Projet de Fin d’Etudes - ANNEXES Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures – Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes - Réponse Réponse Réponse Réponse dynamique au vent de l’aiguille dynamique au vent de l’aiguille dynamique au vent de l’aiguille dynamique au vent de l’aiguille métallique métallique métallique métallique de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba Élève ingénieur Génie Civil 5 ième année INSA Strasbourg: M. Martin Grégoire Professionnel encadrant Ecole : M. Guth Didier (Arcadis) Professionnel encadrant Entreprise : M. Robert Franck (Buro Happold Ltd) Juin 2010 Juin 2010 Juin 2010 Juin 2010
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Dimensionnement et vérification de structures – Introduction aux normes britanniques et européennes - Réponse dynamique au vent de l’aiguille métallique de la Tour Samba
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Projet de Fin d’Etudes - ANNEXES
Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures Dimensionnement et vérification de structures ––––
Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes Introduction aux normes britanniques et européennes ----
RéponseRéponseRéponseRéponse dynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguilledynamique au vent de l’aiguille métalliquemétalliquemétalliquemétallique de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba de la Tour Samba
Élève ingénieur Génie Civil 5ième année INSA Strasbourg: M. Martin Grégoire
Professionnel encadrant Ecole : M. Guth Didier (Arcadis)
Professionnel encadrant Entreprise : M. Robert Franck (Buro Happold Ltd)
Juin 2010Juin 2010Juin 2010Juin 2010
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SommaireSommaireSommaireSommaire
i. ANNEXE 1 : Comparaison des normes de construction en béton armé ............................ 3
1. Calcul d’une poutre béton armé selon le BS 8110-1 : 1997 (Structural use of
Figure 2 : Modélisation du chargement sur la poutre de reprise de charge
• Réaction aux appuis – Charges ponctuelles des poteaux en bord de dalle :
)�� = 6500 + 17.6 ∗ 1842 = 4870 ��
"# $"%& ∶ )�� = 6200 + 17.6 ∗ 1762 = 4650 ��
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La poutre à dimensionner est continue avec un chargement ponctuel Rul au 2/3 – 1/3 de sa
longueur. Le diagramme des moments obtenus est le suivant (Figure 3) :
Il peut cependant être revu afin de réaliser la condition de redistribution des moments (condition de redistribution des moments (condition de redistribution des moments (condition de redistribution des moments (BS 8110, BS 8110, BS 8110, BS 8110,
3.2.2.3.2.2.3.2.2.3.2.2.) dans les poutres continus) dans les poutres continus) dans les poutres continus) dans les poutres continus. La redistribution est au maximum de 20% pour ajuster la
quantité d’armatures dans la section de poutre. Cela signifie que les moments aux appuis sont
abaissés de 20% quand les moments résistants en travée sont augmentés d’autant. Robot
n’effectue pas la translation de la courbe. Les valeurs extrêmes sont alors les suivantes :
En travée En appui gauche En appui droite
Moment ELU (kN.m) 12000 4150 5850
Pour les sections les plus sollicitées dont les moments sont réduits on vérifiera lors du calcul
La courbe enveloppe des moments des différents cas de chargementLa courbe enveloppe des moments des différents cas de chargementLa courbe enveloppe des moments des différents cas de chargementLa courbe enveloppe des moments des différents cas de chargement,,,, obtenue par analyse obtenue par analyse obtenue par analyse obtenue par analyse
élastiqueélastiqueélastiqueélastique,,,, doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale doit aussi être modifiée pour les calculs de Béton Armé au BAEL 91 rèv.99. On décale
hohohohorizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les rizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les rizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les rizontalement la courbe de 0.8*h (en référence au calcul des contraintes de cisaillement). Les
moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs moments extrêmes restent cependant les mêmes alors que tout au long de la poutre les valeurs
sont augmentées.sont augmentées.sont augmentées.sont augmentées.
En travée En appui gauche En appui droite
Moment ELU (kN.m) 10000 4560 6450
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La courbe des efforts tranchants ne subit pas de modification (Figure 4):
8
1.2. Confrontation des résultats extraits des paragraphes 1.3, 1.4 et 1.5 :
Section en travée
(b;d)�(1.4; 1.46)
2.05m² de béton
longueur 14.18m
Choix des aChoix des aChoix des aChoix des armatures de rmatures de rmatures de rmatures de
Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.Les résultats sont les mêmes après une étude distincte sur les deux codes.
� La différence entre les moments utilisés dans les calculs impacte directement les sections
d’armatures.
- Exemple de la section avec armatures comprimées :
Décalage vertical vers le bas de la courbe de moment �BS 8110 plus conservatif en fibre
inférieure et inversement en fibre supérieure.
9
� Le BS 8110 conserve des paramètres de calculs ayant une signification physique directe
pour la section de béton armé. L’objectif de calcul (détermination de la section d’armatures)
est ce qui importe.
- Exemple du calcul des armatures verticales en comparaison du cheminement effectué
par le BAEL.
� Le BAEL 91 rèv. 99 s’attache à reproduire la théorie RdM dans ses calculs pour modéliser au
mieux le comportement. Les concepts sont aboutis (3pivots) et le principe vient avant la
finalité
- Exemple du ferraillage longitudinal avec l’expression :
�# = 1# ∗ 7 ∗ 5 − "4 ∗ G4 et non pas As =… (BS8110)
� Le BAEL lie intimement les hypothèses ELU et ELS au sein des mêmes calculs, compte tenu
de la remarque précédente.
1.3. Détermination du ferraillage longitudinal Asmini :
On note que la longueur de travées pour les poutres continues est la distance ente les centres des
appuis : 14.18m.
Pour les poutres reposant sur des éléments en béton de résistance équivalente (poteaux de
1.4m*1.4m) le BAEL prend la longueur de travées comme la distance entre nus d’appuis : 14.18 –
(1.4/2)*2 = 12.78m
• Détermination de la section béton de poutre :
H = I�éJ1406K#.�5² ∗ LM� ∗ 7
o Mélastique = M(ELU) � K = K’ et quand la redistribution dépasse 10% :
La résistance du béton aux efforts tranchants est limitée à 5.0 MPa ou 0.8*SL=# = 5.06 I�1 (BS 8110 – 3.4.5. Design of shear stress). On choisit de limiter cette valeur 2.0 MPa.
La clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’EurocodLa clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’EurocodLa clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’EurocodLa clause 9.2.1.1 minimum and maximum reinforcement areas de l’Eurocode 2 pour les poutres e 2 pour les poutres e 2 pour les poutres e 2 pour les poutres
Il s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration aIl s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration aIl s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration aIl s’agit d’une fusion des deux codes d’inspiration anglaise et française.nglaise et française.nglaise et française.nglaise et française.
• Diagramme non simplifié :
• Résistance de calcul du béton armé :
L7# = 0.85l ∗ L=#m7 = 0.851 ∗ 321.5 = 18.13 I�1
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.la résistance du béton n’est pas diminuée au BS 8110.
