Differential Equation Theory_e

8/12/2019 Differential Equation Theory_e

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CK\E^

"ckojseùckrpeysjns.jo" ;

Jot rdlunt jdo 7Ko fquktjdo jovdbvjom jolfpfolfot kol lfpfolfot vkrjkabfs kol tef lfrjvktjvfs dh tef lfpfolfot vkrj-

kabfs js nkbbfl k ljhhfrfotjkb fquktjdo. \efrf krf twd `jols dh ljhhfrfotjkb fquktjdo7

;.; Drljokry Ljhhfrfotjkb Fquktjdo 7 Jh tef lfpfolfot vkrjkabfs lfpfol do dof jolfpfolfot vkrj-kabf x, tefo tef ljhhfrfotjkb fquktjdo js skjl td af drljokry.

hdr fxkcpbflx

ly+

lx

lz3 y + z,

lx

ly+ xy 3 sjo x ,

lx

ly1

lx

yl>

>

+ y 3 fx ,

` 1

1

lx

yl3

1/>1

lx

ly;

, y 3 x

lx

ly+ `

1

lx

ly;

;.1 Ykrtjkb ljhhfrfotjkb fquktjdo 7 Jh tef lfpfolfot vkrjkabfs lfpfol do twd dr cdrf jolfpfo-lfot vkrjkabfs, tefo jt js òdwo ks pkrtjkb ljhhfrfotjkb fquktjdo

hdr fxkcpbf y1y

zy

x

z 1

3 kx, 9y

z

x

z1

1

1

1

Drlfr kol Lfmrff dh k Ljhhfrfot jk b Fqukt jdo71.; Drlfr 7 Drlfr js tef ejmefst ljhhfrfotjkb kppfkrjom jo k ljhhfrfotjkb fquktjdo.1 . 1 Lfmrff 7

Jt js lftfrcjofl ay tef ejmefst lfmrff dh tef ejmefst drlfr lfrjvktjvf prfsfot jo jt khtfr tef

ljhhfrfotjkb fquktjdo js nbfkrfl dh rkljnkbs kol hrkntjdos sd hkr ks tef lfrjvktjvfs krf ndonfrofl.

Odtf 7 Jo tef ljhhfrfotjkb fquktjdo, kbb tef lfrjvktjvfs sedubl af fxprfssfl jo tef pdbyodcjkb hdrc

h;

(x, y)

;o

c

c

lx

yl

+ h

1(x, y)

1o

;c

;c

lx

yl

+ ........ h (x, y)

ò

lx

ly

3 9

\ef kadvf ljhhfrfotjkb fquktjdo eks tef drlfr c kol lfmrff o ;.

Fxkcpbf # ;

Hjol tef drlfr & lfmrff dh hdbbdwjom ljhhfrfotjkb fquktjdos.

(j) 1

1

lx

yl3


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" 1

^dbutjdo.

(j)

lx

yl

f x 1

1

lx

yl+ y 3 9

fquktjdo nko odt af fxprfssfl ks k pdbyodcjkb jo ljhhfrfotjkb ndfhhjnjfots, sd lfmrff js

odt kppbjnkabf aut drlfr js >.

^fbh Yrkntjnf Yrdabfcs 7

(;) Hjol drlfr kol lfmrff dh tef hdbbdwjom ljhhfrfotjkb fquktjdos.

(j)lx

ly+ y 3

lx

ly

;(jj)

>

>

lx

yl

lx

ly

f 3 o

;

lx

yl6

6

(jjj)

11/;

y

lx

ly

3

1

1

lx

yl

Koswfr (;) (j) drlfr 3 ;, lfmrff 3 1 ( jj) drlfr 3 6, lfmrff 3 odt kppbj nkab f.

(jjj) drlfr 3 1, lfmrff 3 1

Hdrcktjdo dh L jh hf rfot jk b Fqukt jdo7Ljhhfrfotjkb fquktjdo ndrrfspdoljom td k hkcjby dh nurvf wjbb ekvf 7

(k) Drlfr fxkntby skcf ks oucafr dh fssfotjkb krajtrkry ndostkots jo tef fquktjdo dh nurvf.

