diferansiyel denklemler koü -Arzu Erdem-

Adi diferansiyel denklemlernotlariArzuErdemc2009/2010G uzdonemim uhendisliknotlar11Kaynaklar:1. KayleyRectorys-SurveyofApplicableAnalysis2. WilliamBoyceandRichardDiPrima-Elementarydierentialequationsandboundaryvalueproblems3. ShepleyRoss-Introductiontoordinarydierentialequations4. NailIbragimov-Apractical courseindierentialequationsandmathematical modeling5. NeseDernekveAhmetDernek-Diferansiyeldenklemler6. DiferansiyelDenklemlerveUygulamalar-MehmetAydn,BenoKuryel,G on ulG und uz, GalipOturanc7. B.Demidovitch-Matematikanalizvealistirmaproblemleriderlemesiiletisimicin: [email protected],webpage: http://umm.kocaeli.edu.tr/dosyalar/dif.htm25Agustos2009ContentsListofFigures vListofTables viiChapter0. Giris 11. Matematikselmodeller 12. Egriailesinindiferansiyeldenklemleri 5Chapter1. Diferansiyeldenklemlerveonlarncoz umleri 73. Diferansiyeldenklemlerinsnandrmas 74. TemelKavramlar 7Chapter2. BirincimertebedenADD 135. y = f (x)formundakidenklemler 136. y = f (y)formundakidenklemler 147. Degiskenlerineayrlabilen ADD 158. HomojenADD 189. y = f_a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2_formundakiADD 1910. LineerADD 2111. Bernoullidenklemi 2412. RiccatiDenklemi 2613. TamADD 2814.Integrasyon C arpan 30Chapter3. BirinciMertebedenDiferansiyelDenklemlerinUygulamalar 3715. DikYor ungeler 3716. Mekanikproblemleri 3817. Oran Problemleri 4218. Pop ulasyon Problemleri 4319. Karsm Problemleri 4420. ElektrikDevreProblemleri 45Chapter4. 1. mertebedeny uksekdereceliADD 5116. y= f (x, p)formundakiADD 5117. x = f (y, p)formundakiADD 5218. Lagrange Denklemi 5319. ClairautDenklemi 54Chapter5. Y uksekMertebedenLineerADD 5721. Giris 5722. LineerhomojenADDicintemelteoremler 5723. Mertebeninindirgenmesi 5824. SabitkatsaylhomojenlineerADD 6025. Homojenolmayan ADD 6226. Cauchy-Euler denklemi 70Chapter6. SabitkatsaylIkinciMertebedenDiferansiyelDenklemlerinUygulamalar 73iiiiv CONTENTS27. SalnmHareketi 7328. ElektrikDevreProblemleri 75Chapter7. LineerDiferansiyelDenklemSistemleri 7929. Lineersistemt urleri(Ikibilinmeyenliikidenklem) 7930. Diferansiyeloperatorler 8031. Sabitkatsayllineersistemlericinoperatoryontemi 8132. NormalFormdalineerdenklemsistemleri(Ikibilinmeyenliikidenklem) 84Chapter8. LineerDiferansiyelDenklemSistemlerininUygulamalar 9333. SalnmHareketi 9334. ElektrikDevreProblemleri 9435. Karsm Problemleri 96Chapter9. N umerikYontemler 9936. Euler1yontemi 9937. Runge-KuttaYontemi 10238. SistemlericinEuleryontemi 10739. SistemlericinRunge-Kuttay ontemi 109Chapter10. LaplaceDon us um u 11540. LaplaceveTersLaplacedon usm u 11541. T urevveIntegrallerin LaplaceDon us um u 11842. BDPproblemlerineuygulamalar 11943. BasamakFonksiyonu (Heaviside2Fonksiyonu) 121Bibliography 127Bibliography 127ListofFigures37.1Ornek1. icinveOrnek2. icin 107vListof TablesviiCHAPTER0Giris1. MatematikselmodellerT urevleriicerendenklemlereksacadiferansiyeldenklemdenir. Boyleceakskanharaketi,elektrikdevresindekiakm, kat birnesnedeki s transferi, sismikdalgalarnbelirlenmesi, pop ulasyonartm veyazalmas vedahabircok benzeri problemleri anlamak ve onlar incelemek icin diferansiyel denklemler hakknda bilgi sahibi olmakgerekmektedir.Diferansiyel denklemler, ziksel modeli ifade ederler ve matematiksel model seklinde adlandrlrlar. Diferansiyeldenklemleri cozmenin temel amac ziksel yontemi ifade eden matematiksel model hakknda birseyler o grenmeyecalsmaktr Kompleksvedogal biryontemi anlamakaslndaonuenbasiteindirgemektengecer. B oylecebumodelleri ifadeedendenklemler hakkndabilgiler veonlarncoz umleri icinoncelikleonlarnbasit modellerihakkndabilgisahibiolmalyz. .1.1. Populasyonmodeli. ThomasRobertMalthustarafndan1978ylndagelistirilmisolanbirprob-lemdir. Onunmodeline gorepopulasyonorantl olarakartmaktadr vepopulasyonuP ileg osterdi gimizde,asagdakidiferansiyeldenklemileifadeedilmektedir.dPdt= P, = sabit > 0Boylecelimitsizb uy umebudiferansiyeldenklemincoz um uolanveexponansiyelkuralolarak daadlandrlanP (t) = P0 exp ((t t0))fonksiyonu ile ifade edilmektedir. Burada P0, t = t0 anndaki populasyon ve P (t) ise key t anndaki populasyonolarakgosterilmektedir. Dahasonralarbumodelincokgerckeciolmadggozlenerek,model mantksalmodelolarakadlandrllmstrvedPdt= P P2, , = sabit = 0diferansiyeldenkelemiileifadeedilmistir.1.2. Ekoloji: Radyoaktif atk ur unler. Radyoaktiviti, y uksekatomagrlkl (uranyumminerali gibi)elementlerinkrlmas sonucueldeedilir. Yapayradyoaktiviti kimya, tpven ukleerenerji gibi alanlardacokkullansldr. Fakat n ukleer enerjinin end ustrisel kullanm son derece dikkat gerektiriyor. C unk u radyoaktif atkmaddeler populasyon acsndan tehlike olusturmaktadr. Radyoaktif bozulmann matematiksel ifadesi, bozulmaileorantlolarakifadeedilirvediferansiyeldenklemidUdt= kU, k = sabit > 0buradaUmaddeninkeytanndakirayoaktiik oranngostermektedir. Budenklemincoz um uU (t) = U0 exp (k (t t0))seklindeifadeedilir.1.3. KeplerkanunuveNewtonunyercekimi kural. Bilindigi uzereeskiyunanbilimindegezegen-lering unes ekseni etrafndadairesel hareketler ile dond ug uiddiaedilmisti. 1609ylndaKepler tarafndangezegenlering unesetrafndaeliptikhareketleriledond ug ukantlanmstr. BukuramKeplerin1. ve2. kural-larolarakdaadlandrlmaktadr. Keplergezegenlerinnaslhareketettigi sorusununcevabn vermistirancaknedensorusununcevab dahasonraGalileoGalilei veNewtontarafndanverilmistir. Newtonunyercekimikuralnagore,g unesvegezegenlerarasndacekimkuvvetiF=r3x, = GmM12 0. GIRISolarakifadeedilmistir. BuradaGgenel yercekimi sabiti mveMsrasylagezegenveg unesink utleleridir.Boylecegezegenlerin cekimlerialtndag unesinhareketiniihmaledersekmd2xdt2=r3x, = sabitNewtonun2. kuralolarakifadeedilmistir. BuprobleminintegralalnmasileeldeedilenproblemdeKeplerproblemiolarakadlandrlmstr.1.4. D unyayaknndaserbestd usmehareketi. D unya uzerinde,yercekimininsabitoldu gunuvarsa-yarakserbestd usmehareketinielealalm. m=sabitk utleninagrlghy ukseklik tzamang 981cm/sn2s urt unmeivmesinigostermek uzere,s urt unmekuvvetiF= mgolarakgosterilirveNewtondenklemid2hdt2= golarakyazlr. Bununcoz um uh = g2t2+c1t +c2olarakbulunur. Buradac1,, c2keysabitlerdir.1.5. Sogutma(snma)icinNewtonmodeli. Sogutma(snma)olay, hayatmznheralanndakul-lanlan birislemdir. Havay sogutmaislemleri,frnstmavb. Newtonunsogutma kuramolarak adlandrlanmodelddt= k (T t) , k = sabit > 0ileifadeedilir. BuradaT (t)sogutulannesneninhicbiretkigostermedigiscaklktr(doyum noktas). (t)keytanndakiscaklkvetzamangostermektedir.Bir binann klima tarafndan stldgnvarsayalm. H (t) ile scaklgn artm orann A(t) ilescakl gn de gisimoranngosterirsek, yukardakidenklemiddt= k (T t) +H (t) +A(t)olarakd uzenleyebiliriz.1.6. MekaniktitresimveSarkaclar. Yapraklarnr uzgardahsrts, suyundalgalanmas bumodellericin baz ziksel olaylardr. En temel salnm hareketi, bir yere sabit asl olan bir bobinden a gr bir cisimin ilerigerihareketidir. Hookeyasasna gorebaslangcanndankarstarafaolanhareketiF1= ky, k = sabitolarakyazlr. Buradayyerdegistirmeyigosterir. S urt unmekuvvetinideF2= ldydtolarakyazabiliriz. f (t)iletoplamdskuvveti(r uzgar)gosterirsek, Newtonun2. kuralnagoreF= F1 +F2 +f (t)vemodelmd2ydt2+ldydt+ky= f (t)1.7. Asfaltlarncokmesi. Asfaltlarn periyodikbicimdecokmesiasagdaki diferansiyeldenklem ileifadeedilird4udx4= fburadauyolund uz pozisyonundanc okmesi sonucueldeedilenyer degistirmesi ve f merkezkackuvvetininyogunlugudur.1. MATEMATIKSELMODELLER 31.8. VanderPol denklemi. Elektrikkondensatorlerinin devreleriarasndakielektrikakmCdVdt= I, V LdIdt= RIolarak yazlr. Burada I (t) akm,V(t) voltaj, Rresistans, Ckondensator un kapasitesi, L bobininind uktansngostermektedir. BuradaV yiyilegosterirsek, modeliay +by +cy= 0olarakyazabiliriz. a = LC, b = RC, c = 1.1.9. Telegraf denklemi. Elektrodinamikte,kablolar uzerindekiakmifadeedendenklemetelegrafden-klemidenirvemodeliasagdaki sekildeifadeedilir:vttc2vxx + (a +b) vt +abv = 0,c2=1CL, a =GC, b =RLC= kapasite, L = kendiniind ukleme, R = resis tan s, G = kacak.1.10. Maxwell denklemi. Elektromagnetikalan2bilesenesahiptir. Eelektrikalang osterenvekt orveHmagnetikalangosteren vektor. Bunagoremodelbirciftdenklemdenolusur:Et= c (H) 4j, E= 4Ht= c (E) , H= 0jveelektrikakmvey uklenmeyogunluklar, c 3 1010skhzn gostermektedir. Budenklemsisteminiziktegenelde1cEt= curlH 4cj, divE= 41cHt= curlE, divH= 0seklindegosterilir.1.11. Navier-StokesDenklemi. Yapskanmaddelerinakmbut urdenklemlerileifadeedilirvt + (v.) v +1p = vvpbasnc,yogunluk,vakskannhzngostermektedir.1.12. Sulama(irrigation)sistemlerininmodellemesi. SulamasistemlerininmatematikselmodeliC () t= (K () x)x + (K () (z1))zS ()seklindedir. Buradatopraktakinembasnc,C ()topragnsukapasitesi,K ()hidrolikiletkenli gindoyumoran,S ()kaynakfonksiyonu,tzaman,xyatayeksen,zdikeyeksenigostermektedir.1.13. Isdenklemi. Yaylma(dif uzyon)yonetmeleriniifadeedenmodellergenelolarakut= (k (x) u)seklindeifadeedilir.1.14. BurgersveKorteweg-deVriesdenklemleri. Burgersdenklemiut= uux +uxxgeneldeakskanlarmekanigindevenonlinearakustikproblemlerindekullanlmaktadr.Korteweg-de Vriesdenklemiut= uux +uxxxkanallardakib uy uksudalgalarnn yaylmasnmodeller.4 0. GIRIS1.15. Finanstamatematiksel model. Matematikselnanstakitemel calsmalardalgalananstokyat-lardrveasagdaki denklemileifadeedilirut +12A2x2uxx +BxuxCu = 0, A, B, C= sabit.1.16. B uy uyent umormodeli. Bumodellineerolmayan diferansiyeldenklemileifadeedilirut= f (u) (ucx)xct= g (c, p)pt= h(u, c) Kpu, c,p srasyla hastalkl h ucrenin konsantrasyonu, h ucre ds svs, proteaz (enzimlerin parcalanmasn sa glayanenzimgrubu).1.17. Dalgadenklemi. Telvb. gibimaddeler uzerindekidalgalanmahareketiuttk2(x) u = F (x, t)ileifadeedilir.1.18. Diferansiyel Denklemlerin Tarihi. Diferansiyel denklemleri tanmadan ve onlarn c oz umleri hakkndabilgi sahibi olmadan once biraz tarihinden bahsedelim. Diferansiyel denklemler konusu ilk olarak Isaac Newton(16421727) ve Gottfried Wilhelm Leibniz(16461716) tarafnda 17 y uzylda calslmaya baslanmstr. Newton, Ingilteredeb uy uy up, Trinitykoleji-Cambridgedeegitimalmstrve1669daLucasian(t unprofessotl ukhizmetlerininbagl oldugu) profesor uolmustur. Devrimyaratancalsmalar hesaplamadavemekanikprblemlerde, 1665ylnda gerceklesmistir. Matematik camisa tarafndan kabul gormesine ragmen, Newton elestiriler hakknda cokhassas oldugundan calsmalarn 1687 ye kadar basmamstr. 1687 ylnda cok unl u kitab Philosophiae NaturalisPrincipiaMathematicabalmstr. Newtondiferansiyel denklemler ilecalsmalarn y ur ut urken,hesaplamadavemekanikteki temel gelismeleri Eulertarafndansagland. Newton, 1. mertebedendiferansiyel denklemleridy/dx = f(x),dy/dx = f(y),vedy/dx = f(x, y)formundasnandrd. Sonrasndaisef(x, y)xveyninpoli-nomu oldugunda, serileri kullanarak coz um yontemi gelistirdi. Newtonun aktif calsmalar 1690 larn baslarndason bulduve daha once eldeetmisoldugu sonuclarn yaynlanmas ve d uzenlenmesicalsmalarn gerceklestirdi.1696daBritishMint tetekrar profesoroldu. 1705desovalyeolarakilanedildi veWestminster Abbeydegom uld u.Leibniz, 20yasndaLeipzigdeAltdorf universitesinde,lozoalanndadoktoracalsmasntamamladHayatboyunca, birkacalandaki calsmalar ilemesg ul oldu.Oncelikli alanlar arasndamatematikvardrc unk u20li yaslarndabualandacalsmalargerceklestirmistir. Newtondanbirazsonraolmasnara gmendiferansiyeldenklemler ile ilgili temel sonuclara ulasmstr fakat 1684te Newton dan once baslmstr. Matematiksel notasy-onlarkullanmakonusundacokiyidirvet urevicindy/dxveintegralsembol un unkullanmlaronaaittir. 1691ylndadegiskenlereayrmayonteminivermistirvehomojendenklemleri,degiskenlerineayrlabilendiferansiyeldenklemlereindirgemistir. 1. mertebedendiferansiyeldenklemlerincoz um un u1694 ylndavermistir. Hayatnbirelci gibi yasamstrveAlmakraliyetailelerinetavsiyelerdebulunmustur. Bugorevi sayesinde, coksaydagezi d uzenlemisveyazsmalarn digermatematikcileretasyabilmistir.OzellikledeBernoulli kardeslere. Buisbirligisayesindepekcokproblem17y uzyldacoz ulebilmistir.Jakob(16541705) ve Johann(16671748) Bernoulli kardesler diferansiyel denklemlerde yontemler gelistirip bun-larnuygulamaalanlarn genisletmislerdir. Jakob, 1687deBasel deprofesorolmustur. Johann, kardesinin1705ylndaolmesindensonraayn gorevegetirilmistir. Heriki adamdakavgac kskancve ozellikledekenditartsmalarnda skca karstrlrlard. Yinedeherikisidematematiktecokonemligelismelere imzaatmslardr.Hesaplamalarn da yardm ile mekanikte diferansiyel denklem olarak ifade edilen problemler icin c oz um y ontemlerigelistirmislerdir. 1690daJacoby =[a3/(b2y a3)]1/2diferansiyel denklemini cozm ust urvemakalesindeilkdefaintegral terimineyervermistir. 1694teJohanndy/dx=y/ax. diferansiyel denklemininc oz um un ueldeetmistir. Gelistirdiklerienonemliproblemlerdenbirisidebrachistochrone problemidir.JohannnogluolanDaniel Bernoulli(17001782),dahahen uzyeni kurulmusolanSt. Petersburgakademisengocetti ancak1733deBaselebotanikvedahasonradazikprofesor uolarakgeri dond u. Temel ilgil alan-lar arasndaksmi diferansiyeldenklemlerveonunuygulamalrvard.Orneginad, akskanlarmekani gindekidiferansiyel denklemlere verilmistir. Ve ayrcadaha sonraBessel fonksiyonlar olarakadlanadrlacakolanfonksiyonlarilecalsmstr.2. EGRI AILESININDIFERANSIYELDENKLEMLERI 518y uzylnenonemli matematikcilerindenbirisideJohannBernoullininogrencisiolanveBaselyaknlarndayasayanLeonhardEuler(17071783)dir. 1727dearkadas Daniel Bernoulli yi takipederekSt. Petersburgagirmistir. 17271741 ve 17661783 yllar arasnda St. Petersburg akademisinde 17411766 de Berlin akademisindecalsmstr. Eulerb ut unzamannenvermli matematikcilerindebiridirvet umcalsmlar toplamda70dergiyigecer.Ilgi alan matematiginve uygulamannt umalanlarn kapsar. Yasamnnson17 yln k or olarakgecirmesineragmen, olenekadar calsmlarn devamettirmistir.Ozellikledemekanigi matematikdecokiyikullanrd. Lagrange, Eulerinmekanikuygulamalr icinanalizdeki enonemlicalsmahareketin bilimineuygu-landtabirinikulland. Digercalsmalarilebirlikte173435dediferansiyeldenklemintamlkkosulunuverdiveayn calsmadaintegral faktor uteorisini gelistirdi. 1743desabitkatsayl, homojenlineerdenklemlericingenel coz umkavramnverdi. 175051deaynteoriyihomojenolmayandenklemlericingenisletti. 1750lerinbaslarnda,diferansiyeldenklemlerinc oz um uicinkuvvetserisiuygulamalrngelistirdi. 176869 lerden umerikcoz umyontemlerigelistirdi.Joseph-LouisLagrange(17361813),19yasndaTurindeprofesoroldu. 1766daBerlinakademisindeEulerinvarisi oldu ve 1787 de Paris akademisine gecis yapt. En onemli calsmas 1788 de baslms olan Me caniquean-alytique,Newtonmekaniginincokkapsamlvecokg uzelbirkonusudur. 176265de,n. mertebedenhomojendiferansiyeldenkleminingenelcoz um un un,ntanelineerbagmszcoz umlerininlineerkombinasyonu oldu gunugosterdi. 177475 de parametrelerin varyasyonu olarak biline calsmay gelistirdi ve ksmi diferansiyel denklemlerilevaryasyonel hesaplamalarda coktemelcalsmalar mevcuttur.Pierre-SimondeLaplace(17491827) cocuklugunuNormandydegecirdi ancak1768deParisegelerekve1773deAcademiedesSciences kazanarakbilimsel cemberdecokonemli gelismelereimzaatmannbaslangcnyasad. Astrolojidemekanikalanndacalsmalardabulunmustur. Laplacedenklemleri matematiksel zi gintemeldenklemleriniolsturur. Laplacedon us umlerininfaydasisesonlaradogrudahaiyianlaslmstr.18 y uzyln sonlarna dogru diferansiyel denklemlerinin coz um ile ilgili teori gelistirilmistir. 19. y uzylda ise dahateorik birsorunun cevabirdelenmistir: varlk veteklik. Ksmidreansiyel denklemler calslmaya baslanms veonlarnmatematikselzigeuygulamalarelealnmstr.Baz diferansiyel denklemlerin analitik anlamda coz umlerine ulaslamamas n umerik coz um kavramn getirmistir.1900l uyllardan umerikintegral gelistirilmistirfakatuygulamalar, ellehespalamalarnveyailkel hesaplamaaraclarnnn kstllgile cok yaygnlasmamstr.Ozellikle son 50 ylicinde,hesaplama araclarnn ilerlemesi veuyduyabaglbilgisayarlarn varlgileuygulamaalanlaroldukcayaygnlasmstr.20y uzyl, diferansiyel denlklemleringeometrikvetoploji olarakyeni birkreasyonudur. Amac, c oz um unge-ometrikselolarakdavransniteliginianlamaktr. Dahafazlabilgiyeihtiyacduyuldugunda,n umeriky ontemileeldeedilenverilerkullanlmstr.Sonbirkacyldabuikitrendbirliktegelmistir. Bilgisayarlar, lineerolmayan diferansiyeldenklemsistemlerinincalslmasnahzkatmstr.2. Egriailesinindiferansiyel denklemleri(x, y)d uzlemindey= f (x, c1, c2, ..., cn) (2.1)egriailesinid us unelim. Kapalformada(x, y, c1, c2, ..., cn) = 0 (2.2)seklindeyazabiliriz. Buradac1, c2, ..., cnuygunparametrelerdir. Egrininkapalformundakapalfonksiyonlarnt urevikuralnuygulayarak ndefat urevalabiliriz.x+yy = 0, (2.3)2x2+ 22xy+2y2y2+yy = 0,. . .nxn+. . . +yy(n)= 0.nbilinmeyenlisistmedec1, c2, ..., cnparametreleriniyokedersek,F_x, y, y, . . . , y(n)_ = 06 0. GIRISn. mertebedendiferansiyeldenkleminieldeederiz.Notasyon 2.1. x, y, y, . . . , y(n)degiskenlerinebaglFfonksiyonuntamdiferansiyel denklemiDxF=Fx+yFy+yFy+ +y(n)Fy(n1)olarakgosterilir. Bunagore(2.3)sistemiasagdakisekildeyazlr.Dx = 0, D2x = 0, . . . , Dnx = 0 (2.4)Ornek 2.2. Dogrularailesinindiferansiyel denkleminibulunuz.C oz um = y ax byazarak (2.4)tenDx = y a = 0, D2x = y = 0sondenklemhicbirparametreicermedigiicindiferansiyeldenklemi2. mertebedenlineerdenklemolaraky = 0seklindeifadeedebiliriz. Ornek 2.3. Parabollerailesinindiferansiyel denkleminibulunuz.C oz umParabollerailesini y=ax2+ bx + colarakyazabiliriz. =y ax2+ bx + cfonksiyonunu (2.4)tekullanrsak,Dx = y 2ax b = 0, D2x = y 2a = 0, D3x= y = 0