• Résistance élastique de calcul de l’acier :
12
L.5 = Lhm4 = 5001.15 = 434.2 I�1 • Détermination de mu :
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : mu : mu : mu : mu ���� K (BS 8110)K (BS 8110)K (BS 8110)K (BS 8110)
Le diagramme deLe diagramme deLe diagramme deLe diagramme des trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes, s trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes, s trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes, s trois pivots, qui représente la déformation de la section aux états ultimes,
n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des n’est pas repris par le BS 8110. Les concepteurs du BAEL ont choisit de regrouper l’ensemble des
états du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de grétats du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de grétats du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de grétats du béton sous un seul concept. Au pivot A (rotation autour du centre de gravité des aciers) avité des aciers) avité des aciers) avité des aciers)
le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale le béton n’est pas épuisé et l’acier est plastifié jusqu’à sa limite de ruine (déformation maximale
de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état de 1% en fibre intérieure).Le pivot B (rotation sur la fibre supérieure de béton) est un état
transitoiretransitoiretransitoiretransitoire : l’acier peut ou non atteindre : l’acier peut ou non atteindre : l’acier peut ou non atteindre : l’acier peut ou non atteindre sa limite d’élasticitésa limite d’élasticitésa limite d’élasticitésa limite d’élasticité ; c’est le domaine de la flexion ; c’est le domaine de la flexion ; c’est le domaine de la flexion ; c’est le domaine de la flexion
composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale composée ou simple avec le béton épuisé en fibre supérieure de poutre (déformation maximale
en traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot Cen traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot Cen traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot Cen traction de 0.35%). La section est complètement comprimée au pivot C : la déformation du : la déformation du : la déformation du : la déformation du
béton est de 0.3béton est de 0.3béton est de 0.3béton est de 0.35% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).5% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).5% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).5% et celle de l’acier est de 0.20% (max en compression).
Dès lors toutes les formulations sont modifiées. Dès lors toutes les formulations sont modifiées. Dès lors toutes les formulations sont modifiées. Dès lors toutes les formulations sont modifiées. αu reprαu reprαu reprαu représente ainsi le rapport déformation ésente ainsi le rapport déformation ésente ainsi le rapport déformation ésente ainsi le rapport déformation
béton / déformation totale (acier+béton). béton / déformation totale (acier+béton). béton / déformation totale (acier+béton). béton / déformation totale (acier+béton). au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois au fait le lien entre la théorie du diagramme des trois
pivots et la RdM parpivots et la RdM parpivots et la RdM parpivots et la RdM par ::::
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on : Avec les mêmes valeurs de moments élastiques intégrées au départ (12MN) on
obtient moins de 1%obtient moins de 1%obtient moins de 1%obtient moins de 1% d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110 d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110 d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110 d’écart entre les valeurs minimales de section d’acier calculées au BS 8110
Agv est la section de renforcement transversal requise. Agv reprend (v-vc) le tranchant résiduel
après la résistance du béton et aciers longitudinaux seuls.
Sv est l’espacement entre les armatures transversales limité à : sv < 0.75*d = 0.75*1.46 = 1.17m
On choisit 4 liens verticaux HA14 espacés de 100mm (";8/i8 = 4 ∗ 0.014² ∗ r/4/0.100 =6.15!!�/!!).
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : la résolution du BS 8110 est directe: la résolution du BS 8110 est directe: la résolution du BS 8110 est directe: la résolution du BS 8110 est directe :::: on calculeon calculeon calculeon calcule la section d’armature la section d’armature la section d’armature la section d’armature pour un effort pour un effort pour un effort pour un effort
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Le m: Le m: Le m: Le modèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de odèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de odèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de odèle RdM de la poutre soumise à des efforts tranchants est celui du treillis de
RitterRitterRitterRitter----Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles Mörsch. Cette théorie permet une évaluation correcte de la contrainte dans les bielles
comprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle suresticomprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle suresticomprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle suresticomprimées entre les fissures dues à l’effort tranchant. En revanche elle surestime les valeurs de me les valeurs de me les valeurs de me les valeurs de
sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions sections d’acier et d’espacements entre les liens verticaux. L’ensemble des conditions
précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.précédentes découlent donc de l’expérimentation pour corriger la théorie.
• Calcul de différents couples (V ; st) pour ajuster la répartition des aciers au tranchant le
long de la poutre :
• Diamètre mini des barres : on choisit 4 brins transversaux (1 cadre et 2 épingles)
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs : Le BAEL veille en premier lieu à satisfaire toutes les conditions initiales. Plusieurs
couples (armaturescouples (armaturescouples (armaturescouples (armatures ; espacement; espacement; espacement; espacement ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette ; effort tranchant repris) sont calculés dans cette optique.optique.optique.optique.
1.5. Dimensionnement d’une poutre avec armatures comprimées – BS 8110
– clause 3.4.4.4 :
Les armatures comprimées sont nécessaires si la nervure de béton b*h (section rectangulaire) est
insuffisante pour reprendre le moment élastique qui comprime le béton :
M�ELU� = 12MN. m > I# = H ∗ L=# ∗ 7 ∗ 5² = 0.206 ∗ 40 ∗ b ∗ d² → b ∗ d < 1.92 → -/ =ℎ-6460 5 = 1.06m et b = 1.0m
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Tel est le cas si le choix de côtes de béton est limité (architecture, dispositions constructives,…).
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne l’acier comprimé est dimensionné pour reprendre le résidu de ce que le béton ne
peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée peut pas supporter. As’ est positionné le plus proche possible de la fibre supérieure comprimée
du béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé obdu béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé obdu béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé obdu béton. Cet excentrement par rapport au centre de gravité du béton comprimé oblige à lige à lige à lige à
considérer un bras de levier dconsidérer un bras de levier dconsidérer un bras de levier dconsidérer un bras de levier d----d’ plus important,d’ plus important,d’ plus important,d’ plus important, entre les centres de gravité des aciersentre les centres de gravité des aciersentre les centres de gravité des aciersentre les centres de gravité des aciers.
o Section d’armatures tendues As. As est calculé par rapport à z pour la part du moment (ici
égale à Mu) qui est reprise par le béton comprimé. Pour le résidu, le calcul se fait avec (d-
On choisit 32 HA40 pour 40200mm² (Plus de 3 lits d’armatures avec 10 cm entre chaque barre).
• Détermination de la section d’armatures comprimées As2 selon le BAEL 91 rèv. 99 :
• Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut Le calcul est fait aux ELU en imposant la condition calculatoire mu;lim = muc qui équivaut
à avoir une contrainte interne de compression du béton égaà avoir une contrainte interne de compression du béton égaà avoir une contrainte interne de compression du béton égaà avoir une contrainte interne de compression du béton égale à la contrainte résistante. Le le à la contrainte résistante. Le le à la contrainte résistante. Le le à la contrainte résistante. Le
système peut alors être résolu.système peut alors être résolu.système peut alors être résolu.système peut alors être résolu.