(a) Od krajtrkry ndostkot prfsfot jo jt.

\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo ndrrfspdoljom td k hkcjby dh nurvf nko af datkjofl ay usjom tef hdbbdwjomstfps7

(j) Jlfotjhy tef oucafr dh fssfotjkb krajtrkry ndostkots jo fquktjdo dh nurvf.

OD\F 7 Jh krajtrkry ndostkots kppfkr jo klljtjdo, suatrkntjdo, cubtjpbjnktjdo dr ljvjsjdo, tefo wf nko

nbua tefc td rflunf jotd dof ofw krajtrkry ndostkot.

(jj) Ljhhfrfotjktf tef fquktjdo dh nurvf tjbb tef rfqujrfl drlfr.

(jjj) Fbjcjoktf tef krajtrkry ndostkot hrdc tef fquktjdo dh nurvf kol klljtjdokb fquktjdos datkjofl jo

stfp (jj) kadvf.

Fxkcpbf # 1

Hdrc k ljhhfrfotjkb fquktjdo dh hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume drjmjo.^dbutjdo

Hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume drjmjo js y 3 cx wefrfc js k pkrkcftfr.


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" >

Ljhhfrfotjktjom w.r.t. x

lx

ly3 c

Fbjcjoktjom c hrdc adte fquktjdos, wf datkjo

lx

ly3

x

ywejne js tef rfqujrfl ljhhfrfotjkb fquktjdo.

Fxkcpbf # >

Hdrc k ljhhfrfotjkb fquktjdo dh hkcjby dh njrnbfs tdunejom x-kxjs kt tef drjmjo

^dbutjdo

Fquktjdo dh hkcjby dh njrnbfs tdunejom x-kxjs kt tef drjmjo js

x1 + y1 +y 3 9 ..........(j) wefrfjs k pkrkcftfr

1x + 1ylx

ly+

lx

ly3 9 .........(jj)

Fbjcjoktjom hrdc (j) kol (jj)

lx

ly

3 11 yx

xy1

wejne js rfqujrfl ljhhfrfotjkb fquktjdo.


(1) Datkjo k ljhhfrfotjkb fquktjdo dh tef hkcjby dh nurvfs y 3 k sjo (ax + n) wefrf k kol n afjom

krajtrkry ndostkot.

(>) ^edw tekt tef ljhhfrfotjkb fquktjdo dh tef systfc dh pkrkadbks y1 3


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo"

x>+ n (5) y 3 x + o |x (; + y)| + n

(:) fy x 3 x + n (;9) bdm ;1

yxtko

3 x + n (;;) sjo (y x) 3

n1

x1

f

6.1 Edcdmfofdus Ljh hfrfot jk b Fqukt jdos 7K ljhh frfotjkb fquktjdo dh tef hdrc

lx

ly3

)y,x(m

)y,x(hwefrf h kol m krf edcdmfofdus huontjdo dh


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" 5

x kol y, kol dh tef skcf lfmrff, js nkbbfl edcdmfofdus ljhhfrfotjkb fqukjtdo kol nko af

sdbvfl fksjby ay puttjom y 3 vx.

Fxkcpbf # ;9

^dbvf 1x

y+

;

x

y 1

lx

ly

^dbutjdo.

Yuttjom y 3 vx

lx

ly3 v + x

lx

lv

1v + (v1 ;)

lx

lvxv 3 9

v + xlx

lv3

;v

v11

x lx

lv

3 ;v

)v;(v1

1

)v;(v

;v1

1

lv 3 xlx

v;

v;

v11 lv 3 o x + n

o (; + v1) o v 3 o x + n

o x.v

v; 13 n

o y

yx 11 3 n

x1 + y1 3 yn' wefrf n3 fn

Fxkcpbf # ;;

^dbvf 7 (x1 y1) lx + 1xyly 3 9 mjvfo tekt y 3 ; wefo x 3 ;

^dbutjdo.