eldeederiz. Boyleceparabollerailesinindiferansiyeldenklemi3. mertebedenlineerdenklemdir.Alstrma 2.4. Cemberlerailesinindiferansiyel denkleminibulunuz.C oz umC emberler ailesini (y b)2+(x a)2= c2olarak yazabiliriz. = (y b)2+(x a)2c2fonksiyonunu(2.4)tekullanrsak,Dx = 2 (y b) y + 2 (x a) = 0, D2x = 2 + 2y2+ 2 (y b) y = 0, D3x= 6yy + 2 (y b) y = 0eldeederiz. 2. denklemdeny b = _1 +y2_/yeldeederiz. Bunu3. denklemdeyerineyazarsak,y 3yy21 +y2= 0denkleminieldeederiz. Alstrma 2.5. Hiperbollerailesinindiferansiyel denkleminibulunuz.C oz umHiperboller ailesini (y a) (b cx) = 1 olarak yazabiliriz. = (y a) (b cx) 1 fonksiyonunu (2.4)tekullanrsak,Dx = (b cx) y c (y a) = 0, D2x = (b cx) y 2cy = 0, D3x= (b cx) y 3cy = 0eldeederiz. 2. ve3. denklemden(b cx)teriminiyokedersek,y 32y2y= 0denkleminieldeederiz. Uyar 2.6. Tamdiferansiyel veksmi diferansiyel arasndaki fark asagdaki sekildekavrayabilriz:Tamdifer-ansiyllerDx(x) = 1, Dx (y) = y, Dx(xy) = y +xyseklindeiken,ksmidiferansiyel denklemlerxx= 1,yx= 0, (xy)x= yCHAPTER1Diferansiyel denklemlerveonlarncoz umleri3. Diferansiyel denklemlerinsnandrmasTanm3.1. Bilinmeyenfonksiyonileonunt urevleriarasndaki bagntyadiferansiyel denklemdenir.Tanm3.2. Bilinmeyenfonksiyonbirdegiskenli isedenklemeadi diferansiyel (ADD)(ordinarydierentialequationODE)denklemdenir, egerfonksiyoncokdegiskenli iseksmi diferansiyel (KDD)(partial dierentialequationPDE)denklemdenir.Tanm 3.3. ntanebilinmeyenfonksiyonuicerenmadet diferensiyel denklemeksacadiferansiyel denklemsistemidenir. Buradamilenesitolmakzorundadegildir.Tanm3.4. Denkleminmertebesi, denklemdeki eny uksekmertebedeki t urevdir. Benzersekildesiteminmer-tebesi,sistemdekieny uksekmertebelit urevdir.Tanm3.5. Birdiferansiyeldenklemdebulunan en y uksek mertebeli t urevin uss une, bu diferansiyeldenkleminderecesidenir.Tanm3.6. Birdiferansiyel denklemdeki bagml degiskenvet umt urevleri birinci derecedenise,diferansiyeldenklemelineerdiferansiyel denklemdenir.n.mertebedenadilineerdiferansiyel,bagmldegiskenyvebagmszdegiskenxolmak uzere,asagdaki formdagosterilir.a0 (x) dnydxn+a1 (x) dn1ydxn1+ +an1 (x)dydx+an (x) y = b (x) veyaa0 (x) y(n)+a1 (x) y(n1)+ +an1 (x) y +an (x) y = b (x)Dolaysylaicerisindey3,(y)2, yy, yy, siny, exp(y)gibiterimlerbulunandenklemlerlineerdegildir. Bununyanndadenklemx2, xy, sinx, exp_sin x3_, ln xt ur undenifadelericerebilir.Ornek 3.7. y +xy exp (y) = 0, 2.mertebedenlineerolmayanadidiferansiyel denklemdir.Ornek 3.8.d4ydx4+x2 d3ydx3+x3 dydx= xexp (x) , 4.mertebedenlineeradidefreansiyel denklemdir.Ornek 3.9. ut= k (x) uxxveyaut= k (x)2ux22.mertebedenlineerksmidiferansiyel denklemdir.Ornek 3.10.u1x2u2y2= 0,3u1y3u2x= 0, 3.mertebedenksmidiferansiyel denklemlersistemidir.4. TemelKavramlarTanm4.1. BirincimertebedenADDileF (x, y, y) = 0 F_x, y, dydx_ = 0 (4.1)veyay = f (x, y) dydx= f (x, y) (4.2)formlarn d us unecegiz.Tanm4.2. n.mertebdenADDileF_x, y, y, y, . . . , y(n)_ = 0 F_x, y,dydx, d2ydx2, . . . ,dnydxn_ = 0 (4.3)78 1. DIFERANSIYELDENKLEMLERVEONLARINC OZUMLERIyaday(n)= f_x, y, y, y, . . . , y(n1)_dnydxn= f_x, y,dydx,d2ydx2, . . . , dn1ydxn1_(4.4)Tanm4.3. Key g (x) fonksiyonuozdesolarak (4.3).denkleminisaglyorsag (x) fonksiyonuna (4.3) denklem-ininintegraliyadacoz um udenir. (bkzUyar4.6)Uyar 4.4. ADDgeneldebirIaralgndatanmlanr. Boyleceg (x)fonksiyonunmertebeyekadart ureviolanbirfonksiyonve(4.3)denklemindeyyerineg (x) , y yerineg (x),. . . , y(n)yerineg(n)(x)yazdgmzda(4.3)denklemisaglanyorsa, y = g (x)fonksiyonunaIaralgnda(4.3)denlemininbircoz um udenir.Ornek 4.5. y= sin xfonksiyonuy +y= 0denkleminin(, )aralgndabirgenel coz um ud ur.Uyar 4.6. (4.3) denkleminincoz um uy =g (x) ack formunda olmak zorunda degildir. Ayn zamandah(x, y) = 0 kapal formu ile de verilebilir. Buna gore t urevleri kapal fonksiyonlaricin t urev form ul u kullanlarakbulunur. Boylecebenzersekilde(4.3).denklemi ozdes olarakh(x, y)=0fonksiyonununhernoktasndaozdesolarak saglanyorsah(x, y) =0fonksiyonu(4.3) denklemininintegrali yadacoz um ud ur., y, . . . , y(n)(Bkz.Ornek4.34)Ornek 4.7. x2+y2= 4fonksiyonuy = xy(4.5)denklemininkapal formdacoz um ud ur. x2+ y2 4=0cemberindekapal fonksiyonlaricint urevbagntsnkullanrsak2x + 2yy =0eldeederiz, boylece(4.5)denklemi saglanr. (2, 0)ve(2, 0) noktalarnday=0oldugundanbunoktalarharictutmalyz.(Bkz.OrnekOrnek4.34).Uyar 4.8. (4.2)denkleminingeometrikyorumu: f(x, y), Q bolgesindetanml birfonksiyonolsun. (4.2)denkleminegoreher(x, y) Qnoktasndabunoktadangecenveegimi y olanbirdogru(dogrusal eleman)vardr. Boylecebudogrularnolusturmusoldugualanaksacadogrultualan denir. BunagoreQ bolgesindekiegriyibulmak,dogrularnherbirnoktasndaki tanjantbulmaktr.Bunagore2.mertebedeny = f (x, y, y)denklemi iciny yani coz umegrisininegriligi bulunmaldr. 3vedahay uksekmertebedenADDicinbenzerigeomtrikyorumlaryoktur.Tanm4.9.y1= g1 (x) , y2= g2 (x) , . . . , yn= gn(x) (4.6)fonksiyonlary1= f1 (x, y1, y2, . . . , yn)y2= f2 (x, y1, y2, . . . , yn). . .yn= fn (x, y1, y2, . . . , yn)(4.7)sisteminiozdesolaraksaglyorsa, (4.6)fonksiyonlarnasistemincoz um u(integrali)denir.Budurumdadacoz umlerikapalfonkiyongibid us unebiliriz. (BkzUyar4.6).Uyar 4.10. n = 2durumuiciny1, y2fonksiyonlar yerinebilinmeyeny, zfonksiyonlarn elealalm. Bunagore(4.6)fonksiyonlary= g1(x) , z= g2 (x)geometrikselolarakbiregritanmlar(3boyutluuzayda). Busebeptenot ur u(4.6)fonksiyonlar(4.7)sistemininintegral egrisidiyeadlandrlr.Uyar 4.11. Genel olarak(4.7)sistemindebilinmeyenfonksiyonsaysiledenklemsaysesitolmakzorundadegildir. Fakatcoz umtanmayndr. Yinedecoz um unvarlgvetekligihakkndabirgenellemeyapmalyz.4. TEMELKAVRAMLAR 9Teorem4.12. (4.7)sistemiveP (a, b1, b2, . . . , bn) (4.8)noktasn elealalm. (4.7) sistemindeki f1, f2, . . . , fnn + 1degiskenli vedegiskenleri x, y1, y2, . . . , ynolmak uzere, P noktasnnbir Okomsulugunda, s urekli vey1, y2, . . . , yndegiskenlerine gores urekli ksmi t urevleresahipfonksiyonlarolsun. Okomsulugunda(4.7)sisteminiveg1 (a) = b1, g2(a) = b2, . . . , gn (a) = bn(4.9)kosulunu(baslangckosulu)saglayang1 (x) , g2(x) , . . . , gn(x)fonksiyonlar vardrvebufonksiyonlartektir.Tanm 4.13. Bir problemdiferansiyel denklemi ve belirli kosullar icerir. Problemdeki kosullar xinbirdegeriyleilgiliisebudurumdaproblemebaslangcdegerproblemi,xin2degeriileilgiliisesnrdegerproblemidenir.Ornek 4.14.y +y = 0,y (1) = 3y (1) = 4baslangcdegerproblemidir(BDP)-(initial valueproblemIVP).Ornek 4.15.y +y = 0,y (0) = 1y_2_= 5snrdegerproblemidir(SDP)-(boundaryvalueproblemBVP).Uyar 4.16. Uyar 4.10e gore f1, f2, . . . , fnfonksiyonlar Okomsulugundayukardaki kosular saglyorsa(4.7)sistemininPnoktasndangecenbirtekintegral egrisivardr.Ozeldurumdaf (x, y) , fy(x, y) (4.10)fonksiyonlarPnoktasnnOkomsulu gundas urekliisey = f (x, y)denklemininbirtekintegralegrisimevcutturvebuegriPnoktasndan gecer.Uyar 4.17. Egerherx [a, b] , y1, y2 [c, d]icin|f (x, y1) f (x, y2)| K|y1y2| (4.11)esitsizligini saglayacaksekildepozitif birKsaysbulunabilirsef (x, y).fonksiyonuydegiskeninegoreR(a x b, c y d)bolgesindeLipchitzkosulunusaglardenir.Ozel olarakf (x, y).fonksiyonuydegiskeninegoreRbolgesindet urevimevcutvefy K (4.12)kosulusaglanyorise(4.11)kosulusaglanr. Fakattersidogrudegildir. Yaniydegiskeninegoret urevimevcutolmayabilirfakat(4.11)kosulunusaglayanfonksiyonlardavardr. Asagdaki ornekbununlailgilidir.Ornek 4.18. f (x, y) = |y|fonksiyonuydegiskeninegoreksmit urevi yokturancakLipschitzkosulunusaglar.Gercekten||y1| |y2|| |y1y2| , K= 1saglanr.10 1. DIFERANSIYELDENKLEMLERVEONLARINC OZUMLERITeorem4.19. f (x, y)fonksiyonuQ(a h x a +h, b k y b +k)bolgesindes urekliolsun(S ureklifonksiyonkapalaralktasnrldryaniQbolgesinde |f (x, y)| MkosulunusaglayanpozitifMsabitimevcut-tur.) ve(4.11)kosulunusaglasn.d = min_h,kM_olmak uzere[a d, a +d]aralgnday = f (x, y)denkleminisaglayany = g (x)birtekcoz um uvardr.Uyar 4.20. LipschitzkosuluveTeorem4.19yebenzerteorem(4.7)sistemiicideform uleedilebilir.Uyar 4.21. Coz um un varlg icin f (x, y) fonksiyonun s urekliligi yeterli bir kosulken teklik icin yeterli degildir.Ornek 4.22.y= 0vey=127 (x 2)3fonkssyonlar y =3_y2denklemininintegral egrisidir.Teorem4.23.y(n)= f_x, y, y, y, . . . , y(n1)_(4.13)diferansiyel denkleminiveP (a, b1, b2, . . . , bn)noktasnelealalm.f, fy,fy, ,fy(n1)fonksiyonlar s urekliolsun. BudurumdaPnoktasnnbirkomsulugunda(4.13)denkleminiveg (a) = b1, g (a) = b2, . . . , g(n1)(x) = bn(4.14)kosulunusaglayany= g (x)tekcoz um umevcuttur.Uyar 4.24. Lipschitz kosulunukullanarak(4.13) denklemi icinTeorem4.19yebenzerbirteoremform uleetmekm umk und ur.Teorem4.23lokalkarakterlidir. Yaniy(n)+an1 (x) y(n1)+ +a1 (x) y +a0 (x) y = b (x) (4.15)denkleminincoz um un unvarlgvetekligiIaralgnda mevcuttur.Uyar 4.25. (4.13)denklemi icin(4.14)kosullar saglansn. (n + 1)boyutluP (a, b1, b2, . . . , bn)noktas ver-ilsin. Qbolgesi Pnoktasn icerenbolgeve(4.13)denklemininbunoktadaTeorem4.23egoretekbircoz um uolsun. Bunagoreasagdabutarzdenklemlericingenel coz umkavramntanmlayacagz.Tanm4.26. (4.13) denkleminincoz um u n tane bagmszkeysabiticeriyorsabu coz ume Q bolgesinde(4.13)denkleminingenel coz um u(integrali)denir.Uyar 4.27. Egersabitlerdenherhangibirisini,digerleriyleyerdegistirmekm umk undegilisebudurumdabusabitlerebagmszdenir. Yanihicbirigereksizdegil ise.Ornek 4.28.y = c1 exp 2x +c2 exp (x)fonksiyonuy y 2y = 0denkleminingenel coz um ud ur.c1 exp(x +c2)fonksiyonuy y= 04. TEMELKAVRAMLAR 11denkleminingenel coz um udegildir. C unk uc1 exp (x +c2) = c1 exp (x) exp(c2) = K exp xolarakyazabiliriz.Uyar 4.29. Genel durumdaF_x, y, y, y, . . . , y(n)_ = 0 (4.16)denklemi icingenel integraldenbahsetmekcokm umk undegildir. C unk ucoz um untekligi sorusununonceliklecevaplanmas gerekmektedir.Orneginy2x4y2= 0 (4.17)denklemiasagdaki degerlericinsaglanr:y = x2y, y = x2yEgerbellibirbolgedenveyabaslangckosullarndanbahsediyorsak, (4.16)denkleminingenel coz um undenbah-setmekm umk und ur.Tanm4.30. Egerhernoktadacoz um untekligi kosulusaglanmyorsabudurumday =f (x, y)denkleminincoz um unetekil coz um(integral)denir.Ornek 4.31. y = 0integral egrisiy =3_y2ADDnintekil coz um ud urc unk u(2, 0)noktasboyuncay=127 (x 2)3fonksiyonudadigerbirintegral egrisidir.Uyar 4.32. y =f(x, y) denklemi bir parametreli genel coz umesahiptir. Eger coz ummevcut iseverilendenklemintekil integralineesittir.Uyar 4.33. f(x, y) = 0icindydx=1f (x, y)(4.18)denklemiiledxdy= f (x, y) (4.19)denklemi denktir. f (x, y)=0durumunda(4.18)denklemi tanmsziken(4.19)denklemi tanmldr. Boylecegenelde(4.18) denklemine(4.19) denklemini eklerizve(4.18)denklemininintegral egrisi ilehem(4.19) den-klemininhemde(4.18)denklemininintegral egrilerinind us unecegiz.Ornek 4.34.x2+y24 = 0 (4.20)cemberiy = xy(2, 0) , (2, 0)noktalarndabileADDninintegral egrisidir. C unk ubunoktalarda(4.20)fonksiyonudxdy= yxADDyisaglar.CHAPTER2Birinci mertebedenADD5. y = f (x)formundaki denklemlerf (x)verilenIaralgnda s ureklibirfonksiyon olmak uzerey = f (x)ADDningenelcoz um uy=_f (x) dxseklindedirvebelirsizintegralkeysabitiicerir.y (x0) = y0baslangckosuluverildigindecoz umy= y0 +_xx0f (t) dtseklindedir.Ornek 5.1.y= 3x2ADDnincoz um un ubulunuz.Coz umy=_3x2dx y= x3+c