• La quantification de la contrainte interne du béton (La quantification de la contrainte interne du béton (La quantification de la contrainte interne du béton (La quantification de la contrainte interne du béton (σb < σblim = 0.6*fc28) est dσb < σblim = 0.6*fc28) est dσb < σblim = 0.6*fc28) est dσb < σblim = 0.6*fc28) est définie aux éfinie aux éfinie aux éfinie aux
ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire ELS uniquement. Une vérification aux ELS de l’hypothèse formulée est donc nécessaire
pour empêcher pour empêcher pour empêcher pour empêcher σb > σblim. σb > σblim. σb > σblim. σb > σblim.
o Données :
Largeur b = 1.0m / hauteur h = 1.10m / d = 1.06m / d2 = 60mm � d2/d = 0.0566
L’ajout d’une section d’armatures comprimées As2 = 9650mm² (12 HA32) suffit à limiter la
contrainte de compression agissant sur le béton.
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque ::::
Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS Les normes anglaises dimensionnent aux états limites de service (SLS –––– serviciability limit state) serviciability limit state) serviciability limit state) serviciability limit state)
en modifiant les coefficients de sécurité devaen modifiant les coefficients de sécurité devaen modifiant les coefficients de sécurité devaen modifiant les coefficients de sécurité devant les cas de charges. C’est la seule différence entre nt les cas de charges. C’est la seule différence entre nt les cas de charges. C’est la seule différence entre nt les cas de charges. C’est la seule différence entre
un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00). un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00). un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00). un calcul ULS et SLS (coefficients à 1.00).
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2. Dimensionnement d’une dalle béton armé selon le BS 8110 – 1 : 1997
– Comparaison Eurocode 2 – Part 1 et BAEL 91 (rèv.99) :
2.1. Introduction au dimensionnement :
Dans le cadre du projet de développement des abords du stade de Wembley au Nord de Londres,
plusieurs complexes d’immeubles résidentiels sont récemment sortis de terre. Le projet Wembley
W05, dont Buro Happold conçoit la structure, aura toutes ses eaux usées collectées dans un
réservoir de 2000 m3 agissant comme tampon avant le rejet dans le réseau. Ce réservoir est situé
au niveau sous-sol du projet. Au rez-de-chaussée une dalle de 27.50m*12.05 vient coiffer le
réservoir. Celle-ci a été construite courant Mars-Avril 2010 sur chantier.
En surface l’architecte a fixé le niveau de plancher et les marges de manœuvre sont inexistantes.
En sous face les tuyaux de drainage s’intègre dans le béton de la dalle pour leur maintien. Pour
limiter leur intersection avec les treillis d’armatures, l’épaisseur de la dalle est singulièrement
augmentée :
Figure 6 : Cas à éviter. A gauche : pour une dalle de 300mm on arrive par endroit à 785mm,
1005mm et 1195mm.
Figure 7 : La géométrie de la dalle est complexe et d’autant plus que pour une épaisseur de 785
mm par exemple, la surface de la dalle ne se trouve pas obligatoirement aux mêmes niveaux.
20
Figure 8 : Vue de la sous face de la dalle à droite et compensation des surépaisseurs par des
charges statiques à gauche.
Dix colonnes réparties en deux files sur la longueur de la dalle viennent la soutenir. La dalle est
rotulée avec le reste du plancher rez-de-chaussée (flexion permise � cas le plus contraignant
vis-à-vis des efforts au centre de la dalle).
Afin de modéliser le comportement de la dalle on créé un modèle sous le logiciel Robot. L’effet
des appuis des colonnes est ainsi au mieux pris en compte. Les diverses épaisseurs de dalle
seront représentées en ajoutant aux endroits définis une charge permanente (=ρbéton*épaisseur
additionnelle) sur une dalle plate de 300mm en tout point. La modélisation est une étape clé qui
supporte bien souvent une simplification du cas réel.
Figure 9 : Ci contre :
Maillage et déformation finale aux ELS (-
4mm max).
Figure 10 : Ci-dessus : Modélisation des
colonnes : Décalage du nœud en tête de
la barre. Il n’y apas d’interaction avec le
maillage de la dalle et la modélisation est
« propre »
Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre Pour l’étude la dalle est scindée en panneaux indépendants (P11 à P36) entre les colonnes et ses les colonnes et ses les colonnes et ses les colonnes et ses
bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées bords. Les panneaux reposant sur colonnes ont leurs moments redistribués sur des travées
fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause fictives médianes et de coté (Eurocode 2 annexe I, BAEL 91 rèv.99 annexe E4 et BS 8110 clause
3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est 3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est 3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est 3.7.2.10). La détermination manuelle des moments est obligatoire pour vérifier la conformité du obligatoire pour vérifier la conformité du obligatoire pour vérifier la conformité du obligatoire pour vérifier la conformité du
modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment modèle Robot. A ce propos le BS 8110 propose des formules empiriques de valeurs de moment
facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. facilement utilisable pour de nombreux cas de figure (clause 3.5.3.4 et 3.5.2.4. –––– tableau 3.14).tableau 3.14).tableau 3.14).tableau 3.14).
21
2.2. Confrontation des résultats extraits des paragraphes 2.3 et 2.4 :
Les armatures de flexion initiales sont déterminées sur le modèle du chapitre 1 de l’annexe i. En
Mars 2010 une note de calcul a été rédigée dans le cadre du projet W05 pour les définir.
Panneau P34
1 côté continu
rotulé
3 côtés sur appui
colonne
Armatures de flexion Armatures de flexion Armatures de flexion Armatures de flexion
initialesinitialesinitialesinitiales
Après vérification de la Après vérification de la Après vérification de la Après vérification de la
flècheflècheflècheflèche
Après vérification de Après vérification de Après vérification de Après vérification de
avec K = 1.3 pour une dalle portant sur deux sens avec un coté continu dont l/d normalisé = 26 (béton est peu sollicité (� # 0.5%)).
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : : : :
On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé On retrouve un rapport l/d normalisé identique à celui du BS 8110 bien qu’il ne soit pas utilisé
directement dans le calcul.directement dans le calcul.directement dans le calcul.directement dans le calcul.
La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier La formulation précédente correspond à une contrainte de traction de l’acier σs = 310MPa pour σs = 310MPa pour σs = 310MPa pour σs = 310MPa pour
fy = 500MPfy = 500MPfy = 500MPfy = 500MPa. On retrouve ainsi :a. On retrouve ainsi :a. On retrouve ainsi :a. On retrouve ainsi :
Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ Dans les deux normes la même hypothèse est faite au départ et globalement les mêmes et globalement les mêmes et globalement les mêmes et globalement les mêmes
paramètres sont pris en considérationparamètres sont pris en considérationparamètres sont pris en considérationparamètres sont pris en considération ::::
La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du La largeur ne pose toujours aucun problème et l’Eurocode 2 accepte tout juste la flèche du
panneau P34 en longueur avecpanneau P34 en longueur avecpanneau P34 en longueur avecpanneau P34 en longueur avec 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS 785mm²/m de renforcement, ce qui est plus permissif que le BS
8110.8110.8110.8110.
