Allgemeine Informationen Spezielle Informationen zum UF Mathematik Starthilfen, Veranstaltungen und Links Die Lehramtsstudieng¨ ange am Fachbereich Mathematik PD Dr. Susanne Koch Fachbereich Mathematik Universit¨ at Hamburg [email protected]22. Februar 2017 Susanne Koch Die Lehramtsstudieng¨ ange am FB Mathematik
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Die Lehramtsstudieng ange am Fachbereich Mathematik€¦ · Begri skl arung Zur Etymologie: ˝ ˝ "˘ (mathematik e t ek hne): " die Kunst des Lernens\ Es gibt keine allgemein anerkannte
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Mathematik, Musik, Physik, Sozialwissenschaften, Spanisch, Sport
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Sonstiges
Alle Teilstudiengange (außer Musik und Kunst) konnen imTeilzeit-Status studiert werden; dabei erhohen zweiTeilzeitsemester die Regelstudienzeit um ein Semester
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Was ist Mathematik?Bachelor-Studienplane Mathematik
Inhalt
1 Allgemeine Informationen zu den Lehramtsstudiengangen
2 Spezielle Informationen zum Unterrichtsfach MathematikWas ist Mathematik?Bachelor-Studienplane fur die Teilstudiengange Mathematik
3 Starthilfen, Informationsveranstaltungen und Links
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2 Spezielle Informationen zum Unterrichtsfach MathematikWas ist Mathematik?Bachelor-Studienplane fur die Teilstudiengange Mathematik
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Begriffsklarung
Zur Etymologie:
µαθηµατικη τ εξνη (mathematike tekhne):
”die Kunst des Lernens“
Es gibt keine allgemein anerkannte Definition des BegriffsMathematik!
Eine mogliche Formulierung ware:
Mathematik ist die Wissenschaft der logischen Behandlungvon abstrakten Strukturen.
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Zur axiomatischen Methode - I
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Zur axiomatischen Methode - II
Beispiele fur Axiome:
Jede naturliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n + 1.(Peano-Axiom)
Zu jeder Geraden und jedem Punkt, der nicht auf dieserGeraden liegt, gibt es genau eine zu der Geraden paralleleGerade durch diesen Punkt.(Axiom der euklidischen Geometrie)
Sei M eine Menge von nicht leeren Mengen. Dann existierteine Funktion F auf M, so dass fur alle A ∈M gilt:F (A) ∈ A.(Auswahlaxiom)
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Was ist Mathematik?Bachelor-Studienplane Mathematik
Zur axiomatischen Methode - III
Beispiele fur abgeleitete Wahrheiten:
Sei f : R→ R in x0 ∈ R differenzierbar.Dann ist f in x0 stetig.
Fur alle n ∈ N gilt 1 ≤ n.
Fur alle q ∈ R mit −1 < q < 1 gilt limn→∞
qn = 0.
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Was ist Mathematik?Bachelor-Studienplane Mathematik
Auszug aus Forster,O.: Analysis I (Springer-Spektrum)
96 § 9 Punktmengen
Bemerkungen. a) Eine Teilmenge A ⊂ R ist genau dann beschrankt, wenn eseine Konstante M � 0 gibt, so dass |x|� M fur alle x ∈ A.
b) Eine Folge ist genau dann nach oben (bzw. unten) beschrankt, wenn die ihrunterliegende Menge nach oben (bzw. unten) beschrankt ist (vgl. die Definitionder Beschranktheit von Folgen in §4).
Definition. Sei A eine Teilmenge von R. Eine Zahl K ∈ R heißt Supremum(bzw. Infimum) von A, falls K kleinste obere (bzw. großte untere) Schrankevon A ist.Dabei heißt K kleinste obere Schranke von A, falls gilt:
i) K ist eine obere Schranke von A.
ii) Ist K ′ eine weitere obere Schranke von A, so folgt K � K′.
Analog ist die großte untere Schranke von A definiert.
Es ist klar, dass die kleinste obere Schranke (bzw. großte untere Schranke) imFalle der Existenz eindeutig bestimmt ist. Man bezeichnet sie mit sup(A) bzw.inf(A).
Satz 3. Jede nichtleere, nach oben (bzw. unten) beschrankte Teilmenge A⊂ Rbesitzt ein Supremum (bzw. Infimum).