Ornek 5.2.y= 3x2y (3) = 27BDPnincoz um un ubulunuz.Coz umy =_3x2dx y= x3+c 27 = 27 +c c = 0 y= x3

Ornek 5.3.y= sin xADDnincoz um un ubulunuz.Coz umy=_sin xdx y= cos x +c1 y= _(cos x +c1) dx y= sin x +c1x +c2

1314 2. BIRINCI MERTEBEDENADDOrnek 5.4.y= 3x26x + 1y (2) = 0BDPnincoz um un ubulunuz.Coz umy=_ _3x26x + 1_dx y= x33x2+x +c 0 = 8 12 + c c = 20 y= x33x2+x + 20

Ornek 5.5.y= exp(x)y (0) = 1, y(0) = 1, y(0) = 3BDPnincoz um un ubulunuz.Coz umy=_exp(x) dx y= exp (x) +c1 y=_(exp(x) +c1) dx y= exp(x) +c1x +c2 y =_(exp (x) +c1x +c2) dx y= exp(x) +c1x22+c2x +c3 1 = 1 +c31 = 1 +c23 = 1 +c1y = exp(x) + 2x2

6. y = f (y)formundaki denklemlerf (y) = 0s ureklibirfonksiyon olmak uzere(Bkz. Uyar4.33)y = f (y)ADDnidxdy=1f (y)olarakyazabiliriz. Bunagoregenelcoz umx =_dyf (y)dirveegri(x0, y0)noktasndangeciyorsa coz umx x0=_yy0dtf (t)formundadr. Egerf (y0) = 0isecoz umy= y0seklindedir.Ornek 6.1.y = y2, y = 0yadadxdy=1y2ADDnincoz um ux = 1y+cyaday=1c x7. DEGISKENLERINEAYRILABILENADD 15dir. Egercoz um(3, 1)noktasndangeciyorsacoz umy=14 x.Egercoz um(3, 0)noktasndangeciyorsacoz umy= 0drc unk uy = 0 y= cvebaslangckosullarndany= 0eldeederiz.Ornek 6.2.y +15y=35ADDnincoz um un ubulunuz.Coz umy= 15 (3 +y) _dyy 3= _15dx ln |y 3| = 15x + ln c y 3 = c exp_15x_

Ornek 6.3.y= 2_y 1ADDnincoz um un ubulunuz.Coz umy= 2_y 1 _dy2y 1=_dx _y 1 = x +c y= 1 + (x +c)2

7. DegiskenlerineayrlabilenADDTeorem7.1. f (x) , [a, b]aralgndas urekli,g (y) , [c, d]aralgndas ureklifonksiyonlarveg (y) = 0olsun.y =f (x)g (y)ADDnincoz um u_f (x) dx =_g (y) dyformundadr. Egercoz um(x0, y0)noktasndangeciyorsa_xx0f (x) dx =_yy0g (y) dyUyar 7.2.y = f (x) g (y)denklemiicindebenzerteoremgecerlidir. Coz um_f (x) dx =_1g (y)dyseklindedirvecoz um(x0, y0)noktasndangeciyorsa_xx0f (x) dx =_yy01g (y)dy16 2. BIRINCI MERTEBEDENADDdir. Egerg (y0) =isecoz umy= y0dr.Ornek 7.3.y = xy3sinxy (0) = 1BDPnincoz um un ubulunuz.C oz umDegiskenlereayrmayonteminikullanrsak_dyy3=_xsin xdxeldeederiz. Budurumdagenelcoz um121y2= xcos x sin x +cvey (0) = 1kosulundan c = 1/2eldeedilir. Boylececoz umy =12xcos x 2 sinx + 1.y (0) = +1kosulundandolaypozitifkokalnmstr. Ayndenkleminy (0) = 0baslangckosullucoz um uy= 0dr.Ornek 7.4.y = yx 3, x = 3denkleminicoz un uz.C oz umDenklemidyy= dxx 3dyseklindeyazabiliriz. Bunagoredenkleminincoz um uln y = ln (x 3) + ln cy (x 3) = c

Ornek 7.5.(3x + 8)_y2+ 4_dx 4y_x2+ 5x + 6_dy= 0denkleminicoz un uz.C oz umDenklemi(3x + 8)(x2+ 5x + 6)dx 4y(y2+ 4)dy= 0seklindeyazabiliriz. Bunagore(3x + 8)(x + 2) (x + 3)dx 22y(y2+ 4)dy = 0_2x + 2+1x + 3_dx 22yy2+ 4dy = 07. DEGISKENLERINEAYRILABILENADD 17denkleminincoz um uln (x + 2)2+ ln (x + 3) ln_y2+ 4_2= ln cln_(x + 2)2(x + 3)(y2+ 4)2_= ln c(x + 2)2(x + 3)(y2+ 4)2= c(x + 2)2(x + 3) = c_y2+ 4_2

Ornek 7.6.x(y + 1)2dx +_x2+ 1_yeydy= 0denkleminicoz un uz.C oz umDenklemix(x2+ 1)dx +yey(y + 1)2dy= 0seklindeyazabiliriz. Bunagore_x(x2+ 1)dx +_yey(y + 1)2dy = 012 ln_x2+ 1_+_(y + 1) ey(y + 1)2dy _ey(y + 1)2dy =ey= udy(y+1)2= dv v = 1(y+1)c 12 ln_x2+ 1_+_ey(y + 1)dy _ey(y + 1)+_ey(y + 1)dy_= c denkleminincoz um u12 ln_x2+ 1_+ey(y + 1)= c

Ornek 7.7.dydx=xy (1 x2)1/2denkleminicoz un uz.C oz umDenklemiydy x(1 x2)1/2dx = 0seklindeyazabiliriz. Bunagore_ydy _x(1 x2)1/2dx = 012y2+_1 x2_1/2= c denkleminincoz um u12y2+_1 x2_1/2= c

18 2. BIRINCI MERTEBEDENADD8. HomojenADDf (tx, ty) = tnf (x, y)formunda yazlabilen fonksiyonlara n. dereceden homojen fonksiyonlar denir. Sag taraf fonksiyonu 0. derecedenhomojenolany = f_yx_(8.1)formundakiADDlerehomojendenklemlerdenir.Uyar 8.1. VerilenbirADDinhomojenolupolmadgn anlamakicinf (tx, ty) = f (x, y)bagntsnnsaglanmasgerekmektedir.Ornek 8.2.y = ln x ln y +x +yx y f (x, y) = ln x ln y +x +yx yf (tx, ty) = ln txty+tx +tytx ty= f (x, y)oldugundanADDhomojendir.Ornek 8.3.y =y3+ 2xyx2f (x, y) =y3+ 2xyx2f (tx, ty) =t3y3+ 2t2xyt2x2=ty3+ 2xyx2= f (x, y)oldugundanADDhomojendegildir.C oz umicin(8.1)denklemiyerinez (x) =y (x)xyaday (x) = xz (x) (8.2)bagntsolanz (x)fonksiyonunu bulmayacalsalm. 2. bagntykullanrsaky = z +xz (8.3)eldeederiz. Bunu(8.1)denklemindekullanrsakz +xz = f (z)veyaz =f (z) zx(8.4)ADDyieldeederiz. BudenklemdegiskenlerineayrlabilirADDeldeederiz.Ornek 8.4. y= ey/x+yxADDnincoz um un ubulunuz.C oz umu = y/x y= xu y= u +xuifadesinidenklemdeyerineyazarsaku +xu= eu+u euu= x eududx=1x _eudu =_1xdx eu= ln x ln c eu= lncx u = ln lncx u = ln lncx

Ornek 8.5. (y +x +y x) dx (y +x y x) dy= 0ADDnincoz um un ubulunuz.9. y =f

a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2

FORMUNDAKI ADD 19C oz umDenklemhomojenADDdir. u = y/x y= xu y= u +xuifadesinidenklemdeyerineyazarsaky=y +x +y xy +x y xu +xu=xu +x +xu xxu +x xu x u +xu=u + 1 +u 1u + 1 u 1u +xu=_u + 1 +u 1_2u + 1 (u 1)=u + 1 +u 1 + 2u212= u +_u21 xu=_u21 _duu21=_dxx(32).intln |u +_u21| = ln x + ln c u +_u21 = cx u=y/xyx+__yx_2 1 = cx

Ornek 8.6._3x2+ 9xy + 5y2_dx _6x2+ 4xy_dy= 0, y (2) = 6BDPnincoz um un ubulunuz.C oz umDenklemhomojenADDdir. u = y/x y= xu y= u +xuifadesinidenklemdeyerineyazarsaky=3x2+ 9xy + 5y26x2+ 4xyu + xu=3x2+ 9ux2+ 5u2x26x2+ 4ux2u + xu=3 + 9u + 5u26 + 4uxu=3 + 9u + 5u26u 4u26 + 4uxu=3u +u2+ 34u + 6_4u + 63u +u2+ 3du =_dxx2 ln|3u +u2+ 3| = ln x + ln c _3u +u2+ 3_2= cx u=y/x_3yx+_yx_2+ 3_2= cx y (2) = 6 (9 + 9 + 3)2= 2c c =92 _3u +u2+ 3_2=92x

9. y = f_a1x+b1y+c1a2x+b2y+c2_formundaki ADDa1b1a2b2= 0 (9.1)olmak uzerey = f_a1x +b1y +c1a2x +b2y +c2_(9.2)ADDnincoz um uicinx = X +h, y= Y+k (9.3)20 2. BIRINCI MERTEBEDENADDdegiskendegistirmesiyaplr. Bunu(9.2)denklemindeyazalm:dYdX= f_a1X +b1Y+a1h +b1k +c1a2X +b2Y+a2h +b2k +c2_(9.4)diferansiyeldenklemindea1h +b1k +c1= 0 (9.5)a2h +b2k +c2= 0olacak sekildesecersekdYdX= f_a1X +b1Ya2X +b2Y_(9.6)denklemini elde ederiz ki budenklemhomojendenklemdir ve homojendenklemler icingecerli olanc oz umyontemikullanlr.Eger(9.1)determinantsfriseyania2x +b2y = k (a1x +b1y)ise(9.2)denklemikolayca coz ul ur.z= a1x +b1y a2x +b2y = kzyazarakz = a1 +b1y y =z a1b1ifadelerini(9.2)denklemindeyazarsakzb1=a1b1+f_z +c1kz +c2_dza1 +b1f_z+c1kz+c2_= dxdegiskenlerineayrlabilen ADDeldeederiz.Ornek 9.1.y =2x y + 9x 3y + 2ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um2 11 3= 0oldugundan(9.5)denkleminincozersekh= 5, k= 1buluruz. x=X 5, y=Y 1yazd gmzdavedenklemdeyerineyazdgmzdadYdX=2X YX 3Yhomojendenkleminieldeederiz.z=YX, Y= zXdon us um un udenklemdeyazarsakXdzdX+z=2 z1 3zyadaXdzdX=2 2z + 3z21 3zdegiskenlerineayrlabilirADDnieldeederiz. Bunagorecoz um_1 3z2 2z + 3z2dz =_dXX12 ln_2 2z + 3z2_= ln (X) + ln c ln_2 2z + 3z2_= 2 ln(cX) = ln1c2X2= lnc1X2, c1=1c22 2z + 3z2=c1X2,z=YXgeridon us um un uveX= x + 5, Y= y + 1geridon us um un uyaparsak2X22XY+ 3Y2= c110. LINEERADD 21yada2 (x + 5)22 (x + 5) (y + 1) + 3 (y + 1)2= c1coz um un ueldeederiz. Ornek 9.2.(2x + 3y + 1) dx + (4x + 6y + 1) dy = 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umdydx= 2x + 3y + 14x + 6y + 1ve2 34 6 = 0oldugundanz=2x + 3y 4x + 6y=2zdon us um un ukullanarakz =2 + 3y y=(z 2) /3eldeederiz.Bunlardenklemdekullandgmzdaz 23= z + 12z + 1z = 3 (z + 1)2z + 1+ 2z =z 12z + 1degiskenlerineayrlabilen ADDeldeederiz._2z + 1z 1dz =_dx_ _2 +3z 1_dz =_dx2z + 3 ln(z 1) = x +ccoz um un ueldeederiz. z= 2x + 3ydon us um un utekrarkullandgmzda2 (2x + 3y) + 3 ln(2x + 3y 1) = x +ccoz um un ueldeederiz. 10. LineerADDy +a (x) y= b (x) (10.1)formundakidenklemlerelineerdenklemlerdenir.y +a (x) y= 0 (10.2)denkleminede(10.1)denkleminekarslkgelenhomojenlineerdenklemdenir.Homojenterimihomojen ADDilekarstrllmamaldr. Bunaragmenliterat urdebuterimkullanlmaktadr.a (x) , b (x) I aralgnda s urekli fonksiyonlar olsun. Uyar 4.24i kullanarak(10.1) ve (10.2) ADDnin tekcoz um undenbahsedebiliriz.Oncelikle(10.2)denklemidegiskenlerineayrlabilen ADDdirvec oz um_dyy= _a (x) dxln (Cy) = _a (x) dx, Cy> 0Cy = exp__a (x) dx_,y = c exp__a (x) dx_, C= 1/c (10.3)seklindeeldeederiz.22 2. BIRINCI MERTEBEDENADDSimdi(10.1)denkleminingenelcoz um un ueldeedelim. C oz um uparametrelerindegisimiolarakadlandrlanyontemi kullanarak bulalm. (10.1) in genel coz um un u (10.3) formu seklinde arayalm. Fakat burada c, xin birfonksiyonu olsun,y= c (x) exp__a (x) dx_. (10.4)(10.4)denkleminidiferansiyellerseky= c (x) exp__a (x) dx_c (x) a (x) exp__a (x) dx_(10.5)ifadesinieldeederiz. (10.4)ve(10.5)ozdesliklerini(10.1)denklemindekullanrsakc (x) exp__a (x) dx_c (x) a (x) exp__a (x) dx_+a (x) c (x) exp__a (x) dx_= b (x)c (x) exp__a (x) dx_= b (x)ifadesindenc (x) = exp__a (x) dx_b (x)eldeederizkidegiskenlerineayrlabilen ADDdir. Bunagore(10.1)denklemindekic (x)fonksiyonuc (x) =_b (x) exp__a (x) dx_dx +c1seklindedir. Sonolarakbufonksiyonu(10.4)deyazarsak coz um uy= e

a(x)dx__b (x) e(

a(x)dx)dx +c1_(10.6)seklindeeldeederiz.Ornek 10.1.y + 2xy= x3(10.7)ADDdenkleminincoz um un ubulunuz.C oz um(10.1)denkleminegorea (x) = 2x, b (x) = x3dir. Bunagore(10.6)formunagorey = e

