Mekanika Kekuatan Material BAB I TEGANGAN SEDERHANA 1.1 PENDAHULUAN Kekuatan Bahan (strength of material) memperluas pelajaran gaya yang dimulai dengan Mekanika Teknik, tetapi terdapat perbedaan yang nyata antara kedua materi tersebut. Pada dasarnya, bidang Mekanika membahas hubungan antara gaya yang bekerja pada benda kaku (pada statika, benda dalam keadaan setimbang, sedangkan pada Dinamika benda dipercepat tetapi dapat dibuat setimbang dengan menempatkan gaya inersia). Kekuatan bahan, membahas hubungan antara gaya luar yang bekerja dan pengaruhnya terhadap gaya dalam benda. Selanjutnya, benda tidak lagi dianggap sebagai kaku ideal; Deformasi walaupun kecil, merupakan sasaran utama. 1.2 ANALISA GAYA DALAM. Salah satu masalah utama mekanika bahan adalah menyelidiki tahanan dalam dari sebuah benda, yaitu hakekat gaya-gaya yang ada di dalam suatu benda yang mengimbangi gaya-gaya luar yang terpakai. Untuk maksud ini. Kita melakukan metoda pendekatan yang seragam dengan cara membuat Diagram Benda Bebas (free body diagram), yaitu sebuah skets diagramatis yang lengkap dari bagian 1
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Mekanika Kekuatan Material
BAB I
TEGANGAN SEDERHANA
1.1 PENDAHULUAN
Kekuatan Bahan (strength of material) memperluas pelajaran gaya yang
dimulai dengan Mekanika Teknik, tetapi terdapat perbedaan yang nyata antara
kedua materi tersebut. Pada dasarnya, bidang Mekanika membahas hubungan
antara gaya yang bekerja pada benda kaku (pada statika, benda dalam keadaan
setimbang, sedangkan pada Dinamika benda dipercepat tetapi dapat dibuat
setimbang dengan menempatkan gaya inersia).
Kekuatan bahan, membahas hubungan antara gaya luar yang bekerja dan
pengaruhnya terhadap gaya dalam benda. Selanjutnya, benda tidak lagi dianggap
sebagai kaku ideal; Deformasi walaupun kecil, merupakan sasaran utama.
1.2 ANALISA GAYA DALAM.
Salah satu masalah utama mekanika bahan adalah menyelidiki tahanan
dalam dari sebuah benda, yaitu hakekat gaya-gaya yang ada di dalam suatu
benda yang mengimbangi gaya-gaya luar yang terpakai. Untuk maksud ini. Kita
melakukan metoda pendekatan yang seragam dengan cara membuat Diagram
Benda Bebas (free body diagram), yaitu sebuah skets diagramatis yang lengkap
dari bagian struktur yang akan diselidiki dimana semua gaya luar yang bekerja
pada sebuah benda diperlihatkan pada masing-masing titik tangkapnya.
Gambar 1. Pengirisan sebuah benda
1
Mekanika Kekuatan Material
Sebuah benda stabil akan diam pada kesetimbangannya, maka gaya-gaya yang
bekerja padanya akan memenuhi persamaan keseimbangan statis. Bila gaya-gaya
yang bekerja pada sebuah benda seperti pada gambar 1.1.(a). memenuhi
keseimbangan statis dan semuanya terlihat dalam diagram benda bebas, maka
untuk menentukan gaya-gaya dalam yang dihasilkan oleh gaya luar dapat
diperoleh dengan menggunakan Metode Irisan (Method of Section).
Metode Irisan diperoleh dengan menggunakan sebuah bidang potong ABCD
sehingga memisahkan benda semula menjadi dua bagian yang berlainan.
Kemudian bila benda itu secara keseluruhan berada dalam keseimbangan, maka
setiap bagian dari masing-masing potongan itu juga berada dalam kesetimbangan.
Hasil proses tersebut dapat dilihat pada gambar 1.1.(a). dan 1.1.(b).
Dari langkah di atas diperoleh kesimpulan bahwa gaya-gaya luar yang
terpakai pada sebuah sisi potong tertentu haruslah diimbangi oleh gaya-gaya
dalam yang terbentuk dalam potongan tersebut, atau secara ringkas dapat
dikatakan bahwa gaya-gaya luar diimbangi oleh gaya-gaya dalam.
Secara umum gaya-gaya dalam diubah menjadi gaya dan kopel dan
diuraikan menjadi komponen normal dan tangensial terhadap penampang,
diperlihatkan dalam gambar 1.2.
Gambar 2. Komponen pengaruh gaya dalam pada bidang irisan.
Notasi yang digunakan pada gambar 1.2. menunjukkan penampang selidik dan
arah gaya atau komponen momen. Indek pertama menunjukkan muka dimana
komponen bekerja; Indek kedua menunjukkan arah komponen kusus. (misal : Pxy
berarti gaya pada muka X yang bekerja pada arah Y).
2
Mekanika Kekuatan Material
Setiap komponen merefleksikan pengaruh beban terpasang yang berbeda
dari setiap batang dan diberikan nama khusus sebagai berikut :
Pxx : Gaya aksial (Axial Force). Komponen ini mengukur kerja tarikan
atau tekan di penampang.