25
• Vérification de la flèche selon le BAEL 91 rèv. 99 :
o Principe : Le calcul est différent des méthodes précédentes. La flèche maximale est
calculée et comparée à une valeur limite. L’article A.4.6.1. utilise la résistance des
matériaux (courbure) et l’article B.6.5.2. des formules empiriques tirées de
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque : C: C: C: Ces formules empiriqueses formules empiriqueses formules empiriqueses formules empiriques donnent des valeurs très proches des valeursdonnent des valeurs très proches des valeursdonnent des valeurs très proches des valeursdonnent des valeurs très proches des valeurs logiciellogiciellogiciellogiciel....
L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation L’Eurocode 2 impose des valeurs d’armatures plus importantes que le BS 8110. Si la formulation
n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la n’est pas la même on retrouve des paramètres identiques dont la modélisation physique de la
déformation du béton (esmdéformation du béton (esmdéformation du béton (esmdéformation du béton (esm–––– ecm ecm ecm ecm ���� e1e1e1e1----e2). e2). e2). e2).
La formulation initiLa formulation initiLa formulation initiLa formulation initiale de l’Eurocode 2, «ale de l’Eurocode 2, «ale de l’Eurocode 2, «ale de l’Eurocode 2, « très physiquetrès physiquetrès physiquetrès physique », Wk = sr,max*(esm», Wk = sr,max*(esm», Wk = sr,max*(esm», Wk = sr,max*(esm----ecm) implique ecm) implique ecm) implique ecm) implique
ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres ensuite des calculs plus lourds. A l’inverse le BS 8110 prend le partie d’injecter des paramètres
physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.physiques simples (em, Cmin, Acr,…) dans sa formule initiale.
• Etanchéité de la dalle - Limitation de l’ouverture des fissures aux BAEL :
• Principe de la clause A.4.5.2 :
o Dans le cas de fissuration très préjudiciable on limite la contrainte dans l’acier à σslim :
G4J6! = o ∗ QÁ�=-.LL. 5�15ℎé3./=. = 1.6 2-#3 �"� ∗ L028∅1=6.3 Avec
RemarqueRemarqueRemarqueRemarque :::: la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement la notion de fissuration non, peu ou très préjudiciable à laquelle se sont uniquement
intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite intéressés les concepteurs du BAEL est un atout indéniable. Le fascicule 74 du CCTG traite
particuparticuparticuparticulièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.lièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.lièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.lièrement des ELS d’étanchéité et de durabilité.
31
3. Conclusion
Les deux études précédentes ont montré que la philosophie des codes de dimensionnement en
béton armé diffère selon les normes et influence les étapes de la réflexion du concepteur. Pour
chaque cas pratique, les résultats sont néanmoins tout à fait comparables. Sans s’appesantir sur
la comparaison point par point des calculs, et ce qui n’aurait pas de sens car l’étude ne peut être
exhaustive, cet annexe remplit un double objectif.
Tout d’abord, les dimensionnements, menés selon le BS 8110-1 :1997 en entreprise, ont
introduit une quantité d’informations substantielles, dans une autre langue, avec de nouvelles
notations. La révision des calculs tout au long de cette annexe, et la comparaison avec les
connaissances acquises à l’INSA, ont permis de mieux en comprendre les tenants et les
aboutissants. Si le BS 8110-1 :1997 et le BAEL 91 rév. 99 sont désormais obsolètes, ils restent
des recueils de règles de l’art indispensables pour comprendre et s’approprier les nouveaux
textes du Comité Européen de Normalisation (CEN). Le travail de collecte des informations,
effectué pour construire l’Eurocode 2, est important, comme le montre le chapitre 2 du rapport.
Pour les concepts qui reposent sur des lois de comportement et de résistance des matériaux
complexes :
- Le BAEL se fonde sur les développements scientifiques détaillés de la RdM. Il envisage
l’étude béton armé dans sa globalité, à chaque étape de la conception. Les ELU et ELS sont ainsi
intiment liés et le diagramme des 3 pivots est transversal aux calculs de section d’armatures.
L’approche française part d’un principe général qui intègre ensuite, et plus ou moins
explicitement, les paramètres de calcul qui dimensionnent l’élément structurel considéré. Il s’agit
d’un raisonnement déductif.
- L’approche britannique est tout autre. Les coefficients utilisés dans les calculs conservent le
plus souvent une signification physique directe (par exemple axe neutre, bras de levier des
efforts intérieurs aux ELU, enrobage aux ELS). Un tel raisonnement inductif privilégie l’objectif du
calcul. La détermination des aciers au tranchant et des aciers comprimées du chapitre 1 est
révélatrice.
Dans cette optique l’Eurocode introduit une grande quantité de paramètres, nouveaux ou non. S’il
s’affranchit des concepts physiques établis dans le BAEL et que les formulations s’apparentent
d’avantage à celles du BS 8110, il existe une différence majeure. Les Eurocodes s’appuient sur
des campagnes d’essais à grande échelle. Cette approche expérimentale n’est pas exhaustive
mais réussit à prendre au mieux en compte les phénomènes réels (mauvais état de surface,...).
32
ii. ANNEXE 2 : Coefficient de trainée cf
Total wind force coefficient Cf – derivation to match the Static Equivalent Method:
The equation verifying the Static Equivalent Method (see Annex 3 of this calc) estimates the inertia of the global spire. Cf used in it must rely on the part of the spire
influencing the structural division considered. Cf is derived from the base of red division to the tip of spire for red division, from the base of brown division to the tip of spire
for brown division and so on.
Cf derived from:
�� = ��,� + ��,� (Equivalent to a drag coefficient)
��,� = � ∗ ��,�,� ∗ � ∑ ��
• Cf,s,0 = Cf,s without end effects
• As = Structural area composed of flat sided + circular members: As = Af (flat sided) + Ac(cylinders)
• ΣA = As + area of secondary elements (Aa)
• Kθ= wind incidence factor
��,� = �� ∗ ��,�,� ∗ �� ∑ �� ∗ sin (�)²
• KA =shielding factor (structural members covering secondary steel elements)
• Cf,a,0 = drag pressure coefficient for circular section (dependant on Reynolds number)
• ψ = Angle between wind incidence and the longitudinal axis of linear ancillaries members
Total wind force coefficient Cf:
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cf 1,551 1,534 1,613 1,502
→ Structural frame wind force coefficient Cf,s
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cf,s 1,325 1,344 1,344 1,396
→ Ancillaries frame wind force coefficient Cf,a
Θ (°) 0 30 -30 -60
Cf,a 0,226 0,190 0,269 0,106
→ Plan angle of wind incidence to the normal of the face considered
θ (°) 0 30 -30 -60
→ Solidity factor = Ratio "solid face / overall envelope area"
δ= 0,712
→ Af (m²) 55,4 Aa 17,3 A envelope 102,2
Ac cylinders 0 Ac super critical cylinders 0
Above Final results are obtained from the following inputs:
Following example details Cf from bottom of red division to the tip of the spire, derivation for red division.
= wind force coefficient for secondary elements
= wind force coefficient for structural elements
→ Loaded area = Total solid area.
