Střední průmyslová škola strojnická Tábor Komenského 1670 Studijní obor Technické lyceum Užití diferenciálního a integrálního počtu v praxi Závěrečná ročníková práce Autor: Miroslava Knotová Třída: 4.La Školní rok: 2005/2006 Vedoucí učitel: Mgr. Markéta Štěpková Konzultant: Mgr. Marie Jelenová
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Střední průmyslová škola strojnická Tábor
Komenského 1670
Studijní obor Technické lyceum
Užití diferenciálního a integrálního počtu v praxi
Závěrečná ročníková práce
Autor: Miroslava Knotová Třída: 4.La
Školní rok: 2005/2006
Vedoucí učitel: Mgr. Markéta Štěpková
Konzultant: Mgr. Marie Jelenová
2
„Prohlašuji, že jsem tuto práci zpracovala samostatně a uvedla jsem veškeré použité
informační prameny.“
V Táboře dne 27. 3 2006
Miroslava Knotová
3
Anotace
Tématem práce je využití diferenciálního a integrálního počtu v praxi. V první části je
popsána historie matematické analýzy. V druhé části je rozebrán diferenciální počet,
ve třetí části integrální počet. Obě tyto části jsou doplněny o praktické příklady. Čtvrtá část
obsahuje další praktické využití derivací a integrálů, konkrétně v technických výpočtech.
The theme of the final work is the use of differential and integral calculus in practise.
There is a history of the mathematical analysis described in the first part. There are
differential and integral calculus described in the other two parts. These parts are
completed with practical examples from different areas. There are other practical
examples of using derivatives and integrals in the technical calculations in the fourth part.
4
Obsah
1 Úvod ……………………………………………………………………………. 5
2 Historie …………………………………………………………………………. 6
3 Diferenciální počet …………………………………………………………….. 8
3.1 Derivace funkce ………………………………………………………. 8
3.1.1 Geometrický význam derivace …………………………………… 8
3.1.2 Fyzikální význam derivace ………………………………………. 10
3.2 Základní vzorce pro počítání derivací ………………………………… 11
3.3 Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí ……………………. 12
3.4 Derivace složené funkce ………………………………………………. 12
3.5 Vyšší derivace ………………………………………………………… 13
3.6 Užití diferenciálního počtu ……………………………………………. 13
4 Integrální počet ………………………………………………………………… 21
4.1 Primitivní funkce / neurčitý integrál ………………………………….. 21
4.2 Základní vzorce pro určení primitivní funkce ………………………… 22
4.3 Integrační metody……………………………………………………… 23
4.4 Určitý integrál ………………………………………………………… 23
4.5 Používané vzorce při výpočtu určitého integrálu …………………….. 23
4.6 Užití integrálního počtu ………………………………………………. 23
4.7 Ukázkové příklady, kde se využívá integrálního počtu ………………. 24
5 Příklady použití diferenciálního a integrálního počtu v technických výpočtech 31
5.1 Mechanika tekutin ……………………………………………………. 31
5.2 Mechanika tuhého tělesa ……………………………………………… 33
5.3 Kinematika ……………………………………………………………. 42
6 Závěr …………………………………………………………………………… 46
7 Seznam použitých informačních zdrojů ……………………………………….. 47
5
1 Úvod
Studuji technické lyceum, obor architektura. Odbornou praxi jsem absolvovala
v Geodetické kanceláři Ing. Karla Práška v Milevsku. Během praxe jsem měla možnost
pracovat v terénu a vyzkoušet si práci s geodetickými přístroji, zaměřování a částečně se
seznámit s historií geodézie. Praxe byla pro mě velmi zajímavá a poučná.
Pro závěrečnou ročníkovou práci jsem si zvolila téma z matematiky. Mým cílem bylo
poukázat na skutečnost, že se matematika vyučuje za účelem jejího aplikování v praxi a
nikoliv jen jako suma vzorců vytržených z kontextu.
Pro naplnění tohoto cíle jsem vybrala téma diferenciální a integrální počet. V úvodu je
naznačena historie matematické analýzy. Dále je práce rozdělena na tři části. V první části
jsem shrnula teoretická východiska diferenciálního počtu a doplnila je o praktické příklady
jeho využití. V druhé části následuje integrální počet s dalšími ukázkami praktického
využití. Protože studuji technicky zaměřenou školu, zařadila jsem, s pomocí učitelů
odborných předmětů, třetí část týkající se použití derivací a integrálů v technických
výpočtech, např. v kinematice, mechanice tekutin a tuhých těles.
