UNIVERSITÉ DE LIÈGE Faculté des Sciences Appliquées Institut d'électricité Montefiore Dimensionnement d'une jonction triphasée Travail de fin d'études présenté par Olivier Houet en vue de l'obtention du grade académique d' Ingénieur Civil Électromécanicien (Électricité) Année Académique 1997-1998
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Dimensionnement d'une jonction triphasée · centrale doit ensuite être acheminée vers les usagers via des lignes de transport et de distribution. Ces lignes, souterraines ou aériennes,
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UNIVERSITÉ DE LIÈGE
Faculté des Sciences Appliquées
Institut d'électricité Montefiore
Dimensionnementd'une jonction triphasée
Travail de fin d'études présenté par
Olivier Houet
en vue de l'obtention du grade académique d'
Ingénieur Civil Électromécanicien (Électricité)
Année Académique 1997-1998
1
Remerciements.
Ce travail représente l'aboutissement de mes études d'ingénieur civil. Il est à la fois le fruit
d'une démarche personnelle et d'une collaboration fructueuse avec d'autres personnes.
Et puisqu'il est l'heure des remerciements, qu'il me soit permis de présenter les personnes
auxquelles je pense le plus :
En premier lieu, je me dois de remercier mes parents et ma famille pour leur amour et leur
soutien tout au long de mes études.
Je tiens ensuite à exprimer toute ma gratitude et ma sympathie à Monsieur le Professeur
Jean-Louis Lilien pour sa guidance exceptionnelle, pour sa disponibilité sans égale et
particulièrement pour ses nombreux encouragements.
Par la même occasion, je ne voudrais pas oublier l'ensemble du service de Transport et
Distribution de l'Énergie Electrique du Professeur Pol Pirotte.
Je ne peux terminer sans mentionner toutes celles et tous ceux qui, de près ou de loin m'ont
également aidés pour ce travail, et parmi celles-ci : Jean-François Colson, Pascal Dal Farra,
Jean-Claude Delclisard, Fabrice Delfosse, Christophe Druet, Damien Ernst, Ivan Fontaine,
Anne-Catherine Geets, Grégory Pelzer et Jean-Michel Toussaint.
Olivier Houet.
2
Préface.
Dans notre monde industrialisé, la Fée Électricité comme beaucoup l’appellent est
omniprésente. Issue de diverses sources primaires possibles, l'énergie électrique produite en
centrale doit ensuite être acheminée vers les usagers via des lignes de transport et de
distribution. Ces lignes, souterraines ou aériennes, jouent un rôle aussi fondamental que celui
des centres de production. En amenant sous tension d'usage l'énergie vers les consommateurs,
elles augmentent la valeur intrinsèque de cette énergie. Ceci justifie les dépenses
d'investissement et d'exploitation nécessaires à ce transport et à cette distribution.
Ce travail a pour but de faire créer un programme recherchant le moyen le plus économique
pour alimenter une charge de caractéristiques données. Deux grands domaines seront
examinés : tout d'abord les lignes aériennes, et ensuite les câbles souterrains.
Dans les deux cas nous rappellerons la théorie développée, avant de définir les contraintes qui
devront être respectées. Ensuite nous appliquerons les résultats de ce programme à la
recherche de caractéristiques fondamentales dans le dimensionnement et la modélisation d'une
ligne aérienne. Pour conclure, nous terminerons par deux exemples de résolution de
TABLE DES MATIÈRES. ......................................................................................................................................... 3
SECTION 1 LES LIGNES AÉRIENNES .......................................................................................................... 6
1. INTRODUCTION ET OBJECTIF. ........................................................................................................................... 7
2. PRÉSENTATION DE L’ALGORITHME................................................................................................................... 8
3. MÉTHODE DE DIMENSIONNEMENT. ................................................................................................................ 10
3.1. Boucle sur les conducteurs. .................................................................................................................. 10
3.2. Le critère de court-circuit. .................................................................................................................... 11
3.3. Critère de courant nominal................................................................................................................... 12
3.4. Critère de la chute de tension. .............................................................................................................. 14
3.5. Boucle sur la tension mécanique........................................................................................................... 14
3.6. Calcul des Psi et Péq. ........................................................................................................................... 15
3.7. Calcul des portées hypothétiques.......................................................................................................... 17
3.8. Calcul de paramètres divers. ................................................................................................................ 23
3.9. Calcul de la longueur des chaînes d'isolateurs..................................................................................... 24
3.10. Calcul de la géométrie et des coûts des supports................................................................................ 29
3.11. Effet de couronne. ............................................................................................................................... 34
3.12. Calcul des coûts. ................................................................................................................................. 34
3.13. Moins cher que l'Idéal ?...................................................................................................................... 37
3.14. Présentation des résultats. .................................................................................................................. 37
4.1. Faisceaux de conducteurs. .................................................................................................................... 39
4.2. Câble de garde...................................................................................................................................... 40
2.2. Niveau perturbateur.............................................................................................................................. 66
3. CALCUL DU CHAMP ÉLECTRIQUE. .................................................................................................................. 71
5.2. La transformation de Fortescue............................................................................................................ 79
5.3. La ligne de Carson................................................................................................................................ 81
5.4. Calcul de l'impédance triphasée et séquentielle. .................................................................................. 84
5.5. Présence d'un câble de garde. .............................................................................................................. 86
6. CALCUL DES CAPACITÉS HOMOPOLAIRES. ..................................................................................................... 88
6.2. Sans câble de garde. ............................................................................................................................. 88
6.3. Présence d'un câble de garde. .............................................................................................................. 90
SECTION 3 LES CÂBLES SOUTERRAINS.................................................................................................. 92
1. INTRODUCTION ET OBJECTIF. ......................................................................................................................... 93
2. RAPPELS SUR LA CONSTITUTION DES CÂBLES. ............................................................................................... 94
2.1. Les matériaux utilisés............................................................................................................................ 94
2.2. Les différents isolants............................................................................................................................ 95
2.3. L'ensemble gaine et écran..................................................................................................................... 96
2.4. Fourniture des câbles. .......................................................................................................................... 97
2.5. Pose du câble. ....................................................................................................................................... 98
2.7. Les pertes. ............................................................................................................................................. 99
3. PRÉSENTATION DE L’ALGORITHME ET CALCUL DES CONTRAINTES............................................................... 100
3.1. Algorithme de calcul. .......................................................................................................................... 100
3.2. Contrainte de court-circuit. ................................................................................................................ 101
3.3. Chute de tension.................................................................................................................................. 102
Ouvrages de référence. .............................................................................................................................. 139
Les lignes aériennes................................................................................................................................... 139
Calcul des caractéristiques R-L-C. ............................................................................................................ 139
Perturbations dues à l'effet de couronne. .................................................................................................. 140
Calcul du champ électrique et du champ magnétique. .............................................................................. 140
Calcul de l'impédance et des capacités homopolaires. .............................................................................. 140
où : PrixKg est le prix au kg du matériau utilisé. Des ordres de grandeurs sont fournis par le
programme. Ils sont de 80 FB/kg pour le cuivre, 70 FB/kg pour l'aluminium et 100
FB/kg pour l'AMS ;
ρ est la masse volumique du matériau à la température de service ;
Longueur est la longueur de la jonction ;
Section est bien entendu la section des conducteurs.
3.12.e. Coût du tirage des conducteurs.
Le tirage constitue l'étape de placement des conducteurs, c'est-à-dire leur suspension aux
supports. Il paraît évident que le coût sera différent en fonction de l'accessibilité aux supports.
Pourtant, nous allons modéliser ce coût par un terme constant et un terme proportionnel à la
section. En effet, les frais d'installation seront d'autant plus importants que le conducteur est
lourd.
Coût = Longueur . (291 . S + 54 465) (3.60)
où la section est exprimée en mm2 et la longueur en km.
3.12.f. Coût des pertes actualisées.
Les pertes par effets Joule peuvent être évaluées à partir de l'équation :
S
fpNIL3 2 ⋅⋅⋅⋅⋅ρ⋅[FB] (3.61)
où :
ρ = résistivité du conducteur [Ω.m] à la température de service à la fréquence de service ;
L = longueur de la liaison [m] ;
I = courant parcourant le câble en début de vie (car on multiplie ce courant par le facteur
d’actualisation f) [A] ;
N = nombre d'heures par année d'utilisation à pleine charge du point de vue des pertes (pour
les pertes, une heure d'utilisation à mi-charge équivaut à un quart d'heure d'utilisation à
pleine charge) [h/an].3 ;
p = prix du kWh de pertes [FB/Wh] ;
S = section du conducteur [m2].
3 ∫ ⋅=h 8760
02MAX
2
dtI
)t(IN où 8760 heures équivalent 1 an.
SECTION 1 : LES LIGNES AÉRIENNES 37
Le facteur f, qui est le facteur d'actualisation, prend en compte l'érosion de la valeur de
l'argent au cours des années. Il est calculé comme suit :4
fQ
ioù Q
rr
avec r
a b
i
T
=+
=−−
=+
+
+
1100
11
1100
1100
1100
2
.(3.62)
3.13. Moins cher que l'Idéal ?
Ce critère compare le coût total de la ligne aérienne avec les valeurs (S,T) définies avec le
coût total minimal calculé jusqu'à présent (l'Idéal). Ce coût Idéal est initialisé avec une valeur
astronomique afin que la première solution valable soit moins chère que l'Idéal. Ensuite
l'algorithme suivra son cours …
Dans le cas où la configuration calculée est moins coûteuse que l'Idéal, on redéfinit l'Idéal
avec ce nouveau conducteur et tous les paramètres associés.
Lorsqu'on arrive à la fin de la base de donnée, il suffit de présenter les résultats à l'utilisateur.
3.14. Présentation des résultats.
Notre programme permet à l'utilisateur de récupérer les informations soit de manière visuelle,
soit via un fichier texte nommé RESULTAT.TXT.
Lorsqu'une solution optimale a été trouvée, le programme montre à l'utilisateur quels
paramètres ont été employés.
Il présente tout d'abord les caractéristiques du conducteur idéal : son nom, sa section, son
diamètre, …
Il propose ensuite les caractéristiques géométriques des supports de suspension, d'arrêt et
d'angle. On y retrouve les coordonnées d'accrochage des phases avec pour origine le pied du
pylône. Y figurent également les coûts des différents modèles.
4 Explications supplémentaires sur l'obtention des formules à l'annexe A.
SECTION 1 : LES LIGNES AÉRIENNES 38
Le point suivant concerne les isolateurs : type d’assiette, nombre d’assiettes, poids total, prix et
longueur.
Ensuite, c'est des caractéristiques générales de la ligne que notre programme indique. Par
exemple le nombre total de pylônes, la portée moyenne et les tensions mécaniques dans les
quatre hypothèses (été, hiver, canicule et Everyday stress), calculées via l'équation d'état.
A ce sujet, l'utilisateur constatera que l'Everyday Stress est proposé en pourcentage de la
tension de rupture du conducteur. Le résultat doit être aux environs de 20 %. S'il est supérieur
à 25 %, on risque de voir apparaître un vieillissement prématuré du câble par fatigue, dû aux
vibrations éoliennes. La solution proposée alors est de modifier le coefficient de sécurité (voir
3.7.c.), ce qui a pour effet de limiter la tension mécanique maximale acceptable dans les
conducteurs.
Finalement, nous obtenons tous les coûts calculés précédemment.
L'utilisateur a alors la possibilité de soit revenir en arrière et modifier une ou l'autre donnée,
soit continuer et utiliser les modules supplémentaires.