→ Envelope area is the inner boundary drawn
by structural members
All area of the table are projected normal to
the face considered (i.e. θ = 0°)
� = ������ ����(= � + �� + ��)�!"�#�$� ����
Code used: EN 1993-3-1 Annex B
→ Area for ancillary are projected normal to the wind direction
Θ (°) 0 30 -30 -60
Aa (m²) 17,3 14,5 20,5 8,1
→ Angle between wind incidence and the longitudinal axis of linear ancillary members
Ψ= 86,4 degrees
δ leads to → Reference area (= loaded area) projected normal to the face
Θ (°) 0 30 -30 -60
Aref (m²) 72,7 72,7 72,7 72,7
As leads to → K1 0,550
δ leads to → K2 0,289 0,400680272 0,400680272
→
Θ (°) 0 30 -30 -60
Wind incidence factor Kθ 1,000 1,015 1,015 1,054
δ leads to → Cf,0,f 1,738
(force coefficient for flat sided steel members)
Above inputs lead to the following intermediary outputs:
� = 1 + �1 ∗ �2 ∗ � ∗ sin(2')(
Kθ definition is for square cross sections
��� = ) � = *� = � + ��+ + ��
Wind incidence is horizontal. Secondary
members are approximately vertical
Ψ is constant along the top spire
K2 = a constant dependant on δ (EN 1993-
3-1 Annex B2.2.1.)
�, = 0.55 ∗ � � + 0.8 ∗ (�� + �� , ��121��#)
�
δ leads to → Cf,0,c 1,431
(force coefficient for circular steel members)
δ leads to → Cf,0,c,sup 1,377
(force coefficient for circular steel members under supercritical regime)
→ Cf,s,0 1,738
(force coefficient without end effect)
Θ (°) 0 30 -30 -60
→ Cf,a,0 1,2 1,2 1,2 1,2
(drag pressure coefficient for ice-free, circular sections with
Re (EN 1991-1-4 – E.1.3.4) =
1,30E+05 for 0°
1,30E+05 for 30°
1,10E+05 for -30°
1,10E+05 for -60° )
��,�,�
≈ ��,�,�(�) ∗ ���� + ��,�,4(�) ∗ ��
�� +��,�,4,�56(�) ∗ ��, 7$��
8� = ��� ��21�! 91�2ℎ ∗ ;<=>?@AB = "1 �� 12C
Vvortex = wind velocity creating vortexes
perpendicular to the wind direction
More details in EN 1991-1-4 Annex E.1.3.4 and
annex 5 of this calculation
Derivation for Cf,0,f - Cf,0,c - Cf,0,c, critical
can be found in EN 1993-3-1 Annex B.2.2.2 .
Assumption for a square cross section has been
made
They enable to define the following Cf,s,0
(equivalent to Cf but without end effects)
Cf,a,0 can be found in Table B.2.1 En 1993-3-1
Assumption = secondary elements of circular
sections
Cf,a,0 depends on Reynolds number :
Final Results for Cf:
Cf
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 1.86 1.89 1.92 1.92
Top part
of spire
From Red
division 1.55 1.35 1.61 1.50
From Brown
division 1.62 1.58 1.66 1.61
From Orange
division 1.62 1.57 1.64 1.56
From Yellow
division 1.76 1.73 1.76 1.72
From Pink
division 1.95 1.97 1.96 2.02
38
iii. ANNEXE 3 : Méthode statique équivalente
Equivalent static method:
If the following equation is less than 1, “Eurocode EN 1993-3-1 – Annex B.3 – response of lattice tower” enables for the application of a static method to
determine the force imposed by mean and gust wind on the structure.
�1� 7 � �� � ��,� � ������,� � ��� � ��
� �56 � ��� �
�� 1
• H = total height from the bottom of structural part considered to the tip of the structure
• Db = total depth taken at the centroid of H. The spire is then modelised as a tapered rectangular tower.
• τ0 = constant taken as 0.001m
• ρs = steel density
• Cf,t * Atotal,t is the sum of the panel wind forces : Eurocode takes it just less than Cf*Atotal / 3, which is derived from the tip of the spire.
o Cf,t is equivalent to a drag coefficient (see Annex 1 of this calc)
o Atotal,t is the wind loaded area (also called A reference) from the tip of the structure
• Ht = height making Cf,t*Atotal,t. Ht is counted from the tip of the spire
• Mt = total mass over Ht.
Θ (°) 0 30 -30 -60
Applicable ? yes yes yes yes
Equation [1] 0.57 0.57 0.45 0.44
Steel density 7850 kg/m3
Volume/Resistance constant τ0 0,001 m
Total height H 50,2 m
Θ (°) 0 30 -30 -60
Depth Db at centroid (m) 2,5 2,5 4,0 4,0
Height hT making Cf,t 16,7m
Self weight Mt (over Ht) 82 kN
Total mass of steel mT making up Cf,t ~ 4100 kg
Above results obtained from the following inputs:
Code used: EN 1993-3-1 – B.3.1
Depth taken at centroid of structural part considered
Derivation of [1] for the bottom red division of top spire
Above inputs lead to the following intermediary outputs:
Ht needs to be less than 1/3 * H. Here 1/3 *50,5 = 16,8m.
Several iterations needed to determine Ht making
Cf,t*Aref ,t just less than Cf*Aref/3
Mass = Mt/2. Only members facing the wind (in the
forefront) are taken into account
Self weight has been chosen to satisfy equation [1]. Top
spire last 16 meters are built from 400*400*10mm
hollow boxes.
Considering static wind loading of 470 kN from current
Robot model, max deflection limited to span / 350 =
200mm. Cantilever limited to span /180.
→ Design limiting value Cf*A(reference)/3, from results in Annex 1. It is derived for the whole structure standing above the base of the structural division considered.
From Red
division
From Brown
division
For Orange
division
For Yellow
division
For Pink
division
For base of
spire
Aref (m²) 72.7 47.4 35.2 22.8 10.1 47.5
Cf*Aref/3
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 74.0 75.8 76.9 76.7
Top part
of spire
From Red
division 37.6 37.3 39.1 36.3
From Brown
division 25.3 25.0 26.2 25.4
From Orange
division 19.0 18.3 19.2 18.3
From Yellow
division 13.4 13.2 13.4 13.1
From Pink
division 6.6 6.7 6.6 6.8
� !" # $�" % �� % �&
For the structure standing above the base of
the structural division considered
Aref is projected perpendicular to the face
considered
Cf given on p.05 Annex 01
→ Design value Cf,t*A(reference),t = input in equation [ 1]. It is derived from Cf,t obtained as in Annex 1:
For Red
division
For Brown
division
For Orange
division
For Yellow
division
For Pink
division
For base of
spire
H (m) from the
divisions’ base 50.2 40 30 20 10 72
Ht (m) from the
spire’s tip 16.7 12.5 9.2 6.6 3.3 24.0
From Red
division
From Brown
division
For Orange
division
For Yellow
division
For Pink
division
For base of
spire
Aref,t (m²) from
the spire’s tip 18.6 13.3 9.1 6.52 3.2 26.5
Cf,t
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 1.65 1.63 1.65 1.62
Top part
of spire
For Red
division 1.79 1.77 1.80 1.77
For Brown
division 1.87 1.85 1.87 1.88
For Orange
division 1.93 1.95 1.95 2.00
For Yellow
division 1.93 1.95 1.95 2.00
For Pink
division 1.93 1.95 1.95 2.00
Aref,t varies with Ht → A Ht value is found
that makes Cf,t*Aref,t ~ Cf*Aref/3
Cf,t derived as in annex 1 taking Aref,t and
all other parameters for the division over Ht
only
Cf,t*Aref,t
Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 43.9 43.2 43.9 43.1
Top part
of spire
For Red
division 33.3 32.8 33.3 32.8
For Brown
division 24.8 24.7 24.9 25.0
For Orange
division 17.5 17.7 17.7 18.1
For Yellow
division 12.6 12.7 12.7 13.1
For Pink
division 6.1 6.2 6.2 6.3
Cf,t*Aref,t just less than Cf*Aref joinly with
Ht less than H/3
[1] can be worked out.