6
2 Historie
Vznik matematické analýzy spadá do doby kolem roku 1670, kdy nezávisle na
sobě anglický matematik, fyzik a astronom Isaac Newton (1643-1727) a německý
matematik, fyzik, filozof, právník a diplomat Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)
vytvořili diferenciální a integrální počet zvaný dnes matematická analýza. Do
matematických úvah se dostávají veličiny infinitezimální (tj. veličiny nekonečně malé a
nekonečně velké). Pomocí matematické analýzy se podařilo vyřešit mnoho fyzikálních a
technických problémů, které se doposud řešit nedaly.
Práce obou zakladatelů diferenciálního a integrálního počtu navazovaly na řadu
předchůdců. Jeden z nejvýznamnějších byl francouzský matematik René Descartes (1596-
1650), který vyložil základní principy analytické geometrie a významně ovlivnil další
vývoj matematiky. Francouzský matematik Pierre de Fermat (1601-1665) se dostal
k analytické geometrii. Najdeme u něho rovnice přímky a kuželoseček. Ve svých pracích
předjal některé myšlenky infinitezimálního počtu – objevil metodu určování maxim a
minim, určoval tečny ke křivkám, obsahy ploch a objemy těles. Další z předchůdců byl
učitel Newtonův, anglický matematik Isaac Barrow (1630-1677). Styl infinitezimálních
úvah ve svých pracích ukázal také např. německý matematik a astronom Johann Keller
(1571-1663).
Objev infinitezimálního počtu zahájil plodné tvůrčí období matematiků. Leibnizovy
metody převzali bratři Jakob Bernoulli (1654-1705) a Johann Bernoulli (1667-1748).
Nejvýznamnějším matematikem 18. století byl Leonhard Euler (1707-1783). Zajímal
se o všechna odvětví matematiky, která byla známá v jeho době a dal podnět k rozvoji
dalších matematických disciplín. Jeho dílo Introductio in analysis infinitorum vykládá
znalosti potřebné pro diferenciální a integrální počet a lze jej považovat za první učebnici
analytické geometrie.
Další matematici, kteří se zasloužili o rozvoj matematické analýzy: francouzský
matematik Joseph Louis Lagrange (1736-1816), filozof Bernard Bolzano (1781-1848),
francouzský matematik Augustin Louis Cauchy (1789-1857), který kolem roku 1820
zavedl pojem limita funkce a podstatně přispěl k upřesnění základních pojmů matematické
analýzy. Upřesnění matematické analýzy završil německý matematik Karl Weierstrass
(1815-1897) tím, že jí dal aritmetický základ, s čímž souvisely představy o tom, co je
7
reálné číslo. Němečtí matematici Georg Cantor (1845-1918) a Richard Dedekind (1831-
1916) užili různých postupů k vybudování přesného logického základu pojmu reálné číslo.
Cauchy, který je považován za tvůrce moderní matematické analýzy, vybudoval teorii
integrálu pro spojité funkce jedné proměnné. O další pokrok v teorii integrálu se zasloužil
německý matematik Bernard Riemann (1822-1866). Riemannův způsob integrování blíže
vysvětlil a upřesnil francouzský matematik Gaston Darboux (1842-1917). Samozřejmě
matematiků, kteří významně přispěli k rozvoji matematické analýzy bylo zdaleka víc. Zde
jsou uvedeni jen někteří nejvýznamnější.
I čeští matematici přispěli určitou měrou k rozvoji matematické analýzy. V Čechách
žijící Bernard Bolzano matematik, filozof, logik italsko německého původu, který zpřesnil
základní pojmy matematické analýzy, jako je limita, spojitost a derivace funkce. První
původní práci z infinitezimálního počtu v Čechách vydal matematik a astronom Joseph
Stepling (1716-1778). Za další matematiky jmenujme např. Jana Tesánka (1728-1788),
Stanislava Vydru (1741-1804), Františka Josefa Studničku (1836-1903) a mnoho jiných.
8
3 Diferenciální počet 3.1 Derivace funkce
o derivace funkce je speciální případ limity
o pojem derivace funkce označujeme funkci
3.1.1 Geometrický význam derivace
Na obrázku je vidět část grafu funkce y = f(x), tečna t v dotykovém bodě
T[x0 , f(x0)], pak sečna s určená bodem T a bodem S[x0+h, f(x0+h)]. Směrový úhel sečny je
označen ϕ , směrový úhel tečny je označenα . Směrnice sečny je :
hxfhxf
xhxxfhxf
tgks)()(
)()()( 00
00
00 −+=
−+−+
== ϕ .
Ze sečny s se stane tečna ve chvíli, kdy bod S přejde po části grafu funkce )(xfy = do
bodu T. Přitom se stále zmenšuje hodnota h, pro směrnici tečny tedy platí:
hxfhxf
tgtgkhTt
t)()( 00
0limlim
−+===
>−>−αα .
