Diffraction Theory 1
Diffraction Theory
1
2
3
๐๐1
๐๐2
๐ธ๐ธ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ธ๐ธ1 ๐๐, ๐ก๐ก
๐ธ๐ธ ๐๐, ๐ก๐ก
๐ธ๐ธ ๐๐, ๐ก๐ก = ๐ธ๐ธ0,1๐๐1๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐1โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐1 +
๐ธ๐ธ0,2
๐๐2๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐2
+ ๐ธ๐ธ2 ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐3
+๐ธ๐ธ0,3
๐๐3๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐3 โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐3
๐๐4
+ ๐ธ๐ธ3 ๐๐, ๐ก๐ก + ๐ธ๐ธ4 ๐๐, ๐ก๐ก
๐๐5
+๐ธ๐ธ0,4
๐๐4๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐4 โ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐4
+ ๐ธ๐ธ5 ๐๐, ๐ก๐ก
+๐ธ๐ธ0,5
๐๐5๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐5 โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐5
= ๏ฟฝ๐๐
๐ธ๐ธ๐๐ ๐๐, ๐ก๐ก
+โฏ
+ โฆ
= ๏ฟฝ๐๐
๐ธ๐ธ0,๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ โ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐๐๐
4
Huygens-Fresnel Principle
5
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก = ๏ฟฝ๐๐
๐ธ๐ธ0,๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐๐๐
= ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง = ๐ ๐ 2 + ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐๐
๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง
๏ฟฝ๐๐
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
6
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โ ๐ ๐ 1 +๐๐2
2
Fresnel Approximation๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐4
8โช ๐๐
= ๐ ๐ 1 +๐๐2
2โ๐๐4
8+๐๐6
16โ
5 ๐๐8
128+ โฏ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง = ๐ ๐ 2 + ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ โ ๐ง๐ง 2 = ๐ ๐ 1 +๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2
๐ ๐ 2+
๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐ ๐ 2 โก ๐ ๐ 1 + ๐๐2
๐๐2 โก๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2
๐ ๐ 2+
๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐ ๐ 2
Fresnel Diffraction
= ๐ ๐ +๐๐2 + ๐๐2
2 ๐ ๐ โ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐
+๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
2 ๐ ๐
= ๐ ๐ 1 +๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2
2 ๐ ๐ 2+
๐๐ โ ๐ง๐ง 2
2 ๐ ๐ 2
7
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
2 ๐ ๐ โช ๐๐
๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
๐๐ ๐ ๐ โช 1
Fraunhofer Approximation
Fraunhofer Diffractionalso known as Far-Field Diffraction
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โ ๐ ๐ +๐๐2 + ๐๐2
2 ๐ ๐ โ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐
+๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
2 ๐ ๐
Fresnel Approximation๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐4
8โช ๐๐
8
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
โ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง๐ ๐
๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
=๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ,๐ง๐ง ๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง = ๐ ๐ 2 + ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐ ๐ 2 โก ๐ ๐ 2 + ๐๐2 + ๐๐2
= ๐ ๐ 2 โ 2 ๐๐ ๐ฆ๐ฆ โ 2 ๐๐ ๐ง๐ง + ๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
= ๐ ๐ 1 +โ2 ๐๐ ๐ฆ๐ฆ โ 2 ๐๐ ๐ง๐ง + ๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
๐ ๐ 2โ ๐ ๐ โ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐
9
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐๐
๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ ๐
Fraunhofer Diffraction
๐ ๐ 2 โก ๐ ๐ 2 + ๐๐2 + ๐๐2
10
Illumination at the Aperture:
In the examples to follow, we will consider a flat wavefront at
normal incidence on the aperture
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง =๐ธ๐ธ0
0
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
Inside the aperture
Outside the aperture{
11
Apertures considered here:
1. Single Slit
2. Double Slit
3. Rectangular Aperture
4. Circular Aperture
12
1. Single Slit
๐๐๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ ๐
๐ ๐ โก ๐๐2 + ๐ ๐ 2
๐๐
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
โ ๏ฟฝ๐๐ 2
+ ๏ฟฝ๐๐ 2
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฆ๐ฆ๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ =๐๐๐ ๐
