dimensi metrik graf dan aplikasinya pada pemasangan sensor ...

DIMENSI METRIK GRAF DAN APLIKASINYA PADA

PEMASANGAN SENSOR KEBAKARAN

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Oleh:

Maria Meitia Eka Sulistiawati

NIM: 173114026

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2021

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

ii

THE METRIC DIMENSION OF A GRAPH AND ITS

APPLICATION TO FIRE SENSOR INSTALLATION

Paper

Presented as Fulfillment of the Requirements

To Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Written by:

Maria Meitia Eka Sulistiawati

Student ID: 173114026

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2021


vi

MOTTO

“Dream as if you will live forever and live as if you will die today.”

(One Ok Rock)


vii

HALAMAN PERSEMBAHAN

Karya ini saya persembahkan untuk:

Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai saya, kedua orang tua

dan keluarga saya, almamater yang saya banggakan, serta semua orang yang

menyayangi, mendukung, dan senantiasa mendoakan saya.


ix

ABSTRAK

Dimensi metrik graf adalah banyak anggota terkecil dari himpunan pembeda graf

tersebut. Himpunan pembeda adalah himpunan bagian dari titik-titik pada sebuah

graf terhubung yang dapat memberikan koordinat berbeda kepada setiap titik pada

graf tersebut. Salah satu bentuk pengaplikasian dari konsep dimensi metrik pada

kehidupan sehari-hari adalah dalam pemasangan sensor kebakaran di sebuah ge-

dung. Pada tulisan ini akan diterapkan konsep dimensi metrik pada pemasangan

sensor kebakaran di Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma untuk

mendapat jumlah sensor dan letak pemasangan yang optimal.

Kata kunci: Graf, Dimensi Metrik Suatu Graf, Himpunan Pembeda


x

ABSTRACT

Metric dimension of a graph is the minimum number of elements of resolving set

of the graph. Resolving set is a subset of the set of all vertices of a connected graph

that can give different coordinates to each point on that graph. One of metric di-

mension applications in daily life is the fire sensor installation in a building. In this

paper metric dimension is applied to the fire sensor installation in the main building

of the 3rd Campus of Sanata Dharma University to get the optimal number of sen-

sors and installation location of the sensors.

Keywords: Graph, Metric Dimension of Graph, Resolving Set


xiii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ................................................................................................ i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ............................................ ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... iii

HALAMAN PENGESAHAN ................................................................................ iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ................................................................. v

MOTTO ................................................................................................................. vi

HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... viii

ABSTRAK ............................................................................................................. ix

ABSTRACT ............................................................................................................ x

KATA PENGANTAR ........................................................................................... xi

DAFTAR ISI ........................................................................................................ xiii

DAFTAR GAMBAR ............................................................................................ xv

DAFTAR TABEL ............................................................................................... xvii

DAFTAR NOTASI ............................................................................................ xviii

BAB I PENDAHULUAN ....................................................................................... 1

A. Latar Belakang ............................................................................................ 1

B. Perumusan Masalah ..................................................................................... 3

C. Batasan Masalah .......................................................................................... 4

D. Tujuan .......................................................................................................... 4

E. Metode Penulisan ........................................................................................ 4

F. Manfaat Penulisan ....................................................................................... 4

G. Sistematika Penulisan .................................................................................. 4


xiv

BAB II GRAF ......................................................................................................... 6

A. Graf .............................................................................................................. 6

B. Jalan, Lintasan, dan Jarak ............................................................................ 9

C. Beberapa Jenis Graf .................................................................................. 12

BAB III DIMENSI METRIK................................................................................ 18

A. Dimensi Metrik ......................................................................................... 18

B. Dimensi Metrik Pada Beberapa Graf ........................................................ 29

BAB IV PENGAPLIKASIAN DIMENSI METRIK PADA PEMASANGAN

SENSOR KEBAKARAN ..................................................................................... 44

A. Pembentukan Graf Terhubung .................................................................. 44

B. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Per Lantai ..................... 48

C. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Untuk Satu Bangunan .. 57

D. Hasil dan Pembahasan ............................................................................... 58

BAB V PENUTUP ................................................................................................ 62

A. Kesimpulan ................................................................................................ 62

B. Saran .......................................................................................................... 63

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 64

LAMPIRAN .......................................................................................................... 66


xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 Model Jembatan Könisberg ............................................................... 1

Gambar 1.2 Graf model Jembatan Könisberg ....................................................... 2

Gambar 2.1 Graf 𝐴 ................................................................................................ 7

Gambar 2.2 Graf 𝐵 ................................................................................................ 8

Gambar 2.3 Graf 𝐶 ................................................................................................ 9

Gambar 2.4 Graf 𝐸 ................................................................................................ 11

Gambar 2.5 Graf 𝐷 ................................................................................................ 11

Gambar 2.6 Graf Teratur ....................................................................................... 12

Gambar 2.7 Graf Lengkap..................................................................................... 13

Gambar 2.8 Graf Lingkaran .................................................................................. 13

Gambar 2.9 Graf Lintasan ..................................................................................... 14

Gambar 2.10 Graf Bipartit .................................................................................... 14

Gambar 2.11 Graf Bipartit Lengkap ..................................................................... 15

Gambar 2.12 Graf Bintang .................................................................................... 15

Gambar 2.13 Graf Sapu......................................................................................... 16

Gambar 2.14 Graf Kecebong ................................................................................ 16

Gambar 2.15 Graf 𝐺 dan Graf 𝐻 ........................................................................... 17

Gambar 3.1 Graf 𝐹 ................................................................................................ 18

Gambar 3.2 Graf 𝐻 ............................................................................................... 19

Gambar 3.3 Graf 𝐺 ................................................................................................ 23


xvi

Gambar 3.4 Lintasan di antara titik 𝑢 − 𝑤 ........................................................... 24

Gambar 3.5 Graf Sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑 ............................................................................... 35

Gambar 3.6 Graf 𝐺 ................................................................................................ 40

Gambar 4.1 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai

basement ................................................................................................................ 44

Gambar 4.2 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai

ground ................................................................................................................... 44

Gambar 4.3 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai satu ..... 45

Gambar 4.4 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai dua ...... 45

Gambar 4.5 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai tiga ...... 46

Gambar 4.6 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di lantai empat .. 46

Gambar 4.7 Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang Gedung Utama

Kampus III Universitas Sanata Dharma ................................................................ 56


xvii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Sisi dan titik graf Gambar 2.1 ............................................................... 7

Tabel 3.1 Himpunan titik dan himpunan pembeda dari Graf 𝐻 ........................... 19

Tabel 4.1 Daftar ruangan Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata

Dharma .................................................................................................................. 47

Tabel 4.2 Hasil pencarian dimensi metrik untuk beberapa graf secara analitik

dan melalui program ............................................................................................. 57


xviii

DAFTAR NOTASI

𝐺(𝑉, 𝐸) : graf dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸

𝑉(𝐺) : himpunan titik pada graf 𝐺

𝐸(𝐺) : himpunan sisi pada graf 𝐺

𝑛(𝐺) : banyak titik pada graf 𝐺

𝑣𝑖 : titik ke-𝑖 pada graf 𝐺

𝑒𝑖 : sisi ke-𝑖 pada graf 𝐺

∈ : anggota himpunan

𝑑(𝑢, 𝑣) : panjang minimum lintasan 𝑢 − 𝑣

𝐾𝑛 : graf lengkap dengan 𝑛 titik

𝐶𝑛 : graf lingkaran dengan 𝑛 titik

𝑃𝑛 : graf lintasan dengan 𝑛 titik

𝐾𝑟,𝑠 : graf bipartit lengkap dengan himpunan titik beranggotakan 𝑟 dan

𝑠 titik

𝐾1,𝑠 : graf bintang dengan 𝑠 + 1 titik

𝐵𝑛,𝑑 : graf sapu dengan 𝑑 titik pada lintasan dan 𝑛 − 𝑑 titik bertetangga

dengan titik ujung lintasan

𝑇𝑛,𝑘 : graf kecebong yang terdiri atas lintasan 𝑃𝑘 dan graf lingkaran 𝐶𝑛

𝐾𝑛 : graf lengkap dengan 𝑛 titik

⊆ : sub himpunan

𝕫+ : himpunan bilangan bulat positif

𝐴\{𝑎, 𝑏} : himpunan 𝐴 dikurangi himpunan {𝑎, 𝑏}


1

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Teori graf adalah salah satu bagian dalam Matematika Diskret yang

cukup banyak diaplikasikan di masa kini. Teori graf diperkenalkan oleh Leo-

nhard Euler, seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada tahun 1736.

Munculnya teori graf dimulai dari sebuah permasalahan yang kala itu cukup

terkenal di Eropa, yaitu masalah Jembatan Könisberg. Masalah ini bermula

ketika masyarakat kota Könisberg ingin melintasi tujuh jembatan yang

menghubungkan empat bagian dari kota Könisberg dengan syarat semua jem-

batan dilewati tepat satu kali dan mereka harus kembali ke titik awal lintasan

(Douglass, 2001).

Gambar 1.1: Model Jembatan Könisberg

Euler yang tertarik pada masalah Jembatan Könisberg, kemudian men-

coba merepresentasikan permasalahan tersebut ke dalam sebuah gambar yang

terdiri atas titik dan garis. Representasi tersebut kemudian dikenal sebagai da-

sar dari teori graf dan bukti bahwa tidak terdapat kemungkinan untuk melewati

setiap jembatan tepat sekali hingga sampai kembali ke titik awal lintasan yang

dikenal sebagai Teorema Euler.


2

Gambar 1.2: Graf model Jembatan Könisberg

Graf merupakan suatu konsep yang terdiri atas dua bagian utama yaitu titik

(vertex) dan sisi (edge). Sebuah graf 𝐺 memiliki himpunan tak kosong titik

yang dinotasikan dengan 𝑉(𝐺) dan himpunan sisi yang dinotasikan dengan

𝐸(𝐺). Setiap sisi dari suatu graf menghubungkan paling banyak dua titik di

antaranya.

Pengaplikasian teori graf dapat kita temui dalam berbagai bidang ke-

hidupan, misalnya pada perancangan jalur transportasi, penyusunan jadwal, op-

timalisasi jaringan komunikasi, perancangan jaringan elektronik, representasi

jaringan pertemanan dalam media sosial, dll. Salah satu pengembangan teori

graf yang dapat kita temui adalah dimensi metrik.

Konsep dimensi metrik pertama kali dicetuskan oleh Slater pada tahun

1975 sebelum akhirnya dikembangkan oleh Melter dan Harary pada tahun

1976. Misalkan G adalah sebuah graf terhubung yang memiliki himpunan ver-

tex 𝑉(𝐺), maka untuk sebarang 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) didefinisikan 𝑑(𝑢, 𝑣) sebagai ja-

rak antara titik 𝑢 dan 𝑣. Jarak antara titik 𝑢 dan 𝑣 merupakan banyak sisi pada

lintasan terpendek yang menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣. Jika 𝑊 =

{𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤𝑘} adalah himpunan bagian dari 𝑉(𝐺), maka representasi

metrik dari titik 𝑣 pada graf 𝐺 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤1),

𝑑(𝑣, 𝑤2), 𝑑(𝑣, 𝑤3), … , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)), dan himpunan 𝑊 disebut himpunan pem-

beda (resolving set) jika untuk 𝑢 ≠ 𝑣, 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊). Himpunan pem-

beda kemudian dijadikan sebagai referensi dalam memberikan koordinat atau

membedakan semua titik pada graf 𝐺. Dimensi metrik adalah banyak anggota

minimum dari himpunan pembeda. Konsep dimensi metrik akan diaplikasikan


3

dalam salah satu permasalahan dunia nyata, salah satunya pada pemasangan

sensor kebakaran.

Sensor kebakaran merupakan salah satu bagian penting dalam pem-

bangunan sebuah gedung terlebih gedung bertingkat. Alat ini dirancang untuk

mengetahui ruangan mana yang menjadi sumber api, sehingga pencegahan

penyebaran api dapat segera dilakukan. Terdapat beberapa pertimbangan yang

harus dicermati sebelum memutuskan berapa jumlah sensor kebakaran yang

akan dipasang. Sensor kebakaran yang terlalu sedikit dapat menyebabkan kesu-

litan dalam mendeteksi sumber api, sementara jumlah sensor kebakaran yang

terlalu banyak akan memakan biaya yang besar dalam pengadaannya.

Pemasangan sensor kebakaran yang optimal sangat baik diaplikasikan

dalam gedung-gedung bertingkat seperti gedung kampus. Salah satu gedung

yang dapat kita teliti mengenai hal tersebut adalah Gedung Utama Kampus III

Universitas Sanata Dharma yang terdiri atas enam lantai utama yaitu Basement,

Ground, lantai 1, lantai 2, lantai 3, dan lantai 4. Pemasangan sensor kebakaran

yang optimal dapat menghemat biaya pengadaan dan tentunya mengoptimal-

kan pengawasan terhadap bahaya kebakaran yang mungkin terjadi.

B. Perumusan Masalah

Rumusan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah se-

bagai berikut:

1. Apakah yang dimaksud dengan dimensi metrik graf?

2. Bagaimana cara menentukan dimensi metrik suatu graf?

3. Bagaimana aplikasi dimensi metrik graf dalam pemasangan sensor keba-

karan?


4

C. Batasan Masalah

Dimensi metrik pada tulisan ini akan dibahas tanpa memperhitungkan

operasi pada graf. Selain itu pengaplikasian akan dilakukan untuk pemasangan

sensor kebakaran setiap lantai dan untuk keseluruhan gedung tanpa memper-

hatikan kemungkinan lainnya seperti setiap dua lantai atau setiap tiga lantai.

D. Tujuan

Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mempelajari dan menerap-

kan teori graf terkhusus dimensi metrik dalam mengoptimalkan pemasangan

sensor kebakaran pada Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah metode

penelitian kepustakaan, yaitu dengan membaca dan mempelajari buku, jurnal,

dan artikel yang berkaitan dengan dimensi metrik dan penerapannya.

F. Manfaat Penulisan

Manfaat dari penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui cara

mengoptimalkan pemasangan sensor kebakaran pada Gedung Utama Kampus

III Universitas Sanata Dharma.

G. Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Perumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Tujuan Penulisan


5

E. Manfaat Penulisan

F. Metode Penulisan

G. Sistematika Penulisan

BAB II GRAF

A. Graf

B. Jarak, Lintasan, dan Jarak

C. Macam-Macam Graf

BAB III DIMENSI METRIK

A. Dimensi Metrik

B. Dimensi Metrik Pada Beberapa Graf

BAB IV PENGAPLIKASIAN DIMENSI METRIK PADA PEMASANGAN

SENSOR KEBAKARAN

A. Pembentukan Graf Terhubung

B. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Per Lantai

C. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Untuk Satu Gedung

D. Hasil dan Pembahasan

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran


6

BAB II

GRAF

A. Graf

Definisi 2.1.1 (Vasudev, 2006)

Graf adalah sistem yang terdiri atas dua himpunan yaitu himpunan

tidak kosong titik dan himpunan sisi. Sisi pada graf adalah garis, tidak selalu

garis lurus, yang menghubungkan dua titik pada graf tersebut. Titik-titik yang

dihubungkan oleh sebuah sisi disebut titik ujung dari sisi tersebut. Sebuah sisi

yang menghubungkan titik 𝑣 dan 𝑤 dinotasikan dengan 𝑣𝑤 atau 𝑤𝑣.

Himpunan titik adalah himpunan tak kosong yang terdiri atas titik-titik

pada graf 𝐺, biasa dilambangkan dengan 𝑉(𝐺). Himpunan sisi adalah him-

punan berhingga yang terdiri atas kumpulan sisi pada graf 𝐺 dan biasa

dilambangkan dengan 𝐸(𝐺).

Himpunan titik dari suatu graf 𝐺 biasa ditulis dengan 𝑉(𝐺) =

{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, … , 𝑣𝑛}, sementara himpunan sisinya dapat ditulis sebagai

𝐸(𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, … , 𝑒𝑛}. Graf 𝐺 dengan himpunan titik 𝑉(𝐺) dan him-

punan sisi 𝐸(𝐺) kemudian dinotasikan sebagai 𝐺(𝑉, 𝐸).

Definisi 2.1.2 (Chartrand et al, 2000)

Banyak titik pada graf 𝐺 disebut order dari 𝐺 dan biasanya dinotasikan

dengan 𝑛(𝐺).

Contoh 2.1.1

Graf 𝐴 yang diperlihatkan pada Gambar 2.1 terdiri atas himpunan titik

yaitu 𝑉(𝐴) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6, 𝑣7}, himpunan sisi yaitu 𝐸(𝐴) =

{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7, 𝑒8, 𝑒9}, dan order dari graf 𝐴 adalah 7.


7

Gambar 2.1: Graf 𝐴

Titik-titik ujung dari himpunan sisi 𝐸(𝐴) adalah:

Tabel 2.1 Sisi dan titik graf Gambar 2.1

Sisi Titik Ujung

𝑒1 𝑣1 dan 𝑣2







𝑒8 𝑣7



Sebuah sisi yang menghubungkan sebuah titik dengan dirinya sendiri

disebut loop, dan jika dua buah titik dihubungkan oleh lebih dari dua sisi maka

kedua titik tersebut memiliki sisi ganda. Graf sederhana adalah graf yang tidak

memiliki loop dan sisi ganda di dalamnya.

𝑣1

𝑣2 𝑣3

𝑣4

𝑣5

𝑣6

𝑣7

𝑒1

𝑒2

𝑒3

𝑒4

𝑒5

𝑒6

𝑒7

𝑒8

𝑒9


8

Contoh 2.1.2

1. Pada graf pada Gambar 2.1 terdapat satu buah loop yaitu 𝑒8 yang

menghubungkan 𝑣7 dengan dirinya sendiri. Selain itu graf 𝐴 juga me-

miliki sisi ganda yaitu 𝑒2 dan 𝑒9 yang menghubungkan 𝑣2 dan 𝑣3.

2.

Gambar 2.2: Graf 𝐵

Graf 𝐵 merupakan graf sederhana karena tidak terdapat loop dan sisi

ganda di dalamnya, sementara graf 𝐴 pada Gambar 2.1 merupakan graf

tidak sederhana karena memiliki loop dan sisi ganda di dalamnya.

Definisi 2.1.4 (Wilson, 2010)

Titik 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) disebut bertetangga jika terdapat sebuah sisi yang

menghubungkan keduanya. Sisi yang menghubungkan titik 𝑢 dan 𝑣 kemudian

dikatakan bersinggungan dengan kedua titik tersebut.

Contoh 2.1.3

Perhatikan graf 𝐴 pada Gambar 2.1. Titik 𝑣1 bertetangga dengan

𝑣2, 𝑣4, 𝑣5, dan 𝑣6. Kemudian sisi 𝑒1, 𝑒4, 𝑒5, dan 𝑒6 dikatakan bersinggungan

dengan titik 𝑣1.


Derajat dari sebuah titik 𝑣 pada graf 𝐺 adalah banyaknya sisi yang ber-

singgungan dengan 𝑣, dan dituliskan dengan lambang deg (𝑣). Pada proses

𝑒1

𝑣2

𝑣3

𝑣1

𝑣4 𝑣5

𝑣6 𝑒2

𝑒3 𝑒4

𝑒5

𝑒6


9

penentuan derajat biasanya digunakan kesepakatan bahwa sebuah loop me-

miliki derajat 2.

Contoh 2.1.4

Titik 𝑣1 pada graf 𝐴 (Gambar 2.1) memiliki empat sisi yang ber-

singgungan dengannya yaitu sisi 𝑒1, 𝑒4, 𝑒5, dan 𝑒6, maka deg(𝑣1) = 4.