9
Derivace funkce v bodě
o pojem derivace funkce v bodě označujeme konkrétní číslo
o limitu h
xfhxfh
)()( 00
0lim
−+>−
nazýváme derivací funkce )(xfy = v bodě x0,
označujeme ji obvykle )( 0xf ′ a píšeme h
xfhxfxf
h
)()()( 00
00 lim
−+=′
>−
o derivace funkce v bodě geometricky představuje směrnici tečny funkce v bodě,
tečna je určena bodem T [x0 , f(x0)] a směrnicí )( 0xfk ′= , rovnice tečny je
t: )()( 00 xxkxfy −=−
o normála n je kolmice na tečnu v bodě dotyku, její rovnice je:
)(1)( 00 xxk
xfy −−=−
Odvození některých derivací z definice:
a) NnRxxyf n ∈∈= ,,:
102
)1(
)2
)1((2
)()()()()(:
120
10
0
120
10
0
022
011
00
0
00
0
00
000
lim
limlim
limlim
−=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−+=
=+−+
=−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=
=−+
=−+
=′∈∀
==========
−−−
>−
−−−
>−
−−
>−
>−>−
nhhxnnnx
h
hhxnnnxh
h
xhhxn
hnxx
hxhx
hxfhxf
xyRx
nxnnn
h
nnn
h
nnnnn
h
nn
hh
( ) 1−=′ nn nxx
b) xyf cos: =
022
sin
22
2sin
22
sin22
sin2
2sin2
)cos()cos()()()(:
sinlim
limlim
limlim
0
0
0
0
0
0
00
0
00
000
xhx
h
hhx
h
hhxh
xhxh
xfhxfxyRx
h
hh
hh
−===========>−
>−>−
>−>−
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ +−=
=
+−
=
+−
=
=−+
=−+
=′∈∀
Rx∈∀ xx sin)(cos −=′
Použité vzorce: 2
sin2
sin2coscos βαβαβα −+−=− 1sinlim0
=⎟⎠⎞⎜
⎝⎛
>− xx
x
10
3.1.2 Fyzikální význam derivace
)()( 12 tftf − …dráha za čas 12 tt −
Derivace s´(t0) funkce s v bodě t0, kde t je čas a s dráha pohybu, je okamžitá rychlost
v čase t0.
Příklad
Po přímce se pohybuje bod, a to tak, že dráha, kterou urazí od zvoleného počátku, je funkcí
času. Vyjádříme to funkční rovnicí s = f(t), kde s je dráha (závisle proměnná) a t čas
(nezávisle proměnná). Jsou-li t1 a t2 dva okamžiky ( t1 < t2 ), udává rozdíl f(t2) – f(t1) dráhu,
kterou bod urazil za čas t2 – t1. Podíl
12
1221
)()(tt
tftftsv
−−
=∆∆=>−
je průměrná rychlost bodu v čase od t1 do t2 (∆ s je přírůstek dráhy a ∆ t přírůstek času).
Tato průměrná rychlost je rovna skutečné rychlosti pohybu jen když jde o pohyb
rovnoměrný. Jinak je třeba, aby časový interval byl co nejkratší, aby průměrná rychlost
charakterizovala nerovnoměrný pohyb.
Bude-li se tedy časový interval (přírůstek) zmenšovat a blížit nule (∆ t −> 0), pak
ttfttfv
t ∆−∆+
=>−∆
)()( 11
01 lim ,
což je okamžitá rychlost zmíněného pohybu v okamžiku t1. 1
1 Derivace rychlosti je zrychlení -> volný pád 2
21 gts = g….konstanta, t…proměnná
)(tsv ′= gtv = ; )(tva ′= ga =
11
3.2 Základní vzorce pro počítání derivací
)(xf podmínky Df )(xf ′ fD ′
k Rk ∈ R 0 R nx Nn∈ R 1−nnx R nx −∈ Zn { }0\R 1−nnx { }0\R
nx ZRn \∈ ),0( +∞ 1−nnx ),0( +∞
xsin R xcos R
xcos R xsin− R tgx { }0cos; ≠∈ xRx
x2cos1 { }0cos; ≠∈ xRx
gxcot { }0sin; ≠∈ xRx x2sin
1− { }0sin; ≠∈ xRx
xe R xe R xa 1,0 ≠> aa R aa x ln R
xln ),0( +∞ x1
),0( +∞
xalog 1,0 ≠> aa ),0( +∞ ax ln
1 ),0( +∞
xarcsin 1,1− 21
1
x−
)1,1(−
xarccos 1,1− 21
1x−
− )1,1(−
arctgx R 21
1x+
R
gxarc cot R 21
1x+
− R
12
3.3 Derivace součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí
o má-li funkce )(xf ′ derivaci v určitém bodě Mx ∈0 , pak tuto derivaci
nazýváme druhá derivace funkce )(xf v bodě 0x a značíme ji )(xf ′′
o obdobně definujeme derivaci třetího, čtvrtého, pátého, …, n-tého řádu,
označujeme je VIV fff ,,′′′ nebo )5()4()3( ,, fff
Příklad 1.
