Differentieer regels De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: Differentieerregel 1 (machtsregel): Als f(x)= cx n dan is f'(x)= ncx n –1 voor elke c en voor gehele positieve n. Differentieerregel 2 (constante-regel): Als f(x)= c dan is f'(x) = 0. Differentieerregel 3 (somregel): h x f h x f x f h ) ( ) ( lim ) ( ' 0
Differentieer regels. De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie: Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels: - PowerPoint PPT Presentation
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Differentieer regels
De afgeleide van een functie f is volgens de limietdefinitie:
Meestal bepaal je de afgeleide niet met deze limietdefinitie, maar door te differentiëren. Je kent al een aantal differentieerregels:
Differentieerregel 1 (machtsregel):Als f(x) = cxn dan is f'(x) = ncxn – 1 voor elke c en voor gehele positieve n.
Differentieerregel 2 (constante-regel):Als f(x) = c dan is f'(x) = 0.
Differentieerregel 3 (somregel):Als f(x) = u(x) ± v(x) dan is f'(x) = u'(x) ± v'(x).
h
xfhxfxf
h
)()(lim)('
0
Voorkennis
f(x) = ax3
f’(x) = 3ax²g(x) = ax4
g’(x) = 4ax3
h(x) = ax5
h’(x) = 5ax4
algemeen geldt :k(x) = axn
k’(x) = n · axn-1
oude exponent ervoor zetten
nieuwe exponent 1 minder (4-1=3)
12.1
Voorkenniswerkschema: het algebraïsch berekenen van extreme waarden
1 bereken f’(x).2 los algebraïsch op f’(x) = 0.3 voer de formule van f in op de GR plot en schets de grafiek kijk in de grafiek of je met max. en/of min. te maken hebt.4 bereken de y-coördinaten van de toppen en noteer het antwoord in de vorm max. is f(…) = … en min. is f(…) = …
raaklijn in een top is horizontaal afgeleide is 0
12.1
De afgeleide functie
Bij een functie hoort een hellingfunctie.I.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruikt.notatie : f’ (f-accent)regels voor de afgeleide :f(x) = a geeft f’(x) = 0f(x) = ax geeft f’(x) = af(x) = ax² geeft f’(x) = 2ax
De productfunctie van f en g is dan: p(x) = f(x) · g(x) = x3 · x2.
Je zou kunnen vermoeden dat de afgeleide van p gewoon het product is van f' en g': p'(x) = f'(x) ·g'(x) = 3x2 · 2x.
Maar dat is fout! Immers p(x) = x5 en dus moet p'(x) = 5x4 zijn.
Op dezelfde wijze kun je nagaan dat ook de quotiëntfunctie q(x) = f(x) / g(x) niet eenvoudig kan worden gedifferentieerd door de afgeleide van de teller f te delen door die van de noemer g.
De productregel
De quotiëntregel
7.1
De productregel:
)()()()( xgxfxgxf
h
xphxpxp
h
)()(lim)('
0
h
xghxgxfhxg
h
xfhxfhh
))()(()(lim)(
))()((lim
00
Als p(x) = f(x) · g(x) dan is p'(x) = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x).
Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide is:
h
xghxgxf
h
hxgxfhxfhh
))()(()(lim
)())()((lim
00
h
xghxgxfhxgxfhxfh
))()(()()())()((lim
0
h
xgxfhxgxfhxgxfhxghxfh
)()()()()()()()(lim
0
h
xgxfhxghxfh
)()()()(lim
0
v.b. productregel )32)(4()( 32 xxxxf
)23)(4()32(2)( 223 xxxxxxf
8665)( 24 xxxxf
12832 235 xxxx
128432 3235 xxxxx
81223642 22424 xxxxxx
opgave 5a
f (x) = (4x2 – 1)(3x + 2)f’ (x) = 8x · (3x + 2) + (4x2 – 1) · 3Stel k : y = ax + ba = f’ (-1) = 17k : y = 17x + byA = f (-1) = -3
dus A(-1, -3).