2xdx__x3e(

2xdx)dx +c1_y = ex2__x3ex2dx +c1_y = ex2__x2xex2dx +c1_,_x2= u, xex2dx = dv2xdx = du, v =12ex2_y = ex2__12x2ex212_2xex2dx_+c1_y = ex2__12x2ex212ex2_+c1_y =12_x21_+c1ex2(10.8)ve(10.7)denkleminincoz um u(10.8) seklindedir. Uyar 10.2.(10.1) denklemi y0= 0 baslangc kosulunu saglasa bile (10.6) coz um u tektir.Ornegin (10.7)denkleminincoz um u(0, 0)noktasndangeciyorsa(10.8)agorecoz umy=12_x21_+12ex210. LINEERADD 23dir.Uyar 10.3. Parametrelerindegisimi yontemiyerine(10.1)denkleminincoz um un uy (x) = u (x) v (x) (10.9)olarakarayalm. Buifadeyi (10.1)denklemindeyerineyazdgmzdauv + uv +auv = b (10.10)seklindeeldeederiz. Simdiu (x)fonksiyonununu +au = 0 (10.11)lineerhomojenADDisagladgn varsayalm, yani(10.11)denkleminincoz um uu = e

a(x)dxdir. (10.10)denklemini(u +au) v +uv = bolarakyazp(10.11)ikullanrsakuv = byadav =_b (x) e

a(x)dx+c (10.12)olarakeldeederiz. Coz um un(10.9)ifadesini kullanrsakdahaonceki(10.6)formunueldeederiz.Ornek 10.4.dydx+_2x + 1x_y= e2xADDdenkleminincoz um un ubulunuz.C oz um(10.1)denkleminegorea (x) =2x+1x, b (x) = exp (2x)dir. Bunagore(10.6)formunag orey = e

2x+1xdx__exp (2x) e(

2x+1xdx)dx +c1_y =e2xx__exp (2x) exp(2x) xdx +c1_y =e2xx_x22+c1_,y =xe2x2+c1e2xx(10.13): vedenkleminincoz um uy=xe2x2+c1e2xxseklindedir. Ornek 10.5._x2+ 1_dydx+ 4xy = xy (2) = 1.ADDdenkleminincoz um un ubulunuz.24 2. BIRINCI MERTEBEDENADDC oz um(10.1)denkleminegorea (x) =4x(x2+1), b (x) =x(x2+1)dir. Bunagore(10.6)formunag orey = e

4x(x2+1)dx__x(x2+ 1)e

4x(x2+1)dx

dx +c1_y =_x2+ 1_2__x(x2+ 1)_x2+ 1_2dx +c1_y =_x2+ 1_2_x44+x22+c1_,y(2) = 1 1 = (5)2_164+42+c1_c1= 19 (10.14)vedenkleminincoz um uy =_x2+ 1_2_x44+x22+ 19_seklindedir. 11. Bernoullidenklemiy +a(x)y= b(x)yn(11.1)formundakiADDlereBernoulliADDdenir.a (x) , b (x)I aralgndas urekli fonksiyonlarolsun. n=0yadan=1durumuicinsrasyla(10.1)ve(10.2)lineerADDyieldeederiz. Buradansaysnn0ve1denfarkldurumlarnelealacagz. (11.1)denkleminiynyebold ug um uzdeyyn+a(x)yn1= b(x) (11.2)denkleminieldeederiz.z=1yn1= yn+1don us um un ukullandgmzdaz = (n + 1) yny yyn=z(n + 1)buluruz. Buifadeleri(11.2)denklemindeyazarsakz(n + 1)+a(x)z= b(x) (11.3)lineerdenklemini(Bkz. (10.1))vecoz um u(10.6)olarak eldeederiz.Ornek 11.1.y +xy= xy3(11.4)ADDcoz um ubulunuz.C oz um(11.4)denklemini(11.1)ilekarslastrrsaka (x) = x, b (x) = x, n = 3eldeederiz. Bunu(11.3)dayerineyazdgmzdaz2+xz = x z(z 1)= 2x dz(z 1)= 2xdx ln (z 1) = x2+c11. BERNOULLI DENKLEMI 25vez= y2don us um undenln_1 y2y2_ = x2+c(11.4)denkleminincoz um ud ur. Ornek 11.2.xdydx+y = 2x6y4ADDcoz um ubulunuz.C oz umdenklemixy4yabolelim:y4dydx+x1y3= 2x5eldeederiz.z= y3dzdx= 3y4dydxBunudenklemdeyerineyazdgmzdaz3+1xz = 2x5homojendenklemi cindzz= 3dxxz = cx3z= c (x) x3 cx3+ 3x2c (x) 3xc (x) x3= 6x5 c= 6x2c (x) = 2x3+c1 z=_2x3+c1_x3y = z1/3=_2x3+c1_1/3xvey=_2x3+c1_1/3xdenkleminincoz um ud ur. Ornek 11.3.dydx+y2x= xy3y(1) = 2ADDcoz um ubulunuz.C oz umdenklemiy3yabolelim:y3dydx+y42x= xeldeederiz.z= y4dzdx= 4y3dydxBunudenklemdeyerineyazdgmzdaz4+12xz = xhomojendenklemi cindzz= 2dxxz = cx2z= c (x) x2 cx22x3c (x) +2xc (x) x2= 4x c= 4x3c (x) = x4+c1 z= x2+c1x2y= z1/4=_x2+c1x2_1/4 2 = (1 +c1)1/4c1= 15vey4= x2+ 15x226 2. BIRINCI MERTEBEDENADDdenkleminincoz um ud ur. 12. Riccati Denklemiy = a (x) y2+b (x) y +c (x) (12.1)forundaki denklemlereRiccati denklemleri denir. a (x)=0durumunda(12.1)denklemi lineerdenklemdirvec (x) = 0durumunda(12.1)denklemiBernoullidenklemidir.Genelolarak Riccatidenkleminianalitikolarak cozmekm umk undegildir. Eger (12.1)denklemininbirc oz um ubiliniyorsagenelcoz um ueldeetmekm umk und ur: y1 (x)(12.1)denklemininbircoz um uolsun,yaniy1= a (x) y21 +b (x) y1 +c (x) (12.2)yazlr.y= y1 +z (12.3)ileyeniibrzfonksiyonutanmlayalm. (12.3)ifadesini(12.1)denklemindekullanrsaky1 +z = a (x) (y1 +z)2+b (x) (y1 +z) +c (x)y1 +z = a (x) y21 + 2a (x) y1z +a (x) z2+b (x) y1 +b (x) z +c (x)(12.2)denfaydalanrsakz = (2a (x) y1 +b (x)) z +a (x) z2(12.4)Bernouillidenkleminieldeederiz.Ornek 12.1.xy 3y +y2= 4x24x (12.5)ADDicinbirozel coz umy1= Ax +Bolmak uzeregenel coz um un ubulunuz.C oz umOzelcoz umy1= Ax + B(12.5)dayerineyazarsakxA 3Ax 3B +A2x2+ 2ABx +B2= 4x24xifadesindenA = 2, B= 0eldeederiz. Boylecedenkleminbirozelcoz um uy1= 2xdir. (12.1)denkleminegore(12.5)daa (x) = 1x, b (x) =3x, c (x) = 4x 4(12.3)don us um uiley= 2x +z(12.4)denklemiz =_4 +3x_z 1xz2Bernoullidenkleminedon us ur. (11.1)Bernoullidenklemininifadesinegorea (x) = 4 3x, b (x) = 1x, n = 2dir. Bunagoreu =1zdon us um undenu +_4 3x_u = 1xlineerADDeldeederiz. Tekrar(10.1)lineerdenkleminformunagorea (x) =3x 4, b (x) =1x12. RICCATI DENKLEMI 27vecoz um un(10.6)formunagoreu (x) = e

(3x4)dx__1xe

(3x4)dxdx +c1_= e3 ln x+4x__1xe3 ln x4xdx +c1_= eln x3+4x__1xelnx34xdx +c1_= x3e4x__1xx3e4xdx +c1_= x3e4x__x2e4xdx +c1_(integraltablo (50))= x3e4x_ x24 2x16+264_e4x+c1x3e4x= x3_ x24 2x16+264_+c1x3e4xeldeederiz.z=1utersdon us um uvey= 2x +zdon us um uile(12.5)ADDnincoz um un ueldeetmisoluruz. 12.1. Riccatidenklemininozel durumlar.12.1.1. A..y = ay2+by +ct ur undekidenklemler. Buradaa, b, csabitlerdir. DenklemBol um6ve7tekiyontemlerkullanlarakc oz ul ur.12.1.2. B..y = ay2+bx2t ur undekidenklemler. Buradaa, bkeysabitlerdir.y =1zdon us um uiley = zz2bulunur. Buifadeleridenklemdeyerineyazdgmzdazz2=az2+bx2vez = a b_zx_2homojendenklemieldeedilirveBol um8tekiyontemilecoz umeldeedilir.28 2. BIRINCI MERTEBEDENADD13. TamADDUyar 13.1. y = (x, y)denklemiy +f (x, y)g (x, y)= 0 (13.1)formundadr. Buradaf, gfonksiyonlar veonlarn1. mertebedent urevleriObolgesindes ureklifonksiyonlarveg (x, y) = 0dr. Teorem4.12veUyar4.16yegorecoz um unvarlgvetekligimevcuttur. (13.1)denkleminif (x, y) dx +g(x, y)dy= 0 (13.2)formundayazabiliriz.Teorem13.2. (13.2)denklemininsol tarafF (x, y)fonksiyonununtamdiferansiyeli olsun. Egerfy=gx(13.3)kosulusaglanyorsa(13.2)denkleminetamdrdenir. EgerObolgesi basit baglantl bolgeise(13.2)denklemiveya(13.1)denkleminingenel coz um uF (x, y) = c (13.4)fonksiyonudur.Bunagorecoz umasagdaki sekildebulunur:Fx= f (x, y)ifadesindeintegralaldgmzdaF (x, y) =_f (x, y) dx +(y) (13.5)eldeederiz. Buradatekraryyegoret urevaldgmzdaFy=y_f (x, y) dx + (y) = g (x, y) (y) = g (x, y) y_f (x, y) dxeldeederiz. Burada son denkleminsag tarafdenklemintam olmasndan dolayxdegiskeninden ba gmszdr vedenklemincoz um u(y) =_ _g (x, y) y_f (x, y) dx_dyseklindedir. Bunu (13.4) coz um unde yerine yazdgmzda (13.2) denklemi veya (13.1) denkleminin genel c oz um un ueldeederiz.Ornek 13.3._x2y2_dx +_y32xy_dy = 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um_x2y2_y=_y32xy_x= 2y (13.6)13. TAMADD 29oldugundan(13.3)kosulusaglanr.Fx= f (x, y) = x2y2F (x, y) =_ _x2y2_dx + (y) F (x, y) =x33xy2+(y) (13.7)Fy= g (x, y) 2xy + (y) = y22xy (y) = y2(y) =y33+cson(y)ifadesini(13.7)denklemindeyerineyazarsak (13.6)denkleminingenelcoz um un uF (x, y) =x33xy2+y33+cseklindeeldeederiz. Ornek 13.4._2xcos y + 3x2y_dx +_x3 x2sin y y_dy = 0y (0) = 2ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um_2xcos y + 3x2y_y=_x3x2sin y y_x= 3x22xsin yoldugundan(13.3)kosulusaglanr.Fx= f (x, y) = 2xcos y + 3x2y F (x, y) =_ _2xcos y + 3x2y_dx +(y) F (x, y) = x2cos y +x3y +(y) (13.8)Fy= g (x, y) x2sin y +x3+ (y) = x3x2siny y (y) = y (y) = y22+cson(y)ifadesinidenklemindeyerineyazarsak genelcoz um uF (x, y) = x2cos y +x3y y22+cseklindeeldeederiz. Sonolarakbaslangckosulundan,0 = 42+c c = 2 x2cos y +x3y y22= 2coz umd ur. Ornek 13.5.(yexycos 2x 2exysin 2x + 2x) dx + (xexycos 2x 3) dy= 0ADDnincoz um un ubulunuz.30 2. BIRINCI MERTEBEDENADDC oz um (yexycos 2x 2exysin2x + 2x)y= (xexycos 2x 3)x= exy(cos 2x 2xsin2x +xy cos 2x)oldugundan(13.3)kosulusaglanr.Fx= f (x, y) = yexycos 2x 2exysin 2x + 2xFy= g (x, y) = xexycos 2x 3 F (x, y) =_(xexycos 2x 3) dy +(x) F (x, y) = (cos 2x) exy3y +(x) x ((cos 2x) exy3y)Fx= yexycos 2x 2exysin2x + 2x y (cos 2x) exy2 (sin 2x) exy+ (x) = yexycos 2x 2exysin 2x + 2x (x) = 2x (x) = x2+cson(x)ifadesinidenklemindeyerineyazarsak genelcoz um uF (x, y) = (cos 2x) exy3y +x2+cseklindeeldeederiz. 14.IntegrasyonCarpanEger(13.2)denklemitamdiferansiyeldenklemdegiliseyukardakiyontemuygulanamaz. B oylebirdurumda(13.2)denkleminitamADDyapacak sekildesfrdanfarklbirfonksiyon ilecarpmalyz. Yani,m(x, y) f (x, y) dx +m(x, y) g (x, y) dy= 0 (14.1)denklemitamADDolacak sekildem(x, y) = 0fonksiyonu bulmalyz.Tanm 14.1. Eger (13.2) denklemi tamdiferansiyel denklemdegil fakat (14.1) denklemi tamdiferansiyeldenklemisem(x, y)fonksiyonuna(13.2)denklemininintegrasyoncarpan(integrationfactor)denir.Ornek 14.2._3y + 4xy2_dx +_2x + 3x2y_dy= 0ADDtamdegildir. C unk uf (x, y) = 3y + 4xy2, g (x, y) = 2x + 3x2y fy= 3 + 8xy,gx= 2 + 6xy fy=gxfakatm(x, y) = x2yicin_3x2y2+ 4x3y3_dx +_2x3y + 3x4y2_dy= 0denklemi (mf)y= 6x2+ 12x3y2= (mg)xkosulunusagladgndantamdr. Budurumdam(x, y) = x2yintegrasyoncarpandr.Uyar 14.3. Egerm(x, y)fonksiyonuintegrasyoncarpaniseyani(14.1)denklemitamdiferansiyel denklemise (mf)y= (mg)x14.INTEGRASYONC ARPANI 31kosulusaglanr. Buradang (x, y) mx f (x, y) my=_fy gx_m (14.2)eldeederiz.Geneldeintegrasyoncarpann bulmakoldukcazordur. Buy uzden(14.2) ifadesini kullanarakm(x, y) inte-grasyon carpansadecexvesadeceyninfonksiyonu olduguozeldurumlardainceleyecegiz.14.1. I.Durum. m(x, y) integrasyoncarpan sadece xin bir fonksiyonu olsun. Bu durumda (14.2)ifadesindemy= 0drve(14.2)ifadesindeng (x, y) mx=_fy gx_m dmm=_fy gx_g (x, y)dx (14.3)ln m =__fy gx_g (x, y)dx m(x) = exp____fy gx_g (x, y)dx__(14.4)Uyar 14.4. (14.3)denklemindedxinkatsays xinbirfonksiyonuolmaldr.14.2. II.Durum. m(x, y) integrasyoncarpan sadece y inbir fonksiyonuolsun. Budurumda (14.2)ifadesindemx= 0drve(14.2)ifadesindenf (x, y) my=_fy gx_m dmm= _fy gx_f (x, y)dy (14.5)ln m =__fy gx_f (x, y)dy m(x) = exp____fy gx_f (x, y)dy__(14.6)Uyar 14.5. (14.5)denklemindedyinkatsaysyinbirfonksiyonuolmaldr.Ornek 14.6.(x y) dx dy= 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umf (x, y) = (x y) , g (x, y) = 1 fy= 1,gx= 0 fy=gxoldugundandenklemtamADDdegildir. Bunagoreintegrasyoncarpannbulalm.Oncem(x, y)integrasyoncarpansadecexinbirfonksiyonu olmadurumunuinceleyelim:_fy gx_g (x, y)= 132 2. BIRINCI MERTEBEDENADDvesadecexinbirfonksiyonudur. (14.4)coz um undenintegrasyon carpanm(x) = exp____fy gx_g (x, y)dx__ = exp__dx_ = exolarakbulunur. Bunagoreex(x y) dx exdy= 0 (14.7)denklemitamADDdir:f (x, y) = ex(x y) , g (x, y) = exfy= ex,gx= exfy=gxvecoz um uFx= f (x, y) = ex(x y) F (x, y) =_(ex(x y)) dx +(y) (49) ve (51) noluform ullerdenF (x, y) = ex(x 1) yex+(y) (14.8)Fy= g (x, y) ex+ (y) = ex (y) = 0 (y) = cson(y)ifadesini(14.8)denklemindeyerineyazarsak (14.7)denkleminingenelcoz um un uF (x, y) = ex(x 1) yex+c F (x, y) = ex(x y 1) +cseklindeeldeederiz. Ornek 14.7.ydx + (3 + 3x y) dy= 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umf (x, y) = y, g (x, y) = (3 + 3x y) fy= 1,gx= 3 fy=gxoldugundandenklemtamADDdegildir. Bunagoreintegrasyoncarpannbulalm.Oncem(x, y)integrasyoncarpansadecexinbirfonksiyonu olmadurumunuinceleyelim:_fy gx_g (x, y)=2(3 + 3x y)sadecexinbirfonksiyonudegildir. Bunagorem(x, y)integrasyoncarpan sadeceyinbirfonksiyonuolmadurumunuinceleyelim:_fy gx_f (x, y)=2y14.INTEGRASYONC ARPANI 33sadeceyinbirfonksiyonudur. (14.6)coz um undenintegrasyon carpanm(y) = exp____fy gx_f (x, y)dy__ = exp__2ydy_ = e2 ln y= elny2= y2olarakbulunur. Bunagorey3dx +y2(3 + 3x y) dy= 0 (14.9)denklemitamADDdir:f (x, y) = y3, g (x, y) = y2(3 + 3x y) fy= 3y2,gx= 3y2fy=gxvecoz um uFx= f (x, y) = y3F (x, y) =_y3dx +(y) (1) noluform uldenF (x, y) = xy3+(y) (14.10)Fy= g (x, y) 3xy2+ (y) = y2(3 + 3x y) (y) = y2(3 y) (y) =_y2(3 y) dy +c (1) noluform ulden(y) = y3y44+cson(y)ifadesini(14.10)denklemindeyerineyazarsak (14.9)denkleminingenelcoz um un uF (x, y) = xy3+y3y44+cseklindeeldeederiz. Ornek 14.8._3x2+y + 3x3y_dx +xdy= 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umf (x, y) = 3x2+y + 3x3y, g (x, y) = xfy=_3x2+y + 3x3y_y= 3x3+ 1,gx= (x)x= 1 fy=gx oldugundantamADDdegildir. (14.2)form ul unegoreg (x, y) mx f (x, y) my=_fy gx_m fy gx= 3x3+ 1 1 = 3x3my= 0, xmx= 3x3m _dmm=_3x2dx ln m = x3m = ex334 2. BIRINCI MERTEBEDENADDintegralcarpandr. Bunagore_3x2+y + 3x3y_ex3dx +xex3dy= 0denklemitamADDdir. f (x, y) =_3x2+y + 3x3y_ex3, g (x, y) = xex3fy=__3x2+y + 3x3y_ex3_y= ex3+ 3x3ex3,gx=_xex3_x= ex3+ 3x3ex3fy=gx Fy= g (x, y) = xex3F (x, y) =_ _xex3_dy= xyex3+(x) Fx=_xyex3+(x)_x= yex3+ 3x3yex3+(x)= f (x, y) =_3x2+y + 3x3y_ex3yex3+ 3x3yex3+(x) =_3x2+y + 3x3y_ex3(x) = 3x2ex3(x) =_ _3x2ex3_dx(x) = ex3+c F (x, y) = xyex3+(x) F (x, y) = xyex3+ex3+c = 0coz umd ur.Ornek 14.9. (2xy2+y)dx + (2y3x)dy= 0ADDnincoz um un ubulunuz.