Pxy,Pxz : Gaya Geser (Shear force). Gaya ini adalah komponen tahanan total
akibat geseran salah satu sisi penampang suatu bagian terhadap
bagian lain. Resultan gaya geser biasanya disimbolkan dengan V.
Mxx : Torsi (torque). Komponen ini mengukur tahanan puntir batang dan
umumnya diberi simbol T.
Mxy,Mxz : Momen lentur (Bending Momen). Komponen ini mengukur
tahanan lentur batang terhadap sumbu Y dan Z (My atau Mz).
1.3 TEGANGAN (STRESS).
Gaya dalam yang bekerja pada bidang potong umumnya terdiri dari
bermacam-macam besaran dan arah. Dalam praktek keteknikan gaya-gaya
tersebut diuraikan menjadi tegak lurus dan sejajar terhadap irisan/potongan yang
sedang diselidiki.
Gaya yang bekerja tegak lurus atau normal terhadap irisan disebut
Tegangan Normal (Normal Stress) pada sebuah titik dan dilambangkan dengan
(sigma). Secara matematis didefinisikan sebagai berikut :
=
dimana F adalah gaya yang bekerja tegak lurus terhadap potongan dan A adalah
luas penampang dimana gaya bekerja.
Jenis Tegangan Normal :
1. Tegangan Tarik (Tensile Stress), adalah tegangan normal yang menghasilkan
tarikan (Traction atau Tension).
2. Tegangan Tekan (Compressive Stress), adalah tegangan normal yang
mendorong potongan tersebut.
3
Mekanika Kekuatan Material
Gaya yang bekerja sejajar dengan bidang irisan disebut Tegangan Geser
(Shearing stress) dilambangkan dengan (tau) dan secara matematis
didefinisikan
=
dimana V adalah komponen gaya yang sejajar dengan potongan.
1.4 TEGANGAN NORMAL (NORMAL STRESS)
Pada suatu pembebanan batang aksial lurus dalam gaya tarik, bila dibuat
potongan yang tegak lurus dengan sumbu batang maka tegangan yang bekerja
adalah merupakan tegangan maksimum. Sedangkan bidang potong yang tidak
tegal lurus dengan sumbu batang akan mempunyai permukaan yang lebih luas
untuk melawan gaya yang terpakai sehingga gayanya lebih kecil. Tegangan
maksimum merupakan besaran yang paling penting karena cenderung akan
menyebabkan kegagalan bahan.
Besarnya tegangan normal atau tegangan yang berlaku tegak lurus pada
potongan adalah :
= atau
Tegangan normal ini didistribusikan dengan merata pada luas penampang
A. Pada umumnya P adalah resultan sejumlah gaya pada suatu sisi dari suatu
potongan. Persamaan di atas berlaku dengan mengidealisasikan sifat dari bahan
yaitu setiap partikel bahan dianggap menyokong gaya sama besar.
1.5 TEGANGAN GESER RATA-RATA.
Dalam praktek akan kita temui berbagai kasus sebagaimana ditunjukkan
dalam gambar 1-3, dimana gaya-gaya yang diantarkan dari sebuah bagian benda
kepada benda yang lain adalah dengan menimbulkan tegangan-tegangan dalam
bidang sejajar dengan gaya terpakai. Jadi dengan mengganggap bahwa tegangan
yang bekerja dalam bidang potongan-potongan ini akan didistribusikan secara
merata, maka kita akan memperoleh hubungan tegangan sebagai berikut :
4
Mekanika Kekuatan Material
= atau
Dari pernyataan di atas diketahui bahwa tegangan geser berbeda dengan
tegangan tarik. Tegangan akibat tegangan geser adalah disebabkan oleh gaya yang
bekerja sejajar dengan luas penahan gaya, sedangkan tegangan tarik dan tekan
disebabkan oleh gaya yang tegak lurus terhadap luas bidang gaya. Oleh sebab itu
tegangan tarik dan tekan disebut Tegangan Normal, sedangkan tegangan geser
bisa disebut Tegangan Tangensial
Tegangan geser terjadi apabila beban terpasang menyebabkan salah satu
penampang benda cendrung menggelincir pada penampang yang bersinggungan.
Pada praktek sebenarnya tegangan geser tidak pernah terbagi secara merata,
sehingga persamaan di atas merupakan tegangan geser rata-rata.
1.6 MASALAH TEGANGAN NORMAL DAN GESER
Besarnya tegangan yang kita kehendaki dalam perhitungan kekuatan
meterial adalah Tegangan Maksimum, karena merupakan gangguan yang paling
besar pada kekuatan suatu bahan. Tegangan yang paling besar terdapat pada
potongan atau irisan yang luas penampangnya minimum serta gaya aksial yang
bekerja paling besar. Irisan-irisan seperti ini disebut irisan kritis (critical section).
Untuk kesetimbangan sebuah benda dalam ruangan, persamaan-persamaan
statika memerlukan penyelesaian dengan syarat-syarat sebagai berikut
di dalam kesetimbangan statika jumlah komponen yang tidak diketahui maksimal
tiga buah, bila lebih maka sudah termasuk kedalam statis tak tentu (statically
indeterminate).
1.7 TEGANGAN DUKUNG (BEARING STRESS)
5
Mekanika Kekuatan Material
Gbr 3. Tegangan Dukung pada Sambungan Keling.