B. Jalan, Lintasan, dan Jarak


Misalkan 𝑢 dan 𝑣 merupakan titik pada graf 𝐺. Sebuah jalan 𝑊 dari

graf 𝐺 adalah sebuah barisan hingga selang seling antara titik dan sisi yang

diawali oleh titik 𝑢 dan diakhiri dengan titik 𝑣, dinotasikan sebagai 𝑊: 𝑢 =

𝑢0, 𝑒1, 𝑢1, 𝑒2, … , 𝑢𝑘−1, 𝑒𝑘, 𝑢𝑘 = 𝑣 dengan 𝑒𝑖 merupakan sisi yang menghu-

bungkan 𝑢𝑖−1 dengan 𝑢𝑖, untuk 𝑖 = 1, 2, … , 𝑘. Lebih lanjut jalan tersebut juga

disebut sebagai jalan 𝑢 − 𝑣. Banyak sisi yang terdapat pada barisan tersebut

disebut panjang dari jalan 𝑢 − 𝑣.

Contoh 2.2.1

Gambar 2.3: Graf 𝐶

Graf 𝐶 adalah graf dengan 𝑉(𝐶) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6} dan 𝐸(𝐶) =

{𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6, 𝑒7, 𝑒8, 𝑒9}. Berikut beberapa jalan yang dapat dibentuk

pada graf 𝐶:

𝑣1 𝑒1

𝑣2 𝑣3

𝑣4 𝑣5 𝑣6

𝑒2

𝑒3

𝑒4 𝑒5

𝑒6 𝑒7 𝑒8 𝑒9


10

1. Jalan 𝑣1 − 𝑣4, 𝑊: 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, 𝑣3, 𝑒3, 𝑣4 merupakan jalan dengan pan-

jang 3.

2. Jalan 𝑣4 − 𝑣2, 𝑊: 𝑣4, 𝑒4, 𝑣5, 𝑒5, 𝑣6, 𝑒6, 𝑣1, 𝑒2, 𝑣5, 𝑒8, 𝑣2 merupakan jalan

dengan panjang 5.

3. Jalan 𝑣6 − 𝑣4, 𝑊: 𝑣6, 𝑒5, 𝑣5, 𝑒8, 𝑣2, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒7, 𝑣5, 𝑒4, 𝑣4 merupakan jalan

dengan panjang 5.


Jalan tertutup adalah jalan dengan titik awal dan titik akhir yang sama

(𝑢 = 𝑣) sementara jalan terbuka merupakan jalan dengan dengan titik awal

dan titik akhir yang berbeda (𝑢 ≠ 𝑣). Sebuah jejak adalah jalan 𝑢 − 𝑣 dimana

tidak ada sisi yang berulang, sementara lintasan 𝑢 − 𝑣 (path) adalah sebuah

jalan dimana tidak ada pengulangan titik.

Contoh 2.2.2

Pada graf 𝐶 di contoh 2.2.1 dapat dibentuk jalan terbuka, jalan tertutup,

jejak, dan path.

1. Jalan 𝑣1 − 𝑣4, 𝑊: 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒2, 𝑣3, 𝑒3, 𝑣4 merupakan jalan terbuka.

2. Jalan 𝑣1 − 𝑣1, 𝑊: 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒8, 𝑣5, 𝑒7, 𝑣1 merupakan jalan tertutup.

3. Jalan 𝑣6 − 𝑣3, 𝑊: 𝑣6, 𝑒5, 𝑣5, 𝑒7, 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2, 𝑒8, 𝑣5, 𝑒4, 𝑣4, 𝑒3, 𝑣3 merupa-

kan jejak.

4. Jalan 𝑣4 − 𝑣1, 𝑊: 𝑣4, 𝑒9, 𝑣2, 𝑒8, 𝑣5, 𝑒7, 𝑣1 merupakan lintasan.

Definisi 2.2.3 (Epp, 2011)

Graf 𝐺 dikatakan terhubung jika dan hanya jika untuk setiap dua titik 𝑢

dan 𝑣 pada 𝐺 terdapat sebuah jalan dari 𝑢 ke 𝑣.


11

Contoh 2.2.3

Gambar 2.4: Graf 𝐸

Graf 𝐸 merupakan graf terhubung karena untuk setiap dua titik terdapat

sebuah jalan yang menghubungkan kedua titik tersebut.

1. Di antara titik 𝑣1 dan 𝑣2 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣1, 𝑒1, 𝑣2.




5. Di antara titik 𝑣2 dan 𝑣4 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣2, 𝑒1, 𝑣1, 𝑒4, 𝑣4.

6. Di antara titik 𝑣3 dan 𝑣4 terdapat sebuah jalan yaitu 𝑣3, 𝑒3, 𝑣1, 𝑒4, 𝑣4.


Untuk sebuah graf terhubung 𝐺 didefinisikan jarak antara sebarang dua

titik 𝑢 dan 𝑣 sebagai panjang minimum lintasan 𝑢 − 𝑣 dari 𝐺 yang kemudian

dinotasikan sebagai 𝑑(𝑢, 𝑣).

Definisi 2.2.5 (Ore, 1968)

Diameter dari graf 𝐺 adalah jarak terpanjang yang mungkin untuk sem-

barang dua titik pada 𝐺.

Contoh 2.2.4

Gambar 2.5: Graf 𝐷

𝑣1

𝑒1

𝑣2

𝑣3

𝑣4

𝑣5

𝑒2

𝑒3 𝑒4

𝑒5

𝑒1

𝑣2 𝑣3

𝑣1

𝑣4 𝑒2

𝑒3

𝑒4


12

Semua jarak dari setiap pasangan dua titik yang berbeda pada graf 𝐷

yaitu 𝑑(𝑣1, 𝑣2) = 1, 𝑑(𝑣1, 𝑣3) = 2, 𝑑(𝑣1, 𝑣4) = 2, 𝑑(𝑣1, 𝑣5) = 1, 𝑑(𝑣2, 𝑣3) =

1, 𝑑(𝑣2, 𝑣4) = 1, 𝑑(𝑣2, 𝑣5) = 2, (𝑣3, 𝑣4) = 2, 𝑑(𝑣3, 𝑣5) = 3, 𝑑(𝑣4, 𝑣5) = 1.

Diameter dari graf 𝐷 adalah 3.

C. Beberapa Jenis Graf

Pada perkembangannya graf dibedakan ke dalam beberapa kelompok

berdasarkan beberapa hal seperti ada atau tidaknya sisi ganda dan loop, arah

sisinya, dan jumlah titik pada graf. Pada tulisan ini dibutuhkan beberapa

macam graf yaitu graf lingkaran, graf lintasan, graf bintang, graf sapu, dan graf

kecebong (tadpole).


Graf regular atau graf teratur adalah sebuah graf dengan semua titik

pada graf memiliki derajat yang sama. Jika setiap titik pada graf 𝐺 memiliki

derajat 𝑟 maka graf 𝐺 disebut graf teratur berderajat 𝑟.

Contoh 2.3.1

Ketiga graf pada Gambar 2.6 merupakan graf teratur

Gambar 2.6: Graf Teratur


Graf lengkap adalah graf teratur dengan derajat setiap titik adalah 𝑛 −

1. Graf lengkap dinotasikan dengan 𝐾𝑛.


13

Contoh 2.3.2

Graf pada Gambar 2.7 merupakan graf lengkap dengan banyak titik berturut-

turut 3, 4, dan 5.

Gambar 2.7: Graf Lengkap


Sebuah graf terhubung yang setiap titiknya berderajat 2 disebut graf

lingkaran dan dinotasikan dengan 𝐶𝑛 dimana 𝑛 merupakan banyak titik pada

graf tersebut.

Contoh 2.3.3

Berikut merupakan contoh graf lingkaran:

Gambar 2.8: Graf Lingkaran


Graf yang diperoleh dari 𝐶𝑛 dengan cara menghilangkan salah satu

sisinya disebut graf lintasan dan dinotasikan dengan 𝑃𝑛 dimana 𝑛 merupakan

banyak titik pada graf tersebut. Titik dengan derajat satu biasa disebut titik

ujung (titik awal atau titik akhir) pada sebuah lintasan.

𝐾3 𝐾4 𝐾5

𝐶3 𝐶4 𝐶5


14

Contoh 2.3.4

Berikut merupakan contoh graf lintasan:

Gambar 2.9: Graf Lintasan


Jika himpunan titik pada graf 𝐺 dapat dipartisi menjadi dua buah him-

punan 𝐴 dan 𝐵 yang saling lepas atau asing, sehingga tiap-tiap sisi pada graf 𝐺

bersinggungan dengan satu titik pada 𝐴 dan satu titik pada 𝐵, maka 𝐺 disebut

graf bipartit. Titik-titik pada graf lintasan 𝑃𝑛 yang memiliki derajat 1 disebut

titik-titik ujung

Contoh 2.3.5

Berikut contoh graf bipartit dimana titik pada himpunan 𝐴 diberi warna

hitam sementara titik pada himpunan 𝐵 diberi warna putih.

Gambar 2.10: Graf Bipartit


Sebuah graf bipartit lengkap adalah graf bipartit dimana setiap titik

pada 𝐴 terhubung ke setiap titik pada 𝐵 oleh tepat satu sisi. Graf bipartit

lengkap dinotasikan dengan 𝐾𝑟,𝑠 dimana 𝑟 merupakan banyak anggota him-

punan 𝐴 dan 𝑠 merupakan banyak anggota himpunan 𝐵.

𝑃3 𝑃4


15

Contoh 2.3.6

Titik-titik pada graf (Gambar 2.11) terbagi ke dalam dua himpunan di-

mana titik pada himpunan 𝐴 akan diberi warna hitam sementara titik pada him-

punan 𝐵 akan diberi warna putih. Graf berikut dikatakan bipartit lengkap ka-

rena setiap titik pada himpunan 𝐴 terhubung ke setiap titik pada himpunan 𝐵

oleh tepat satu sisi.

Gambar 2.11: Graf Bipartit Lengkap


Graf bipartit lengkap dengan salah satu himpunan berisi 1 titik atau 𝐾1,𝑠

dengan 𝑠 ≥ 3 disebut graf bintang.

Contoh 2.3.7

Berikut contoh graf bintang dimana titik pada himpunan 𝐴 diberi warna

hitam sementara titik pada himpunan 𝐵 diberi warna putih.

Gambar 2.12: Graf Bintang

𝐾1,3 𝐾2,4 𝐾3,3

𝐾1,3 𝐾1,4 𝐾1,5


16

Definisi 2.3.8 (Morgan et al, 2011)

Graf sapu 𝐵𝑛,𝑑 adalah graf terhubung dengan 𝑛 titik yang terdiri atas

lintasan 𝑃𝑑 dan (𝑛 − 𝑑) titik lainnya bertetangga dengan hanya salah satu titik

ujung dari lintasan 𝑃𝑑.

Contoh 2.3.8

Berikut merupakan contoh graf sapu.

Gambar 2.13: Graf Sapu

Definisi 2.3.9 (Gallian, 2020)

Graf kecebong atau tadpole graph 𝑇𝑛,𝑘 adalah graf yang terdiri atas

graf lingkaran 𝐶𝑛 dan sebuah lintasan 𝑃𝑘, dimana titik awal atau titik akhir dari

lintasan tersebut bertetangga dengan sebuah titik pada graf lingkaran tersebut.

Contoh 2.3.9

Berikut merupakan contoh graf kecebong.

Gambar 2.14: Graf Kecebong (Tadpole)

𝐵5,2 𝐵8,3

𝑇5,2 𝑇4,3


17


Jika 𝐺 dan 𝐻 adalah graf dengan 𝑉(𝐻) ⊆ 𝑉(𝐺) dan 𝐸(𝐻) ⊆ 𝐸(𝐺),

maka 𝐻 adalah subgraf dari 𝐺 dan 𝐺 adalah supergraf dari 𝐻.

Contoh 2.3.10

Gambar 2.15: Graf 𝐺 dan Graf 𝐻

Graf 𝐻 merupakan subgraf dari graf 𝐺 dan graf 𝐺 merupakan super-

graf dari graf 𝐻.

𝑏

𝑐 𝑎

𝑑

𝑒

𝐺 𝐻

𝑏

𝑐 𝑎 𝑒


18

BAB III

DIMENSI METRIK

A. Dimensi Metrik

Teori graf merupakan salah satu cabang ilmu Matematika yang banyak

dikembangkan di masa kini. Salah satu pengembangan dari teori graf adalah

dimensi metrik. Konsep dimensi metrik diperkenalkan oleh Slater pada tahun

1975 dan juga oleh Harary dan Melter pada tahun 1976. Dimensi metrik pada

graf bertujuan untuk memberikan koordinat kepada semua titik pada graf 𝐺,

dimana representasi atau koordinat satu titik berbeda dengan titik lainnya.


Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung, 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤𝑘} ⊆ 𝑉(𝐺),

𝑘 ∈ ℤ+, dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), maka representasi metrik dari titik 𝑣 terhadap him-

punan 𝑊 adalah k-tupple 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤1), 𝑑(𝑣, 𝑤2), 𝑑(𝑣, 𝑤3),

… , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)). Himpunan 𝑊 disebut sebagai himpunan pembeda (resolving set)

jika untuk 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢 ≠ 𝑣 maka 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊).

Contoh 3.1.1

Graf 𝐹 merupakan graf terhubung dengan 𝑉(𝐹) = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.

Gambar 3.1: Graf 𝐹

Misalkan 𝑊1 = {𝑎, 𝑐} dan 𝑊2 = {𝑎, 𝑏}. Himpunan 𝑊1 = {𝑎, 𝑐} bukan

merupakan himpunan pembeda karena 𝑟(𝑑|𝑊1) = (𝑑(𝑑, 𝑎), 𝑑(𝑑, 𝑐)) = (1,1),

𝑏

𝑐 𝑎

𝑑

𝑒


19

𝑟(𝑒|𝑊1) = (𝑑(𝑒, 𝑎), 𝑑(𝑒, 𝑐)) = (1,1), dan 𝑟(𝑑|𝑊1) = 𝑟(𝑒|𝑊1) padahal 𝑑 ≠

𝑒. Sementara untuk himpunan 𝑊2 = {𝑎, 𝑏} didapat 𝑟(𝑎|𝑊2) =

(𝑑(𝑎, 𝑎), 𝑑(𝑎, 𝑏)) = (0,2), 𝑟(𝑏|𝑊2) = (𝑑(𝑏, 𝑎), 𝑑(𝑏, 𝑏)) = (2,0),

𝑟(𝑐|𝑊2) = (𝑑(𝑐, 𝑎), 𝑑(𝑐, 𝑏)) = (2,1), 𝑟(𝑑|𝑊2) = (𝑑(𝑑, 𝑎), 𝑑(𝑑, 𝑏)) =

(1,2), 𝑟(𝑒|𝑊2) = (𝑑(𝑒, 𝑎), 𝑑(𝑒, 𝑏)) = (1,1). Karena untuk setiap pasang sim-

pul berbeda 𝑢 dan 𝑣, 𝑟(𝑢|𝑊2) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊2) maka 𝑊2 adalah himpunan pem-

beda.


Himpunan pembeda dengan banyak anggota terkecil untuk suatu graf

𝐺 disebut himpunan pembeda minimum dan banyak anggota dari himpunan

pembeda minimum disebut dimensi metrik dari 𝐺, dinotasikan dengan dim(𝐺).

Contoh 3.1.2

Gambar 3.2: Graf 𝐻

Graf 𝐻 merupakan graf dengan himpunan titik 𝑉(𝐻) = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}.

Tabel 3.1 Himpunan titik dan himpunan pembeda dari Graf 𝐻

𝑊 𝑟(𝑢|𝑊), 𝑢 ∈ 𝑉(𝐻) Apakah Himpunan Pembeda?

{𝑎} 𝑟(𝑎|𝑊) = (0), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1),

𝑟(𝑐|𝑊) = (2), 𝑟(𝑑|𝑊) = (1) Bukan himpunan pembeda

{𝑏} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (0),


{𝑐} 𝑟(𝑎|𝑊) = (2), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1),


𝑏

𝑐 𝑎 𝑑


20

{𝑑} 𝑟(𝑎|𝑊) = (1), 𝑟(𝑏|𝑊) = (1),


{𝑎, 𝑏}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,0), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1)

Himpunan pembeda

{𝑎, 𝑐}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,2), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (0,2),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1)

Bukan himpunan pembeda

{𝑎, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,0)

Himpunan pembeda

{𝑏, 𝑐}

𝑟(𝑎|𝑊) = (1,2), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (1,0),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1)

Himpunan pembeda

{𝑏, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (1,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,0)

Bukan himpunan pembeda

{𝑐, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (0,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,0)

Himpunan pembeda

{𝑎, 𝑏, 𝑐}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1,2), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1,0),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,1)

Himpunan pembeda

{𝑎, 𝑏, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,0,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,0)

Himpunan pembeda

{𝑎, 𝑐, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (2,0,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,0)

Himpunan pembeda


21

{𝑏, 𝑐, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (1,2,1), 𝑟(𝑏|𝑊) =

(0,1,1), 𝑟(𝑐|𝑊) = (1,0,1),

𝑟(𝑑|𝑊) = (1,1,0)

Himpunan pembeda

{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}

𝑟(𝑎|𝑊) = (0,1,2,1),

𝑟(𝑏|𝑊) = (1,0,1,1),

𝑟(𝑐|𝑊) = (2,1,0,1), 𝑟(𝑑|𝑊) =

(1,1,1,0)

Himpunan pembeda

Himpunan pembeda dengan banyak anggota 2 adalah {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑑},

{𝑏, 𝑐}, dan {𝑐, 𝑑} dimana 2 merupakan banyak anggota terkecil dari semua him-

punan pembeda yang mungkin. Hal ini menyebabkan himpunan pembeda

dengan banyak anggota 2 menjadi himpunan pembeda minimum. Maka di-

mensi metrik dari graf 𝐻 adalah 2 atau dim(𝐻) = 2.

Teorema 3.1.1 (Chartrand et al, 2000)

Jika 𝐺 adalah graf terhubung dengan order 𝑛 ≥ 2 dan diameter 𝑑, maka

dim(𝐺) ≤ 𝑛 − 𝑑.

Bukti

Misalkan 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), dimana 𝑑(𝑢, 𝑣) = 𝑑, order dari graf 𝐺 adalah 𝑛,

dan misalkan 𝑣0, 𝑣1, … , 𝑣𝑑 merupakan titik-titik di lintasan 𝑢 − 𝑣 dimana 𝑢 =

𝑣0 dan 𝑣 = 𝑣𝑑. Misalkan 𝑊 = 𝑉(𝐺)/{𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑑} = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑛−𝑑}

maka 𝑊 adalah himpunan dengan banyak anggota 𝑛 − 𝑑

Terlebih dahulu kita akan buktikan bahwa 𝑊 merupakan himpunan

pembeda. Kita ketahui bahwa titik-titik pada 𝐺 terbagi menjadi dua bagian

yaitu titik-titik di dalam 𝑊 dan 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑑. Representasi metrik setiap titik

pada 𝑊 terhadap 𝑊 adalah

𝑟(𝑤1|𝑊) = (0, 𝑑(𝑤1, 𝑤2), 𝑑(𝑤1, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛))

𝑟(𝑤2|𝑊) = (𝑑(𝑤2, 𝑤1), 0, 𝑑(𝑤2, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛))

⋮


22

𝑟(𝑤𝑛−1|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤2), … ,0, 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤𝑛))

𝑟(𝑤𝑛|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤2), … , 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤𝑛−1), 0)

Tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 yang

sama.