C oz umf (x, y) = 2xy2+y, g (x, y) = 2y3xfy=_2xy2+y_y= 4xy + 1,gx=_2y3x_x= 1 fy=gx 14.INTEGRASYONC ARPANI 35oldugundantamADDdegildir. (14.2)form ul unegoreg (x, y) mx f (x, y) my=_fy gx_m fy gx= 4xy + 2 mx= 0, (2xy2+y)my= (4xy + 2) m _dmm= _2ydy ln m = 2 lny m = y2integralcarpandr. Bunagore(2xy2+y)y2dx + (2y3x)y2dy= 0denklemitamADDdir. f (x, y) = (2xy2+y)y2, g (x, y) = (2y3x)y2fy=_(2xy2+y)y2_y= 1y2,gx=_(2y3x)y2_x= 1y2 fy=gx Fy= g (x, y) = (2y3x)y2F (x, y) =_ _(2y3x)y2_dy= y2+xy+(x) Fx=_y2+xy+(x)_x=1y+(x)= f (x, y) = (2xy2+y)y21y+(x) = (2xy2+y)y2(x) = 2x (x) =_(2x) dx(x) = x2+c F (x, y) = y2+xy+(x) F (x, y) = y2+xy+x2+c = 0coz umd ur. 14.3. (13.1) denkleminin tekil noktas. Eger f, g, f/y, g/y fonksiyonlar (x0, y0) noktas komsulu gundas urekli fonksiyonlarveg (x0, y0) =0iseTeorem4.19yegoretekcoz umsozkonusudurvee gerg (x0, y0)=0fakatf (x0, y0) = 0ise(13.1)denkleminiUyar4.33yagoredxdy= g (x, y)f (x, y)(14.11)seklindeyazabiliriz veaynkosullaraltndacoz um unvarlgndan sozedebiliriz.36 2. BIRINCI MERTEBEDENADDTanm14.10. Egerg (x0, y0) = 0, f (x0, y0) = 0kosulusaglanyorsa(x0, y0)noktasna(13.1)denkleminintekil noktasdenir.Teklnoktaicincoz um unvarlgdegisikolaslklartasmaktadr. Bunlarileilgilibazorneklerverelim.Ornek 14.11.y =yxdenklemiicin(0, 0)noktastekil noktadr. DegiskenlerineayrlabilirADDoldugundancoz umkolaycay= cxolarakeldeedilirvecoz umde(0, 0)noktasndangecmektedir.Tanm 14.12. EgerADDincoz um utekil noktadangecersebutekil noktayad ug umnoktas denir.Ornek14.11de(0, 0)noktasbird ug um(node)noktasdr.Ornek 14.13.y = yxdenklemiicin(0, 0)noktastekil noktadr. DegiskenlerineayrlabilirADDoldugundancoz umkolaycay=cxolarakeldeedilirvecoz umde(0, 0)noktasndangecmemektedir. Fakaty= 0, x = 0coz um unasimptotlardr.Tanm14.14. Eger ADD in tekil noktasndaki coz um u asimptotlar ise bu tekil noktaya semer (saddle) noktasdenir.Ornek14.13de(0, 0)noktasbirsemernoktasdr.Ornek 14.15.y = xydenklemiicin(0, 0)noktastekil noktadr. DegiskenlerineayrlabilirADDoldugundancoz umkolaycax2+y2= colarakeldeedilir. Coz umde(0, 0)noktasndangecmemektedir. vey= 0, x = 0coz um unasimptotlar degildir.Tanm14.16.Eger ADD in tekil noktasndaki coz um u asimptotlar degil ise ve coz um tekil noktadan gecmiyorsabutekil noktayamerkez(center)noktasdenir.Ornek14.15de(0, 0)noktasbirmerkeznoktasdr.CHAPTER3Birinci MertebedenDiferansiyel DenklemlerinUygulamalar15. DikYor ungelerxy d uzlemiicindebirDbolgesindetarifedilmisbulunanbiregriailesif(x, y, c) = 0 (15.1)denklemi ileifadeedilir. Buradacbirparametredirvecninherdegeri yeni biregriyi tarif eder. Bue grilerbirliktebiregriailesiolusturur.Tanm15.1. Biregriailesininegrilerininherbiriniaynbiracsilekesenbiregrisine-yor ungesidenir. acs 90olursabuyor ungeyedikyor ungedenir.Verilenbiregrialtesinin-yor ungesinibulmakicinbuaileninf(x, y, y) = 0diferansiyeldenklemindenyarar-lanlr.y = tan = tan ( ) = y tan 1 + y tanifadesinden-yor ungeegrisinindiferansiyeldenklemif_x, y, y tan1 + y tan_ = 0 (15.2)olarakeldeedilir.Ozelolarakdikyor ungedurumuicinlim2 y tan 1 + y tan= 1yeldeedilir. Bunagore(15.2)ifadesindenf_x, y,1y_ = 0seklinedon us ur.Uyar 15.2. Verilenegrinindiferansiyel denklemiP(x, y)dx +Q(x, y)dy= 0 (15.3)3738 3. BIRINCI MERTEBEDENDIFERANSIYELDENKLEMLERINUYGULAMALARIseklindeele alnrsa,buradady/dxyerine dx/dyyazmaksuretiyle,dikyor ungeegrisinindiferansiyeldenklemiQ(x, y)dx P(x, y)dy= 0 (15.4)diferansiyel denklemieldeedilir. Budiferansiyel denklemileifadeedilenegriaileside,ilkverilenegriailesinindikyor ungesiniolusturur.Ornek 15.3.x2+y2= c2, c > 0 (15.5)egiailesi, aynOmerkezlivecyarcapl dairelerdir. Buegrileredikolanegriailesini bulunuz.C oz um(15.5)ifadesindediferansiyelalrsak2xdx + 2ydy= 0 (15.6)ADDeldeederiz. (15.3)egoreP (x, y) = 2x, Q(x, y) = 2yve(15.4)egore(15.5)egriailesinedikegriailesi2ydx 2xdy= 0 (15.7)olarakeldeederiz. ADDincoz um u2ydx 2xdy= 0 dyy=dxxy = mxileifadeeilendogruaileleridir. 16. MekanikproblemleriBilindigigibiNewtonunikincihareket kanunu,F = ma = mdvdt= md2xdt2m =wgseklindeifadeedilir. Buradamcismink utlesi, Fcismeetkiedensabitkuvvet,acisminhareketininIvmesi, vhzvegidilenyolx,wisecisminagrlgileifadeedilir.Ornek 16.1. K utlesi molanbircisminyerdenoldukcay uksektebulunan birnoktadanIlkhzszolarakserbestd usmeyebraklyor. Cismeetki edenyercekimkuvveti sabit vehavadirencinincisminhz leorantl oldugukabul edildiginegore. herhangi birtanndacisminbaslangcnoktasndanhangi uzaklklaoldugunuveoandahangihzlahareketetmekteoldugunubulunuz.16. MEKANIKPROBLEMLERI 39C oz umSekil 4tegor uld ug ugibi, pozitif x-ekseni boyuncaasagdogrud usmekteolancisimbirtanndaObaslangc noktasndan xkadar uzaktavebirvhzIlehareket etmekteolsun,kpozitifbirkatsayolmak uzere,cisimvhzileasagdogruhareketetmekteIkencisminhareketineengelolmayacalsanhavadirenmekuvveticisminhzIleorantldrvekvyeesittir. Cismeetki edenyercekimkuvveti demgoldugunag ore, tanndacismeetkiedentoplamkuvvetmg kvolur. Ozaman,Newtonunikincihareket kanununag ore mdvdt= mg kv degiskenlerineayrlandvmg kv=dtm kdvmg kv= kdtm ln (mg kv) = ktm+ ln c mg kv = cektmeldeedilir. t = 0anndacisminhz(ilkhz)sfroklugundanv (0) = 0mg = colarakbulunur. Bunagoregenelcoz umv =gmkmgkekmtolarakbulunur.dxdt= v dx = vdt dx =_gmkmgkekmt_dt _dx =_ _gmkmgkekmt_dt x =mgk_t +mk ekmt_+c x(0) = h h =m2gk2+c c = h m2gk2x =mgk_t +mk ekmt_+h m2gk2

Ornek 16.2.Uzerindeki donanmlar ilebirliktebirparas utc un unagrlg 160lb(libre)verilmistir. Paras utaclmadanoncehavadirenci hznyarsnaesittir. Paras ut5snsonraacldgndahavadirenci hznkaresinin5/8i kadaroluyor. Paras ut aclmadanveacldktansonraparas utc un unhzn bulunuz. (Yercekimi ivmesinig= 32fit/sn2olarakalnz.)C oz umParas ut aclmadanoncekihznbulalm.w = 160lb m =wg= 160/32 = 540 3. BIRINCI MERTEBEDENDIFERANSIYELDENKLEMLERINUYGULAMALARIdr. Newtonun2.kuramndanF = mdvdt= F1 +F2 mdvdt= 160 v2 5dvdt= 160 v2 5dvdt=320 v2dv320 v=dt10 ln(320 v) =110t ln c 320 v = ce110tv (t) = 320 ce110tolarakbuluruz. Paras utc un un ilkzamandahznnolmamasndanv (0) = 0kosulundan0 = 320 c c = 320 v (t) = 320_1 e110t_paras ut aclmadanoncekiparas utc un unhznvermektedir. 5sn. sonraki hz5 2.5 0 -2.5 -5100500-50-100-150-200xyxyv (5) = 320_1 e1105_olarakbuluruz. Bunagore5snsonrakidiferansiyeldenklemimdvdt= 160 5v28v (5) = 320_1 e1105_ = 125.91: olarakverebiliriz. Denklemincoz um udv162v2=dt8132_116 v+116 +v_dv =dt8ln 16 +v16 v= 4t + ln c 16 +v16 v= ce4tv_1 +ce4t_ = 16_ce4t1_v =16_ce4t1_(1 +ce4t)v (5) = 320_1 e1105_320_1 e1105_=16_ce201_(1 +ce20)c =336 320e12320e392 304e20110142e20v (t) =16_110142e20+4t1__1 +110142e20+4t_ , t 5olarakbulunur. 16. MEKANIKPROBLEMLERI 4130483048cos3048sin30Ornek 16.3. Agrlg 48lbolanbircisimyatayla30olanegikbird uzleminen ust undenbraklyor. Havadirenci, hznyarsnaves urt unmekatsays da0.25olarakverildigine gore, cisimbrakldktan2snsonrakihznvetoplamyol 24ft(t)oldugunagorecisimaltksmavardgndacisminhznedir(g=32ft/sec2)?C oz umFormulasyon: (1) Agrlg48lb,dikeyolarakbelirtilenkuvvettir.(2) Nnotmalkuvveti,yatayd uzlemedikolanyondedir.Simdiisetoplamkuvvetleribelirleyelim:(1) F1,agrlgn yataybileseniileverilenkuvvettirF1= 48 sin30= 24(2) F2,s urt unmekuvveti,agrlgn dikeybileseniiles urt unmekuvvetinincarpmdr:F2= N= 1448 cos 30= 63(3) F3,havadirenciv2vev > 0oldugundannegatifyondedirF3= v2SimdiNewtonunkuralF = ma = F1 +F2 +F3,m =wg=4832=32 mdvdt= 24 63 v2v (0) = 0diferansiyeldenkleminicozelim:dv48 123 v= dt3ln_48 123 v_= t3+ ln c 48 123 v = cet3v (0) = 0 48 123 = c v =_48 123__1 et3_v (2) =_48 123__1 e23_ 13.2(ft/ sec2)42 3. BIRINCI MERTEBEDENDIFERANSIYELDENKLEMLERINUYGULAMALARIeldeederiz. Simdiyolun24olmasdurumundasonnoktadakihznnneoldugusorusunagelelim:dxdt= v =_48 123__1 et3_x =_48 123__t + 3et3_+c2 x(0) = 0 c2= 3_48 123_x =_48 123__t + 3et33_24 =_48 123__t + 3et33_3et3=47 + 2313tdenklemininyaklaskcoz um u2.6dr.v=_48 123__1 e2.63_ 16.2ft/ sec17. OranProblemleriOranproblemleri,birzikselb uy ukl ukteki,birimzamanicindemeydanagelendegismeolaraktarifedilir.Ornek 17.1. Radyoaktifbirelementinbozunma hzelementinmevcutmiktariledogruorantldr. Rayoaktifelementinorjinal agrlgnnyars 1500yl icindedagldgnagore(1) 4500 ylsonra,radyoaktif elementinagrlgnbulunuz.(2) Orjinalagrlgnn %10unavarmasicinnekadarzamangecmesigerektiginibulunuz.C oz um xradyoaktif elementinmiktarn gostermek uzeredx/dt radyokatif bozulmannorannbelirtir. Buoran mevcutmiktariledogru orantloldugundandxdt= kxmiktardaalamaoldugundanisaretnegatifdir.x(0) = x0ve1500ylsonraki bozulmamiktarx(1500) =x02dir.dxdt= kx, x(0) = x0diferansiyeldenkleminincoz um ux = x0ektx(1500) =x02oldugunagorex02= x0e1500kk =ln 21500 0.00046 x = x0e0.00046tek=_12_1/1500x = x0_ek_t= x0_12_t/1500