Tegangan dukung adalah tegangan dalam yang disebabkan oleh tekanan
singgung antara benda yang berpisah. Pada gambar di atas, besarnya tegangan
yang berlebih menyebabkan pelat atau paku keling atau keduanya mulur. Dengan
mengasumsikan tegangan dukung (b) terdistribusi secara merata disepanjang luas
proyeksi bidang paku keling, maka besarnya beban dukung adalah :
Pb = Ab x b = (t x d).b
BAB II
6
Mekanika Kekuatan Material
REGANGAN SEDERHANA
Bila ingin mengamati perubahan panjang antara dua
buah titik pada suatu batang uji, maka pertama-tama
pilih dua buah titik pada jarak tertentu yang juga
disebut sebagai jarak ukur (gage distance) atau Lo.
Selanjutnya pada batang tersebut kita beri beban tarik
atau tekan, sehingga bahan tersebut mengalami
deformasi panjang sebesar L. Regangan () yang
terjadi pada batang tersebut didefinisikan sebagai :
= =
Regangan merupakan besaran tidak berdimensi,
namun dapat juga dinyatakan dalam (m/m).
2.1 DIAGRAM TEGANGAN REGANGAN
Diagram tegangan regangan tersebut secara sederhana dapat dilihat pada
gambar sebagai berikut :
Gambar 5. Diagram Tegangan Regangan
7
Gambar 4. Uji Tarik
Mekanika Kekuatan Material
Diagram tegangan regangan merupakan diagram yang menggambarkan
hubungan antara tegangan dan regangan yang dianggap tidak tergantung dari
ukuran dan panjang spesimen.
Pada diagram tegangan regangan ini digunakan skala ordinat (sumbu X)
untuk tegangan dan skala absisi (sumbu Y) untuk regangan.Secara Eksperimen
diterangkan bahwa diagram tegangan regangan sangat berbeda untuk bahan yang
berbeda. Bahkan untuk satu jenis bahan yang sama diagram tegangan
regangannya dapat berbeda pula, tergantung pada suhu pengujian, kecepatan
pengujian, dan sebagainya.
Dari diagram tegangan regangan di atas, dapat dilihat beberapa kondisi yang
penting :
Batas Proporsional,
Merupakan batas dimana tegangan sebanding dengan regangan. Sehingga
pada diagram ditunjukkan sebagai garis lurus. Nilai kesebandingan antara
tegangan regangan tidak berlaku diseluruh diagram tetapi berakhir sampai
batas proporsional.
Batas Elastis,
Adalah batas tegangan pada saat bahan tidak kembali lagi ke kedudukan
semula apabila beban dilepaskan. Setelah beban dilepaskan bahan masih
berdeformasi dan tidak kembali ke keadaan semula.
Titik Mulur,
Adalah titik dimana bahan memanjang mulur tanpa pertambahan beban.
Gejala mulur hanya terjadi pada baja struktur.
Kekuatan Mulur,
Sangat berhubungan dengan titik mulur. Untuk bahan yang tidak mempunyai
definisi mulur yang baik, kekuatan mulur ditetapkan dengan metoda
penggeseran, yaitu dengan menarik garis sejajar dengan garis elastis hingga
berpotongan dengan kurva tegangan regangan, biasanya 0,2% atau 0,002 m/m.
Tegangan Maksimum (kekuatan maksimum),
Merupakan ordinat tertinggi pada kurva tegangan regangan.
8
Mekanika Kekuatan Material
Kekuatan patah (tegangan pada patah),
Untuk baja struktur kekuatan patah lebih rendah dari kekuatan maksimum,
karena kekuatan patah dihitung dengan membagi beban patah terhadap luas
penampang asli. Hal ini merupakan kesalahan, karena disebabkan adanya
gejala pengecilan (necking). Karena patah terjadi, bahan meregang dengan
sangat cepat dan secara simultan bertambah kecil sehingga beban patah
sebenarnya terdistribusi sepanjang luas terkecil
2.2 HUKUM HOOKE
Hukum Hooke menyatakan bahwa tegangan () berbanding lurus dengan
regangan (). Pada diagram tegangan-regangan perbandingan tersebut merupakan
garis lurus, atau :
atau
dimana : = tegangan (N/m2),
= regangan (m/m), dan
E = Modulus Elastisitas (N/m2)
Secara fisis modulus elastisitas menyatakan kekakukan terhadap beban yang
diberikan pada bahan, dan nilai E merupakan sifat yang pasti dimiliki suatu bahan
2.3 DEFORMASI AKSIAL
Kita ketahui bahwa = (P/A) dan = (/L). Sehingga hukum Hooke dapat ditulis
dalam bentuk :
dimana : = deformasi total (m),
L = panjang mula-mula (m),
A = luas penampang (m2),
P = beban yang bekerja (N), dan
E = Modulus elastisitas (N/m2)
2.4 DEFORMASI GESER
9
Mekanika Kekuatan Material
Gaya yang bekerja dapat menyebabkan deformasi geser seperti gaya aksial
menyebabkan pepanjangan. Suatu elemen yang diberi gaya geser panjang sisinya
tidak berubah tetapi bentuknya berubah dari segi empat menjadi paralellogram
seperti gambar berikut :
Gambar 6. Deformasi geser.