SECTION 1 : LES LIGNES AÉRIENNES 39
4. Compléments.
4.1. Faisceaux de conducteurs.
L'utilisation de faisceaux de conducteurs est utilisée afin de diminuer le champ électrique
superficiel et donc les effets de couronne. En effet, en électrostatique, un système de n
conducteurs de rayon r situés sur une circonférence de rayon R est équivalent à un conducteur
fictif de rayon :
néquivalent R
rnRR
⋅⋅= (4.1)
Ce procédé permet de maintenir dans des limites raisonnables l'intensité maximale du champ
électrique.
Nous allons présenter la manière que nous avons choisie pour appréhender ce problème.
Tout d'abord, lors du critère de court-circuit, nous déterminons la section minimale qui permet
de supporter le courant de court-circuit. Nous la comparons alors avec la section du
conducteur. Dans le cas de plusieurs conducteurs en faisceaux, nous multiplions la section du
conducteur par le nombre de sous-conducteurs.
De la même manière lors du critère de courant nominal, nous multiplions la section du
conducteur par le nombre de sous-conducteurs.
Ensuite, pour le critère de la chute de tension, nous obtenons la résistance linéique minimale
qui donne la chute de tension fixée par l'utilisateur. Nous la comparons ensuite à celle du
conducteur. Dans le cas de faisceaux, les résistances sont placées en parallèle et donc nous
devons multiplier la section minimale par le nombre de sous-conducteurs.
La boucle sur la tension mécanique nous donne la tension mécanique dans les conditions
canicule, et concernant un seul conducteur dans un faisceau.
L'angle que fera la portée suite à l'effet du vent et de son propre poids est identique au cas du
conducteur unique : le poids est multiplié par le nombre de sous-conducteurs mais l'effort dû
au vent est lui aussi multiplié par le nombre de sous-conducteurs.
SECTION 1 : LES LIGNES AÉRIENNES 40
Le calcul des portées et de l'équation d'état ne doit pas être influencé par le nombre de sous-
conducteurs : le comportement d'un seul est suffisant puisque la tension de référence est celle
d'un conducteur du faisceau. Etant donné qu’ils subissent les mêmes contraintes, il peuvent
être étudiés indépendamment les uns des autres.
Dans le calcul des chaînes d'isolateur, le paramètre de poids n'est plus celui d'un seul
conducteur, mais du faisceau tout entier. On multiplie donc le poids linéique par le nombre de
sous-conducteurs.
Dans la recherche du gabarit des pylônes, nous devons tenir compte du nombre de sous-
conducteurs car les efforts sont plus importants. Les différences se situent lors du calcul de
M1, M2 et du prix de la ferrure. Les distances sont elles aussi modifiées par l'écartement entre
sous-conducteurs.
Le critère de l'effet de couronne doit évidemment tenir compte du nombre de sous-
conducteurs. En effet, la présence de couronne est due au champ superficiel et au rayon de
courbure du conducteur. En faisceau, on dispose d'un conducteur équivalent de rayon de
courbure plus important (voir équation 4.1), d'où diminution de l'effet couronne.
Dans le calcul du coût des conducteurs, nous devons multiplier le nombre de phases par le
nombre de sous-conducteurs par phases. Idem pour le tirage. Concernant les pertes par effet
Joule, nous devons les diviser par le nombre de sous-conducteurs : la résistance de faisceaux
de conducteurs est n fois moins importante que celle de conducteurs simples.
4.2. Câble de garde.
Le rôle du câble de garde est de protéger la ligne aérienne de la foudre. Il joue aussi un rôle
important au niveau des caractéristiques RLC, du champ électrique généré par la ligne et des
caractéristiques séquentielles de la ligne.
La question qui se posait était : comment le dimensionner ? Voici les critères que nous avons
considérés pour le dimensionnement.
Sa section est, par définition, au minimum égale à celle du court-circuit. Ensuite, la flèche
maximale du câble de garde doit être au pire égale à celle des conducteurs, afin de respecter la
distance phase-terre. Enfin, il devra supporter la tension mécanique dans les conditions été ou
SECTION 1 : LES LIGNES AÉRIENNES 41
hiver, ainsi que l'éventuelle surcharge de givre à laquelle il est plus sensible vu sa faible
section. Une dernière condition doit être respectée : l'Everyday stress ne peut pas dépasser 20
à 25% de la tension de rupture du câble de garde.
Nous avons développé une boucle supplémentaire, placée dans l'algorithme juste après la
détermination de la flèche maximale, et qui trouve le conducteur de section minimale vérifiant
les conditions ci-dessus à partir d'une base de donnée supplémentaire.
L'influence du câble de garde se ressent au niveau de la géométrie du pylône : sa hauteur est
augmentée, afin de pouvoir respecter la distance phase-terre. Mais c'est surtout au niveau des
efforts qu'il intervient : son poids, sa traînée au vent et sa tension mécanique ne peuvent
qu'augmenter l'effort en tête du pylône, et donc son coût. Il n'est pas gratuit non plus : les
coûts d'achat et de tirage seront augmentés.
Section 2
Modules complémentaires
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 43
1. Calcul des caractéristiques R,L,C.
1.1. Introduction.
Nous allons étudier les caractéristiques longitudinales (les résistances des conducteurs et les
inductances entre les conducteurs) et les caractéristiques transversales (la capacité des
conducteurs) d'une ligne aérienne. Les résultats d'une analyse des caractéristiques R, L et C
d'une ligne sont vitales dans le cadre de la modélisation d'un réseau, c'est pourquoi nous avons
créé ce module.
1.2. Rappels.
1.2.a. Schéma équivalent d'une ligne.
Une ligne aérienne (de longueur inférieure à 100 km) peut se mettre sous la forme du schéma
équivalent suivant :
Figure 1.1 : schéma équivalent d'une ligne aérienne.
Le schéma est composé par :
• L'impédance effective longitudinale (composée de la résistance linéique R et de la
réactance linéique X = j.ω.L) :
Zlongitudinale = R + j.X [Ω/m] (1.1)
• L'impédance effective transversale composée de la susceptance linéique :
Y = j.ω.C [S/m] (2.2)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 44
1.2.b. Partie résistive.
Partons de la loi d’Ohm locale :
EJrr
⋅σ= [A/m2] (1.3)
où : J est la densité de courant [A/m2] ;
σ est la conductivité électrique [Ω-1m-1] ;
E est le champ électrique [V/m].
La loi de Pouillet s'en déduit aisément pour un conducteur de longueur l [m], de section S
[m2] et de conductivité σ [Ω-1m-1], parcouru par un courant continu, nous trouvons :
S
l
S
lR
⋅ρ=⋅σ
= [Ω] (1.4)
où ρ = 1/σ est la résistivité du conducteur [Ωm].
Par extension, la loi d'Ohm est utilisée en régime quasi-stationnaire. Ce régime introduit des
modifications dans la répartition du courant dans les conducteurs.
Les courants alternatifs qui circulent dans les conducteurs créent un champ d'induction
magnétique qui existe non seulement entre les conducteurs, mais aussi à l'intérieur de ceux-ci.
Un contour fermé à l'intérieur d'un conducteur embrasse un flux d'induction variable et se
trouve être le siège d'une tension induite, qui provoque à son tour des courants induits dans le
métal. Ces courants appelés courants de Foucault modifient la répartition du vecteur J densité
de courant admise uniforme en première approximation. Plus la fréquence est élevée et
l'épaisseur des conducteurs forte, plus l'effet des courants de Foucault est important. La
répartition du courant à l'intérieur d'un conducteur plein ou d'un faisceau de conducteurs est
différente en courant alternatif de ce qu'elle est en courant continu.
Pour un conducteur, le courant utilisera essentiellement la surface externe du conducteur
(effet pelliculaire1). Pour un faisceau de conducteurs, le courant empruntera la surface interne
des conducteurs (effet de proximité2).
1 La profondeur de pénétration de l'effet pelliculaire ou effet de peau est défini comme θ = 2
0ω σ µ avec ω la
pulsation du courant, σ la conductivité du milieu, µ0 perméabilité du vide. La densité de courant en surface estd'autant plus marquée que l'épaisseur du matériau est grande ou que ω est élevée.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 45
Lors d'un défaut à la terre, les courants de retour par la terre circulent essentiellement en
surface (effet pelliculaire1) et suivent le tracé de la ligne (effet de proximité2).
La difficulté d'introduire dans les calculs le conducteur terre provient du fait que les
dimensions de la couche de terre par où passe le courant sont mal définies, que la répartition
du courant dans cette couche n'est pas uniforme et que la résistivité du sol est irrégulière dans
l'espace et variable au cours du temps. Nous devons aussi nous attendre à trouver toutes sortes
de canalisations enterrées (eau, gaz, câbles, ... ), particulièrement aux voisinages des lignes
électriques. La résistivité du sol peut ainsi varier suivant l'endroit et les conditions
météorologiques entre 0,1 et 109 Ω.m. La résistance du sol dépend très fort de la fréquence,
du courant et de la résistivité du sol (figure 1.2).
Figure 1.2 : résistance linéique en fonction de la fréquence.
Pour un courant de fréquence 50 Hz, la profondeur de pénétration pour un conducteur de
cuivre vaut 10 mm et pour un sol de résistivité 2 Ω.m elle vaut 100 m.
Nous pouvons donc assimiler le sol à un conducteur de 100 m de rayon. La résistance du sol
est donc de 70 mΩ/km
La résistivité d'un matériau croît avec la température selon la loi :
)1(0 αθ+ρ=ρθ [Ω.m] (1.5)
2 L'effet de proximité est le phénomène par lequel le courant alternatif à tendance à emprunter des chemins aussi
voisins que possible pour l'aller et le retour.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 46
où ρ0 est la résistivité du conducteur à 0°C [Ω.m] ;
α est le coefficient de température [°C-1] ;
θ est la température [°C].
1.2.c. Réactance longitudinale (inductance).
Une inductance (supposée linéaire) est toujours le quotient d’un flux, embrassé par le contour,
par le courant qui en est la cause. Elle est déterminée par la relation :
i/L φ= [H] (1.6)
où φ est le flux induit par le courant [Wb] ;
i est le courant circulant dans le conducteur [A].
Nous avons deux types d'inductances :
• Inductance propre : La self-inductance d'un conducteur électrique parcouru par un courant
est défini à un instant donné comme étant le rapport entre les valeurs du flux induit par le
courant et ce courant lui-même.
• Inductance mutuelle : L'inductance mutuelle se manifeste par l'interaction entre les
conducteurs de phases, les conducteurs des différents ternes et tous les conducteurs
parcourus par un courant tel que le fil de garde et le retour par la terre.
1.2.d. Réactance transversale (capacité).
Nous pouvons assimiler les lignes aériennes à un condensateur qui est constitué de deux
conducteurs (les conducteurs de phase et la terre). A cause de la présence des charges, sur ces
deux conducteurs, le potentiel a des valeurs différentes sur ces deux-ci. Si nous prenons
comme valeur du potentiel de la terre la valeur zéro (la référence), la valeur de la tension des
conducteurs de phase représente la différence de potentiel.
La relation linéaire qui lie la charge électrique (q+, q-) sur les deux conducteurs et la
différence de potentiel entre ceux-ci est donnée par :
u/qC = [F] (1.7)
1.2.e. Systèmes équilibrés et déséquilibrés.
Les réseaux sont dit "parfaitement équilibrés" si les amplitudes des courants de phase et les
amplitudes des tensions phase-terre sont égaux (I1 = I2 = I3 = I et U1 = U2 = U3 = U).
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 47
Pour un système triphasé équilibré parfaitement, ceci se traduit par :
⋅=π+ω⋅=
⋅=π−ω⋅=
ω⋅=
Ia)3
2tsin(Ii
Ia)3
2tsin(Ii
tsinIi
3
22
1
[A] (1.8)
où effI2 I ⋅= [A] (1.9)
et donc 0i3
1kk =∑
=(1.10)
Ce qui signifie que la somme des courants de phase est nulle.