666
263 2
=′′+=′
−+=
yxy
xxy
Příklad 2.
22
1
1)(1
1ln
xxy
xx
y
xy
−=⋅−=′′
==′
=
−
−
3.6 Užití diferenciálního počtu
o určování důležitých / význačných vlastností funkce
• Monotónnost funkce
• Lokální extrémy
• Konvexnost a konkávnost funkce, inflexní bod
• Asymptoty grafu funkce
zjištění průběhu funkce a pozdější přesné sestrojení jejího grafu
Při hledání využití diferenciálního počtu v praxi jsem zjistila, že diferenciální počet
nachází největší uplatnění při výpočtu extrémů. Znalost lokálního extrému umožňuje např.
optimalizovat konstrukci nebo provoz zařízení (ukázka výpočtu minimálních nákladů na
pořízení elektrického vedení v příkladu 2. nebo minimálních rozměrů nádrže v příkladu
1.). Diferenciálního počtu se dále využívá při analýze pohybů pro vyloučení kolize při
známých rozměrech prvků, jak je naznačeno v příkladu 5.
14
Příklad 1.
Zjistěte rozměry otevřené požární nádrže se čtvercovým dnem o objemu 32m3 tak, aby na
vyzdění jejích stěn a dna bylo třeba nejmenší množství materiálu.
Ověření:
min0
42
2562
)4(
)4(
3)(
>′′+=′′
+=′′
S
Sa
S a
Rozměry požární nádrže se čtvercovým dnem jsou: stěna dna je 4m a hloubka 2m.
aaS
aaaS
avaS
a128
324
4
2)(
22
2
+=
⋅+=
+=
maa
aa
aa
Sa
aS
a
a
464
1282
01282
0
1282
3
2
2
)(
2)(
==
=
=−
=′
−=′
mv
v
2432
2
=
=
2
2
3
3232
3232
av
vavaa
mV
=
=⋅=⋅⋅
=
15
Příklad 2.
Pořizovací náklady elektrického vedení jsou závislé na průřezu S vedení a na ztrátách
elektrického proudu ve vedení vztahem SkSky 2
1 += , kde 21 , kk jsou kladné konstanty.
Určete průřez S tak, aby pořizovací náklady byly minimální.
Ověření:
min0
2
20
1
2
1
2 3
1
2
2
32
)(
>′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=′′
+=′′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
kk
kk
s
y
kk
ky
Sky
1
2
1
22
22
1
22
1
)(
22
1)(
21)(
0
0
kkS
kkS
Skk
Skk
ySkky
SkSky
s
s
s
=
=
=
=−
=′
−=′
+=
16
Příklad 3.
Tvrdý papír tvaru obdélníku má rozměry 60cm a 28cm. V rozích se odstřihnou stejné
čtverce a zbytek se ohne do tvaru otevřené krabice. Jak dlouhá musí být strana
odstřižených čtverců, aby objem krabice byl největší?
cmx
x
nevyhovujex
x
Dxx
xx
V
xxV
xxxVxxxV
xxxxVxxxV
cbaV
x
x
x
6
66
363123
6140
65288
27040420883
0168035212
0
123521680
41761680)41761680(
)4561201680()228()260(
2
1
2.1
2
2
)(
2)(
32
)(
2
2
=
==
==
±=
==+−
=+−
=′+−=′
+−=
⋅+−=⋅+−−=
⋅−⋅−=⋅⋅=
Ověření:
Strana musí být 6 cm.
max0
208144352624352
24352
)6(
)6(
)(
<′′−=+−=⋅+−=′′
+−=′′
V
V
xV x
17
( )
( )
037031cos
0cos31
0cos31sin
25
0
cos31sin
25sin
25sin
cos75
cot2560sin
75
5)cot512(15sin
5
2
)(
2)(
22)(
)(
)(
′=
=
=−
=−⋅
=′
−⋅=′
+⋅−=′
⋅−+=
⋅⋅−+⋅=
o
y
y
y
gy
gy
α
α
α
αα
αα
ααα
αα
αα
α
α
α
α
α
Příklad 4.
Průmyslový závod Z je vzdálen 5km od silnice vedoucí do města M. Vzdálenost závodu Z od města M je 13km. Určete, pod jakým úhlemα je třeba vybudovat cestu k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla nejlevnější. Předpokládané náklady na přepravu 1t materiálu na 1km jsou po silnici 5Kč a po vybudované cestě třikrát větší. 1t, 1km … po silnici 5Kč po vybudované cestě 15Kč
αα
α
α
α
gNM
gON
ONg
ZN
ZN
kmOM
cot512
cot55
cot
sin5
5sin
12144513 22
⋅−=
⋅=
=
=
=
==−=
cena: 515)( ⋅+⋅= NMZNy α Cestu k silnici je potřeba vybudovat pod úhlem 0370 ′o .
