En los anlisis del movimiento de un cuerpo rgido, aparecen a
menudo expresiones en las que interviene el producto de la masa de
un pequeo elemento por el cuadrado de su distancia a una recta de
inters. Este producto recibe el nombre de momento segundo de la
masa del elemento o, ms frecuentemente, de momento de inercia del
elemento. As pues, el momento de inercia de un elemento de masa
respecto al eje representado en la figura 10-24 es, por
definicin:
El momento de inercia de todo el cuerpo respecto al eje 00 es,
por definicin:
Como tanto la masa del elemento como el cuadrado de su distancia
al eje son cantidades positivas, el momento de inercia de una masa
ser siempre positivo.Los momentos de inercia tienen las dimensiones
de una masa multiplicadas por las del cuadrado de una distancia, .
Su unidad de medida ser, en el sistema SI, el . En el U.S.
Customary system, las magnitudes fundamentales son fuerza, longitud
y tiempo y la masa tiene por dimensiones . Por tanto, el momento de
inercia tendr por unidad la . Si la masa del cuerpo se expresara en
la unidad de medida del momento de inercia en el U.S. Customary
system sera el .Los momentos de inercia de un cuerpo respecto a los
ejes de coordenadas de un sistema se pueden determinar considerando
un elemento de masa como el representado en la figura 10.25. Por la
definicin de momento de inercia,
Para el eje y el eje se pueden escribir expresiones anlogas. As
pues,
Radio de giroLa definicin de momento de inercia (ec. 10.20)
indica que las dimensiones del momento de inercia son las de una
masa multiplicada por el cuadrado de una longitud. En consecuencia,
el momento de inercia de un cuerpo puede expresarse mediante el
producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de una longitud . A
esta longitud se le da el nombre de del cuerpo. As pues, el momento
de inercia de un cuerpo respecto a una recta dada se puede expresar
en la forma
El radio de giro de la masa de un cuerpo respecto a un eje
cualquiera puede interpretarse que es la distancia al eje de un
punto en el que habra que concentrar toda la masa del cuerpo para
tener el mismo momento de inercia respecto al eje que la masa real
(o distribuida).Donde:m: masa total del cuerpo rgido.I: momento de
inercia
El radio de giro de masa es muy parecido al radio de giro de
superficie. El radio de giro de masa no es la distancia al eje dado
de ningn punto fijo del cuerpo tal como el centro de masa, El radio
de giro de masa de un cuerpo respecto a un eje cualquiera es
siempre mayor que la distancia al eje del centro de masa del
cuerpo. No existe ninguna interpretacin fsica til del radio de
giro; no es ms que un medio conveniente de expresar el momento de
inercia de masa de un cuerpo en funcin de su masa y una
longitud.Teorema de Steiner para momentos de inerciaEl teorema de
Steiner para momentos de inercia es muy parecido al correspondiente
a momentos segundos de superficie. Considrese el cuerpo
representado en la figura 10.26, en cuyo centro de masa G se toma
el origen del sistema de coordenadas y considrese tambin un sistema
de coordenadas de origen en el punto y ejes paralelos a los am
tenores. En la figura se observa que
La distancia que separa los ejes y es
El momento de inercia del cuerpo respecto al eje x, paralelo al
eje x que pasa por el centro de masa es, por definicin,
Ahora bien,
y como los ejes y pasan por el centro de masa G del cuerpo,
Por tanto,
Las ecuaciones (10.23) constituyen el teorema de Steiner para
momentos de inercia. El subndice G indica que el eje pasa por el
centro de masa G del cuerpo. As pues, si se conoce el momento de
inercia de un cuerpo respecto a un eje que pase por su centro de
masa, se podr hallar el momento de inercia respecto a otro eje
cualquiera paralelo a l, sin necesidad de integracin, utilizando
las ecuaciones 10.23.Entre los radios de giro respecto a estos dos
ejes existe una relacin similar. As, si se designan por y y k los
radios de giro respecto a dichos ejes paralelos, la relacin
anterior se puede escribir en la forma
Luego
Nota: Las ecuaciones 10.23 y 10.24 slo son vlidas para pasar de
ejes que pasen por el centro de masa a otros ejes paralelos a
ellos, o al revs. No son vlidas para ejes paralelos
arbitrarios.Teorema de Steiner o teorema de los ejes paralelosEl
teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece
que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a
un eje que pasa por el centro de masa, es igual al momento de
inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa ms el
producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos
ejes:
Donde: es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por
el centro de masa; es el momento de inercia para un eje paralelo al
anterior que pasa por el centro de masa; - Masa Total y - distancia
entre los dos ejes paralelos considerados.Lo demostracin de este
teorema resulta inmediata si se considera la descomposicin de
coordenadas relativa al centro de masas inmediata.