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง
13
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
1. Single Slit, cont.
๐ผ๐ผ โก ๐ธ๐ธ2
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ = ๐ผ๐ผ0 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐ ๐ผ๐ผ0 โก๐ธ๐ธ0 2
2 ๐ ๐ 2๐๐2
๐๐ = 50 ยต๐๐
๐๐ = 0.6 ยต๐๐๐ ๐ = 1 ๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
= ๐๐ ๐๐
๐๐ = ยฑ1, ยฑ2, ยฑ3
๐ ๐ โ 1 ๐๐
๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ =๐๐๐๐๐ ๐
= ๐๐๐๐๐๐
๐๐(๐๐๐๐)
๐๐1
๏ฟฝ๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ0
zeros at geometrical shadow
๐๐โ1
with
๐๐
๐๐
14
Mathematica
15
2. Double Slit
๐๐
๐๐
๐๐
๐ฆ๐ฆ
๏ฟฝ๐๐ 2 โ ๏ฟฝ๐๐ 2
๏ฟฝ๐๐ 2 + ๏ฟฝ๐๐ 2
๏ฟฝโ๐๐2 โ ๏ฟฝ๐๐ 2
๏ฟฝโ๐๐2 + ๏ฟฝ๐๐ 2
๐ง๐ง
16
๐๐๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ ๐
๐ ๐ โก ๐๐2 + ๐ ๐ 2
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๏ฟฝโ๐๐2โ ๏ฟฝ๐๐ 2
๏ฟฝโ๐๐2+ ๏ฟฝ๐๐ 2
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฆ๐ฆ๐๐๐ฆ๐ฆ + ๏ฟฝ๏ฟฝ๐๐ 2โ ๏ฟฝ๐๐ 2
๏ฟฝ๐๐ 2+ ๏ฟฝ๐๐ 2
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฆ๐ฆ๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ =๐๐๐ ๐
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
2 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐
17
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
2 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ = 4 ๐ผ๐ผ0 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐ ๐ผ๐ผ0 โก
๐ธ๐ธ0 2
2 ๐ ๐ 2๐๐2
Mathematica
๐๐
๐๐
18
3. Rectangular Aperture
๐๐
๐๐
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง
19
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐๐2
๏ฟฝ๐๐ 2
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฆ๐ฆ๐๐๐ฆ๐ฆ ๏ฟฝ๏ฟฝโ๐๐2
๏ฟฝ๐๐ 2
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ง๐ง๐๐๐ง๐ง
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐
20
๐๐
๐๐
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ = ๐ผ๐ผ0 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐ผ๐ผ0 โก๐ธ๐ธ0 2
2 ๐ ๐ 2๐๐2 ๐๐2
21
Emission of Semiconductor Laser
22
4. Circular Aperture
๐๐๐๐๐ฆ๐ฆ = ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
๐ง๐ง = ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
23
Observation Plane
ฮฆ๐๐ = ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ฮฆ
๐๐
๐๐ = ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ฮฆ๐๐
๐๐
24
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง = ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ฮฆ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ + ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ฮฆ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
= ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ โ ฮฆ
๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง = ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
๐ธ๐ธ ๐๐,ฮฆ, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ0
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ0
2๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ โฮฆ๐ ๐
ฮฆ = 0Due to axial symmetry, we can choose:
= ๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ฮฆ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ + ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ฮฆ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
25
๐ธ๐ธ ๐๐,ฮฆ, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ0
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ0
2๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐
A couple of integrals to solve:
26
12 ๐๐
๏ฟฝ0
2๐๐
๐๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ โก ๐ฝ๐ฝ0 ๐ข๐ข Bessel function of order zero
๐ธ๐ธ ๐๐,ฮฆ, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ0
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝ0
2๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐
27
๐ธ๐ธ ๐๐,ฮฆ, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ 2 ๐๐๏ฟฝ
0
๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ ๐ฝ๐ฝ0 โ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐
๐ข๐ข โก โ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ 2 ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐
2
๏ฟฝ0
โ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
ฮฑ ๐๐ฮฑ ๐ฝ๐ฝ0 ฮฑ
๐ผ๐ผ โกโ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ =๐ ๐ ๐๐ ๐๐
2
ฮฑ ๐๐ฮฑ
28
๏ฟฝ0
๐ผ๐ผ
๐ผ๐ผ ๐ฝ๐ฝ0 ๐ผ๐ผ ๐๐๐ผ๐ผ โก ๐ผ๐ผ ๐ฝ๐ฝ1 ๐ผ๐ผ
29
๐ธ๐ธ ๐๐,ฮฆ, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ 2 ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐
2
๏ฟฝ0
โ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
ฮฑ ๐๐ฮฑ ๐ฝ๐ฝ0 ฮฑ
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ 2 ๐๐
๐ ๐ ๐๐ ๐๐
2 โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐ฝ๐ฝ1โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐๐2
2 ๐ฝ๐ฝ1๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
30
๐ผ๐ผ ๐๐,ฮฆ = ๐ผ๐ผ02 ๐ฝ๐ฝ1
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
2
๐ผ๐ผ0 โก๐ธ๐ธ0 2
2 ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐2 2
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
๏ฟฝ๐ผ๐ผ ๐ผ๐ผ0
31
zeros at ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
= 3.832, 7.016, 10.173, โฆ
๐๐ ๐๐ ๐๐1๐ ๐
= 3.832
๐๐1๐ ๐
= ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐1 = 3.832๐๐
2 ๐๐ ๐๐= 1.22
๐๐2 ๐๐
first zero at
Light is essentially confined inside the cone: ๐๐๐๐๐๐ ๐๐1 < ๐๐.๐๐๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐
32
Circular Aperture
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ ๐
๐ฆ๐ฆ
๐๐
๐๐
๐๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐1 =๐๐1๐ ๐
= 1.22๐๐
2 ๐๐
๐ ๐ 2๐๐
Airyโspattern
๐๐๐๐1
๐๐1๐๐1
33
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
2๐๐
๐ ๐
๐ ๐
๐๐1} = 0
34
๐ฆ๐ฆ
2๐๐
๐๐1๐๐1
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐1 = 1.22๐๐
2 ๐๐
tan ๐๐1 =๐๐1๐๐
๐๐1
๐๐1 โ 1.22๐๐ ๐๐2 ๐๐
๐๐
Smallest spot size:๐๐1 โ 1.22
๐๐ ๐๐๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
= 1.22๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ ๐
Smallest angular width:๐๐1๐๐
= 1.22๐๐๐๐
๐ ๐ ๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
35
Diameter of primary mirror 2.4 m
Wavelength 0.55 ยตm
Angular width 0.28 ร 10-6 rad
36
๐ก๐ก๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โก๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐2 ๐๐
๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ โก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
2 ๐๐
๐๐
๐๐#
=๐๐
๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
37
Numerical Aperture
๐๐๐๐ โก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
38
๐๐1 = 1.22๐๐๐๐
2 ๐๐๐๐
Smallest spot size from a lens
๐ฆ๐ฆ
2๐๐ = ๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐1๐๐1
๐๐1
๐๐
๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
๐ ๐
๐๐1 = 1.22๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐ โก ๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐ท๐ท๐๐๐๐๐๐๐๐
2 ๐๐
39
Rayleigh Criteria for Resolution
Barely resolved
Resolved
Not resolved
40
๐๐1 = 1.22๐๐๐๐
2 ๐๐๐๐
๐๐๐๐ = 0.55 ๐๐๐๐
3.36 ๐๐๐๐ 1.34 ๐๐๐๐ 0.52 ๐๐๐๐ 0.27 ๐๐๐๐
Examples of Diffraction Limit of Objective Lenses
41
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐๐
๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ ๐
๐ ๐ โก ๐๐2 + ๐๐2 + ๐ ๐ 2
Fraunhofer Diffraction
๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐ฆ2 + ๐ง๐ง2
๐๐ ๐ ๐ โช 1
๐๐๐๐๐๐ ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐๐ ๐ ๐ โช 1
42
In summary, far-field diffraction:
1. Single Slit
2. Double Slit
3. Rectangular Aperture
4. Circular Aperture
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
2 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐
๐ธ๐ธ ๐๐,ฮฆ, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐๐2
2 ๐ฝ๐ฝ1๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
