Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000 Livio.

Digital Image Processing, 2nd ed.www.imageprocessingbook.com

© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Wavelet Wavelet Analisi tempo-frequenzaAnalisi tempo-frequenza

Cenni di Jpeg 2000Cenni di Jpeg 2000

Livio [email protected]



Testi utilizzati

• “Wavelet transform”, Sheng • R. C. Gonzales and R. E. Woods. Digital Image

Processing. Prentice Hall• http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/

WTtutorial.html• Signal Processing Magazine, Review on JPEG

2000



Argomenti del seminario 1/3

• Introduzione all'analisi tempo-frequenza– Wavelet continua– Confronto con Fourier, Short time Fourier transform

(STFT), Wigner, Ambiguity, Gabor, Wavelet– Ammissibilità e regolarità– Dal continuo al discreto

• Wavelet partendo dalla multirisoluzione– Scomposizione piramidale– Subband coding




– Funzioni di scala e proprietà necessarie– Funzioni wavelet– Formalizzazione dell'espansione in serie, DWT,

CWT, Fast wavelet transform (FWT)– Trasformata wavelet in 2 dimensioni

• Cenni alla compressione Jpeg 2000– Perché una nuova trasformata per la compressione

di immagini– Descrizione generale dello standard Jpeg 2k




– Scelta dei kernel di filtri• filtri ortogonali versus biortogonali• filtri lineari e problemi ai bordi• embedded zero-tree wavelet (EZW)



Wavelet continua

• Analisi wavelet utile per segnali non stazionari– rispetto STFT e Wigner, la wavelet fornisce Q

costante• Le basi sono generate da una funzione madre

mediante dilatazione e traslazione• L'”ammissibilità“ assicura l'esistenza

dell'inversa• La “regolarità” fornisce la località in

frequenza e nel tempo• Per ridurre il prodotto tempo-larghezza di banda

si ricorre alla DWT



Wavelet continua

• La trasformata ortonormale viene ottenuta in un ambiente multirisoluzione partendo dalle funzioni di scala (cfr subband coding, QMF)– Fast wavelet transform (FWT): algoritmo ad albero

• Applicazioni:– Analisi di segnali sismici, radar, sonar,

elettrocardiografici, transitori motore– Compressione dei dati– Filtraggio



Wavelet continua

dtthtfsW sf )()(),( *,

Sia data f(t) in L l’insieme delle funzioni misurabili e di quadrato integrabili, si definisce la trasformata wavelet come:

dove

s

th

sths

1)(,

Per valori s>1 la funzione si contrae, mentre per valori 0<s<1 si dilata. Vale inoltre la normalizzazione dell’energia:

1)()(22

, dtthdtthh



Wavelet continua

Si ottiene quindi:

dts

thtf

ssW f

*)(

1),(

La trasformata di Fourier della wavelet risulta essere

)exp()(exp1

)(, jsHsdttjs

th

sH s

Una contrazione nel tempo corrisponde ad una dilatazione in frequenza.

Si fa notare che le funzioni base non vengono specificate!



Wavelet continua• Le funzioni base vengono scelte sulla base di alcune

proprietà fondamentali. Le principali sono l’ammissibilità e la regolarità delle funzioni.– Ammissibilità: la wavelet deve oscillare per avere il valor

medio nullo– Regolarità: le wavelet devono avere un decadimento

esponenziale con i momenti di ordine basso uguali a 0– In altre parole la funzione oscilla e decresce

• Le wavelet possono essere continue o discrete, ortonormali o non ortonormali, analitiche o numeriche

• Se la funzione scelta soddisfa le due condizioni fondamentali, si ha che la trasformata possiede delle caratteristiche di località nel tempo.

• Il fattore 1/s assicura che i coefficienti divengano piccoli al crescere della frequenza. Ciò significa avere località in frequenza.



Analisi tempo-frequenza

• La trasformata wavelet di un segnale 1-D è una funzione 2-D nello spatio tempo-scala

• La rappresentazione tempo-scala è molto simile alla rappresentazione tempo-frequenza familiare nella trasformata Short Time Fourier Transform (STFT)

• La wavelet è di particolare interesse per analizzare segnali non stazionarî (come i segnali vocali, radar, sonar, sismici, elettrocardiografici, musicali, torsionali e motoristici) ed è un’alternativa alla classica STFT o alla trasformata di Gabor

• La wavelet è locale sia in tempo che in frequenza!



Analisi tempo-frequenza

• Un esempio di rappresentazione tempo-frequenza è lo spartito musicale

• L’analisi è limitata dal principio di indeterminazione o disuguaglianza di Heisenberg:

2

1 t

Un segnale non può essere rappresentato su un piano tempo-frequenza come un punto, si può unicamente determinare la sua posizione all’interno di un rettangolo.