18
Příklad 5.
Dva pracovní prvky balícího automatu se pohybují po různoběžných, přímých navzájem kolmých drahách stálou rychlostí 12 −⋅= smv směrem k průsečíku drah. V čase st 00 = je jeden pracovní prvek vzdálen od průsečíku drah 1m, druhý 2m. a) Určete čas t v sekundách, ve kterém bude vzdálenost pracovních prvků balícího automatu nejmenší. b) Určete minimální vzdálenost pracovních prvků balícího automatu d v metrech.
a) ( ) ( )222 2221 ttd −+−= 0)( =′td
( ) ( )22)( 2221 ttd t −+−=
( )51282
121602 +−−=
ttt
22
)( 484441 ttttd t +−++−= 12160 −= t
5128 2)( +−= ttd t st 75,0=
( )
512821216
2)(+−
−=′tt
td t
důkaz, že pro t = 0,75 s nastává minimum
( )( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( )
( )min0>
512851284
512845128
1216512832
51284
1216512821212165128216
51282
1216
)(
22
2
)(
2
2
22
)(
2
21
22
)(
21
2)(
t
t
t
t
t
dtt
ttd
tttt
tttd
tt
ttttttd
tt
td
′′+−
+−⋅=′′
+−⋅+−
−−+−⋅=′′
+−⋅
−⋅+−⋅⋅⋅−−+−⋅=′′
+−
−=′
−
19
b) ( ) ( )222 2221 ttd −+−=
( ) ( )
mdd
dd
71,05,0
25,025,075,02275,021
2
222
==
+=⋅−+⋅−=
Pro nejmenší vzdálenost pracovních prvků balícího automatu bude čas 0,75s, minimální vzdálenost pracovních prvků balícího automatu bude 0,71m.
Příklad 6.
Bylo zjištěno, že zisk z prodeje závisí na investicích do reklamy. Určete částku, kterou je třeba investovat do reklamy, aby byl zisk z prodeje maximální?
80200)( 2 ++−= aaaf 1500 ≤≤ a a=investice v tisících Kč
10002002
0)(2002)(
80200)( 2
==+−
=′+−=′
++−=
aaaf
aafaaaf
Ověření:
max0)(2)(
<′′−=′′
afaf
Je třeba investovat 100 000 Kč.
Příklad 7.
Akumulátor má elektromotorické napětí eU a vnitřní odpor iR . Jaký vnější odpor R je nutno zapojit, chceme-li ve vnějším proudovém okruhu získat největší výkon? Určete tento maximální výkon.
iRR + ..celkový odpor R …proměnná
eU , iR …konstanty
( )222
2
i
e
i
e
RRRU
RRU
RIRIUP+⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅=⋅=⋅=
20
( )( ) ( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )( )( )
( )( )
0
0
0
222
2
32
)(
32
)(
42
)(
4
222
)(
4
2222
)(
4
22
)(
22
)(
=−
=+−
⋅
=′+−
⋅=′
++⋅−
⋅=′
+−
⋅=′
+−−++
⋅=′
++−+
⋅=′
+⋅=
RRRR
RRU
PRR
RRUP
RRRRRR
UP
RRRR
UP
RRRRRRRRR
UP
RRRRRRR
UP
RRRUP
i
i
ie
R
i
ieR
i
iieR
i
ieR
i
iiieR
i
iieR
ieR
iRR = …vnější odpor=vnitřnímu odporu zdroje
( )
( )
i
e
i
ie
i
e
RUP
RRUP
RRRUP
4
22
max
2
2
max
2
2
=
⋅=
+⋅=
Důkaz, že pro iRR = bude výkon maximální:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )( )( )
max0)(16
2)(
42)(
42)(
33)(
31)(
42
42
42
6
22
6
232
<′′
−=′′
+−=′′
+−=′′
++−−−⋅+=′′
++⋅−−+⋅−=′′
i
i
iei
i
iei
i
ie
i
iiie
i
iiie
RPRRURP
RRRRURP
RRRRURP
RRRRRRRRURP
RRRRRRRRURP
Maximální výkon akumulátoru je i
e
RU4
2
.