Berikutnya untuk titik-titik 𝑉(𝐺)\𝑊 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑑} yang berada

pada lintasan 𝑢 − 𝑣, karena sebuah lintasan tidak akan memuat titik yang sama

maka jarak sebarang titik 𝑣𝑖 dengan titik awal lintasan 𝑢 − 𝑣 yaitu 𝑢 dapat

ditentukan dengan 𝑑(𝑣𝑖, 𝑣0) = 𝑖 dimana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑑. Misalkan 𝑢 = 𝑣0 untuk

suatu 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛, maka representasi metrik setiap titik pada 𝑉(𝐺)\𝑊 terhadap

𝑊 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊) = (𝑑(𝑣1, 𝑤1), 𝑑(𝑣1, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣1, 𝑣0), … , 𝑑(𝑣1, 𝑤𝑛))

𝑟(𝑣2|𝑊) = (𝑑(𝑣2, 𝑤1), 𝑑(𝑣2, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣2, 𝑣0), … , 𝑑(𝑣2, 𝑤𝑛))

⋮

𝑟(𝑣𝑑|𝑊) = (𝑑(𝑣𝑑 , 𝑤1), 𝑑(𝑣𝑑 , 𝑤2), … , 𝑑(𝑣𝑑, 𝑤𝑘), … , 𝑑(𝑣𝑑, 𝑤𝑛))

Tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑉(𝐺)\𝑊 yang sama

karena 𝑑(𝑣𝑖 , 𝑣0) ≠ 𝑑(𝑣𝑗 , 𝑣0) untuk setiap 1 ≤ 𝑖, 𝑗 ≤ 𝑑, sehingga 𝑊 merupa-

kan himpunan pembeda.

Karena 𝑊 merupakan salah satu himpunan pembeda dan mungkin ter-

dapat himpunan pembeda lain yang memiliki banyak anggota lebih kecil, maka

dim(𝐺) ≤ 𝑛 − 𝑑.

Definisi 3.1.3 (Baskoro, 2020)

Dua titik berbeda 𝑢 dan 𝑣 pada graf 𝐺 dikatakan titik kembar bila

𝑑(𝑢, 𝑥) = 𝑑(𝑣, 𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺)\{𝑢, 𝑣}.


23

Contoh 3.1.3

Gambar 3.3: Graf 𝐺

Titik 𝑣7 dan 𝑣8 adalah titik kembar karena 𝑑(𝑣7, 𝑥) = 𝑑(𝑣8, 𝑥) untuk setiap

setiap 𝑥 ∈ 𝑉(𝐺)\{𝑣7, 𝑣8}.

Lema 3.1.1

Bila 𝑢 dan 𝑣 adalah dua titik kembar pada graf terhubung 𝐺 dan 𝑊

merupakan himpunan pembeda dari 𝐺, maka 𝑢 ∈ 𝑊 atau 𝑣 ∈ 𝑊.

Bukti

Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung dan 𝑊 = {𝑥1, 𝑥2, . . , 𝑥𝑘} adalah him-

punan pembeda dari 𝐺. Akan dibuktikan bahwa 𝑢 ∈ 𝑊 atau 𝑣 ∈ 𝑊. Andaikan

𝑢 ∉ 𝑊 dan 𝑣 ∉ 𝑊, dengan kata lain 𝑊 ⊂ 𝑉(𝐺)\{𝑢, 𝑣}. Maka 𝑟(𝑢|𝑊) =

(𝑑(𝑢, 𝑥1), 𝑑(𝑢, 𝑥2), … , 𝑑(𝑢, 𝑥𝑘)) dan 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑥1), 𝑑(𝑣, 𝑥2), … ,

𝑑(𝑣, 𝑥𝑘)). Karena 𝑢 dan 𝑣 adalah dua titik kembar, maka 𝑑(𝑢, 𝑥𝑖) = 𝑑(𝑣, 𝑥𝑖)

untuk setiap 𝑥𝑖 ∈ 𝑊 ⊂ 𝑉(𝐺)\{𝑢, 𝑣}, maka 𝑟(𝑢|𝑊) = 𝑟(𝑣|𝑊) dimana 𝑢 ≠ 𝑣.

Akibatnya 𝑊 bukanlah himpunan pembeda, terjadi kontradiksi. Jadi 𝑢 ∈ 𝑊

atau 𝑣 ∈ 𝑊.

𝑣7

𝑣8

𝑣6 𝑣2 𝑣4 𝑣5 𝑣1 𝑣3

𝑣11


24

Lema 3.1.2 (Khuller et al, 1996)

Misal 𝐺 suatu graf terhubung dan titik 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) serta 𝑢𝑣 menya-

takan sisi yang bersinggungan dengan titik 𝑢 dan titik 𝑣. Jika 𝑑 adalah panjang

lintasan terpendek dari 𝑢 ke 𝑤 di 𝐺 maka panjang lintasan terpendek dari 𝑣 ke

𝑤 adalah 𝑚 dimana 𝑚 ∈ {𝑑 − 1, 𝑑, 𝑑 + 1}.

Bukti

Misalkan 𝐺 adalah graf terhubung dan titik 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉(𝐺) serta 𝑢𝑣 ∈

𝐸(𝐺). Misalkan lintasan terpendek dari 𝑢 ke 𝑤 di 𝐺 memiliki panjang 𝑑. Jika

titik 𝑣 berada pada lintasan 𝑢 − 𝑤 jelas bahwa panjang lintasan terpendek 𝑣 −

𝑤 adalah 𝑑 − 1.

Gambar 3.4: Lintasan di antara titik 𝑢 − 𝑤

Akan dibuktikan untuk 𝑣 tidak berada pada lintasan 𝑢 − 𝑤 lintasan ter-

pendeknya memiliki panjang 𝑑 − 1, 𝑑, atau 𝑑 + 1. Misalkan 𝑑(𝑣, 𝑤) = 𝑘, jika

𝑘 ≤ 𝑑 − 2 maka terdapat lintasan 𝑢 − 𝑤 yang lebih pendek yaitu dengan pan-

jang 𝑘 + 1 dimana 𝑘 + 1 ≤ 𝑑 − 1 ≤ 𝑑, kontradiksi dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) = 𝑑. Se-

dangkan jika 𝑘 ≥ 𝑑 + 2 maka terdapat lintasan 𝑣 − 𝑤 yang lebih pendek

dengan panjang 𝑑 + 1, kontradiksi dengan 𝑑(𝑢, 𝑣) = 𝑑. Jadi panjang lintasan

terpendek dari 𝑣 ke 𝑤 adalah 𝑚 dimana 𝑚 ∈ {𝑑 − 1, 𝑑, 𝑑 + 1}.

Teorema 3.1.2 (Khuller et al, 1996)

Misalkan graf 𝐺 adalah graf terhubung dengan dim(𝐺) = 2 maka G

tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf.

𝑑

𝑤 𝑢

𝑣 𝑘


25

Bukti

Andaikan 𝐺 adalah graf terhubung yang memuat 𝐾5 dan 𝑉(𝐾5) =

{𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5}. Misalkan dim(𝐺) = 2 dan 𝑊 = {𝑚, 𝑛}, maka terdapat 3

kasus, yaitu:

1. Jika 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑉(𝐾5), maka representasi metrik dari titik-titik pada 𝐾5

terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (1,1) untuk 𝑣 ≠ 𝑚 ≠ 𝑛. Sehingga

terdapat 3 representasi metrik pada 𝑉(𝐾5) terhadap 𝑊 yang sama.

Terjadi kontradiksi karena 𝑊 adalah himpunan pembeda. Jadi G

tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf dari 𝐺.

2. Jika 𝑚 ∈ 𝑉(𝐾5), 𝑛 ∉ 𝑉(𝐾5), dan 𝑑(𝑚, 𝑛) = 𝑑. Representasi metrik

dari titik-titik pada 𝐾5 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (1, 𝑏) untuk

suatu 𝑏 bilangan bulat tak negatif dimana 𝑣 ≠ 𝑚. Menurut Lema

3.1.2 𝑏 ∈ {𝑧 − 1, 𝑧, 𝑧 + 1} sehingga representasi metrik yang

mungkin untuk keempat titik selain 𝑚 pada 𝐾5 adalah (1, 𝑧 − 1),

(1, 𝑧), dan (1, 𝑧 + 1). Pasti terdapat dua titik atau lebih dengan rep-

resentasi yang sama. Terjadi kontradiksi karena 𝑊 adalah him-

punan pembeda. Jadi G tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf dari 𝐺.

Hal yang sama juga berlaku untuk 𝑛 ∈ 𝑉(𝐾5) dan 𝑚 ∉ 𝑉(𝐾5).

3. Jika 𝑚, 𝑛 ∉ 𝑉(𝐾5), maka representasi metrik dari titik-titik pada

𝐾5 terhadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣𝑖|𝑊) = (𝑎𝑖, 𝑏𝑖) dimana 𝑖 = 1,2,3,4,5

serta 𝑎𝑖 dan 𝑏𝑖 bilangan bulat tak negatif. Misal 𝑑(𝑣, 𝑚) = 𝑦 dan

𝑦 = min (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) maka menurut Lema 3.1.2 𝑑(𝑢, 𝑚) ∈

{𝑦 − 1, 𝑦, 𝑦 + 1} dimana 𝑣 ∈ 𝑉(𝐾5) dan 𝑢 bersinggungan dengan

𝑣. Karena 𝑦 = min (𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, 𝑎5) maka 𝑑(𝑤, 𝑚) = 𝑎𝑖 ∈

{𝑦, 𝑦 + 1} untuk titik 𝑤 ∈ 𝑉(𝐾5). Hal tersebut juga akan berlaku

untuk 𝑏𝑖, sehingga 𝑎𝑖 ∈ {𝑦, 𝑦 + 1} dan 𝑏𝑖 ∈ {𝑧, 𝑧 + 1} untuk suatu

𝑦, 𝑧 > 0. Representasi metrik untuk setiap titik pada 𝐾5 terhadap 𝑊

berbeda yang mungkin untuk kelima titik tersebut hanyalah (𝑦, 𝑧),

(𝑦, 𝑧 + 1), (𝑦 + 1, 𝑧), dan (𝑦 + 1, 𝑧 + 1). Pasti terdapat dua titik


26

yang memiliki representasi titik yang sama dan dim (𝐺) ≠ 2. Ter-

jadi kontradiksi, sehingga G tidak memuat 𝐾5 sebagai sub graf dari

𝐺.

Teorema 3.1.3

Jika 𝐺 adalah sebuah graf dengan dimensi metrik 2 dan 𝑊 = {𝑎, 𝑏}

adalah himpunan pembeda minimum, maka:

1. Hanya terdapat tepat satu lintasan terpendek 𝑃 dari 𝑎 ke 𝑏.

2. Derajat maksimum dari titik 𝑎 dan 𝑏 adalah 3.

3. Setiap titik di 𝑃 selain 𝑎 dan 𝑏 mempunyai derajat maksimum 5.

Bukti

Diberikan graf 𝐺 dengan dimensi metrik 2 dan 𝑊 = {𝑎, 𝑏} adalah himpunan

pembeda.

1. Misalkan terdapat dua lintasan terpendek dengan panjang yang sama

yaitu 𝑃1 dan 𝑃2 yang menghubungkan titik 𝑎 dan 𝑏 dengan 𝑊 = {𝑎, 𝑏}.

Misalkan titik 𝑢 ∈ 𝑉(𝑃1) dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝑃2) bertetangga dengan 𝑎 maka

representasi metrik titik 𝑢 dan 𝑣 terhadap 𝑊 sama, sehingga 𝑊 bukan

himpunan pembeda. Terdapat kontradiksi karena 𝑊 adalah himpunan

pembeda. Jadi lintasan terpendek dari 𝑎 ke 𝑏 haruslah tunggal.

2. Misalkan representasi titik 𝑎 terhadap 𝑊 adalah (0, 𝑥) dan titik

{𝑐1, 𝑐2, 𝑐3} bertetangga dengan 𝑎. Misalkan representasi titik 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3

terhadap 𝑊 berbentuk (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). Untuk ketiga titik yang bertetangga

dengan 𝑎, 𝑥𝑖 = 1 dan menurut Lema 3.1.2 representasi semua tetangga

𝑎 terhadap 𝑊 pastilah satu di antara (1, 𝑥 − 1), (1, 𝑥), dan (1, 𝑥 + 1).

Jadi derajat maksimum dari titik 𝑎 adalah 3.

Misalkan representasi titik 𝑏 terhadap 𝑊 adalah (𝑥, 0) dan titik

{𝑐1, 𝑐2, 𝑐3} bertetangga dengan 𝑎. Misalkan representasi titik 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3

terhadap 𝑊 berbentuk (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖). Untuk ketiga titik yang bertetangga

dengan 𝑏, 𝑦𝑖 = 1 dan menurut Lema 3.1.2 representasi semua tetangga


27

𝑎 terhadap 𝑊 pastilah satu di antara (𝑥 − 1,1), (𝑥, 1), dan (𝑥 + 1,1).

Jadi derajat maksimum dari titik 𝑏 adalah 3.

3. Misalkan 𝑟(𝑧|𝑊) = (𝑝, 𝑞) adalah representasi metrik titik 𝑧 pada linta-

san terpendek 𝑎 − 𝑏 terhadap 𝑊 dan 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑥, maka 𝑝 + 𝑞 = 𝑥.

Maka menurut Lema 3.1.2 ada 8 representasi metrik yang mungkin un-

tuk titik-titik yang merupakan tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yaitu (𝑝 − 1, 𝑞 −

1), (𝑝 − 1, 𝑞), (𝑝 − 1, 𝑞 + 1), (𝑝, 𝑞 − 1), (𝑝, 𝑞), (𝑝, 𝑞 + 1), (𝑝 +

1, 𝑞 − 1), (𝑝 + 1, 𝑞), (𝑝 + 1, 𝑞 + 1). Titik-titik yang merupakan

tetangga 𝑧 tidak memiliki representasi metrik terhadap 𝑊 yang ber-

bentuk (𝑝, 𝑞) karena jika terdapat titik dengan representasi metrik

(𝑝, 𝑞) membuat titik tersebut memiliki representasi yang sama dengan

𝑧 terhadap 𝑊, akibatnya 𝑊 bukanlah himpunan pembeda. Titik-titik

yang merupakan tetangga 𝑧 juga tidak memiliki representasi metrik ter-

hadap 𝑊 yang berbentuk (𝑝 − 1, 𝑞 − 1) bukanlah representasi metrik

yang tepat terhadap 𝑊 karena jika terdapat titik dengan representasi

metrik terhadap 𝑊 yaitu (𝑝 − 1, 𝑞 − 1) maka terdapat lintasan dari ti-

tik 𝑎 ke titik 𝑢 yang merupakan tetangga dari 𝑧 yang panjangnya 𝑝 − 1

dan terdapat lintasan dari titik 𝑏 ke titik 𝑢 yang panjangnya 𝑞 − 1. Se-

hingga terbentuk lintasan 𝑎 − 𝑏 lain yang memiliki panjang 𝑝 + 𝑞 − 2,

terjadi kontradiksi dengan 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Representasi metrik dari

tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yang tidak mungkin juga adalah (𝑝 − 1, 𝑞) ka-

rena jika terdapat titik tersebut maka terdapat lintasan dari titik 𝑎 ke 𝑝 −

1 yang panjangnya 𝑝 − 1 dan terdapat lintasan dari titik 𝑏 ke titik 𝑞

yang panjangnya 𝑞, sehingga terbentuk lintasan 𝑎 − 𝑏 lain yang mem-

iliki panjang 𝑝 + 𝑞 − 1. Hal tersebut bertentangan dengan pernyataan

bahwa 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Hal yang sama juga berlaku untuk representasi

metrik titik yang merupakan tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yaitu (𝑝 − 1, 𝑞),

yang menghasilkan lintasan 𝑎 − 𝑏 dengan panjang 𝑝 + 𝑞 − 1, hal ini

bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Ketiga repre-

sentasi tersebut tidak tepat karena bertentangan dengan pernyataan


28

𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑝 + 𝑞. Jadi representasi metrik titik-titik yang merupakan

tetangga 𝑧 terhadap 𝑊 yang mungkin adalah (𝑝 − 1, 𝑞 + 1), (𝑝, 𝑞 +

1), (𝑝 + 1, 𝑞 − 1), (𝑝 + 1, 𝑞), (𝑝 + 1, 𝑞 + 1) dan setiap titik di 𝑃

selain 𝑎 dan 𝑏 mempunyai derajat maksimum 5 karena jika lebih dari 5

akan terbentuk dua atau lebih representasi metrik yang sama.

Teorema 3.1.4 (Khuller et al, 1996)

Jika 𝐺 merupakan graf terhubung dengan 𝑛 titik, diameter 𝑑 dan

dim(𝐺) = 𝑘, maka 𝑘 + 𝑑𝑘 ≥ 𝑛.

Bukti

Misalkan 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, … , 𝑤𝑘} merupakan himpunan pembeda dengan

banyak anggota 𝑘. Karena diameter dari 𝐺 adalah 𝑑 maka 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑥 dimana

0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 dan sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉(𝐺). Representasi metrik setiap titik pada 𝑊

terhadap 𝑊 adalah

𝑟(𝑤1|𝑊) = (0, 𝑑(𝑤1, 𝑤2), 𝑑(𝑤1, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤1, 𝑤𝑛))

𝑟(𝑤2|𝑊) = (𝑑(𝑤2, 𝑤1), 0, 𝑑(𝑤2, 𝑤3), … , 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛−1), 𝑑(𝑤2, 𝑤𝑛))

⋮

𝑟(𝑤𝑛−1|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤2), … ,0, 𝑑(𝑤𝑛−1, 𝑤𝑛))

𝑟(𝑤𝑛|𝑊) = (𝑑(𝑤𝑛, 𝑤1), 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤2), … , 𝑑(𝑤𝑛, 𝑤𝑛−1), 0)

Tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 yang

sama. 𝑑(𝑎, 𝑏) = 0 jika 𝑎 = 𝑏 hal tersebut hanya dapat terjadi untuk represen-

tasi titik pada 𝑊 terhadap 𝑊 sehingga 𝑑(𝑦, 𝑧) = 𝑥 dimana 1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 dan se-

barang 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑉(𝐺)\𝑊. Representasi metrik untuk setiap titik pada 𝑉(𝐺) ter-

hadap 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) = (𝑑(𝑣, 𝑤1), 𝑑(𝑣, 𝑤2), … , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)) dimana 𝑣 ∈

𝑉(𝐺)\𝑊 sehingga terdapat 𝑑 × 𝑑 × … 𝑑 (sebanyak 𝑘) representasi metrik un-

tuk titik-titik pada 𝑉(𝐺)\𝑊 terhadap 𝑊 yang mungkin dan berbeda. Jadi pal-

ing banyak terdapat 𝑘 + 𝑑𝑘 titik pada graf 𝐺.


29

B. Dimensi Metrik Pada Beberapa Graf

Dimensi metrik antara graf satu dengan graf lain tidak selalu sama.

Berikut dimensi metrik dari beberapa jenis graf seperti graf lintasan, graf bin-

tang, graf lingkaran, graf sapu, dan graf kecebong.

Teorema 3.2.1 (Chartrand et al, 2000)

Graf 𝐺 mempunyai dimensi metrik 1 jika dan hanya jika 𝐺 = 𝑃𝑛.

Bukti

Akan dibuktikan bahwa jika graf 𝐺 memiliki dimensi metrik 1 maka 𝐺 = 𝑃𝑛.

