dif_rac_v3

Vjezbe 3

Vjezbe 3

Infimum i supremum

Arhimedov teorem:

Ako je x R i x > 0, onda za svaki y R postoji prirodan broj ntakav da je nx > y .

Primjer:

Koristeci definiciju, odredite infimum i supremum skupaS = {n+4n+3 : n N}.

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 1:

Neka su D i K dva skupa razlicita od i f pravilo koje svakomelementu skupa D pridruzuje tocno jedan element skupa K .Uredenu trojku (D,K , f ) zovemo funkcija sa skupa D u skup K ioznacavamo f : D K .Skup D zove se podrucje definicije ili domena funkcije f .Skup K zove se podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f .

Definicija 2:

Skup Im f = {f (x) : x D} zovemo slika funkcije f .

Im f K .Slika funkcije f oznacava se i sa R(f ).

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 1:

Neka su D i K dva skupa razlicita od i f pravilo koje svakomelementu skupa D pridruzuje tocno jedan element skupa K .Uredenu trojku (D,K , f ) zovemo funkcija sa skupa D u skup K ioznacavamo f : D K .Skup D zove se podrucje definicije ili domena funkcije f .Skup K zove se podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f .

Definicija 2:

Skup Im f = {f (x) : x D} zovemo slika funkcije f .

Im f K .Slika funkcije f oznacava se i sa R(f ).

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 1:

Neka su D i K dva skupa razlicita od i f pravilo koje svakomelementu skupa D pridruzuje tocno jedan element skupa K .Uredenu trojku (D,K , f ) zovemo funkcija sa skupa D u skup K ioznacavamo f : D K .Skup D zove se podrucje definicije ili domena funkcije f .Skup K zove se podrucje vrijednosti ili kodomena funkcije f .

Definicija 2:

Skup Im f = {f (x) : x D} zovemo slika funkcije f .

Im f K .Slika funkcije f oznacava se i sa R(f ).

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 3:

Funkcije f : D K za koje je Im f = K zovemo surjekcije.Funkcije f : D K koje razlicitim elementima domene pridruzujurazlicite elemente kodomene zovu se injekcije.

x1, x2 D, x1 6= x2 f (x1) 6= f (x2).

Operativni kriterij za provjeru injekcije funkcije:

f (x1) = f (x2) x1 = x2.

Definicija 4:

Funkciju f : D K koja je i injekcija i surjekcija zovemo bijekcija.

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 3:

Funkcije f : D K za koje je Im f = K zovemo surjekcije.Funkcije f : D K koje razlicitim elementima domene pridruzujurazlicite elemente kodomene zovu se injekcije.

x1, x2 D, x1 6= x2 f (x1) 6= f (x2).

Operativni kriterij za provjeru injekcije funkcije:

f (x1) = f (x2) x1 = x2.

Definicija 4:

Funkciju f : D K koja je i injekcija i surjekcija zovemo bijekcija.

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 3:

Funkcije f : D K za koje je Im f = K zovemo surjekcije.Funkcije f : D K koje razlicitim elementima domene pridruzujurazlicite elemente kodomene zovu se injekcije.

x1, x2 D, x1 6= x2 f (x1) 6= f (x2).

Operativni kriterij za provjeru injekcije funkcije:

f (x1) = f (x2) x1 = x2.

Definicija 4:

Funkciju f : D K koja je i injekcija i surjekcija zovemo bijekcija.

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 3:

Funkcije f : D K za koje je Im f = K zovemo surjekcije.Funkcije f : D K koje razlicitim elementima domene pridruzujurazlicite elemente kodomene zovu se injekcije.

x1, x2 D, x1 6= x2 f (x1) 6= f (x2).

Operativni kriterij za provjeru injekcije funkcije:

f (x1) = f (x2) x1 = x2.

Definicija 4:

Funkciju f : D K koja je i injekcija i surjekcija zovemo bijekcija.

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 3:

Funkcije f : D K za koje je Im f = K zovemo surjekcije.Funkcije f : D K koje razlicitim elementima domene pridruzujurazlicite elemente kodomene zovu se injekcije.

x1, x2 D, x1 6= x2 f (x1) 6= f (x2).

Operativni kriterij za provjeru injekcije funkcije:

f (x1) = f (x2) x1 = x2.

Definicija 4:

Funkciju f : D K koja je i injekcija i surjekcija zovemo bijekcija.