⋅=π+ω⋅=
⋅=π−ω⋅=
ω⋅=
Ua)3
2tsin(Uu
Ua)3
2tsin(Uu
tsinUu
2n3
n2
n1
[V] (1.11)
où effU2 U ⋅= [V] (1.12)
et donc 0u3
1kkn =∑
=(1.13)
Ce qui signifie que la somme des tensions phase-neutre est nulle.
Certains réseaux peuvent être équilibrés soit en courant ou soit en tension.
Lors d'une perturbation sur une ligne (foudre, défaut à la terre, ... ), les courants de phases ou
les tensions phase-terre ne sont plus égaux. Nous avons un courant de retour qui circule soit
par le fil de garde (s'il existe), soit par la terre.
Nous avons deux types de systèmes déséquilibrés :
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 48
1. Système déséquilibré géométriquement : nous pouvons compenser un déséquilibre pardes méthodes de transposition (ce qui consiste à inverser régulièrement les phases surla longueur de la ligne).
2. Système déséquilibré électriquement : ces systèmes sont traités par les de Clarck ou
de Fortescue.5
Dans ce cas, il faut tenir compte des conducteurs de phases mais aussi du fil de garde et de la
terre.
1.2.f. Les réseaux symétriques.
Tous les réseaux électriques peuvent être représentés par une matrice d'impédance Z telle que:
[U] = [Z] [I] [V] (1.14)
où U est le vecteur tension phase-neutre et I le vecteur courant de phase.
Tous les réseaux équilibrés peuvent être découplés.
Si de plus la matrice d'impédance Z est de symétrie au moins circulante telle que :
⋅
=
3
2
1
ACB
BAC
CBA
3
2
1
i
i
i
ZZZ
ZZZ
ZZZ
u
u
u
[V] (1.15)
où la matrice Z est de symétrie circulante.
Ce système peut se réduire à trois relations similaires mais déphasées de 120°. L'analyse du
système total se réduit à l'étude d'une phase unique (gain de temps).
Si de plus la matrice d'impédance Z est de symétrie complète (ZB = ZC), le système se réduit à
trois relations identiques et nous pouvons de nouveau analyser uniquement une phase.
5 Ces méthodes permettent d'étudier à la place du système déséquilibré, trois sous systèmes équilibrés (direct,
inverse, homopolaire) ce qui facilite l'analyse de ce système.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 49
1.3. Etude des caractéristiques longitudinales.
Pour rendre compte des effets produits par la résistivité des métaux qui constituent les
conducteurs d’une ligne électrique, et par la résistivité du sol considéré comme nème-conducteur, on va introduire les notions de résistances linéiques ’
n’2
’1 R, ... ,R,R [Ω/m].
Pour rendre compte des effets des flux d’induction magnétique circulant autour et entre les
conducteurs, voire à l’intérieur même de ceux-ci, on introduit les notions d’inductanceslinéiques propres et mutuelles (M Mii ij
’ ’, ) [H/m].
1.3.a. Induction magnétique créée par un conducteur seul.
Le passage d’un courant électrique i, dans un conducteur cylindrique de longueur supposée
infinie, crée un champ d’induction magnétique circulaire dont la composante tangentielle à
l’extérieur du conducteur est donnée par le théorème d'Ampère :
r2
iB 0
⋅π⋅⋅µ
= [T] (1.16)
La figure 1.3 représente B = f( r ) pour un conducteur plein, pour un courant continu i = I.
Figure 1.3. Composante tangentielle de B conducteur plein.
1.3.b. Géométrie du système à n conducteurs.
Lorsqu’il y a plusieurs conducteurs, l’induction résultante est la somme des vecteurs
d'inductions produits par chaque conducteur, pour autant qu’il n’y ait aucun corps saturable
dans le voisinage.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 50
Soit un ensemble de n conducteurs cylindriques et creux parcourus par les courants i1, i2,.., in.
Le sol est assimilé à un conducteur de propriété différente (l’indice n sera attribué à ce
conducteur).
Remarque : on calculera en première approximation toutes les inductances propres et
mutuelles linéiques comme si tous les conducteurs étaient creux, puis on ajoutera le
supplément de l’inductance propre et le cas échéant, de l’inductance mutuelle
correspondant aux conducteurs pleins. Dans ce cas, On a l’expression de ceux-ci
corrigés :
π⋅⋅µ⋅µ
+=8
kMM nrn0’
ij’
cor,ij [H] (1.17)
avec 70 104 −⋅π⋅=µ [H/m].
π⋅⋅µ⋅µ
+π⋅
⋅µ⋅µ+=
8
k
8
kMM nrn0iri0’
ii’
cor,ii [H] (1.18)
avec µrn = µrn = 1 [H/m], où µrn et µrn sont les perméabilités relatives du conducteur
commun n et du conducteur i. Les facteurs kn et ki sont nuls si les conducteurs
correspondants sont creux, ils prennent la valeur 1 s’ils sont pleins ou encore une
valeur comprise entre 0 et 1 si le tube conducteur est non négligeable, ou lorsqu’on
veut tenir compte de l’effet pelliculaire.
Figure 1.4. Géométrie des n conducteurs.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 51
Nous définissons les grandeurs suivantes qui se rapportent à la figure 1.4. :
• rij = rji la distance entre axes de conducteurs i et j.
• rii le rayon du conducteur i.• ρi la résistivité du conducteur i.
• i i le courant dans le conducteur i, compté positivement dans le sens des x
croissant.
• uij la tension transverse entre le conducteur i et le conducteur j.
• x
uu ij’
ij ∂∂
= l’accroissement linéique de la tension uij.
1.3.c. Flux embrassé par deux conducteurs dans un système à n conducteurs.
Comme la somme des courants doit être nulle, on peut choisir l’un des conducteurs comme
conducteur de retour (c’est le cas pour le sol qui sera considéré comme le conducteur n).
in= - ( i1 + i2 +...+ in-1 ) [A] (1.19)
On obtient de cette manière un ensemble de (n-1) dispositions similaires formées par des
paires de conducteurs 1 et n, et 2 et n, etc., (n-1) et n. On peut donc se limiter à l’étude d’une
seule paire formée par un conducteur d’aller et le conducteur de retour n, les phénomènes
étant similaires pour les autres paires.
Par exemple pour la paire 3 et n ( figure 1.5 ), le flux élémentaire ∆φ3n (provenant de chaque
conducteur) embrassé par ces conducteurs sur la longueur ∆ x est :
n,n33,n32,n31,n3n3 φ∆+φ∆+φ∆+φ∆=φ∆ [Wb] (1.20)
où ∆φ3n est le flux d’induction embrassé par un rectangle ABCDA dont les côtés AB et CD
sont situés respectivement dans les conducteurs 3 et n à des endroits quelconques à l’intérieur
de ces derniers.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 52
Figure 1.5. Flux élémentaire n3φ∆ embrassé
par les conducteurs 3 et n sur la longueur x∆ .
La liaison entre le flux embrassé et l'induction est donnée par le théorème de Gauss :
∫ ⋅⋅=φS
dSnBrr
[Wb] (1.21)
En précisant les limites d’intégration dans les expressions des ∆φ3n k, et en tenant compte de
l'équation (1.16), nous trouvons :
113
n10r
r
101,n3 i
r
rln
2xdr
r2
ix
n1
13
⋅
π
µ∆=
πµ∆=φ∆ ∫ [Wb] (1.22)
333
n30r
r
303,n3 i
r
rln
2xdr
r2
ix
n3
33
⋅
π
µ∆=
πµ∆=φ∆ ∫ [Wb] (1.23)
1.3.d. Tension induite entre deux conducteurs.
Choisissons un contour ABCD qui passe à l’intérieur des conducteurs 3 et n et aux abscisses x
et x+∆x (figure 1.5). La tension induite par la variation du flux d’induction dans le contour
ABCDA est égale à la dérivée du flux embrassé dû à tous les courants voisins, y compris le
courant propre (loi de Lenz) :
∫φ∆
−=dt
dEdI n3 (1.24)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 53
On peut exprimer ces deux grandeurs en remontant aux définitions de la figure 1.5.
∫ ∆=A
B3
’3 xiREdI (1.25)
avec3
3’3 S
Rρ
= (1.26)
xx
uuEdI
C
B
n3n3 ∆
∂∂
+=∫ (1.27)
n
D
C
’n xiREdI ∆−=∫ (1.28)
∫ −=A
Dn3uEdI (1.29)
∑=
φ∆=φ∆n
1kk,n3n3 (1.30)
où ∆φ3n k, est la part du flux dû au conducteur k, ce qui nous donne pour le contour ABCD
n3n’n
’n3n33
’3
n3 uxiRxuuxiRdt
d−∆−∆++∆=
φ∆− (1.31)
où R3’ et Rn
’ sont les résistances linéiques des conducteurs 3 et n définie par (1.4) et
u'3 = ∂∂u
xn3 est l'accroissement linéique de tension.
D'une manière générique et en tenant compte de la relation (1.31), nous pouvons écrire :
-u'kn = R'k . ik +R'n ∑−
=
1n
1jji + ∑
−
=
φ∆1n
1jj
j,kni
dt
d+ ∑
−
=
φ∆1n
1jj
n,kn idt
d(1.32)
1.3.e. Matrices des résistances et des inductances longitudinales linéiques.
En exprimant les équations fondamentales de la tension induite relation (1.31), on obtientl’équation matricielle des accroissements linéiques de tension uin
’ le long du circuit formé par
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 54
les conducteurs i et n dus à la somme des résistances des conducteurs, ainsi qu’aux flux
d’inductions mutuels ou propres créés par l’ensemble des n courants.
⋅
++++++
=
−
−−
−− 1n
2
1’22
’n
’2
’21
’n
’12
’n
’11
’n
’1
’n)1n(
’n2
’n1
i
:
:
i
i
¨¨¨¨¨¨¨::
¨¨¨¨¨¨::
¨¨¨¨¨¨::
¨¨¨¨¨¨)sMRR()sMR(
¨¨¨¨¨¨)sMR()sMRR(
u
:
:
u
u
(1.33)
où s = ∂∂ t
est l’opérateur de dérivation par rapport au temps, avec :
l'inductance linéique mutuellennij
injn0’ijji rr
rrln
2M’M
πµ
== [H/m] (1.34)
l'inductance linéique proprennii
2in0’
ii rr
rln
2M
πµ
= [H/m] (1.35)
la tension linéiquex
uu in’
in ∂∂= [V/m] (1.36)
Il faut tenir compte de la correction à apporter aux deux valeurs de l’inductance si le
conducteur est plein (voir remarque précédente).
EXTENSION A UN SYSTEME TRIPHASE EQUILIBRE.
Dans l’hypothèse d’un réseau triphasé parfaitement équilibré ( ikk =∑ =
1
3
0 , In=0), nous avons
donc trois phases variant sinusoïdalement. La relation matricielle (1.23) devient :
⋅
++
+=
−−−
3
2
1
33’33231
2322’221
131211’1
’n3
’n2
’n1
i
i
i
)’sMR(’sM’sM
’sM)’sMR(’sM
’sM’sM)’sMR(
u
u
u
(1.37)
où s = jω, en tenant compte de l'hypothèse d'un réseau équilibré (i1 + i2 + i3 = 0).
Nous avons donc :
0)iii(r
1ln
2 321nn
0 =++⋅⋅π
µ(1.38)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 55
ce qui nous amène aux nouvelles expressions des inductances linéiques :
ii
2in0
ii
ij
injn0jiij
r
rln
2M
r
rrln
2MM
⋅π
µ=
⋅π
µ==
(1.39)
Elles sont maintenant indépendantes du rayon du conducteur de retour rnn.