43
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ + ๐๐ ๐ง๐ง๐ ๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝโโ
+โ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐โ ๐๐ ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐ฆ๐ฆ +๐๐๐ง๐ง ๐ง๐ง ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โก๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง
0
inside apertureopaque obstruction
๐๐๐ฆ๐ฆ โก๐๐ ๐๐๐ ๐
Fraunhofer Diffraction as a Fourier Transformation
๐๐๐ง๐ง โก๐๐ ๐๐๐ ๐
{
44
Diffraction Gratings
45
Multiple Slits
๐๐
๐๐
๐ฆ๐ฆ
๐๐ โ๐๐2
๐๐ +๐๐2
๐ง๐ง
๐ต๐ต (infinitely long) slits of width ๐๐ separated by distance ๐๐
+๐๐2
โ๐๐2
๐๐ โ 1 ๐๐ โ๐๐2
๐๐ โ 1 ๐๐ +๐๐2
46
๐๐๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ ๐
๐ ๐ โก ๐๐2 + ๐ ๐ 2
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
โ ๐๐2
+ ๐๐2
+ ๏ฟฝ
๐๐ โ ๐๐2
๐๐ + ๐๐2
+ ๏ฟฝ
2 ๐๐ โ ๐๐2
2 ๐๐ + ๐๐2
+ โฏ + ๏ฟฝ
๐๐โ1 ๐๐ โ ๐๐2
๐๐โ1 ๐๐ + ๐๐2
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ฆ๐ฆ
๐๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ =๐๐๐ ๐
47
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๏ฟฝ๐๐= 0
๐๐โ1
๐๐โ ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
1 โ ๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
1 โ ๐๐โ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐โ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐+๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐ โ ๐๐โ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐+๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐ โ ๐๐โ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ ๐ โ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐โ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐๐โ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
sin ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
sin ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
48
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ = ๐ผ๐ผ0 ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐ผ๐ผ0 โก๐ธ๐ธ0 2
2 ๐ ๐ 2๐๐2
Intensity Pattern
Mathematica
๐๐ = 1
๐๐ = 4
๐๐ = 1
๐ ๐ = 1
49
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐ ๐ 2๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐ โ 1
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ โ ๐ผ๐ผ0๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
Small Width Approximation:
๐๐ = 0.1
๐๐ = 4
๐๐ = 1
๐ ๐ = 1
50
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
= ๐๐ ๐๐ ๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก = ๐๐2 ๐ผ๐ผ0
Maxima (intensity peaks)
๐๐ = 0, ยฑ1, ยฑ2, โฆ
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐grating equation
grating order
51
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐
2 ๐ ๐ = ๐๐ ๐๐
๐๐ = 1, 2, 3, โฆ , (๐๐ โ 1)
Minima (zero intensity)
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
=๐๐๐๐๐๐
๐๐ = 0.1
๐๐ = 4
๐๐ = 1
๐ ๐ = 10 <
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
< ๐๐
๐๐ = 0 ๐๐ = 1
10โ1 ๐๐2โ2
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ โ ๐ผ๐ผ0๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
๐ ๐ ๐๐๐ ๐ 2 ๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
52
Angular Width
๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ + โ๐๐2
2= ๐๐ ๐๐ +
1๐๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐๐2 ๐ ๐
=๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐
2
โ๐๐ =2 ๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ โ๐๐2
2โ
1๐๐๐๐
๐๐
53
Spectral Resolution
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐
โ๐๐๐๐๐๐๐๐ =๐๐
๐๐ ๐๐
๐๐๐๐ โกโ๐๐2
=๐๐
๐๐ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ โก โ๐๐๐๐๐๐๐๐
54
Free Spectral Range
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ = ๐๐ + 1 ๐๐ = ๐๐ ๐๐ + โ๐๐๐น๐น๐น๐น๐ ๐
โ๐๐๐น๐น๐น๐น๐ ๐ =๐๐๐๐
55
Oblique Incidence
Normal Incidence