Dari gambar kita ketahui :
nilai tan = (nilainya sangat kecil); sehingga :
Bila hukum hooke berlaku terhadap geser; maka hubungan antara tegangan geser
() dan regangan geser () adalah :
dimana G adalah modulus elastisitas geser atau modulus kekakuan. Bila diketahui
= (Vs/A) dan = (s/L), maka :
dimana : s = deformasi geser total,
Vs = gaya geser,
As = luas bidang geser,
L = panjang.
2.5 PERBANDINGAN POISSON
10
Mekanika Kekuatan Material
Dari pengujian diperoleh bahwa apabila batang diperpanjang dengan
tegangan aksial maka akan terdapat pengurangan besaran melintang.
Gambar 7. Regangan Benda Tiga Dimensi .
Simeon D. Poisson memperlihatkan perbandingan satuan deformasi atau
regangan mempunyai nilai yang tetap untuk tegangan dalam daerah batas
proporsional. Perbandingan poisson () didefinisikan sebagai :
dimana
x = regangan akibat tegdalam arah X,
y,z = regangan arah tegak lurus gaya
(-) =menunjukkan dimensi melintang berkurang bila x positip.
Resultante regangan dalam arah X dan Y :
;
sedangkan besar tegangan untuk kasus dwi sumbu :
;
sedangkan pada bidang tiga sumbu adalah :
;
;
BAB III
P U N T I R A N
11
Mekanika Kekuatan Material
3.1 METODA ANALISA MOMEN PUNTIR
Pendekatan yang dapat dilakukan untuk menganalisa bagian struktur yang
mendapat momen puntir adalah:
1. Keseimbangan sistem diselesaikan secara keseluruhan.
2. Gunakan metoda irisan, untuk membagi struktur menjadi dua bagian yang
terisolasi,
3. Pada bagian yang terpotong oleh bidang irisan, akan diperoleh momen puntir
dalam yang diperlukan untuk menjaga kesetimbang dari masing – masing
potongan tersebut.
4. Untuk mendapat momen puntir dalam pada batang statis tertentu, hanya
dibutuhkan satu persamaan statika, yaitu Mx = Nol (sumbu X adalah dibuat
sepanjang arah batang ).
5. Momen puntir dalam dari suatu bagian potongan yang diisolasi adalah
merupakan momen puntir luar dari irisan lainnya (arahnya berlawanan ).
Jadi dapatlah kita ketahui bahwa momen puntir luar dan momen puntir
dalam haruslah mempunyai nilai yang sama tetapi arahnya berlawanan.
Gambar 8. Momen Puntir pada sebuah potongan poros .
Pada gambar di atas, momen puntir sebesar 30 N.m pada titik C diimbangi pleh
dua momen puntir pada A dan B (20 Nm dan 10 Nm).
3.2 RUMUS PUNTIRAN
12
Mekanika Kekuatan Material
Pada material elastis, tegangan adalah
berbanding lurus dengan regangan dan
harganya berubah secara linier dari
sumbu pusat batang melingkar. Variasi
tegangan tersebut ditunjukkan pada
gambar di atas.
Tegangan geser maksimum (max) terjadi
pada titik yang terjauh dari titik pusat 0.
Apabila distribusi tegangan pada suatu irisan diketahui, maka perlawanan
terhadap momen puntir dalam bentuk tegangan dapat dinyatakan berikut:
pada suatu irisan tertentu max dan c konstan, sehingga :
Besarnya tegangan geser maksimum ( max) :
sedangkan tegangan geser suatu titik :
Rumus di atas merupakan rumus puntiran.
Ip adalah momen inersia polar dari penampung
melingkar pejal :
untuk silinder bolong :
13
Gambar 9. Tegangan Geser Maksimum
Gambar 10. Tegangan Geser Pada SilinderBolong
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Hitunglah tegangan geser puntir maksimum pada poros AC yang
diperlihatkan pada gambar. Anggaplah diameter poros dari AC
adalah 10 mm.
Gambar 11. Momen Puntir pada Sistem Poros.Jawab:
Diketahui :
Diameter poros (d) = 10 mm =0,01 m, momen puntir pada AC( TAC )=30
N.m,
Momen Inersia polar dari poros :
Ip = ( d4 ) / 32
= ( x 0.014 ) / 32
= 9,82 x 10-10 m4
Tegangan geser maximum yang terjadi :
max = ( T x c ) / Ip
= ( 30 x 0,005 ) )) / ( 9.82 x 10 –10 )
= 153 x 106 N / m2
Contoh : Sebuah tabung panjang dengan jari-jari luar (ro) 20 mm dan jari-
jari dalam (ri ) 16 mm, dipuntir sekitar sumbu longitudinalnya
dengan momen puntir sebesar 40 N.m.
Hitunglah tegangan geser pada tabung sebelah luar dan dalam
seperti pada gambar
14
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 12. Momen Puntir pada Tabung Panjang.Jawab:
- Diketahui : c = ro = 20 mm = 0,020 m
b = ri = 16 mm = 0,016 m
- Momen Inersia polar tabung :
Ip = ( ( c4 – p4 ) ] / 2
= ( ( 0,024 - 0,0164 ) ] / 2
= 9,27 x 10-9 m4.