Les relations (1.39) nous permettent de découpler la matrice (1.37) en trois sous systèmes :
I))MaaMM(s’R(’U 132
12111 +++=− (1.40)
De même pour les autres phases mais déphasées de 120°.
Dans le cas particulier d'une matrice d'impédance à symétrie complète telle que
Dans le cas d'une disposition non symétrique, nous pouvons effectuer une transposition telle
que :
l'inductance mutuelle équivalente ∑≠
===
3
ij1j,1i
ij
3
’MM (1.42)
l'inductance propre équivalente ∑=
=3
1i
ii
3
’ML (1.43)
la résistance équivalente ∑=
=3
1j
j
3
’RR (1.44)
De ces transformations, nous obtenons trois relations identiques. Au lieu d'analyser tout le
système, nous pouvons étudier uniquement le comportement d'une phase.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 56
I)XjR(IZ’U ⋅⋅+=⋅=− (1.45)
où Z est l'impédance effective [Ω/m]
X=ω.(L-M) la réactance effective [Ω/m]
R est la résistance linéique du conducteur [Ω/m]
L est la self inductance linéique [H/m]
M est l'inductance mutuelle linéique [H/m]
Ordres de grandeur
3,0X
103R 2
=⋅= −
[Ω/km] (1.46)
1.3.f. Notion de rayon moyen géométrique (RMG).
RMG DES CONDUCTEURS TORONNES.
Pour les conducteurs constitués de brins toronnés, les valeurs du RMG peuvent être calculés à
partir de la section utile S du conducteur et du nombre de brins ( figure 1.6 et tableau 1.1).
Figure 1.6 : conducteurs toronnés.
Tableau 1.1 : RMG des conducteurs toronnés.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 57
Tableau 1.2 : RMG des conducteurs en faisceaux.
RMG DES CONDUCTEURS EN FAISCEAUX.
Un conducteur de phase peut être constitué d’un faisceau de 2 ou de plusieurs conducteurs
d’un même diamètre, disposé symétriquement les uns par rapport aux autres. Dans ce cas, il
est utile de connaître le RMG résultant du faisceau (tableau 1.2).
1.4. Caractéristiques transversales.
Dans l'établissement des caractéristiques longitudinales, on s’est occupé des phénomènes liés
aux courants dans les conducteurs et aux champs magnétiques que ces courants créent, ce qui
a permis de définir les caractéristiques longitudinales linéiques R M L, , . Lorsqu’il n’y a pas
de courant dans le sol (c’est le cas d’un réseau équilibré), on peut complètement ignorer la
présence du sol, ce que l’on n’a pas le droit de faire pour l’étude des caractéristiques
transversales.
Les caractéristiques transversales rendent compte des effets des charges superficielles des
conducteurs de phase et du sol. Ces charges superficielles provoquent un champ électrique
perpendiculaire à la surface des conducteurs qui engendre des courants capacitifs lorsqu’ils
varient.
Les phénomènes capacitifs liant les charges superficielles du champ électrique transversal,
donc aux tensions, sont représentés par des capacités linéiques C ’.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 58
Pour le calcul des capacités linéiques transversales, le fait qu’un conducteur soit creux ou
plein ne joue plus aucun rôle puisque la charge se concentre à la périphérie (loi de Faraday).
1.4.a. Champ électrique d’un axe chargé.
Soit un cylindre de longueur infinie (conducteur métallique fin et très long) dont la chargelinéique est q’, la permittivité du milieu environnant étant r0 ε⋅ε=ε . L’espace entourant le
conducteur est limité par un second cylindre coaxial de rayon infini et portant la charge -q’.
Pour trouver l’intensité du champ électrique en un point situé à la distance r de l’axe (figure
1.6), on fait passer par ce point une surface cylindrique de longueur ∆x dont l’axe coïncide
avec l’axe chargé.
On applique le théorème de Gauss qui exprime que le flux du vecteur D (vecteur déplacement
électrique) à travers une surface fermée qui renferme un volume V est égal à la somme des
charges qui se trouvent à l’intérieur de ce volume. La surface fermée, dans la figure 3.1, est
constituée par la surface du cylindre et par deux bases. La somme des charges situées à
l’intérieur du cylindre est q’ ∆x .
Figure 1.6 : surface cylindrique entourant un axe chargé.
Le flux du vecteur D ne traverse que la surface latérale car le champ électrique d’un axe
chargé est radial ( ED 0r
rr⋅ε⋅ε= ). On obtient alors :
xqdSD ’ ∆⋅=⋅∫ (1.47)
or, l’intégral vaut )r(Dxr2 ⋅∆⋅⋅π⋅ donc :
D( r ) = r2
’q
⋅π⋅(1.48)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 59
ou encore :r2
q)r(E
r0
’
⋅ε⋅ε⋅π⋅= (1.49)
Pour connaître le potentiel scalaire par rapport au conducteur en un point quelconque situé à
la distance r de l’axe, il faut intégrer (1.49) de r11 à r, on trouve :
11
r
r
’
r
rln
2
qdrE)r(v
11
∫ πε−=⋅−= (1.50)
Par la suite, nous remplaçons ε par ε0 car le milieu ambiant est l'air. Un raisonnement
analogue peut se faire pour les câbles souterrains.
1.4.b. Champ électrique d’une ligne au voisinage du sol (méthode des images).
Soit un système de (n-1) conducteurs très longs soumis à des tensions électriques continues ou
à basse fréquence. On peut considérer que les n conducteurs sont chargés chacun par une
charge linéique ’iq (l’indice de la charge correspond au numéro du conducteur). Les (n-1)
conducteurs métalliques sont tendus parallèlement à la surface du sol. Le n-ième conducteur
est le sol. Il est considéré comme un conducteur parfait et on peut le remplacer par les images- qi
’ des (n-1) conducteurs (figure 1.7), sans modifier le champ au-dessus du sol.
Figure 1.7 : coupe d’une ligne à n conducteurs.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 60
1.4.c. Champ électrique de deux axes parallèles dans l’air.
Soit une paire d’axes parallèles j et j* de longueur infinie (figure 1.8)et soit +q j’ et -q j
’ les
charges linéiques de l’un et de l’autre. En un point P, la résultante de l’intensité du champ Ej
est égale à la somme vectorielle des champs dus à chacune des charges avec :
Pj0
’j*
jp0
’j
*r2
qE
r2
qE
πε−
=
πε=
(1.51)
avec rjp et rj p* sont les distances respectives du point P au conducteur j et au conducteur j*.
Le potentiel (par rapport à une référence) est lié au champ électrique par la relation :
gradVE −=r
(1.52)
Dans le cas bi-dimensionnel, cette relation devient :
r
VE
∂∂−= (1.53)
et le potentiel est déterminé par intégration :
∫−=1
0
r
r
EdrV (1.54)
où r0 localise la référence et r1 la localisation de la valeur du potentiel par rapport à la
référence. Nous sommons les contributions de chaque charge.
Donc le potentiel du point P dû à la paire de charges +q j’ et -q j
’ par rapport au plan médian
sera, en séparant les influences de +q j’ et -q j
’ :
jp
pj
0
’j
j
pj
0
’j
jp
j
0
’j*
r
h*
0
’j
h
r 0
’j
p r
rln
2
q
h
rln
2
q
r
hln
2
qdr
r2
qdr
r2
qv
**p*j
j
j
jp
πε=
πε+
πε=
πε
−−
πε= ∫∫ (1.55)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 61
Figure 1.8. : champ électrique E,dû à deux axes parallèles avec charges opposés.
Pour un ensemble de n-1 conducteurs, l’expression de la tension vaut :
∑−
=πε=
1n
1j jp
pj’j
0pn r
rlnq
2
1u
*
(1.56)
Si le point P est placé sur le conducteur k, la formule (1.57) permet de calculer la tensionentre le conducteur k et la terre :
∑−
=πε=
1n
1j jk
kj’j
0kn r
rlnq
2
1u
*
(1.57)
où rjk et rj k* sont les distances entre l’axe géométrique du conducteur k et respectivement les
axes du conducteur j et de son image j*. pour le terme j = k, rk k* = 2 hk représente la distance
du conducteur par rapport au sol, tandis que rkk est le rayon du conducteur k.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 62
Si l’on pose :
jk
kj
0kj r
rln
2
1K
*
πε= (1.58)
La tension ukn s’écrit :
∑−
==
1n
1j
’jkjkn qKu (1.59)
puisque r rj k kj* *= et rjk = rkj , on a Kjk = Kkj.
Les coefficients Kjk sont appelés coefficients de potentiel ou coefficients d’influence.
1.4.d. Matrice des coefficients de potentiel.
A partir de (1.59), on peut obtenir un système d’équations qui permet de calculer les tensionsu1n ... ukn ... u(n-1)n par rapport à la terre lorsqu’on connaît les charges linéiques q q qj n1 1
’ ’ ’... ... −
des (n-1) conducteurs.
On a donc :
⋅
=
−−−−−
−
−
− ’1n
’2
’1
)1n)(1n(2)1n(1)1n(
)1n(22221
)1n(11211
n)1n(
n2
n1
q
:
:
q
q
K......KK
:......::
:......::
K......KK
K......KK
u
:
:
u
u
(1.60)
Cette matrice K est symétrique.
En général on connaît plutôt les tensions que les charges linéiques, il est utile de résoudre le
système d’équations (1.60) par rapport aux charges.
On peut alors écrire :
[q'] = [K] -1 . [u] (1.61)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 63
En posant [C’] = [K]-1 on obtient en notation matricielle :
⋅
=
−−−−−
−
−
− n)1n(
n2
n1
’)1n)(1n(
’2)1n(
’1)1n(
’)1n(2
’22
’21
’)1n(1
’12
’11
’1n
’2
’1
u
:
:
u
u
C......CC
:......::
:......::
C......CC
C......CC
q
:
:
q
q
(1.62)
La matrice C est une matrice symétrique appelée matrice des capacités linéiques nodales.
Les coefficients C'ij ont la dimension d'une capacité par unité de longueur [F/m].
T1 )A()Kdet(
1)K(’C =≡ − [F/m] (1.63)
Où det(K) est le déterminant de la matrice K et (A)T la matrice transposée des cofacteurs
(mineur avec signe) de la matrice K.
EXTENSION AUX SYSTEMES TRIPHASES EQUILIBRES.
Dans l’hypothèse d’un réseau triphasé parfaitement équilibré ( uknk =∑ =
1
3
0 ), nous avons trois
phases variant sinusoidalement.
Si le réseau possède un fil de garde, son potentiel par rapport à la terre est nulle (ugn = 0)
puisqu'il est connecté à la terre par un pylône ou par une liaison métallique.
L’équation matricielle (1.60) devient pour un réseau triphasé :
⋅
=
g
3
2
1
ggg3g2g1
3g332313
2g322212
1g312111
gn
n3
n2
n1
’q
’q
’q
’q
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
u
u
u
u
[V] (1.64)
Puisque ugn = 0, nous pouvons réduire cette matrice aux trois premiers accès telle que :
⋅
=
3
2
1
332313
322212
312111
n3
n2
n1
’q
’q
’q
’K’K’K
’K’K’K
’K’K’K
u
u
u
[V] (1.65)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 64
avec K’ij sont les coefficient de la matrice K réduite aux trois accès.
Transformons cette matrice pour obtenir la matrice des capacités linéiques nodales :
C'=K'-1 (1.66)
⋅
=
n3
n2
n1
333231
232221
131211
’3
’2
’1
u
u
u
’C’C’C
’C’C’C
’C’C’C
q
q
q
[C/m] (1.67)
Le schéma équivalent de ce système se met sous la forme :
Figure 1.9 : schéma équivalent du système triphasé.