Misalkan dim(𝐺) = 1 dan 𝑊 = {𝑢}, maka 𝑢 harus berderajat 1 karena jika

tidak maka tetangga 𝑢 mempunyai representasi yang sama yaitu (1). Andaikan

𝐺 bukan 𝑃𝑛 maka terdapat sebuah titik 𝑣 yang berderajat lebih dari atau sama

dengan 3. Misal tetangga titik 𝑣 adalah {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑟} dengan 𝑟 ≥ 3. Jika jarak

titik 𝑣 ke titik 𝑢 adalah 𝑑, maka representasi metrik tetangga dari titik 𝑣 ter-

hadap 𝑊 adalah salah satu dari {𝑑 − 1, 𝑑, 𝑑 + 1}. Karena untuk empat atau

lebih titik hanya terdapat 3 dimensi metrik yang mungkin maka terdapat dua

atau lebih titik yang memiliki derajat sama. Terdapat kontradiksi dimana 𝑊

bukanlah himpunan pembeda minimum, maka 𝐺 = 𝑃𝑛.

Akan dibuktikan bahwa jika 𝐺 = 𝑃𝑛 maka dim(𝐺) = 1. Graf 𝐺 memiliki di-

ameter 𝑛 − 1. Menurut Teorema 3.1.1 dim(𝐺) ≤ 𝑛 − (𝑛 − 1) = 1. Maka

dim(𝐺) = 1.

Teorema 3.2.2 (Eka & Rahadjeng, 2012)

Jika 𝐺 graf lengkap dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 3, maka dim(𝐺) = 𝑛 − 1.


30

Bukti

Karena 𝐺 graf lengkap maka 𝑑(𝑢, 𝑣) = 1 untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺)

dengan 𝑢 ≠ 𝑣. Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1} maka 𝑊1 merupakan him-

punan dengan banyak anggota 𝑛 − 1. Akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan

himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣2|𝑊1) = (1,0,1, … ,1,1)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (1,1,1, … ,0,1)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,0)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,1)

Karena tidak ada dua atau lebih representasi metrik untuk titik pada 𝐺

terhadap 𝑊1 yang sama maka 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.

Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−2} maka 𝑊2 merupakan himpunan

dengan banyak anggota 𝑛 − 2. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 merupakan him-

punan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣2|𝑊2) = (1,0,1, … ,1,1)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊2) = (1,1,1, … ,0,1)

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,0)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,1)

Karena 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) dimana 𝑣𝑛−1 ≠ 𝑣𝑛, maka 𝑊2 bukan

merupakan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan

pembeda dengan banyak anggota himpunan kurang dari 𝑛 − 2, akan terdapat

dua atau lebih representasi titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Hal tersebut

terjadi karena 𝑛 titik pada graf lengkap merupakan titik-titik kembar. Jarak an-

tara titik kembar dengan titik lain akan sama. Maka jika terdapat lebih dari dua


31

titik kembar yang tidak termasuk ke dalam himpunan pembeda, titik-titik ter-

sebut akan memiliki representasi yang sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑛 − 1.

Teorema 3.2.3

Himpunan pembeda minimum pada graf bintang 𝐾1,𝑛−1 tidak akan

memuat titik dengan derajat 𝑛 − 1.

Bukti

Misalkan 𝑢 merupakan titik yang berderajat 𝑛 − 1 dan 𝑣𝑖 merupakan

titik lainnya yang berderajat 1 dimana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Misalkan 𝑢 ∈ 𝑊 dimana

𝑊 = {𝑢, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−3}, maka 𝑊 merupakan himpunan dengan banyak ang-

gota 𝑛 − 2. Akan kita periksa apakah 𝑊 merupakan himpunan pembeda dari

graf 𝐾1,𝑛−1.

Jarak titik 𝑢 terhadap titik lainnya yang berderajat satu adalah satu se-

mentara jarak antara dua titik yang berderajat 𝑛 − 1 adalah dua. Maka repre-

sentasi metrik dari setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 adalah

𝑟(𝑢|𝑊) = (0,1,1, … ,1)

𝑟(𝑣1|𝑊) = (1,0,2, … ,2)

𝑟(𝑣2|𝑊) = (1,2,0, … ,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊) = (1,2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊) = (1,2,2, … ,2,2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊) = (1,2,2, … ,2,2)

Karena 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊) dimana 𝑣𝑛−2 ≠ 𝑣𝑛−1, maka 𝑊

bukan merupakan himpunan pembeda. Ketika titik berderajat 𝑛 − 1 menjadi

anggota 𝑊, himpunan tersebut bukanlah himpunan pembeda.


Jika 𝐺 graf bintang dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 3, maka dim (𝐺) = 𝑛 − 2.


32

Bukti

Karena 𝐺 graf bintang maka terdapat satu titik yang memiliki derajat

𝑛 − 1 dan 𝑛 − 1 titik yang memiliki derajat 1. Misalkan 𝑢 merupakan titik

yang memiliki derajat 𝑛 − 1 dan 𝑣𝑖 merupakan titik lainnya yang berderajat 1

dimana 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1. Jarak antara titik yang memiliki derajat 𝑛 − 1 dengan

titik yang memiliki derajat 1 yaitu 1, sedangkan jarak antara titik yang memiliki

derajat 𝑛 − 1 dengan titik lainnya yang juga memiliki derajat 𝑛 − 1 adalah 2.

Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−2} dimana 𝑣𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 2

merupakan sebarang titik dengan derajat 1 maka banyak anggota himpunan 𝑊1

adalah 𝑛 − 2. Akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.

Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah

𝑟(𝑢|𝑊1) = (1,1,1, … ,1)

𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0,2,2, … ,2)

𝑟(𝑣2|𝑊1) = (2,0,2, … ,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊1) = (2,2,2, … ,0,2)

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,2)



Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−3} dimana 𝑣𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 3

merupakan sebarang titik dengan derajat 1 maka banyak anggota himpunan 𝑊2

adalah 𝑛 − 3. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan himpunan pem-

beda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah

𝑟(𝑢|𝑊2) = (1,1,1, … ,1)

𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0,2,2, … ,2)

𝑟(𝑣2|𝑊2) = (2,0,2, … ,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−3|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,2)


33

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,2)

Karena 𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) dimana 𝑣𝑛−2 ≠ 𝑣𝑛−1, maka 𝑊2

bukan merupakan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk him-

punan pembeda dengan banyak anggota himpunan kurang dari 𝑛 − 3, akan ter-

dapat dua atau lebih representasi metrik untuk titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang

sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑛 − 2.


Jika 𝐺 adalah graf bipartit lengkap dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 4, maka

dim(𝐺) = 𝑛 − 2.

Bukti

Karena 𝐺 adalah graf bipartit lengkap maka 𝐺 dapat dipartisi menjadi

dua bagian. Misalkan 𝑉(𝐴) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠} dan 𝑉(𝐵) = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡}

dengan 𝑠 + 𝑡 = 𝑛. Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠−1, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡−1} dan 𝑊1

merupakan himpunan dengan banyak anggota 𝑛 − 2. Akan dibuktikan bahwa

𝑊1 merupakan himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 ter-

hadap 𝑊1 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0,2,2, … ,2,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣2|𝑊1) = (2,0,2, … ,2,1,1, … ,1,1)

⋮

𝑟(𝑣𝑠−1|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,0,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣𝑠|𝑊1) = (2,2,2, … ,2,2,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑢1|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,0,2, … ,2,2)

𝑟(𝑢2|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,2,0, ,2 … ,2,2)

⋮

𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑢𝑡|𝑊1) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,2)

Karena tidak ada dua atau lebih representasi metrik pada titik-titik di 𝐺



34

Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑠−1, 𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢𝑡−2} maka banyak anggota

dari 𝑊2 adalah 𝑛 − 3. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan himpunan

pembeda. Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0,2,2, … ,2,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣2|𝑊2) = (2,0,2, … ,2,1,1, … ,1,1)

⋮

𝑟(𝑣𝑠−1|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,0,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣𝑠|𝑊2) = (2,2,2, … ,2,2,1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑢1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,0,2, … ,2,2)

𝑟(𝑢2|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,0, ,2 … ,2,2)

⋮

𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,2)

𝑟(𝑢𝑡|𝑊2) = (1,1,1, … ,1,2,2, … ,2,2)

Karena 𝑟(𝑢𝑡−1|𝑊2) = 𝑟(𝑢𝑡|𝑊2) dimana 𝑢𝑡−1 ≠ 𝑢𝑡, maka 𝑊2 bukan

merupakan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan

pembeda dengan banyak anggota kurang dari 𝑛 − 2, akan terdapat dua atau

lebih representasi titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑛 − 2.

Teorema 3.2.6

Jika 𝐺 adalah graf sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑. Maka dim(𝐺) = 𝑑.

Bukti

Misalkan 𝐺 merupakan graf sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑. Pada graf tersebut terdapat

1 titik berderajat 𝑑 + 1 sebut 𝑣𝑛, 𝑑 + 1 titik berderajat 1 yaitu 𝑣1,

𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2,…, 𝑣𝑛+𝑑, dan 𝑛 − 2 titik berderajat 2 yaitu 𝑣2, 𝑣3,…, 𝑣𝑛−1. Titik

𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2,…, 𝑣𝑛+𝑑 merupakan titik kembar karena jarak antara sebarang titik

pada 𝐺 dengan 𝑑 titik tersebut sama, maka terdapat paling sedikit satu titik di

antara 𝑑 titik tersebut pada 𝑊.


35

Gambar 3.5: Graf Sapu 𝐵𝑛+𝑑,𝑑

Misalkan 𝑊1 = {𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑} maka banyak anggota himpunan

dari 𝑊1 adalah 𝑑. Akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda.

Representasi metrik setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊1) = (𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1)

𝑟(𝑣2|𝑊1) = (𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (2,2, … ,2,2)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1,1, … ,1,1)

𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊1) = (0,2, … ,2,2)

𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊1) = (2,0, … ,2,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊1) = (2,2, … ,0,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊1) = (2,2, … ,2,0)



Misalkan 𝑊2 = {𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑−1} maka banyak anggota him-

punan dari 𝑊2 adalah 𝑑 − 1. Akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan

himpunan pembeda. Representasi metrik untuk setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊2

adalah

𝑟(𝑣1|𝑊2) = (𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1)

𝑟(𝑣2|𝑊2) = (𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (2,2, … ,2,2)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) = (1,1, … ,1,1)

𝑣𝑛+1

𝑣𝑛+2

𝑣𝑛 𝑣𝑛+3

𝑣𝑛+𝑑

𝑣𝑛+4 𝑣2 𝑣𝑛−1 𝑣1 𝑣3


36

𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊2) = (0,2, … ,2,2)

𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊2) = (2,0, … ,2,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−2|𝑊2) = (2,2, … ,0,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊2) = (2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊2) = (2,2, … ,2,2)

Karena 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊2) dengan 𝑣𝑛−1 ≠ 𝑣𝑛+𝑑 maka 𝑊2

bukan himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan pembeda

dengan banyak anggota kurang dari 𝑑 − 2, akan terdapat dua atau lebih repre-

sentasi metrik untuk titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Jadi dim(𝐺) = 𝑑 −

2.

Lebih lanjut akan dibuktikan bahwa pada himpunan pembeda minimum

𝐺 tidak akan termuat titik dengan derajat 𝑑 atau lebih dari 1 titik pada 𝐴 =

{𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛}

Misalkan 𝑊3 = {𝑣𝑛, 𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑−1}, maka representasi metrik

setiap titik pada 𝐺 terhadap 𝑊3 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊3) = (𝑛, 𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1)

𝑟(𝑣2|𝑊3) = (𝑛 − 1, 𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊3) = (1,2,2, … ,2)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊3) = (0,1,1, … ,1)

𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊3) = (1,0,2, … ,2,2)

𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊3) = (1,2,0, … ,2,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−2|𝑊3) = (1,2,2, … ,0,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊3) = (1,2,2, … ,2,0)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊3) = (1,2,2, … ,2,2)

Karena 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊3) = 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊3) dimana 𝑣𝑛−1 ≠ 𝑣𝑛+𝑑 maka 𝑊3

bukanlah himpunan pembeda, sehingga titik 𝑣𝑝+2 bukan merupakan anggota

dari himpunan pembeda minimum.


37

Selanjutnya akan dibuktikan jika himpunan pembeda minimum pada

graf 𝐺 tidak memuat dua atau lebih titik pada 𝐴. Misalkan 𝑊4 =

{𝑣𝑎, 𝑣𝑏 , 𝑣𝑛+1, 𝑣𝑛+2, … , 𝑣𝑛+𝑑−2}, dengan 𝑣𝑎, 𝑣𝑏 ∈ 𝐴. Representasi metrik setiap

titik pada 𝐺 terhadap 𝑊4 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊4) = (|𝑎 − 1|, |𝑏 − 1|, 𝑛 + 1, 𝑛 + 1, … , 𝑛 + 1, 𝑛 + 1, 𝑛 + 1)

𝑟(𝑣2|𝑊4) = (|𝑎 − 2|, |𝑏 − 2|, 𝑛, 𝑛, … , 𝑛, 𝑛, 𝑛)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 1|, |𝑏 − 𝑝 − 1|, 2,2, … ,2,2,2)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 2|, |𝑏 − 𝑝 − 2|, 1,1, … ,1,1,1)

𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,0, … ,2,2,2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−3|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,0,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−2|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,2,0)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,2,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊4) = (|𝑎 − 𝑝 − 3|, |𝑏 − 𝑝 − 3|, 2,2, … ,2,2,2)

Karena 𝑟(𝑣𝑛+𝑑|𝑊4 ) = 𝑟(𝑣𝑛+𝑑−1|𝑊4 ) dimana 𝑣𝑛+𝑑 ≠ 𝑣𝑛+𝑑−1 maka

𝑊4 bukanlah himpunan pembeda. Hal ini juga akan berlaku untuk himpunan

pembeda yang memuat lebih dari dua titik pada lintasan 𝑣1 − 𝑣𝑛−1, akan ter-

dapat dua atau lebih representasi titik pada 𝐺 terhadap 𝑊 yang sama. Jadi him-

punan pembeda minimum tidak akan memuat dua atau lebih titik pada 𝑃𝑝.


Jika 𝐺 adalah graf lingkaran dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 3, maka dim(𝐺) = 2.

Bukti

Misalkan 𝐺 merupakan graf lingkaran dengan 𝑛 titik. Akan buktikan

untuk graf lingkaran dengan 𝑛 ganjil dan 𝑛 genap bahwa dim(𝐺) = 2.

Untuk graf lingkaran 𝐺 dengan 𝑛 ganjil. Misalkan 𝑊1 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛},

akan dibuktikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda. Representasi

metrik setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah


38

𝑟(𝑣1|𝑊1) = (2,1)

𝑟(𝑣2|𝑊1) = (3,2)

𝑟(𝑣3|𝑊1) = (4,3)

⋮

𝑟 (𝑣𝑛−3

2

|𝑊1) = (𝑛−1

2,

𝑛−3

2)

𝑟 (𝑣𝑛−1

2

|𝑊1) = (𝑛−1

2,

𝑛−1

2)

𝑟 (𝑣𝑛+1

2

|𝑊1) = (𝑛−3

2,

𝑛−1

2)

𝑟 (𝑣𝑛+3

2

|𝑊1) = (𝑛−5

2,

𝑛−3

2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (1,2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (0,1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1,0)

Karena tidak ada representasi metrik titik-titik pada 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊1

yang sama maka 𝑊1 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛} merupakan himpunan pembeda.

Misalkan 𝑊2 = {𝑣𝑛}, akan dibuktikan bahwa 𝑊2 bukan merupakan

himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊2

adalah

𝑟(𝑣1|𝑊2) = (1)

𝑟(𝑣2|𝑊2) = (2)

𝑟(𝑣3|𝑊2) = (3)

⋮

𝑟 (𝑣𝑛−3

2

|𝑊2) = (𝑛−3

2)

𝑟 (𝑣𝑛−1

2

|𝑊2) = (𝑛−1

2)

𝑟 (𝑣𝑛+1

2

|𝑊2) = (𝑛−1

2)

𝑟 (𝑣𝑛+3

2

|𝑊2) = (𝑛−3

2)

⋮


39

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊2) = (2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) = (1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊2) = (0)

Karena 𝑟(𝑣1|𝑊2) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊2) dimana 𝑣1 ≠ 𝑣𝑛−1 maka 𝑊2 bukan

himpunan pembeda dan dim(𝐺) = 2 untuk lingkaran dengan 𝑛 ganjil.

Untuk graf lingkaran 𝐺 dengan 𝑛 genap. Misalkan 𝑊3 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛},

akan dibuktikan bahwa 𝑊3 merupakan himpunan pembeda. Representasi titik

setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊3 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊3) = (2,1)

𝑟(𝑣2|𝑊3) = (3,2)

𝑟(𝑣3|𝑊3) = (4,3)

⋮

𝑟 (𝑣𝑛−2

2

|𝑊3) = (𝑛

2,

𝑛−2

2)

𝑟 (𝑣𝑛

2|𝑊3) = (

𝑛−2

2,

𝑛

2)

𝑟 (𝑣𝑛+2

2

|𝑊3) = (𝑛−4

2,

𝑛−2

2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊3) = (1,2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊3) = (0,1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊3) = (1,0)

Karena tidak ada representasi metrik pada 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊3 yang sama

maka 𝑊3 = {𝑣𝑛−1, 𝑣𝑛} merupakan himpunan pembeda.

Misalkan 𝑊4 = {𝑣𝑛}, akan dibuktikan bahwa 𝑊4 bukan merupakan

himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊4

adalah

𝑟(𝑣1|𝑊4) = (1)

𝑟(𝑣2|𝑊4) = (2)

𝑟(𝑣3|𝑊4) = (3)

⋮


40

𝑟 (𝑣𝑛−2

2

|𝑊4) = (𝑛−2

2)

𝑟 (𝑣𝑛

2|𝑊4) = (

𝑛

2)

𝑟 (𝑣𝑛+1

2

|𝑊4) = (𝑛−2

2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊4) = (2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊4) = (1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊4) = (0)

Karena 𝑟(𝑣1|𝑊4) = 𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊4) dimana 𝑣1 ≠ 𝑣𝑛−1 maka 𝑊4 bukan

himpunan pembeda dan dim(𝐺) = 2 untuk lingkaran dengan 𝑛 genap. Jadi un-

tuk 𝐺 graf lingkaran dengan 𝑛 titik maka dim(𝐺) = 2.

Teorema 3.2.8

Jika 𝐺 adalah graf kecebong 𝑇𝑛,𝑘, maka dim(𝐺) = 2.

Bukti

Gambar 3.6: Graf 𝐺

Misalkan 𝐺 merupakan graf lingkaran dengan 𝑛 titik dan terdapat linta-

san dengan 𝑛 titik yang dihubungkan oleh sebuah sisi pada titik 𝑣𝑛. Akan buk-

tikan untuk graf 𝐺 dengan 𝑛 ganjil dan 𝑛 genap bahwa dim(𝐺) = 2.