- Tegangan geser maximum :
max = ( T x c ) / Ip
= 40 x 0,02 ) / ( 9,27 x 16-9)
= 43,1 x 106 N / m2
3.3 DESAIN BATANG PUNTIRAN MELINGKAR
Bila momen puntir yang diteruskan oleh poros diketahui, dan tegangan
geser maximum (max ) telah dipilih, maka perbandingan yang berlaku pada poros
tersebut adalah :
Besarnya (Ip/c) adalah parameter yg menentukan kekuatan kenyal sebuah
poros. Untuk poros pejal besarnya adalah :
Batang yang mendapat gaya puntir sangat luas digunakan sebagai poros
putaran untuk menghantarkan daya. Hubungan antara Torsi dan Daya yang
dihantarkan ( Kw) :
f adalah frekwensi putaran poros ( Hertz ).
Bila poros berputar n rpm ( putaran permenit ) maka besarnya torsi adalah:
15
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Pilih sebuah poros padat untuk sebuah motor berdaya 8 Kw yang
bekerja pada frekwensi 30 Hz. Tegangan geser maximum terbatas pada
55000 KN / m2.
Jawab:
- Diketahui:
Daya yang dihantarkan 8 Kw.
Frekwensi ( f ) = 30 Hz.
max = 55000 KN / m2
- Torsi yang terjadi pada poros
T = [ ( 159 x Kw ) / f ]
= [ ( 159 x 8 ) / 30 ]
= 42,4 Nm
- Kekuatan kenyal poros:
( Ip / c ) = ( T / max )
= ( 42,4 / (55 x 106 )
= 0,771 x 10-6 m3
- Untuk poros yang padat :
( Ip / c ) = [ ( x c3 ) / 2 ]
Maka jari – jari terluar dari poros ( c ) adalah:
C3 = ( 2 / x ( Ip/ c )
= ( 2 / ) x ( 0,771 x 10-6 )
= 491 x 16-9 meter
c = 0,00789 meter
diameter poros
d = 2 x c
= 2 x 0,0789
= 15,8 mm
Secara praktis maka poros dengan diameter 16 mm dapat digunakan untuk
maksud diatas.
16
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Pilihlah poros padat yang dapat meneruskan daya 200 Kw tanpa
melebihi tegangan geser sebesar 70.106 N/m2. Salah satu dari poros
ini bekerja dengan putaran 20 rpm dan lainnya dengan 2000 rpm.
Jawab :
- Torsi yang terjadi pada tiap – tiap poros:
T1 = [ ( Kw x 9540 ) / N1 ]
= [ ( 200 x 9540 ) / 20 ]
= 95400 ( N.m )
T2 = [ ( Kw x 9540 ) / N2 ]
= [ ( 200 x 9540 ) / 20000 ]
= 95,4 ( N.m )
- Kekuatan kenyal poros:
( Ip / c )1 = ( T1 / max )
= ( 95400 / 70 x 106 )
= 1,36 x 10-3 ( m3)
( Ip / c )2 = ( T1 / max )
= ( 95,4 / 70 x 106 )
= 1,36 x 10-6 ( m3 )
Diameter dari poros :
( Ip / c ) = [ ( x d3 ) / 16 ]
atau :
d13 = ( 16 / ) x ( Ip / c )1
= ( 16 / ) x 1,36 x 10-3
d1 = 191 ( mm )
Jadi diameter poros yang bisa digunakan dI =191 mm; sedangkan untuk poros
kedua dengan cara yang sama diperoleh d2 = 19,1 mm.
17
Mekanika Kekuatan Material
3.4 SUDUT PUNTIR BATANG MELINGKAR
Gambar 13.Sudut Puntir pada Batang Melingkar.
Bila sudut kecil DAB = max , maka :
Busur BD = max . dx
Dan juga diketahui :
Busur BD = dc
Dari kedua persamaan tersebut :
max . dx = dc
Pers. sudut puntir relatif yang berdampingan berjarak kecil tak berhingga dx.
atau
Besarnya sudut puntir total antara dua potongan A dan B pada sebuah poros,
maka rotasi semua elemen haruslah dijumlahkan.
Besarnya sudut puntir pada suatu irisan dari sebuah poros dengan bahan
elastis adalah :
dimana :
Tx = Momen puntir,
Ipx = Momen inersia kutup, dan
= Sudut puntir.
18
Mekanika Kekuatan Material
Contoh: Hitunglah rotasi relatif dari irisan B-
B terhadap irisan A-A dari poros
yang padat yang terlihat pada
gambar, bila suatu momen puntir
konstan T diberikan.sepanjang
bahan tersebut. ( momen inersia
kutup dari luas penampang adalah
konstan ).
Jawab:
Dalam hal ini Tx = T dan Ipx = Ip; sehingga:
Persamaan diatas digunakan untuk mendesain poros – poros mengenai kekakuan (
stiffness ) yaitu pembatasan besar puntiran yang dapat terjadi disepanjang balok /
poros.
Persamaan ini di gunakan pada analisa gerak puntiran. Bentuk (Ip.G) adalah
merupakan kekakuan puntir dari poros tersebut. modulud elastisitas geser dalam
daerah elastis adalah :
Contoh:
Poros berjenjang seperti pada gambar, ditempelkan pada suatu dinding pada E;
tentukanlah besarnya rotasi pada ujung A bila kedua momen puntir B da D
diberikan. Anggap bahwa modulus geser G adalah 80 x 109 N / m2.
Gambar 15. Momen Puntir Pada Poros Bertingkat
19
Gambar 14. Momen Puntir Pada Silinder.