Ce schéma triangulaire peut se ramener à une forme étoilée par la transformation triangle-
étoile.
Figure 1.10 : schéma équivalent en étoile.
Nous arrivons au schéma équivalent final suivant :
Figure 1.11. Schéma équivalent final.
Le point N est au même potentiel que la terre.
Les valeurs de CN1, CN2 et CN3 sont données par:
CN1 = C12 + C13 + C12 C13 / C23
CN2 = C12 + C23 + C12 C23 / C13 [F/m]
CN3 = C13 + C23 + C13 C23 / C21
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 65
Dans le cas particulier d'un système à symétrie complète, nous avons :
C11 = C22 = C33 = Ceq et C12 = C13 = C32 = Cd
Nous obtenons alors :
CN1 = CN2 = CN3 = 3.Cd = CN
Dans le cas d'un système non symétrique, nous devons transposer les termes de la matrice [K]
tels que :
)KKKKKK(6
1K
K4
1K
g3g2g1231312transfert
g
1iiidiagonal
+++++=
= ∑= (1.68)
De ces transformations, nous obtenons une matrice de symétrie.
De ces deux cas, le système se réduit à l'étude d'une seule phase. L'équation du système
devient :
UCU)CC(’q dp ⋅=⋅+= [C/m] (1.69)
où C est la capacité linéique transversale [F/m]Y = jωC est l'impédance transversale [µS/m].
Ordre de grandeur
5,12/Y = [µS/km] (1.70)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 66
2. Perturbations dues à l'effet de couronne.
2.1. Introduction.
Le niveau perturbateur est un critère de dimensionnement d'une ligne aérienne, plus
précisément dans le choix correct des sections à utiliser en haute et très haute tension. Depuis
plus de 30 ans, de nombreux chercheurs ont tenté d'établir des méthodes de prédétermination
de ce niveau perturbateur.
Il existe de par le monde une multitude de méthode empiriques ou semi-empiriques, ainsi que
quelques méthodes analytiques.
Une enquête mondiale CIGRE-IEEE a permis une analyse complète des méthodes de
prédétermination empirique grâce à des formules absolues et des méthodes analytiques. C'est
cette méthode que nous avons choisi d'implémenter et que nous allons rappeler ici.
2.2. Niveau perturbateur.
La formule CIGRE, qui permet d'évaluer le niveau perturbateur, nécessite la connaissance du
gradient maximal du champ électrique à la surface du conducteur ou du faisceau. Nous allons
donc le déterminer.
2.2.a. Méthode de calcul de g m.
Nous allons reprendre des résultats établis dans le cadre du calcul des caractéristiques R L C
d'une ligne. L'équation à partir de laquelle nous allons rechercher gm est la suivante :
⋅
=
g
3
2
1
ggg3g2g1
3g332313
2g322212
1g312111
gn
n3
n2
n1
’q
’q
’q
’q
KKKK
KKKK
KKKK
KKKK
u
u
u
u
[V] (1.64)
que, par convention et pour se conformer aux notations CIGRE, nous réécrivons :
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 67
⋅
λλλλλλλλλλλλλλλλ
=
= 4
3
2
1
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
Q
Q
Q
Q
0V
V
V
V
[V] (2.1)
ou encore : [V] = [λ] [Q] [V] (2.2)
On obtient évidemment la matrice des capacités en prenant l'inverse de [λ] :
[C] = [λ]-1 (2.3)
et [Q] = [C] [V] (2.4)
où [ ]
⋅−−
⋅+−
⋅+
⋅=
02
3j
2
12
3j
2
10j1
VV (2.5)
avec V la tension phase-terre.
On en déduit la valeur des charges [Q], vecteur colonne dont les quatre éléments sont
complexes.
Le théorème de Gauss nous permet alors de déterminer l'intensité du champ électrique
superficiel :
r2
Q
n
1g
0
imoyen,i ⋅ε⋅π⋅
⋅= où i=1,2,3 (2.6)
où n = nombre de sous-conducteurs du faisceau ;
r = rayon moyen du conducteur élémentaire du faisceau ;
Qi = la charge du conducteur i ;
ε0 = 8,854 . 10-12 F/m.
Dans le cas de conducteurs uniques, gmoyen est le champ électrique maximal. Dans le cas des
conducteurs en faisceaux, il est différent. Nous pouvons écrire qu'à la périphérie d'un des
conducteurs l'intensité du champ électrique varie selon l'expression :
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 68
( ) ( )
ϑ⋅⋅−+⋅= cosr
R
1n1gg moyen (2.7)
Figure 2.1 : conducteurs en faisceaux.
L'équation (2.7) nous permet d'obtenir l'intensité maximale du champ électrique, celle qui sera
prise en compte dans la formule de prédétermination :
( )
⋅−+⋅= r
R
1n1gg moyen,imax,i (2.8)
2.2.b. Méthode de calcul du niveau perturbateur.
Nous allons utiliser la formule CIGRE :
30D
Dlog33r12g5,3NP
0max,ii −⋅−⋅+⋅= [dB] (2.9)
où gi,max = gradient maximum (kVeff/cm)
r = rayon du conducteur élémentaire (cm)
D = distance directe du conducteur au point de mesure M (m)
Les coefficients 3,5 et 12 sont des valeurs expérimentales obtenues à partir de mesures
statistiques effectuées en nasse dans les laboratoires des Renardières (E.D.F.). Cette formule
suppose que la distance du point de mesure au conducteur est de 20 m, ce qui correspond
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 69
sensiblement à une distance horizontale de 15 m. Le point de mesure par référence est à une
hauteur de 2 m par rapport au sol.
Figure 2.2 : distances utilisées dans la formule CIGRE
A partir du moment où nous connaissons les trois niveaux perturbateurs, nous les combinons
selon la relation suivante :
5,12
NPNPNP ba +
+= [dB] (2.10)
NPa et NPb étant les deux valeurs les plus élevées parmi les trois considérées.
Cette formule ne s'applique que si aucun des trois niveaux n'est supérieurs aux autres de 3 dB
minimum. Dans ce cas, seul ce niveau est pris en compte.
Nous rappelons ici les différentes conditions d'applicabilité de la formule CIGRE :
- estimation du niveau perturbateur le plus probable ;
- en dB (1 µV/m) ;
- CISPR (caractéristique de l'appareil de mesure) ;
- beau temps sec (état de surface moyen) ;
- distance horizontale du conducteur extérieur :15 m ;
- hauteur au dessus du sol : 2m ;
- fréquence : 0,5 MHz.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 70
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 71
3. Calcul du champ électrique.
3.1. Introduction.
Le champ électrique présent sous une ligne à haute tension est un sujet qui a longtemps
inquiété les foules. Bien qu'aucune enquête épidémiologique à long terme n'ait encore prouvé
les méfaits des champs électriques, le législateur a déjà pris des mesures pour les limiter.
Actuellement, il n'existe pas encore de standard international reconnu concernant les
limitations de l'émission de champ électrique, chaque pays ayant son propre règlement. Il est
cependant évident que dorénavant le champ électrique sera un critère de dimensionnement des
lignes aériennes, et qu'il va prendre de plus en plus d'influence.
3.2. Calcul du profil du champ électrique.
Le calcul du profil du champ électrique au niveau du sol est relativement aisé vu les
développements que nous avons énoncés dans le chapitre précédent. Nous allons donc
reprendre les deux équations suivantes :
[C] = [λ]-1 (2.3)
et [Q] = [C] [V] (2.4)
Connaissant les charges (linéiques) portées par les conducteurs, il est très aisé d'obtenir
l'intensité du champ électrique en un point via le théorème de Gauss :
ρ⋅ε⋅π⋅⋅=
0
ii 2
Q
n
1E où i=1,2,3 (3.1)
où n = nombre de sous-conducteurs du faisceau ;
r = rayon moyen du conducteur élémentaire du faisceau ;
Qi = la charge du conducteur i ;
ε0 = 8,854 . 10-12 F/m ;
ρ = distance du point où se calcule le champ par rapport au conducteur ou à son image
et qui porte la charge linéique Q.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 72
Figure 3.1 : schéma utilisé pour le calcul du champ électrique.
Développons les résultats dans le cas d'un conducteur (ou d'un faisceau) et de son image et
considérons un plan perpendiculaire à la ligne (figure 3.1) :
Les coordonnées du conducteur sont (d,h), les coordonnées de son image sont (d,-h).
Les composantes Ex et Ey de l'intensité du champ électrique en (x,y) s'expriment par :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
++−+−
−+−−⋅
ε⋅π⋅=
++−−−
−+−−⋅
ε⋅π⋅=
22220
y
22220
x
hydx
dy
hydx
dy
2
QE
hydx
dx
hydx
dx
2
QE
(3.2)
Dans l'hypothèse de calcul de l'intensité du champ électrique au niveau du sol (y=0), Ex=0, et
on a :
( ) 220
yhdx
h
2
QE
+−⋅
ε⋅π⋅= (3.3)
Nous pouvons appliquer le théorème de superposition et obtenir le champ électrique total issu
des trois champ électriques partiels générés par les conducteurs.
Ey,total = Ey, 1 + Ey, 2 + Ey, 3 (3.4)
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 73
La figure 3.2 donne un exemple de profil de champ électrique sous une ligne.
Figure 3.2 : profil du champ électriquesous une ligne haute tension.
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 74
4. Calcul du champ magnétique.
4.1. Introduction.
Bien que moins souvent évoqué que le champ électrique, le champ magnétique est lui aussi un
critère de dimensionnement des lignes aériennes. Son calcul est assez aisé. Nous feront
cependant plusieurs hypothèses, ce qui permettra de simplifier nos calculs sans pour autant
générer des erreurs significatives.
4.2. Calcul du champ magnétique.
Avant toute chose, nous devons faire l'hypothèse de quasi-staticité des champs électriques et
magnétiques, ce qui permet l'analyse indépendante, sans interaction, des champs magnétiques
et électriques.
La première loi fondamentale de la magnétostatique est la loi d'ampère :
∫ =⋅ ildHrr
(4.1)
Nous allons l'appliquer dans le cas du fil long et rectiligne parcouru par un courant donné.
Considérons un cercle, dans un plan perpendiculaire à l'axe du conducteur, centré sur celui-ci.
Pour des raisons de symétrie, le champ magnétique H est constant tout au long du cercle. Si le
rayon de celui-ci est r, le champ magnétique sera donné par :
r2
iH
⋅π⋅= [A/m] (4.2)
et la densité de flux magnétique (ou champ d'induction magnétique) par :
r2
iB
⋅π⋅⋅µ= [T] (4.2)
et B est dirigé tangentiellement aux cercles centrés sur le conducteur et est contenu dans le
plan perpendiculaire à celui-ci.
La question de l'image des conducteurs doit être considérée ici différemment que lors du
calcul du champ électrique. Les images sont situées à une profondeur, dans le sol, bien plus
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 75
grande que la hauteur des conducteurs de phase. En première approximation, la profondeur d
vaut :
f660d
ρ⋅= [m] (4.3)
où ρ est la résistivité du sol [Ω.m] et f la fréquence [Hz].
Le calcul précis du champ magnétique nécessite l'emploi des termes de Carson (voir 5.3. La
ligne de Carson) pour évaluer les effets d'un sol imparfaitement conducteur. Dans la plupart
des applications, il suffit de considérer les conducteurs de phase en espace libre, sans tenir
compte des images.