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ โ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐
56
Fresnel Diffraction
Going beyond the Fraunhofer (far-field) approximation
or
getting closer to the aperture
57
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง = ๐ ๐ 2 + ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐๐
๐ ๐
๐๐
๐๐
๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โ ๐ ๐ +1
2 ๐ ๐ ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 +
12 ๐ ๐
๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง
๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง โ ๐๐ ๐ก๐ก + ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
= ๐ ๐ 1 +๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2
๐ ๐ 2+
๐๐ โ ๐ง๐ง 2
๐ ๐ 2
๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ 2 + ๐๐ โ ๐ง๐ง 2 2
๐ ๐ 4โช ๐๐
58
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐๐๐2 ๐๐ ๐๐โ๐ฆ๐ฆ 2+ ๐๐โ๐ง๐ง 2
๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐ฆ๐ฆ 2+ ๐๐โ๐ง๐ง 2
๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
๐ธ๐ธ0 ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง ๐๐๐๐ ๐๐ ๐ฆ๐ฆ, ๐ง๐ง =๐ธ๐ธ0
0
Inside the aperture
Outside the aperture{
Flat Wavefront Illumination
59
๐พ๐พ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ
๐๐๐ฆ๐ฆ = โ๐๐ ๐ ๐ 2
๐๐๐พ๐พ
๐ฟ๐ฟ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ง๐ง
๐๐๐ง๐ง = โ๐๐ ๐ ๐ 2
๐๐๐ฟ๐ฟ
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๏ฟฝ
๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐โ๐ฆ๐ฆ 2+ ๐๐โ๐ง๐ง 2
๐๐๐ฆ๐ฆ ๐๐๐ง๐ง
=๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก
๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐ 2
๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐2 ๐พ๐พ2+ ๐ฟ๐ฟ2 ๐๐๐พ๐พ ๐๐๐ฟ๐ฟ
=๐๐ ๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก
2๏ฟฝ๐พ๐พ1
๐พ๐พ2
๐๐๐๐๐๐2 ๐พ๐พ
2๐๐๐พ๐พ ๏ฟฝ
๐ฟ๐ฟ1
๐ฟ๐ฟ2
๐๐๐๐๐๐2 ๐ฟ๐ฟ
2๐๐๐ฟ๐ฟ
60
๏ฟฝ๐พ๐พ1
๐พ๐พ2
๐๐๐๐๐๐2 ๐พ๐พ
2๐๐๐พ๐พ = ๏ฟฝ
๐พ๐พ1
๐พ๐พ2
cos๐๐2๐พ๐พ2 ๐๐๐พ๐พ + ๐๐ ๏ฟฝ
๐พ๐พ1
๐พ๐พ2
sin๐๐2๐พ๐พ2 ๐๐๐พ๐พ
= ๐๐ ๐พ๐พ2 โ ๐๐ ๐พ๐พ1 + ๐๐ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ1
๏ฟฝ๐ฟ๐ฟ1
๐ฟ๐ฟ2
๐๐๐๐๐๐2 ๐ฟ๐ฟ
2๐๐๐ฟ๐ฟ = ๏ฟฝ
๐ฟ๐ฟ1
๐ฟ๐ฟ2
cos๐๐2๐ฟ๐ฟ2 ๐๐๐ฟ๐ฟ + ๐๐ ๏ฟฝ
๐ฟ๐ฟ1
๐ฟ๐ฟ2
sin๐๐2๐ฟ๐ฟ2 ๐๐๐ฟ๐ฟ
= ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ1 + ๐๐ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ1
๐๐ ๐๐ โก ๏ฟฝ0
๐๐
cos๐๐2๐๐2 ๐๐๐๐ ๐ฎ๐ฎ ๐๐ โก ๏ฟฝ
0
๐๐
sin๐๐2๐๐2 ๐๐๐๐
61
ร ๐๐ ๐พ๐พ2 โ ๐๐ ๐พ๐พ1 + ๐๐ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ1
ร ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ1 + ๐๐ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ1
๐ธ๐ธ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก =๐๐ ๐ธ๐ธ0 ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐ก๐ก
2
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ =๐ผ๐ผ04 ร ๐๐ ๐พ๐พ2 โ ๐๐ ๐พ๐พ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ1 2
ร ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ1 2
62
๐๐ ๐๐ โก ๏ฟฝ0
๐๐
cos๐๐2๐๐โฒ2 ๐๐๐๐๐ฅ
๐ฎ๐ฎ ๐๐ โก ๏ฟฝ0
๐๐
sin๐๐2๐๐๐ฅ2 ๐๐๐๐๐ฅ
๐๐ ๐๐
๐ฎ๐ฎ ๐๐
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ ๐๐๐ฎ๐ฎ ๐๐
63
๐๐ ๐๐ โก ๏ฟฝ0
๐๐
cos๐๐2๐๐2 ๐๐๐๐
๐ฎ๐ฎ ๐๐ โก ๏ฟฝ0
๐๐
sin๐๐2๐๐2 ๐๐๐๐
๐๐๐๐ ๐๐ = cos๐๐2๐๐2 ๐๐๐๐
๐๐๐ฎ๐ฎ ๐๐ = sin๐๐2๐๐2 ๐๐๐๐
๐ฎ๐ฎ ๐๐
๐๐ ๐๐
๐๐๐๐ 2 + ๐๐๐ฎ๐ฎ 2 = ๐๐๐๐ 2
๐๐๐๐๐๐๐ฎ๐ฎ๐๐๐๐
64
Applications of Fresnel Diffraction1.No obstruction
2.Straight edge
3. Single slit
4. Rectangular aperture
5. Opaque circular disk
65
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ =๐ผ๐ผ04 ร ๐๐ ๐พ๐พ2 โ ๐๐ ๐พ๐พ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ1 2
ร ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ1 2
1. No Obstruction
๐พ๐พ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ
๐ฟ๐ฟ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง
๐พ๐พ2 = โโ
๐พ๐พ1 = +โ๐ฟ๐ฟ2 = โโ ๐ฟ๐ฟ1 = +โ
=๐ผ๐ผ04
ร โ0.5 โ 0.5 2 + โ0.5 โ 0.5 2 ร โ0.5 โ 0.5 2 + โ0.5 โ 0.5 2
= ๐ผ๐ผ0 No surprises here, just the obvious result !!
66
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ =๐ผ๐ผ04
ร ๐๐ ๐พ๐พ2 โ ๐๐ ๐พ๐พ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ1 2
ร ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ1 2
๐พ๐พ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ
๐ฟ๐ฟ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง๐พ๐พ2 = 2
๐๐ ๐๐๐๐
๐พ๐พ1 = +โ๐ฟ๐ฟ2 = โโ ๐ฟ๐ฟ1 = +โ
=๐ผ๐ผ04
ร ๐๐2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ 0.5
2
+ ๐ฎ๐ฎ2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ 0.5
2
ร 2
2. Straight Edge
67
๐ฎ๐ฎ ๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ = 0
๐๐ > 0
๐๐ < 0 ๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก /๐ผ๐ผ0
๐๐
๐๐ ๐ ๐ = 2
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ =๐ผ๐ผ02
ร ๐๐2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ 0.5
2
+ ๐ฎ๐ฎ2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ 0.5
2
68
69
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ =๐ผ๐ผ04
ร ๐๐ ๐พ๐พ2 โ ๐๐ ๐พ๐พ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐พ๐พ1 2
ร ๐๐ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐๐ ๐ฟ๐ฟ1 2 + ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ2 โ ๐ฎ๐ฎ ๐ฟ๐ฟ1 2
๐พ๐พ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ฆ๐ฆ
๐ฟ๐ฟ โก2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐ง๐ง
๐ฆ๐ฆ
๐ง๐ง๐พ๐พ2 =
2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐2
๐พ๐พ1 =2๐๐ ๐ ๐
๐๐ + ๐๐2๐ฟ๐ฟ2 = โโ ๐ฟ๐ฟ1 = +โ
=๐ผ๐ผ04
ร ๐๐2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐2 โ ๐๐
2๐๐ ๐ ๐
๐๐ + ๐๐2
2
+ ๐ฎ๐ฎ2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐2 โ ๐ฎ๐ฎ
2๐๐ ๐ ๐
๐๐ + ๐๐2
2
ร 2
3. Single Slit
๐๐
70
๐ฎ๐ฎ ๐๐
๐๐ ๐๐๐๐ = 0
๐๐ > 0
๐๐ < 0
๐ผ๐ผ ๐๐,๐๐ =๐ผ๐ผ02
ร ๐๐2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐2 โ ๐๐
2๐๐ ๐ ๐
๐๐ + ๐๐2
2
+ ๐ฎ๐ฎ2๐๐ ๐ ๐
๐๐ โ ๐๐2 โ ๐ฎ๐ฎ
2๐๐ ๐ ๐
๐๐ + ๐๐2
2
๐พ๐พ1 โ ๐พ๐พ2 =2๐๐ ๐ ๐
๐๐
๐พ๐พ1 + ๐พ๐พ22
=2๐๐ ๐ ๐
๐๐
71
๐๐ = 10 ๐๐
๐๐
๐๐๐น๐น โก๐๐2
4 ๐๐ ๐ ๐
๐๐๐น๐น = 10
๐๐๐น๐น = 1
๐๐๐น๐น = 0.5
๐๐๐น๐น = 0.1
๐๐ = 1
๐ ๐ = 2.5 ๐๐
๐ ๐ = 25 ๐๐
๐ ๐ = 50 ๐๐
๐ ๐ = 250 ๐๐
Near field
Far field
Fresnel number
72
Mathematica
73
4. Rectangular Aperture
74
5. Circular Objects
Poisson (Arago) spot