Mekanika Kekuatan Material
Jawab:
- Momen inersia kutub :
Ip ( AB )=Ip ( BC ) = [ (.d4) / 32]
Ip ( AB ) = [ (.{ 2,5 x 10-2 }4 ) / 32 ]
= 3,83 x 10-8 ( m4 )
Ip(CD)= Ip (DE )
= (/ 32 ) x ( do4 - di4 )
= (/ 32 ) x ( 52 – 2,52 )
= 57,5 x 10-8 ( m4 )
Besarnya momen puntir :
TAB = 0;
TBC = TBD = TCD = 150 ( N . m )
TDE = 1150 ( N . m )
Besarnya sudut puntir keseluruhan :
= 0,0125 + 0,0010 + 0,0098
= 0,0233 ( radian )
= 0,0233 x ( 360 / 2 ) o
= 1,33 ( o )
20
Mekanika Kekuatan Material
BAB IV
GAYA DAN MOMEN LENTUR PADA BALOK
4.1 JENIS TUMPUAN
Tiga macam tumpuan yang dikenal pada pembebanan balok dalam bidang
yang sama:
ROL atau PENGHUBUNG,
Gambar 16. Tumpuan penghubung dan rol
Rol/penghubung mampu melawan gaya dalam suatu garis aksi yang spesifik.
Dari gambar diatas diketahui:
1. Penghubung gambar (a) hanya dapat melawan gaya dalam arah AB saja.
2. Rol pada gambar (b) hanya dapat melawan gaya vertikal,
3. Rol pada gambar (c) hanya dapat melawan gaya yang tegak lurus terhadap
bidang CD.
PASAK ( PIN ).
Gambar 16. Tumpuan pasak / engsel
Reaksi tumpuan jenis pasak mempunyai dua komponen, yaitu arah vertkal
(V) & horizontal (H).
21
Mekanika Kekuatan Material
TUMPUAN JEPIT ( FIXED SUPPORT ).
Reaksi tumpuannya adalah terdiri dari tiga komponen, yaitu
arah Vertikal ( V ), arah Horizontal ( H ), dan Momen.
Gambar 17. Tumpuan Jepit
4. 2. KAIDAH DRAGMATIS PEMBEBANAN.
Jenis beban yang utama terdiri dari:
a. Beban terpusat.
Gambar 18. Pembebanan Terpusat
b. Beban terdistribusi secara merata
Gambar 19. Pembebanan Terdistribusi
c. Pembebanan hidrostatik
Gambar 20. Pembebanan Hidrostatik
22
Mekanika Kekuatan Material
4. 3. Klasifikasi Balok
Gambar 21. Klasifikasi Balok
4. 4. PERHITUNGAN REAKSI BALOK.
Persamaan kesetimbangan statika yang harus digunakan dalam melakukan
perhitungan reaksi– reaksi suatu balok adalah
1. Resultan gaya horizontal ialah nol (Fx = 0)
2. Resultan gaya vertikal adalah nol (Fy = 0)
3. Resultan momen adalah nol (Mz = 0)
4. 5. PENERAPAN METODA IRISAN.
Penelaahan setiap balok dimulai dengan membuat diagram benda bebas
(DBB). Gaya reaksi selalu dapat dihitung dengan mempergunakan persamaan
kesetimbangan, selama belok tersebut merupakan statis tertentu.
Metoda irisan selanjutnya dapat digunakan untuk setiap irisan dari balok
dengan mengerjakan konsep yang dipakai terdahulu, dimana bila benda secara
keseluruhan berada dalam kesetimbangan maka setiap bagian dari benda tersebut
berada pula dalam kesetimbangan.
23
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 22. Penerapan Metoda Irisan
4. 6. GESER DALAM BALOK.
Untuk mempertahnkan segmen balok berada dalam kesetimbangan, maka
pada irisannya harus ada suatu gaya dalam vertikal V yang memenuhi
persamaan [Fy = 0 ].
Gaya dalam V yang bekerja tegak lurus pada sumbu balok dan gaya ini
disebut sebagai Gaya Geser (shearing force). Secara numeris gaya geser ini
adalah sama dengan jumlah aljabar dari semua komponen vertikal gaya – gaya
luar yang terisolasi tetapi dengan arah yang berlawanan.
Gambar 23. Definisi Geser Positif
4. 7 GAYA AKSIAL DALAM BALOK.
24
Mekanika Kekuatan Material
Bila gaya horizontal P bekerja terhadap irisan maka disebut Gaya Dorong
(thrust). Bila gaya tersebut menjauhi irisan dinamakan Gaya Tarik Aksial, dan
bila menuju irisan dinamakan Gaya Tekan.
Gambar 24. Gaya Aksial dalam Balok
4. 6. MOMEN LENTUR DALAM BALOK.
Persyaratan keseimbangan statis yang lain untuk persoalan planar adalah
[Mz = 0 ]. Dari persamaan yang sama diperoleh bahwa besar momen
perlawanan dalam adalah sama dengan momen luar. Momen ini cenderung untuk
melenturkan balok bidang beban dan hal ini biasanya disebut dengan
Momen Lentur (bending momen).