(1) t = 4500icinbozunmax = x0_12_4500/1500=x08Buise4500 senesonundabozunmann1/8veya%12.5oldugunusoyler(2)x =x010 x010= x0_12_t/1500t = 1500ln10ln 2 4985ylsonragerceklesir.18. POPULASYONPROBLEMLERI 43Ornek 17.2. Newtonunsogumakuramnagore, soguyanbir cisiminscaklg, cisminscaklg ve cismikaplayanortamn sabit scaklgnnfark ile orantldr. t = 0 daki50sabitscaklklbir ortamdakiscaklg80olduguna gore ve 5 saniye sonra cismin scaklg 70 e d ust ug une gore cismin scaklgnn, t ye bagl fonksiyonunubulunuzve10snsonrakiscaklgn bulunuz.C oz umx,tzamandakicisminscaklgngostersin bunagorediferansiyeldenklemdxdt= k (x 50)x(0) = 80vex(5) = 70kosullarmzvardr.dxx 50= kdt ln (x 50) = kt + ln c x 50 = cektx = 50 +cektx(0) = 80 30 = c x = 50 + 30ekt70 = 50 + 30e5ke5k=23 k 0.08109 ek=_23_1/5x = 50 + 30_23_t/510snsonrakicisminscaklgx = 50 + 30_23_10/5= 63.33

18. Pop ulasyonProblemleriPopulasyon icindiferansiyelmodeldxdt= kxolarakd us un ul urkenrealistikmodeldxdt= kx x2seklindedir.Ornek 18.1. Populasyonicinrealistikmodeldxdt=1100x 1108x2olarak veriliyor. 1980 ylnda sehrin pop ulasyonu 100000 olarak verildigine gore 2000 ylndaki sehrin pop ulasyonunedir?Hangiylda, 1980dekipop ulasyonunun2katkadarpop ulasyonolur?C oz umdxdt=1100x 1108x2dx102x 108x2= dt 100_1x+1061 106x_dx = dt ln x ln_1 106x_=t100+ ln c x1 106x= cet/100x =cet/1001 +c106et/100, x(1980) = 105105=ce1980/1001 +c106e1980/100c =1069e995x(2000) =1069e995e2000/1001 +1069e995106e2000/100 11949544 3. BIRINCI MERTEBEDENDIFERANSIYELDENKLEMLERINUYGULAMALARI2. skkncoz um uicin:2.105=1069e995et/1001 +1069e995106et/100e19.8t/100=49 t 2061

19. KarsmProblemleriBuradakarsmlardaki oranlarelealnr. Smaddesi belli oranlardakikarsmlar icerip, karsm, karstrc ilesabittutuluyor. xileSmaddesininmiktarngosterirsekdx/dtxdekidegisimintyegoreorannverir. Bunagorediferansiyelmodelidxdt= girisverileri cksverileriolarakverilir.Ornek 19.1. Baslangcta 50 gal(gallon,3.78lt lik bir olc u ) saf su iceren bir tanker de t = 0 annda 3 gal/sn likhzlatankn icine 2 lb lik tuz icerencoz ulm us tuzlu su eklenmektedir. Karstrcile karsmhomojentutulurken,baskabirvanadanayn hzlakarsmbosaltlmaktadr. Bunagore, tanktaherhangi tzamanndaki tuzorannnedir?C oz umGirisverileri: 3gal/sn likhzlatanknicine2lbliktuzicerencoz ulm ustuzlusugirisverileri = 2(lb/gal)3(gal/sn) = 6lb/snEkleme hz ile bosaltma hz ayn oranda oldugundan tank herhangi bir zamanda 50 gallik bir karsmicermektedir.Vebununxlbsituzisetuzkonsantrasyonu x/50olarak verilir.cikisverileri =x50(lb/gal)3(gal/sn) =3x50lb/sndir. Ohaldediferansiyeldenklem:dxdt= 6 3x50 dx300 3x=dt50 dxx 100= 3dt50ln (x 100) = 350t + ln c x 100 = ce3t/100x(0) = 0kosulundanc = 100 x = 100_1 e3t/100_

Ornek 19.2. B uy uk bir su tankeri, baslangcta icinde 10lb lik tuz oran bulunan50 gal lik bir tuzlusuicermektedir. Gallonunda2lbliktuzbulunduranbaskabirtuzlusukarsm 5gal/snlikhzlakarsmailaveedilmektedir. Karstrc iletuzlusukarsm homojentutulurken3gal/snlikhzlabaskabir vanadandsarbosaltlmaktadr. Herhangibirzamanda,sutankerindekituzorannbulunuz?20. ELEKTRIKDEVREPROBLEMLERI 45C oz umGrisler:girisverileri = 2(lb/gal)5(gal/sn) = 10lb/sngirishz5veckshz3oldugunagoretoplamhz5 3 = 2veboyleceherhangizamandakituzlusumiktar,baslangctada50oldugundan50 + 2tvetuzkonsantrasyonu isex50 + 2tolarakverilir. Boylece cikisverileri =x50 + 2t(lb/gal)3(gal/sn) =3x50 + 2tlb/snOhaldediferansiyeldenklem:dxdt= 10 3x50 + 2t dxdt+350 + 2tx = 10lineerdenkleminieldeederiz.dxdt+350 + 2tx = 0 dxx= 350 + 2tdt ln x = 32 ln (50 + 2t) + ln c x = c (50 + 2t)3/2x = c (t) (50 + 2t)3/2homojenolmayan denklemincoz um uolsun. c(50 + 2t)3/23c (t) (50 + 2t)5/2+350 + 2tc (t) (50 + 2t)3/2= 10 c= 10 (50 + 2t)3/2c =_10 (50 + 2t)3/2dt = 82 (t + 25)5/2+c1 x =_82 (t + 25)5/2+c1_(50 + 2t)3/2x(0) = 0kosulundan0 =_82 (25)5/2+c1_(50)3/2c = 25 0002 x =_82 (t + 25)5/225 0002_(50 + 2t)3/2sonucolarak buluruz.20. ElektrikDevreProblemleriEnbasit elektrikdevreleri, jeneratorveyapil gibi elektrikkaynag veenerjiyi kullananbirrezist or( orne ginelektrikamp ul u)(resistance)bulunanbirseri devredir. Egerd ugmekapatlrsabirI akm rezist oredo gruakacakvebirvoltaj d usmesinesebepolucaktr. Yani rezistor uniki ucundaki potansiyel farkl olucaktr. Bupotansiyelfarkveyavoltajd us us uiseVoltmetredenilenbireltileolc ulebilir. Eketrikdevrelerindekibasitbirkural Kircho kural olarak adalandrlr, Bu kurala gore, elektrik devresindeki t um voltajlarn toplam, toplamkuvveteesittir. ToplamkuvvetiE (t)ilegosterirsek (emf-electromotiveforce)VL +VR +VC= E (t)Rrezistor(reistance),Ckapasitor(capacitor),Iind uktor(nductor). I= I (t)elektrik devresindekiakmveq= q (t)kapasitordekianielektriky uk un ugostermek uzereq= Iseklinde bir bagnt mevcuttur. Ohmkanununa gore rezistor uzerindeki voltaj d us ukl ug uakmile do gruorantldr:VR= RI46 3. BIRINCI MERTEBEDENDIFERANSIYELDENKLEMLERINUYGULAMALARIResistrDmeKaynakburadaRrezistor undirencidir ve sabittir. Kapasitordeki voltaj d us us uise kapasitordeki elektriky uk uileorantldrveVC=1Cqolarak verilir. Burada Ckapasitanstr (capacidance). Son olarak ind uktordeki voltaj d us us u ise akmn de gisimhzileorantldr:VL= LILsabitineindiktor unind uktansdenir(henryileolc ul ur)(inductance). Kircho kuralnag oreLI +1Cq +RI= E (t)bagntsneldeederiz. Buradat urevalrsakveq= IifadesinegoreLI +1Cq +RI= E(t) LI +RI +1CI = E(t) 2.mertebedendenklemiRCLdenklemiolarak adalndrlr.Ind uktor unolmadgdurumdadevreyeRCdevresidenirvedenklemVC+VR= E (t) 1Cq +RI= E (t) I= q Rq +1Cq = E (t)olan1. mertebedenADDeldeederiz.20. ELEKTRIKDEVREPROBLEMLERI 47Ornek 20.1. SekildeverilenRCdevresinde(a)onceSanahtarnn1konumunagetirilmesi durumunda(b)Sanahtarnn2konumunagetirilmesidurumundadevredengecenakmsiddetini bulunuz.E(t)S12RCC oz um(a)egeranahtar birdurumundaiseemf-electromotiveforceE (t)dirvedenklemRq +1Cq= E (t) q +1RCq=E (t)Rlineerdenklemdirvecoz umq = e

1RCdt__E (t)Re

1RCdtdt +c1_q=E (t)R1RCq= I I =E (t)R1RC_etRC__E (t)RetRCdt +c1__(b) skkiciniseE (t) = 0durumudurvedenklemincoz um undeyerineyazdgmzdaI= c1RCetRColarakbuluruz. Buradaki-isaretiakmntersyonedogrugittiginigosterir. Ornek 20.2. 20lukbirdirencteli, 0.01F (Farad)lkbirkapasitans olankondansator, emf(electromotiveforce)si 40e2t+20e4tlik bir uretece seri olarak baglanyor. Baslangc zamanda y uk u olmadgna gore herhangibirandaki y uk un ubulunuz?C oz umR = 20, C= 0.01F, E (t) = 40e2t+ 20e4tverilerivedenklem:q +1RCq =E (t)Rq (0) = 0lineerdenklemiicinoncehomojendenklemielealalm:dqq= 1RCdt = 5dt q= ce5tvehomojenolmayan denklemincoz um uq= c (t) e5t48 3. BIRINCI MERTEBEDENDIFERANSIYELDENKLEMLERINUYGULAMALARIolsun. ce5t 5ce5t+ 5e5t= 40e2t+ 20e4t c= 40e3t+ 20etc (t) =403e3t+ 20et+c1 q=_403e3t+ 20et+c1_e5tq (0) = 0 c1= 1003 q=_403e3t+ 20et1003_e5t

Basitbirelektrikdevresiniolarak ifadeedebiliriz. Simdisrasyla herbirdurumuirdeleyelim:A.VR=RIveV VR=0olmal. BununanlamiseV veVRkarslklolaraktersyondehareketetti gindenisaretlerifarklolmaldr. V= VRbagntsndan isevoltaj d us ukl ug un unolmadgnsoyleyebiliriz.B.V V1V2= 0kosulundan veV1= I.R1, V2= I.R2 V= I (R1 +R2) olarak buluruz. Rs= R1 +R2isetoplamresistansverir.V = I (R1 +R2) I=VR1 +R2V1= I.R1=R1R1 +R2V,V2= I.R2=R2R1 +R2VC.kosulundaiseV = VR= I1R1= I2R2 I= I1 +I2 I = V_1R1+1R2_V=R1R2R1 +R2I I1=VR1=1R1R1R2R1 +R2I=R2R1 +R2I I2=VR2=1R2R1R2R1 +R2I=R1R1 +R2Isonuclarneldeederiz.Ornek 20.3. BusekildeveyukradakisekildeVilegosterilenaslndaE (t)dir.20. ELEKTRIKDEVREPROBLEMLERI 49 IC= CdVRdt, Ir=VRR2, I=1R1(V VR) I= IC+IR 1R1(V VR) = CdVRdt+VRR2dVRdt+_1CR2+1CR1_VR=VR1CHAPTER41. mertebedeny uksekdereceli ADD1.mertebedeny uksekmertebeliADDgenelformuF (x, y, y) = 0 (15.1)seklindedir. Genelolaraky = polarakgosterilir. Bunagore(15.1)denklemiF (x, y, p) = 0 (15.2)seklindeifadeedilir.Uyar 15.4. (15.1) denklemini cozmekgeneldecokkolaydegildir. Vehattacoz um unolmas dagerekmez.Bunun icinenonemlisonuclarburadabelirtecegiz.16. y = f (x, p)formundaki ADD(15.1)denklemiy = f (x, p) (16.1)formundaolsun.dydx= p dy= pdxve(16.1)denklemindenfxdx +fpdp = dy= pdx dxebolersekfx+fpdpdx= p (16.2)(16.2)denklemipvexindenklemidirveBol um2dekicozUmyontemleriilecoz umeldeedilebilir.Ornek 16.1.y21 +y2= 0 (16.3)ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um(16.3)denkleminiy=_1 p2(16.4)5152 4. 1. MERTEBEDENYUKSEKDERECELI ADDolarakdayazabiliriz. (16.2)ifadesindenf (x, p) =_1 p2fx+fpdpdx= p p_1 p2dpdx= p p_1 +1_1 p2dpdx_= 0 1 +1_1 p2dpdx= 0, p = 0 1_1 p2dp = dx,dydx= 0 arcsinp = x +c, y= c p = sin (x +c) , y= c y = cos (x +c) , y = c(16.4)ADDnincoz umleridir. 17. x = f (y, p)formundaki ADD(15.1)denklemix = f (y, p) (17.1)formundaolsun.dxdy=1dydx=1pve(17.1)denklemindenfy+fpdpdy=dxdy=1p fy+fpdpdy=1p(17.2)(17.2)denklemipveyindenklemidirveBol um2dekicoz umyontemleriilecoz umeldeedilebilir.Ornek 17.1.x 1 +y2= 0 (17.3)ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um(17.3)denkleminix = 1 p2olarakdayazabiliriz. (17.2)ifadesindenf (x, p) = 1 p2fy+fpdpdy=1p 2pdpdy=1p 2p2dp = dy 23p3= y +c p =dydx=_32 (y +c)_1/3dy_32 (y +c)_1/3= dx 1(3/2)1/3(y +c)2/32/3= x (17.3)ADDnincoz umleridir. 18. LAGRANGEDENKLEMI 5318. LagrangeDenklemiy= (y) x + (y) (18.1)veyay = (p) x + (p) (18.2)t ur undekidenklemlereLagrange denklemidenir. (18.2)denkleminixegorediferansiyelinialrsakp = (p) +x (p) dpdx+ (p) dpdx p (p) = x (p) dpdx+ (p) dpdx 1 =x (p)p (p)dpdx+ (p)p (p)dpdx dxdp= (p)p (p)x + (p)p (p)(18.3)lineerdenkleminieldeederizvecoz um un ux = t (p, c) (18.4)(Bkz. Bol um 2 te lineer ADDin coz um unden elde ederiz) olarak yazalm. Buna gore (18.4) y (18.2) c oz um undeyerineyazarsak co uz um unparametrikgosterimiolaraky = (p) x + (p) (18.5)eldeederiz.Ornek 18.1.y= 2xy +y2yaday= 2xp +p2(18.6)ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um(18.1)ifadesinegore(p) = 2p, (p) = p2ve(18.3)don us um undendxdp=2p 2px +2pp 2p= 2px 2lineerdenkleminieldeederiz. (10.1)ifadesindena (p) =2p, b (p) = 2ve(10.6)coz um undenx = e