Limitazioni di Fourier

• La trasformata di Fourier non è sufficiente per segnali tempo varianti.

• Fourier fornisce una perfetta località in frequenza, ma una “globalità” nel tempo.

• Inoltre non fornisce alcuna informazione sulla variazione temporale del segnale sotto esame.

• La STFT, la Gabor transform, la distribuzione di Wigner e l’ambiguity function sono delle soluzioni per l’analisi di segnali tempo-varianti.



Short Time Fourier Transform

Gabor introdusse nel 1940 la STFT che è nota anche come sliding window Fourier Transform ed è definita come segue:

dttjtgtfS f )exp()()(),( '*'

dove g(t) è una funzione finestra scelta opportunamente.•Vengono definite come funzioni di Gabor:

)exp()( 'tjtg

È richiesto inoltre che 1)(2dttg



• Spectrogram e Sonogram• Risoluzione tempo-frequenza

Short Time Fourier Transform

dttg

dttgtt

2

22

2

)(

)(

dG

dG2

22

2

)(

)(

• Finestra gaussiana

2

2

exp1

)(s

t

stg

4/exp1

)( 22ss

G

La finestra gaussiana fornisce il minimo prodotto tempo-banda determinato dal principio di indeterminazione.



Wigner distribution• E’ un’alternativa alla STFT per segnali non

stazionari

dttjt

ft

fW f )exp(22

),( *

È la trasformata di Fourier del prodotto tra la funzione dilatata e spostata nel tempo di per la stessa funzione complessa e coniugata dilatata ed invertita.•La proiezione lungo l’asse temporale fornisce il modulo al quadrato della F•La proiezione lungo l’asse delle frequenze è invece 2|f(t)|2



Ambiguity function

djt

ft

ftA f )exp(22

),( *

La ambiguity function può essere vista come una funzione di autocorrelazione tempo-frequenza del segnale con un ritardo t ed uno scostamento Doppler in frequenza . •Sia la distribuzione di Wigner che la ambiguity sono utili per l’analisi di segnali transitori•La somma di due segnali produce dei termini di “prodotto incrociato” che possono essere fastidiosi nell’analisi.



Multirisoluzione wavelet

• La trasformata wavelet risulta essere la correlazione tra una funzione e la wavelet dilatata

• Ad una data risoluzione la trasformata viene calcolata mediante un filtro la cui risposta in frequenza è scalata come h(t/s)

• Quando la scala è piccola, la funzione è concentrata nel tempo

• Quando la scala è grande, la wavelet è dilatata nel tempo.



Fidelity analysisLa versione contratta della wavelet permette di analizzare

le discontinuità e le singolarità con un supporto temporale piccolo.

Allo stesso modo è possibile sfruttare una versione dilatata della wavelet per avere una visione globale del fenomeno.

La STFT non possiede le proprietà precedentemente elencate.

Si può dimostrare che il rapporto tra la frequenza centrale di analisi e la larghezza di banda (noto come fattore Q) nell’analisi wavelet risulta essere:

sQ

s

/1

)(1



Proprietà delle wavelet

• Se la funzione scelta è di quadrato integrabile e soddisfa la condizione di ammissibilità, può essere considerata una wavelet.

• Se la funzione soddisfa la condizione di regolarità, risulta essere locale in tempo e frequenza.



Ammissibilità

La trasformata wavelet di un segnale 1d è una rappresentazione 2d del segnale: è necessario che non si perda informazione nella trasformata. A tale scopo è necessario che sia verificata la seguente espressione:

212,,1 ,,, ffcfhhfds

dshss

La precedente espressione viene verificata quando:

dH

ch

2)(

Ciò implica che la trasformata di Fourier della H deve avere un valore 0 alla frequenza =0. In altre parole le wavelet hanno un comportamento passabanda.Nel dominio del tempo quindi si ha che: 0)( dtth



RegolaritàSi impone una richiesta aggiuntiva in modo tale che la trasformata garantisca una riduzione dei coefficienti con il diminuire della scala (aumentare della frequenza). In tal senso si avrà uno “smussamento” ed una concentrazione in tempo ed in frequenza. Si può scrivere la seguente espressione:

...

!2

)0(

!1

)0()0(

1)0,( 3

2

''2

1

'

0 sMf

sMf

sMfs

sW f

Partendo dalla precedente espansione in serie, si può imporre il valore dei primi n valori Mp=0, p=0,1,…,n. In questo modo i coefficienti della trasformata wavelet saranno decrescenti come sn+2.

