Digital Image Processing, 3rd ed. www.ImageProcessingPlace.com 992–2008 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Gonzalez & Woods Chapter 3 Intensity Transformations & Spatial Filtering pítulo 3 trata de transformações de intensidade iltragem espacial. rocessos no domínio espacial são denotados por: e f(x,y) é a imagem de entrada, g(x,y) é a imagem d é um operador sobre f definido sobre uma vizinhanç to (x,y). ) , ( ) , ( y x f T y x g
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
Uma vizinhança 3x3 em torno de um ponto (x,y) numa imagem no domínio espacial. A vizinhança é movida pixel a pixel na imagem para gerar uma imagem de saída.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
(a) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e reduz todas as intensidades a um nível menor.(b) Essa transformação intensifica o intervalo de intensidade [A,B] e preserva todos os outros níveis de intensidade.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
O histograma de uma imagem digital com níveis de intensidade no intervalo [0, L-1] é uma função discreta h(rk ) = nk , onde rk é o k-ésimo valor de intensidade e nk é o número de pixels na imagem com intensidade rk .
Histograma normalizado: dividir cada um dos componentes pelo número total de pixels da imagem, denotado por MN, tal que p(rk ) = nk /MN, para k = 0, 1, 2, ..., L-1.
0 1 L-1rk
h(rk)=nk
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
A equalização de histograma ou linearização de histograma consiste numa transformação T(rk) em que a imagem original resulte numa imagem onde os níveis de intensidade são uniformemente distribuídos .
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
(a) Função monotônica crescente, mostrando como múltiplos valores podem mapear a um único valor.(b) Função estritamente monotônica crescente (mapeamento um-a-um, em ambas as direções.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Os níveis de intensidade de uma imagem podem ser vistos como variáveis aleatórias no intervalo [0, L-1].
• Um descritor fundamental de uma variável aleatória é a função densidade de probabilidade (PDF, Probability Distribution Function).
• Sejam pr(r) e ps(s) a função PDF de r e s, respectivamente, onde s = T(r).
• Da teoria de probabilidade básica, se pr(r) e T(r) são conhecidos, e T(r) é contínua e diferenciável, no intervalo de interesse, então a função PDF da variável transformada s pode ser obtida pela equação
• A função de transformação de particular importância em processamento de imagens tem a forma
ds
drrpsp rs )()(
r
r dpLrTs0
)()1()( (Eq. 3.3-4)
(Eq. 3.3-3)
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Sabe-se da regra de Leibniz de Cálculo Básico que a derivada de uma integral definida com respeito ao seu limite superior é o integrando avaliado no limite :
• Substituindo esse resultado na equação 3.3-3, tem-se:
101
1
)()1(
1)(
)()(
LsL
rpLrp
ds
drrpsp
rr
rs
)()1(
)()1(
)(
0
rpL
dwwpdr
dL
dr
rdT
dr
ds
r
r
r
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
(a) Um PDF arbitrário. (b) Resultado da aplicação da transformação (eq.3.3-4) para todos os níveis de intensidade, r. As intensidades resultantes, s, tem um PDF uniforme, independente/ da forma da PDF de r’s.
r
r dpLrTs0
)()1()(
Eq. 3.3-4:
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Para valores discretos lidamos com probabilidades e somatórios ao invés de funções de densidade de probabilidade e integrais. A probabilidade de ocorrência de nível de intensidade rk numa imagem digital é dada por
onde MN é o número total de pixels, nk é o número de pixels de intensidade rk e L é o número de possíveis níveis de intensidade.
• A forma discreta da transformação da equação 3.3-4 é
1,...,2,1,0)1(
)()1()(
0
0
LknMN
L
rpLrTs
k
jj
k
jjrk
1,...,2,1,0)( LkMN
nrp k
kr
Eq. 3.3-8
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
Coluna a esquerda: imagens da Fig. 3.16.Coluna central: imagens com equalização de histogramaColuna direita: histogramas das imagens da coluna central.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
Funções de transformação para equalização de histograma.Transformações (1) a (4) foram obtidas dos histogramas das imagens do topo à base na coluna a direita da Fig. 3.20. usando eq.3.3-8.