ppdp__2e

3pdpdp +c1_= elnp2__2elnp2dp +c1_= p2__2p2dp +c_= p2_23p3+c_(18.7)eldeederiz. (18.7)u(18.6)deyerineyazdgmzday= 2p1_23p3+c_+p2(18.8)eldeederiz. (18.7)ve(18.8) , (18.6)ngenelcoz um un unparametrikdenklemidir. 54 4. 1. MERTEBEDENYUKSEKDERECELI ADD19. ClairautDenklemiLagrange denkleminde(p) = pdurumunday = xy + (y) veyay= px + (p) (19.1)t ur undekidenklemlereClairautdenklemidenir. (19.1)denkleminixegorediferansiyelinialrsakp = p +xdpdx+ (p)dpdx dpdx (x + (p)) = 0 dpdx= 0 p = c (19.2)coz um un ueldeederiz. Bu(19.2)yi(19.1)denklemindekullanrsak(19.1)denkleminingenelc oz um un uy = cx + (c) (19.3)eldeederiz.Bununyanndaegerx + (p) = 0 (19.4)saglanrsa budenklemingenelcoz um un udep = t (x) (19.5)olarakgosterelim. Tekrar(19.5)yi(19.1)denklemindekullanrsak(19.1)denkleminingenelc oz um un uy= xt (x) + (t (x)) (19.6)olarakeldeederiz.Ornek 19.1._dydx 1__y xdydx_ =dydxyada (p 1) (y xp) = p (19.7)ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um(19.7)yd uzenledigimizdey= px +pp 1(19.8)eldeederiz. (19.2)ifadesinegore (p) =pp 1(19.9)ve(19.2)don us um undenp = c (19.10)eldeederiz. Bu(19.10)yi(19.8)denklemindekullanrsak(19.7)denkleminingenelcoz um un uy= cx +cc 1(19.11)eldeederiz. Eger(19.4)saglanrsax + (p) = x +p (p 1) pp(p 1)2= x p(p 1)2= 0 dp(p 1)2= xdx _dp(p 1)2=_xdx (6)ifadesinden1p 1=x2+c2p = 1 2x2+c(19.12)eldeederiz. Bu(19.12)yi(19.8)denklemindekullanrsak(19.7)denkleminingenelcoz um un uy=_1 2x2+c_x + 1 +1_1 2x2+c_1(19.13)19. CLAIRAUTDENKLEMI 55eldeederiz. CHAPTER5Y uksekMertebedenLineerADD21. GirisTanm21.1. n. incimertebedenhomojenolmayanbirlineerADDgenel olaraka0(x)y(n)+a1(x)y(n1)+... +an1(x)y +an(x)y = F(x) (21.1)a0 (x) dnydxn+a1 (x) dn1ydxn1+ +an1 (x) dydx+an (x) y = F (x)seklindeyazlr. Buradaa0(x),a1(x), . . . , an(x)degiskenkatsaylardr. BukatsaylarveF(x)fonksiyonu,xinbirI= [a, b]aralgndatanmlanmss ureklifonksiyonlardr.Tanm21.2. Eger,F(x) = 0ise,(21.1)denklemia0(x)y(n)+a1(x)y(n1)+... +an1(x)y +an(x)y= 0 (21.2)seklinialr. Ozamanbudenkleme,nincimertebedendegiskenkatsayl homojenlineerADDdenir.Ornek 21.3. y + 3xy +x3y= exlineer2. mertebedenADDdir.22. LineerhomojenADDicintemelteoremlerhomojen olmayan n.inci mertebeden de gisken katsayl bir lineer diferansiyel denklemin, yani (21.1) denkleminingenel coz um un u bulmak amacmzdr. Bunun icin once (21.2) homojen diferansiyel denklemin genel c oz um un unbulunmasincelenecektir. ((21.1)diferansiyeldenkleminincoz um uileilgilivarlkteoremiTeorem(4.23)deelealnmstr.)Teorem 22.1. n. inci mertebedenbirhomojendiferansiyel denkleminbiribirindenfarkl msaydacoz um uy1, y2, ..., ymolsun. Buradam ndr. Budurumdac1, c2, ..., cmkatsaylar keysabit saylar olmak uzere,y= c1y1 +c2y2 +... +cmymfonksiyonudaayndenkleminbircoz um uolur.Tanm 22.2. y1, y2, ..., ymherhangi fonksiyonlar ve c1, c2, ..., cmherhangi keysabit saylar olsunlar. Budurumdac1y1 +c2y2 +... +cmymifadesiney1, y2, ..., ymfonksiyonlarnnlineerkombinasyonudenir.Uyar 22.3. Tanm22.2egore(21.2)homojendiferansiyel denklemincoz umlerininlineerkombinasyonudabircoz umd ur.Ornek 22.4. sin xvecos xfonksiyonlar y + y= 0ADDnincoz um ud ur. Uyar22.14agorey= c1 cos x +c2 sin xdedenklemincoz um ud ur.Tanm22.5. Bir a x b aralgnda tanmlams olan y1, y2, ..., ymfonksiyon k umesi icin, hepsi sfr olmayanc1, c2, ..., cmgibisabitsaylarbulunabilirsevexinbuaralktaki b ut undegerleri icin,c1y1 +c2y2 +... +cmym= 0ise,bufonksiyonlaraaralarndalineerbagmlfonksiyonlardenir.Ornek 22.6. xve2xfonksiyonlar [0, 1]aralgndalineerbagmldr. C unk uc1x +c2 (2x) = 0 (c1 + 2c2) x = 0,x [0, 1] c1 + 2c2= 0 c1= 2c2Orneginc2= 1, c1= 2icinifadesaglanmsolur.Tanm22.7. Bira x baralgndalineerbagml olmayanfonksiyonlaraise, lineerbagmszfonksiyonlardenir. Yani,c1y1 +c2y2 +... +cmym= 0 c1= c2= = cm= 05758 5. YUKSEKMERTEBEDENLINEERADDOrnek 22.8. xve x2fonksiyonlar [0, 1] aralgndalineer bagmszdr. c1x + c2x2=0ifadesini diferan-siyellersekc1 + 2c2x = 0eldeederizvexilebudenklemicarparsakc1x + 2c2x2= 0eldeederiz.c1x +c2x2= 0vec1x + 2c2x2= 0,x [0, 1]denklemlerini ckartrsakc2x2= 0,x [0, 1]eldeederiz. Bunagorec2= 0 = c1dir.Teorem22.9. (21.2)homojendiferansiyel denklemi nlineerbagmszcoz umesahiptir. y1, y2, ..., yn(21.2)homojendiferansiyel denklemininlineerbagmszcoz umleriise(21.2)ningenel coz um uc1y1 +c2y2 +... +cnynileifadeedilir. Buradac1, c2, ..., cnkeysabitsaylar.Ornek 22.10. sinxvecos xlineerbagmszfonksiyonlar y +y= 0ADDnincoz um ud ur. Uyar22.14aveTeorem22.9gorey= c1 cos x +c2 sin xdedenklemincoz um ud ur.Simdi, iki veya daha fazla fonksiyonun hangi kosullarda lineer bagml veya lineer bagmsz oldu gunu arastralm.Tanm22.11. Bira x baralgndatanmlamsolany1, y2, ..., ynfonksiyonlar(n 1) .mertebdent urevesahipolsunlar.W (y1, y2, ..., yn) =y1y2. . . yny1y2. . . yn......y(n1)1y(n1)2. . . y(n1)ndeterminantnaWronskiandenirvea x bnoktasndaki degeriksacaW (y1, y2, ..., yn)ilegosterilir.Teorem22.12. y1, y2, ..., yn(21.2)homojendiferansiyel denkleminincoz umleri lineerbagmsz olmas icingerekveyeterkosul W (y1, y2, ..., yn) = 0olmaldr.Ornek 22.13. sin xvecos xfonksiyonlar y +y = 0ADDninlineerbagmszcoz um ud urveW (sinx, cos x) =sin x cos xcos x sinx = 1 = 0Uyar 22.14. (21.2)homojendiferansiyel denkleminincoz um uy (x)olsunvey (x0) = 0, y(x0) = 0, . . . , y(n1)(x0) = 0kosulunusaglyorsabudurumdacoz umy (x) = 0dr.Tanm22.15. Uyar22.14dekicoz umeasikarcoz umdenir.23. MertebeninindirgenmesiTeorem 23.1. (21.2) homojen diferansiyel denkleminin asikar olmayan f coz um un u biliyorsak y =fvdon us um uiledenklemi(n 1) .mertebeyeindirgeyebiliriz.Teorem23.2.a0(x)y +a1(x)y +a2(x)y= 0 (23.1)homojendiferansiyel denklemininasikarolmayanfolsun.y= fv (23.2)don us um un udenklemdeyerineyazalma0(x) (fv) +a1(x) (fv) +a2(x)fv = 0 a0(x) (fv + 2fv +fv) +a1(x) (fv +fv) +a2(x)fv = 0 (a0(x)f +a1(x)f +a2(x)f). .=0v +a0 (x) fv + (2a0 (x) f +a1 (x) f) v= 0 ile(23.1)denkleminia0(x)f (x) dwdx+ [2a0 (x) f(x) +a1 (x) f (x)] w = 0 (23.3)23. MERTEBENININDIRGENMESI 59denklemineindirgeyebiliriz. Buradaw = vdr. Bunagore(23.3)denkleminincoz um uw =exp__a1(x)a0(x)dx_[f (x)]2vew = v v=_exp__a1(x)a0(x)dx_[f (x)]2dx (23.4)seklindedir.Ornek 23.3. y= xfonksiyonu_x2+ 1_y2xy+2y = 0denklemininbircoz um uolmak uzere,mertebeninindirgenmesiyonteminikullanaraklineerbagmszcoz um ubulunuz.C oz um(23.1)egorea0(x) = x2+ 1, a1(x) = 2x, a2 (x) = 2dir. (23.4)tenv =_exp__a1(x)a0(x)dx_[f (x)]2dx=_exp__2xx2+1dx_x2dx =x2+1=u2xdx=du_exp__duu_x2dx=_exp (ln u)x2dx =_u +cx2dx =x2+1=u_x2+ 1x2dx =_ _1 +1x2_dx= x 1x+c = x 1x+c(23.2)don us um undencoz um uy = x_x 1x+c_ = x2+cx 1seklindeeldeederiz. Teorem 22.1egorey = c2x +c3_x2+cx 1_= A_x21_+Bxgenelcoz umd ur. Ornek 23.4. y = xfonksiyonux2y4xy + 4y = 0denklemininbircoz um uolsun. Mertebeninindirgenmesiyontemiilegenel coz um ubulunuz.C oz umy= xvdon us um un udenklemdeyerineyazalm.x2(xv)4x(xv) + 4xv = 0 x2(2v +xv) 4x(v +xv) + 4xv= 0 x2(xv2v) = 0 xv2v= 0 w=vxw= 2w dww= 2dxxln w = 2 lnx + ln c w = cx2w=vv= cx2dv = cx2dx v =cx33+c1 y= x_cx33+c1_ =cx43+c1xseklindeeldeederiz. Teorem 23.9egorey = c2x +c3_cx43+c1x_= Ax43+Bxgenelcoz umd ur. 60 5. YUKSEKMERTEBEDENLINEERADD24. SabitkatsaylhomojenlineerADDa0y(n)+a1y(n1)+... +an1y +any= 0 (24.1)sabitkatsaylhomojendenklemincoz um un uy= emx(24.2)olarakarayalm. Bunagoredkydxk= mkemx, k = 1, .., nt urevlerini(24.1)denklemindeyerineyazarsakemx_a0mn+a1mn1+ +... +an1m+an_ = 0denkleminieldeederiz. emx= 0oldugundana0mn+a1mn1+ +... +an1m+an= 0 (24.3)eldeedilir.Tanm24.1. (24.3)ediferansiyel denkleminkarakteristikdenklemi denir. Budenklemninci derecedenbircebirsel denklemoldugunagore, denkleminm1, m2, ..., mngibi ntanekok uolmaldr. Bukokler birer birerdenklem(24.1)dayerinekonursaherdefasndabirozel coz umeldeedilecektir. Bunagoredenkleminkoklerinegorecoz um uirdeleyelim.24.1. 1. Durum: Ayrkreel kokler. (24.3)denklemininntanefarkl(ayrk)kok un unoldu gudurum-dur.Teorem24.2. (24.3) denkleminin n tane m1, m2, ..., mngibi farkl (ayrk) reel kok u var ise (24.1) denkleminingenel coz um uy= c1em1x+c2em2x+... +cnemnx(24.4)seklindedir. c1, c, ..., cnkeysabitlerdir.Ornek 24.3. y3y + 2y= 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz um Karakteristikdenklemm2 3m + 2=0. Boylecedenklemincoz um u(m1) (m2)=0 m1=1, m2= 2. (24.4)dany= c1ex+c2e2xcoz umd ur. Uyar 24.4.Ornek24.3degor uld ug u uzereexvee2xfonksiyonlar lineerbagmszdr.W_ex, e2x_ =exe2xex2e2x = ex= 0dr.Ornek 24.5. yy12y = 0, y (0) = 3, y(0) = 5 BDPnincoz um un ubulunuz.C oz umDiferansiyeldenkleminkarakteristikdenklemim2m12 = 0coz umlerm1,2= 3, 4,ve1. Durum: dir. Bunagoree3x, e4xlineerbagmszcoz umlerdir. Teorem23.9agorey= c1e3x+c2e4xcoz umd ur.y (0) = 3, y(0) = 524. SABITKATSAYILI HOMOJENLINEERADD 61kosullarndanc1 +c2= 33c1 + 4c2= 5 c1= 1, c2= 2 y= e3x+e4xcoz umd ur. 24.2. 2. Durum: Tekrarl kokler.Teorem24.6. (24.3)denkleminink okleri kdefatekrarlanyorsa(m1=m2= =mk=m)budurumda(24.1)denkleminintekraredenkoklerekarslkgelencoz um u_c1 +c2x + +ckxk1_emx(24.5)seklindedir. mk+1, mk+2, . . . , mnbirbirindenfarklreel koklerolmak uzere(24.1)denkleminingenel coz um uy=_c1 +c2x + +ckxk1_emx+ck+1emk+1x+ck+2emk+2x+... +cnemnx(24.6)formundadr.Ornek 24.7. yiv+ 5y + 6y + 4y8y = 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umDenkleminkarakteristik denklemim4+ 5m3+ 6m2+ 4m8 = 0vedenkleminkokleri2, 2, 2, 1 dir. Bunagoretekraredenm = 2kok unekarslkgelencoz um(24.5)dany1=_c1 +c2x +c3x2_e2xvem2= 1kok unekarslkgelencoz umy2= c4exdir. Bunagoregenelcoz um(24.6)deny= y1 +y2=_c1 +c2x +c3x2_e2x+c4exdr. Ornek 24.8. y(5)2y(4)+y= 0denkleminincoz um un ubulunuz.C oz umDiferansiyeldenkleminkarakteristikdenklemim52m4+m3= 0vecoz umlerm1,2,3,4,5 = 0, 0, 0, 1, 1 ve2. Durum: Tekrarlkoklerdir. Bunagore1, x, x2, ex, xexlineerbagmszcoz umlerdir. Teorem23.9agorey = c1 +c2x +c3x2+c4ex+c5xecoz umd ur. 24.3. 3. Durum: Komplekseslenikkokler.Tanm 24.9. i2= 1olmak uzerekompleks saylara + ib, b =0formundadr. (a, breel saylar). a ibsaysnaisea +ibninkomplekseslenigidenir.Teorem24.10. (24.3)denklemininkomplekseslenikkokleria +ibvea ibtekrarlanmasnlar. Budurumdagenel coz umy= eax(c1 sin bx +c2 cos bx) (24.7)olarakyazlr.62 5. YUKSEKMERTEBEDENLINEERADDProof. Genelcoz um uk1e(a+ib)x+k2e(aib)xolarakyazabiliriz. Buradaei= cos +i sin Eulerformul un ukullanrsakk1e(a+ib)x+k2e(aib)x= k1eaxeibx+k2eaxeibx= eax_k1eibx+k2eibx_= eax(k1 (cos bx +i sinbx) +k2 (cos bx i sin bx))= eax((k1 +k2) cos bx +i (k1k2) sinbx)= eax(c1 sin bx +c2 cos bx) , c1= k1 +k2, c2= k1k2eldeederiz. Ornek 24.11. y6y + 25y = 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umADDninkarakteristikdenklemim26m+ 25 = 0dr. Denleminkoklerim =6 36 1002=6 8i2= 3 4i a = 3, b = 4 (24.7)y = e3x(c1 sin4x +c2 cos 4x)coz umd ur. Teorem24.12. (24.3) denkleminin kompleks eslenik kokleri a+ib ve aib k defa tekrarlansnlar. Bu durumdatekrarlanankoklerekarslkgelengenel coz umy= eax_c1 +c2x + +ckxk1_sin bx +eax_c1 +c2x + +ckxk1_cos bx (24.8)olarakyazlr.Ornek 24.13. yvi2y +y= 0ADDnincoz um un ubulunuz.C oz umDiferansiyeldenkleminkarakteristikdenklemim62m3+ 1 = 0coz umler m1,2,3= 1, 12 +i32, 12 +i32, ve digerleri esit olmak uzere 1. Durum: Ayrk reel k okler & 2. Durum&3. Durum: Komplekseslenikkoklerdir. Bunagoreex, xex, e12xcos3x2, e12xsin3x2, xe12xcos3x2, xe12xsin3x2lineerbagmszcoz umlerdir. Teorem23.9agorey= c1ex+c2xex+c3e12xcos3x2+c4e12xsin3x2+c5xe12xcos3x2+c6xe12xsin3x2coz umd ur. 25. HomojenolmayanADD(21.1)homojenolmayan denklemielealalm:a0(x)y(n)+a1(x)y(n1)+... +an1(x)y +an(x)y= F(x)Teorem25.1. vfonksiyonu(21.1)homojenolmayandenkleminbircoz um uveufonksiyonu(21.2)homojendenklemincoz um uiseu +vfonksiyonuda(21.1)homojenolmayandenkleminbircoz um ud ur.Ornek 25.2. y=xfonksiyonuy + y=xhomojenolmayandenklemininbircoz um ud ur. sin xfonksiyonuy+y= 0 homojen ADD nin coz um ud ur. Teorem 25.1e gore y= x+sin x fonksiyonu da y+y= x denkleminincoz um ud ur.25. HOMOJENOLMAYANADD 63(21.2) homojendenklemingenel coz um uolanyc(complementaryfunction)ninnasl bulundu gunubiliyoruz.Simdiiseamacmz,homojenolmayanbudenkleminbirozelcoz um uolanvebirkeysabitsayicermeyenyp(particular integral ) coz um un u ve sonuc olarak (21.1) homojen olmayan denkleminin genel coz um un u bulmaktr.ypninbulunmasileilgiliolarak birkacmetotgelistirilmistir. Bumetotlar,srasile,(i): BelirsizKatsaylar Metodu(ii): Parametrelerin DegisimiMetodu25.1. BelirsizKatsaylarMetodu.Tanm25.3. Eger(1) xn, n 0pozitifsay(2) eax, a = 0(3) sin(bx +c) , b = 0, csabitler(4) cos (bx +c) , b = 0, csabitlerfonksiyonlarndan birisi veya bunlar lineer kombinasyonu ise fonksiyona UC (undetermined coecient) fonksiy-onudenir.Ornek 25.4. x3, e2x, sin(3x/2) , cos (2x +/4)UCfonksiyonlardr.Tanm25.5. LineerbagmszUCfonksiyonlarnnk umesineksacaUCk umesidenir.UCfonksiyonu UCk umesi1 xn_xn, xn1, . . . , x, 1_2 eax{eax}3 sin(bx +c)veyacos (bx +c){sin (bx +c) , cos (bx +c)}4 xneax_xneax, xn1eax, . . . , xeax, eax_5xnsin (bx +c)veyaxncos (bx +c){xnsin (bx +c) , xncos (bx +c) ,xn1sin (bx +c) , xn1cos (bx +c) ,. . . , xsin(bx +c) , xcos (bx +c) ,sin (bx +c) , cos (bx +c)}6 eaxsin (bx +c)veyaeaxcos (bx +c){eaxsin (bx +c) , eaxcos (bx +c)}7 xneaxsin(bx +c)veyaxneaxcos (bx +c){xneaxsin (bx +c) , xneaxcos (bx +c) ,xn1eaxsin (bx +c) , xn1eaxcos (bx +c) ,. . . , xeaxsin (bx +c) , xeaxcos (bx +c) ,eaxsin (bx +c) , eaxcos (bx +c)}Ornek 25.6. f (x) = x2sin xfonksiyonununUCk umesi_x2sin x, x2cos x, xsin x, xcos x, sin x, cos x_Yontem(21.1)homojenolmayan denklemindea0(x)y(n)+a1(x)y(n1)+... +an1(x)y +an(x)y= F(x)F (x)fonksiyonunu UCfonksiyonlarnn lineerkombinasyonu olmasdurumundabuyontemiugulayabiliriz.(1) F= c1u1 +c2u2 + +cmumolsun. Buradau1, u2, . . . , umUCfonksiyonlardr.(2) u1, u2, . . . , umUCfonksiyonlarna karslkgelenUCk umeleriniS1, S2, . . . , Smolarakbelirleyelim.(3) Denkveyabirbirindeicerilenk umelerielimineedelimveya ustk umeyisecelim.(4) EgerUCk umelerininelemanlar,t urdesksmncoz um undeolmayacakeskildexinenk uc ukkuvvetiilecarppk umeyiyenidend uzenleyelim.(5)Ozelcoz um ubuUCfonksiyonlarnn lineerkombinasyonu oldugunuvarsayalm.(6) Lineerkombinasyondaki bilinmeyenkatsaylardenklemdeyerineyazarak belirleyelim.Ornek 25.7. y 2y 3y = 2ex10 sinxADDnincoz um un ubulunuz.64 5. YUKSEKMERTEBEDENLINEERADDC oz umy 2y 3y= 0homojendenklemincoz um um22m3 = 0karakteristikdenkleminincoz um undenm1=3, m2= 1 yc= c1e3x+ c2exformundadr. Simdihomojenolmayan terimegelelim:2ex10 sinxfonksiyonu(1)ex, sin x, cos xUCfonksiyonlarnn lineerkombinasyonu olarakyazlmstr. BunagoreUCk umeleri(2)S1= {ex}S2= {sin x, cos x}(3)Birbirinedenkveesitk umeolmad gndan buadmgecelim.(4) S1 ve S2 k umelerinin elemanlar ile homojen ksmn fonksiyonlar bir biri ile ayn degildir. Bu skkda gecelim.(5)3ve4. durumlarsaglanmadgndan birsonrakidurum.(6)Ozelfonksiyonu buk umelerinolusturmusolduguelemalarnkombinasyonu seklindeyazld gnvarsayalm:yp= Aex+Bsin x +C cos x yp= Aex+Bcos x C sin x yp= AexBsin x C cos xdenklemdeyerineyazarsaky 2y 3y = 2ex10 sinx AexBsin x C cos x 2 (Aex+Bcos x C sin x3 (Aex+Bsin x +C cos x) = 2ex10 sinx 4Aex+ (4B + 2C) sin x + (4C 2B) cos x = 2ex10 sinx4A = 2,4B + 2C = 104C 2B = 0 A = 12, B= 2, C= 1yp= 12ex+ 2 sinx cos xozelcoz umvey= yc +yp= c1e3x+c2ex12ex+ 2 sinx cos xgenelcoz umd ur. Ornek 25.8. y 3y + 2y = 2x2+ex+ 2xex+ 4e3xADDnincoz um un ubulunuz.C oz umy 3y + 2y= 0homojendenklemincoz um um23m+ 2 = 0karakteristikdenkleminincoz um undenm1=1, m2=2 yc=c1ex+ c2e2xformundadr. Simdi homojenolmayan terimegelelim:2x2+ex+ 2xex+ 4e3xfonksiyonu(1)x2, ex, xex, e3x25. HOMOJENOLMAYANADD 65UCfonksiyonlarnn lineerkombinasyonu olarakyazlmstr. BunagoreUCk umeleri(2)S1=_x2, x, 1_S2= {ex}S3= {xex, ex}S4=_e3x_(3) S2 S3oldugundanS1, S3, S4k umelerielealncaktr.(4) S3= {xex, ex}k umesi exfonksiyonunuicerdigindenveexfonksiyonuhomojendenkleminc oz um uicindeoldugundan S3k umesinin elemanlarn xilecarpp yeniden d uzenleriz: S3 = {x2ex, xex}k umesinin elemanlarileozlecoz umdekifonksiyonlarayndegildir.(5)Yenidend uzenlenenk umelersrasyla:S1=_x2, x, 1_S3 = {x2ex, xex}S4=_e3x_seklindedir.(6)Ozelfonksiyonu buk umelerinolusturmusolduguelemalarnkombinasyonu seklindeyazld gnvarsayalm:yp= Ax2+Bx +C +Dx2ex+ Exex+Fe3xyp= B + 2Ax +Eex+ 2xDex+xEex+ 3Fe3x+x2Dexyp= 2A+ 2Dex+ 2Eex+ 4xDex+xEex+ 9Fe3x+x2Dexdenklemdeyerineyazarsaky 3y + 2y = 2x2+ex+ 2xex+ 4e3x2A + 2Dex+ 2Eex+ 4xDex+xEex+ 9Fe3x+x2Dex3_B + 2Ax +Eex+ 2xDex+xEex+ 3Fe3x+x2Dex_+ 2Ax2+Bx +C +Dx2e+Exex+Fe3x= 2x2+ex+ 2xex+ 4e3x(2A3B + 2C) + (2B 6A) x + 2Ax2+2De3x2Exex+ (2E F) ex= 2x2+ex+ 2xex+ 4e3x2A3B + 2C = 02B 6A = 02A = 22D = 42E = 22E F = 1 A = 1, B= 3, C=72, F= 3, D = 2, E= 1 yp= x2+ 3x +72+ 2x2exxex3e3xozelcoz umvey= yc +yp= c1ex+c2e2x+x2+ 3x +72+ 2x2exxex3e3xgenelcoz umd ur. Ornek 25.9. yiv+y= 3x2+ 4 sinx 2 cos xADDnincoz um un ubulunuz.C oz umyiv+y= 0homojendenklemincoz um um4+m2= 0karakteristikdenkleminincoz um undenm1,2= 0, m3,4= i yc= c1 +c2x +c3 sin x + c4 cos xformundadr.Simdihomojenolmayan terimegelelim:3x2+ 4 sinx 2 cos x66 5. YUKSEKMERTEBEDENLINEERADDfonksiyonu(1)x2, sinx, cos xUCfonksiyonlarnn lineerkombinasyonu olarakyazlmstr. BunagoreUCk umeleri(2)S1=_x2, x, 1_S2= {sin x, cos x}S3= {cos x, sin x}(3) S2= S3oldugundanS1, S2k umelerielealncaktr.(4) S1=_x2, x, 1_k umesi x, 1fonksiyonlarn icerdigindenvex, 1fonksiyonlar homojendenkleminc oz um uicindeoldugundanS1k umesininelemanlarn x2ilecarppyenidend uzenleriz: S1 = {x4, x3, x2}. B oylecebuk umenin elemanlar t urdes ksmn coz um undeki fonksiyonlardan farkldr. Yine S2 k umesinin elemanlar, t urdesksmncoz um undeoldugundan,elemanlarxilecarpalm: S2 = {xsin x, xcos x}(5)Yenidend uzenlenenk umelersrasyla:S1 = {x4, x3, x2}S2 = {xsin x, xcos x}seklindedir.(6)Ozelfonksiyonu buk umelerinolusturmusolduguelemalarnkombinasyonu seklindeyazld gnvarsayalm:yp= Ax4+Bx3+ Cx2+Dxsin x +Excos x yp= 2Cx +E cos x +Dsin x +xDcos x xE sin x + 4Ax3+ 3Bx2yp= 2C + 6Bx + 2Dcos x 2Esin x xE cos x xDsinx + 12Ax2yp= 6B + 24Ax 3E cos x 3Dsin x xDcos x +xE sin x yivp= 24A4Dcos x + 4Esin x +xE cos x +xDsinxdenklemdeyerineyazarsakyiv+y= 3x2+ 4 sin x 2 cos x 24A4Dcos x + 4E sin x +xE cos x +xDsin x+2C + 6Bx + 2Dcos x 2E sin x xE cos x xDsin x + 12Ax2= 3x2+ 4 sin x 2 cos x24A+ 2C = 06B = 012A = 32D = 22E = 4 A =14, B= 0, C= 3, D = 1, E= 2yp=14x43x2+xsin x + 2xcos xozelcoz umvey= yc +yp= c1 +c2x +c3 sin x +c4 cos x +14x43x2+xsin x + 2xcos xgenelcoz umd ur. 25.2. ParametrelerinDegisimiMetodu.y +a (x) y= b (x)formundakidenklemlerelineerdenkleminihatrlayalm. Denkleminy +a (x) y= 025. HOMOJENOLMAYANADD 67t urdesdenkleminekarslkgelencoz um uy= c exp__a (x) dx_,olarakeldeetmistik.(10.1)ingenelcoz um un uy= c (x) exp__a (x) dx_.formundaaramstkkibuteoriolarakparametrelerin degisimimetodudur. Yontemi2. mertebdende giskenkatsaylbirADDicinanlatalm:a0 (x) y +a1 (x) y +a2 (x) = F (x) (25.1)denkleminielealalm. y1vey2a0 (x) y +a1 (x) y +a2 (x) = 0 (25.2)homojendenklemininlineerbagmszc oz umleriolsunlar. Budurumdayc= c1y1 +c2y2(25.2)homojendenklemininbirgenel coz um ud ur. Parametrelerindegisimi yontemindec1, c2sabitleri yerinefonksiyonlard us un ul ur. Yaniyp= v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) (25.3)fonksiyonu(25.1)denklemininbircoz um ud ur. Buradav1 (x) vev2 (x) fonksiyonlarnnifadelerini bulmamzgerekmektedir. Elimizde 2 bilinmeyen var ve 1 kosul olarakda (25.3) fonksiyonunun coz um olmas var. Dolaysyla2. birekkosulaihtiyacduyulmaktadr.yp= v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) +v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) (25.4)Buradaypfonksiyonunu bulmadanoncedahaoncebahsetmisoldugumuz2. kosulolarakv1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) = 0 (25.5)alalm. Simdifonksiyonun 2. t urevinialrsakyp= v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) +v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) (25.6)eldeederiz. (25.3) fonksiyonunun coz um oldugundan (25.3) , (25.4) , (25.6) ifadelerini(25.1)denklemindeyerineyazarsaka0 (x) [v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x) +v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2(x)] +a1 (x) [v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x)] +a2 (x) [v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x)]= F (x) ___v1 (x) [a0 (x) y1 (x) +a1 (x) y1 (x) +a2 (x) y1(x)] +v2 (x) [a0 (x) y2 (x) +a1 (x) y2 (x) +a2 (x) y2(x)] +a0 (x) [v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2 (x)]= F (x)(25.7)eldeederiz. y1vey2homojendenklemininlineerbagmszcoz umlerioldugundana0 (x) y1 (x) + a1 (x) y1 (x) +a2 (x) y1 (x) = 0 ve a0 (x) y2 (x) +a1 (x) y2 (x) +a2 (x) y2 (x) kosullar saglanr. (25.7) de bunlar dikkatealrsaka0 (x) [v1 (x) y1 (x) +v2 (x) y2(x)] = F (x) (25.8)kosulunueldeederiz.Boylecebilinmeyenv1 (x)vev2 (x)fonksiyonlaricin_v1 (x) y1(x) +v2 (x) y2 (x) = 0v1 (x) y1(x) +v2 (x) y2 (x) =F(x)a0(x)(25.9)denklemsisteminieldeederiz. Katsaylar determinantW [y1 (x) , y2 (x)] =y1 (x) y2 (x)y1 (x) y2 (x)68 5. YUKSEKMERTEBEDENLINEERADDolarak eldeederiz. y1vey2lineerbagmsz coz umleroldugundan Wronkiyen W [y1 (x) , y2 (x)] = 0dr. B oylece(25.9)sisteminintekcoz um uvardr. Vev1 (x)vev2 (x)fonksiyonlarnv1 (x) =0 y2 (x)F(x)a0(x)y2 (x)y1(x) y2 (x)y1(x) y2 (x)= F (x) y2 (x)a0 (x) W [y1(x) , y2 (x)](25.10)v2 (x) =y1 (x) 0y1 (x)F(x)a0(x)y1(x) y2 (x)y1(x) y2 (x)=F (x) y1 (x)a0 (x) W [y1 (x) , y2(x)](25.11)Boylece(25.10)ve(25.11)deintegralaldgmzdav1 (x)vev2 (x)fonksiyonlarnbuluruz.Ornek 25.10.y +y= tan xADDnincoz um un ubulunuz.C oz umHomojenksmncoz um uyc= c1 sin x +c2 cos xoldugundangenelcoz um uyp= v1 (x) sin x +v2 (x) cos xolsun.yp= v1 (x) cos x v2 (x) sin x +v1 (x) sin x +v2 (x) cos xBuradaypfonksiyonunu bulmadanoncedahaoncebahsetmisoldugumuz2. kosulolarakv1 (x) sin x +v2 (x) cos x = 0alalm. Simdifonksiyonun 2. t urevinialrsakyp= v1 (x) sinx v2 (x) cos x +v1 (x) cos x v2 (x) sinxeldeederiz. Denklemdeyerineyazarsakv1 (x) cos x v2 (x) sinx = tan xeldeederiz. Boylecebilinmeyenv1 (x)vev2 (x)fonksiyonlar icin_v1 (x) sinx +v2 (x) cos x = 0v1 (x) cos x v2 (x) sinx = tanxdenklemsisteminieldeederiz. Vev1 (x)vev2 (x)fonksiyonlarnv1 (x) =0 cos xtan x sinxsin x cos xcos x sinx= sin x v1 (x) = cos x +c3v2 (x) =sin x 0cos x tanxsinx cos xcos x sinx= sin2xcos x=cos2x 1cos xv2 (x) =_(cos x sec x) dx =(77).intgsin x ln (sec x + tan x) +c4olarakeldeederiz. Bunagoregenelcoz umyp (x) = v1 (x) sinx +v2 (x) cos x= (cos x +c3) sin x + (sin x ln (sec x + tanx) +c4) cos x= c3 sin x +c4 cos x ln (sec x + tanx) cos x25. HOMOJENOLMAYANADD 69olarakeldeederiz.y = yc +yp= c1 sin x +c2 cos x +c3 sin x +c4 cos x ln (sec x + tan x) cos x= A3 sin x +Bcos x ln (sec x + tan x) cos x