Vjezbe 3

Funkcije

1. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost funkcije

f : R \ {3} R definirane s f (x) = x1x+3 .2. Nadite funkciju f : R R+ koja nije injekcija i je surjekcija.3. Nacrtajte graf funkcije f : R R definirane s

f (x) =

x + 1, x < 0x + 1, 0 x 1x 1, x > 1

.

Ispitajte je li funkcija f bijekcija?

Definicija 5:

Neka je f : D K funkcija. Skup f = {(x , f (x)) : x D}zovemo graf funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

1. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost funkcije

f : R \ {3} R definirane s f (x) = x1x+3 .2. Nadite funkciju f : R R+ koja nije injekcija i je surjekcija.3. Nacrtajte graf funkcije f : R R definirane s

f (x) =

x + 1, x < 0x + 1, 0 x 1x 1, x > 1

.

Ispitajte je li funkcija f bijekcija?

Definicija 5:

Neka je f : D K funkcija. Skup f = {(x , f (x)) : x D}zovemo graf funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

1. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost funkcije

f : R \ {3} R definirane s f (x) = x1x+3 .2. Nadite funkciju f : R R+ koja nije injekcija i je surjekcija.3. Nacrtajte graf funkcije f : R R definirane s

f (x) =

x + 1, x < 0x + 1, 0 x 1x 1, x > 1

.

Ispitajte je li funkcija f bijekcija?

Definicija 5:

Neka je f : D K funkcija. Skup f = {(x , f (x)) : x D}zovemo graf funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

1. Ispitajte injektivnost, surjektivnost i bijektivnost funkcije

f : R \ {3} R definirane s f (x) = x1x+3 .2. Nadite funkciju f : R R+ koja nije injekcija i je surjekcija.3. Nacrtajte graf funkcije f : R R definirane s

f (x) =

x + 1, x < 0x + 1, 0 x 1x 1, x > 1

.

Ispitajte je li funkcija f bijekcija?

Definicija 5:

Neka je f : D K funkcija. Skup f = {(x , f (x)) : x D}zovemo graf funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

Primjedba:

Graf injekcije nikada ne moze biti osno simetrican s obzirom naneki pravac koji je paralelan s y osi.

Definicija 6:

Funkcije f : A B i g : C D su jednake ako je(i) A = C

(ii) B = D

(iii) f (x) = g(x), x A,C .

4. Ispitajte jesu li funkcije f i g definirane s

a) f (x) = x2+3xx3 , g(x) =

12

x+3 1xb) f (x) = log3(x 1) + log3(x + 1), g(x) = log3(x2 1)

jednake?

Vjezbe 3

Funkcije

Primjedba:

Graf injekcije nikada ne moze biti osno simetrican s obzirom naneki pravac koji je paralelan s y osi.

Definicija 6:

Funkcije f : A B i g : C D su jednake ako je(i) A = C

(ii) B = D

(iii) f (x) = g(x), x A,C .

4. Ispitajte jesu li funkcije f i g definirane s

a) f (x) = x2+3xx3 , g(x) =

12

x+3 1xb) f (x) = log3(x 1) + log3(x + 1), g(x) = log3(x2 1)

jednake?

Vjezbe 3

Funkcije

Primjedba:

Graf injekcije nikada ne moze biti osno simetrican s obzirom naneki pravac koji je paralelan s y osi.

Definicija 6:

Funkcije f : A B i g : C D su jednake ako je(i) A = C

(ii) B = D

(iii) f (x) = g(x), x A,C .

4. Ispitajte jesu li funkcije f i g definirane s

a) f (x) = x2+3xx3 , g(x) =

12

x+3 1xb) f (x) = log3(x 1) + log3(x + 1), g(x) = log3(x2 1)

jednake?

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 7:

Neka su f : A B i g : C D takve da je f (A) C . Funkcijug f : A D definiranu s (g f )(x) = g(f (x)),x A zovemokompozicija funkcija f i g .

5. Pronadite kompozicije (f g)(x) i (g f )(x) zaa) f (x) = 3x + 2, g(x) = 2x 1b) f (x) = x2 + 9x , g(x) =

x + 9

c) f (x) = |x |, g(x) = 6

6. Kazemo da funkcije f i g medusobno komutiraju ako je(f g)(x) = (g f )(x), x iz zajednicke domene. Za kojevrijednosti a i b funkcija g(x) = a + bx komutira s funkcijomf (x) = 1 + 2x?