Beweis. Sei A ⊂ R nichtleer und nach oben beschrankt. Dann gibt es ein Ele-ment x0 ∈ A und eine obere Schranke K0 von A. Wir konstruieren jetzt durchInduktion nach n eine Folge von Intervallen
Fur n = 0 haben wir die Wahl von x0 und K0 schon durchgefuhrt.
Induktions-Schritt n → n+ 1. Sei M := (Kn + xn)/2 die Mitte des Intervalls[xn,Kn]. Es konnen zwei Falle auftreten:
1. Fall: A∩ ]M,Kn] = /0. Dann ist M eine obere Schranke von A und wir defi-nieren xn+1 := xn und Kn+1 := M.
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Auszug aus Forster,O.: Analysis I (Springer-Spektrum)
96 § 9 Punktmengen
Bemerkungen. a) Eine Teilmenge A ⊂ R ist genau dann beschrankt, wenn eseine Konstante M � 0 gibt, so dass |x|� M fur alle x ∈ A.
b) Eine Folge ist genau dann nach oben (bzw. unten) beschrankt, wenn die ihrunterliegende Menge nach oben (bzw. unten) beschrankt ist (vgl. die Definitionder Beschranktheit von Folgen in §4).
Definition. Sei A eine Teilmenge von R. Eine Zahl K ∈ R heißt Supremum(bzw. Infimum) von A, falls K kleinste obere (bzw. großte untere) Schrankevon A ist.Dabei heißt K kleinste obere Schranke von A, falls gilt:
i) K ist eine obere Schranke von A.
ii) Ist K ′ eine weitere obere Schranke von A, so folgt K � K′.
Analog ist die großte untere Schranke von A definiert.
Es ist klar, dass die kleinste obere Schranke (bzw. großte untere Schranke) imFalle der Existenz eindeutig bestimmt ist. Man bezeichnet sie mit sup(A) bzw.inf(A).
Satz 3. Jede nichtleere, nach oben (bzw. unten) beschrankte Teilmenge A⊂ Rbesitzt ein Supremum (bzw. Infimum).
Beweis. Sei A ⊂ R nichtleer und nach oben beschrankt. Dann gibt es ein Ele-ment x0 ∈ A und eine obere Schranke K0 von A. Wir konstruieren jetzt durchInduktion nach n eine Folge von Intervallen
Fur n = 0 haben wir die Wahl von x0 und K0 schon durchgefuhrt.
Induktions-Schritt n → n+ 1. Sei M := (Kn + xn)/2 die Mitte des Intervalls[xn,Kn]. Es konnen zwei Falle auftreten:
1. Fall: A∩ ]M,Kn] = /0. Dann ist M eine obere Schranke von A und wir defi-nieren xn+1 := xn und Kn+1 := M....
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§ 9 Punktmengen 97
2. Fall: A∩ ]M,Kn] = /0. Dann gibt es einen Punkt xn+1 ∈ A mit xn+1 > M. Indiesem Fall setzen wir Kn+1 := Kn.
In jedem der beiden Falle gelten fur xn+1 und Kn+1 wieder die Eigenschaften(1) bis (3).
Nun ist (Kn)n∈N eine monoton fallende und nach unten beschrankte Folge,konvergiert also nach §5, Satz 7 gegen eine Zahl K. Wir zeigen, dass K kleinsteobere Schranke von A ist.
i) Fur jedes x ∈ A gilt x � Kn fur alle n. Daraus folgt x � K. Dies zeigt, dass Kobere Schranke von A ist.
ii) Sei K′ eine weitere obere Schranke von A. Angenommen, es wurde geltenK′ < K. Da K−K′ > 0, gibt es ein n, so dass
Kn− xn � 2−n(K0− x0) < K−K′ � Kn−K′.
Dann folgt K ′ < xn, was im Widerspruch dazu steht, dass K ′ obere Schrankevon A ist. Also muss K � K ′ sein, d.h. K ist kleinste obere Schranke von A.Wir haben somit die Existenz des Supremums von A bewiesen.
Die Existenz des Infimums zeigt man analog.
Beispiele
(9.6) Fur das abgeschlossene Intervall [a,b], a � b, gilt
sup([a,b]) = b und inf([a,b]) = a.