𝑣1

𝑣3

𝑣4

𝑣2

𝑣6 𝑣5

𝑣𝑛+1 𝑣𝑛+2 𝑣𝑛+3 𝑣𝑛 𝑣𝑛+𝑘


41

Untuk graf 𝐺 dengan 𝑛 ganjil. Misalkan 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣𝑛+𝑘}, akan dibuk-

tikan bahwa 𝑊1 merupakan himpunan pembeda. Representasi metrik setiap ti-

tik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊1 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊1) = (0, 𝑘 + 1)

𝑟(𝑣2|𝑊1) = (1, 𝑘 + 2)

𝑟(𝑣3|𝑊1) = (2, 𝑘 + 3)

⋮

𝑟 (𝑣𝑛−1

2

|𝑊1) = (𝑛−3

2, 𝑘 +

𝑛−1

2)

𝑟 (𝑣𝑛+1

2

|𝑊1) = (𝑛−1

2, 𝑘 +

𝑛−1

2)

𝑟 (𝑣𝑛+3

2

|𝑊1) = (𝑛−1

2, 𝑘 +

𝑛−3

2)

𝑟 (𝑣𝑛+5

2

|𝑊1) = (𝑛−3

2, 𝑘 +

𝑛−5

2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (3, 𝑘 + 2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (2, 𝑘 + 1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1, 𝑘)

𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊1) = (2, 𝑘 − 1)

𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊1) = (3, 𝑘 − 2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛+𝑘−2|𝑊1) = (𝑘 − 1,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑘−1|𝑊1) = (𝑘, 1)

𝑟(𝑣𝑛+𝑘|𝑊1) = (𝑘 + 1,0)

Karena tidak ada representasi metrik untuk titik-titik pada 𝑉(𝐺) ter-

hadap 𝑊1 yang sama maka 𝑊1 = {𝑣1, 𝑣𝑘} merupakan himpunan pembeda.

Untuk graf 𝐺 dengan 𝑛 genap. Misalkan 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣𝑛+𝑘}, akan dibuk-

tikan bahwa 𝑊2 merupakan himpunan pembeda. Representasi metrik untuk se-

tiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊2 adalah

𝑟(𝑣1|𝑊2) = (0, 𝑘 + 1)

𝑟(𝑣2|𝑊2) = (1, 𝑘 + 2)


42

𝑟(𝑣3|𝑊2) = (2, 𝑘 + 3)

⋮

𝑟 (𝑣𝑛

2|𝑊2) = (

𝑛−2

2, 𝑘 +

𝑛

2)

𝑟 (𝑣𝑛+2

2

|𝑊2) = (𝑛

2, 𝑘 +

𝑛−2

2)

𝑟 (𝑣𝑛+4

2

|𝑊2) = (𝑛−2

2, 𝑘 +

𝑛−4

2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛−2|𝑊1) = (3, 𝑘 + 2)

𝑟(𝑣𝑛−1|𝑊1) = (2, 𝑘 + 1)

𝑟(𝑣𝑛|𝑊1) = (1, 𝑘)

𝑟(𝑣𝑛+1|𝑊1) = (2, 𝑘 − 1)

𝑟(𝑣𝑛+2|𝑊1) = (3, 𝑘 − 2)

⋮

𝑟(𝑣𝑛+𝑘−2|𝑊2) = (𝑘 − 1,2)

𝑟(𝑣𝑛+𝑘−1|𝑊2) = (𝑘, 1)

𝑟(𝑣𝑛+𝑘|𝑊2) = (𝑘 + 1,0)

Karena tidak ada representasi metrik titik-titik pada 𝑉(𝐺) terhadap 𝑊2

yang sama maka 𝑊2 = {𝑣1, 𝑣𝑘} merupakan himpunan pembeda.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 𝑊 dengan banyak anggota satu

bukan merupakan himpunan pembeda pada 𝐺. Misalkan 𝑊3 = {𝑣𝑗}, 1 ≤ 𝑗 ≤

𝑛. Akan dibuktikan bahwa 𝑊3 bukan merupakan himpunan pembeda. Repre-

sentasi metrik setiap titik pada graf 𝐺 terhadap 𝑊3 akan mengandung

𝑟(𝑣𝑗+1|𝑊3) = (1)

𝑟(𝑣𝑗−1|𝑊3) = (1)

Karena 𝑟(𝑣𝑗+1|𝑊3) = 𝑟(𝑣𝑗−1|𝑊3) dimana 𝑣𝑗+1 ≠ 𝑣𝑗−1 maka 𝑊3

bukan himpunan pembeda.

Misalkan 𝑊4 = {𝑣𝑘}, 𝑛 + 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 + 𝑘. Akan dibuktikan bahwa 𝑊4

merupakan himpunan pembeda. Representasi metrik setiap titik pada graf 𝐺

terhadap 𝑊4 akan mengandung


43

𝑟(𝑣𝑗+1|𝑊4) = (1)

𝑟(𝑣𝑗−1|𝑊4) = (1)

Karena 𝑟(𝑣𝑗+1|𝑊4) = 𝑟(𝑣𝑗−1|𝑊4) dimana 𝑣𝑗+1 ≠ 𝑣𝑗−1 maka 𝑊4

bukan himpunan pembeda. Jadi untuk 𝐺 graf kecebong 𝑇𝑛,𝑘 dim(𝐺) = 2.


44

BAB IV

PENGAPLIKASIAN DIMENSI METRIK PADA PEMASA-

NGAN SENSOR KEBAKARAN

Sensor kebakaran merupakan salah satu bagian penting pada pembangunan

gedung-gedung bertingkat. Sensor kebakaran yang banyak dipasang saat ini adalah

sensor kebakaran yang akan memberi respon berupa bunyi pada saat tanda-tanda

kebakaran terjadi. Saat ini dikembangkan sensor kebakaran yang dapat memberi

sinyal berupa lokasi sumber kebakaran kepada operator atau petugas. Hal tersebut

tentunya dapat mempermudah mengurangi laju penyebaran api. Penentuan lokasi

sumber api dapat dilakukan dengan mengaplikasikan dimensi metrik.

Pencarian himpunan pembeda minimum dari graf terhubung yang merupakan

representasi dari ruangan dan hubungan antar ruang pada gedung dapat digunakan

untuk memberikan koordinat berbeda untuk setiap ruangan yang ada. Koordinat

tersebut kemudian dapat diterjemahkan sebagai lokasi dari sumber kebakaran. Di-

mensi metrik yang merupakan banya anggota dari himpunan pembeda minimum

merupakan jumlah sensor kebakaran yang harus dipasang serta himpunan pembeda

minimum merupakan lokasi pemasangan sensor kebakaran.

A. Pembentukan Graf Terhubung

Pada skripsi ini penerapan dimensi metrik akan dilakukan pada Gedung

Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma. Berikut dipaparkan hubungan

antar ruangan pada gedung tersebut. Pada pengaplikasiannya ruangan akan

kita representasikan sebagai titik pada graf, sementara hubungan antar ruang

yang dapat berupa jalan tanpa melalui ruangan lain atau lift akan kita represen-

tasikan sebagai sisi yang menghubungkan dua titik. Dua ruangan dikatakan

berhubungan secara langsung jika di antara kedua ruangan yang direpresenta-

sikan sebagai titik terdapat sebuah sisi yang menghubungkan keduanya. Kita

dapat representasikan ruangan-ruangan pada setiap lantai Gedung Utama Kam-

pus III Universitas Sanata Dharma sebagai sebuah graf.


45

1. Lantai Basement

Pada lantai terbawah Gedung Utama Kampus III Universitas

Sanata Dharma terdapat tiga ruangan utama yaitu parkiran basement,

BLU, dan gudang. Ruangan-ruangan yang berhubungan secara lang-

sung yaitu BLU dengan parkiran basement dan parkiran basement

dengan gudang 1. Berikut graf representasi ruangan-ruangan pada lan-

tai Basement beserta hubungan-hubungan antar ruangan.

Gambar 4.1: Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang di

lantai basement

2. Lantai Ground

Pada lantai ground terdapat beberapa ruangan utama yaitu hall

ground, book store, BAA BUK, ruang doa, kopma, bank, gudang 2. Ru-

angan-ruangan yang berhubungan secara langsung yaitu hall ground

dengan book store, BAA, ruang doa, kopma, bank, dan gudang 2. Beri-

kut graf representasi ruangan-ruangan pada lantai ground beserta hu-

bungan-hubungan antar ruangan.


lantai ground

BLU

Gudang 1 Parkiran

Basement

Hall Ground BAA BUK

Ruang Doa

Book Store Gudang 2

Bank

Kopma


46

3. Lantai Satu

Pada lantai satu terdapat beberapa ruangan utama yaitu per-

pustakaan bawah, ruang karyawan perpustakaan, ruang kepala per-

pustakaan. Ruangan-ruangan yang berhubungan secara langsung yaitu

perpustakaan bawah dengan ruang karyawan perpustakaan dan ruang

kepala perpustakaan. Berikut graf representasi ruangan-ruangan pada

lantai satu beserta hubungan-hubungan antar ruangan.


lantai satu

4. Lantai Dua

Pada lantai dua terdapat beberapa ruangan utama yaitu. Ru-

angan-ruangan yang berhubungan secara langsung yaitu perpustakaan

atas, ruang diskusi 1-4, ruang diskusi 5-6, ruang baca, ruang work sta-

tion dan BSP. Ruangan-ruangan yang berhubungan secara langsung

yaitu perpustakaan atas dengan ruang diskusi 1-4, ruang diskusi 5-6,

ruang baca, ruang work station dan ruang diskusi 5-6 dengan BSP.


lantai dua

Ruang Karyawan

Perpustakaan

Kantor Kepala

Perpustakaan

Perpustakaan

Bawah

Ruang Diskusi 5-6

Ruang Work Station

Ruang Diskusi 1-4

Ruang Baca BSP

Perpustakaan Atas


47

5. Lantai Tiga

Pada lantai tiga terdapat beberapa ruangan utama yaitu hall lan-

tai tiga, meeting room, BAPSI, multimedia, dan campus ministry. Ru-

angan-ruangan yang berhubungan secara langsung yaitu hall lantai tiga

dengan meeting room 1 dan 2, BAPSI, multimedia, dan campus minis-

try. Berikut graf representasi ruangan-ruangan pada lantai tiga beserta

hubungan-hubungan antar ruangan.


lantai tiga

6. Lantai Empat

Pada lantai empat terdapat beberapa ruangan utama yaitu hall

lantai empat, Drost, ruang tunggu 1, ruang tunggu 2. Ruangan-ruangan

yang berhubungan secara langsung yaitu hall lantai empat dengan

Drost, ruang tunggu 1, dan ruang tunggu 2, serta Drost dengan ruang

tunggu 1. Berikut graf representasi ruangan-ruangan pada lantai empat

beserta hubungan-hubungan antar ruangan.


lantai empat

Meeting Room 1

dan 2 Campus Ministry

Multimedia BAPSI

Hall Lantai Tiga

Drost

Ruang Tunggu 1 Ruang Tunggu 2

Hall Lantai

Empat


48

Selain itu terdapat beberapa ruangan yang memiliki hubungan

dengan ruangan di lantai lain yaitu

1. BLU dengan hall ground

2. Parkiran basement dengan hall ground

3. Hall ground dengan perpustakaan atas

4. Perpustakaan atas dengan perpustakaan bawah

5. Perpustakaan bawah dengan BSP

6. BSP dengan hall lantai tiga

7. Hall lantai tiga dan hall lantai empat

Karena terdapat 28 ruangan berbeda yang menjadi titik pada

graf maka kita akan coba untuk menelusuri jumlah sensor kebakaran

minimum dengan pembagian sebagai berikut:

1. Setiap lantai memiliki graf masing-masing dan hubungan pada

setiap graf tidak diperhitungkan.

2. Setiap ruangan dan hubungan antar ruang berada pada satu graf

yang sama.

B. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Per Lantai

Pada penentuan letak dan jumlah sensor kebakaran dengan penentuan

dilakuan satu persatu untuk setiap lantai kita akan menggunakan teorema te-

orema yang sudah dibahas pada sub bab 3.1. Setiap ruangan akan dilabeli

dengan nomor-nomor pada tabel berikut untuk mempermudah proses pene-

lusuran.

Tabel 4.1 Daftar ruangan Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata

Dharma

Lantai Nama Ruangan Titik

B Gudang 1 𝑣1

Parkiran Basement 𝑣2

BLU 𝑣3


49

G Hall Ground 𝑣4

Book Store 𝑣5

BAA BUK 𝑣6

Ruang Doa 𝑣7

Gudang 2 𝑣8

Bank 𝑣9

Kopma 𝑣10

1 Perpustakaan Bawah 𝑣11

Kantor Kepala Perpustakaan 𝑣12

Kantor Karyawan Perpustakaan 𝑣13

2 Perpustakaan Atas 𝑣14

Ruang Baca 𝑣15

Ruang Work Station 𝑣16

Ruang Diskusi 1-4 𝑣17

Ruang Diskusi 5-6 𝑣18

BSP 𝑣19

3 Hall Lantai 3 𝑣20

Campus Ministry 𝑣21

Multimedia 𝑣22

BAPSI 𝑣23

Meeting Room 1 dan 2 𝑣24

4 Hall Lantai 4 𝑣25

Drost 𝑣26

Ruang Tunggu 1 𝑣27

Ruang Tunggu 2 𝑣28


50

1. Lantai Basement

Representasi ruangan-ruangan dan hubungan antar ruang pada

lantai basement ini membentuk graf 𝑃3. Maka menurut Teorema 3.2.1

dimensi metrik pada graf di Gambar 4.1 yaitu 1.

a. Untuk 𝑊 = {𝑣1}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣1|𝑊) = (0),

𝑟(𝑣2|𝑊) = (1), dan 𝑟(𝑣2|𝑊) = (2). Maka 𝑊 = {𝑣1} merupa-

kan himpunan pembeda dan sensor kebakaran dapat ditaruh di ti-

tik 𝑣1 (gudang 1).

b. Untuk 𝑊 = {𝑣2}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣1|𝑊) = (1),

𝑟(𝑣2|𝑊) = (0), dan 𝑟(𝑣3|𝑊) = (1). Karena 𝑟(𝑣1|𝑊) =

𝑟(𝑣3|𝑊) dengan 𝑣1 ≠ 𝑣3 maka 𝑊 = {𝑣2} bukan himpunan pem-

beda dan sensor kebakaran tidak dapat ditaruh di titik 𝑣2 (parkiran

basement).

c. Untuk 𝑊 = {𝑣3}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣1|𝑊) = (2),

𝑟(𝑣2|𝑊) = (1), dan 𝑟(𝑣2|𝑊) = (0). Maka 𝑊 = {𝑣3} merupa-

kan himpunan pembeda dan sensor kebakaran dapat ditaruh di ti-

tik 𝑣3 (BLU).

Maka dapat dititikkan bahwa kita cukup menaruh satu sensor

kebakaran di lantai Basement yaitu di gudang 1 atau BLU.

2. Lantai Ground


lantai ground membentuk graf 𝐾1,7. Maka menurut Teorema 3.2.3 di-

mensi metrik pada graf di Gambar 4.2 yaitu 5 dimana titik 𝑣4 tidak ter-

muat dalam himpunan pembeda minimum manapun. Kemudian akan

ditentukan dimana letak pemasangan sensor kebakaran yang tepat.

a. Untuk 𝑊 = {𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣4|𝑊) =

(1,1,1,1,1), 𝑟(𝑣5|𝑊) = (0,2,2,2,2), 𝑟(𝑣6|𝑊) = (2,0,2,2,2),

𝑟(𝑣7|𝑊) = (2,2,0,2,2), 𝑟(𝑣8|𝑊) = (2,2,2,0,2), 𝑟(𝑣9|𝑊) =

(2,2,2,2,0), dan 𝑟(𝑣10|𝑊) = (2,2,2,2,2). Maka 𝑊 =

{𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9} merupakan himpunan pembeda dan kelima


51

sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣5 (book store), 𝑣6 (BAA

BUK), 𝑣7 (ruang doa), 𝑣8 (gudang 2), dan 𝑣9 (bank).

b. Untuk 𝑊 = {𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣10}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣4|𝑊) =

(1,1,1,1,1), 𝑟(𝑣5|𝑊) = (0,2,2,2,2), 𝑟(𝑣6|𝑊) = (2,0,2,2,2),

𝑟(𝑣7|𝑊) = (2,2,0,2,2), 𝑟(𝑣8|𝑊) = (2,2,2,0,2), 𝑟(𝑣9|𝑊) =

(2,2,2,2,2), dan 𝑟(𝑣10|𝑊) = (2,2,2,2,0). Maka 𝑊 =



BUK), 𝑣7 (ruang doa), 𝑣8 (gudang 2), dan 𝑣10 (kopma).

c. Untuk 𝑊 = {𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣9, 𝑣10}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣4|𝑊) =

(1,1,1,1,1), 𝑟(𝑣5|𝑊) = (0,2,2,2,2), 𝑟(𝑣6|𝑊) = (2,0,2,2,2),

𝑟(𝑣7|𝑊) = (2,2,0,2,2), 𝑟(𝑣8|𝑊) = (2,2,2,2,2), 𝑟(𝑣9|𝑊) =

(2,2,2,0,2), dan 𝑟(𝑣10|𝑊) = (2,2,2,2,0). Maka 𝑊 =



BUK), 𝑣7 (ruang doa), 𝑣9 (bank), dan 𝑣10 (kopma).

d. Untuk 𝑊 = {𝑣5, 𝑣6, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣4|𝑊) =

(1,1,1,1,1), 𝑟(𝑣5|𝑊) = (0,2,2,2,2), 𝑟(𝑣6|𝑊) = (2,0,2,2,2),

𝑟(𝑣7|𝑊) = (2,2,2,2,2), 𝑟(𝑣8|𝑊) = (2,2,0,2,2), 𝑟(𝑣9|𝑊) =

(2,2,2,0,2), dan 𝑟(𝑣10|𝑊) = (2,2,2,2,0). Maka 𝑊 =



BUK), 𝑣8 (gudang 2), 𝑣9 (bank), dan 𝑣10 (kopma).

e. Untuk 𝑊 = {𝑣5, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣4|𝑊) =

(1,1,1,1,1), 𝑟(𝑣5|𝑊) = (0,2,2,2,2), 𝑟(𝑣6|𝑊) = (2,2,2,2,2),

𝑟(𝑣7|𝑊) = (2,0,2,2,2), 𝑟(𝑣8|𝑊) = (2,2,0,2,2), 𝑟(𝑣9|𝑊) =

(2,2,2,0,2), dan 𝑟(𝑣10|𝑊) = (2,2,2,2,0). Maka 𝑊 =


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣5 (book store), 𝑣7 (ruang

doa), 𝑣8 (gudang 2), 𝑣9 (bank), dan 𝑣10 (kopma).


52

f. Untuk 𝑊 = {𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣4|𝑊) =

(1,1,1,1,1), 𝑟(𝑣5|𝑊) = (2,2,2,2,2), 𝑟(𝑣6|𝑊) = (0,2,2,2,2),

𝑟(𝑣7|𝑊) = (2,0,2,2,2), 𝑟(𝑣8|𝑊) = (2,2,0,2,2), 𝑟(𝑣9|𝑊) =

(2,2,2,0,2), dan 𝑟(𝑣10|𝑊) = (2,2,2,2,0). Maka 𝑊 =


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣6 (BAA BUK), 𝑣7 (ruang

doa), 𝑣8 (gudang 2), 𝑣9 (bank), dan 𝑣10 (kopma).

Maka dapat dititikkan bahwa kita dapat menaruh minimal lima

sensor kebakaran pada lima di antara enam ruangan yaitu book store,

BAA BUK, ruang doa, gudang 2, bank, dan kopma

3. Lantai Satu


lantai satu ini membentuk graf 𝑃3. Maka menurut Teorema 3.2.1 di-

mensi metrik pada graf di Gambar 4.3 yaitu 1.

a. Untuk 𝑊 = {𝑣11}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣11|𝑊) = (0),

𝑟(𝑣12|𝑊) = (1), dan 𝑟(𝑣13|𝑊) = (1). Karena 𝑟(𝑣12|𝑊) =

𝑟(𝑣13|𝑊) dimana 𝑣12 ≠ 𝑣13 maka 𝑊 = {𝑣11} bukan himpunan

pembeda dan sensor kebakaran tidak dapat ditaruh di titik 𝑣11

(perpustakaan bawah).

b. Untuk 𝑊 = {𝑣12}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣11|𝑊) = (1),

𝑟(𝑣12|𝑊) = (0), dan 𝑟(𝑣13|𝑊) = (2). Maka 𝑊 = {𝑣12} meru-

pakan himpunan pembeda dan sensor kebakaran dapat ditaruh di

titik 𝑣12 (kantor kepala perpustakaan).

c. Untuk 𝑊 = {𝑣13}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣11|𝑊) = (2),

𝑟(𝑣12|𝑊) = (1), dan 𝑟(𝑣13|𝑊) = (0). Maka 𝑊 = {𝑣13} meru-

pakan himpunan pembeda dan sensor kebakaran dapat ditaruh di

titik 𝑣13 (kantor karyawan perpustakaan).