Results:
[1]
Angle for the direction of the wind
0° 30° -30° -60°
Base of the spire 0.93 0.95 0.71 0.72
Top part
of the
spire
Red
division 0.55 0.56 0.44 0.44
Brown
division 0.62 0.62 0.49 0.49
Orange
division 0.76 0.75 0.62 0.60
Yellow
division 0.81 0.80 0.68 0.66
Pink
division 0.99 0.98 0.87 0.85
• The base of the spire will be proved to be static (maximum slenderness ~2). The equivalent static method is yet applicable.
• The top part of the spire has just enough weight to verify [1] (from half yellow to pink divisions)
• The influence of self weight is sensible enough to make [1] less than 1 by reducing Mt only.
45
iv. ANNEXE 4 : Détermination du vent moyen Fm,w(z)
Mean wind load Fm,w(z):
When equation [1] is verified (see Annex 3 of this calc), the force produced by mean wind on each structural division considered is derived from:
��,���� ����
1 � 7 � ������ ����� � ����� �����
• qp(z) : wind pressure. Only parameter dependant on the altitude z
• Iv(ze) : intensity of turbulence around the spire.
• Cf : wind force or drag coefficient. Cf now derived for each division of the spire (red to pink and grey base)
• Aref : total loaded area = structural and secondary members facing the wind for each division of the spire (red to pink and grey base)
Deriving Fm,w(z) for the bottom red division of the top spire:
Final output
Θ (°) 0 30 -30 -60
Fm,w(z) (kN) 22.8 23.1 24.6 21.0
Θ (°) 0 30 -30 -60
→ Fm,w(z) (kN/m) 0.8 0.8 0.9 0.8
50 years return period SLS wind at 10m height Vb,0 25 m/s
Reference height Ze 182.2 m
Total length of structural members – 4nos legs 42 m
Density of air ρair (kg/m3) 1.226
Roughness terrain category 4
→ Roughness length z0 1m
Wind coefficients
C directional = 1 C season = 1 C orography = 1 C roughness (at Ze) = 1,22
Inputs
Fm,w(z)[kN] is divided by the total length
of structural members loaded by the wind
(in the forefront). 3nos legs loaded for
directions 0 / 30 /-60° and 2nos for -30°
Vb,0 = Definition is given by EN 1991-1-4 –
4.2 (2). Vb,0 is a 10 min mean wind speed
and should be derived from a hourly mean
wind speed + an additional 7%
(EN 1991-1-4 – Table 4.1)
Codes used:
EN 1993-3-1 Annex B.3
EN 1991-1-4 chapters 3 to 7
Ze = maximum height above ground for
the structural part considered
Wind coefficients are constant and
conservative if taken as 1.0
Only C roughness (terrain roughness)
decreases with the altitude z
Definitions given in EN 1991-1-4 – Table
4.2 and 4.3.1
Z0 appears in Iv(z), the effects of turbulence
Vb,0 leads to → basic wind velocity Vb 25 m/s
Vb leads to → mean wind velocity Vmean (at Ze) 30.5 m/s
Not to apply qp = qp max (at Ze) all over the structural part considered, each intermediary output is worked out at several heights:
� � �1 � 7 � ������ � 12 � ρair � V!"#$²
EN 1991-1-4 – 4.5 gives:
Fm,w(z) is finally derived by summing all values for qp(z).
All values of qp(z) are factored by the same coefficient Cf*Aref (see next page), with Aref divided by the number of intervals used for the calculation of qp.
I&�z� � 1 log �z z,- �.
/0 � � 1234562789: � � ;49;78 � /0,,
/��<= � � 737>39�?@ � � 37A>?84;; � /0
Areas projected perpendicular to one face of the
cross section (= wind angle 0°)
Structural
area
Af (m²)
Secondary
elements
Aa (m²)
Envelope
area Porosity
Base of spire 34.5 13.0 182.7 0.74
Top
part of
spire
Red division 15.9 9.4 32.3 0.22
Brown
division 9.9 2.3 25.9 0.53
Orange
division 9.9 2.5 19.9 0.38
Yellow
division 9.9 2.7 13.9 0.09
Pink division 9.9 0.3 10.2 0.000
Cf Angle for the direction of wind
0° 30° -30° -60°
Base of spire 1.97 2.00 1.99 2.06
Top part
of spire
Red division 1.45 1.47 1.56 1.33
Brown
division 1.83 1.84 1.91 1.91
Orange
division 1.62 1.55 1.69 1.59
Yellow
division 1.64 1.58 1.63 1.52
Pink division 1.95 1.96 1.97 2.01
Geometry for Cf and Aref derivation : Cf derived for the division considered only:
With : �34B � �B � �9
• Yellow and Pink division mainly cladded → Fm,w increases
• High value Aa (secondary elements) for red division make Fm,w higher
Results :
Fm,w(z)
[kN]
Angle for the wind direction (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire 53.5 54.4 54.3 56.1
Top spire
Red division 22.8 23.1 24.6 21.0
Brown
division 14.2 14.3 14.9 14.8
Orange
division 13.1 12.4 13.6 12.8
Yellow
division 13.7 13.2 13.6 12.7
Pink division 13.3 13.3 13.4 13.7
Total for top
spire 77.1 76.3 80.1 75.0
51
v. ANNEXE 5 : Détermination du vent en rafale Ft,w(z)
Gust wind load Ft,w(z):
Eurocode EN 1993-3-1 derives the force produced by gust wind from the mean wind Fm,w(z) (see Annex 4 of this calc).