lx

ly3

xy1

yx 11

y 3 vx

lx

ly3 v +

lx

lv

v + xlx

lv3

v1

v; 1

1v;v1

lv 3 xlx

o (; + v1) 3 ox + n

kt x 3 ;, y 3 ; v 3 ;o 1 3 n


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" :

o

x.

x

y;

1

1

3 o1

x1 + y1 3 1x

6.1.; Fqukt jdos Qflunjabf td tef Edcdmfofdus hdrcFquktjdos dh tef hdrc

NAyKxnaykx

lxly .........(;)

nko af cklf edcdmfofdus (jo ofw vkrjkabfs U kol Z) ay suastjtutjom x 3 U + e kol y 3 Z + `,

wefrf e kol ` krf ndostkots td datkjo,lU

lZ3

)NA`Ke(AZKU

)na`ke(aZkU

. .........(1)

\efsf ndostkots krf nedsfo sune tekt ke + a` + n 3 9, kol Ke + A` + N 3 9. \eus wf datkjo

tef hdbbdwjom ljhhfrfotjkb fquktjdolU

lZ3

AZKU

aZkU

.

\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo nko odw af sdbvfl ay suastjtutjom Z 3 vU.

Fxkcpbf # ;1

^dbvf tef ljhhfrfotjkb fquktjdolx

ly3


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;9

)v;(1>

);v(1

;lv 3 o U + n

1

;o (v + ;)

1

>o (; v) 3 o U + n

o >

)v;(

;v

3 oU1 + 1n

>)ZU(

)UZ(

1

1

U

U3 f1n

U + Z 3 n(U Z)> wefrf f1n 3 n;

x ; + y 1 3 n(x ; y + 1)>

x + y > 3 n (x y + ;)>

^pfnjkb nksf 7

Nksf - ; Jo fquktjdo (;) jhA

a

K

k , tefo tef suastjtutjdo kx + ay 3 v wjbb rflunf jt td tef hdrc jo

wejne vkrjkabfs krf sfpkrkabf.

Fxkcpbf # ;>

^dbvflx

ly3

6y8xx1

^dbutjdo.

Yuttjom u 3 1x + >y

lx

lu3 1 + > .

lx

ly

>

;

1

lx

lu3

6u1

;u

lx

lu3

6u1

;9uu>

;>u=

6u1lx 3 lx

=

1 lu.; =

: ;>u=

;. lu 3 x + n

=

1u

=

:.

=

;o (=u ;>) 3 x + n


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;;

x + 8y =

:o (;) 3 n

Nksf - 1 Jo fquktjdo (;), jh a + K 3 9, tefo ay k sjcpbf nrdss cubtjpbjnktjdo fquktjdo (;) afndcfs

ko fxknt ljhhfrfotjkb fquktjdo.

Fxkcpbf # ;y1x

(;6)lx

ly3

>y1x1

;yx

(;8) lx

ly

3 6x1y>

6y1x>

Koswfrs (;1) 11 yx 3 xy

tkox

y ;

f

(;>) x sjox

y3 N

(; (;6) >(1y x) + bdm (>x + >y + x1 + y1 ;9x ;9y 3 N


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CK\E^


6.> F xknt Lj hh frfo tjkb Fquk tjdo 7\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo C + O

lx

ly3 9 ...........(;)

]efrf C kol O krf huontjdos dh x kol y js skjl td af fxknt jh jt nko af lfrjvfl ay ljrfnt

ljhhfrfotjktjdo (wjtedut koy suasfqufot cubtjpbjnktjdo, fbjcjoktjdo ftn.) dh ko fquktjdo dh tef

hdrc h(x, y) 3 n

f.m. y1 ly + x lx +x

lx 3 9 js ko fxknt ljhhfrfotjkb fquktjdo.

OD\F 7(j) \ef ofnfsskry ndoljtjdo hdr (;) td af fxknt jsx

O

y

C

.