Dus k : y = 17x + 14.
y = 17x + b-3 = 17 · -1 + b14 = b
Opgave 7
Opgave 8
5)42
1()( 23 xxf
O(∆ABC) = ½ · AC · ABAC = OC – OA = 4 – pAB = yB = f (p) = p2 – 2p + 3
Dus O = ½(4 – p)(p2 – 2p + 3) O = (2 - ½p)(p2 – 2p + 3)
opgave 9a
opgave 9b
In de schets van de grafiek van O als functie van p is te zien dat O maximaal is voorp = 58
6 3
32,
De ABC-formule
ax2 + bx + c = 0
De discriminant D = b2 – 4ac
D < 0 geeft geen oplossingen.D = 0 geeft 1 oplossing.D > 0 geeft 2 oplossingen.
2 2
b D b Dx x
a a
12.2
Opgave 17
x
xxf
32)(
opgave 19
a
Stel k : y = ax + b
dus
Dus
2 214 4
( ) 4x x
f x x xx x x
22
4'( ) 1 4 1f x x
x
2
4 5'(3) 1
3 9a f
5:
9k y x b
23 4 13(3)
3 3f
13(3, )
3A
13 53
3 9b
8
3b
5 8:
9 3k y x
12.2
b rcraaklijn = -3, dus f’ (x) = -3
x2 = 1
x = -1 v x = 1
f(-1) = -5 en f(1) = 5
De raakpunten zijn (-1, -5) en (1, 5)
2
41 3
x
2
44
x
2
4 4
1x
opgave 19
c f’ (x) = 0geeft
x2 = 4 x = -2 v x = 2
max. is f(-2) = -4en
min. is f(2) = 4
2
41 0
x
2
41
x
opgave 19
d f’ (x) = 2geeft
x2 = -4Omdat een kwadraat niet negatief kan zijn,heeft de vergelijking x2 = -4 geen oplossingen.Dus er is geen raaklijn met rc = 2.
2
41 2
x
2
41
x
opgave 19
Opgave 23
3 2)( xxf
a
geeft
f’ (x) = 0 geeft
x = 4
f (4) = 4 · √4 – 3 · 4 = -4
Min. is f(4) = -4.
b rcraaklijn = f’ (0) = 1½ · √0 – 3 = -3
Raaklijn y = -3x
c rcraaklijn = 3 dus f’ (x) = 3
1½√x – 3 = 3
1½√x = 6
√x = 4 x = 16
f (16) = 16 dus A(16, 16)
raaklijn l : y = 3x + b
opgave 241
12( ) 3 3f x x x x x x
1
21 1
'( ) 1 3 1 32 2
f x x x
11 3 0
2x
11 3
2x
2x
16 = 3 · 16 + b
-32 = b l : y = 3x - 32
Als s(x) = f (g(x)) dan is s‘ (x) = f‘ (g(x)) · g‘ (x).
Bewijs :Volgens de limietdefinitie van de afgeleide:
Verder is g(x + h) ≈ g(x) + h · g'(x) (lineaire benadering van functie g).
En dus:
Als h naar 0 nadert, dan nadert ook h · g'(x) naar 0 (als g'(x) bestaat.)
En daarom vind je: s'(x)=f'(g(x)) g'(x)⋅ .
De kettingregel:
)(.)(.
))(())(.)((lim
))(())(.)((lim)('
0
0
xgxgh
xgfxghxgfh
xgfxghxgfxs
h
h
h
xgfhxgfxs
h
))(())((lim)('
0
dy
du
du
dy
dx
dy
v.b. kettingregel
xxxxf
xxx
xxxf
50304)(
2510
)5()(
23
234
22
xxx
xxx
dx
du
du
dy
dx
dy
udu
dy
xdx
du
uy
xxu
50304
)52()5(2
2
52
5
23
2
2
2
De kettingregel
Kettingregel:
Ga bij het berekenen van de afgeleide van een kettingfunctiey = f (x) als volgt te werk.• Schrijf f als een ketting van twee functies.• Bereken van ieder van de twee functies de afgeleide.• Druk het product van de afgeleide functies uit in x.