25
Mekanika Kekuatan Material
Gambar 25. Definisi Momen Lentur Positif
BAB V
26
Mekanika Kekuatan Material
LENTURAN MURNI BALOK
5.1 KONSEP DASAR
Bila segmen balok berada dalam kesetimbangan dibawah pengaruh
momen saja, maka keadaan ini disebut dengan Lenturan Murni (pure bending
atau flexure). Konsep dasar dalam menentukan rumus lenturan :
Semua gaya dalam balok akan diandaikan berada dalam keadaan tetap
(steady) dan diberikan pada balok tanpa kejutan dan tabrakan.
Semua balok diandaikan berada dalam keadaan stabil di bawah pengaruh
gaya-gaya terpakai.
Deformasi dianggap memberikan regangan yang berubah secara linier
terhadap sumbu netral.
Sifat-sifat bahan digunakan untuk menghubungkan regangan dan
tegangan.
Syarat-syarat keseimbangan digunakan untuk menentukan letak sumbu
netral dan tegangan-tegangan dalam.
Segmen balok yang akan dibahas ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Gambar 26. Sifat-sifat balok saat melentur
27
Mekanika Kekuatan Material
Tegangan normal pada suatu irisan balok yg dihasilkan oleh lenturan mempunyai
nilai yang besarnya berubah secara linier terhadap jaraknya dari sumbu. Tegangan
tersebut bekerja tegak lurus terhadap irisan balok.
Gambar 27. Distribusi tegangan irisan balok karena Momen Lentur
5.2. RUMUS LENTURAN.
Gambar 28. Balok dengan lenturan murni
Pada gambar di atas, menunjukkan suatu segmen balok yang menderita
momen lentur positif (M). Pada irisan X-X momen terpakai ini mendapat
perlawanan dari tegangan yang berubah secara linier terhadap sumbu netral.
Tegangan yang tertinggi akan terjadi pada titik yang paling jauh dari sumbu
netral. Pada gambar di atas, tegangan maximum (max) akan terjadi disepanjang
garis “ed”.
Tegangan lain yang bekerja pada daerah penampang dihubungkan dengan
suatu perbandingan jarak dari sumbu netral. Besarnya tegangan pada suatu luas
kecil tak berhinga dA dengan jarak y dari sumbu netral adalah:
dimana: c = jarak terjauh dari sumbu netral,
y = jarak luas dA terhadap sumbu netral.
Untuk kondisi keseimbangan, maka jumlah semua gaya yang bekerja pada
irisan balok tersebut NOL. Momen luar M mendapat perlawanan dari momen
28
Mekanika Kekuatan Material
lentur bagian dalam (yang dibentuk oleh tegangan luntur pada suatu irisan).
Harga momen luar dan momen dalam adalah sama besar dan berlawanan arah.
Momen lentur dalam ditentukan dengan menjumlahkan gaya – gaya yang
bekerja pada daerah kecil yang tak berhingga dA dikalikan dengan lengan yang
bersangkutan terhadap sumbu netral, sehingga :
Sedangkan tegangan yang terjadi pada jarak y dari sumbu netral adalah :
dimana M = Momen lentur dalam (Nm); I adalah momen inersia penampang (m4).
5.3. PERHITUNGAN MOMEN INERSIA.
Pada saat menggunakan rumus lenturan, terlebih dahulu harus ditentukan
momen inersia penampang (I).Langkah pertama untuk mendapatkan I adalah
mendapatkan titik berat dari daerah tersebut, kemudian melakukan integrasi y2.dA
terhadap sumbu Horizontal yang melalui titik berat daerah tsb.
Untuk mendapatkan momen Inersia I pada daerah yang terdiri dari
beberapa bentuk sederhana, dapat dilakukan dengan teorema sumbu sejajar
(rumus perpindahan), yaitu sebagai berikut:
Pada gambar, daerah yang diarsir mempunyai momen inersia Io terhadap
sumbu horizontal yang melalui titik berat yaitu:
Gambar 29. Referensi untuk Perhitungan Momen Inersia
Dimana besarnya y diukur dari sumbu titik berat.
29
Mekanika Kekuatan Material
Jadi teorema sumbu sejajar dapat dinyatakan bahwa : “Momen Inersia
suatu luas terhadap suatu sumbu adalah sama dengan momen Inersia luas yang
sama terhadap sumbu seajajar yang melalui titik luas, ditambah dengan hasil kali
dari luas yang sama dengan kuadarat jarak antara kedua sumbu.
Tabel 1. Momen Inersia Untuk berbagai Bentuk Geometris
Contoh :
30
Mekanika Kekuatan Material
Tentukan momen inersia I thd. Sumbu horizontal,
untuk luas pada gambar di samping.
Jawab:
- letak sumbu netral:
y = A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3 + A4 . y4
A1 + A2 + A3 + A4
= 800 .10 + 300 . 35 + 300 . 35 + 400 . 55
800 + 300 + 300 + 400
= 28,3 mm ( dari bawah )
- Momen inersia keseluruhan:
Io = ( b . h3 ) / 12
= ( 40 .603 ) / 12
= 72 x 104 ( mm4 )
Ad = (40 x 60 ) ( 30 – 28,3)2
= ( 2400 ) x ( 1,7 )2
= 0,69 x 104 ( mm4 )
maka:
Izz = Io + A . d2
= 72 . 104 + 0,69 . 104
= 72,69 x 104 ( mm4 )
Momen inersia rongga dalam:
Io = ( b . h3 ) / 12
= ( 20 . 303 ) / 12
= 4,50 x 104 ( mm4 )
Ad2 = ( 20 x 30 ) x ( 35 – 28,3)2
= 2,69 x 104 ( mm4 )
maka:
31
Mekanika Kekuatan Material
Izz = Io + A .d2
= ( 4,5 x 104 ) + ( 2,69 x 104 )
= 7,19 x 104 ( mm4 )
- jadi momen inersia gabungan
I = ( 72,69 – 7,19 ) x 104
= 65,50 x 104 ( mm4 )
Contoh: Sebuah balok kayu kantilever dengan ukuran 0,3m x 0.4m mempunyai
berat 76 kg / m, memuat gaya terpusat keatas sebesar 20 KN pada
ujungnya seperti pada gambar. Tentukan tegangan lentur maximum
pada sebuah irisan 2m dari ujung beban.
Gaya reaksi Pada irisan dengan jarak 2 m :
Fy = 0: V = 20 – ( 0,75 x 2 )
= 20 – 1,5
= 18,5 KN
M = 0:M = (- 0,75x2x1) + (20x2)
= 38,5 KN . m.
Jarak serat terjauh dari sumbu netral pada penampang balok tersebut adalah 0,2
meter; sehingga c = 0,2m.
- momen inersia penampang:
Izz = ( b . h3 ) / 12
= 0,3 x 0,43 ) /12
= 16 x 10-4 ( m4 )
- Tegangan maximum
32
Mekanika Kekuatan Material
max = ( M . c ) / I
= (38,5 x 0,2 ) / ( 16 x 104 )
= 4813 ( KN / m2 )
Pengaruh tegangan lentur pada penampang balok:
1. Bagian atas balok ( titik A ) adalah TEKAN.
2. Bagian bawah balok ( titik B ) adalah TARIK.
5.4. LENTURAN PADA IRISAN TAK SIMETRIS
Gambar 30. Balok dengan irisan penampang tak simetris
Momen Myy yang mungkin sekitar sumbu y adalah:
5.5. LENTURAN TAK ELASTIS DARI BALOK.
Rumus lenturan Elastis yang diturunkan sebelumnya hanya berlaku
tegangan berbanding lurus dengan regangan. Untuk bahan yang tidak mematuhi
hukum HOOK ketentuan di atas tidak dapat diberlakukan.
5.6. BALOK DUA BAHAN.
Pada pembahasan sebelumnya balok dianggap terbuat dari satu macam
bahan yang homogen. Dalam praktek sering kita menemukan balok dengan
beberapa bahan yang berlainan. Misal balok kayu seringkali diperkuat dengan
ikatan – ikatan logam, dan balok beton diperkuat dengan batang – batang baja.
Sebuah balok yang simetris terbuat dari dua macam bahan dengan irisan
penampang seperti pada gambar ( a ); Bahan bagian luar (bahan 1) mempunyai
33
Mekanika Kekuatan Material
modulus elastisitas E1; dan modulus bahan bagian dalam (bahan 2) adalah adalah
E2.
Gambar 31. Balok Dua Bahan
Bila balok dihadapkan pada lenturan, irisan – irisan bidang datar. Karena itu
regangan haruslah berupa secara linier dari sumbu netral, seperti yang terlihat
gambar (b).
34
Mekanika Kekuatan Material
Untuk keadaan elastis, tegangan adalah sebanding dengan regangan, dan
distribusi tegangan dengan menganggap E1>E2, terlihat dalam gambar (c). Pada
permukaan sambungan kedua bahan di tujukkan suatu perubahan intensitas dari
tegangan.
Meskipun regangan pada permukaan kedua bahan adalah sama, tetapi
tegangan yang lebih tinggi terjadi pada bahan yang lebih kaku. Karena kekakuan
suatu bahan tergantung pada besarnya modulus elastisitas E.
Transportasi sebuah irisan dikerjakan dengan mengubah ukuran atau
dimensi irisan penampung yang sejajar disuatu sunbu netral adalah berdasarkan
pada perbandingan modulus elastisitas dari masing – masing bahan.
Misalnya bila irisan padanan dikehendaki didalam bahan 1 (bahan 1
sebagai patokan), maka ukuran bahan 1 tidak boleh berubah, sedangkan ukuran 2
berubah dengan perbandingan n. Dimana n = E1/E2 seperti ditunjukkan
olehgambar (D).
Pada bagian yang lain irisan transformasi tersebut adalah dari bahna 2;
maka ukuran bahan lain berubah dengan suatu perbandingan n1 = E1/ E2 seperti
pada gambar (e).
Contoh:
Tinjaualah sebuah balok campuran dengan irisan penampung seperti yang
terlihat pada gambar. Bagian atas dengan ukuran 150 X 250 mm terdiri dari
35
Mekanika Kekuatan Material
kayu ( Ew = 10000 Mpa). Bila balok ini dihadapkan dengan momen lentur
sebesar 0,03 MN . m terhadap sumbu horizontal, berapakah tegangan
maximum dalam baja dan kayu.
Penyelesaian :
- Harga perbandingan modulus elastis kedua bahan:
ns = ( Es / Ew )
= 200000 / 10000
= 20
jadi dengan menggunakan irisan kayu yang ditransformasikan ( dimensi kayu
tetap ), maka lebar dari pelat besi sebagaimana ditunjukkan pada gambar ( b )