(jj) Hdr hjoljom tef sdbutjdo dh fxknt ljhhfrfotjkb fquktjdo, hdbbdwjom rfsubts do fxknt ljhhfrfotjkbs

sedubl af rfcfcafrfl 7

(k) xly + y lx 3 l(xy) (a) 1x

ylxxly3 l

x

y(n) 1(x lx + y ly) 3 l (x1 + y1)

(l)xy

ylxxly3 l

x

ybo (f) 11 yx

ylxxly

3 l

x

ytko ; (h)

xy

ylxxly 3 l(bo xy)

(m) 11 yx

ylxxly3 l

xy

;

Fxkcpbf # ;6

^dbvf 7 y lx + x ly 3 11 yx

ylxxly

^dbutjdo.

ylx + xly 3 11 yx

ylxxly

l (xy) 3 l (tko; y/x)

Jotfmrktjom adte sjlfs

xy 3 tko; y/x + n

Fxkcpbf # ;8

^dbvf 7 (1x oy) lx + 9lyy>y

x 11

^dbutjdo.

\ef mjvfo fquktjdo nko af wrjttfo ks

oy (1x) lx + x1

y

ly+ >y1 ly 3 9

oy l (x1) + x1 l (oy) + l (y>) 3 9 l (x1 oy) + l (y>) 3 9Odw jotfmrktjom fkne tfrc, wf mft

x1oy + y> 3 n


(;=) ^dbvf 7 xly + ylx + xy fy ly 3 9


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;>

1

f 3 )x;(o

>

f 3 ; + x>

Mfofrkb sdbutjdo js

y(H) 3 nlx).JH([

y (; + x>) 3

>

1

x;

xsjo(; + x>) lx + n

y(; + x>) 3

1

x1nds;lx + n

y(; + x>) 31

;x

x + n

8.1.1 Afrodub bj s fqukt jdo 7Fquktjdos dh tef hdrc

lx

ly+ Yy 3 [.yo, o 9 kol o ;

wefrf Y kol [ krf huontjdos dh x, js nkbbfl Afrodubbjs fquktjdo kol nko af cklf bjofkr jo v ay

ljvjljom ay yo kol puttjom yo+; 3 v. Odw jts sdbutjdo nko af datkjofl ks jo (v).

f.m. 7 1 sjo xlxly y nds x 3 xy> fx .

Fxkcpbf # 1;

^dbvf 71

1

x

y

x

y

lx

ly (Afrodubbj's fquktjdo)

^dbutjdo.

Ljvjljom adte sjlfs ay y1

11 x

;

xy

;

lx

ly

y

; ..... (;)

Yuttjomy

;3 t


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CK\E^


lx

lt

lx

ly

y

;1

ljhhfrfotjkb fquktjdo (;) afndcfs,

1x

;

x

t

lx

lt

1x

;

x

t

lx

lt

wejne js bjofkr ljhhfrfotjkb fquktjdo jo lxlt

JH 3 lxx

;

f 3 fox 3 x

Mfofrkb sdbutjdo js -

t. x 3 x.x;

1 lx + n

tx 3 ox + n

y

x3 ox + n


(;:) ^dbvf 7 x (x1 + ;)lx

ly3 y (; x1) + x1 ox

(19) ^dbvf 7 (x + 1y>)lx

ly3 y

(1;) ^dbvf 7 xlx

ly+ y 3 y1 bdm x

(11) ^dbvf tef ljhhfrfotjkb fquktjdo

xy1

lx

ly 1y> 3 1x> mjvfo y 3 ; kt x 3 ;

Koswfrs (;:)

x

;x1

y 3 x o x x + n (19) x 3 y (n + y1)

(1;) y (; + nx + bdm x) 3 ; (11) y> + 1x> 3 >x8

N bkj rkut s Fqukt jdo 7\ef ljhhfrfotjkb fquktjdo

y 3 cx + h(c), . .. .. .. ... .. .. (;), wefrf c 3lx

ly

js `odwo ks Nbkjrkuts Fquktjdo.

