KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu Michael Rauch | 7. Mai 2010 Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen HAUPTSEMINAR ” EXPERIMENTELLE UND THEORETISCHE METHODEN DER COLLIDERPHYSIK“
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KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg andNational Research Center of the Helmholtz Association www.kit.edu
Michael Rauch | 7. Mai 2010
Die Monte-Carlo-Methode zurSimulation von Teilchenreaktionen
HAUPTSEMINAR”EXPERIMENTELLE UND THEORETISCHE METHODEN DER COLLIDERPHYSIK“
Motivation
Monte-Carlo-Methoden
DefinitionNumerische Losung von Problemen mit Hilfe von Zufallszahlen
Monte-Carlo-Integration
Numerische Integration von mehrdimensionalen Integralen
Monte-Carlo-Simulation
Simulation von Ereignissen, die mit gewisser Wahrscheinlichkeit auftreten
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 2/21
Monte-Carlo-Integration
Ziel: Berechnung des Integrals
F (x) =
Z b1
a1
dx1
Z b2
a2
dx2 · · ·Z bd
ad
dxd f (x1, x2, . . . , xd )
Der Einfachheit halber: d-dimensionaler Einheitswurfel
F (x) =
Z 1
0dd u f (u1, . . . , ud )
f uberall innerhalb des Einheitswurfels bekannt
f quadratintegrabel (→ Konvergenz)
keine analytische Losung des (Teil-)Integrals bekannt
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 5/21
Mathematische Definitionen
Integral
IN =1
N
X
i
f (ri )
Varianz
σ(f (x))2 =D
f (x)2E
−D
f (x)E2
σ2N =
1
N
X
i
“
f (ri )2”
− I2 ≃ 1
N
X
i
“
f (ri )2”
− I2N
Integralfehler (aus zentralem Grenzwertsatz)
∆IN =
s
σ2N
N⇒ Konvergenz ∝ 1√
N(unabh. von Dimension)
Fehler
∆IN =1√N
s
1
N
X
i
f (ri )2 − I2N
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 5/21
Mathematische Definitionen
Integral
IN =1
N
X
i
f (ri )
Fehler
∆IN =1√N
s
1
N
X
i
f (ri )2 − I2N
Zuverlassigkeit des Fehlers – aus Varianz der Varianz
σ“
σ`
f (x)´
”2=
D
f (x)4E
− 4D
f (x)3E D
f (x)E
−D
f (x)2E2
+ 8D
f (x)2E D
f (x)E2− 4
D
f (x)E
Fehlergenauigkeit
∆ (∆IN ) =1√N3
s
1
N
X
i
f (ri )4 − 41
N
X
i
f (ri )3IN − (∆IN )2 + 8∆IN IN2 − 4IN
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M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 5/21
Zufallszahlen
Naturliche Zufallszahlen
Wurfeln, Munze werfen
radioaktiver Zerfall
Transistorrauschen
. . .
Nicht die beste Wahl:
ZufalligkeitNachweis notwendig, dass aufeinanderfolgende Zufallszahlen tatsachlichunkorreliert sind↔ Empirische Tests konnen nur bis zu einem gewissen Niveau testen
GeschwindigkeitNaturliche Prozesse normalerweise zu langsam (typische Zeitskala)
ReproduzierbarkeitNotwendig um Programm debuggen zu konnen
⇒ Erzeuge Zufallszahlen mit Algorithmus
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 6/21
Zufallszahlengeneratoren
→ Pseudo-Zufallszahlen
Gewunschte Eigenschaften:
Gute”zufallige“ Verteilung
Reproduzierbarkeit
Effizienz
Lange Periode
Lange unabhangige Untersequenzen
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 7/21
Zufallszahlengeneratoren
Algorithmen (z.B. in ROOT)TRandom – Linear-Kongruenzgeneratoryi = (ayi−1 + b) mod m (a, b, m Konstanten, y1 Startwert)
Peakstruktur des Integranden ungefahr bekannt→ Variablentransformationen aus Feynman-Diagrammenz.B. Produktion von (On-shell-)Teilchen → Breit-Wigner-Peak
Spinstruktur → WinkelabhangigkeitenIntegration mit VEGAS
ungewichtete EreignisseGewichtete Ereignisse aus Monte-Carlo-IntegrationEntwichtung durch RuckweisungsmethodePartonschauer / HadronisierungSimulation Elementarteilchen → Hadronen (Zeitskala . 1 fm /c)
Detektorsimulationz.B. Geant4
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 19/21
Peakstruktur des Integranden ungefahr bekannt→ Variablentransformationen aus Feynman-Diagrammenz.B. Produktion von (On-shell-)Teilchen → Breit-Wigner-Peak
Spinstruktur → WinkelabhangigkeitenIntegration mit VEGAS
ungewichtete EreignisseGewichtete Ereignisse aus Monte-Carlo-IntegrationEntwichtung durch RuckweisungsmethodePartonschauer / HadronisierungSimulation Elementarteilchen → Hadronen (Zeitskala . 1 fm /c)
Detektorsimulationz.B. Geant4
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 19/21
Peakstruktur des Integranden ungefahr bekannt→ Variablentransformationen aus Feynman-Diagrammenz.B. Produktion von (On-shell-)Teilchen → Breit-Wigner-Peak
Spinstruktur → WinkelabhangigkeitenIntegration mit VEGAS
ungewichtete EreignisseGewichtete Ereignisse aus Monte-Carlo-IntegrationEntwichtung durch RuckweisungsmethodePartonschauer / HadronisierungSimulation Elementarteilchen → Hadronen (Zeitskala . 1 fm /c)
Detektorsimulationz.B. Geant4
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 19/21
Peakstruktur des Integranden ungefahr bekannt→ Variablentransformationen aus Feynman-Diagrammenz.B. Produktion von (On-shell-)Teilchen → Breit-Wigner-Peak
Spinstruktur → WinkelabhangigkeitenIntegration mit VEGAS
ungewichtete EreignisseGewichtete Ereignisse aus Monte-Carlo-IntegrationEntwichtung durch RuckweisungsmethodePartonschauer / HadronisierungSimulation Elementarteilchen → Hadronen (Zeitskala . 1 fm /c)
Detektorsimulationz.B. Geant4
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 19/21
Zusammenfassung
Monte-Carlo-Methoden wichtig in der Teilchenphysik
Berechnen von WirkungsquerschnittenErzeugen von EreignissenDetektorsimulation
Ungefahre numerische Losung von Problemen mit Hilfe von Zufallszahlenin endlicher Zeit
Verschiedene MethodenWahl hangt vom konkreten Problem ab
M. Rauch – Die Monte-Carlo-Methode zur Simulation von Teilchenreaktionen 7. Mai 2010 20/21
Literatur
R. KleissMonte Carlo Integrationhttp://www.hef.kun.nl/ ˜ kleiss/mcnotes.pdf
Particle Data GroupReview of Particle Physics:Chapter 33. Monte Carlo Techniqueshttp://pdg.lbl.gov/2009/reviews/rpp2009-rev-monte-carlo-techniques.pdf
S. WeinzierlIntroduction to Monte Carlo Methods[arXiv:hep-ph/0006269]http://arxiv.org/pdf/hep-ph/0006269v1