(9.7) Fur das offene Intervall ]a,b[, a < b, gilt ebenfalls
sup(]a,b[) = b und inf(]a,b[) = a.
Wir beweisen, dass b kleinste obere Schranke von ]a,b[ ist. Zunachst ist klar,dass b obere Schranke ist. Um zu zeigen, dass b sogar kleinste obere Schrankeist, betrachten wir irgend eine obere Schranke K des Intervalls. Die Punktexn := b−2−n(b−a) liegen fur n � 1 alle im Intervall ]a,b[, also ist xn � K. Dalimn→∞ xn = b, folgt b � K. Also ist b kleinste obere Schranke.
(9.8) Fur A :={ n
n+1:n ∈N
}gilt sup(A) = 1.
(9.9) Fur A :={n2
2n :n ∈ N}
gilt sup(A) = 98 .
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Im Mathematikstudium geht es um . . .
Abstraktion
Erkennen und Studieren von Strukturen
Kreativitat, Schonheit
allgemeine - aber doch genaue - Beschreibungen undUntersuchungen realer Phanomene
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Hilfreich sind...
Neugier
Freude am Knobeln und”selber machen“
Freude an Abstraktion und Logik
Freude an einer kompakten und prazisen Sprache(Formalisierung)
Genauigkeit und Durchhaltevermogen
Bereitschaft, sich wieder und wieder auf neue Probleme undKonzepte einzulassen
Anstrengungsbereitschaft
Kommunikationsfahigkeit
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Studienplan Bachelor: LAGym
Sem. Modul
1 + 2 Lineare Algebra und Analytische Geometrie
2 Lehramtsspezifische Veranstaltung I
3 + 4 Analysis
3 Lehramtsspezifische Veranstaltung II
4 Seminar
5 + 6 2 bzw. 3 Vertiefungsmodule
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Mogliche Vertiefungsmodule
Hohere Analysis
Numerische Mathematik
Mathematische Stochastik
Algebra
Elementare Zahlentheorie
Topologie
Diskrete Mathematik
Naive Mengenlehre
Grundbegr. d. Logik u. Modelltheorie
Geometrie
Differentialgeometrie
Funktionentheorie
Funktionalanalysis
Gew. DGL und Dyn. Systeme
Einf. in Math. Modellierung
Approximation
Optimierung
Maßtheoretische Konzepte derStochastik
Mathematische Statistik
Praktische Statistik
Stochastische Prozesse
Lebensversicherungsmathematik
Graphentheorie
Kombinatorische Optimierung
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Studienplan Bachelor: LAB
Sem. Modul
1 + 2 Lineare Algebra und Analytische Geometrie
3 + 4 Analysis
5 Lehramtsspezifische Veranstaltung I+II
6 Seminar
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Studienplan Bachelor: LAPS & LAS - gesonderterVeranstaltungskatalog!
Sem. Modul
1 Grundlagen der Mathematik
2 Grundbildung Lineare Algebra und AnalytischeGeometrie
3 Grundbildung Analysis
4 Grundbildung Geometrie
4 Einfuhrung in Mathematische Software
5 Grundbildung Stochastik
5/6 Proseminar
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Starthilfen des Fachbereichs Mathematik
Vorkurs: Wiederholung und Vertiefung des Schulstoffs(Beginn im September)
Orientierungseinheit: Informationen rund ums Studium,Hilfe bei der Umstellung von Schule auf Uni, Kennenlernender Kommilitoninnen und Kommilitonen, Besichtigung der Uniund wichtiger Einrichtungen (ca. 5 Tage, im Anschluss an denVorkurs)
Achtung: Beide Veranstaltungen sind freiwillig und finden vorVorlesungsbeginn statt – Anmeldung ist nach Immatrikulationmoglich!
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Wichtig
Achtung: Zulassung fur alle Mathematikstudiengange nurzum Wintersemester!
Bewerbungszeitraum: Anfang Juni bis 15. Juli
Bewerbung online!
N.C.2 / Wartesemester im WiSe 16/17:
LAGym LAB LAPS LAS
1.3/10 zul.-frei 2.0/10 1.4/10
2Grenzwert des zuletzt Zugelassenen
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