Maka dapat dititikkan bahwa kita dapat menaruh sensor keba-

karan di ruang karyawan perpustakaan atau kantor kepala perpustakaan

dengan cukup menaruh satu sensor kebakaran saja di lantai satu.


53

4. Lantai Dua


lantai dua membentuk graf 𝐵6,3. Maka menurut Teorema 3.2.6 dimensi

metrik pada graf di Gambar 4.4 yaitu 3 dimana pada himpunan pembeda

minimum tidak akan termuat titik 𝑣14 dan lebih dari satu titik pada

{𝑣18, 𝑣19}. Kemudian akan ditentukan dimana letak pemasangan sensor

kebakaran yang tepat.

a. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣16, 𝑣17}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,0,2), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,2,0), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,2), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,3). Maka

𝑊 = {𝑣15, 𝑣16, 𝑣17} merupakan himpunan pembeda dan ketiga

sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣15 (ruang baca), 𝑣16 (ru-

ang work station), dan 𝑣17 (ruang diskusi 1-4).

b. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣16, 𝑣18}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,0,2), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,2,2), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,0), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,1). Maka



ang work station), dan 𝑣18 (ruang diskusi 5-6).

c. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣16, 𝑣19}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,2), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2,3), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,0,3), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,2,3), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,1), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,0). Maka



ang work station), dan 𝑣19 (BSP).

d. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣17, 𝑣18}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,2,2), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,0,2), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,0), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,1). Maka



54

sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣15 (ruang baca), 𝑣17 (Ru-

ang diskusi 1-4), dan 𝑣18 (Ruang diskusi 5-6).

e. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣17, 𝑣19}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,2), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2,3), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,2,3), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,0,3), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,1), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,0). Maka



ang diskusi 1-4), dan 𝑣19 (BSP).

f. Untuk 𝑊 = {𝑣16, 𝑣17, 𝑣18}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (2,2,2), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,0,2), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,0), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,1). Maka


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣16 (ruang work station),

𝑣17 (ruang diskusi 1-4), dan 𝑣18 (ruang diskusi 5-6).

g. Untuk 𝑊 = {𝑣16, 𝑣17, 𝑣19}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) =

(1,1,2), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (2,2,3), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (0,2,3), 𝑟(𝑣17|𝑊) =

(2,0,3), 𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2,1), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,0). Maka


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣16 (ruang work station),

𝑣17 (ruang diskusi 1-4), dan 𝑣19 (BSP).

5. Lantai Tiga


lantai tiga membentuk graf 𝐾1,5. Maka menurut Teorema 3.2.3 dimensi

metrik pada graf di Gambar 4.5 yaitu 3. Kemudian akan ditentukan di-

mana letak pemasangan sensor kebakaran yang tepat.

a. Untuk 𝑊 = {𝑣21, 𝑣22, 𝑣23}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣20|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣21|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣22|𝑊) = (2,0,2), 𝑟(𝑣23|𝑊) =

(2,2,0), dan 𝑟(𝑣24|𝑊) = (2,2,2). Maka 𝑊 = {𝑣21, 𝑣22, 𝑣23}

merupakan himpunan pembeda dan ketiga sensor kebakaran


55

dapat ditaruh di titik 𝑣21 (campus ministry), 𝑣22 (multimedia),

dan 𝑣23 (BAPSI).

b. Untuk 𝑊 = {𝑣21, 𝑣22, 𝑣24}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣20|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣21|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣22|𝑊) = (2,0,2), 𝑟(𝑣23|𝑊) =

(2,2,2), dan 𝑟(𝑣24|𝑊) = (2,2,0). Maka 𝑊 = {𝑣21, 𝑣22, 𝑣24}


dapat ditaruh di titik 𝑣21 (campus ministry), 𝑣22 (multimedia),

dan 𝑣24 (meeting room).

c. Untuk 𝑊 = {𝑣21, 𝑣23, 𝑣24}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣20|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣21|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣22|𝑊) = (2,2,2), 𝑟(𝑣23|𝑊) =

(2,0,2), dan 𝑟(𝑣24|𝑊) = (2,2,0). Maka 𝑊 = {𝑣21, 𝑣23, 𝑣24}


dapat ditaruh di titik 𝑣21 (campus ministry), 𝑣23 (BAPSI), dan

𝑣24 (meeting room).

d. Untuk 𝑊 = {𝑣22, 𝑣23, 𝑣24}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣20|𝑊) =

(1,1,1), 𝑟(𝑣21|𝑊) = (2,2,2), 𝑟(𝑣22|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣23|𝑊) =

(2,0,2), dan 𝑟(𝑣24|𝑊) = (2,2,0). Maka 𝑊 = {𝑣21, 𝑣23, 𝑣24}


dapat ditaruh di titik 𝑣22 (multimedia), 𝑣23 (BAPSI), dan 𝑣24

(meeting room).

Maka dapat dititikkan bahwa kita dapat menaruh sensor keba-

karan di tiga di antara empat ruangan yang berada pada lantai 3 yaitu

ruangan multimedia, campus ministry, BAPSI, dan meeting room.

6. Lantai Empat


lantai empat membentuk graf 𝑇3,1. Maka menurut Teorema 3.2.8 di-

mensi metrik pada graf di Gambar 4.6 yaitu 2.

a. Untuk 𝑊 = {𝑣25, 𝑣26}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣25|𝑊) = (0,1),

𝑟(𝑣26|𝑊) = (1,0), 𝑟(𝑣27|𝑊) = (1,1), dan 𝑟(𝑣28|𝑊) = (1,2).


56

Maka 𝑊 = {𝑣25, 𝑣26} merupakan himpunan pembeda dan kedua

sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣25 (hall lantai empat) dan

𝑣26 (Drost).

b. Untuk 𝑊 = {𝑣25, 𝑣27}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣25|𝑊) = (0,1),

𝑟(𝑣26|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑣27|𝑊) = (1,0), dan 𝑟(𝑣28|𝑊) = (1,2).


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣25 (hall lantai empat) dan

𝑣27 (ruang tunggu 1).

c. Untuk 𝑊 = {𝑣25, 𝑣28}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣25|𝑊) = (0,1),

𝑟(𝑣26|𝑊) = (1,2), 𝑟(𝑣27|𝑊) = (1,2), dan 𝑟(𝑣28|𝑊) = (1,0).

Karena 𝑟(𝑣26|𝑊) = 𝑟(𝑣27|𝑊) dimana 𝑣26 ≠ 𝑣27, maka 𝑊 =

{𝑣25, 𝑣28} bukan merupakan himpunan pembeda dan kedua sen-

sor kebakaran tidak dapat ditaruh di titik 𝑣25 (hall lantai empat)

dan 𝑣28 (ruang tunggu 2).

d. Untuk 𝑊 = {𝑣26, 𝑣27}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣25|𝑊) = (1,1),

𝑟(𝑣26|𝑊) = (0,1), 𝑟(𝑣27|𝑊) = (1,0), dan 𝑟(𝑣28|𝑊) = (2,2).


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣26 (Drost) dan 𝑣27 (ruang

tunggu 1).

e. Untuk 𝑊 = {𝑣26, 𝑣28}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣25|𝑊) = (1,1),

𝑟(𝑣26|𝑊) = (0,2), 𝑟(𝑣27|𝑊) = (1,2), dan 𝑟(𝑣28|𝑊) = (2,0).


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣26 (Drost) dan 𝑣28 (ruang

tunggu 2).

f. Untuk 𝑊 = {𝑣27, 𝑣28}, maka kita dapatkan 𝑟(𝑣25|𝑊) = (1,1),

𝑟(𝑣26|𝑊) = (1,2), 𝑟(𝑣27|𝑊) = (0,2), dan 𝑟(𝑣28|𝑊) = (2,0).


sensor kebakaran dapat ditaruh di titik 𝑣27 (ruang tunggu 1) dan

𝑣28 (ruang tunggu 2).


57

Pada Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma kita cukup

menaruh satu sensor kebakaran pada lantai Basement, lima sensor kebakaran

pada lantai ground, satu sensor kebakaran pada lantai satu, tiga sensor keba-

karan pada lantai dua, tiga sensor kebakaran pada lantai tiga, dan dua sensor

kebakaran pada lantai empat. Total sensor kebakaran minimum yang perlu

dipasang dengan mengabaikan hubungan antar lantai adalah 14 buah.

C. Penentuan Letak dan Jumlah Sensor Kebakaran Untuk Satu Bangunan

Pada penentuan letak dan jumlah sensor kebakaran untuk keseluruhan

gedung akan digunakan program melalui aplikasi matlab. Graf terhubung yang

terbentuk dengan memperhatikan hubungan antar ruangan pada lantai yang

sama dan antar lantai adalah sebagai berikut:

Gambar 4.7: Graf representasi ruang dan hubungan antar ruang Gedung

Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma

𝑣3

𝑣1 𝑣2

𝑣11

𝑣12

𝑣13

𝑣4

𝑣6

𝑣7

𝑣5

𝑣8

𝑣10

𝑣9

𝑣14

𝑣18

𝑣19

𝑣17

𝑣15

𝑣16

𝑣22

𝑣24

𝑣20 𝑣21

𝑣23

𝑣27

𝑣25

𝑣28

𝑣26


58

Berikut merupakan hasil penelusuran dimensi metrik dan himpunan

pembeda pada beberapa graf menggunakan program dan perhitungan manual.

Tabel 4.2 Hasil pencarian dimensi metrik untuk beberapa graf secara analitik

dan melalui program

Graf Dimensi Metrik

Analitik Lewat Program

𝑃5 1 1

𝐾6 5 5

𝐾1,5 4 4

𝐵3,4 4 4

𝐶8 2 2

Dari penelusuran menggunakan matlab untuk graf 𝐺 merupakan graf

representasi satu bangunan ditemukan bahwa dim(𝐺) = 13 dimana terdapat

912 himpunan pembeda minimum yang terbentuk.

D. Hasil dan Pembahasan

Dengan menentukan himpunan pembeda minimum dari titik-titik

pada Gedung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma kita dapat

menggunakannya sebagai dasar untuk menentukan jumlah minimal sensor ke-

bakaran yang harus dipasang. Dengan memilih salah satu dari himpunan pem-

beda minimum, dapat ditentukan ruangan mana saja yang dapat dipasang sen-

sor kebakaran untuk mendeteksi asal adanya api. Representasi metrik setiap

titik pada graf terhadap himpunan pembeda minimum merupakan lokasi yang

identik untuk suatu ruangan, dengan begitu jika terjadi kebakaran sumber api

dapat langsung terdeteksi.

Misalkan pada penentuan letak dan jumlah sensor kebakaran untuk

lantai dua kita dapatkan salah satu himpunan pembeda minimum yaitu 𝑊 =

{𝑣15, 𝑣16, 𝑣17}. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣16, 𝑣17}, didapatkan 𝑟(𝑣14|𝑊) = (1,1,1),


59

𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2,2), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,0,2), 𝑟(𝑣17|𝑊) = (2,2,0), 𝑟(𝑣18|𝑊) =

(2,2,2), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3,3).

Jika sensor kebakaran dipasang di titik 𝑣15 (ruang baca), 𝑣16 (ruang

work station), dan 𝑣17 (ruang diskusi 1-4) maka ketika terjadi kebakaran di titik

𝑣18 (ruang diskusi 5-6), sensor kebakaran yang berada pada titik 𝑣15 akan

mendeteksi bahwa api muncul dari ruang yang berjarak dua ruangan dari ruang

baca, sensor kebakaran yang berada pada titik 𝑣16 akan mendeteksi bahwa api

muncul dari ruang yang berjarak dua ruangan dari ruang work station, dan sen-

sor kebakaran yang berada pada titik 𝑣17 akan mendeteksi bahwa api muncul

dari ruang yang berjarak dua ruangan dari ruang diskusi 1-4. Dari informasi

yang diberikan oleh ketiga sensor kebakaran tersebut maka dapat ditemukan

bahwa sumber api berasal dari titik 𝑣18 atau ruang diskusi 5-6.

Hal yang berbeda terjadi ketika hanya dua sensor kebakaran yang

dipasang, misalnya 𝑊 = {𝑣15, 𝑣16}. Untuk 𝑊 = {𝑣15, 𝑣16}, didapatkan

𝑟(𝑣14|𝑊) = (1,1), 𝑟(𝑣15|𝑊) = (0,2), 𝑟(𝑣16|𝑊) = (2,0), 𝑟(𝑣17|𝑊) = (2,2),

𝑟(𝑣18|𝑊) = (2,2), dan 𝑟(𝑣19|𝑊) = (3,3).

Jika sensor kebakaran dipasang di titik 𝑣15 (ruang baca) dan 𝑣16 (ru-

ang work station) maka ketika terjadi kebakaran di titik 𝑣18 (ruang diskusi 5-

6), sensor kebakaran yang berada pada titik 𝑣15 akan mendeteksi bahwa api

muncul dari ruang yang berjarak dua ruangan dari ruang baca dan sensor keba-

karan yang berada pada titik 𝑣16 akan mendeteksi bahwa api muncul dari ruang

yang berjarak dua ruangan dari ruang work station. Terdapat dua ruangan yang

berjarak dua dari titik 𝑣15 dan 𝑣16 yaitu 𝑣17 dan 𝑣18 sehingga sumber keba-

karan tidak dapat terdeteksi secara langsung.

Pada penentuan letak dan jumlah sensor kebakaran per lantai

diketahui bahwa minimal sensor kebakaran yang dapat dipasang adalah 14

buah dengan rincian satu buah sensor untuk lantai ground, lima buah sensor

untuk lantai Basement, satu buah sensor untuk lantai satu, tiga buah sensor un-

tuk lantai dua, tiga buah sensor untuk lantai tiga, dan empat buah sensor untuk

lantai dua.


60

Pemasangan sensor pada lantai Basement dapat dilakukan di titik 𝑣1

yaitu gudang 1 dan titik 𝑣3 yaitu BLU (Biro Layanan Umum). Pemasangan

sensor pada lantai ground dapat dilakukan di titik-titik pada salah satu him-

punan berikut {𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9}, {𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣10}, {𝑣5, 𝑣6, 𝑣7, 𝑣9, 𝑣10},

{𝑣5, 𝑣6, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10}, {𝑣5, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10}, atau {𝑣6, 𝑣7, 𝑣8, 𝑣9, 𝑣10} dimana 𝑣5

adalah book store, 𝑣6 adalah BAA BUK, 𝑣7 adalah ruang doa, 𝑣8 adalah

gudang 2, 𝑣9 adalah bank, dan 𝑣10 adalah kopma. Dengan kata lain kita dapat

menempatkan lima sensor kebakaran secara acak pada ruangan di lantai ground

kecuali di hall ground.

Pemasangan sensor pada lantai satu dapat dilakukan di titik 𝑣12 yaitu

kantor kepala perpustaaan dan titik 𝑣13 yaitu kantor karyawan perpustakaan.

Pemasangan sensor pada lantai dua dapat dilakukan di titik-titik pada salah satu

himpunan berikut {𝑣15, 𝑣16, 𝑣17}, {𝑣15, 𝑣16, 𝑣18}, {𝑣15, 𝑣16, 𝑣19}, {𝑣15, 𝑣17,

𝑣18}, {𝑣15, 𝑣17, 𝑣19}, {𝑣16, 𝑣17, 𝑣18} dan {𝑣16, 𝑣17, 𝑣19} dimana 𝑣15 adalah

ruang baca, 𝑣16 adalah ruang work station, 𝑣17 adalah ruang diskusi 1-4, 𝑣18

ruang diskusi 5-6, dan 𝑣19 adalah BSP (Biro Sarana dan Prasarana).

Pemasangan sensor pada lantai tiga dapat dilakukan di titik-titik pada

salah satu himpunan berikut {𝑣21, 𝑣22, 𝑣23}, {𝑣21, 𝑣22, 𝑣24}, {𝑣21, 𝑣23, 𝑣24},

dan {𝑣22, 𝑣23, 𝑣24} dimana 𝑣21 adalah campus ministry, 𝑣22 adalah multime-

dia, 𝑣23 adalah BAPSI, dan 𝑣24 adalah meeting room.

Pemasangan sensor pada lantai empat dapat dilakukan di titik-titik

pada salah satu himpunan berikut {𝑣25, 𝑣26}, {𝑣25, 𝑣27}, {𝑣26, 𝑣27}, {𝑣26, 𝑣28},

dan {𝑣27, 𝑣28} dimana 𝑣25 adalah hall lantai empat, 𝑣26 adalah Drost, 𝑣27 ada-

lah ruang tunggu 1, dan 𝑣28 adalah ruang tunggu.

Berikutnya untuk pemasangan sensor kebakaran dengan memperhi-

tungkan hubungan antar lantai didapatkan hasil dari komputasi menggunakan

matlab yaitu himpunan pembeda minimum 𝑊 (terlampir) memiliki banyak

anggota 13. Dimensi metrik yang terbentuk oleh enam graf yang merepresen-

tasikan ruangan dan hubungan antar ruang untuk setiap lantai lebih tinggi


61

dibanding dimensi metrik yang didapat dari satu graf terhubung yang merepre-

sentasikan ruangan, hubungan antar ruang dan juga memperhatikan hubungan

antar lantai.


62

BAB V

PENUTUP

A. Kesimpulan

Dimensi metrik dapat dicari untuk sebuah graf terhubung. Terlebih da-

hulu dibentuk himpunan 𝑊 = {𝑤1, 𝑤2, 𝑤3, … , 𝑤𝑘} ⊆ 𝑉(𝐺), 𝑘 ∈ ℤ+. Represen-

tasi metrik dari titik 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) terhadap himpunan 𝑊 adalah 𝑟(𝑣|𝑊) =

(𝑑(𝑣, 𝑤1), 𝑑(𝑣, 𝑤2), 𝑑(𝑣, 𝑤3), … , 𝑑(𝑣, 𝑤𝑘)). Himpunan 𝑊 disebut himpunan

pembeda (resolving set) jika untuk 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢 ≠ 𝑣, 𝑟(𝑢|𝑊) ≠ 𝑟(𝑣|𝑊).

Himpunan pembeda dengan banyak anggota terkecil untuk suatu graf

𝐺 disebut himpunan pembeda minimum dan banyak anggota dari himpunan

pembeda minimum disebut dimensi metrik dari 𝐺, dinotasikan dengan dim(𝐺).

Pada tulisan ini telah dibahas dimensi metrik untuk beberapa graf yaitu:

1. 𝐺 merupakan graf 𝑃𝑛 jika dan hanya jika dim(𝐺) = 1.

2. Jika 𝐺 merupakan graf 𝐾𝑛, maka dim(𝐺) = 𝑛 − 1.

3. Jika 𝐺 merupakan graf 𝐾1,𝑛−1, maka dim(𝐺) = 𝑛 − 2.

4. Jika 𝐺 merupakan graf bipartit lengkap dengan 𝑛 titik dan 𝑛 ≥ 4,

maka dim(𝐺) = 𝑛 − 2.