21
4 Integrální počet Základním úkolem je určit k dané funkci v daném intervalu funkci primitivní.
4.1 Primitivní funkce / neurčitý integrál
o funkce F je primitivní funkcí k funkci f v intervalu I, jestliže pro všechna Ix∈ platí
)()( xfxF =′
o je-li funkce F v intervalu I primitivní funkcí k funkci f, pak každá primitivní funkce
k funkci f je ve tvaru cxF +)( , kde c je libovolná konstanta, tzv. integrační
konstanta
o ke každé funkci spojité v intervalu existuje v tomto intervalu primitivní funkce
o vyhledáme-li neurčitý integrál dané funkce, říkáme, že jsme danou funkci
integrovali. Integrování je obrácený výkon k derivování
Geometrická interpretace
o když známe graf jedné primitivní funkce F k funkci f v intervalu I, pak grafy
všech primitivních funkcí k funkci f v intervalu I dostaneme posunutím grafu
funkce F ve směru osy y
22
4.2 Základní vzorce pro určení primitivní funkce
)(xf podmínky ∫= dxxfXH )()( H je primitivní funkcí k f v
intervalech
0 C
k Rk ∈ ckx + R nx Nn∈
cnxn
++
+
1
1
R
nx −∈ Zn { }1\ − c
nxn
++
+
1
1
)0,(−∞ , ),0( +∞
nx ZRn \∈ c
nxn
++
+
1
1
),0( +∞
x1
cx +ln )0,(−∞ , ),0( +∞
xsin cx +− cos R
xcos cx +sin R
x2cos1
ctgx + Zkkk ∈⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ++− ,
21,
21 ππππ
x2sin1 cgx +− cot Zkkk ∈+ ),,( πππ
xe cex + R xa 1,0 ≠> aa
ca
ax
+ln
R
211
x−
cx +arcsin )1,1(−
211x+
cgxarc +cot R
23
4.3 Integrační metody
o metoda per partes – po částech
∫∫ ⋅′−⋅=′⋅ dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()()(
o metoda substituce – nahrazení
[ ] ∫∫ =′⋅ dttfdxxgxgf )()()( , kde )(xgt =
4.4 Určitý integrál
o určitý integrál funkce f v mezích od a do b je rozdíl funkčních hodnot
F(b) – F(a), kde F je primitivní funkce k funkci f v intervalu I
o značí se ∫b
a
dxxf )(
4.5 Používané vzorce při výpočtu určitého integrálu
o obsah rovinného obrazce ∫=b
a
dxxfS )(
o objem rotačního tělesa ∫=b
a
dxxfV )(2π
o délka křivky ( )[ ]∫ ′+=b
a
dxxfl 21
o práce, kterou síla vykoná při přemístění tělesa ∫=b
a
dxxFW )(
o práce při změně objemu plynu ∫=2
1
)(V
V
dVvpW
o dráha přímočarého pohybu ∫+=1
0
)(0
t
t
dttvss 10 , ttt∈
4.6 Užití integrálního počtu
o integrální počet má velký význam při studiu přírodních a technických věd o užití integrálního počtu je velmi široké o pomocí určitého integrálu je možné počítat nejen obsahy některých rovinných
útvarů, ale i objemy a povrchy rotačních těles a délky rovinných křivek o široké je využití integrálního počtu ve fyzice (např. výpočet práce, rychlosti,
dráhy, aj.) a fyzikální chemii
24
4.7 Ukázkové příklady, kde se využívá integrálního počtu:
Příklad 1.
Určete délku křivky : 4,03 ∈∧= xxy
( )[ ]∫ ′+=b
a
dxxfl 21 …délka křivky
( )∫ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ′+=
4
0
231 dxxl
substituce:
Délka křivky je ( ) j11000278 − . 2
2 j … jednotka
dtdx
dxdt
xt
9449
491
=
=
+=
[ ]( ) jl
tl
tl
dttl
dxxl
dxxl
dxxl
11000278
32
94
32
94
94
491
231
1
10
13
10
1
23
10
1
21
4
0
4
0
2
21
4
0
2
23
−=
⋅=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
=
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ ′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∫
∫
∫
∫
25
Příklad 2. Určete objem tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného křivkami
0222 =−+ xyx , xy = kolem osy x .
1)1(112
02
22
22
22
=+−=++−
=−+
yxyxx
xyx
kružnice : [ ]0,1S 1=r
xyfxxyf
=−=
:2:
2
21
meze :
….vzorec pro výpočet objemu rotačního tělesa
Objem tělesa je 3
3jπ .
10
0)1(0
0222
2
2
1
2
2
22
2
21
==
=−=−=−=−=−
=
xx
xxxx
xxxxx
xxx
ff
10
/ 2
==
ba
∫=b
a
dxxfV )(2π
( )( )
( )
( )
3
1
0
32
1
0
2
1
0
2
1
0
21
0
2
1
0
21
0
22
21
3
612
31
212
322
2
22
2
2
jV
V
V
xxV
dxxxV
dxxxV
dxxdxxxV
dxxdxxxV
VVV
π
π
π
π
π
π
ππ
ππ
=
⋅=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
−=
−−=
−−=
−=
∫
∫
∫∫
∫∫
26
Příklad 3. Odvození vzorce pro objem komolého rotačního kužele.