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 7:

Neka su f : A B i g : C D takve da je f (A) C . Funkcijug f : A D definiranu s (g f )(x) = g(f (x)),x A zovemokompozicija funkcija f i g .

5. Pronadite kompozicije (f g)(x) i (g f )(x) zaa) f (x) = 3x + 2, g(x) = 2x 1b) f (x) = x2 + 9x , g(x) =

x + 9

c) f (x) = |x |, g(x) = 6

6. Kazemo da funkcije f i g medusobno komutiraju ako je(f g)(x) = (g f )(x), x iz zajednicke domene. Za kojevrijednosti a i b funkcija g(x) = a + bx komutira s funkcijomf (x) = 1 + 2x?

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 7:

Neka su f : A B i g : C D takve da je f (A) C . Funkcijug f : A D definiranu s (g f )(x) = g(f (x)),x A zovemokompozicija funkcija f i g .

5. Pronadite kompozicije (f g)(x) i (g f )(x) zaa) f (x) = 3x + 2, g(x) = 2x 1b) f (x) = x2 + 9x , g(x) =

x + 9

c) f (x) = |x |, g(x) = 6

6. Kazemo da funkcije f i g medusobno komutiraju ako je(f g)(x) = (g f )(x), x iz zajednicke domene. Za kojevrijednosti a i b funkcija g(x) = a + bx komutira s funkcijomf (x) = 1 + 2x?

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 7:

Neka su f : A B i g : C D takve da je f (A) C . Funkcijug f : A D definiranu s (g f )(x) = g(f (x)),x A zovemokompozicija funkcija f i g .

5. Pronadite kompozicije (f g)(x) i (g f )(x) zaa) f (x) = 3x + 2, g(x) = 2x 1b) f (x) = x2 + 9x , g(x) =

x + 9

c) f (x) = |x |, g(x) = 6

6. Kazemo da funkcije f i g medusobno komutiraju ako je(f g)(x) = (g f )(x), x iz zajednicke domene. Za kojevrijednosti a i b funkcija g(x) = a + bx komutira s funkcijomf (x) = 1 + 2x?

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 7:

Neka su f : A B i g : C D takve da je f (A) C . Funkcijug f : A D definiranu s (g f )(x) = g(f (x)),x A zovemokompozicija funkcija f i g .

5. Pronadite kompozicije (f g)(x) i (g f )(x) zaa) f (x) = 3x + 2, g(x) = 2x 1b) f (x) = x2 + 9x , g(x) =

x + 9

c) f (x) = |x |, g(x) = 6

6. Kazemo da funkcije f i g medusobno komutiraju ako je(f g)(x) = (g f )(x), x iz zajednicke domene. Za kojevrijednosti a i b funkcija g(x) = a + bx komutira s funkcijomf (x) = 1 + 2x?

Vjezbe 3

Funkcije

7. Neka je f (x) = x2 x + 1 i g(x) = x + a. Za koje a R jezbroj korijena polinoma f g jednak 5?

8. Koliko je f ( 13 ) ako je (f g)(x) = 1x2

x2, x 6= 0 i

g(x) = 1 x2?9. Ako je f (x) = ax2x+3 , x 6= 32 , odredite a R tako da je

(f f )(x) = x , x 6= 32 .

Definicija 8:

Neka je f : D K bijekcija. Tada postoji jedinstvena funkcijaf 1 : K D takva da je(i) (f f 1)(u) = u, u K(ii) (f 1 f )(v) = v , v DFunkciju f 1 : K D zovemo inverzna funkcija funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

7. Neka je f (x) = x2 x + 1 i g(x) = x + a. Za koje a R jezbroj korijena polinoma f g jednak 5?

8. Koliko je f ( 13 ) ako je (f g)(x) = 1x2

x2, x 6= 0 i

g(x) = 1 x2?9. Ako je f (x) = ax2x+3 , x 6= 32 , odredite a R tako da je

(f f )(x) = x , x 6= 32 .

Definicija 8:

Neka je f : D K bijekcija. Tada postoji jedinstvena funkcijaf 1 : K D takva da je(i) (f f 1)(u) = u, u K(ii) (f 1 f )(v) = v , v DFunkciju f 1 : K D zovemo inverzna funkcija funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

7. Neka je f (x) = x2 x + 1 i g(x) = x + a. Za koje a R jezbroj korijena polinoma f g jednak 5?

8. Koliko je f ( 13 ) ako je (f g)(x) = 1x2

x2, x 6= 0 i

g(x) = 1 x2?9. Ako je f (x) = ax2x+3 , x 6= 32 , odredite a R tako da je

(f f )(x) = x , x 6= 32 .