→Iv(z) = Turbulent intensity (see Annex 3 of this calc)
B² � 1X1 0.9 Z�b h� L�zJ�- \
".Q]^
→ Under resonant frequency response coefficient:
→ Fl, Sl, ηh, ηb derive the structure capacity to
vibrate in its resonant mode (see Annex B.2 EN 1991-
1-4)
→ Zm = height where the wind load is applied. Taken
as half the height of structural part considered
Deriving B² and R² for Cs*Cd
Fl (Zs ; n1) = non dimensional frequency f_�Zs, n1� � n1. L�Zs� v8217 C975�Zs�-
Fl(Zs ; n1) & L(Zs) → Θ (°) 0 30 -30 -60
ηb 0.521 0.521 0.370 0.370
ηh → Θ (°) 0 30 -30 -60
Rh(ηh) 0.564 0.564 0.528 0.528
ηb → Θ (°) 0 30 -30 -60
Rb(ηb) 0.727 0.727 0.793 0.793
→ Θ (°) 0 30 -30 -60
R² 0.234 0.231 0.360 0.416
Deriving Cs*Cd
B² and R² lead to → Θ (°) 0 30 -30 -60
μ (Hz) 0.295 0.294 0.394 0.414
μ leads to → Θ (°) 0 30 -30 -60
kp 3.40 3.40 3.49 3.50
B², R², Iv(Zs) and kp lead to → Θ (°) 0 30 -30 -60
Cs*Cd 1.01 1.01 1.06 1.08
With R about than B/3, resonant response is important. and will imply Cs*Cd (dynamic factor) >1 b² � c² 2d( ef���, gh� bi�ji� bk�jk� → Resonant response (most of the time not
significant compared to B²)
→ µ : Range of effective frequency for
resonance ~ fundamental frequency (1st
mode of
vibration): l � gh mb² n² b²(
op � )2 log �l 600� 0.577 )2 log �l 600�-
→ Kp: peak factor comparing the variation of the
dynamic response to its mean value
�� � � t1 2 op ������ )n² b²u�1 7 �������
→ Cs*Cd = dynamic factor :
ev�wx, g1� � 6.8 zf�wx, g1� �1 10.2 zf�wx, g1��T/]- Sl (Zs ; n1) = Spectral density function
jk {| i � 4.6 �~ �� �� �����- zf��� , gh� ηb and ηh = coefficients for Rb and Rh :
Following example details the calc for red division at bottom of top spire
�� �2. ��.�
���� . �1²
Deriving Sc
$%& '()
'*+,- ./-0� � 1.25 ?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 0.07 0.07 0.04 0.04
Top part of the
spire
Red division 0.25 0.25 0.14 0.14
Brown division 0.28 0.28 0.16 0.16
Orange division 0.37 0.37 0.20 0.20
Yellow division 0.23 0.23 0.12 0.12
Pink division 0.24 0.24 0.11 0.11
$1& 2. 3 '() '(4/5/(,6
� 1.5 ?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 0.21 0.21 0.15 0.15
Top part of the
spire
Red division 0.79 0.79 0.51 0.51
Brown division 0.89 0.89 0.62 0.62
Orange division 1.17 1.17 0.76 0.76
Yellow division 0.74 0.74 0.46 0.46
Pink division 0.79 0.79 0.42 0.42
Results:
67
viii. ANNEXE 8 : Fatigue sous un vent en rafale
Fatigue Verification – Along wind
EN 1993-1-9: 2005 differentiates fatigue check for along wind and cross wind. No interaction asked between the 2 load cases. It recommends the assumptions of no
maintenance throughout the life of the structure: the Safe Life assessment method allows for higher safety factors.
EN 1993-1-9: 2005 chapter 8 requires 2nos verifications for stresses. Stresses are to be calculated under Serviceability Loading. Wind speeds are taken with a 50 years
return period but could be dropped down to 1 year. Loading from Annex 5 - Gust wind are to be applied along every structural members facing the wind, at the same time
for all division considered (red to pink divisions and grey base).
• 1st
check: [1] ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
[2] ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
o ΔσE,2 ; ΔτE,2 = equivalent stress range for reference at 2 million cycles
o ΔσC ; ΔτC = reference value of the fatigue strength at 2 million cycles
o γf = partial safety factor for fatigue
o γMf = partial factor for fatigue strength
• 2nd
check: [3] ∆� � 1.5 � �� for direct stress ranges �4 ∆� � 1.5 � �� √3� for shear stress ranges
o Δσ = unfactored structural direct stress range
o Δτ = unfactored structural shear stress range
o fy = 355MPa
Deriving equation [1]
Δσc (plain members) 125 MPa → for plain members - seamless hollow rectangular sections
Δσc (welded splices) 56 Mpa → for rectangular hollow sections, butt welded end to end - load carrying weld
Δσc (weld attachment) 71 Mpa → for rectangular hollow section, fillet-welded to another section
Codes used: EN 1993-1-9 / EN 1991-1-4 / EN 1993-3-1 / NA to EN 1993-1-9 / PD 6695-1-9 : 2008
�1 ��� � ∆��, �∆��/� �� � 1.0
γf = 1.0 when wind velocities rely on wind
testing and site surveys → fair degree of
confidence
γMf = 1.1 given by PD 6695-1-9. Allowance for a
smaller value of γMf, compared to EN 1993-1-9
for safe life assessment method
ΔσC = fatigue strength at 2 millions cycles given
by tables 8.1 to 8.10 EN 1993-1-9 for several
connection and construction details. NA to EN
1993-1-9 gives strength values for each
category. Strength values match with figure 7.1
EN 1993-1-9 - Fatigue strength curves for direct
stress ranges
ΔσE,2 = λ1* λ2* λi*…* λn* Δσ
→ Δσ = stress range due to the fatigue loading
→ λi = damage equivalent factor for the i-th
fatigue loading spectra
∆��, � � � ∆��
For along and cross wind loading, EN 1993-3-1- Chapter 9.4 gives:
• λ = equivalence factor to transfer Δσ to a reference of 2 million cycles → � � � � �2 � 10!"# $ %&
• ∆��= stress range associated to N wind fatigue loading cycles. Derived from “Robot” under accurate loading
• m = slope of the S-N curve
Following example details calcs for red division at bottom of top spire
For in-line vibrations due to along wind, EN 1993-3-1- Chapter 9.2 gives:
� � 0.55 (Constant for all structural division considered, for shear stress)
• ∆��derived from “Robot” with along wind loading like for [1]: Application of the same simplified method given in
EN 1993-3-1- Chapter 9.2
∆s_/Z`[
MPa
All details 73
ef � ∆th,^
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 5 4 4 4
Top
part of
the
spire
Red
division 1 1 1 1
Brown
division 1 1 1 1
Orange
division 1 1 1 1
Yellow
division 2 2 2 2
Pink
division 2 2 2 2
∆th < 307 MPa?
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire
(grey) 7 8 8 5
Top part
of the
spire
Red
division 3 3 3 3
Brown
division 3 3 2 3
Orange
division 2 2 2 2
Yellow
division 4 4 6 4
Pink
division 4 4 6 4
Deriving equation [4] :
∆� � 1.5 � ��� � 355dVJ"/√3 = 307 MPa
Results – shear stress:
75
ix. ANNEXE 9 : Fatigue sous les effets de vortex
Fatigue Verification – Cross wind
EN 1993-1-9: 2005 differentiates fatigue check for along wind and cross wind. No interaction asked between the 2 load cases. It recommends the assumption of no
maintenance throughout the life of the structure: the Safe Life assessment method allows for higher safety factors.