5. Jika 𝐺 merupakan graf 𝐵𝑛+𝑘,𝑘, maka dim(𝐺) = 𝑘.

6. Jika 𝐺 merupakan graf 𝐶𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3, maka dim(𝐺) = 2.

7. Jika 𝐺 merupakan graf 𝑇𝑛,𝑘, maka dim(𝐺) = 2.

Dimensi metrik dapat diaplikasikan pada pemasangan sensor kebakaran

untuk mengurangi jumlah sensor kebakaran. Dengan menggunakan dimensi

metrik, ruangan-ruangan pada gedung dapat diidentifikasi sebagai suatu

koordinat. Koordinat-koordinat tersebut dapat membantu mengidentifikasi

sumber api sehingga perluasan area kebakaran dapat dicegah. Selain itu pe-

ngaplikasian dimensi metrik juga berguna untuk mengurangi jumlah sensor

yang dipasang.


63

Setelah membentuk graf terhubung dengan ruangan pada gedung

direpresentasikan sebagai titik dan hubungan antar ruang direpresentasikan se-

bagai sisi, kita dapat mencari himpunan pembeda minimum dan dimensi metrik

dari graf tersebut. Dimensi metrik dari graf tersebut menyatakan jumlah mini-

mum sensor kebakaran yang harus dipasang dan himpunan pembeda minimum

menyatakan titik-titik pemasangan sensor kebakaran untuk mendeteksi asal

api.

Dimensi metrik dari graf terhubung yang merepresentasikan sebuah ge-

dung diharap tepat karena dimensi metrik yang lebih kecil dari jumlah yang

tepat menyebabkan ruangan sumber kebakaran tidak dapat langsung terdeteksi

karena terdapatnya dua atau lebih representasi titik terhadap himpunan pem-

beda yang sama dimana titik-titik yang direpresentasikan tidak sama.

Penelusuran letak dan jumlah sensor kebakaran per lantai memberikan

hasil yang lebih sedikit dibandingkan untuk satu bangunan. Jumlah sensor ke-

bakaran yang perlu dipasang tanpa memerhatikan hubungan antar lantai hanya

sebanyak 14 buah. Sementara sensor kebakaran yang perlu dipasang dengan

memerhatikan hubungan antar lantai sebanyak 13 buah, sehingga pemasangan

sensor kebakaran akan lebih optimal jika dilakukan dengan memperhatikan

hubungan antar lantai begitu juga untuk menentukan lokasi pemasangannya.

Terdapat 912 susunan lokasi yang memungkinkan untuk memasang ke-13 sen-

sor kebakaran.

B. Saran

Tulisan ini membahas konsep dimensi metrik, penerapannya pada be-

berapa graf, dan pengaplikasiannya pada pemasangan sensor kebakaran di Ge-

dung Utama Kampus III Universitas Sanata Dharma. Tulisan ini dapat dikem-

bangkan lebih lanjut dengan mengembangkan pengaplikasian dimensi metrik

pada bidang lainnya selain pemasangan sensor kebakaran seperti pada proses

pergerakan robot. Selain itu input program dalam penelitian ini berupa matriks

yang menyatakan jarak antar titik. Program dapat dimodifikasi sehingga input

program berupa matriks insiden yang merupakan matriks representasi graf.


64

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. & Rorres, C. (2005). Elementary Linear Algebra (Ninth Edition). New

York: Wiley

Baskoro, E. (2020). Dimensi Metrik Graf: Pendahuluan.

https://youtu.be/DzqjFkPrmhw. Diakses pada tanggal 23 November 2020

pukul 14.15.

Chartrand, G. et al. (2000). Resolvability in Graphs and The Metric Dimension of

A Graph. Discrete Applied Mathematics. 105:99-113.

Eka, S. & Rahadjeng, B. (2013). Dimensi Metrik Pada Graf Lintasan, Graf Kom-

plit, Graf Sikel, Graf Bintang, dan Graf Bipartit Komplit. Skripsi. Surabaya:

Jurusan Matematika Universitas Negeri Surabaya.

Epp, S. S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (Fourth Edition). Bos-

ton: Brooks/Cole.

Gallian, J. (2020). A Dynamic Survey of Graph Labeling (Twenty Third Edition).

Minnesota: University of Minnesota Duluth.

Harary, F. & Melter, R. (1976). On The Metric Dimension of A Graph. Ars Comb.

2:191-195.

Khuller, S., Raghavachari, B., Rosenfeld, A. (1995). Landmarks in Graphs.

Discrete Applied Mathematics. 70:217-229.

Morgan, M., et al. (2011). On The Eccentric Connectivity Index of A Graph.

Discrete Mathematics. 311: 1229-1234.

Ore, O. (1968). Diameters in Graphs. Journal of Combinatorial Theory. 5:75-81.


https://youtu.be/DzqjFkPrmhw

65

Vasudev, C. (2006). Graph Theory with Applications. New Delhi: New Age

International Limited.

Wahyudi, S. (2018). Aplikasi Dimensi Metrik Untuk Meminimalkan Pemasangan

Sensor Kebakaran Sebuah Gedung. Limits. 15(2):89-96.

Wilson R. (2010). H. Introduction to Graph Theory (Fifth Edition). Edinburgh:

Pearson.


66

LAMPIRAN

A. Tabel Matriks

Entri pada matriks berikut menyatakan jarak antar ruang. Entri pada baris ke 𝑖

dan kolom ke 𝑗 menyatakan jarak antara ruang 𝑖 dan ruang 𝑗.

. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

1 0 1 2 3 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 5 6 7 7 7 7 7 8 8 8

2 1 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 4 5 6 6 6 6 6 7 7 7

3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

4 3 2 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 2 3 4 4 4 4 4 5 5 5

5 4 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

6 4 3 2 1 2 0 2 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

7 4 3 2 1 2 2 0 2 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

8 4 3 2 1 2 2 2 0 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

9 4 3 2 1 2 2 2 2 0 2 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

10 4 3 2 1 2 2 2 2 2 0 2 3 3 3 4 4 4 4 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

11 4 3 2 1 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 3 3 3 3 4 4 4

12 5 4 3 2 3 3 3 3 3 3 1 0 2 2 3 3 3 3 2 3 4 4 4 4 4 5 5 5

13 5 4 3 2 3 3 3 3 3 3 1 2 0 2 3 3 3 3 2 3 4 4 4 4 4 5 5 5

14 5 4 3 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 0 1 1 1 1 2 3 4 4 4 4 4 5 5 5

15 6 5 4 3 4 4 4 4 4 4 2 3 3 1 0 2 2 2 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

16 6 5 4 3 4 4 4 4 4 4 2 3 3 1 2 0 2 2 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

17 6 5 4 3 4 4 4 4 4 4 2 3 3 1 2 2 0 2 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6

18 6 5 4 3 4 4 4 4 4 4 2 3 3 1 2 2 2 0 1 2 3 3 3 3 3 4 4 4

19 5 4 3 2 3 3 3 3 3 3 1 2 2 2 3 3 3 1 0 1 2 2 2 2 2 3 3 3

20 6 5 4 3 4 4 4 4 4 4 2 3 3 3 4 4 4 2 1 0 1 1 1 1 1 2 2 2

21 7 6 5 4 5 5 5 5 5 5 3 4 4 4 5 5 5 3 2 1 0 2 2 2 2 3 3 3

22 7 6 5 4 5 5 5 5 5 5 3 4 4 4 5 5 5 3 2 1 2 0 2 2 2 3 3 3

23 7 6 5 4 5 5 5 5 5 5 3 4 4 4 5 5 5 3 2 1 2 2 0 2 2 3 3 3

24 7 6 5 4 5 5 5 5 5 5 3 4 4 4 5 5 5 3 2 1 2 2 2 0 2 3 3 3

25 7 6 5 4 5 5 5 5 5 5 3 4 4 4 5 5 5 3 2 1 2 2 2 2 0 1 1 1

26 8 7 6 5 6 6 6 6 6 6 4 5 5 5 6 6 6 4 3 2 3 3 3 3 1 0 1 2

27 8 7 6 5 6 6 6 6 6 6 4 5 5 5 6 6 6 4 3 2 3 3 3 3 1 1 0 2

28 8 7 6 5 6 6 6 6 6 6 4 5 5 5 6 6 6 4 3 2 3 3 3 3 1 2 2 0


67

B. Program Lainnya

1. Untuk 𝑃5

a. Input

0 1 2 3 4

1 0 1 2 3

2 1 0 1 2

3 2 1 0 1

4 3 2 1 0

b. Output

W (1): True

W (5): True

2. Untuk 𝐾5

a. Input

0 1 1 1 1 1

1 0 1 1 1 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 0

b. Output

W (1,2,3,4,5): True

W (1,2,3,4,6): True

W (1,2,3,5,6): True

W (1,2,3,6,5): True

W (1,2,4,5,6): True

W (1,2,4,6,5): True

W (1,2,5,4,6): True

W (1,2,6,4,5): True


68

W (1,3,4,5,6): True

W (1,3,4,6,5): True

W (1,3,5,4,6): True

W (1,3,6,4,5): True

W (1,4,3,5,6): True

W (1,4,3,6,5): True

W (1,5,3,4,6): True

W (1,6,3,4,5): True

W (2,3,4,5,6): True

3. Untuk 𝐾1,5

a. Input

0 1 1 1 1 1

1 0 2 2 2 2

1 2 0 2 2 2

1 2 2 0 2 2

1 2 2 2 0 2

1 2 2 2 2 0

b. Output

W (2,3,4,5): True

W (2,3,4,6): True

W (2,3,5,6): True

W (2,3,6,5): True

W (2,4,5,6): True

W (2,4,6,5): True

W (2,5,4,6): True

W (2,6,4,5): True

W (3,4,5,6): True

4. Untuk

a. Input


69

0 1 2 3 3 3 3

1 0 1 2 2 2 2

2 1 0 1 1 1 1

3 2 1 0 2 2 2

3 2 1 2 0 2 2

3 2 1 2 2 0 2

3 2 1 2 2 2 0

b. Output

W (1,4,5,6): True

W (1,4,5,7): True

W (1,4,6,5): True

W (1,4,6,7): True

W (1,4,7,5): True

W (1,4,7,6): True

W (1,5,4,6): True

W (1,5,4,7): True

W (1,5,6,4): True

W (1,5,6,7): True

W (1,5,7,4): True

W (1,5,7,6): True

W (1,6,4,5): True

W (1,6,4,7): True

W (1,6,5,4): True

W (1,6,5,7): True

W (1,6,7,4): True

W (1,6,7,5): True

W (1,7,4,5): True


70

W (1,7,4,6): True

W (1,7,5,4): True

W (1,7,5,6): True

W (1,7,6,4): True

W (1,7,6,5): True

W (2,4,5,6): True

W (2,4,5,7): True

W (2,4,6,5): True

W (2,4,6,7): True

W (2,4,7,5): True

W (2,4,7,6): True

W (2,5,4,6): True

W (2,5,4,7): True

W (2,5,6,7): True

W (2,5,7,6): True

W (2,6,4,5): True

W (2,6,4,7): True

W (2,6,5,7): True

W (2,6,7,5): True

W (2,7,4,5): True

W (2,7,4,6): True

W (2,7,5,6): True

W (2,7,6,5): True

W (4,5,6,7): True

5. Untuk 𝐶8

a. Input

0 1 2 3 4 3 2 1

1 0 1 2 3 4 3 2

2 1 0 1 2 3 4 3

3 2 1 0 1 2 3 4


71

4 3 2 1 0 1 2 3

3 4 3 2 1 0 1 2

2 3 4 3 2 1 0 1

1 2 3 4 3 2 1 0

b. Output

W (1,2): True

W (1,3): True

W (1,4): True

W (1,6): True

W (1,7): True

W (1,8): True

W (2,3): True

W (2,4): True

W (2,5): True

W (2,7): True

W (2,8): True

W (3,4): True

W (3,5): True

W (3,6): True

W (3,8): True

W (4,5): True

W (4,6): True

W (4,7): True

W (5,6): True

W (5,7): True

W (5,8): True

W (6,7): True

W (6,8): True

W (7,8): True


72

C. Program untuk Graf Satu Bangunan

Berikut algoritma dari program yang digunakan untuk mencari himpunan pem-

beda dengan banyak anggota himpunan 𝑛:

1. Input dari program berupa matriks berukuran 28 × 28 dimana entri kolom

ke-𝑖 baris ke-𝑗 menyatakan jarak antara ruang 𝑖 dan 𝑗.

2. Setelah itu dilakukan pendataan mengenai himpunan kolom {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛}

yang mungkin dimana 𝑣1 ≠ 𝑣2 ≠ ⋯ ≠ 𝑣𝑛. Seluruh himpunan tersebut

kemudian dilabeli dengan 0. Himpunan kolom tersebut menyatakan him-

punan 𝑊 yang akan diidentifikasi apakah termasuk ke dalam himpunan

pembeda atau bukan.

3. Pada kolom-kolom di langkah kedua akan dilakukan penelusuran apakah

terdapat baris dengan kumpulan terurut entri yang sama. Jika terdapat kum-

pulan terurut entri yang sama maka himpunan 𝑊 akan dilabeli sebagai 0

dan jika tidak terdapat entri yang sama maka himpunan 𝑊 akan dilabeli

dengan 1.

4. Jika terdapat himpunan 𝑊 dengan label 1, maka himpunan tersebut meru-

pakan himpunan pembeda dan akan ditampilkan sebagai output dalam pro-

gram. Jika tidak terdapat himpunan dengan label 0 maka tidak akan muncul

output pada program dan proses running selesai.

Berikut program untuk himpunan pemisah dengan |𝑊| ∈ {1,2, … ,28}:

1. Untuk |𝑊| = 1

cek = xlsread('Metopen.xlsx');

for x = 1 : length (cek)

flag = 0;

for i = 1 : length(cek)

for j = (i + 1): length(cek)

if (cek(x,i) == cek (x,j))

flag = 1;

end

end

end

if(flag == 1)

disp ("W "+x+ ": False");

else


73

disp ("W "+x+ ": True");

end

end

2. Untuk |𝑊| = 2

clc;

clear;

tempCek = xlsread('Metopen.xlsx');

for x = 1 : length (tempCek)

for y = (x+1) : length (tempCek)

flag = 0;

for i = 1 : length(tempCek)

for j = (i + 1): length(tempCek)

if ([tempCek(x,i),tempCek(y,i)]==[tempCek(x,j),tempCek(y,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag == 1)

disp ("W "+x+ ","+y+": False");

else

disp ("W "+x+ ","+y+": True");

end

end

end

3. Untuk |𝑊| = 3

clc;

clear;


for x = 1 : length (tempCek)

for y = (x+1) : length (tempCek)

for z = (y+1) : length (tempCek)

flag = 0;



if ([tempCek(x,i),tempCek(y,i),tempCek(z,i)] == [tempCek(x,j),temp-

Cek(y,j),tempCek(z,j)])


74

flag = 1;

end

end

end

if(flag == 1)

disp ("W ("+x+ ","+y+","+z+"): False");

else

disp ("W ("+x+ ","+y+","+z+"): True");

end

end

end

end

4. Untuk |𝑊| = 4

clc;

clear;


for a = 1 : length (tempCek)

for b = (a+1) : length (tempCek)

for c = (b+1) : length (tempCek)

for d = (c+1) : length(tempCek)

flag = 0;



if ([tempCek(a,i),tempCek(b,i),tempCek(c,i),tempCek(d,i)] == [temp-

Cek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),tempCek(d,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+ ","+b+","+c+","+d+"): True");

end

end

end

end

end

5. Untuk |𝑊| = 5


75

clc;

clear;





for d = (c + 1) : length(tempCek)

for e = (d+1) : length (tempCek)

flag = 0;



if ([tempCek(a,i),tempCek(b,i),tempCek(c,i),tempCek(d,i),temp-

Cek(e,i)] == [tempCek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),temp-

Cek(d,j),tempCek(e,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+ ","+b+","+c+","+d+","+e+"): True");

end

end

end

end

end

end

6. Untuk |𝑊| = 6

clc;

clear;







for f = (e+1) : length (tempCek)

flag = 0;




76

if ([tempCek(a,i),tempCek(b,i),tempCek(c,i),tempCek(d,i),tempCek(e,i)

,tempCek(f,i)] == [tempCek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),temp-

Cek(d,j),tempCek(e,j)] ),tempCek(f,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+ ","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+"): True");

end

end

end

end

end

end

end

7. Untuk |𝑊| = 7

clc;

clear;








for g = (f+1) : length (tempCek)

flag = 0;



if ([tempCek(a,i),tempCek(b,i),tempCek(c,i),tempCek(d,i),tempCek(e,i)

,tempCek(f,i),tempCek(g,i)] == [tempCek(a,j),tempCek(b,j),temp-

Cek(c,j),tempCek(d,j),tempCek(e,j)] ),tempCek(f,j), tempCek(g,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+ ","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+","+g+"): True");


77

end

end

end

end

end

end

end

end

8. Untuk |𝑊| = 8

clc;

clear;









for h = (g+1) : length(tempCek)

flag = 0;



if ([tempCek(a,i),tempCek(b,i),temCek(c,i),tempCek(d,i),temp-

Cek(e,i),tempCek(f,i),tempCek(g,i),tempCek(h,i)] == [temp-

Cek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),tempCek(d,j),tempCek(e,j),temp-

Cek(f,j),tempCek(g,j),tempCek(h,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+ ","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+","+g+","+h+"):

True");

end

end

end

end


78

end

end

end

end

end

9. Untuk |𝑊| = 9

clc;

clear;










for k = (h+1) : length (tempCek)

flag = 0;




Cek(e,i),tempCek(f,i),tempCek(g,i),tempCek(h,i),tempCek(k,i)] ==

[tempCek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),tempCek(d,j),temp-

Cek(e,j),tempCek(f,j),tempCek(g,j),tempCek(h,j),tempCek(k,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+ ","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+""+g+","+h+","+k+"):

True");

end

end

end

end

end

end

end


79

end

end

end

10. Untuk |𝑊| = 10

clc;

clear;











for l = (k+1): length (tempCek)

flag = 0;




Cek(e,i),tempCek(f,i),tempCek(g,i),tempCek(h,i),tempCek(k,i),temp-

Cek(l,i)] == [tempCek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),temp-

Cek(d,j),tempCek(e,j),tempCek(f,j),tempCek(g,j),tempCek(h,j),temp-

Cek(k,i),tempCek(l,i)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+

","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+""+g+","+h+","+k+","+l+"): True");

end

end

end

end

end

end


80

end

end

end

end

end

11. Untuk |𝑊| = 11

clc;

clear;












for m = (l+1) : length (tempCek)

flag = 0;





Cek(l,i),tempCek(m,i)] == [tempCek(a,j),tempCek(b,j),temp-

Cek(c,j),tempCek(d,j),tempCek(e,j),tempCek(f,j),tempCek(g,j),temp-

Cek(h,j),tempCek(k,j),tempCek(l,j),tempCek(m,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+

","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+","+g+","+h+","+k+","+l+","+m+"):

True");

end

end

end


81

end

end

end

end

end

end

end

end

end

12. Untuk |𝑊| = 12

clc;

clear;













for n = (m+1) : length (tempCek)

flag = 0





Cek(l,i),tempCek(m,i),tempCek(n,i)] == [tempCek(a,j),temp-


82

Cek(b,j),tempCek(c,j),tempCek(d,j),tempCek(e,j),tempCek(f,j),temp-

Cek(g,j),tempCek(h,j),tempCek(k,j),tempCek(l,j),tempCek(m,j),temp-

Cek(n,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+

","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+","+g+","+h+","+k+","+l+","+m+","+n+

"): True");

end

end

end

end

end

end

end

end

end

end

end

end

end

13. Untuk |𝑊| = 13

clc;

clear;