Definicija 8:

Neka je f : D K bijekcija. Tada postoji jedinstvena funkcijaf 1 : K D takva da je(i) (f f 1)(u) = u, u K(ii) (f 1 f )(v) = v , v DFunkciju f 1 : K D zovemo inverzna funkcija funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

7. Neka je f (x) = x2 x + 1 i g(x) = x + a. Za koje a R jezbroj korijena polinoma f g jednak 5?

8. Koliko je f ( 13 ) ako je (f g)(x) = 1x2

x2, x 6= 0 i

g(x) = 1 x2?9. Ako je f (x) = ax2x+3 , x 6= 32 , odredite a R tako da je

(f f )(x) = x , x 6= 32 .

Definicija 8:

Neka je f : D K bijekcija. Tada postoji jedinstvena funkcijaf 1 : K D takva da je(i) (f f 1)(u) = u, u K(ii) (f 1 f )(v) = v , v DFunkciju f 1 : K D zovemo inverzna funkcija funkcije f .

Vjezbe 3

Funkcije

Napomena

Iz jednadzbe f (f 1(x)) = x , x K , racunamo f 1(x).(i) Ako rjesenje ne postoji, onda f nije surjekcija.

(ii) Ako rjesenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija.

(iii) Ako rjesenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f 1

je inverz od f .

Ako postoji, inverzna funkcija definirana je na skupu Im f .

10. Odredite inverz ako postoji

a) f (x) =2

x 1

b) f (x) =1 + x

x

c) f (x) =2x + 3

x + 4.

Vjezbe 3

Funkcije

Napomena

Iz jednadzbe f (f 1(x)) = x , x K , racunamo f 1(x).(i) Ako rjesenje ne postoji, onda f nije surjekcija.

(ii) Ako rjesenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija.

(iii) Ako rjesenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f 1

je inverz od f .

Ako postoji, inverzna funkcija definirana je na skupu Im f .

10. Odredite inverz ako postoji

a) f (x) =2

x 1

b) f (x) =1 + x

x

c) f (x) =2x + 3

x + 4.

Vjezbe 3

Funkcije

Napomena

Iz jednadzbe f (f 1(x)) = x , x K , racunamo f 1(x).(i) Ako rjesenje ne postoji, onda f nije surjekcija.

(ii) Ako rjesenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija.

(iii) Ako rjesenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f 1

je inverz od f .

Ako postoji, inverzna funkcija definirana je na skupu Im f .

10. Odredite inverz ako postoji

a) f (x) =2

x 1

b) f (x) =1 + x

x

c) f (x) =2x + 3

x + 4.

Vjezbe 3

Funkcije

Napomena

Iz jednadzbe f (f 1(x)) = x , x K , racunamo f 1(x).(i) Ako rjesenje ne postoji, onda f nije surjekcija.

(ii) Ako rjesenje nije jedinstveno, onda f nije injekcija.

(iii) Ako rjesenje postoji i jedinstveno je, onda je f bijekcija i f 1

je inverz od f .

Ako postoji, inverzna funkcija definirana je na skupu Im f .

10. Odredite inverz ako postoji

a) f (x) =2

x 1

b) f (x) =1 + x

x

c) f (x) =2x + 3

x + 4.

Vjezbe 3

Funkcije

Definicija 9:

Funkcija f : D K je periodicna s periodom > 0 ako vrijedi(i) x D x + D,(ii) f (x + ) = f (x), x D.Najmanji > 0 zove se osnovni (temeljni) period funkcije f .Slozena funkcija

f (x) = A sin(x + )

je periodicna funkcija s temeljnim periodom = 2pi .

Vjezbe 3

Funkcije

11. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cospi

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 3

Funkcije

11. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cospi

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 3

Funkcije

11. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cospi

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 3

Funkcije

11. Odredite osnovni period funkcija:

a) f (x) = sinx

3,

b) f (x) = 1 + cospi

2x ,

c) f (x) = sin x +1

2sin 2x +

1

3sin 3x ,

d) f (x) = cosx

2+ tg

x

3.

Vjezbe 3