\d sdbvf (;9), ljhhfrfotjktf jt w.r.t. x, wejne mjvfs

lx

ly3 c + x

lx

lc+

lc

)c(hl

lx

lc

xlx

lc+

lc

)c(hl

lx

lc3 9


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CK\E^

"ckojse`uckrpeysjns.jo" ;=

fjtefrlx

lc3 9 c 3 n ...........(1)

dr x + h (c) 3 9 ............(>)

OD\F 7(j) Jh c js fbjcjoktfl aftwffo (;) kol (1), tef sdbutjdo datkjofl js k mfofrkb sdbutjdo dh (;)

(jj) Jh c js fbjcjoktfl aftwffo (;) kol (>), tefo sdbutjdo datkjofl ldfs odt ndotkjo koy krajtrkry

ndostkot kol js odt pkrtjnubkr sdbutjdo dh (;). \ejs sdbutjdo js nkbbfl sjomubkr sdbutjdo dh (;).

Fxkcpbf # 11

^dbvf 7 y 3 cx + c c> wefrf, c 3lx

ly

^dbutjdo.

y 3 cx + c c> ..... (j)

\ef mjvfo fquktjdo js jo nbkjrkut's hdrc.

Odw, ljhhfrfotjktjom wrt. x -

lx

lcc>

lx

lc

lx

lcxc

lx

ly 1

c 3 c + xlx

lcc>

lx

lc

lx

lc 1

lx

lc(x + ; >c1) 3 9

lx

lc3 9 c 3 n ..... (jj)

dr x + ; >c1 3 9 c1 3>

;x..... (jjj)

Fbjcjoktjom 'c' aftwffo (j) & (jj) js nkbbfl tef mfofrkb sdbutjdo dh tef mjvfo fquktjdo.

y 3 nx + n n> wefrf, 'n' js ko krajtrkry ndostkot.Kmkjo, fbjcjoktjom 'c' aftwffo (j) & (jjj) js nkbbfl sjomubkr sdbutjdo dh tef mjvfo fquktjdo.

y 3 c (x + ; c1)

y 3

>

;x;x

>

;x 1/;

y 3 >

1

>

;x 1/;

(x + ;)

y 3 1

1/>

>

;x

y1 31=

1=y1 3 < (x + ;)>


(1>) ^dbvf tef ljhhfrfotjkb fquktjdo

Z 3 cx + 1/c wefrf, c 3lx

ly

(1


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CK\E^


Koswfrs (1>) Mfofrkb sdbutjdo 7 y 3 nx + 1/n wefrf n js ko krajtrkry ndostkot

^jomubkr sdbutjdo 7 y1 3 5x

(1

Hjol tef drtedmdokb trkgfntdry dh hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume tef drjmjo.

^dbutjdo.

Hkcjby dh strkjmet bjofs pkssjom terdume tef drjmjo js -

y 3 cx ..... (j)

wefrf 'c' js ko krajtrkry ndostkot.

Ljhhfrfotjktjom wrt x

clx

ly

..... (jj)

Fbjcjoktf 'c' hrdc (j) & (jj)

y 3 xlx

ly

Qfpbknjomlx

lyay

ly

lx, wf mft

y 3ly

lx x

x lx + y ly 3 9Jotfmrktjom fkne tfrc,

1

y

1

x 11 3 n

x1 + y1 3 1nwejne js tef rfqujrfl drtedmdokb trkgfntdry.

Fxkcpbf # 1x + 1y + ;) ly 3 9 rfprfsfots k eypfradbk ekvjom tef bjofs x + y 3 9 kol

1x + y + ; 3 9 ks ksycptdtfs

^dbutjdo.

(y + ;) lx + (>x + 1y + ;) ly 3 9

(y lx + x ly) + lx + 1y ly + ly 3 9

Jotfmrktjom fkne tfrc,

1x1 + > xy + x + y1 + y + n 3 9

1x1 + >xy + y1 + x + y + n 3 9

wejne js tef fquktjdo dh eypfradbk wefo e1 ? ka & 9.Odw, ndcajofl fquktjdo dh jts ksycptdtfs js -

1x1 + >xy + y1 + x + y + 3 9wejne js pkjr dh strkjmet bjofs

3 9

1.; + 1 .1

>.

1

;.

1

; 1 .

Differential Equation Theory_e

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