Ornek 25.11.y6y + 11y6y= exADDnincoz um un ubulunuz.C oz umHomojenksmncoz um um36m2+ 11m6 = 0 m1,2,3= 1, 2, 3 yc= c1ex+c2e2x+c3e3xoldugundangenelcoz um uyp= v1 (x) ex+v2 (x) e2x+v3 (x) e3xolsun.yp= v1 (x) ex+ 2v2 (x) e2x+ 3v3 (x) e3x+v1 (x) ex+v2 (x) e2x+v3 (x) e3x2. kosulolarakv1 (x) ex+v2 (x) e2x+v3 (x) e3x= 0alalm. Simdifonksiyonun 2. t urevinialrsakyp= v1 (x) ex+ 4v2 (x) e2x+ 9v3 (x) e3x+v1 (x) ex+ 2v2 (x) e2x+ 3v3 (x) e3xeldeederiz. 3. kosulolarakdav1 (x) ex+ 2v2 (x) e2x+ 3v3 (x) e3x= 0buluruz. 3. t urevidealrsakyp= v1 (x) ex+ 8v2(x) e2x+ 27v3 (x) e3x+v1 (x) ex+ 4v2(x) e2x+ 9v3 (x) e3xeldeederiz. Bunlardenklemdeyerineyazarsakv1 (x) ex+ 4v2 (x) e2x+ 9v3 (x) e3x= exeldeederiz. Boylecebilin