Nous calculerons tout d'abord le courant nominal circulant dans la ligne :
( )ϕ⋅⋅=
cosU3
PI [A] (4.4)
En système triphasé équilibré on a :
⋅−−
⋅+−
⋅+
⋅=
2
3j
2
12
3j
2
10j1
II [A] (4.5)
d'où on en déduit :
i
i0i r2
iB
⋅π⋅⋅µ
= i = 1,2,3 [T] (4.6)
et les termes iB et ii ont des valeurs complexes.
Il nous faut calculer le champ résultant :
SECTION 2 : MODULES COMPLÉMENTAIRES. 76
Figure 4.1 : schéma de calculdu champ magnétique total
Les composantes verticales et horizontales du champ d'induction magnétique s'expriment
alors :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]332211Y,r
332211X,r
sinBsinBsinBB
cosBcosBcosBB
θ⋅+θ⋅+θ⋅−=
θ⋅+θ⋅+θ⋅=(4.7)
Nous allons exprimer ces deux composantes sous la forme :
⋅+=⋅+=djcB
bjaB
x
y (4.8)
Exprimées en fonction du temps ces composantes s'écrivent :
( ) ( )( ) ( )
⋅ω⋅+⋅ω⋅=⋅ω⋅+⋅ω⋅=tsindtcoscB
tsinbtcosaB
x
y (4.9)
On peut voir immédiatement que si la condition a.d = b.c est satisfaite, le vecteur-champ a
une et une seule direction. Sinon il est elliptique. Nous allons donc déterminer le module et
l'inclinaison du grand axe et du petit axe de l'ellipse (voir figure 4.2).
Tableau 3.4 : facteurs de correction en fonction de la profondeur de pose.
Section 4
Conclusions
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 106
1. Introduction.
Rappelons brièvement nos objectifs : établir un programme qui recherche l'optimum
économique d'une liaison triphasée aérienne ou souterraine. Ce programme devra être
souple, clair et structuré.
Il est évidemment difficile de juger de la clarté et de la structure avec si peu de recul. Nous ne
nous y tenterons pas.
Concernant la souplesse, la remarque est identique, mais nous pouvons cependant présenter
l'esprit avec lequel nous avons implémenté les algorithmes et géré l'interface graphique.
Nous tenions particulièrement à ce que ce programme soit un outil modulable, facile à
modifier et pratique.
Ainsi, il est très facile d'"automatiser" la résolution de problèmes, ce qui permet par exemple
une étude de sensibilité à certains paramètres, ou la création d'une base de données en vue
d'un apprentissage inductif.
La programmation fonctionnelle du langage nous a permis de fabriquer des fonctions de
calcul prêtes à être utilisées dans d'autres applications. C'est particulièrement le cas des
modules supplémentaires présentés à la section 2.
Une des innovation de ce programme est l'utilisation de bases de données. Elle permet de
reprendre des données réelles de conducteurs, ce qui donne plus de crédit aux solutions
obtenues.
Enfin, nous avons implémenté la possibilité d'enregistrer toutes les données dans des fichiers
binaires. Ce n'était pas nécessaire mais c'est terriblement pratique. Ainsi l'utilisateur pourra
conserver les cas étudiés sur fichiers.
Quelques pistes auraient pu être explorées. Nous pensons particulièrement à la prise en
compte de la crête de puissance consommée, le cas des portées dénivelées ou encore la
réponse thermique d'un câble souterrain suite à des variations de courant. Par ailleurs, il aurait
été judicieux d'ajouter un fichier d'aide à ce programme. L'utilisateur qui se pose une question
à propos de tel ou tel paramètre trouverait immédiatement une réponse associée à un rappel
théorique.
D'autre part, il aurait été utile de remettre à jour les ordres de grandeur et les valeurs par
défaut de notre programme : les informations statistiques, les différents coefficient et les coûts
datent de 1990 ... Nous avons cependant préféré donner l'accessibilité à pratiquement toutes
les variables, comme par exemple les coefficients imposés par le R.G.I.E ou encore les coûts
des matériaux.
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 107
2. Exemples.
Il est évidemment difficile de présenter un programme informatique sur papier. La solution
que nous avons choisie est de présenter deux exemples de dimensionnement, l'un pour les
lignes aériennes et l'autre pour les câbles. Les données sélectionnées sont proches de deux
exercices résolus dans le cadre du cours de "Transport et Distribution de l'Énergie Électrique"
de M. le Professeur J.-L. Lilien.
2.1. Exemple de ligne aérienne.
Voici le fichier de résultats de notre calcul. Le lecteur retrouvera au point 10 les données
encodées par l'utilisateur.
Solution optimale :===================
1. Caractéristiques du conducteur : Nom : Lilac Section : 403,00 mm2 Diamètre : 26,10 mm Module de Young : 50000,00 N/mm2 Résistance linéique à 20°C à 50Hz : 0,07 ohm/km Masse linéaire à 20°C : 1111,00 kg/km Tension de rupture : 63743,23 N Coefficient de dilatation lin. : 2,3E-005 1/°C Prix au kg : 70,00 FB/kg Coef var. Résistance : 4,0E-003 1/°C Chaleur Spécifique : 924 J/kg/K Cx : 1,45
2. Caractéristique des pylônes d'Alignement : Phase 1 : X = -2,29 m Y = 12,13 m Phase 2 : X = 0,00 m Y = 12,13 m Phase 3 : X = 2,29 m Y = 12,13 m CGarde : X = 0,00 m Y=16,10 m Hauteur du pylône : 19,00 m Hauteur hors sol : 16,10 m Prix du pylône : 52 298 FB Prix de la ferrure : 20 425 FB
3. Caractéristique des pylônes d'Arrêt : Phase 1 : X=-2,29 m Y=12,13 m Phase 2 : X=0,00 m Y=12,13 m Phase 3 : X=2,29 m Y=12,13 m CGarde : X=0,00 m Y=16,10 m Hauteur du pylône : 19,00 m Hauteur hors sol : 16,10 m Prix du pylône : 161 857 FB Prix de la ferrure : 20 425 FB
4. Caractéristique des pylônes d'Angle : Phase 1 : X=-2,37 m Y=12,13 m Phase 2 : X=0,00 m Y=12,13 m Phase 3 : X=2,37 m Y=12,13 m CGarde : X=0,00 m Y=16,24 m
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 108
Hauteur du pylône : 19,50 m Hauteur hors sol : 16,24 m Prix du pylône : 108 220 FB Prix de la ferrure : 22 033 FB
5. Caractéristique des isolateurs pour les pylônes d'Alignement : Um : 52 kV Bil : 250 kV Nombre d'assiettes : 3 Modèle d'assiette : F70/127, Assiette Standard pas : 127 mm lf : 320 mm masse : 3,50 kg Poids total de l'isolateur : 104 N Prix de l'isolateur : 8 080 FB Longueur totale de l'isolateur : 0,65 m
6. Caractéristique des isolateurs pour les pylônes d'Arrêt : Um : 52 kV Bil : 250 kV Nombre d'assiettes : 3 Modèle d'assiette : F70/127, Assiette Standard pas : 127 mm lf : 320 mm masse : 3,50 kg Poids total de l'isolateur : 104 N Prix de l'isolateur : 8 080 FB Longueur totale de l'isolateur : 0,65 m
7. Caractéristique des isolateurs pour les pylônes d'Angle : Um : 52 kV Bil : 250 kV Nombre d'assiettes : 3 Modèle d'assiette : F70/127, Assiette Standard pas : 127 mm lf : 320 mm masse : 3,50 kg Poids total de l'isolateur : 104 N Prix de l'isolateur : 8 080 FB Longueur totale de l'isolateur : 0,65 m
8. Caractéristiques de la jonction : Modèle des pylônes : nappe Nombre total de pylônes : 129 Portée Moyenne : 223,61 m Tension mécanique : 16 221 N (été) Tension mécanique : 21 245 N (hiver) Tension mécanique : 11 100 N (canicule) -> Everyday Stress = 39,42 N/mm2 24,92 % de la tension de rupture
9. Coûts de l'installation : Prix des supports : 11 MFB (21 %) Prix des accessoires : 8 MFB (15 %) Prix de l'indemnisation : 0 MFB (0 %) Prix des conducteurs : 12 MFB (22 %) Prix du tirage : 24 MFB (45 %) ------------------------------------------ Prix de l'ensemble : 54 MFB (hors pertes) Soit : 2 MFB/km
Prix des pertes act. : 108 MFB ------------------------------------------ Prix de l'ensemble sur 20 ans : 162 MFB
10. Données du problème : Menu Principal : Puissance active 10 MW, Puissance réactive 4,84 MVArs, CosPhi 0,90 Tension nominale 36 kV, Longueur 35 km Puissance de court-circuit 2000 MVA, durée du court-circuit 0,30 s Chute de tension maximale 9,0 % , utilisation 2000,00 h/an
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 109
Durée de vie 20,00 ans, taux d'intérêt i 6 % Augmentation annuelle de la charge 3 %, augmentation annuelle du prix du kWh 2 % Menu Lignes : Pourcentage de pylônes d'alignement 80 %, d'angle 10 % et d'arrêt 10 % Angle maximal pour les pylônes d'angle 30°, épaisseur pylône 0,30 m Cx des pylônes 2,10, pollution moyenne (20 kg/m3), type de terrain meuble Câble de garde : oui
11. Remarques :
Pour la section maximale de la base de donnée (Bluebonnet, 1773,00 mm2),le critère de refus est la contrainte : Tension mécanique de rupturePour la section minimale de la base de donnée (Peachbell, 13,29 mm2),le critère de refus est la contrainte : Courant de Court-Circuit
Dans le cas où l'Everyday Stress est trop important, il faut modifier le coefficientde sécurité dans le menu "Options Préférences Lignes Diverses"
Maintenant voici le menu principal, celui qui est commun aux lignes et aux câbles :
ensuite, l'utilisateur a cliqué sur le bouton suivant et …
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 110
… et le menu orienté lignes est apparu.
Il a ensuite demandé à voir les options concernant les lignes :
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 111
En parcourant les différents volets des options lignes, il a pu voir :
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 112
Ensuite, le menu des résultats :
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 113
Les résultats se suivent au fil des menus.
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 114
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 115
Maintenant que la ligne est dimensionnée, l'utilisateur peut utiliser les modules
complémentaires en cliquant sur suivant. Il obtiendra alors le menu de sélection des modules,
et pour chaque module les fenêtres suivants :
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 116
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 117
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 118
2.2. Exemple de câble souterrain.
Voici le fichier de résultats de notre calcul. Le lecteur y retrouvera les données encodées par
l'utilisateur.
