ºC, v es la velocidad
relativa entre el vehículo y el aire en m/s, y s es la superficie máxima expuesta a la
corriente del aire en m2. Cabe recordar que el número de Reynolds se calcula como R =
dl/ donde dl designa una medida de longitud característica para una forma geométrica
dada y es la viscosidad del aire en m2/s.
Los valores de s y .V2 se determinan fácilmente, el problema es determinar el valor de
C.
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Se ha observado que C es función de s aumentando con ésta y con el perímetro de la
superficie puesta en contacto con el aire, con lo que en forma empírica se llega a una
expresión R (kg) = 0,0062.s.V2, si la velocidad se expresa en km/h. Para calcular s se
toma 1,1 veces la proyección de la superficie frontal de la locomotora sobre un plano
perpendicular al eje longitudinal de la misma. Para vehículos remolcados se toma s de
0,5 a 0,56 m2 por cada vagón cerrado; de 0,32 a 0,40m
2 por cada vagón abierto y
cargado; de 1,00 a 1,62 m2 por cada vagón abierto y vacío; y de 1,70 a 2,00m
2 para el
vagón ó furgón de cola.
La deflexión de los filetes fluidos y su rozamiento con las caras laterales del tren, es la
resistencia lateral y obedece a la existencia de espacio entre vagones consecutivos y al
rozamiento del aire contra las paredes laterales. La fórmula de Zahn da para esa
resistencia adicional el valor R = 0,00003.A.v.1,85 en que A es la superficie lateral en
m2, y v la velocidad en km/h. Habitualmente se supone una superficie suplementaria de
0,1 a 0,2 m2 para cada vehículo no sujeto a la acción directa del aire y llevar ese valor
adicional de la superficie al valor s de la fórmula de Newton ya vista para el caso
anterior.
Cuando se tiene en cuenta el efecto de la depresión de la cola del tren, el efecto de
succión producido por el vacío formado atrás del último vehículo, provoca una
resistencia que se disminuye afinando la cola. Un sólido de mínima resistencia sería el
de la figura siguiente
En general se ensayan en túneles aerodinámicos ó túneles de viento, en los que se hace
el ensayo sobre modelos de gran tamaño ó incluso el propio vehículo.
XI-1.3.2) Resistencias locales
Por acción de la pendiente
Expresando el gradiente (i) en ‰, se tiene que la resistencia local por acción de la
pendiente es r6 = i (kg/ton).
i.Pi1
i.P
tg1
tg.Psen.PR
22i
Resistencia debida a las curvas
La resistencia debida a las curvas se origina por tres razones principales: solidaridad de
las ruedas y los ejes, paralelismo entre los ejes en el bastidor rígido del bloque ó de la
caja, y la fuerza centrífuga no compensada.
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En primer lugar, la solidaridad de las ruedas y los ejes da lugar a un deslizamiento
horizontal.
Prescindiendo de la conicidad y siendo t el ancho de la vía, la diferencia de caminos
recorridos es 2. (R + t/2) - 2. (R - t/2) = 2..t, que resulta independiente del radio de
la curva. Cuando el vehículo avanza 1 m sobre una curva de radio R, la diferencia de
camino recorrida por ambas ruedas es (2..t) / (2..R) = t / R.
Suponiendo que el deslizamiento tiene lugar en un solo lado del vehículo, y por lo tanto
bajo la carga P/2, la fuerza de rozamiento es f.P/2 y su recorrido por unidad de longitud.
Así, el trabajo realizado por dicha fuerza es P.f.t / 2.R, que es la resistencia buscada.
En segundo lugar, el paralelismo entre los ejes en el bastidor rígido del bloque ó de la
caja da lugar a un deslizamiento transversal. Un vehículo de base rígida b describe una
circunferencia completa de radio R, que desde el punto de vista del rozamiento equivale
a un giro completo alrededor del centro geométrico con un radio de giro de 22 bt ; el
trabajo consumido por el rozamiento es
222222
bt..f.Pf.P.2
bt.2
luego, dividiendo por 2..R se tiene el valor de la resistencia en el recorrido de 1 m.
Por último, la fuerza centrífuga no compensada origina el rozamiento de las pestañas
sobre el riel, que está dada por
R
VV.f.
g
P2
02
pero ésta por dar valores muy pequeños se desprecia frente a los demás.
En conjunto, todo esto da lugar a la resistencia total en curva que resulta función de la
base rígida, del radio de curvatura, y de la trocha.
El valor del coeficiente de fricción (f) es muy variable, dependiendo entre otras cosas de
la velocidad y el estado higrométrico de la atmósfera.
Como valores extremos pueden tomarse 0,33 (330 kg/ton) para rieles secos y limpios en
verano, y 0,10 (110 kg/ton) para rieles húmedos en invierno. Como valor promedio se
toma f entre 0,2 y 0,25.
Existen fórmulas experimentales para determinar la resistencia específica r, a saber
► Desduits: rc = 500.t / R, siendo t la distancia entre zonas de apoyo de las ruedas.
► Un valor corriente para la trocha media de 1.435 mm es tomar rc = ºC x 0,65, y
como además ºC = 1.145 / R se tiene rc = 750 / R
► Röckl: rc = 500 / (R - 30) para R ≤ 250 m; rc = 530 / (R - 35) para 250 m ≤ R ≤ 350
m; y rc = 650 / (R - 45) para R > 350 m.
► Von Borries: rc = (4.b + b2) / (R - 45) haciendo intervenir la base rígida b.
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La resistencia en curva disminuye cuando los rieles están húmedos ó engrasados, de
donde surge la necesidad de engrasadores automáticos instalados en las curvas.
AFE utiliza la fórmula de Desduits como resistencia específica, aunque cada vez se
utiliza más la correspondiente a pendiente y curva.
XI-1.3.3) Resistencias de inercia
Cuando el movimiento es variable, es decir en aceleraciones ó deceleraciones,
intervienen las fuerzas de inercia que actúan como fuerzas resistentes, si la velocidad es
creciente, ó como esfuerzo propulsor, cuando la velocidad decrece. Esto ocurre tanto en
los arranques como en las detenciones así como en los casos de variaciones de
velocidad. Estas resistencias tienen como expresión
dt
dV.
g
W.000.1
dt
dV.mkgR
Si la aceleración se expresa en cm/s2 y el peso del tren en kg, se tiene que R = W.a, o
sea r (kg/ton) = a (cm/s2). Así, la resistencia específica es de 1 kg/ton por cada cm/s
2 de
aceleración. Sin embargo, la energía cinética suministrada al tren no es solamente la
relativa al movimiento de traslación, que se expresa como Ec = ½.m.v2, sino también la
correspondiente a las masas que están animadas de un movimiento de rotación como
por ejemplo las ruedas, ejes, cajas cónicas, motores eléctricos, etc. Esta expresión E’c
vale ½.I.2, siendo I el momento de inercia de todas las masas giratorias y su
velocidad angular.
Llamando al radio de giro relativo al eje de rotación, se tiene que I = m. 2, o sea E’c
puede calcularse como ½.m.(.v/r)2. Tomando una masa ficticia me que esté animada de
una velocidad de traslación v y cumpla la condición me = m.(/r)2, puede reescribirse la