0)( dtthtM pp 0)0()( pH

tempo frequenza



Esempi di wavelet

2exp)exp()(

2

0

ttjth

2exp)1()(

22 t

tth

altrimenti

t

t

th

0

12/11

2/101

)(

Esempio matlab



Passaggio dal continuo al discreto

•La trasformata wavelet continua rappresenta un segnale monodimensionale in termini di tempo-scala: ridondante!•Risulta quindi che il prodotto tempo-larghezza di banda è il quadrato di quello del segnale di partenza•L’uso di wavelet discrete può ridurre tale prodotto:

)()( 0002/

0,iii

ki sktshsth isk 00 10 s

si noti che il fattore di traslazione dipende dal valore di s0 (che usualmente è pari a 2 => espansione diadica) e dal valore i che determina la scala che si sta analizzando.•Analogia con il microscopio …Si può dimostrare che la trasformata wavelet ortonormale produce un prodotto tempo-frequenza identico a quello del segnale di partenza.



Passaggio dal continuo al discreto

•Se il segnale di partenza è continuo ed anche le funzioni wavelet sono continue nella scala e nel tempo, si ottiene la trasformata wavelet continua.•Quando il segnale in ingresso è continuo, ma le funzioni wavelet sono discrete in tempo e scala, si ottiene la scomposizione in serie wavelet.•La teoria delle wavelet usando l’analisi dello spazio delle funzioni dimostra che l’espansione in serie e la ricostruzione delle funzioni continue possono essere calcolate con un approccio a multirisoluzione con filtri discreti. Quando la trasformata wavelet è calcolata con il calcolatore, il segnale in ingresso ed i filtri da iterare sono discreti: in questo senso si parla di discrete wavelet transform.

Analogie con trasformata di Fourier



Wavelet partendo dalla multirisoluzione

• La multirisoluzione incorpora e unifica tecniche provenienti da discipline diverse: subband coding, quadrature mirror filtering, scomposizione piramidale

• Consiste nell’analizzare e nel rappresentare i segnali a più risoluzioni

• Esistono varie vie per introdurre le wavelet, forse la più agevole è quella che parte dall’MRA

• Idea di fondo: – oggetti di piccole dimensioni e di basso contrasto sono più

visibili a risoluzioni elevate– Il viceversa vale per gli oggetti di grandi dimensioni



Chapter 7Wavelets and Multiresolution Processing

Es: l’immagine possiede una statistica locale variabile



• Tecnica potente e semplice per rappresentare le immagini a più risoluzioni:– Immagini a risoluzione decrescente organizzate in

maniera piramidale:

– Applicazioni tipiche in machine vision e compressione

– Si possono costruire 2 piramidi: una approssimante ed una contenente i residui di predizione (prediction residual)

– Il residuo può essere codificato facilmente– Si hanno J-1 approssimazioni e J residui di

predizione

Scomposizione piramidale

221

2

3

4

4

1...

4

1

4

11 N++++N

P






Scomposizione piramidale

Descrizione dell'algoritmo:• filtraggio e decimazione del segnale in ingresso per

ottenerne un'approssimazione• il risultato ottenuto al punto precedente viene

interpolato x2 e si valuta la differenza tra il segnale originale e quello così ottenuto

• in assenza di errori di quantizzazione, i residui possono permettere di ricostruire a ritroso la piramide di approssimazione

• le approssimazioni possono essere compresse (statistica attorno allo zero)Es: piramide, stima del moto






Subband coding

• Il segnale viene diviso in componenti di larghezza di banda limitata

• Dal segnale scomposto si può ritornare all'originale

• Applicazioni tipiche per segnali vocali e compressione di immagini.



Subband codingAlgoritmo di analisi• si filtra il segnale con 2 filtri (a larghezza di

banda limitata): uno LP ed uno HP• i segnali così ottenuti possono essere decimati

senza perdita di informazioneAlgoritmo di sintesi• i segnali vengono interpolati intervallando un

campione ed uno zero• quindi si filtrano i segnali così trattati e si

sommanoSi presta all'uso di filtri polifase






Subband coding

2/12/1

2

1zX+zX=zX down

2zX=zX up

zX+zX=zX 2

1ˆ

nx=zXZ n11

)2()( nxnxdown

altrimenti

nnxnxup

0

,...4,2,0)2/()(

La versione ricostruita del segnale, all’uscita del banco di sintesi, risulta allora

essere:

Si noti che



Subband coding

zXzH+zXzHzG+zXzH+zXzHzG=zX o 11100 )(2

1

2

1ˆ

01100 =zGzH+zGzH 2110 =zGzH+zGzH o

Se si applicano quindi i filtri ai vari ingressi si ottiene l’espressione dell’uscita del banco di sintesi:

Ciò che si vuole ottenere è la perfetta ricostruzione dell’ingresso x(n) all’uscita del banco di sintesi. Per ottenere questo risultato si impone quanto segue:

Si ottiene quindi il seguente sistema lineare:

)(

)(

))(det(

2

)(

)(

0

1

1

0

zH

zH

zHzG

zG

m

)(

)(

)(

)()(

1

0

1

0

zH

zH

zH

zHzH m



Subband coding

Scegliendo opportunamente il valore di )12())(det( km zzH

e di =2 e calcolando l’inversa della Z-trasformata del sistema lineare visto poc’anzi, si ottiene:

)()1()(

)()1()(

01

1

10

nhng

nhngn

n

Scegliendo invece =-2, si ottiene:

)()1()(

)()1()(

01

11

0

nhng

nhngn

n

I filtri di sintesi risultano essere copie “intermodulate” dei filtri di analisi. Si può dimostrare che i filtri appena calcolati risultano essere biortogonali.



Ortonormalità, biortogonalità

Mantenendo le notazioni precedentemente usate per i filtri calcolati, si definisce ora il concetto di biortogonalità. Una coppia di filtri si dice biortogonale se:

)()()(),2( njikgknh ji

Oltre alla biortogonalità, i filtri in questione (colonna 3 della figura) possono anche soddisfare una condizione maggiormente restrittiva, quella della ortonormalità:

)()()2(),( mjimngng ji




I filtri indicati in questa tabella possono essere facilmente generalizzati al caso 2-D.




Considerazioni sulla memoria necessaria ai filtri separabili.







Average

Details: V,H,D




A differenza dalla semplice scomposizione piramidale la DWT possiede le seguenti proprietà:•la statistica locale è relativamente costante e facilmente modellizzabile.•Molti valori risultano essere nulli: quindi risulta utile nella compressione.•Si possono ottenere approssimazioni ad alte e basse risoluzioni partendo dalla DWT.



Multirisoluzione: concetti base

Un segnale f(x) può essere analizzato come una combinazione lineare di funzioni:

kkk xxf )()(

Se l’espansione risulta essere unica, si dice che k(x) sono delle funzioni base. Le funzioni esprimibili con tale base formano uno spazio di funzioni V.Per ogni spazio V esiste un insieme di funzioni duali che possono essere usate per calcolare i coefficienti k come segue:

dxxfxxfx kkk )()(~)(),(~ *

In funzione dell’ortogonalità o meno delle funzioni base è possibile incontrare vari casi…



Multirisoluzione: concetti base

Caso 1: le funzioni base formano una base ortonormale per V.

kj

kjxx jkkj 1

0)(),(

Caso 2: le funzioni base formano una base ortogonale per V, ma non ortonormale. La relazione tra le funzioni base e le funzioni duali è:

kj

kjxx jkkj 1

0)(~),(

Caso 3: le funzioni base non formano una base ortogonale per V, cioè esiste più di una n-pla di coefficienti per l’espansione della stessa funzione f(x). Le funzioni di espansione ed il loro duale sono dette sovradimensionate o ridondanti.



Fissando il valore di j=j0 le funzioni di espansione risultanti descrivono un sottoinsieme dello spazio totale. Indicheremo tale sottospazio come Vj0.

Multirisoluzione: funzioni di scala

)2(2)( 2/. kxx jjkj

Si considerano ora la famiglia di funzioni ottenute da traslazioni intere e riduzioni di scala di tipo diadico:

Il valore k imposta la posizione relativa della funzione, mentre il valore j ne imposta la scala.Scegliendo opportunamente le funzioni è possibile descrivere completamente lo spazio L2(R), cioè l’insieme delle funzioni reali misurabili e di quadrato integrabili.

Aumentando il valore di j si aumenta la dimensione dello spazio che considera delle funzioni con variazioni più piccole e quindi dettagli più piccoli.

k

kjk xxf )()( ,0




Aumento di scala






• Le funzioni di scala sono ortogonali alle traslazioni intere

• I sottospazî descritti dalle funzioni di espansione in un basso valore di scala sono contenuti in quelli descritti dalle scale più alte

• La sola funzione comune a tutti i sottospazî Vj è f(x)=0.

• Ogni funzione può essere espressa con una precisione arbitraria.

Richieste fondamentali dell’MRA

)}({ 2 RLV

}0{V

VVVV ...... 01



Conclusioni sulle funzioni di scala

Sotto le condizioni appena elencate, le funzioni di espansione del sottospazio Vj possono essere come la somma pesata delle funzioni alla scala j+1.

n

njnkj xx )()( ,1,

Sostituendo quindi la funzione j+1,n e rinominando i coefficienti n in h(n) si ottiene:

n

jjkj nxnhx )2(2)()( 12/)1(

,

o nella forma più generale nota come refinement equation o dilation equation:

n

nxnhx )2(2)()(

Digital Image Processing, 2nd ed. © 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods Wavelet Analisi tempo-frequenza Cenni di Jpeg 2000 Livio.

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