1,...,2,1,0)1(
)()1()(
0
0
LknMN
L
rpLrTs
k
jj
k
jjrkk
Eq. 3.3-8
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Especificação de Histograma (matching).• A equalização de histograma visto anteriormente determina a função de
transformação que busca produzir uma imagem de saída que tenha um histograma uniforme.
• Existem aplicações em que é útil especificar a forma do histograma para a imagem processada.
• O método usado para gerar uma imagem processada que tenha um histograma especificado é chamado de matching de histograma ou especificação de histograma.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• As equações anteriores mostram que uma imagem cujos níveis de intensidade tem uma PDF especificada pode ser obtida de uma dada imagem usando o seguinte procedimento:
1. Obter pr(r) da imagem de entrada e usar a equação 3.3-10 para obter os valores de s.
2. Usar a PDF especificada em equação 3.3-11 para obter a função de transformação G(z).
3. Obter a tranformação inversa z= G-1(s); como z é obtido de s, este processo é um mapeamento de s a z, sendo o último, os valores desejados.
4. Obter a imagem de saída primeiro equalizando a imagem de entrada usando a eq. 3.3-10; os valores de pixels são os valores s. Para cada pixel com valor s realizar o mapeamento inverso z = G-1(s) para obter a imagem de saída.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
1. Computar o histograma pr(r) da imagem de entrada e usar o resultado para realizar a transformação da eq. 3.3-13. Arredondar os valores resultantes sk, para inteiros no intervalo [0, L-1].
2. Computar todos os valores da função de transformação G usando a eq. 3.3-14 para q = 0, 1, 2,..., L-1, onde pz(zi) são os valores do histograma especificado. Arredondar os valores de G para inteiros no intervalo [0, L-1]. Guardar os valores de G numa tabela.
3. Para cada valor de sk, k = 0, 1, 2,..., L-1, usar os valores guardados de G do passo 2 para encontrar o valor correspondente de zq tal que G(zq) seja próximo de sk e guardar esse mapeamento de s para z. Quando mais que um valor de zq satisfaz o dado sk, escolher o menor valor por convenção.
4. Formar a imagem do histograma especificado, primeiro equalizando o histograma da imagem de entrada e então mapeando cada valor do pixel equalizado, sk, para o correspondente valor zq na imagem de histograma especificado usando o mapeamento do passo 3.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
(a) Histograma de imagem de 3 bits.(b) Histograma especificado(c) Função de transformação obtida do hist. especificado.(d) Resultado da realização da especificação.Comparar (b) e (d)
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Devido ao problema do excesso de clareamento da imagem resultante da equalização de histograma, será mostrada uma transformação a partir da especificação manual de uma função que preserva a forma geral do histograma original, mas tem uma transição de níveis suavizada na região escura de intensidade (Fig. 3.25 a).
• A função de transformação G(z) obtida do histograma usando a eq. 3.3-14 está rotulado como 1 na Fig. 3.25 b. A transformação inversa G-1(s) está rotulada como 2.
• A imagem da Fig. 3.25 c é resultante da aplicação da transformação 2 aos pixels da imagem resultante da equalização de histograma da Fig. 3.24 b.
• A Fig. 3.25d mostra o histograma da imagem melhorada da Fig. 3.25c.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Os métodos de histograma vistos anteriormente são globais, ou seja, os pixels são modificados por uma função de transformação baseada na distribuição de intensidade da imagem inteira.
• Existem casos em que seja necessário melhorar detalhes sobre uma pequena área de uma imagem.
• O procedimento é definir uma vizinhança e mover o centro pixel a pixel. A cada posição, o histograma dos pontos da vizinhança é computado e uma função de transformação de equalização ou de especificação é obtida.