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 119
Solution optimale :===================
Caractéristiques du câble :
Matériau : Cuivre Type de câble : 3 câbles monopolaires Section : 240,00 mm2 Ecran : 25,00 mm2 Diélectrique : polyéthylène réticulé (PRC-XLPE) Courant max. admissible en régime perm. : 540 A Résistance linéique à 90°C à 50Hz : 0,10 ohm/km Inductance linéique : 0,57 mH/km Capacité linéique : 0,19 µF/km
Caractéristiques de la jonction :
Nombre de jonctions : 35 Chute de tension effective : 2,20 % Disposition : nappe Pose du câble : enterrés
Coûts de l'installation : Prix des conducteurs : 227 MFB (59 %) Prix des accessoires : 2 MFB (1 %) Prix de la pose : 158 MFB (41 %) Prix de la main d'œuvre : 1 MFB (1 %) --------------------------------------------- Prix de l'ensemble : 386 MFB (hors pertes) Soit : 12 MFB/km
Prix des pertes act. : 124 MFB --------------------------------------------- Prix de l'ensemble sur 20 ans : 509 MFB
Données du problème : Menu Principal : Puissance active 10 MW, Puissance réactive 4,84 MVArs, CosPhi 0,90 Tension nominale 36 kV, Longueur 35 km Puissance de court-circuit 2000 MVA, durée du court-circuit 0,30 s, chute de tension maximale 9,0 % Utilisation 2000,00 h/an, durée de vie 20,00 ans Taux d'intérêt i 6 %, augmentation annuelle de la charge 3 %, augmentation annuelle du prix du kWh 2 % Menu câbles : Profondeur d'enfouissement 1,00 m, Température du sol 20°C, Résistivité thermique du sol 100 °C.m/W Menu préférences câbles Coût du câble monopolaire en cuivre : 1200+S*4 FB/m Coût du câble tripolaire en cuivre : 3600+S*12 FB/m Coût du câble monopolaire en aluminium : 1200+S*4 FB/m Coût du câble tripolaire en aluminium : 3600+S*12 FB/m Coût de la pose : dans le sol 1500 FB/m, en caniveau 5000 FB/m, en fourreau 3000 Surcoût sol meuble 10 %, sol rocheux 25,00 % Surcoût caniveau meuble 10 %, caniveau rocheux 25,00 % Surcoût fourreau meuble 10 %, fourreau rocheux 25,00 % Prix d'une jonction intermédiaire 25000 FB, Main d'œuvre 8000,00 FB Prix d'une jonction terminale 80000 FB, Main d'œuvre 10000,00 FB Fréquence 50 Hz, Prix du kWh de perte 2,50 FB/kWh
Ci dessous, le menu que l'utilisateur emploie pour ouvrir un fichier de données.
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 120
Le menu principal …
… et le menu orienté câbles.
Suivent les différents volets du menu d'options spécifiques au câbles :
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 121
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 122
et enfin le menu présentant les résultats :
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 123
SECTION 4 : CONCLUSIONS. 124
Section 5
Annexes
SECTION 5 : ANNEXES. 126
Annexe A : Calcul du facteur d’actualisation.
Le coût total dû aux pertes se compose de deux parties : les frais d'énergie et le coût associé à
une puissance de pointe supplémentaire nécessaire pour couvrir les pertes.
Les pertes d'énergie pendant la première année s'expriment par :
3.ρ.l.I².N.P (A.1)
où :
ρ = résistivité du conducteur [Ω.m] à la température de service à la fréquence de service ;
L = longueur de la liaison [m] ;
I = courant parcourant le câble en début de vie (car on multiplie ce courant par le facteur
d'actualisation f) [A] ;
N = nombre d'heures par an d'utilisation à pleine charge du point de vue des pertes (pour
les pertes, une heure d'utilisation à mi-charge équivaut à un quart d'heure
d'utilisation à pleine charge) [h/an].8 ;
p = prix du kWh de pertes [FB/Wh] ;
Le coût de capacité de production additionnelle nécessaire pour compenser ces pertes est :
3.ρ.l.I².D (A.2)
où D contient les frais annuels pour couvrir ces pertes [FB/W.an].
Le coût global des pertes au cours de la première année est donc :
3.ρ.l.I².(N.P+D) (A.3)
Si les coûts sont payés en fin d'année, leur valeur actualisée à la date d'achat de l'installation
est :
8 ∫ ⋅=h 8760
02MAX
2
dtI
)t(IN où 8760 heures équivalent 1 an.
SECTION 5 : ANNEXES. 127
( ) ( )( )100
i1
DPNIl3 2
++⋅⋅⋅⋅ρ⋅
(A.4)
De la même façon, la valeur actuelle des coûts de l'énergie pendant N années de service,
actualisée à la date de l'achat est :
( ) ( )( ) Q
100i1
DPNIl3 2
⋅+
+⋅⋅⋅⋅ρ⋅(A.5)
où Q est un coefficient prenant en compte l'accroissement de charge, l'augmentation du coût
de l'énergie pendant les N années et le taux d'actualisation :
( )∑=
−−
−==N
1n
N1n
r1
r1rQ (A.6)
où :( ) ( )
( )100i1
100b1100
a1r
2
+
+⋅+= (A.7)
Dans notre cas, nous utilisons le coût du kWh de perte p qui reprend P+D/N, d'où finalement :
( )100i1
QpNIl3 2
+⋅⋅⋅⋅⋅ρ⋅ (A.8)
SECTION 5 : ANNEXES. 128
Annexe B : Calcul de la sectionvia le critère de courant de court-circuit.
Nous supposons que l'intégralité des calories produites par effet Joule pendant la durée tCC de
passage du courant de court-circuit ICC va conduire exclusivement à augmenter la température
du métal selon un échauffement adiabatique.
Soit un conducteur de longueur L, de section S et de résistivité ρ :
dE = R I2 dt = S L δ C dθ = ρ L S-1 (σ S)2 dt
= ρ L S σ2 dt = S L δ C dθ
d'où la relation
ρ σ2 dt = δ C dθ (B.1)
- δ est la masse spécifique [kg/m3],
- C est la capacité calorifique supposée constante sur l'intervalle de température considéré
[J/kg K]
- ρ = ρ0 (1+α θ) est la résistivité à la température considérée [Ω m]
- σ = I/S est la densité de courant [A/mm2]
- θ est la température
- α = α20°C est le coefficient de variation de la résistivité en fonction de la température [K]
Nous avons alors :
ρ0 (1+α θ) σ2 dt = δ C dθ (B.2)
et après intégration :
2
0initiale
0finale
0CC
2CC2 a
)(1
)(1ln
Ct
S
It =
θ−θ⋅α+θ−θ⋅α+
⋅ρ⋅α⋅δ=⋅
=⋅σ (B.3)
a
tIS CCCC ⋅
= [mm2] (B.4)
où a est une constante pour un métal donné.
SECTION 5 : ANNEXES. 129
Annexe C : Courants de court-circuit.
SECTION 5 : ANNEXES. 130
SECTION 5 : ANNEXES. 131
Annexe D : facteurs de correctionliés à la résistivité thermique.
SECTION 5 : ANNEXES. 132
Annexe E : programme de recherche du gabarit des supports.
// WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW// W Fonctions coût et gabarit des pylônes W// WWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWWW
FunctionPyloneNappe(DataMenuP:DataMenuPrinc;DataMenuL:DataMenuLignes;DataPrefL:DataPrefLignes;Divers:Autres;Pyl:DataPylones;Conducteur,ConducteurCG:DataConducteurLigne):DataPylones;var Eph, EPhH, L1, GD, HHrSol, H, M2, M3, M4, TMax, TMaxCG :real; Pylone:DataPylones;begin (* Tension Maximale pour un FAISCEAU de conducteurs *) TMax:=(Conducteur.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite)*DataMenuL.NbreSCond; TMaxCG:=ConducteurCG.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite; (* Calcul du gabarit Align du pylône Nappe *) EPh:=((DataMenuP.Unom/150)+(Conducteur.CFI*sqrt(Conducteur.FMax+Pyl.Align.SL.Longueur))); EPhH:=0.8*EPh; L1:=Maximum(Divers.EPhN,EPhH)+Pyl.Align.SL.Longueur*sin(DegToRad(Divers.PsiMax)); GD:=DataMenuL.CGarde*(Maximum(sqrt(EPh*EPh+L1*L1),sqrt(3)*L1)-Pyl.Align.SL.Longueur); HHrSol:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+Pyl.Align.SL.Longueur+DataMenuL.CGarde*GD; H:=0.5*ceil((HHrSol+1)*20/9);
Pylone.Angle.PrixFerrure:=DataPrefL.coef21*(DataMenuL.NbreSCond*Conducteur.MasseLin/1000*9.80665*Conducteur.PorteeMoy+Pyl.Angle.SL.PoidsTotal)*(2*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)+DataMenuL.CGarde*GD*GD); if (Pylone.Angle.PrixFerrure>(0.5*Pylone.Angle.PrixPyl)) thenPylone.Angle.PrixFerrure:=0.5*Pylone.Angle.PrixPyl; Pylone.Angle.Ph1X:=-L1-DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph1Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.Ph2X:=0; Pylone.Angle.Ph2Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.Ph3X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph3Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.CGX:=0; Pylone.Angle.CGY:=HHrSol*DataMenuL.CGarde; Pylone.Angle.Hauteur:=H; Pylone.Angle.HHrSol:=HHrSol; (* Je conserve les infos sur SL *) Pylone.Align.SL:=Pyl.Align.SL; Pylone.Arret.SL:=Pyl.Arret.SL; Pylone.Angle.SL:=Pyl.Angle.SL; (* Je passe les informations *) PyloneNappe:=Pylone;end;
FunctionPyloneDrapeau(DataMenuP:DataMenuPrinc;DataMenuL:DataMenuLignes;DataPrefL:DataPrefLignes;Divers:Autres;Pyl:DataPylones;Conducteur,ConducteurCG:DataConducteurLigne):DataPylones;var EPh, EPhH, L1, GD, HHrSol, H, M1, M2, M3, M4, TMax, TMaxCG :real; Pylone:DataPylones;begin (* Tension Maximale pour un FAISCEAU de conducteurs *) TMax:=(Conducteur.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite)*DataMenuL.NbreSCond; TMaxCG:=ConducteurCG.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite; (* Calcul du gabarit Align du pylône Drapeau *) EPh:=((DataMenuP.Unom/150)+(Conducteur.CFI*sqrt(Conducteur.FMax+Pyl.Align.SL.Longueur))); EPhH:=0.8*EPh; L1:=Maximum(Divers.EPhN,EPhH)+Pyl.Align.SL.Longueur*sin(DegToRad(Divers.PsiMax)); GD:=DataMenuL.CGarde*(Maximum(sqrt(EPh*EPh+L1*L1),sqrt(3)*L1)-Pyl.Align.SL.Longueur)+(notDataMenuL.CGarde)*0.4; HHrSol:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+3*Pyl.Align.SL.Longueur+2*EPh+GD; H:=0.5*ceil((HHrSol+1)*20/9);