dy dy du
dx du dx
De afgeleide van een kettingfunctie is het product van de afgeleiden van
½x2 – 2x = 0 v x – 2 = 0 x(½x – 2) = 0 v x = 2 x = 0 v x = 4 v x = 2
c Stel l : y = ax + ba = f’ (6) = 3(½ · 62 – 2 · 6)2(6 – 2) = 432dus l : y = 432x + byA = f(6) = (½ · 62 – 2 · 6)3 = 216
dus A(6, 216)
23dy
udu
2du
xdx
216 = 432 · 6 + b216 = 2592 + b-2376 = b l : y = 432x - 2376
x
y
O
f
Opgave 35
xxxf 28)(
Opgave 32
xxxxf 59)( 22
Opgave 38
Sinus, cosinus en tangens
O (1,0)
y
xA
α
P (xP,yP)
1sin α = = = yP
cos α = = = xP
tan α = =
PQ
OP
yP
1OQ
OP
xP
1Q
∟
sos cas toa
xP
yP
1
PQ
OQ
yp
xp
12.4
De exacte-waarden-cirkel
12.4
opgave 43
Los op f (x) = 0 met domein [0, 2π].sin2(x) + sin(x) = 0sin(x)(sin(x) + 1) = 0sin(x) = 0 v sin(x) = -1x = k · π v x = 1½π + k · 2πOp domein [0, 2π] geeft dat de nulpuntenx = 0 v x = π v x = 2π v x = 1½π
f (x) ≤ 0 geeft x = 0 v π ≤ x ≤ 2π.
Ox
y
½π π 1½π 2π
f
∙ ∙ ∙ ∙
opgave 46a
O 1
y
xα
-1
1
-1
2 sin (½x) = 1sin (½x) = ½½x = π + k · 2π v ½x = π + k · 2π x = π + k · 4π v x = π + k · 4π
In de praktijk gaat het bij problemen vaak om het vinden van een maximum of minimum.
Voorbeelden van optimaliseringsproblemen zijn:Bij welke afmetingen is de oppervlakte bij een gegeven omtrek het grootst ?Wat zijn de afmetingen van de doos met de grootste inhoud die je uit een gegeven rechthoekig stuk karton kunt maken ?Bij welke route horen de laagste kosten ?
12.6
opgave 65a
Stel de hoogte is h dm.K = kosten bodem + kosten zijkanten
2
2
2 0,4 2 2 0,2 2 0,2
0,8 1,2
2 2
72
K x x x h x h
K x xh
I x x h x h
I
2
2
2 72
36
x h
hx
22
2
360,8 1,2
43,20,8
K x xx
K xx
72 dm3
opgave 65b 2 1
2
2
3
2
3
3
3
2
2
0,8 43,2
1,6 43,2
43,21,6
1,6 43,2
0
1,6 43,2 0
1,6 43,2
27
3
364
3
43,20,8 3
3
K x x
dKx x
dxdK
xdx x
dK x
dx xdK
dx
x
x
x
x
h
geeft
geeft
Dus K is minimaal bij de afmetingen 6 bij 3 bij 4 dm.De minimale kosten zijn
= 21,6 euro
geeft
opgave 67
De oppervlakte is x · y = 75
dus y =
De kosten van de afrastering zijn
K = 10x + 20(x + 2y) = 30x + 40y
K = 30x + 40 · = 30x +
= [30x + 3000x-1]’
= 30 – 3000x-2 = 30 –
= 0 geeft 30 =
30x2 = 3000
x2 = 100
x = 10 v x = -10
De kosten zijn minimaal bij de afmetingen 10 m en 7½ m.
75 x
75 x
3000 x
dK dxdK dx
3000 x2
dK dx
3000 x2
€10
€20
€20
€20
x
y
x
y
10
opgave 68a
K = kosten langs het bos + kosten in het weilandK = y · 60 + (x + y) · 15K = 60y + 15x + 15yK = 15x + 75yO = xyO =1200
1200
1200
xy
yx
120015 75
9000015
K xx
K xx
opgave 68b 1
2
2
2
2
2
2
2
15 90000
15 90000
9000015
15 90000
0
15 90000 0
15 90000
6000
6000
77,5
120015,5
6000
9000015 6000
6000
K x x
dKx
dxdK
dx x
dK x
dx xdK
dx
x
x
x
x
x
y
geeft
geeft
geeft
Dus kosten zijn minimaal bij de afmetingen 77,5 bij 15,5 m.De minimale kosten zijn
≈ 2324 euro
opgave 68c
1
2
2500
9000015 2500
9000015
2500
52,6
120022,8
52,6
114,1
120010,5
114,1
K
xx
y xx
y
x
y
x
y
geeft
geeft
geeft
Voer in
De optie intersect geeft x ≈ 52,60 en x ≈ 114,1
Aangezien Wunderink de rechthoek minder lang en smal wil zal hij kiezenvoor de afmetingen 52,6 bij 22,8 m.