83








for n = (m+1) : length (tempCek)

for o = (n+1) : length (tempCek)

flag = 0





Cek(l,i),tempCek(m,i),tempCek(n,i) ,tempCek(o,i)] == [temp-

Cek(a,j),tempCek(b,j),tempCek(c,j),tempCek(d,j),tempCek(e,j),temp-

Cek(f,j),tempCek(g,j),tempCek(h,j),tempCek(k,j),tempCek(l,j),temp-

Cek(m,j),tempCek(n,j) ,tempCek(o,j)])

flag = 1;

end

end

end

if(flag ~= 1)

disp ("W ("+a+

","+b+","+c+","+d+","+e+","+f+","+g+","+h+","+k+","+l+","+m+","+n+

","+o+"): True");

end

end

end

end

end

end

end


84

end

end

end

end

end

end

D. Output untuk |𝑾| = 𝟏𝟑

1. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,23,26): True

2. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,23,27): True

3. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,24,26): True

4. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,24,27): True

5. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,21,23,24,26): True

6. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,21,23,24,27): True

7. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,22,23,24,26): True

8. W (1,5,6,7,8,9,12,15,16,22,23,24,27): True

9. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,23,26): True

10. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,23,27): True

11. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,24,26): True

12. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,24,27): True

13. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,21,23,24,26): True

14. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,21,23,24,27): True

15. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,22,23,24,26): True

16. W (1,5,6,7,8,9,12,15,17,22,23,24,27): True

17. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,23,26): True

18. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,23,27): True

19. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,24,26): True

20. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,24,27): True

21. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,21,23,24,26): True

22. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,21,23,24,27): True

23. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,22,23,24,26): True

24. W (1,5,6,7,8,9,12,16,17,22,23,24,27): True


85

25. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,23,26): True

26. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,23,27): True

27. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,24,26): True

28. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,24,27): True

29. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,21,23,24,26): True

30. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,21,23,24,27): True

31. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,22,23,24,26): True

32. W (1,5,6,7,8,9,13,15,16,22,23,24,27): True

33. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,23,26): True

34. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,23,27): True

35. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,24,26): True

36. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,24,27): True

37. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,21,23,24,26): True

38. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,21,23,24,27): True

39. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,22,23,24,26): True

40. W (1,5,6,7,8,9,13,15,17,22,23,24,27): True

41. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,23,26): True

42. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,23,27): True

43. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,24,26): True

44. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,24,27): True

45. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,21,23,24,26): True

46. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,21,23,24,27): True

47. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,22,23,24,26): True

48. W (1,5,6,7,8,9,13,16,17,22,23,24,27): True

49. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,23,26): True

50. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,23,27): True

51. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,24,26): True

52. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,24,27): True

53. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,21,23,24,26): True

54. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,21,23,24,27): True

55. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,22,23,24,26): True


86

56. W (1,5,6,7,8,10,12,15,16,22,23,24,27): True

57. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,23,26): True

58. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,23,27): True

59. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,24,26): True

60. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,24,27): True

61. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,21,23,24,26): True

62. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,21,23,24,27): True

63. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,22,23,24,26): True

64. W (1,5,6,7,8,10,12,15,17,22,23,24,27): True

65. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,23,26): True

66. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,23,27): True

67. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,24,26): True

68. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,24,27): True

69. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,21,23,24,26): True

70. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,21,23,24,27): True

71. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,22,23,24,26): True

72. W (1,5,6,7,8,10,12,16,17,22,23,24,27): True

73. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,23,26): True

74. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,23,27): True

75. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,24,26): True

76. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,24,27): True

77. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,21,23,24,26): True

78. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,21,23,24,27): True

79. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,22,23,24,26): True

80. W (1,5,6,7,8,10,13,15,16,22,23,24,27): True

81. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,23,26): True

82. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,23,27): True

83. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,24,26): True

84. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,24,27): True

85. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,21,23,24,26): True

86. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,21,23,24,27): True


87

87. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,22,23,24,26): True

88. W (1,5,6,7,8,10,13,15,17,22,23,24,27): True

89. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,23,26): True

90. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,23,27): True

91. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,24,26): True

92. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,24,27): True

93. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,21,23,24,26): True

94. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,21,23,24,27): True

95. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,22,23,24,26): True

96. W (1,5,6,7,8,10,13,16,17,22,23,24,27): True

97. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

98. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

99. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

100. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

101. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

102. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

103. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

104. W (1,5,6,7,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

105. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

106. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

107. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

108. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

109. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

110. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

111. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

112. W (1,5,6,7,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

113. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

114. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

115. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

116. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

117. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True


88

118. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

119. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

120. W (1,5,6,7,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

121. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

122. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

123. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

124. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

125. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

126. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

127. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

128. W (1,5,6,7,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

129. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

130. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

131. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

132. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

133. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

134. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

135. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

136. W (1,5,6,7,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

137. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

138. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

139. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

140. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

141. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

142. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

143. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

144. W (1,5,6,7,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

145. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

146. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

147. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

148. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True


89

149. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

150. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

151. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

152. W (1,5,6,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

153. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

154. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

155. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

156. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

157. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

158. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

159. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

160. W (1,5,6,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

161. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

162. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

163. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

164. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

165. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

166. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

167. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

168. W (1,5,6,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

169. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

170. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

171. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

172. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

173. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

174. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

175. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

176. W (1,5,6,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

177. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

178. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

179. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True


90

180. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

181. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

182. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

183. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

184. W (1,5,6,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

185. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

186. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

187. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

188. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

189. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

190. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

191. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

192. W (1,5,6,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

193. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

194. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

195. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

196. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

197. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

198. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

199. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

200. W (1,5,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

201. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

202. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

203. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

204. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

205. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

206. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

207. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

208. W (1,5,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

209. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

210. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True


91

211. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

212. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

213. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

214. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

215. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

216. W (1,5,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

217. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

218. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

219. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

220. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

221. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

222. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

223. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

224. W (1,5,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

225. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

226. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

227. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

228. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

229. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

230. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

231. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

232. W (1,5,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

233. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

234. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

235. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

236. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

237. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

238. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

239. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

240. W (1,5,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

241. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True


92

242. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

243. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

244. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

245. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

246. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

247. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

248. W (1,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

249. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

250. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

251. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

252. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

253. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

254. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

255. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

256. W (1,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

257. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

258. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

259. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

260. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

261. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

262. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

263. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

264. W (1,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

265. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

266. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

267. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

268. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

269. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

270. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

271. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

272. W (1,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True


93

273. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

274. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

275. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

276. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

277. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

278. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

279. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

280. W (1,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

281. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

282. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

283. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

284. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

285. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

286. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

287. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

288. W (1,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

289. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,23,26): True

290. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,23,27): True

291. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,24,26): True

292. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,24,27): True

293. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,21,23,24,26): True

294. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,21,23,24,27): True

295. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,22,23,24,26): True

296. W (2,5,6,7,8,9,12,15,16,22,23,24,27): True

297. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,23,26): True

298. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,23,27): True

299. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,24,26): True

300. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,24,27): True

301. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,21,23,24,26): True

302. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,21,23,24,27): True

303. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,22,23,24,26): True


94

304. W (2,5,6,7,8,9,12,15,17,22,23,24,27): True

305. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,23,26): True

306. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,23,27): True

307. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,24,26): True

308. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,24,27): True

309. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,21,23,24,26): True

310. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,21,23,24,27): True

311. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,22,23,24,26): True

312. W (2,5,6,7,8,9,12,16,17,22,23,24,27): True

313. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,23,26): True

314. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,23,27): True

315. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,24,26): True

316. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,24,27): True

317. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,21,23,24,26): True

318. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,21,23,24,27): True

319. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,22,23,24,26): True

320. W (2,5,6,7,8,9,13,15,16,22,23,24,27): True

321. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,23,26): True

322. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,23,27): True

323. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,24,26): True

324. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,24,27): True

325. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,21,23,24,26): True

326. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,21,23,24,27): True

327. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,22,23,24,26): True

328. W (2,5,6,7,8,9,13,15,17,22,23,24,27): True

329. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,23,26): True

330. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,23,27): True

331. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,24,26): True

332. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,24,27): True

333. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,21,23,24,26): True

334. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,21,23,24,27): True


95

335. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,22,23,24,26): True

336. W (2,5,6,7,8,9,13,16,17,22,23,24,27): True

337. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,23,26): True

338. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,23,27): True

339. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,24,26): True

340. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,24,27): True

341. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,21,23,24,26): True

342. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,21,23,24,27): True

343. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,22,23,24,26): True

344. W (2,5,6,7,8,10,12,15,16,22,23,24,27): True

345. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,23,26): True

346. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,23,27): True

347. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,24,26): True

348. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,24,27): True

349. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,21,23,24,26): True

350. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,21,23,24,27): True

351. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,22,23,24,26): True

352. W (2,5,6,7,8,10,12,15,17,22,23,24,27): True

353. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,23,26): True

354. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,23,27): True

355. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,24,26): True

356. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,24,27): True

357. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,21,23,24,26): True

358. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,21,23,24,27): True

359. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,22,23,24,26): True

360. W (2,5,6,7,8,10,12,16,17,22,23,24,27): True

361. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,23,26): True

362. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,23,27): True

363. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,24,26): True

364. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,24,27): True

365. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,21,23,24,26): True


96

366. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,21,23,24,27): True

367. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,22,23,24,26): True

368. W (2,5,6,7,8,10,13,15,16,22,23,24,27): True

369. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,23,26): True

370. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,23,27): True

371. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,24,26): True

372. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,24,27): True

373. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,21,23,24,26): True

374. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,21,23,24,27): True

375. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,22,23,24,26): True

376. W (2,5,6,7,8,10,13,15,17,22,23,24,27): True

377. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,23,26): True

378. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,23,27): True

379. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,24,26): True

380. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,24,27): True

381. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,21,23,24,26): True

382. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,21,23,24,27): True

383. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,22,23,24,26): True

384. W (2,5,6,7,8,10,13,16,17,22,23,24,27): True

385. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

386. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

387. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

388. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

389. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

390. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

391. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

392. W (2,5,6,7,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

393. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

394. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

395. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

396. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True


97

397. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

398. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

399. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

400. W (2,5,6,7,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

401. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

402. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

403. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

404. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

405. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

406. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

407. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

408. W (2,5,6,7,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

409. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

410. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

411. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

412. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

413. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

414. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

415. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

416. W (2,5,6,7,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

417. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

418. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

419. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

420. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

421. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

422. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

423. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

424. W (2,5,6,7,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

425. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

426. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

427. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True


98

428. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

429. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

430. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

431. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

432. W (2,5,6,7,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

433. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

434. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

435. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

436. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

437. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

438. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

439. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

440. W (2,5,6,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

441. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

442. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

443. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

444. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

445. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

446. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

447. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

448. W (2,5,6,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

449. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

450. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

451. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

452. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

453. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

454. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

455. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

456. W (2,5,6,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

457. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

458. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True


99

459. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

460. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

461. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

462. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

463. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

464. W (2,5,6,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

465. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

466. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

467. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

468. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

469. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

470. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

471. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

472. W (2,5,6,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

473. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

474. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

475. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

476. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

477. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

478. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

479. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

480. W (2,5,6,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

481. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

482. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

483. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

484. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

485. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

486. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

487. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

488. W (2,5,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

489. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True


100

490. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

491. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

492. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

493. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

494. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

495. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

496. W (2,5,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

497. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

498. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

499. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

500. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

501. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

502. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

503. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

504. W (2,5,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

505. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

506. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

507. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

508. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

509. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

510. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

511. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

512. W (2,5,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

513. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

514. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

515. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

516. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

517. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

518. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

519. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

520. W (2,5,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True


101

521. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

522. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

523. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

524. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

525. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

526. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

527. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

528. W (2,5,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

529. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

530. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

531. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

532. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

533. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

534. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

535. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

536. W (2,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

537. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

538. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

539. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

540. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

541. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

542. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

543. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

544. W (2,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

545. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

546. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

547. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

548. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

549. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

550. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

551. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True


102

552. W (2,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

553. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

554. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

555. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

556. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

557. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

558. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

559. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

560. W (2,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

561. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

562. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

563. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

564. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

565. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

566. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

567. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

568. W (2,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

569. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

570. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

571. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

572. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

573. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

574. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

575. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

576. W (2,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

577. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,23,26): True

578. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,23,27): True

579. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,24,26): True

580. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,21,22,24,27): True

581. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,21,23,24,26): True

582. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,21,23,24,27): True


103

583. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,22,23,24,26): True

584. W (3,5,6,7,8,9,12,15,16,22,23,24,27): True

585. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,23,26): True

586. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,23,27): True

587. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,24,26): True

588. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,21,22,24,27): True

589. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,21,23,24,26): True

590. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,21,23,24,27): True

591. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,22,23,24,26): True

592. W (3,5,6,7,8,9,12,15,17,22,23,24,27): True

593. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,23,26): True

594. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,23,27): True

595. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,24,26): True

596. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,21,22,24,27): True

597. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,21,23,24,26): True

598. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,21,23,24,27): True

599. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,22,23,24,26): True

600. W (3,5,6,7,8,9,12,16,17,22,23,24,27): True

601. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,23,26): True

602. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,23,27): True

603. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,24,26): True

604. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,21,22,24,27): True

605. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,21,23,24,26): True

606. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,21,23,24,27): True

607. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,22,23,24,26): True

608. W (3,5,6,7,8,9,13,15,16,22,23,24,27): True

609. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,23,26): True

610. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,23,27): True

611. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,24,26): True

612. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,21,22,24,27): True

613. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,21,23,24,26): True


104

614. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,21,23,24,27): True

615. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,22,23,24,26): True

616. W (3,5,6,7,8,9,13,15,17,22,23,24,27): True

617. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,23,26): True

618. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,23,27): True

619. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,24,26): True

620. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,21,22,24,27): True

621. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,21,23,24,26): True

622. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,21,23,24,27): True

623. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,22,23,24,26): True

624. W (3,5,6,7,8,9,13,16,17,22,23,24,27): True

625. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,23,26): True

626. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,23,27): True

627. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,24,26): True

628. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,21,22,24,27): True

629. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,21,23,24,26): True

630. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,21,23,24,27): True

631. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,22,23,24,26): True

632. W (3,5,6,7,8,10,12,15,16,22,23,24,27): True

633. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,23,26): True

634. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,23,27): True

635. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,24,26): True

636. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,21,22,24,27): True

637. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,21,23,24,26): True

638. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,21,23,24,27): True

639. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,22,23,24,26): True

640. W (3,5,6,7,8,10,12,15,17,22,23,24,27): True

641. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,23,26): True

642. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,23,27): True

643. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,24,26): True

644. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,21,22,24,27): True


105

645. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,21,23,24,26): True

646. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,21,23,24,27): True

647. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,22,23,24,26): True

648. W (3,5,6,7,8,10,12,16,17,22,23,24,27): True

649. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,23,26): True

650. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,23,27): True

651. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,24,26): True

652. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,21,22,24,27): True

653. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,21,23,24,26): True

654. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,21,23,24,27): True

655. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,22,23,24,26): True

656. W (3,5,6,7,8,10,13,15,16,22,23,24,27): True

657. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,23,26): True

658. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,23,27): True

659. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,24,26): True

660. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,21,22,24,27): True

661. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,21,23,24,26): True

662. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,21,23,24,27): True

663. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,22,23,24,26): True

664. W (3,5,6,7,8,10,13,15,17,22,23,24,27): True

665. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,23,26): True

666. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,23,27): True

667. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,24,26): True

668. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,21,22,24,27): True

669. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,21,23,24,26): True

670. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,21,23,24,27): True

671. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,22,23,24,26): True

672. W (3,5,6,7,8,10,13,16,17,22,23,24,27): True

673. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

674. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

675. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True


106

676. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

677. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

678. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

679. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

680. W (3,5,6,7,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

681. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

682. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

683. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

684. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

685. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

686. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

687. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

688. W (3,5,6,7,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

689. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

690. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

691. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

692. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

693. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

694. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

695. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

696. W (3,5,6,7,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

697. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

698. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

699. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

700. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

701. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

702. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

703. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

704. W (3,5,6,7,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

705. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

706. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True


107

707. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

708. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

709. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

710. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

711. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

712. W (3,5,6,7,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

713. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

714. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

715. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

716. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

717. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

718. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

719. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

720. W (3,5,6,7,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

721. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

722. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

723. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

724. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

725. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

726. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

727. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

728. W (3,5,6,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

729. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

730. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

731. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

732. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

733. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

734. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

735. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

736. W (3,5,6,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

737. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True


108

738. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

739. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

740. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

741. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

742. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

743. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

744. W (3,5,6,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

745. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

746. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

747. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

748. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

749. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

750. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

751. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

752. W (3,5,6,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

753. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

754. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

755. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

756. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

757. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

758. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

759. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

760. W (3,5,6,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

761. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

762. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

763. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

764. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

765. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

766. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

767. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

768. W (3,5,6,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True


109

769. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

770. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

771. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

772. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

773. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

774. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

775. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

776. W (3,5,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

777. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

778. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

779. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

780. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

781. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

782. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

783. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

784. W (3,5,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

785. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

786. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

787. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

788. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

789. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

790. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

791. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

792. W (3,5,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

793. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

794. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

795. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

796. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

797. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

798. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

799. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True


110

800. W (3,5,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

801. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

802. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

803. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

804. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

805. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

806. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

807. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

808. W (3,5,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

809. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

810. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

811. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

812. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

813. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

814. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

815. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

816. W (3,5,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

817. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

818. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

819. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

820. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

821. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

822. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

823. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

824. W (3,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

825. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

826. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

827. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

828. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

829. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

830. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True


111

831. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

832. W (3,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

833. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

834. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

835. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

836. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

837. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

838. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

839. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

840. W (3,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

841. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

842. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

843. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

844. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True

845. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

846. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

847. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

848. W (3,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

849. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

850. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

851. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

852. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

853. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

854. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

855. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

856. W (3,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

857. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

858. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

859. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

860. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

861. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True


112

862. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

863. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

864. W (3,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True

865. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,26): True

866. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,23,27): True

867. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,26): True

868. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,21,22,24,27): True

869. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,26): True

870. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,21,23,24,27): True

871. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,26): True

872. W (5,6,7,8,9,10,12,15,16,22,23,24,27): True

873. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,26): True

874. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,23,27): True

875. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,26): True

876. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,21,22,24,27): True

877. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,26): True

878. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,21,23,24,27): True

879. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,26): True

880. W (5,6,7,8,9,10,12,15,17,22,23,24,27): True

881. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,26): True

882. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,23,27): True

883. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,26): True

884. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,21,22,24,27): True

885. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,26): True

886. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,21,23,24,27): True

887. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,26): True

888. W (5,6,7,8,9,10,12,16,17,22,23,24,27): True

889. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,26): True

890. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,23,27): True

891. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,26): True

892. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,21,22,24,27): True


113

893. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,26): True

894. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,21,23,24,27): True

895. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,26): True

896. W (5,6,7,8,9,10,13,15,16,22,23,24,27): True

897. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,26): True

898. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,23,27): True

899. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,26): True

900. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,21,22,24,27): True

901. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,26): True

902. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,21,23,24,27): True

903. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,26): True

904. W (5,6,7,8,9,10,13,15,17,22,23,24,27): True

905. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,26): True

906. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,23,27): True

907. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,26): True

908. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,21,22,24,27): True

909. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,26): True

910. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,21,23,24,27): True

911. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,26): True

912. W (5,6,7,8,9,10,13,16,17,22,23,24,27): True


66


dimensi metrik graf dan aplikasinya pada pemasangan sensor ...

Documents