Pylone.Angle.PrixFerrure:=DataPrefL.coef21*(DataMenuL.NbreSCond*Conducteur.MasseLin/1000*9.80665*Conducteur.PorteeMoy+Pyl.Angle.SL.PoidsTotal)*(3*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)+DataMenuL.CGarde*GD*GD); if (Pylone.Angle.PrixFerrure>(0.5*Pylone.Angle.PrixPyl)) thenPylone.Angle.PrixFerrure:=0.5*Pylone.Angle.PrixPyl; Pylone.Angle.Ph1X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph1Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.Ph2X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph2Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+Pyl.Angle.SL.Longueur+EPh; Pylone.Angle.Ph3X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph3Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+2*Pyl.Angle.SL.Longueur+2*EPh; Pylone.Angle.CGX:=0; Pylone.Angle.CGY:=HHrSol*DataMenuL.CGarde; Pylone.Angle.Hauteur:=H; Pylone.Angle.HHrSol:=HHrSol; (* Je conserve les infos sur SL *) Pylone.Align.SL:=Pyl.Align.SL; Pylone.Arret.SL:=Pyl.Arret.SL; Pylone.Angle.SL:=Pyl.Angle.SL; (* Je passe les informations *) PyloneDrapeau:=Pylone;end;
FunctionPyloneNappeVoute(DataMenuP:DataMenuPrinc;DataMenuL:DataMenuLignes;DataPrefL:DataPrefLignes;Divers:Autres;Pyl:DataPylones;Conducteur,ConducteurCG:DataConducteurLigne):DataPylones;var EPh, EPhH, L1, L2, HHrSol, H, M2, M3, M4, TMax :real; Pylone:DataPylones;begin (* Tension Maximale pour un FAISCEAU de conducteurs *) TMax:=(Conducteur.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite)*DataMenuL.NbreSCond; (* Calcul du gabarit Align du pylône Nappe-Voûte *) EPh:=((DataMenuP.Unom/150)+(Conducteur.CFI*sqrt(Conducteur.FMax+Pyl.Align.SL.Longueur))); EPhH:=0.8*EPh/cos(DegToRad(DataMenuL.Beta/2)); L1:=Maximum(Divers.EPhN,EPhH)+Pyl.Align.SL.Longueur*sin(DegToRad(Divers.PsiMax)); L2:=sqrt(EPh*EPh-L1*L1);
Pylone.Angle.PrixFerrure:=DataPrefL.coef21*(DataMenuL.NbreSCond*Conducteur.MasseLin/1000*9.80665*Conducteur.PorteeMoy+Pyl.Angle.SL.PoidsTotal)*(2*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)+L2*L2); if (Pylone.Angle.PrixFerrure>(0.5*Pylone.Angle.PrixPyl)) thenPylone.Angle.PrixFerrure:=0.5*Pylone.Angle.PrixPyl; Pylone.Angle.Ph1X:=-L1-DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph1Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.Ph2X:=0; Pylone.Angle.Ph2Y:=HHrSol-Pyl.Angle.SL.Longueur; Pylone.Angle.Ph3X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph3Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.CGX:=0; Pylone.Angle.CGY:=0; Pylone.Angle.Hauteur:=H; Pylone.Angle.HHrSol:=HHrSol; (* Je conserve les infos sur SL *) Pylone.Align.SL:=Pyl.Align.SL; Pylone.Arret.SL:=Pyl.Arret.SL; Pylone.Angle.SL:=Pyl.Angle.SL; (* Je passe les informations *)
SECTION 5 : ANNEXES. 136
PyloneNappeVoute:=Pylone;end;
FunctionPyloneTriangle(DataMenuP:DataMenuPrinc;DataMenuL:DataMenuLignes;DataPrefL:DataPrefLignes;Divers:Autres;Pyl:DataPylones;Conducteur,ConducteurCG:DataConducteurLigne):DataPylones;var EPh, EPhH, L1, L2, GD, HHrSol, H, M1, M2, M3, M4, TMax, TMaxCG :real; Pylone:DataPylones;begin (* Tension Maximale pour un FAISCEAU de conducteurs *) TMax:=(Conducteur.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite)*DataMenuL.NbreSCond; TMaxCG:=ConducteurCG.TRupture/DataPrefL.CoefSecurite; (* Calcul du gabarit Align du pylône Triangle *) EPh:=((DataMenuP.Unom/150)+(Conducteur.CFI*sqrt(Conducteur.FMax+Pyl.Align.SL.Longueur))); EPhH:=0.8*EPh/cos(DegToRad(DataMenuL.Beta/2)); L1:=Maximum(Divers.EPhN,EPhH)+Pyl.Align.SL.Longueur*sin(DegToRad(Divers.PsiMax)); L2:=Maximum(EPh,Pyl.Align.SL.Longueur+Divers.EPhN); GD:=DataMenuL.CGarde*(Maximum(sqrt(EPh*EPh-L1*L1),sqrt(3)-Pyl.Align.SL.Longueur))+(notDataMenuL.CGarde)*0.4; HHrSol:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+Pyl.Align.SL.Longueur+L2+GD; H:=0.5*ceil((HHrSol+1)*20/9);
Pylone.Angle.PrixFerrure:=DataPrefL.coef21*(DataMenuL.NbreSCond*Conducteur.MasseLin/1000*9.80665*Conducteur.PorteeMoy+Pyl.Angle.SL.PoidsTotal)*(3*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)*(L1+DataMenuL.EcartementSCond/200)+DataMenuL.CGarde*GD*GD); if (Pylone.Angle.PrixFerrure>(0.5*Pylone.Angle.PrixPyl)) thenPylone.Angle.PrixFerrure:=0.5*Pylone.Angle.PrixPyl; Pylone.Angle.Ph1X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph1Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax; Pylone.Angle.Ph2X:=-L1-DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph2Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+0.5*L2; Pylone.Angle.Ph3X:=L1+DataMenuL.EcartementSCond/200; Pylone.Angle.Ph3Y:=Divers.GSol+Conducteur.FMax+L2; Pylone.Angle.CGX:=0; Pylone.Angle.CGY:=DataMenuL.CGarde*HHrSol; Pylone.Angle.Hauteur:=H; Pylone.Angle.HHrSol:=HHrSol; (* Je conserve les infos sur SL *) Pylone.Align.SL:=Pyl.Align.SL; Pylone.Arret.SL:=Pyl.Arret.SL; Pylone.Angle.SL:=Pyl.Angle.SL; (* Je passe les informations *) PyloneTriangle:=Pylone;end;
Bibliographie
SECTION 5 : ANNEXES. 139
Bibliographie.
Ouvrages de référence.
TRANSPORT ET DISTRIBUTION DE L'ÉNERGIE ELECTRIQUE,
Dr Jean-Louis Lilien, notes de cours, Université de Liège, 1997.
QUALITÉ DE L'ÉNERGIE ELECTRIQUE,
Dr Pol Pirotte, notes de cours, Université de Liège, 1998.
RÉSEAUX DE DISTRIBUTION DE L'ÉNERGIE ELECTRIQUE – CONSIDÉRATIONS TECHNICO-ECONOMIQUES,
Louis Maesen, travail de fin d'études, Université de Liège, 1990.
Les lignes aériennes.
RÈGLEMENT GÉNÉRAL SUR LES INSTALLATIONS ELECTRIQUES,
éd. AIB VINÇOTTE A.S.B.L., 1996.
CONSTRUCTION DES LIGNES AÉRIENNES À HAUTE TENSION,
Charles Avril, éd. Eyrolles, 1984.
ELECTRICAL TRANSMISSION AND REFERENCE BOOK,
vol. 1 et 2, éd. Central Station Engineer of the Westinghouse Electric Corporation.
DYNAMIQUE DES RÉSEAUX DE TRANSPORT DE L’ÉNERGIE ÉLECTRIQUE,
T. Van Cutsem, notes de cours, Université de Liège, 1997.
CALCUL DES RÉSEAUX DE PUISSANCE,
J.L. Horward, notes de cours, Université de Liège, 1997.
TRANSMISSION LINE REFERENCE BOOK : CONDUCTOR MOTION,
Electric Power Research Institute, 1979.
OVERHEAD LINE DESIGN,
vol. 1 et 2, Electric Power Research Institute.
ELECTRIC POWER DISTRIBUTION SYSTEM ENGINEERING,
Turan Gönen, éd. John Wiley & Sons, 1986.
ELECTRIC POWER TRANSMISSION SYSTEM ENGINEERING : ANALYSIS AND DESIGN,
Turan Gönen, éd. John Wiley & Sons, 1985.
COMPORTEMENT ÉLECTROMÉCANIQUE DES RÉSEAUX,
Dr Jean-Louis Lilien, notes de cours, Université de Liège, 1998.
Calcul des caractéristiques R-L-C.
MODERN POWER SYSTEM ANALYSIS,
Turan Gönen, éd. John Wiley & Sons, 1988.
ANALYSIS OF FAULTED POWER SYSTEMS,
Paul Andeson, Iowa State University Press, 1973.
SECTION 5 : ANNEXES. 140
Perturbations dues à l'effet de couronne.
EFFET DE COURONNE – RÉSEAUX À HAUTE TENSION,
Dr Pol Pirotte, Presse Universitaires de Liège, A.S.B.L., 1980.
CARACTÉRISTIQUES DES LIGNES ET DES ÉQUIPEMENTS À HAUTE TENSION RELATIVES AUX PERTURBATIONS
RADIOÉLECTRIQUES, PREMIÈRE PARTIE : DESCRIPTION DES PHÉNOMÈNES,
Normes C.E.I. : publication 18-1, 1982.
PERTURBATIONS ENGENDRÉES PAR L’EFFET COURONNE DES RÉSEAUX DE TRANSPORT,
CIGRE Working Group 36.01, CIGRE, 1974.
INTERFERENCES PRODUCED BY CORONA EFFECT OD ELECTRIC SYSTEMS,
CIGRE Working Group 36.01, CIGRE, 1996.
CONTRIBUTION À L’ÉTUDE DES CONSÉQUENCES DE L’EFFET DE COURONNE SUR LES LIGNES AÉRIENNES À TRÈS
HAUTE TENSION CONTINUE,
Dr Pol Pirotte.
Calcul du champ électrique et du champ magnétique.
CHAMPS ÉLECTRIQUES ET MAGNÉTIQUES ENGENDRÉS PAR LES RÉSEAUX DE TRANSPORT,
CIGRE Working Group 36.01, CIGRE, 1980.
LE TRANSPORT DE L’ÉNERGIE ÉLECTRIQUE ET L’ENVIRONNEMENT : CHAMPS, BRUITS ET PERTURBATIONS,
CIGRE Working Group 36.01, CIGRE.
ELECTROTECHNIQUE I,
Dr W.Legros, Centrale des Cours de l'A.E.E.S., Université de Liège, 1997.
OVERHEAD LINE DESIGN IN RELATION TO ELECTRIC AND MAGNETIC FIELD LIMITS,
B.J. Maddock, Power Engineering Journal, septembre 1992.
Calcul de l'impédance et des capacités homopolaires.
MODERN POWER SYSTEM ANALYSIS,
Turan Gönen, éd. John Wiley & Sons, 1988.
ANALYSIS OF FAULTED POWER SYSTEMS,
Paul Andeson, Iowa State University Press, 1973.
CALCUL DE L'IMPÉDANCE DE SÉQUENCE ZÉRO DES CÂBLES,
Edward I. ANDERSON, Janusz KAROLAK, Tome 42, éd. Archiwum Elektrotechniki, 1993.
Câbles souterrains.
MANUEL TECHNIQUE DE CALCUL,
Société Nouvelle des Câbleries de Charleroi S.A., 1997.
CÂBLES D’ÉNERGIE,
Alcatel Cable Benelux, 1997.
CALCUL DU COURANT ADMISSIBLE DANS LES CÂBLES EN RÉGIME PERMANENT,
SECTION 5 : ANNEXES. 141
Norme C.E.I. : publication n°287 et compléments, 1982.
OPTIMISATION ÉCONOMIQUE DES SECTIONS D’ÂME DE CÂBLE,
Projet C.E.I., Montréal 1985, mise à jour de mars 1988.
OPTIMISATION ÉCONOMIQUE DE LA SECTION CONDUCTRICE DES CÂBLES D’ÉNERGIE SELON LE DOCUMENT C.E.I.
20A(BC)131 – MÉTHODE DE CALCUL SIMPLIFIÉE,
Daniel Kaszowski et Pierre Mirebeau, Sycabel.
Informatique.
LANGAGES DE PROGRAMMATION,
Dr. Daniel Ribbens, notes de cours, Université de Liège, 1997.
BORLAND DELPHI 3,
Gérald Deutsch, Michaël Gross, Karsten et Markus Richter, éd. Micro Applications, 1997.
GRAND LIVRE DE DELPHI 3,
Gérald Deutsch, Michaël Gross, Karsten et Markus Richter, éd. Micro Applications, 1997.
APPRENDRE LE C,
Claude Delannoy, 2ème édition, éd. Eyrolles, 1994.
APPRENDRE LE C++,
Claude Delannoy, 2ème édition, éd. Eyrolles, 1994.
Divers.
MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX ,
Charles Massonnet et Serge Cescotto, éd. De Boeck, 1994.
IEEE STANDARD DICTIONARY OF ELECTRICAL AND ELECTRONIC TERMS,
2ème édition, éd. John Wiley & Sons, 1977.
HANDBOOK OF MATHEMATICAL FUNCTIONS,
Miltonn Abramowitz et Irene A.Stegun, éd. Dover, 1970