• Essa função é então usada para mapear a intensidade do pixel central da vizinhança.
• O centro da região de vizinhança é então movido a uma das posições adjacentes e o procedimento é repetido.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
(a) Imagem original. (b) resultado da equalização de histograma global(c) Resultado da equalização de histograma local em (a), usando uma vizinhança de tamanho 3x3.
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• USANDO ESTATÍSTICA DE HISTOGRAMA PARA MELHORAMENTO DE IMAGEM
• A estatística obtida de um histograma de imagem pode ser usada para melhoramento de imagem. Seja r uma variável aleatória discreta representando os valores de intensidade no intervalo [0, L-1], e seja p(ri) o componente do histograma normalizado correspondente ao valor ri.
• O n-ésimo momento de r sobre a sua média é definido como
onde m é o valor médio de r, ou intensidade média dos pixels na imagem.
1
0
)(L
iii rprm
1
0
)()()(L
ii
nin rpmrr
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Os pixels são representados por 2 bits; portanto, L= 4 e os níveis de intensidade ficam no intervalo [0,3]. O número total de pixels é 25, e o histograma tem os componentes
• Portanto, pode-se computar o valor médio das intensidades da forma:
• Esse resultado é o mesmo que calcular o valor médio usando a equação:
3
0
44.1)20.0)(3()28.0)(2()28.0)(1()24.0)(0()(i
ii rprm
20.025
5)(;28.0
25
7)(
28.025
7)(;24.0
25
6)(
32
10
rprp
rprp
4
0
4
0
44.1),(25
1
x y
yxfm
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Sejam (x,y) as coordenadas de qualquer pixel e Sxy uma vizinhança de um determinado tamanho, centrada em (x,y). O valor médio dos pixels nessa vizinhança é dado pel expressão
• A variância dos pixels na vizinhança é dada por
)()(1
0
22i
L
iSSiS rpmr
xyxyxy
)(1
0i
L
iSiS rprm
xyxy
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• O problema da Fig. 3.27a, é que o filamento de tungstênio ao redor de um suporte, localizado no centro da imagem é visto nitidamente. Porém, existe um outro filamento no lado direito, que é imperceptível.
• O problema é de melhorar as áreas escuras sem alterar as áreas claras que não necessitam de melhoramento.
• A medida de se uma área é relativamente clara ou escura a um ponto (x,y) é comparar o valor médio de intensidade local, mSxy, ao valor médio de intensidade global, denotado aqui mG.
• Assim, temos o primeiro elemento de melhoramento: consideramos o pixel no ponto (x,y) como um candidato para o processamento se
onde k0 é uma constante positiva com valor menor que 1.0.
GS mkmxy 0
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
• Como estamos interessados em melhorar áreas que tem baixo contraste, necessitamos também a medida para determinar se o contraste de uma área deve ser melhorado.
• Consideramos que o pixel em (x,y) deve ser melhorado se
onde G é o desvio padrão global e k2 é uma constante positiva. O valor dessa constante será maior que 1.0 se estamos interessados em melhorar áreas claras e menor que 1.0 para melhorar áreas escuras.
• Finalmente, devemos restringir os menores valores de contraste que desejamos aceitar, caso contrário o procedimento tentaria melhorar áreas constantes, com desvio padrão zero.
• Assim, definimos um limite inferior para o desvio padrão local
com k1 < k2.
• Um pixel em (x,y) que enquadra em todas as condições acima é processado multiplicando o seu valor de intensidade por uma constante E, para aumentar (ou diminuir) o seu valor.
xySGk 1
GS kxy
2
Digital Image Processing, 3rd ed.Digital Image Processing, 3rd ed.
(a) Imagem SEM de filamento de tungstênio ampliado 130x.(b) Resultado da equalização de histograma global.(c) Imagem melhorada usando estatística de histograma local.