Donde el segundo trmina es nulo puesta que la distancia
vectorial promedio de masa en torna al centro de masa es nula, por
la propia definicin de centro de masa.El centro de gravedad y el
centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de
masa slo depende de la geometra del cuerpo, en cambio, el centro de
gravedad depende del campo gravitacional en el que est inmerso
dicho cuerpo.
Momentos de inercia por integracinCuando se utilize mtodos de
integracin para determinar el momento de inercia de un cuerpo
respecto a uneje, la masa del cuerpo se puede descomponer en
elementos de diversas maneras. Segn sea el tipo de elemento que se
tome, ser necesaria una integracin simple, doble o triple. La
configuracin geomtrica del cuerpo suele determinar que se utilicen
coordenadas cartesianas o polares. En cualquier caso, los elementos
de masa debern seleccionarse de manera quea. Todas las partes del
elemento se encuentren a igual distancia del eje respecto al cual
hay que determinar el momento de inercia.b. Si no se cumpliera la
condicin 1 , debera seleccionarse el elemento de manera que fuese
conocido el momento de inercia del elemento respecto al eje para el
cual baque determinar el momento de inercia del cuerpo. Este podr
entonces calcularse sumando los momentos de inercia de los
elementos.c. Si se conociera la situacin del centro de masa del
elemento y el momento de inercia del elemento respecto a un eje que
pase por el centro de masa y sea paralelo al eje dado, se podr
determinar el momento de inercia del elemento utilizando el teorema
de Steiner. A continuacin se podr hallar el momento de inercia del
cuerpo sumando los momentos de inercia de los elementos.
Cuando se utilice integracin triple, el elemento satisfar
siempre el primer requisito, si bien esta condicin no se cumplir
necesariamente en los casos de integracin simple o doble.En algunos
casos, el cuerpo puede considerarse que es un sistema de puntos
materiales. El momento de inercia de un tal sistema respecto a una
recta de inters es la suma de los momentos de inercia de los puntos
respecto a la recta dada. As pues, si las masas de los puntos de un
sistema son y las distancias de ellos a una recta dada son y el
momento de inercia del sistema podr expresarse en la forma
Los momentos de inercia de placas delgadas son fciles de
determinar. Por ejemplo, considrese la placa delgada representada
en la figura 10.27. La placa tiene una densidad uniforme , un
grosor uniforme y una seccin de rea . Los momentos de inercia
respecto a los ejes y son, por definicin,
.(10.25)
donde los subndices y significan momentos de inercia y momentos
se- gundos de superficie, respectivamente. Como las ecuaciones de
los momentos de inercia de placas delgadas contienen las
expresiones de los momentos segundos de superficie, los resultados
que se consignan en la tabla 10.1 de los momentos segundos de
superficie se podrn utilizar para determinar momentos de inercia
sin ms que multiplicar aqullos por .En el caso general de cuerpos
tridimensionales, los momentos de inercia respecto a los ejes y
son
..(10.21)
Si la densidad del cuerpo es uniforme, el elemento de masa se
puede expresar en funcin del elemento de volumen en la forma . Las
ecuaciones (10.21) quedan entonces en la forma
(10.26)
Si la densidad del cuerpo no fuese uniforme, debera expresarse
en funcin de la posicin y mantenerla dentro de la cantidad
subintegral.El elemento concreto de volumen que haya que utilizar
depender de la configuracin geomtrica del cuerpo. En el caso
general de cuerpos tridimensionales, suele utilizarse el elemento
diferencial , el cual exige una integracin triple. En el caso de
cuerpos con simetra de revolucin, pueden utilizarse como elementos
placas circulares que exigen slo una integracin simple. En algunos
problemas, son tiles elementos cilndricos y coordenadas polares. En
los problemas ejemplo siguientes se ilustran procedimientos para la
determinacin de momentos de inercia.Teorema de ejes paralelos y de
planos paralelosPara un conjunto dado de momentos y productos de
inercia con respecto al sistema , deduciremos las ecuaciones de
transformacin para obtener con respecto al sistema que representa
la posicin. Tenemos:
Y
En donde m es la masa total. Pueden deducir ecuaciones
semejantes para o tambin pueden obtenerse simplemente mediante un
cambio cclico de en las ecuaciones anteriores. Se observa fcilmente
que las ecuaciones anteriores no conviene usarlas, a menos que los
ejes ejes centroidales, siendo el centro de masa. Para tal
caso:
Usando en vez de podemos escribir las ecuaciones anteriores de
transformacin, como:
Mediante un cambio cclico de se pueden obtener otras cuatro
ecuaciones.Ahora se pueden resumir todas estas ecuaciones como
sigue:
Momentos de inercia de cuerpos compuestosMuchas veces, en la
prctica, el cuerpo de inters puede descomponerse en varias formas
simples, tales como cilindros, esferas, placas y varillas, para las
chales se han calculado y tabulado previamente los momentos de
inercia. El momento de inercia del cuerpo compuesto respecto a un
eje cualquiera es igual a la suma de los momentos de inercia de las
distintas partes que lo componen respecto a dicho eje. Por
ejemplo,
Cuando una de las partes componentes sea un agujero, su momento
de inercia deber restarse del momento de inercia de la parte mayor
para obtener el mo- mento de inercia del cuerpo compuesto. En la
tabla 10.4 se consignan los mo- mentos de inercia de algunas formas
corrientes tales como varillas, placas. cilindros, esferas y
conos.