EN 1993-1-9: 2005 chapter 8 requires 2nos verifications for stresses. Stresses are to be calculated under SLS loading. Wind speeds are taken with a 50 years return period
but could be dropped down to 1 year. Loading from Annex 6_Vortex shedding are to be applied along every structural members facing the wind, on the top 5m of the spire
(half the pink division). Fatigue due to vortex shedding can be worse than along wind effects and governs the design.
• 1st
check: [1] [�� ∗ ∆��,]
[∆��/� �]� ≤ 1.0
[2] [�� ∗ ∆��,]
[∆��/� �]� ≤ 1.0
o ΔσE,2 ; ΔτE,2 = equivalent stress range for reference at 2 million cycles
o ΔσC ; ΔτC = reference value of the fatigue strength at 2 million cycles
o γf = partial safety factor for fatigue
o γMf = partial factor for fatigue strength
• 2nd
check: [3] ∆� ≤ 1.5 ∗ �� for direct stress ranges
[4] ∆� ≤ 1.5 ∗ ��√3� for shear stress ranges
o Δσ = unfactored structural direct stress range
o Δτ = unfactored structural shear stress range
o fy = 355MPa
Deriving equation [1]
Δσc (plain members) 125 MPa → for plain members - seamless hollow rectangular sections
Δσc (welded splices) 56 Mpa → for rectangular hollow sections, butt welded end to end - load carrying weld
Δσc (weld attachment) 71 Mpa → for rectangular hollow section, fillet-welded to another section
Codes used: EN 1993-1-9 / EN 1991-1-4 / EN 1993-3-1 / NA to EN 1993-1-9 / PD 6695-1-9 : 2008
[1] [�� ∗ ∆��,][∆��/� �]� ≤ 1.0
γf = 1.0 when wind velocities rely on wind
testing and site surveys → fair degree of
confidence
γMf = 1.1 given by PD 6695-1-9. Allowance for a
smaller value of γMf, compared to EN 1993-1-9
for safe life assessment method
ΔσC = fatigue strength at 2 millions cycles given
by tables 8.1 to 8.10 EN 1993-1-9 for several
connection and construction details. NA to EN
1993-1-9 gives strength values for each
category. Strength values match with figure 7.1
EN 1993-1-9 - Fatigue strength curves for direct
stress ranges
ΔσE,2 = λ1* λ2* λi*…* λn* Δσ
→ Δσ = stress range due to the fatigue loading
→ λi = damage equivalent factor for the i-th
fatigue loading spectra
∆��, = � ∗ ∆��
For along and cross wind loading, EN 1993-3-1- Chapter 9.4 gives:
• λ = equivalence factor to transfer Δσ to a reference of 2 million cycles → � = � � (2 ∗ 10!)# $%&
• ∆��= stress range associated to N wind fatigue loading cycles. Derived from “Robot®” under accurate loading
• m = slope of the S-N curve
Following example details calcs for red division at bottom of top spire
For perpendicular oscillations due to cross wind, EN 1991-1-4 – Annex E.1.5.2.6 gives N, the number of cycles produced:
• � = 2 ∗ ' ∗ (� ∗ )* ∗ �+,-./.,01+2
$ ∗ exp 6�− +,-./.,01+2
$8
→ T = life time [sec]: 50 years i.e. 1.6*109 seconds
→ Stress range not to be more than 125 MPa. Connections can be strengthened with plates or bolts to match other values.
→ Ny = natural frequency of cross-wind mode. Same frequency as for every part of the spire
θ 0 30 -30 -60
Ny [Hz] 0.73 0.73 0.64 0.64
→ )*= 0.3. Bandwidth factor describing the band of wind velocities given by EN 1991-1-4 - annex E
→Vcritical given by EN 1991-1-4 – annex E. Stands for the wind velocity creating vortex shedding around the structure.
θ 0 30 -30 -60
Vcritical [m/s] 7.9 7.9 7.1 7.1
.
→ V0 = 20% * Vmean wind. Vmean wind at the tip of spire is given by annex 6_vortex shedding of this calc.
V0 = 0.20*31.7 = 6.35 [m/s]
→ N:
θ 0 30 -30 -60
N cycles 2.3* 108
2.3* 108 2.2* 10
8 2.2* 10
8
• m =5 according to Figure 7.1 EN 1993-1-9 – S-N curve for direct stress levels near 108 cycles
• � = � � (2 ∗ 10!)# $%
&9: :
θ 0 30 -30 -60
λ 2.58
2.58 2.56 2.56
Fw(z) applied along structural members
perpendicularly to the wind direction, in kN/m. As
specified in annex 5_Vortex shedding.
A bar analysis in “Robot” gives �;<=> ?@>A BCD.
∆�� = 2 ∗ |�;<=> ?@>ABCD|. After ∆�� is transferred to 2 million cycles (∆��,),
results interpretation consists in verifying
equation [1] from the bottom to the tip of the
structure
θ 0 30 -30 -60
σ max [Fw(z)] (MPa) 5.0 5.0 7.3 7.3
σ min [Fw(z)] (MPa) -5.0 -5.0 -7.3 -7.3
ΔσE (MPa) 10 10 15 15
θ 0 30 -30 -60
Equivalent ΔσE2 at 2*106
cycles (MPa) 25 25 37 37
θ 0 30 -30 -60
FG ∗ ∆HI,J 25 25 37 37
∆HK/FLG Plain members 114
Welded splices 59
Weld attachment 65
θ 0 30 -30 -60
∆H 6.5 6.5 7.2 7.2
M. N ∗ GO 530
�� ∗ ∆��, ≤ ∆��/� �
[1] verified if:
Deriving equation [3]
∆� ≤ 1.5 ∗ (�� = 355PQC)
RS ∗ ∆TU,J
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 134 134 106 106
Top part of the
spire
Red division 25 25 37 37
Brown division 28 28 38 38
Orange division 23 23 30 30
Yellow division 79 79 64 64
Pink division 79 79 64 64
∆HK/FLG MPa
Plain
members 114
Welded
splices 59
Weld
attachment 65
∆TU < [1.5*fy =530]?
[MPa]
Angle for the direction of wind (°)
0° 30° -30° -60°
Base of the spire (grey) 18.0 18.0 12.0 12.0
Top part of the
spire
Red division 6.5 6.5 7.2 7.2
Brown division 7.0 7.0 8.5 8.5
Orange division 7.0 7.0 8.1 8.1
Yellow division 30.0 30.0 28.2 28.2
Pink division 30.0 30.0 28.2 28.2
Results – direct stress:
[�� ∗ ∆��,][∆��/� �]� ≤ 1.0
• N (idem as [1])
θ 0 30 -30 -60
N cycles 2.3* 108
2.3* 108 2.2* 10
8 2.2* 10
8
• � = V� (2 ∗ 10!)# W%
&9: (XY- Z [\0- %2] ,^,1\_)
θ 0 30 -30 -60
λ 2.58
2.58 2.56 2.56
• ∆�� derived from “Robot®” with cross wind loading like for [1].