112
12
1
:
:
rxv
rryf
vrrk
rqqkxyf
+⋅−
=
−=
=+=
Komolý kužel s poloměry podstav 21, rr a výškou v vznikne rotací přímky
Přiklad 5. Kotva o hmotnosti 80kg visí na kotevním laně dlouhém 10m. 1m lana má hmotnost 1kg.
Jakou práci vykonáme, zdvihneme-li kotvu o 10m navinutím lana na buben?
1m … hmotnost 1m lana kgm 11 =
2m …hmotnost kotvy
l …délka lana ml 10=
h …výška, do které bylo těleso zvednuto
x …o kolik m byla kotva vytažena
kgm 80= 210 −⋅= smg
∫=b
a
dxxFW )( … výpočet práce, kterou síla vykoná při přemístění tělesa
21 WWW += 1W … jakou práci vykonáme při zvednutí kotvy
2W … jakou práci vykonáme při zvednutí lana
Při zvedání kotvy vykonáme práci 8,5 kJ.
JWW
hgmWsFW
8000101080
1
1
21
1
=⋅⋅=⋅⋅=
⋅=
[ ]JW
xxW
xxW
dxxW
dxxW
dxxlgmW
dxxFWb
a
500050010005100
210100
)10100(
)10(10
)(
)(
2
100
22
10
0
2
2
10
02
10
02
10
012
=−−=−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
−=
−⋅=
−⋅⋅=
=
∫
∫
∫
∫
kJWW
WWW
5,88500500800021
==+=
+=
29
Příklad 6. Určete teoretickou práci ideálně chlazeného kompresoru pro izotermické stlačení 0,2kg vzduchu o teplotě 20°C na polovinu původního objemu. měrná plynová konstanta vzduchu 11287 −− ⋅⋅= KkgJr rovnice izotermické změny mTrVp ⋅⋅=⋅ ; [ ][ ]KCtT 15,273+°= ;
mTrc ⋅⋅= …konstanta
práce při změně objemu plynu ∫=2
1
)(V
V
dVvpW
[ ]
JcWcW
cW
VVcW
VVcW
VcW
dVVcW
V
V
V
V
2ln2ln21ln
2ln
)ln21(ln
ln
1
1
1
11
21
1
1
121
1
−==
=
=
−=
=
=
−
∫
( )( )
kJJWW
mTrW
664,11116632ln2,015,293287
2ln
−=−=⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅−=
Teoretická práce ideálně chlazeného kompresoru je kJ664,11 .
30
Příklad 7. Brzdící vozidlo se pohybuje přímočaře. Závislost rychlosti na čase t v sekundách pro
3,0∈t je [ ] [ ]stsmv −=⋅ − 2,31 . V čase st 00 = byla ujeta dráha ms 80 = . Určete dráhu po 3 sekundách.
∫+=1
0
)(0
t
t
dttvss 10 , ttt∈ …dráha přímočarého pohybu
ttv −= 2,3)(
st 00 = 1,0 tt∈ ms 80 = st 31 =
∫+=1
0
)(0
t
t
dttvss
Dráha po třech sekundách je 13,1m.
mss
tts
dttss
1,1305,46,98
22,38
)2,3(
3
0
2
3
00
=−−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+=
−+= ∫
31
5 Příklady použití diferenciálního a integrálního počtu v technických
výpočtech 5.1 Mechanika tekutin
o rozbor fyzikální závislosti veličin v obecném tvaru
o nalezením lokálního extrému funkce stanovíme
• podmínky nejvýhodnějšího provozu
• omezení možnosti daného řešení -> technické vylepšení
Příklad 1.