producto de inerciaEn los estudios del movimiento de cuerpos
rgidos aparecen, a veces, expresiones en las que interviene el
producto de la masa de un pequeo elemento por las distancias del
mismo a un par de planos de coordenadas ortogonales. Este producto,
semejante al momento segundo mixto de superficie, se denomina del
elemento. Por ejemplo, el producto de inercia del elemen- to
representado en la figura 10.31 respecto a los planos e es, por
definicin,..(10.27)La suma de los productos de inercia de todos los
elementos de masa del cuerpo respecto a los mismos planos
ortogonales se define diciendo que es el producto de inercia del
cuerpo. Los tres productos de inercia del cuerpo representado en la
figura P10.31 son.
..(10.28)
Los productos de inercia, como los momentos de inercia, tienen
las dimensiones de una masa multiplicada por el cuadrado de una
longitud, . En el sistema SI se miden en y en el U.S. Customary
system, en .El producto de inercia de un cueipo puede ser positivo,
negativo o nulo ya que las dos coordenadas tienen signos
independientes. El producto de inercia ser positivo cuando las dos
coordenadas sean de igual signo y negativo cuando tengan signos
opuestos. El producto deinercia ser nulo cuando uno u otro de los
planos sea un plano de simetra, ya que los pares de elementos
simtricos respecto a ste tendrn productos de inercia opuestos cuya
suma dar cero.Los mtodos de integracin utilizados para determinar
momentos de inercia son igualmente aplicables al clculo de
productos de inercia. Segn de qu manera se tome el elemento, ser
necesaria una integracin simple, doble o triple. Los momentos de
inercia de placas delgadas estaban relacionados con los momentos
segundos de superficie de la misma placa. Anlogamente, se po- drn
relacionar los productos de inercia con los momentos segundos
mixtos de las placas. Si la placa tiene una densidad uniforme, un
grosor uniforme y una seccin de rea , los productos de inercia
sern, por definicin,
..(10.29)
donde los subindices y se refieren a productos de inercia de
masa y mo superficie, resefiirnente. Los productos de inercia e de
una placa delgada son nulos ya que se supone que los ejes e y estan
contenidos en el plano medio de la placa (plano de simetra).Se
puede desarrollar, para los productos de inercia, un teorema de
Steiner muy parecido al correspondiente a los momentos segundos
mixtos de superficie que se desarroll en el apartado 10.2.5.
Considrese el cuerpo representado en la figura 10.32, el cual tiene
un sistema de coordenadas con origen en el centro de masa G del
cuerpo y un sistema de coordenadas con origen en el punto y ejes
paralelos a los anteriores. En la figura se observa que
El producto de inercia I del cuerpo respecto a los planos e es,
por definicin,
Como e tienen el mismo valor para todo elemento de masa
Ahora bien,
y como los ejes e pasan por el centro de masa G del cuerpo,
Por tanto,
.(10.30)
Las ecuaciones 10.30 constituyen el teorema de Steiner para
productos de inercia. El subndice G indica que los ejes e pasan por
el centro de masa G del cuerpo. As pues, si se conoce el producto
de inercia de un cuerpo respecto a un par de planos ortogonales que
pasen por su centro de masa, podr hallar el producto de inercia de
dicho cuerpo respecto a todo par de planos paralelos a los
anteriores, sin necesidad de integracin, utilizando las ecuaciones
10.30.
EJERCICIOS
El cono circular recto est formado por rotacin de la zona de
sombra alrededor de la x eje. Determinar el momento de inercia y
expresar el resultado en trminos del total la masa del cono. El
cono tiene un densidad constante.
Determinar el momento de inercia de la semielipsoide con
respecto al eje y expresar el resultado en trminos de la masa de la
semielipsoide. El material tiene una densidad constante.
Determinar el momento de inercia del elipsoide con respecto al
eje y expresar el resultado en trminos de la masa del elipsoide. El
material tiene una densidad constante.