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Einführung und Motivation Veranstaltungsplanung
Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 1:Einführung,
Eigenschaften digitaler Systeme
Prof. Dr.-Ing. Dorothea Kolossa
Arbeitsgruppe Kognitive Signalverarbeitung
24. Oktober 2016
Prof. Dr.-Ing. Dorothea Kolossa Arbeitsgruppe Kognitive
Signalverarbeitung
Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 1: Einführung,
Eigenschaften digitaler Systeme
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Kontakt / Info
Dorothea KolossaRaum ID 2 / 325Tel:
[email protected]
Website:
https://www.ei.rub.de/studium/lehrveranstaltungen/698/
Moodle:
https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/course/view.php?id=7502
Skript: Göckler, Kolossa: Digitale Signalverarbeitung
(online)
Literatur:Kammeyer / Kroschel: Digitale Signalverarbeitung,
SpringerVieweg, 44,95 Euro.Oppenheim / Schafer: Discrete Time
Signal Processing,Pearson, 68,28 Euro.
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Eigenschaften digitaler Systeme
https://www.ei.rub.de/studium/lehrveranstaltungen/698/https://www.ei.rub.de/studium/lehrveranstaltungen/698/https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/course/view.php?id=7502https://moodle.ruhr-uni-bochum.de/m/course/view.php?id=7502
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Überblick
ÜberblickDigitale Signalverarbeitung beschäftigt sich mit der
Verarbeitungvon Signalen, die in digitalisierter Form
vorliegen.
Ein Signal ist eine physikalische Erscheinung, die
zugleichTräger einer Nachricht ist.Es ist digital, wenn es zeit-
und wertdiskret vorliegtund es wird verarbeitet, weil in seiner
ersten Form dieinteressanten Informationen nicht zugänglich genug
sind.
Figure : Schema einer digitalen Signalverarbeitung [3]
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Überblick
Warum digital
Nachteile
Schaltungsaufwand: benötigt AD- und DA-Umsetzung,digitales
Verarbeitungssystem (FPGA, DSP, mindestensprogrammierbarer
Filterbaustein o.ä.)
Energiebedarf: keine passiven Systeme
begrenzte Bandbreite (einige GHz) -
demgegenüberMikrowellentechnik (THz-Bereich)
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Überblick
Warum digitalVorteile
keine Fehlerakkumulation
Störunempfindlichkeit - Rauschen unter 1/2 Bit
unerheblich,über 1/2 Bit durch digitale Fehlerkorrektur
behebbar
Genauigkeit & Dynamik
Fertigungstoleranz
Temperatur- und Zeitkonstanz
Zeitmultiplexbetrieb des Systems möglich
Möglichkeit von Quellen- und Kanalcodierung
undVerschlüsselung
Realisierbarkeit komplexerer Algorithmen mit oftgleichbleibendem
Hardwareaufwand
Adaptierbarkeit des Systems (Firmwareupdate...)
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Anwendungen
Anwendungen
Mobilkommunikation (z.B. CDMA-Übertragung, LTE, VoIP)
Multimedia-Systeme (z.B. DVBT/DVBS-Übertragung,
DVD,Blu-ray)
Medizinische Signalverarbeitung (z.B. bildgebende
Verfahren:Computertomographie (CT),
Magnetresonanztomographie(MRT))
Bildverarbeitung (z.B. Videokompression - MPEG4)
Funknavigation und Flugsicherung (z.B. Transponder,
Radar,VOR-DME, GPS)
Audio- und Sprachsignalverarbeitung (z.B.
Synthesizer,Hörgeräte, Rausch- und Echounterdrückung,
automatischeSpracherkennung)
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Anwendungen
BeispieleBildverarbeitung
Audio- und Sprachsignalverarbeitung:
Original Verarbeitet
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s1white05dBpwic9s_noisy.wavMedia File (audio/wav)
s1white05dbpwic9s_processed.wavMedia File (audio/wav)
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Semesterplan
Veranstaltungszeiten
Veranstaltungen
Montags 14:15-15:45 Vorlesung HID
Dienstags 14:15-15:00 Rechenübung HID
15:15-16:00 Matlab-Übung ID03/121
Sprechzeiten
Dienstags 09:30-11:00 Christopher Schymura ID2/328
Mittwochs 09:30-11:00 Dorothea Kolossa ID2/325
Donnerstags 14:00-15:00 Hendrik Meutzner ID2/330
Freitags 10:00-11:30 Mahdie Karbasi ID2/328
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Semesterplan
Veranstaltungsinhalte
1 Einführung, Systemeigenschaften
2 Abtastung, digitale Signale, Fouriertransformation
3 z-Transformation
4 Entwurf und Implementierung von digitalen Filtern
5 Diskrete Fouriertransformation, FFT und
Kurzzeitanalyse(STFT)
6 Signalverarbeitung im STFT-Bereich
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Umfrage
Kurze Umfrage
1 Studienfach, Vertiefungsrichtung
2 Signale und Systeme belegt? Wenn ja, wo und wann?
3 Erfahrungen mit Matlab
4 Interessen (Bildverarbeitung,
Sprachverarbeitung,Kommunikationstechnik, Medizintechnik)
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Definitionen
Überblick
Signalverarbeitungssysteme (und die Systeme, die die
Signaleerzeugen) können durch einige Eigenschaften leichter
analysierbarund leichter implementierbar werden.
Um zu verstehen, welche Methoden jeweils anwendbar sind, kanndie
Klassifikation der Systeme hilfreich sein.
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Definitionen
Ein System, gekennzeichnet durch den
komplexwertigenSystemoperator S{·}, transformiert ein
Eingangssignal v(k) in dasAusgangssignal y(k):
y(k) = S{v(k)}. (1)
Auf die Anregung mit dem Einheitsimpuls
v(k) = δ(k) =
{1, k = 0
0, k 6= 0(2)
reagiert das System mit der Impulsantwort
y(k) = h(k) = S {δ(k)} . (3)
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
1. Linearität
Ein System ist linear genau dann, wenn es zwei Prinzipien
gehorcht
Verstärkungsprinzip: S {a v(k)} = aS {v(k)}
Superpositionsprinzip:
S {v1(k) + v2(k)} = S {v1(k)}+ S {v2(k)}
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
1. Linearität
Zusammengenommen bedeutet Linearität also
S
{I∑
i=1
ai v i (k)
}=
I∑i=1
ai S{v i (k)}, ai ∈ C, I ∈ N. (4)
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
2. Zeitinvarianz
Definition des Verzögerungs- bzw. Delayoperators Dm{·}:
y(k) = Dm{v(k)} = v(k −m) = vR(k −m) + jvI(k −m)
wobei nur m ∈ Z zugelassen ist.
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
2. ZeitinvarianzSatz: Ein System ist genau dann zeitinvariant,
wenn derSystemoperator S und der Delayoperator Dm kommutativ
sind,wenn also gilt:
S {Dm {v(k)}} = Dm {S {v(k)}} . (5)
Warum? ⇒ Genau dann ist die Systemantwort unabhängig
vonZeitpunkt k0 der Systemanregung:
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
LTI-Systeme
LTI-Systeme (Linear Time Invariant = LTI) sind von
fundamentalerBedeutung für die Signalverarbeitung und die
Nachrichtentechnik.
LTI-Systeme sind eindeutig beschreibbar und
vollständigcharakterisiert durch die Impulsantwort:
h(k) = S{δ(k)} = hR(k) + jhI(k), (6)
wobei gilt: h(k) ∈ C⇔ S{·} ∈ C.
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
Jede Folge v(k) kann mit Hilfe von zeitlich
verschobenenEinheitsimpulsen geschrieben werden:
v(k) = v(k)∞∑
ν=−∞δ(k − ν)
Wegen der Ausblendeigenschaft des Einheitsimpulses δ(k)
gemäß
δ(k) =
{1, k = 0
0, k 6= 0.
gilt auch:
v(k) =∞∑
ν=−∞v(ν)δ(k − ν) =
∞∑ν=−∞
v(ν)Dν {δ(k)} ,
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Linearität und Zeitinvarianz
y(k) = S {v (k)} = S
{ ∞∑ν=−∞
v(ν)Dν {δ (k)}
}
=∞∑
ν=−∞v(ν)S {Dν {δ (k)}} Linearität
=∞∑
ν=−∞v(ν)Dν {S {δ (k)}} Zeitinvarianz
=∞∑
ν=−∞v(ν)Dν {h (k)} Def. Impulsantwort
=∞∑
ν=−∞v (ν) h (k − ν) explizite Darstellung
= v (k) ∗ h (k) Def. Faltung
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Linearität und Zeitinvarianz
Faltung - siehe Tafel
Figure : Faltung als zeitlich versetzte Überlagerung
vonEinzelsystemantworten des LTI-Systems [2]
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Linearität und Zeitinvarianz
LTI-Systeme
Die Systemantwort läßt sich nur wegen der Linearität
undZeitinvarianz von LTI-Systemen so allgemein als Faltung
vonSignal und Impulsantwort darstellen.
Daraus ergab sich auch die einfache Darstellung
imFrequenzbereich als
Y (jΩ) = S(jΩ)V (jΩ), (7)
siehe auch nächste Woche.
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Andere Eigenschaften
Gedächtnislosigkeit
Das Ausgangssignal des Systems in einem beliebigen Zeitpunkt
khängt nur vom Wert des Eingangssignal im Zeitpunkt k ab.Beispiel:
y(k) = a + bv(k) + cv2(k).
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Andere Eigenschaften
Kausalität
Ein System ist genau dann kausal, wenn die Wirkung auf
eineAnregung nicht früher als die jeweilige Anregung auftritt.
Für LTI-Systeme bedeutet dies, dass die
Systemantwortunabhängig sein muss von zukünftigen Eingangswerten,
damit dieSysteme kausal sind.
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Andere Eigenschaften
KausalitätNotwendige und hinreichende Bedingung für
Kausalität einesLTI-Systems:
y(k0) =∞∑
ν=−∞h (ν) v (k0 − ν) (8)
=−1∑
ν=−∞h (ν) v (k0 − ν) +
∞∑ν=0
h (ν) v (k0 − ν) . (9)
Da die erste Teilsumme von (9) auf künftige Werte
derEingangsfolge zurückgreift (da gilt k0 − ν > k0), ergibt
sich für einkausales LTI-System:
h(ν) ≡ 0, ∀ν < 0. (10)
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Andere Eigenschaften
Kausalität
Nur kausale Systeme sind in Echtzeit realisierbar.
Im Falle nichtkausaler Systeme mit endlich langer
Impulsantwortkommt man mit einer Verzögerung von h(k) zu einem
kausalenSystem.
Von einem kausalen Signal spricht man, wenn dies
dieKausalitätsbedingung
v(ν) ≡ 0, ∀ν < 0 (11)
erfüllt.
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Andere Eigenschaften
Stabilität
Definition BIBO-Stabilität (Bounded-Input, Bounded-Output):
Ein BIBO-stabiles System reagiert auf eine
wertebeschränkteAnregung stets mit einer wertbeschränkten
Antwort:
S {v(k)} ||v(k)|
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Andere Eigenschaften
Für LTI-Systeme ergibt sich mit Hilfe der Faltungsoperation
einenotwendige und hinreichende Bedingung für die
BIBO-Stabilität:
∣∣y(k)∣∣ = ∣∣∣∣∣∞∑
ν=−∞v(ν)h(k − ν)
∣∣∣∣∣ ≤∞∑
ν=−∞|v(ν)||h(k − ν)|
≤ M∞∑
ν=−∞|h(k − ν)|,
wobei vorausgesetzt wurde, dass |v(k)| ≤ M
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Andere Eigenschaften
Durch Variablensubstitution erhält man so die Bedingung für
einBIBO-stabiles LTI-System:
∞∑ν=−∞
|h(ν)|
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Differenzengleichung
Differenzengleichung
Die Ausgangsfolge eines LTI-Systems kann für
beliebigeEingangssignale durch die Faltung mit der
Impulsantwortbeschrieben werden. Für kausale Systeme gilt:
y(k) =∞∑ν=0
h(ν)v(k − ν). (14)
Zur Realisierung eines solchen Systems benötigt man
alsoMultiplizierer, Verzögerer (Delays) und Addierer bzw.
Subtrahierer.
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Systemeigenschaften Allgemeine Systembeschreibung
Differenzengleichung
Differenzengleichung
Benutzt man in (14) auch zeitlich zurückliegende
(verzögerte)Werte der Ausgangsfolge y(k), erhält man die
allgemeinste Formeiner Differenzengleichung1 für LTI-Systeme.
y(k) =m∑µ=0
bµv(k − µ)−nr∑ν=1
aνy(k − ν). (15)
Wegen der rekursiven Berechnung des Ausgangssignals kann
diesemit einer endlichen Summe zeitlich unbegrenzte
Impulsantwortenrealisieren. In welchem Verhältnis zu dieser
Differenzengleichungstehen die besprochenen Eigenschaften von
diskreten Systemen?
1auch ”Rekursionsgleichung” genanntProf. Dr.-Ing. Dorothea
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Bezug zu Systemeigenschaften
Linearität
Eine notwendige Bedingung für die Linearität ist, dass in
derDifferenzengleichung
y(k) =m∑µ=0
bµv(k − µ)−nr∑ν=1
aνy(k − ν) (16)
die unabhängige Variable v(k) und die abhängige Variable
y(k)nur als lineare Terme vorkommen.
Eine weitere notwendige Bedingung ist, dass der
Anfangszustanddes Systems der Ruhezustand ist (Beweis siehe Skript,
Kapitel 4).
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Bezug zu Systemeigenschaften
Zeitinvarianz
Das System ist zeitinvariant, wenn gilt:
aν , bµ = constk,x ,y ∀ν, µ. (17)
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Bezug zu Systemeigenschaften
Kausalität
Die Kausalität des Systems ist immer gegeben. Das sieht man
ausder Differenzengleichung
y(k) =m∑µ=0
bµv(k − µ)−nr∑ν=1
aνy(k − ν) (18)
in Verbindung mit der Kausalitätsbedingung
h(ν) ≡ 0, ∀ν < 0. (19)
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Bezug zu Systemeigenschaften
Reellwertigkeit
Ein durch die Differenzengleichung (15) beschriebenesdiskretes
System ist genau dann reellwertig (d.h. dieParameter sind reell),
wenn gilt:
aν = a∗ν = aν ∈ R, ∀ν (20)
bµ = b∗µ = bµ ∈ R, ∀µ. (21)
Nur der Zusammenhang zur BIBO-Stabilität wird aus
denKoeffizienten nicht sofort sichtbar. Diese wird
späterbehandelt, wenn mit der z-Transformation die
einfachsteBeschreibung hierfür gefunden werden kann.
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Nach dieser Vorlesung sollten Sie wissen
Wie man ein System auf Linearität und
Zeitinvarianzüberprüft,
wie man das Ausgangssignal eines LTI-Systems bestimmt,wenn
dessen Impulsantwort und das Eingangssignal bekanntsind,
was BIBO-Stabilität bedeutet und wie man bei
gegebenerImpulsantwort ein System auf BIBO-Stabilität
überprüft,
und wie ein System auf Kausalität, Gedächtnislosigkeit,
undReellwertigkeit getestet werden kann.
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Heinz Günther Göckler.Signale und Systeme.Skript zur Vorlesung
Signale und Systeme, Ruhr-UniversitätBochum, 2006.
Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer.Discrete-Time Signal
Processing.Englewood-Cliffs: Prentice-Hall, 1989.
Hans Wilhelm Schüßler.Digitale Signalverarbeitung, volume 1.4.
Auflage, Berlin: Springer, 1994.
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ZeitinvarianzAndere Eigenschaften
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