Teoretická účinnost vodního kola s radiálními lopatkami
východiskem je představa pohybující se desky kolmé a velmi rozlehlé vzhledem
k dopadajícímu proudu kapaliny
c … absolutní rychlost proudu
u … unášivá rychlost lopatky
w … relativní rychlost v toku do kontrolního objemu
ucw −=
wH … relativní průtoková hybnost
S … průřez dopadajícího proudu
lopatka nutí proud ke změně hybnosti silou RF , zatímco nerušený proud má původně
vůči lopatce relativní průtokovou hybnost wH
Rw FH =∆
[ ]NwSwwSwVwmH w2⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=∆ ρρρττ
ρ … hustota
τm … hmotnostní průtok ττmm =
τ … doba proudění
směr osy x
Rxwxwwx FwSHHH =⋅⋅−=∆−∆=∆ 212 ρ
Závěr: síla působící od proudu na lopatku je opačná
⇒−= RFF 2wSF ⋅⋅= ρ
32
• teoretický výkon – předávaný proudem kapaliny lopatce
( ) uucSuwSuFP ⋅−⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= 22 ρρ
• příkon lopatky – kinetická energie proudu za 1s
2222
1 3222 cSccScVcmemE
P kk
p ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅== ρρρτττ τ
• teoretická účinnost vodního kola
( ) ( ) ( )uccuuc
uucucccS
uucSPP
pteor
2233
223
3
2
. 2222
21
+−⋅=⋅+−⋅=⋅⋅
⋅−⋅⋅==ρ
ρη
- extrém této závislosti na unášivé rychlosti:
( )
( )
624
41216043
0432
432
2,1
222
22
223
223
ccu
cccDccuu
ccuuc
ccuucdu
d
±=
=−=
=+−
=+−⋅
+−⋅=η
cu =1 3 32cu =
%63,292963,0278
278
27962
392
272
3
3333
3
333
3max. ====⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⋅=
ccccc
cccc
cteorη
Zakreslení grafu:
( ) ( )
ctg
cccc
cu
2
220020 3
22
3
=
==+−⋅==
α
η
3 neuznáme cu =1 , protože by se nekonala práce
33
5.2 Mechanika tuhého tělesa
o rozbor fyzikální závislosti veličin v obecném tvaru
o napjatosti v elementárním objemu
o zobecnění výsledku integrace v jednoduchou poučku (Steinerova věta)
o obecný popis mechanického chování konstrukce
o určení integračních konstant z okrajových fyzikálních podmínek
o výpočet velikosti deformace nosníku, význam kvadratického momentu
Příklad 1.
Výpočet namáhání krutem
předpokládáme čistý krut – tzn. způsobený silovou dvojicí v rovině kolmé k ose prvku
(tedy nikoli obvyklou kombinaci krutu s ohybem od osamělé síly na rameni)
další podmínky odvození
o průřezy zůstávají i po zkroucení prvku rovinné (tzn. předpokládáme kruhový –
zcela symetrický průřez odolává borcení od združených smykových napětí)
o vzdálenost mezi průřezy se nemění
o poloměry zůstávají přímočaré −> lineární průběh deformace na poloměru
(=>předpoklad platnosti Hookova zákona ->stejný průběh jako deformace má i
napětí)
princip odvození: vyjádření elementárního kroutícího momentu vnitřních sil
rmaxτ
ρτ = … podobnost
trojúhelníků
τ … tečné napětí
aFM k ⋅=
rdSdFdM k
ρττρτρ ⋅=⋅⋅=⋅= max;
∫∫ ∫ =⋅⋅
⋅==S
kk dSrr
dSdMM 2maxmax ρτρρτ
34
∫=S
p dSJ 2ρ pJ … polární moment průřezu
rJ
M pk ⋅= maxτ
rJ
W pk = kW … průřezový modul v krutu
Závěr: pevnostní rovnice v krutu
[ ]MPaWM kk ⋅= maxτ
Dk
k
WM ττ ≤=max Dτ … dovolené smykové napětí
Obecné řešení průřezových charakteristik pro kruhový průřez:
ρπρ ddS ⋅= 2
240
42
4222
44
0
4
0
3
0
22 rrddSdJrrr
Sp ⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=⋅=⋅⋅== ∫∫∫ ππρπρρπρπρρρ
- prvek je popsán průměrem rdd 2; = −> 2dr =
[ ]44
4
4
32
22
mmdJ
dJ
p
p
π
π
=
⋅=
[ ]33
4
16
322
mmdW
dd
rJ
W
k
pk
π
π
=
⋅⋅==
35
Příklad 2.
Výpočet namáhání ohybem
předpokládáme čistý ohyb – tzn. bez vlivu posouvajících sil
další podmínky odvození jsou u běžných konstrukčních materiálů – tj. ocelí splněny:
o platnost Hookova zákona: εσ ⋅= E
o stejný modul pružnosti E v tahu i v tlaku −> neutrální osa jde těžištěm průřezu
o průřezy se vzájemně natočí, ale zůstanou rovinné
princip odvození: vyjádření elementárního ohybového momentu vnitřních sil
příklad: náprava vagónu
maxmax σε =
0ll∆=ε
σ … normálové napětí
eymaxσσ =
ydSydFdM ⋅⋅=⋅= σ0
∫ ∫∫∫ ⋅⋅⋅=⋅=== dSyye
ydSdFydMM max00
σσ
0maxmax2max
0 WeJ
dSye
M x ⋅⋅== ∫ σσσ
∫=S
x dSyJ 2 xJ … kvadratický moment průřezu
eJ
W x=0 0W … průřezový modul v ohybu
Závěr:
0max0 WM ⋅= σ
DWM σσ ≤=
0
0max … pevnostní rovnice v ohybu
36
Příklady obecného řešení:
a) kruhový průřez – výhodná je úvaha o elementárním kvadratickém momentu: