Die Bedeutung von Fermi-Aufgaben für kompetenzorientierten Unterricht in der Unterstufe Diplomarbeit zur Erlangung des akademischen Grades einer Magistra der Naturwissenschaften an der Karl-Franzens-Universität Graz vorgelegt von Veronika ALMER am Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen Begutachter: Ao. Univ.-Prof. Dr.phil. Bernd Thaller Graz, 2012
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Die Bedeutung von Fermi-Aufgaben für
kompetenzorientierten Unterricht in der
Unterstufe
Diplomarbeit
zur Erlangung des akademischen Grades einer Magistra
der Naturwissenschaften an der Karl-Franzens-Universität Graz
vorgelegt von
Veronika ALMER
am Institut für Mathematik und Wissenschaftliches Rechnen
Die Ergebnisse der innerhalb der letzten Jahre durchgeführten Tests (unter anderem PISA und TIMSS)
lassen den Schluss zu, dass das österreichische Schulsystem einiger Veränderungen bedarf.1 Daher
beschäftigt sich das österreichische Bildungswesen seit geraumer Zeit im Zuge der Entwicklung einer
standardisierten Reifeprüfung auch mit der Entwicklung von Bildungsstandards für den
Mathematikunterricht. Innerhalb dieser Standards wird festgelegt, über welche Kompetenzen,
Fertigkeiten und Fähigkeiten die Schülerinnen und Schüler am Ende der jeweiligen Schulstufe
verfügen sollen. Vielleicht wird gehofft, dass durch die Festlegung des zu erreichenden Outputs für
die Schülerinnen und Schüler die notwendigen Veränderungen innerhalb des Unterrichts implizit
mitvollzogen werden. Denn konkrete Ansätze, wie diese Kompetenzen im Unterricht vermittelt
werden können, lassen sich derzeit in der Literatur noch wenige finden. Darum sollen in der
vorliegenden Arbeit Anregungen für das Umsetzen eines kompetenzorientierten, allgemeinbildenden
Mathematikunterrichts anhand einer speziellen Art offener Aufgaben – den Fermi-Aufgaben –
gegeben werden. Die zentralen Inhalte der Arbeit lassen sich daher in Kapitel 1 und 4 finden:
In Kapitel 1 wird eine allgemeine Einführung in den Bereich der Fermi-Aufgaben gegeben, wobei auch
versucht wird, diese von Modellierungsaufgaben und offenen Aufgaben, denen sie untergeordnet
werden können, abzugrenzen. In Kapitel 4 liegt der Schwerpunkt zum einen darin, zu zeigen, welche
Möglichkeiten sich durch den Einsatz von Fermi-Aufgaben für einen kompetenzorientierten,
allgemeinbildenden Mathematikunterricht ergeben.2 Dazu wird ein Zusammenhang zu den innerhalb
der Bildungsstandards für die achte Schulstufe (M8) und innerhalb des Lehrplans für die
Sekundarstufe I genannten Kompetenzen gesucht. Um diesen Konnex herstellen zu können, wird in
den Kapiteln 2 und 3 Allgemeines bezüglich kompetenz- beziehungsweise standardorientierten
Unterrichts erläutert. Kapitel 2 beschäftigt sich im Speziellen mit der Abklärung, welche
Kompetenzen Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der achten Schulstufe erworben haben sollen.
Dazu werden speziell der Lehrplan für die Sekundarstufe I sowie die Standards für den
Mathematikunterricht der achten Schulstufe herangezogen. Es werden jedoch auch weitere
Konzepte eines allgemeinbildenden Mathematikunterrichts angeführt. In Kapitel 3 liegt der
Schwerpunkt darin, zu zeigen, welche Aufgaben- und Unterrichtskultur für die Vermittlung der
genannten Kompetenzen dienlich sein kann. Dabei wird auch Wert darauf gelegt, Aufgabenbereiche
darzustellen, die die Relevanz von Mathematik für den Alltag unterstreichen und den Lernenden die
Fähigkeit des flexiblen Anwendens von Mathematik vermitteln.
1 Vgl. Dambeck 2012 2 Wobei in diesem Zusammenhang anzumerken ist, dass dies nicht unbedingt zu einem besseren Abschneiden der Lernenden innerhalb der Standardtestungen führen muss.
2
In Kapitel 4 wird des Weiteren ein Hauptaugenmerk auf die Umsetzung eines kompetenzorientierten
Unterrichts mit Hilfe von Fermi-Aufgaben gelegt. Dazu wird zum einen Bezug auf die wohl größte
Sammlung von Fermi-Aufgaben – die Fermi-Box – genommen und zum anderen werden dienliche
Hinweise bezüglich möglicher Hilfestellungen bei der Bearbeitung von Fermi-Aufgaben gegeben. Des
Weiteren sollen auch Unterrichtsmethoden, die sich für den Einsatz von Fermi-Aufgaben eignen und
kooperatives, konstruktives Lernen fördern, besprochen werden. Dabei stehen vor allem Methoden
im Zentrum, die nicht nur zur Entwicklung inhaltlicher und prozessbezogener Kompetenzen, sondern
auch zur Förderung personaler und sozialer Kompetenzen, die kaum innerhalb von Tests abgeprüft
werden können, aber einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der Lernenden zu selbstständig
denkenden und handelnden Personen liefern, eingesetzt werden können.
Schließlich soll Lehrpersonen bezüglich des Umgangs mit und der Bewertung von Lösungen offener
Aufgaben eine Orientierungshilfe gegeben werden. Um einen möglichst umfassenden Einblick
vermitteln zu können, wird auch auf Argumente, die gegen den Einsatz von Fermi-Aufgaben im
Mathematikunterricht sprechen, eingegangen. Zu guter Letzt werden einige Hinweise gegeben, die
die Suche nach Unterrichtsmaterial zu Fermi-Aufgaben erleichtern sollen.
3
1. Woher kommen Fermi-Aufgaben und was sind Fermi-Aufgaben?
Um zeigen zu können, welche Auswirkungen der Einsatz von Fermi-Aufgaben im Unterricht auf die
Entwicklung der Fähigkeiten und Fertigkeiten der Schülerinnen und Schüler haben kann, muss vorerst
geklärt werden, was im Allgemeinen unter einer Fermi-Aufgabe verstanden wird und wie diese
Aufgaben ihren Weg in die Fachdidaktik Mathematik gefunden haben.
1.1. Herkunft von Fermi-Aufgaben
Abbildung 1: Enrico Fermi3
Der Name Fermi-Aufgaben geht auf den italienischen Kernphysiker Enrico Fermi, der in der ersten
Hälfte des 20. Jahrhunderts lebte, zurück.4 Fermi kam am 29. September 1901 in Rom zur Welt und
starb im Jahr 1954 in Chicago. Er promovierte bereits im Jahr 1922 an der Universität in Pisa. 1926
gelang ihm die Entdeckung der so genannten Fermi-Statistik.5 In weiterer Folge beschäftigte sich
Fermi damit, Atomkerne mit Neutronen zu beschießen, was zur Entdeckung der Kernspaltung und
schlussendlich einige Jahre später zur Konstruktion der ersten Atombombe führte.6 1938 erhielt
Fermi den Nobelpreis für Physik:
The Nobel Prize for Physics was awarded to Fermi for his work on the artificial radioactivity produced by neutrons, and for nuclear reactions brought about slow neutrons.
7
Noch im selben Jahr emigrierte er mit seiner Familie aufgrund der Einführung der ersten
antisemitischen Gesetze nach Amerika, wo er am 2. Dezember 1942 den ersten Atomreaktor in
Betrieb nahm. Schließlich war er einer der leitenden Mitarbeiter des „Manhatten Projects“, welches
sich mit der Nutzung der bei Kernspaltung entstehenden Energie zur Erstellung der ersten
2006: 16; vgl. Müller 2001b: 1 5 Vgl. Der Spiegel 1956; vgl. The Nobel Foundation 1938; 6 Vgl. Der Spiegel 1956; vgl. Rosenberg o.J. 7 The Nobel Foundation 1938
4
Atombombe im Bombenlaboratorium Los Alamos beschäftigte, welche am 16. Juli 1945 in New
Mexico explodierte.
Neben seiner Forschungstätigkeit lehrte Fermi im Laufe seines Lebens an unterschiedlichen
Universitäten.8 Er war unter seinen Kollegen und Studenten dafür bekannt, auch ohne jegliche
Informationen verhältnismäßig gute Abschätzungen tätigen zu können. So gelang es ihm auch beim
ersten Atombombentest alleine dadurch, dass er Papierschnipsel in die Luft warf, die ungefähre
Sprengkraft der Bombe festzustellen.9
Enrico Fermi, not wanting to wait hours and days for the complex diagnostic data to be evaluated, decided to conduct an ad-hoc experiment to calculate the yield of the gadget. Wrote Fermi, “About 40 seconds after the explosion the air blast reached me. I tried to estimate its strength by dropping from about six feet small pieces of paper before, during, and after the passage of the blast wave. Since, at the time, there was no wind, I could observe very distinctly and actually measure the displacement of the pieces of paper that were in the process of falling while the blast wave was passing. The shift was about two and a half meters, which at the time, I estimated to correspond to the blast that would be produced by ten thousand tons of TNT.” While Fermi’s estimate was on the low side, his calculation did prove the enormous energy release was demonstrably more than could be achieved by conventional bombs.10
Er wollte diese Fähigkeit des Abschätzens, welche speziell innerhalb der Physik eine wesentliche Rolle
spielt, auch an seine Studenten weitergeben, da er die Meinung vertrat, dass ein denkender Mensch
auf jede Frage eine Antwort finden müsse. Daher stellte er seinen Studenten immer wieder Fragen,
die ihnen auf den ersten Blick als unlösbar erschienen. Es handelte sich um Fragen, bei denen es
darum ging, schnell gute Abschätzungen zu machen, um ein Ergebnis in der richtigen Größenordnung
zu erhalten. Die bekannteste seiner Frage lautet11: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“12
Diese Frage wird in der Literatur immer wieder zitiert und auch ausgeführt, da das Finden der Lösung
dieser Aufgabe ein Paradebeispiel für typische Vorgehensweisen in der Physik darstellt.
Fragen dieser Art fallen in den Bereich der „Back-of-the-envelope-„ beziehungsweise „Back-of-the-
napkin-calculation“, die innerhalb der Physik schon seit jeher ihre Berechtigung haben, da es immer
wieder notwendig war und ist, schnell und ohne Hilfsmittel Abschätzungen anzustellen. Eine „Back-
of-the-envelope-calculation“ lässt sich folgendermaßen definieren:
An informal mathematical computation, often performed on a scrap of paper such as an envelope. A back-of-the-envelope calculation uses estimated and/or rounded numbers to quickly develop a
8 Vgl. Der Spiegel 1956; vgl. Los Alamos National Laboaratory o.J.; vgl. Rosenberg o.J.; vgl. The Nobel
ballpark figure. The result should be more accurate than a guess, but will be less accurate than a formal calculation performed using precise numbers and a spreadsheet or calculator.13
„Back-of-the-envelope”-Berechnungen werden also dadurch charakterisiert, dass, um überhaupt
Berechnungen anstellen zu können, Abschätzungen getätigt werden müssen. Die Begriffe „Back-of-
the-envelope-calculation“, „Back-of-the-napkin-calculation“ und Fermi-Aufgaben beziehen sich somit
auf ein und denselben Aufgabentyp. 14 Ein Buch, welches den synonymen Gebrauch dieser
Begrifflichkeiten nahe legt, ist „guesstimation. Solving the world’s problems on the back of a cocktail
napkin“, welches sich mit Fragestellungen auseinandersetzt, die nur mit Hilfe von Abschätzungen zu
lösen sind und somit auch als Quelle für Fermi-Fragen zu nennen ist. Die Autoren dieses Buches
führen den Begriff Fermi-Probleme bereits innerhalb der Einleitung ein15:
These problems are frequently called “Fermi problems”, after the legendary physicist Enrico Fermi, who delighted in creating and solving them.16
Insgesamt ist somit festzuhalten, dass Fermi-Aufgaben der forschenden Physik entstammen und
später, als ihr Potential zur Förderungen gewisser Kompetenzen erkannt wurde, innerhalb der
Fachdidaktik, zuerst in Physik und anschließend in Mathematik, wieder aufgegriffen wurden.17 Dies
belegt unter anderem Philip Morrison in seinem Artikel zu „Fermi-Questions“, in dem er festhält,
dass es für eine gute Ausbildung der Schülerinnen und Schüler innerhalb der Physik nicht reicht,
einzig und allein gewisse Themengebiete und Texte zu behandeln, sondern dass es auch notwendig
ist, ihnen die Fähigkeit des Schätzens zu vermitteln. Um diese Fähigkeit zu vermitteln, gibt es seiner
Meinung nach eine sehr geeignete Methode:18
That is the estimation of rough but quantitative answers to unexpected questions about many aspects of the natural world. The method was the common and frequently amusing practice of Enrico Fermi, perhaps the most widely creative physicist of our times. Fermi delighted to think up and at once to discuss and to answer questions which drew upon deep understanding of the world, upon everyday experience, and upon the ability to make rough approximations, inspired guesses, and statistical estimates from very little data. […] It should go without saying that no such question fulfills its purpose unless it is being heard for the first time. The accumulation of confidence and skill which such answers bring is a very good apprenticeship to research. Indeed, the conception of experiments and the formation of theoretical hypotheses are activities which are simulated by asking and answering good Fermi questions.19
13
Investopedia o.J. 14
Vgl. Wikipedia o.J. 15
Vgl. Adam; Weinstein 2008 16
Adam; Weinstein 2008: xiii 17
Vgl. Wikipedia o.J.; Anmerkung: Wie dieser Prozess vor sich ging und wer den Begriff Fermi-Aufgabe zum ersten Mal innerhalb der Fachdidaktik Mathematik verwendete, lässt sich nur schwer feststellen. 18 Vgl. Morrison 1963: 626f. 19
Morrison 1963: 627
6
1.2. Definition von Fermi-Aufgaben
Um zu zeigen, was innerhalb der Fachdidaktik Mathematik unter einer Fermi-Aufgabe verstanden
wird, sollen hier einige mögliche Definitionen angeführt werden.
Laut Greefrath lassen sich Fermi-Aufgaben folgendermaßen definieren:
Fermi-Aufgaben sind im Prinzip unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustand aber unklarem Anfangszustand sowie unklarere Transformation, bei denen die Datenbeschaffung – meist durch mehrfaches Schätzen – im Vordergrund steht.
20
Diese kurze, aber recht klare Definition enthält soweit die Grundzüge einer Fermi-Aufgabe: Es wird
meist eine einzelne Frage gestellt, wodurch der Endzustand klar wird. Die Frage enthält jedoch keine,
oder zumindest nicht alle zur Berechnung notwendigen Daten, wodurch häufig geschätzt werden
muss. Es werden auch keine Anweisungen bezüglich des Lösungsweges gegeben, wodurch
unterschiedliche Wege gegangen werden können. Durch ihre grundlegenden Eigenschaften fallen
Fermi-Aufgaben, wie im Folgenden noch näher erläutert wird, in den Bereich der offenen Aufgaben.
Auch Grottenthaler und Vogel heben die zwei wesentlichen Merkmale von Fermi-Aufgaben – das
Nichtvorhandensein der nötigen Angaben und die fehlende Vorgabe des Berechnungsweges – in
ihrer Definition hervor.21 Müller führt in seinem Artikel „Fermi-Probleme als Beitrag zu einer neuen
Aufgabenkultur“ anhand eines Beispiels vor, was er unter einer Fermi-Aufgabe versteht und fasst
dies folgendermaßen zusammen:
An dem Beispiel sollte deutlich geworden sein, dass man unter einem Fermiproblem weniger einen bestimmten Aufgabentypus als eine Art der Herangehensweise an eine Fragestellung versteht. Es handelt sich um eine Methode, um Fragestellungen, die auf den ersten Blick als zu komplex erscheinen oder zu deren Lösung die gegebene Information nicht ausreicht, dennoch näherungsweise beantworten zu können. […] Es geht nicht darum[,] die interessierende Größe exakt zu berechnen, sondern man ist an Größenordungsabschätzungen interessiert.
22
Das Rechnen selbst spielt bei Fermi-Aufgaben somit laut Müller keine große Rolle. Im Mittelpunkt
stehen vielmehr die Schritte vor dem Rechnen.23 Es geht um das Erlernen und Ausüben von
Vorgehensweisen der so genannten weichen Mathematik24, wie das Schätzen und Überschlagen.
Auch das Übersetzen des Problems in die Sprache der Mathematik und das Interpretieren der
gefundenen Lösung sind dabei nicht außer Acht zu lassen.25 An diese Arbeitsweisen innerhalb der
Mathematik müssen sich die Schülerinnen und Schüler erst einmal gewöhnen, da sie zu Beginn oft
20
Greefrath 2010: 80 21
Vgl. Grottenthaler; Vogel 2010: 9 22
Müller 2001b: 2 23
Vgl. Herget 2005: 1 24 Diese ist im Gegensatz zur exakten Mathematik zu sehen, bei der es darum geht, die eindeutige Lösung des Problems zu finden. 25
Vgl. Kira o.J.a
7
Hemmungen haben, Werte zu schätzen, weil ihnen diese Seite der Mathematik weniger vertraut
ist.26
Fermi-Aufgaben müssen nicht unbedingt realistisch sein. Es geht, wie schon erwähnt, vielmehr um
die mathematischen Handlungen, wie das Schätzen, das Überschlagen und das Modellieren, die
durch derartige Problemstellungen angeregt werden.27 Alltagswissen wird dabei eingesetzt, plausible
Annahmen müssen gemacht werden, Daten müssen recherchiert beziehungsweise geschätzt werden
und auch die zu verwendenden mathematischen Mittel müssen selbstständig gewählt werden.28
Deshalb ist auch klar, dass, über je mehr mathematisches Wissen die Schülerinnen und Schüler
verfügen, sie auch mehr davon bei der Lösung der jeweiligen Fermi-Aufgabe einsetzen und sich so die
Lösungswege ein und derselben Aufgabe je nach Vorwissen der Lernenden enorm voneinander
Aufgabentypus „offene Situation“, da weder alle Daten gegeben, noch das Verfahren und das
Ergebnis bekannt sind. Wobei diese Zuordnung, betrachtet man die von Greefrath formulierte
Definition von Fermi-Aufgaben als „unterbestimmte offene Aufgaben mit klarem Endzustand aber
unklarem Anfangszustand sowie unklarere Transformation“35, auch nicht vollkommen richtig ist.
Daraus lässt sich bereits die Problematik der Unterscheidung einer Fermi-Aufgabe von einer
„anderen“ offenen Aufgabe erkennen. Auch die Abgrenzung von Fermi-Aufgaben als Teilmenge von
Modellierungsaufgaben ist nur schwer möglich, da der Übergang oft fließend ist und innerhalb der
Literatur unterschiedlichste Definitionen verwendet werden. Jedoch soll im Folgenden anhand
einiger Eigenschaften und Merkmale klar gemacht werden, was eine Fermi-Aufgabe ausmacht.
35
Greefrath 2010: 80
10
1.4. Charakteristische Merkmale von Fermi-Aufgaben
Herget führt in einem seiner Artikel zu Fermi-Aufgaben beispielsweise folgende grundlegende
Eigenschaften von Fermi-Aufgaben an:
Bei diesen Aufgaben gilt es, Alltagswissen einzusetzen, plausible Annahmen zu machen, Daten zu recherchieren und das passende mathematische Werkzeug zu wählen.36
Bevor nun jedoch weitere Charakteristika von Fermi-Aufgaben angeführt werden, wird, um einen
schnellen Einblick zu geben, eine Fermi-Frage samt möglichem Lösungsweg und Ergebnis dargestellt.
Die Fermi-Frage lautet: „Wie viele Zahnärzte gibt es in Deutschland?“37 Man könnte bei der Lösung
der vorerst unlösbar erscheinenden Fragestellung wie folgt vorgehen: Man zerlegt die Fragestellung
in einzelne Teilfragen, die bei der Lösung des Problems hilfreich sein können.38 Bei dieser Fermi-
Aufgabe gilt es beispielsweise folgende Teilfragen zu beantworten:
Wie viele Menschen gehen in Deutschland zum Zahnarzt? […] Wie oft geht jeder? […] Wie lange dauert ein Termin etwa? […] Wie viele Stunden arbeitet ein Zahnarzt in der Woche? […] Wie viele Arbeitswochen hat er?39
Beantwortet man diese Fragen nacheinander schätzungsweise, so erhält man die zur Lösung des
Problems notwendigen Daten. Man könnte zum Beispiel davon ausgehen, dass in etwa 80 000 000
Menschen ungefähr 1- bis 2-mal im Jahr zum Zahnarzt gehen, ein Termin circa eine halbe Stunde
dauert und der Zahnarzt ungefähr 35 oder mehr Stunden in der Woche in ungefähr 45 Wochen im
Jahr arbeitet. Daraus ergibt sich mit gerundeten und überschlagenen Zahlen folgende Rechnung40:
Man benötigt also etwa 80 000 000 ∙ ½ = 40 000 000 Zahnarztstunden. Jeder Zahnarzt arbeitet etwa 35 ∙ 45 ≈ 40 ∙ 40 = 1 600 Stunden. Das können 40 000 000 : 1 600 = 400 000 : (4 ∙ 4) ≈ 25 000 Zahnärzte bewältigen.41
Wichtig ist auch, dass anschließend darüber reflektiert wird, was sich bei anders gewählten
Grundannahmen innerhalb der Rechnung und schließlich im Ergebnis ändern würde.42
Festzuhalten ist, dass es bei der Bearbeitung von Fermi-Aufgaben keinesfalls darum geht, eine
perfekte Lösung – die es meist ohnehin nicht gibt – zu finden, sondern einen möglichst guten
Näherungswert zu erhalten, der zumindest die Größenordnung der Lösung erahnen lässt.43
36
Herget 2007a: 66 37
Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007a: Karte „Herr Fermi und seine Fragen“ 38
Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007a: Karte „Herr Fermi und seine Fragen“ 40
Vgl. Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007a: Karte „Herr Fermi und seine Fragen“ 41 Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007a: Karte „Herr Fermi und seine Fragen“ 42 Vgl. Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007a: Karte „Herr Fermi und seine Fragen“ 43
Vgl. Herget 2000b: 26
11
Nun aber zu den wichtigsten Merkmalen, an denen sich Fermi-Aufgaben erkennen lassen:
Bei Fermi-Aufgaben handelt es sich um offene, realitätsbezogene Aufgaben, die keinen eindeutigen
Lösungsweg und auch kein eindeutiges, exaktes Ergebnis besitzen. Sie beziehen sich auf diverse
Erfahrungsbereiche des Alltags und sollen den Blick für Mathematik innerhalb dessen schärfen. Da
sie sich auf Erfahrungsbereiche des Alltags beziehen, sind sie häufig leicht zugänglich und regen zum
Weiterfragen an. Meist muss aufgrund mangelnder Informationen geschätzt und/oder überschlagen
werden, beziehungsweise helfen Alltagserfahrungen und Stützpunktwissen dabei, die zur
Berechnung notwendigen Daten zu erhalten.44
Viele Fragen im täglichen Leben lassen sich nur ungefähr stellen oder beantworten, oder man muss sich noch weitere Informationen beschaffen, bevor man loslegen kann. Dies sollte sich auch in den Aufgaben des Mathematikunterrichts widerspiegeln.
45
Daher ist es notwendig, bereits früh damit zu beginnen, die Schülerinnen und Schüler dazu zu
bringen, Werte zu schätzen und Ergebnisse auf ihre Plausibilität zu überprüfen.46
Mit dem mathematischen Modellieren kann und soll früh begonnen werden und die zuvor erwähnten Fermi-Aufgaben stellen einen guten Einstieg dar.47
Dies wird mit üblicherweise im Schulunterricht verwendeten Beispielen, bei denen zuerst geschätzt
und anschließend gemessen werden soll, meist nicht erreicht, da die Schülerinnen und Schüler
keinen Sinn darin sehen zu schätzen, da ja auch gemessen werden kann.48 Deshalb bedarf es
Beispielen, bei denen klar ist, warum geschätzt werden muss. Dies kann zum einen durch Beispiele
erreicht werden, bei denen die zur Berechnung notwendigen Daten fehlen oder zum anderen durch
Aufgaben, bei denen Daten durch Schätzen überprüft werden müssen.49 Beim Schätzen wird das
vorhandene Stützpunktwissen genutzt und ein gedanklicher Vergleich hergestellt, um so die
gesuchten Größen zu erhalten.50 Das Schätzen und das Überschlagen von Größenordnungen sind für
den Alltag notwendige Kompetenzen und tragen auch zu einem ausgewogenen Bild der Mathematik
bei, kommen jedoch im Mathematikunterricht häufig zu kurz. 51 Das Überschlagen von
Rechenergebnissen hilft beispielsweise dabei, Fehler aufzudecken und kann schließlich auch dazu
dienen, in Zeitschriften oder Zeitungen angeführte Daten zu überprüfen.
Für das Schätzen ist es besonders wichtig, dass die Schülerinnen und Schüler über Messerfahrungen,
Stützpunkt- und realistische Größenvorstellungen verfügen. Gerade das Schätzen kann somit,
aufgrund der zuvor genannten Aspekte, besonders gut mit Hilfe von Fermi-Aufgaben erlernt und
geübt werden. 52 Den Schülerinnen und Schülern soll auch bewusst gemacht werden, wann
Schätzungen als Ergebnis ausreichen und wie sie mit Größen im Alltag umzugehen haben.53
Fermi-Aufgaben tragen auch zur besseren Transferfähigkeit von Wissen und Können bei, da gewisse
Grundkompetenzen in unterschiedlichsten Kontexten flexibel eingesetzt werden. Mit Hilfe von
Fermi-Aufgaben wird so das Vernetzen von mathematischem Wissen mit Kompetenzen wie dem
Modellieren, Begründen und Argumentieren gefördert.54 Charakteristisch für Fermi-Aufgaben ist
auch, dass vielfach auf den ersten Blick kein Lösungsweg ersichtlich ist, wodurch die Lernenden
herausgefordert werden. Mit Hilfe von Fermi-Aufgaben können auch viele weitere Kompetenzen
gefördert werden, was in Kapitel 4.1. näher erläutert wird.55
Typisch für Fermi-Aufgaben ist des Weiteren, dass sie leicht verständlich sind, da es sich meist um
einfach formulierte Fragestellungen handelt. 56 Der Kontext einer Fermi-Aufgabe sollte den
Schülerinnen und Schülern weitgehend aus ihrer Erfahrung bekannt sein.57 Fermi-Aufgaben helfen
dabei, den Schülerinnen und Schülern große Zahlen beziehungsweise große Mengen bewusst zu
machen und zu zeigen, dass es nicht nur die, üblicherweise im Mathematikunterricht vorkommende
exakte Mathematik gibt, bei der es immer ein eindeutiges, klares Ergebnis gibt, sondern dass im
Alltag und auch innerhalb der Wissenschaften58 immer wieder die so genannte weiche Mathematik,
bei der das Schätzen und Überschlagen eine grundlegende Rolle spielen, verwendet wird. Das
Schätzen und Überschlagen sowie das Erweitern des Stützpunktwissens können auch einen wichtigen
Beitrag zur Entwicklung des Zahlensinns liefern.59
Die Kunst dabei [bei der Lösung von Fermi-Aufgaben] ist, auf richtige Weise zum Kern des Problems vorzustoßen und unbekannte Größen dadurch zu erschließen, daß <sic!> man sie auf plausible Weise mit (möglicherweise sogar aus dem Alltag) bekannten verknüpft.60
Da, wie schon erwähnt, meist die zur Berechnung notwendigen Angaben fehlen, kann keine klare
Unterscheidung von richtigen und falschen Lösungen und Lösungswegen getroffen werden, sondern
es kann nur zwischen mehr oder weniger plausiblen und angemessenen Ergebnissen unterschieden
werden.61 An diese unscharfe und ungenaue Seite der Mathematik müssen die Schülerinnen und
Schüler erst einmal gewöhnt werden, da in der Realität vorkommende Zahlen meist auch nur
begrenzt genau sind. Gerade mit Fermi-Aufgaben lässt sich diese Seite der Mathematik gut
vermitteln.62
Durch die Eigenschaft, dass Fermi-Aufgaben unterschiedliche Lösungswege zulassen, ergibt sich eine
weitere: Fermi-Aufgaben können auf unterschiedlichen Niveaustufen und mit verschiedenen
Hilfsmitteln gelöst werden, was ihre selbstdifferenzierende Eigenschaft ausmacht.63 Somit können
sowohl leistungsstarke als auch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler angesprochen,
gefordert und gefördert werden.64 Des Weiteren entfällt bei Fermi-Aufgaben für die Schülerinnen
und Schüler meist auch die Angst sich zu irren, da bekannt ist, dass es nicht nur einen einzigen
Lösungsweg gibt und es auch erlaubt ist, kreativ zu sein und zu experimentieren.65
Fermi-Aufgaben fordern zum selbstständigen Arbeiten auf und können durch ihre Offenheit bei den
Schülerinnen und Schülern auch größere Motivation und gesteigertes Interesse an der Mathematik
hervorrufen.66 Da Fermi-Aufgaben für Einzelne oft als zu schwierig empfunden werden, bietet sich
eine Zusammenarbeit mit anderen an, wodurch wiederum kooperative Fähigkeiten gefördert werden
können.67
Die Motivation zur mathematischen Interaktion und Kooperation mit Mitschülerinnen und Mitschülern ist also bereits intrinsisch durch die Art der Problemstellung gegeben.68
Um feststellen zu können, welche Kompetenzen, Fähigkeiten und Fertigkeiten durch Fermi-Aufgaben
gefördert werden können, muss vorerst geklärt werden, was unter Kompetenzen verstanden wird
und welches Wissen und Können die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der achten Schulstufe
erreichen sollen, um auf ihr weiteres Leben vorbereitet zu sein. Dazu wird nicht nur der Lehrplan für
die Sekundarstufe I herangezogen, sondern auch auf die Standards für den Mathematikunterricht der
achten Schulstufe und auf andere, in der Literatur vorkommende Konzepte bezüglich
Allgemeinbildung und kompetenzorientierten Unterricht Bezug genommen.
Bevor aber auf kompetenzorientierten beziehungsweise standardorientierten Unterricht
eingegangen wird, muss vorausgeschickt werden, dass durchaus eine Unterscheidung der beiden
Begriffe getroffen werden kann, die Begriffe in dieser Arbeit jedoch als Synonyme im Sinne von
Kompetenzorientierung verwendet werden. Kompetenzorientierung wird in dieser Arbeit
dahingehend verstanden, dass nicht das Ziel verfolgt wird, die Schülerinnen und Schüler auf Tests
vorzubereiten, sondern ihnen vielmehr die für ihr weiteres Leben notwendigen Kompetenzen (also
auch soziale und personale Kompetenzen) zu vermitteln. Diese Kompetenzen können nur schwer bis
überhaupt nicht innerhalb von schriftlichen Tests überprüft werden. Daher lässt sich schlussfolgern,
dass die Durchführung kompetenzorientierten Unterrichts, in dem Sinne, wie er in dieser Arbeit
verstanden wird, nicht unbedingt zum besseren Abschneiden der Schülerinnen und Schüler bei
Standardtestungen beiträgt, da ja nicht gezielt auf die Bearbeitung der in den Tests verwendeten
Aufgabenformaten und Items hingearbeitet wird. Der Begriff Standardorientierung kann im
Allgemeinen jedoch auch dahingehend verstanden werden, dass versucht wird, die Schülerinnen und
Schüler möglichst gut auf Tests vorzubereiten, was wiederum dazu führen kann, dass ausschließlich
innerhalb von Testungen überprüfbare Kompetenzen im Unterricht gefördert werden.
Wie bereits erwähnt, wird der Begriff „Standardorientierung“ hier hingegen im Sinne von
„Kompetenzorientierung“ gebraucht. Zentrale Aufgabe dieser Arbeit ist es also nicht, Methoden und
Aufgaben vorzustellen, die ausschließlich dabei helfen sollen, ein besseres Abschneiden der
Schülerinnen und Schüler bei Standardtestungen zu gewährleisten. Es ist auch noch keineswegs klar,
ob der in dieser Arbeit vorgestellte Ansatz für kompetenzorientierten Unterricht dazu beiträgt, dass
die Schülerinnen und Schüler bessere Leistungen bei Standardtestungen in den Bereichen der
inhaltlichen und prozessbezogenen Kompetenzen hervorbringen, da bei den Tests vor allem auch auf
Exaktheit Wert gelegt wird und dies ein Bereich ist, der bei Fermi-Aufgaben keine Rolle spielt.
15
2.1.1. Kompetenzbegriff
Anfang der 90er Jahre wurde im Zusammenhang mit zu erreichenden Fertigkeiten und Fähigkeiten
noch von „Schlüsselqualifikationen“ gesprochen. Nachdem dieser Begriff jedoch überstrapaziert
wurde, verlor er mit der Zeit seine Faszination und wurde gewissermaßen durch den Begriff
„Kompetenz“ ersetzt.69 Leuders versteht den Begriff „Schlüsselqualifikationen“ jedoch anders. Er
benutzt ihn heute noch und bezieht sich damit auf Kompetenzen für das lebenslange Lernen und
führt dazu folgende Beispiele an70:
- Lern- und Arbeitstechniken - Selbstständigkeit in Auswahl und Aneignung von Fähigkeiten - Problemlösefähigkeit, Kreativität - Teamfähigkeit und Kommunikationskompetenz71
Um von kompetenzorientiertem Unterricht sprechen zu können, ist es notwendig festzuhalten, was
unter dem Begriff „Kompetenz“ verstanden wird. Dazu ist es wichtig festzulegen, was die
Schülerinnen und Schüler wissen und können sollen.72 Maaß benutzt beispielsweise einen sehr
weitläufigen Kompetenzbegriff, der auf unterschiedlichste Fähigkeiten und Fertigkeiten bezogen
werden kann:
Kompetenzen umfassen [hiernach] Fähigkeiten und die Bereitschaft, diese Fähigkeiten in Handlungen umzusetzen.73
Innerhalb der Standards für den Mathematikunterricht der achten Schulstufe werden Kompetenzen
wie folgt definiert:
Unter Kompetenzen werden hier längerfristig verfügbare kognitive Fähigkeiten verstanden, die von Lernenden entwickelt werden können und sie befähigen, bestimmte Tätigkeiten in variablen Situationen auszuüben, sowie die Bereitschaft diese Fähigkeiten und Fertigkeiten einzusetzen.74
Im Bundesgesetzblatt wird die Bereitschaft noch in soziale und motivationale Bereitschaft unterteilt
und auch hinzugefügt, dass es darum geht, Aufgaben nicht nur erfolgreich, sondern auch
verantwortungsbewusst zu lösen.75
Bruder, Leuders und Büchter erklären beziehungsweise definieren den Kompetenzbegriff schon
etwas genauer. Laut ihnen umfasst der Kompetenzbegriff
- Kenntnisse und Fertigkeiten, die sich daran zeigen, dass Schülerinnen und Schüler mathematisches Wissen abrufen können oder mathematische Verfahren sicher ausführen.
- Fähigkeiten, die darüber hinausgehen und sich dadurch auszeichnen, dass Wissen und Kenntnisse in wechselnden Situationen flexibel angewendet werden können.
69
Vgl. Lehmann; Nieke o.J.: 1 70
Vgl. Leuders 2001: 51 71
Leuders 2001: 51 72
Vgl. Bruder; Leuders; Büchter 2008: 10 73 Maaß 2004: 32 74 Institut für Didaktik der Mathematik 2007: 9 75
Vgl. Bundesgesetzblatt für die Republik Österreich 2009: 1. Verordnung
16
- Haltungen und Einstellungen, die z.B. Problemlösebereitschaft oder eine kritische Haltung gegenüber Lösungen und Argumenten, die die Voraussetzung für die Anwendung von Fähigkeiten bedeutet.76
Im Idealfall sollte es sich laut Bruder, Büchter und Leuders also nicht um Kenntnisse handeln, die
ausschließlich für die nächste Schularbeit benötigt werden, sondern um Fähigkeiten, die zur
Bewältigung von Problemsituationen im täglichen Leben von Bedeutung sind.77 Dem widerspricht
jedoch die Tatsache, dass derzeit viele Lehrpersonen versuchen, die Lernenden gezielt auf die
Standardtestungen und im Speziellen auf die standardisierte Reifeprüfung hinzutrainieren.
Insgesamt ist zu bemerken, dass den jeweiligen Definitionen gemein ist, dass von einem
Kompetenzbegriff ausgegangen wird, der unterschiedliche Fertigkeiten und Fähigkeiten und die
Bereitschaft diese auch einzusetzen umfasst. Dies heben auch Weinert und Juen in ihren Definitionen
hervor.78 Weinert betont in seiner Definition zusätzlich, dass es vor allem um Fähigkeiten und
Fertigkeiten geht, die für flexibles Problemlösen unabdingbar sind.79 Juen geht davon aus, dass
Kompetenzen Wissen und Können verbinden und so die Lernenden zur Bewältigung von
Problemsituationen befähigt werden.80
Lehmann und Nieke sprechen von drei unterschiedlichen Bedeutungen des Kompetenzbegriffs. Alle
drei Bedeutungen spielen für die Verwendung des Begriffs im Zusammenhang mit Unterricht eine
Rolle:81
- Die erste Bedeutung von Kompetenz bezieht sich auf die Erlaubnis, etwas tun zu dürfen. So
befähigt der Schulabschluss die Schülerinnen und Schüler beispielsweise weitere
Bildungseinrichtungen in Anspruch zu nehmen.
- Die zweite Bedeutung bezieht sich auf die erworbenen Fähigkeiten, bezogen auf das Wissen
und Können, welches von den Schülerinnen und Schülern innerhalb gewisser
Jahrgangsstufen erlangt werden soll. Diese Bedeutung kommt bei den Standards zum Tragen.
- Die dritte Bedeutung von Kompetenz bezieht sich auf Wettbewerbssituationen. Hier wird
Kompetenz als Merkmal von Erfolg verstanden. Es geht also darum, innerhalb der
- Prozessbezogene Kompetenzen beziehungsweise Methodenkompetenz: Unter diesen
Bereich fallen die Fähigkeiten und Fertigkeiten, die notwendig sind, um geplant vorzugehen,
Lernstrategien zu entwickeln, verschiedene Arbeitstechniken anzuwenden, zu recherchieren
beziehungsweise zu wissen, wie und wo man sich Informationen beschaffen kann, um
Problemsituationen bewältigen zu können, um strukturiert arbeiten und um Lösungen
präsentieren zu können. 89 Barzel, Bruder, Büchter und Leuders sprechen von
prozessorientierten Kompetenzen und zählen dazu die Fähigkeiten und Fertigkeiten des
Problemlösens, des Modellierens, des Argumentierens und des Kommunizierens.90 Etwas
allgemeiner beschreibt Lucyshyn die Methodenkompetenz:
Bezieht sich auf die Fähigkeit, neue Situationen und Lernanforderungen kreativ und angemessen zu bewältigen. Dabei geht es um die erfolgreiche Aneignung und Reflexion unterschiedlichster (Lern-) Methoden.91
Da es sich bei den prozessbezogenen Kompetenzen um solche handelt, die in den
verschiedensten Inhaltsbereichen stattfinden, können sie als „allgemeine, mathematische
Kompetenzen“ bezeichnet werden.92
- Personale Kompetenzen beziehungsweise Selbstkompetenz: Dazu gehören die
Leistungsbereitschaft, das Abschätzen der eigenen Stärken und Schwächen,
zu arbeiten, kreativ zu sein, kooperativ mit anderen zusammenzuarbeiten sowie die Fähigkeit
zur Selbstverwirklichung und den Willen, Verantwortung zu übernehmen.96
Leuders spricht im Buch „Qualität im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I und II“ von
fachlichen, persönlichen und sozialen Kompetenzen, die Schulabgänger innerhalb ihrer
Schullaufbahn erworben haben sollen, um für ihre Zukunft in der Gesellschaft und der Wirtschaft
gerüstet zu sein.97 Das heißt, er fasst die Bereiche der inhaltsbezogenen und der prozessbezogenen
Kompetenzen wieder zu den fachlichen Kompetenzen zusammen. Neben den bereits genannten
Kompetenzbereichen ist innerhalb des Artikels „Kompetenzorientiertes Unterrichten.
Grundlagenpapier“ noch von kommunikativer und emotionaler Kompetenz die Rede.98 Diese zählen
meines Erachtens zu den sozialen und personalen Kompetenzen.
Insgesamt ist festzuhalten, dass es im Mathematikunterricht, sofern es einem darum geht, den
Schülerinnen und Schülern sowohl inhaltliche, prozessbezogene als auch soziale und personale
Kompetenzen zu vermitteln und sie nicht nur auf spezielle Test-Items vorzubereiten, vielmehr um die
Vermittlung allgemeiner Fähigkeiten, die flexibel eingesetzt werden sollen, als um das Durchnehmen
spezifischer mathematischer Inhalte gehen sollte. Esper betont auch noch einige weitere zentrale
Aspekte des Kompetenzbegriffes. Es geht ihm speziell um die Flexibilität, die Nachhaltigkeit und die
Nützlichkeit sowie um die Beschränkung auf die zentralen Aspekte des Könnens.99
2.1.2. Kompetenzen im Lehrplan für die Unterstufe
Innerhalb des allgemein gehaltenen Teiles des AHS-Lehrplanes für die Sekundarstufe I wird im
gesetzlichen Auftrag verankert, dass allgemeinbildende höhere Schulen zur
Heranbildung der jungen Menschen mitzuwirken [haben], nämlich beim Erwerb von Wissen, bei der Entwicklung von Kompetenzen und bei der Vermittlung von Werten. Dabei ist die Bereitschaft zum selbstständigen Denken und zur kritischen Reflexion besonders zu fördern. Die Schülerinnen und Schüler sind in ihrem Entwicklungsprozess zu einer sozial orientierten und positiven Lebensgestaltung zu unterstützen.100
Es wird also klar hervorgehoben, dass das eigenständige, kritische Denken der Lernenden in jedem
Falle zu fördern ist und dass die Schule die Aufgabe hat, die Entwicklung unterschiedlicher
Kompetenzen bei den Schülerinnen und Schülern zu unterstützen. Die Lernenden sollen eine
eigenständige Persönlichkeit entwickeln können und die Möglichkeit zum eigenverantwortlichen
- Produktives geistiges Arbeiten, insbesondere: Kombinieren vertrauter Methoden; Analysieren von Problemen, Begründungen, Darstellungen, mathematischen Objekten; Anwenden bekannter Verfahren, auch in teilweise neuartigen Situationen, […]
- Argumentieren und exaktes Arbeiten, insbesondere: […], Begründen […]; Rechtfertigen von Entscheidungen (etwa der Wahl eines Lösungsweges oder einer Darstellungsform).
- Kritisches Denken, insbesondere: Überprüfen von Vermutungen; Überprüfen von Ergebnissen; Erkennen von Unzulänglichkeiten mathematischer Modelle; Erkennen von Mängeln in Darstellungen oder Begründungen […]
- Darstellen und Interpretieren […]105
Innerhalb der Bildungs- und Lehraufgabe des Lehrplanes für den Mathematikunterricht wird ferner
hervorgehoben, dass mathematisches Wissen und Können vielfältig mit der Welt verknüpft werden
soll und dass mathematisches Modellieren zu einem kritischen und verantwortungsbewussten
Umgang mit Aussagen, denen man im Alltag begegnet, beitragen soll. Die Schülerinnen und Schüler
sollen die Möglichkeit bekommen, zu argumentieren, kritisch zu denken, zu modellieren,
darzustellen, zu interpretieren und verschiedene Arbeitstechniken und Technologien anzuwenden.106
Um mathematisch modellieren zu können, werden unterschiedliche Teilkompetenzen benötigt:
Darunter fallen die Fähigkeiten, einen Modellierungsprozess durchzuführen, auf Metaebene über
den Modellierungsprozess Bescheid zu wissen, Fähigkeiten, Probleme zu strukturieren und geplant
vorzugehen, die Fertigkeit der Argumentation sowie auch Kompetenzen den Nutzen von Mathematik
101
Welche Fertigkeiten und Fähigkeiten zu den angeführten Kompetenzbereichen zählen, wird innerhalb des Kapitels zu den Standards für den Mathematikunterricht der achten Schulstufe näher erläutert. 102
Lehrplan AHS Unterstufe – 1. Teil (Allgemeines Bildungsziel) 103
zur Lösung realer Probleme zu erkennen.107 Der Mathematikunterricht soll also auch dazu beitragen,
dass Erscheinungen der Welt besser wahrgenommen und verstanden werden können und dass
allgemeine Problemlösefähigkeiten erworben werden. Innerhalb der didaktischen Grundsätze wird
hervorgehoben, dass den Schülerinnen und Schülern aktives Arbeiten anhand von alltagsbezogenen
Problemstellungen ermöglicht werden soll.108
Mit Hilfe von Problemstellungen aus Themenkreisen, die den Erfahrungen und Interessen der Schülerinnen und Schüler entsprechen, sollen mathematisches Wissen und Können entwickelt und gefestigt werden. Dabei soll die Nützlichkeit der Mathematik in verschiedenen Lebens- und Wissensbereichen erfahren werden.
109
Im Rahmen des Lehrstoffes wird noch einmal die zentrale Aufgabe des Mathematikunterrichts
festgehalten und klargestellt, welche Kompetenzen den Schülerinnen und Schülern in welcher Form
vermittelt werden sollen:
Die Schülerinnen und Schüler sollen praxisorientierte Aufgaben unter dem Aspekt der Modellbildung möglichst oft rechnerisch, geometrisch und graphisch darstellen, lösen und kritisch betrachten können. Dabei sollen sie von ihrer unmittelbaren Erlebniswelt ausgehen und ihre Erfahrungen auch in fächerübergreifende Vorhaben einbringen. Die Schülerinnen und Schüler sollen ebenso grundlegendes mathematisches Wissen und Können erwerben und abstraktes Denken und formale Fähigkeiten entwickeln. Sie sollen im präzisen Arbeiten und Argumentieren ausgebildet werden und mit mathematischen Darstellungsformen vertraut werden.110
Auch innerhalb des allgemeinen Teiles des Lehrplanes, der sich unter anderem auch den allgemeinen
didaktischen Grundsätzen widmet, werden viele Bereiche angesprochen, die beim Einsatz offener
Aufgaben im Unterricht zum Tragen kommen. Es handelt sich dabei zwar weniger um Kompetenzen,
sondern vielmehr um Grundprinzipien eines guten Unterrichts, die jedoch wiederum Voraussetzung
für die Vermittlung von Kompetenzen sind. Grundsätzlich gilt, dass immer an die Vorkenntnisse und
Vorerfahrungen der Lernenden angeknüpft und dass individuelles, differenziertes Lernen möglich
gemacht werden soll. Die Selbstständigkeit, die Eigenverantwortung und das kritische Denken der
Lernenden sollen gezielt gefördert werden. Wichtig ist auch, dass sich die verwendeten Beispiele
immer wieder auf die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler beziehen, was vor allem durch zeit-
und lebensnahe Themen erreicht werden kann. Um sicherzustellen, dass nachhaltig gelernt wird,
müssen die zentralen Bereiche der Mathematik innerhalb der unterschiedlichen Schulstufen
fortwährend wiederholt werden und es sollten Zusammenhänge zwischen den einzelnen
Vgl. Lehrplan AHS Unterstufe – 2. Teil (Allgemeine didaktische Grundsätze)
22
Auf die im Lehrplan angeführten Themenbereiche, die in den einzelnen Schulstufen behandelt
werden sollen und im Zusammenhang mit Fermi-Aufgaben eine Rolle spielen, wird in Kapitel 4.1.
eingegangen.
2.1.3. Standards für den Mathematikunterricht der achten Schulstufe (M8)
Um von Bildungsstandards sprechen zu können, muss vorerst geklärt werden, was unter ihnen
verstanden werden kann. Laut einer Verordnung bezüglich der Bildungsstandards im Schulwesen
sind
„Bildungsstandards“ konkret formulierte Lernergebnisse in den einzelnen oder den in fachlichem Zusammenhang stehenden Pflichtgegenständen, die sich aus den Lehrplänen […] ableiten lassen. Diese Lernergebnisse basieren auf grundlegenden Kompetenzen, über die die Schülerinnen und Schüler bis zum Ende der jeweiligen Schulstufe in der Regel verfügen sollen.
112
Im Unterschied zu Lehrplänen, in denen festgelegt wird, was unterrichtet werden soll, legen
Bildungsstandards also fest, was die Schülerinnen und Schüler am Ende der jeweiligen Schulstufe
wissen und können sollen. Standards sind dementsprechend Output-orientiert.113
Während in Lehrplänen meist die im Unterricht zu behandelnden Inhalte im Zentrum stehen, werden in Bildungsstandards die zu erreichenden Kompetenzen genannt.114
Jedoch widersprechen sich die Begriffe Inhalt und Kompetenz nicht, denn auch innerhalb der
Kompetenzen finden sich die Kerninhalte wieder. 115 Im Zentrum eines standardorientierten
Unterrichts stehen also die Kompetenzen (inhaltsbezogene und allgemeine) beziehungsweise
Fähigkeiten, Fertigkeiten und Einstellungen, die sich bei den Schülerinnen und Schülern entwickeln
sollen und nicht der im Unterricht behandelte Stoff.116
Die Leitidee des Konzepts der Bildungsstandards Mathematik sind die Kompetenzorientierung des Unterrichts und die Nachhaltigkeit des Lernens, wobei als Kriterien für die Auswahl der Inhalte des Unterrichts die Prinzipien „Lebensvorbereitung“ und „Anschlussfähigkeit“ gelten.
117
Um die Schülerinnen und Schüler auf ihr Leben vorzubereiten, sollte es im Mathematikunterricht der
Sekundarstufe I darum gehen, ihnen Wissen und Können mitzugeben, „das für eine aktive,
unbehinderte, reflektierte, kritische, emanzipierte Teilnahme am Leben in unserer Gesellschaft
erforderlich/unerlässlich ist“118. Dabei spielen unterschiedliche Gesichtspunkte der Mathematik eine
Rolle. Neben operativen Fähigkeiten sollen auch konstruktive (beispielsweise durch Modellbildung)
112
Bundesgesetzblatt für die Republik Österreich 2009: 1. Verordnung 113
BIFIE 2010: 7; Institut für Didaktik der Mathematik 2007: 7
23
und kommunikative Aspekte (zum Beispiel durch Interpretationen, Argumentationen und
Begründungen) betont werden. Da das im Leben benötigte Wissen jedes Einzelnen nicht
vorhersehbar ist, liegt das Hauptaugenmerk darin, die Lernenden dazu zu befähigen, ihr Wissen und
Können flexibel auch in für sie unbekannten Situationen einzusetzen. Es soll nachhaltig gelernt
werden.119 Vor allem die Eigenständigkeit und Eigentätigkeit der Schülerinnen und Schüler muss
dafür gefördert werden. Sie sollen die Möglichkeit zum eigenverantwortlichen Lernen bekommen120,
da innerhalb des Kompetenzmodells „Lernen als aktiver, konstruktiver, selbstgesteuerter und
kommunikativer Prozess“121 verstanden wird.122 Neben der Lebensvorbereitung wurde auch die
Anschlussfähigkeit als Prinzip standardorientierten Unterrichts genannt. Dabei geht es darum, die
Schülerinnen und Schüler auf ihre weitere Schullaufbahn vorzubereiten und ihnen das dazu nötige
Handwerkszeug mitzugeben. Dazu müssen auch grundlegende mathematische Tätigkeiten wie das
Beweisen, Formalisieren und Definieren erlernt werden.123
Mathematische Standards beziehen sich also auf einen kleinen Teil mathematischer Fähigkeiten, die
jeder Einzelne benötigt und über die die Lernenden einer bestimmten Schulstufe verfügen sollten.124
Um in Kapitel 4.1. auf den Nutzen von Fermi-Aufgaben im Zusammenhang mit
kompetenzorientiertem Unterricht eingehen zu können, ist es notwendig abzuklären, welche
Kompetenzen nun wirklich am Ende der achten Schulstufe in Mathematik erreicht werden sollen.
Dazu ist es vorerst jedoch wichtig, zu klären, was unter dem Begriff „mathematische Kompetenzen“
verstanden werden kann:
Mathematische Kompetenzen beziehen sich auf mathematische Tätigkeiten, auf mathematische Inhalte sowie auf die Art und Komplexität der erforderlichen Vernetzungen.125
Aus dieser Definition mathematischer Kompetenzen geht hervor, dass bei mathematischen
Kompetenzen die Inhaltsdimension, die Handlungsdimension (in der Definition als mathematische
Tätigkeiten beschrieben) und die Komplexitätsdimension eine Rolle spielen. Genauer gesagt setzt
sich eine mathematische Kompetenz aus diesen drei Teilbereichen zusammen126:
119
Vgl. BIFIE 2010: 7f. und 57; vgl. Institut für Didaktik der Mathematik 2008: 7f. 120
Vgl. BIFIE 2010: 7f. und 57; vgl. Institut für Didaktik der Mathematik 2008: 7f. 124 Vgl. BIFIE 2010: 7 und 9 125 Institut für Didaktik der Mathematik 2007: 9 126
Vgl. BIFIE 2010: 9; vgl. Institut für Didaktik der Mathematik 2007: 3 und 9
24
Abbildung 3: Ein Modell mathematischer Kompetenzen127
Um alle der 48 mathematischen Kompetenzen zu erhalten, werden jeweils ein Handlungsbereich, ein
Inhaltsbereich und ein Komplexitätsbereich der folgenden Listen miteinander verknüpft:
Handlungsbereiche:
- H1: Darstellen, Modellbilden
- H2: Rechnen, Operieren
- H3: Interpretieren
- H4: Argumentieren, Begründen
Inhaltsbereiche:
- I1: Zahlen und Maße
- I2: Variable, funktionale Abhängigkeiten
- I3: Geometrische Figuren und Körper
- I4: Statistische Darstellungen und Kenngrößen
Komplexitätsbereiche:
- K1: Einsetzen von Grundkenntnissen und -fertigkeiten
- K2: Herstellen von Verbindungen
- K3: Einsetzen von Reflexionswissen, Reflektieren128
Gerade die Teilbereiche Argumentieren, Begründen und Stellen kritischer Fragen sind besonders
wichtig und sollen im Laufe der Zeit immer weiter ausgebaut werden. Dies kann nur langsam
geschehen, indem immer wieder Begründungen und Erklärungen eingefordert werden. Um
mathematische Inhalte, die für die Erlangung mathematischer Kompetenzen unabdingbar sind, parat
zu halten, sind regelmäßige Wiederholungen notwendig.129
127
BIFIE 2010: 9 128 Vgl. BIFIE 2010: 10f.; vgl. Institut für Didaktik der Mathematik 2007: 11ff. Für nähere Ausführungen zu den einzelnen Teilbereichen wird auf die eben zitierten Broschüren verwiesen. 129
Vgl. BIFIE 2010: 57 und 73
25
Auch Siller führt eine Liste von Kompetenzen an, die die Schülerinnen und Schüler seiner Meinung
nach bis zu ihrem mittleren Schulabschluss im Fach Mathematik erreicht haben sollen. Darunter sind
einige der bereits genannten Handlungsbereiche vertreten, aber es werden auch weitere
Kompetenzen, wie das Problemlösen, Kommunizieren, das Verwenden unterschiedlicher
Darstellungsweisen sowie der Umgang mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der
Mathematik genannt.130
2.1.3.1. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM)
Im Jahr 2000 gab der NCTM das Buch „Principles and Standards for School Mathematics” heraus, in
dem, wie bei uns innerhalb der Bildungsstandards, die wesentlichen Kompetenzen, die die
Schülerinnen und Schüler während ihrer Schullaufbahn erlernen sollen, festgehalten wurden.131 In
diesem Kapitel wird nur ein kleiner Einblick in die vom NCTM erstellten Standards gegeben, um zu
zeigen, dass diese bezüglich der grundlegenden Aspekte mit den österreichischen Bildungsstandards
übereinstimmen und dass auch Bereiche genannt werden, für deren Entwicklung offene Aufgaben
dienlich sein können. Die Darstellung der NCTM-Standards beschränkt sich auf die Schulstufen 6-8
und im Speziellen auf jene Bereiche, in deren Zusammenhang offene Aufgaben eine Rolle spielen
können. Grundsätzlich sollen die Lernenden laut NCTM in folgenden Bereichen gewisse Fähigkeiten
und Fertigkeiten erlangen:
- Number and Operation
- Algebra
- Geometry
- Measurement
- Data Analysis and Probability
- Problem Solving
- Reasoning and Proof
- Communication
- Representation132
Es werden hier nun jene Aspekte erläutert, die meines Erachtens durch Fermi-Aufgaben gefördert
werden können. Bereits innerhalb des Teilbereiches „Number and Operations“ spielt das Abschätzen
von Ergebnissen eine wesentliche Rolle. Es soll darauf Wert gelegt werden, dass die Lernenden ein
Gefühl dafür bekommen, wann es notwendig ist, ein exaktes Ergebnis zu erhalten und wann es
genügt, mittels Abschätzungen vorzugehen.133 Auch im Bereich „Measurement“ geht es unter
anderem um das Abschätzen von Größen und vor allem auch um das Verwenden und Umformen von
Einheiten. Auch das Verwenden von Stützpunktwissen zur Abschätzung von großen Größen wird
angesprochen134:
They should also be able to use commonly understood benchmarks to estimate large measurements; for instance, the distance between the middle school and the high school is about the length of ten football fields.135
Innerhalb des Bereiches „Problem Solving“ wird die Beschäftigung mit Problemen, die sich auf
unterschiedliche Art und Weise lösen lassen, angeführt. Ebenso wird betont, dass darauf Wert gelegt
werden soll, Phasen der Reflexion in den Unterricht zu integrieren.136 Auch die Kommunikation der
Schülerinnen und Schüler untereinander sowie mit der Lehrperson soll laut NCTM gefördert werden.
Hierzu zählt jedoch nicht nur die mündliche Kommunikation, sondern auch die schriftliche. Auch dies
ist ein Aspekt, der mit Hilfe von offenen Aufgaben besonders gut gefördert werden kann.137
Wichtig ist außerdem, dass die Lernenden ihr Wissen bestmöglich vernetzen, da es sonst zur Bildung
einzelner Wissensinseln kommt, die jedoch nicht flexibel eingesetzt werden können138:
Without connections, students must learn and remember too many isolated concepts and skills. With connections, they can build new understandings on previous knowledge.139 The teacher’s role includes selecting problems that connect mathematical ideas within topics and across the curriculum; it also includes helping students build on their current mathematical ideas to develop new ideas.140
Ein weiterer wesentlicher Bereich des Mathematikunterrichts sollte laut NCTM der Gebrauch
unterschiedlicher Darstellungsformen und –ebenen sein, da dadurch eine größere Flexibilität
innerhalb der Lösung von Problemen und innerhalb der Modellbildung erreicht werden kann.141
Anhand der angeführten Teilbereiche der NCTM-Standards, lässt sich erkennen, dass durchaus große
Übereinstimmungen mit österreichischen Standards vorhanden sind. Offene Aufgaben werden
jedoch nur sehr peripher angesprochen und es wird nicht explizit darauf hingewiesen, dass diese Art
der Aufgaben zur Förderung vieler der genannten Kompetenzen eingesetzt werden könnte.
Bezüglich Konzepte allgemeinbildenden Mathematikunterrichts sind vor allem Winter und Heymann
zu nennen. Aber auch Herget führt in einem seiner Artikel wesentliche Merkmale eines
Mathematikunterrichts an, der den Anspruch hat, die Allgemeinbildung zu fördern:
Ein Mathematikunterricht, der auf Lebensbezug (und damit auf offene Fragestellungen, Problem- und Anwendungsbezüge) und Eigeninitiative zielt, kommt dem Anspruch der Allgemeinbildung nach.
149
Winter geht von drei Grunderfahrungen aus, die ein allgemeinbildender Mathematikunterricht
jedem/r Lernenden ermöglichen soll und die auch für die Entwicklung von Bildungsstandards eine
Rolle spielen150:
(G1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrzunehmen und zu verstehen, (G2) mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennen zu lernen und zu begreifen, (G3) in der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten (heuristische Fähigkeiten), die über die Mathematik hinausgehen, zu erwerben.151
Heymann geht es in seinem Buch „Allgemeinbildung und Mathematik“, ähnlich wie Winter, darum,
zu zeigen, was eine allgemeinbildende Schule in der heutigen Zeit gewährleisten und was den
Schülerinnen und Schülern auf ihren Lebensweg mitgegeben werden soll. Den Rahmen seines Buches
bilden sieben Aufgaben, die seiner Meinung nach eine allgemeinbildende Schule zu erfüllen hat:
- Lebensvorbereitung - Stiftung kultureller Kohärenz - Weltorientierung - Anleitung zum kritischen Vernunftgebrauch - Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft - Einübung in Verständigung und Kooperation - Stärkung des Schüler-Ichs152
In einem früheren Artikel nennt Heymann statt der „Einübung in Verständigung und Kooperation“
die „Förderung von Phantasie und Kreativität“, die „Weltorientierung“ benennt er mit dem „Aufbau
eines Weltbildes“.153 Somit wird klar, dass es keine eindeutige Liste von Aufgaben für eine
allgemeinbildende Schule gibt. Heymann selbst gibt auch zu, dass es keine wirklich stichhaltige
Rechtfertigung für die Auswahl dieser sieben Aufgaben gibt und dass sich diese zum Teil
überschneiden und auf unterschiedlichen theoretischen Abstraktionsniveaus befinden.154
Lehmann und Nieke stellen wiederum andere Anforderungen an Schülerinnen und Schüler, die eine
allgemeinbildende Schule besuchen oder besucht haben. Der Grundgedanke ist jedoch derselbe. Eine
allgemeinbildende Schule sollte laut Lehmann und Nieke folgende Aufgaben erfüllen:
- Befähigung zum lebenslangen Lernen, - eigenverantwortliches Handeln, - Sinn für Gemeinwesen, - Selbstständigkeit, Diskurs- und Kritikfähigkeit, - staatsbürgerliche Mündigkeit, - anwendungsbereites Wissen155
Obwohl es neben den bereits genannten Anforderungen an allgemeinbildende Schulen noch
zahlreiche weitere Konzepte gibt, wird hier jenes von Heymann näher dargestellt. Es wird im
Folgenden kurz auf jeden einzelnen der sieben Punkte Heymanns eingegangen.
Lebensvorbereitung: Heymann unterscheidet Lebensvorbereitung im engeren und
Lebensvorbereitung im weiteren Sinne. Bei Lebensvorbereitung im engeren Sinne bezieht man sich
auf konkrete Situationen des Alltags, durch die den Schülerinnen und Schülern die Fähigkeiten,
Kenntnisse und Fertigkeiten klar werden, die sie beherrschen sollen. Bei Lebensvorbereitung im
weiteren Sinne handelt es sich um Situationen, in denen den Lernenden Gelegenheit gegeben wird,
sich geistig anzustrengen. Dadurch soll ihnen im Idealfall der Umgang mit unterschiedlichen
Problemen des Alltags erleichtert werden.156
Stiftung kultureller Kohärenz: Unter den Begriff kulturelle Kohärenz fallen sowohl der synchrone als
auch der diachrone Aspekt. Das heißt, es sollen einerseits das Erbe und die Tradition der jeweiligen
Kultur und andererseits die zeitgleich bestehenden Teilkulturen mit ihren verschiedenen Traditionen
betrachtet werden.157
Die Berücksichtigung beider Aspekte, des diachronen wie des synchronen, trägt also der Tatsache Rechnung, daß Kulturentwicklung sowohl durch Weitergabe kultureller Errungenschaften von einer Generation zur nächsten als auch durch Auseinandersetzung zwischen Teilkulturen, durch Verdrängung, Verschmelzung, Integration und Assimilation fremder Kulturelemente gekennzeichnet ist.158
Wichtig dabei ist, dass die Verständigung zwischen den Generationen gesichert wird und die
Lernenden eine reflektierte kulturelle Identität entwickeln können, wodurch auch gewährleistet
werden kann, dass andere Kulturen nicht als minderwertig betrachtet werden.159
Weltorientierung: Es soll garantiert werden, dass sich die Lernenden ungeachtet des
Autoritätsanspruchs eine eigene Meinung bilden, Behauptungen oder Urteile hinterfragen, kritisch
sind und auch vor Selbstkritik nicht zurückschrecken.160
Entfaltung von Verantwortungsbereitschaft: Sowohl verantwortliches Handeln als auch
verantwortliches Denken soll gefördert werden. Die Handlungsebene kann nur sehr beschränkt
genutzt werden, was zu Frustration und Resignation führen kann. Bezüglich des verantwortlichen
Denkens ist es notwendig, globale Probleme aufzuwerfen und über diese nachdenken zu lassen.161
Einübung in Verständigung und Kooperation: Um dies garantieren zu können, ist es notwendig, eine
Verbindung von fachlichem und sozialem Lernen herzustellen. Standpunkte und Meinungen anderer
sollen verstanden werden und es soll Möglichkeiten und Anlässe geben sich mitzuteilen. Auch das
kooperative Lernen, bei dem es darum geht, gemeinsam auf ein Ziel hinzuarbeiten, soll gefördert
werden.162
Stärkung des Schüler-Ichs:
Ich-Stärkung zielt auf die Entwicklung von Selbstbewußtsein, Selbstvertrauen, personaler Identität, auf die Fähigkeit, eigene Ziele, Wünsche und Vorstellungen klar zu erkennen und handelnd zu verwirklichen, mit den eigenen Stärken und auch Schwächen realistisch umzugehen.163
Innerhalb des Unterrichts soll für Individualisierung und Differenzierung gesorgt werden. Gerade die
innere Differenzierung stößt jedoch auch heute noch bei Praktikern auf Widerstand.164
Neben den angeführten sieben Punkten sollten den Schülerinnen und Schülern laut Heymann auch
formale und materiale Qualifikationen mit auf den Weg gegeben werden. Zu formalen
Qualifikationen zählen etwa Lern- und Arbeitstechniken, die Fähigkeit sich selbstständig
Informationen zu beschaffen, Medien und technische Hilfsmittel zu nutzen, die Fähigkeit sich selbst
zu organisieren, mit anderen kooperativ zusammenzuarbeiten, Darstellungen zu entschlüsseln und
die Darstellungsebene zu wechseln, sowie die Fähigkeit sich zu artikulieren und zu argumentieren.
Unter die materialen Qualifikationen fallen die Beherrschung mindestens einer Fremdsprache, das
Verständnis gewisser wirtschaftlicher, politischer und ökologischer Zusammenhänge sowie die
Fähigkeit, Größenordnungen einschätzen zu können.165 Bezüglich der Lebensvorbereitung ist noch
einmal zu erwähnen, dass den Schülerinnen und Schülern gewisse Basisfertigkeiten vermittelt
werden müssen, die sie in ihrem beruflichen und privaten Alltag benötigen. Mit dem steigenden
Einsatz neuer Technologien verändern sich auch diese Basisqualifikationen. Innerhalb der operativen
Mathematik geht es heute weniger um das selbstständige Rechnen, sondern viel mehr um
kontrollierende Tätigkeiten, wodurch gerade Aktivitäten wie das Abschätzen, Runden, Überschlagen
und das Erkennen von Größenordnungen verstärkt genutzt und gefördert werden sollen.166 Es
handelt sich dabei um den sinnvollen Umgang mit Zahlen. Dazu zählt auch die Reflexion über die
Genauigkeit des Ergebnisses.167 Ähnlich dem Lehrplan für Mathematik nennt auch Heymann einige
grundlegende mathematische Ideen, die den Schülerinnen und Schülern im Laufe ihrer Schullaufbahn
vermittelt werden sollen:
- Idee der Zahl - Idee des Messens - Idee des räumlichen Strukturierens - Idee des funktionalen Zusammenhangs - Idee des Algorithmus - Idee des mathematischen Modellierens168
Allgemeinbildender Mathematikunterricht soll somit unterschiedliche Aktivitäten wie das Schätzen,
Überschlagen, Darstellen, Interpretieren, die für den Alltag nützlich sind, fördern, die oben
genannten zentralen Ideen vermitteln, den Lernenden ermöglichen, eigenständig Erfahrungen zu
machen, Mathematik zu verstehen und sich des eigenen Verstandes zu bedienen. 169 Das Schätzen ist
ein wesentlicher Aspekt, der zur Entwicklung des Zahlensinns beitragen kann. Umgekehrt ist ein
guter Zahlensinn aber auch wieder eine Voraussetzung für gutes Schätzen.170 Zentral ist auch, dass
subjektive Meinungen zugelassen werden und ein produktiver Umgang mit Fehlern verfolgt wird.
Ebenso sollen die Kreativität, die Individualisierung und die Differenzierung im Unterricht gepflegt
2.2. Wozu kompetenzorientierter Mathematikunterricht und Bildungsstandards?
In der internationalen Vergleichsstudie TIMSS wurde festgestellt, dass die Schwächen der
Schülerinnen und Schüler im deutschsprachigen Raum weniger im Rechnen selbst liegen, als vielmehr
darin, offene Aufgaben zu lösen. Häufig werden von den Schülerinnen und Schülern gedankenlos
Algorithmen vollzogen.172 Ein Beispiel dazu:
Ein bestimmter PKW mit 3 Türen (die Kofferraumklappe zählt als Tür!) kostet 18 000 Euro und ist 3,90 m lang. Wie teuer und wie lang ist der PKW in der 5-türigen Version?173
Einige der Schülerinnen und Schüler rechneten ohne wirklich nachzudenken mit proportionaler
Zuordnung und erhielten so, dass der Wagen 6,50 m lang sein und 30 000 Euro kosten müsste. Dies
ist ein klares Anzeichen für unreflektiertes und unkritisches Rechnen. Der Grund für derartiges
Rechnen ist im Mathematikunterricht selbst zu suchen, da meist mehr Wert auf das schematische
Abarbeiten ähnlicher Beispiele gelegt wird, als auf Problemaufgaben, die das selbstständige, aktive
Denken und Arbeiten der Schülerinnen und Schüler erfordern. Genau das soll durch
kompetenzorientierten Unterricht vermieden werden, da mehr Wert auf das eigenständige Denken
der Lernenden gelegt wird, Inhalte vernetzt werden, untereinander kommuniziert werden muss und
auf Individualisierung und Differenzierung Wert gelegt werden soll.174
Lange Zeit gab es im österreichischen Schulsystem nur eine Inputkontrolle durch die Lehrpläne. Man
wollte jedoch dem internationalen Trend folgen und auch zur Outputkontrolle mit Hilfe von
Bildungsstandards übergehen. 175 Durch diese Standards soll gewissermaßen Ergebnissicherung
betrieben werden, das heißt, es wird der Ertrag festgelegt, der beispielsweise am Ende der achten
Schulstufe von jeder Schülerin und jedem Schüler erreicht werden sollte. 176 Innerhalb der
Bildungsstandards finden sich jedoch auch Kompetenzen, die mittels Testungen kaum bis gar nicht
überprüft werden können, die jedoch für das weitere Leben der Schülerinnen und Schüler von
Bedeutung und daher auch zu fördern sind. Gerade der Umgang mit der Informationsfülle und das
Recherchieren sind in diesem Zusammenhang zu nennen.177 Mit kompetenz- beziehungsweise
standardorientiertem Mathematikunterricht werden verschiedene Ziele verfolgt, die jedoch
insgesamt alle dazu dienen, die Schülerinnen und Schüler möglichst gut auf den Berufs- und
Lebensalltag vorzubereiten und ihnen die Nützlichkeit von Mathematik zu vermitteln.178
172
Vgl. Herget; Scholz 2007: 63 173
Herget; Scholz 2007: 63 174
Vgl. Herget; Scholz 2007: 63f. 175
Vgl. Institut für Didaktik der Mathematik 2007: 3 176 Vgl. Peschek 2008: 635 177 Vgl. Herget; Klika 2003: 19 178
Vgl. Siller 2009: 2
33
Innerhalb der ersten Verordnung des Bundesgesetzblattes des Jahres 2009, das sich mit
Bildungsstandards im Schulwesen beschäftigt, werden auch die Funktionen von Bildungsstandards
beschrieben:
(1) Bildungsstandards sollen Aufschlüsse über den Erfolg des Unterrichts und über Entwicklungspotentiale des österreichischen Schulwesens liefern. Darüber hinaus sollen sie
1. eine nachhaltige Ergebnisorientierung in der Planung und Durchführung von Unterricht bewirken,
2. durch konkrete Vergleichsmaßstäbe die bestmögliche Diagnostik als Grundlage für individuelle Förderung sicher stellen und
3. wesentlich zur Qualitätsentwicklung in der Schule beitragen.179
Neben den genannten Punkten sollen Bildungsstandards Anhaltspunkte für die Planung und
Durchführung von Unterricht geben, durch eine Analyse der Kompetenzen die Schülerinnen und
Schüler bestmöglich gefördert und Vergleichbarkeit hergestellt werden. 180 Mit Hilfe der
Bildungsstandards soll somit auch nationale und internationale Vergleichbarkeit hergestellt und
sichergestellt werden, dass die Lernenden über ein besseres mathematisches Wissen und Können
verfügen, als dies zum jetzigen Zeitpunkt der Fall ist.181
Wird die Erreichung gewisser Kompetenzen als Richtlinie für den Unterricht verwendet, so können
sich daraus verschiedenste Vorteile ergeben: Es wird größerer Wert auf den Output, also das Wissen
und Können der Schülerinnen und Schüler gelegt, als auf die im Unterricht durchgenommene
Stoffmenge, was für Lehrerinnen und Lehrer im Idealfall bedeuten würde, dass sie bezüglich des
Inhaltes des Unterrichts mehr Freiheiten hätten. Dem widerspricht jedoch die Erstellung einer
standardisierten Reifeprüfung, in der sehr gezielt diverse Bereiche, die sich im Speziellen auf
inhaltliche und prozessorientierte Kompetenzen beziehen, überprüft werden sollen, wodurch es
schließlich zu einer Vernachlässigung der personalen und sozialen Kompetenzen, die jedoch auch
innerhalb der Standards festgelegt wurden, kommen kann, da häufig nur auf das Bestehen von Tests
– in diesem Fall der Reifeprüfung – hingearbeitet wird, was im schlimmsten Fall zur schematischen
Abarbeitung von Modellbeispielen führen kann. Jedoch ist reines fachliches Wissen kaum von
Nutzen, wenn der Schüler/die Schülerin nicht auch über personale und soziale Kompetenzen
verfügt.182
Es besteht auch ein Zusammenhang zwischen kompetenzorientiertem Unterricht und der
Verwendung realitäts- beziehungsweise anwendungsbezogener und problemorientierter Aufgaben
im Mathematikunterricht. Laut Kaiser können mit Hilfe von Aufgaben dieser Art unterschiedliche
Ziele verfolgt werde. Sie nennt stoffbezogene, pädagogische, psychologische und
179
Bundesgesetzblatt für die Republik Österreich 2009: 1. Verordnung: Bildungsstandards im Schulwesen 180 Vgl. Bundesgesetzblatt für die Republik Österreich 2009: 1. Verordnung: Bildungsstandards im Schulwesen 181 Vgl. Thaller 2012 (im Druck) 182
Vgl. Barzel; Büchter; Leuders 2007: 28
34
wissenschaftsorientierte Ziele. Mit Hilfe von realitätsbezogenen Aufgaben kann ihrer Meinung nach
nachhaltig gelernt und an die Erfahrungen der Schülerinnen und Schüler angeknüpft werden.
Mathematische Begriffe können so veranschaulicht, besser verstanden und dadurch auch länger
behalten werden. Als pädagogische Ziele werden die Entwicklung der Lernenden zu mündigen
Bürgern sowie die Vorbereitung auf ihr zukünftiges Leben genannt. Die Schülerinnen und Schüler
sollen Kompetenzen erwerben, die ihnen dabei helfen, die Welt zu verstehen und kritisch zu
betrachten. Auch die Motivation kann durch kompetenzorientierten Unterricht, der sich
realitätsbezogener Beispiele bedient, gesteigert werden. Schließlich soll ein kompetenzorientierter
Mathematikunterricht den Lernenden ein angemessenes und ausgewogenes Bild von Mathematik
und auch die Bedeutung von Mathematik für die Umwelt und Wissenschaft vermitteln.183
Zusammenfassend zielt kompetenzorientiertes Unterrichten darauf ab, dass die Schülerinnen und Schüler jene Kompetenzen erwerben, die es ihnen ermöglichen, erworbenes Wissen und Können miteinander zu vernetzen und in realen Sach-, Sinn- und Problemzusammenhängen anzuwenden. Wissen muss in Können münden und in Handlungen sichtbar werden.184
Es ist also im Mathematikunterricht eine Schwerpunktverschiebung notwendig: Weniger Instruktion durch die Lehrkraft, mehr eigenständiges, aktiv-konstruktives Lernen durch die Schüler.190
Wird von diesem konstruktivistischen Lernbegriff ausgegangen, so lässt sich Wissen nicht einfach
vermitteln. Als Lehrperson hat man somit die Aufgabe, Bedingungen zu schaffen, in denen sich die
Lernenden Wissen, Fertigkeiten und Fähigkeiten aneignen können, also selbst aktiv werden
können191, da ein zentrales Charakteristikum eines konstruktivistischen Lernbegriffs darin liegt, dass
den Lernenden aktives individuelles Lernen möglich gemacht werden soll. 192 Im Sinne des
Konstruktivismus ändert sich auch die Lehrerrolle dahingehend, dass es sich nicht mehr um einen
Wissensvermittler, der allgemeingültige Informationen präsentiert, sondern vielmehr um jemanden
handelt, der die Schülerinnen und Schüler in ihrem individuellen Lernen begleitet, coacht und
moderiert.193 Ein weiterer zentraler Aspekt eines konstruktivistisch ausgerichteten Unterrichts ist die
Hinwendung zu einem problemorientierten Unterricht, der sich an den zu fördernden Kompetenzen
orientiert und nicht die Fehler einzelner Schülerinnen und Schüler in den Mittelpunkt stellt. Die
Lernenden sollen sich mit authentischen Kontexten beschäftigen können und ihr Wissen flexibel
anwenden, wodurch das vernetzte Denken gefördert werden kann.194
Der nachhaltige Aufbau von Kompetenzen ist nur dann möglich, wenn Mathematikunterricht nicht als eine Verabreichung von „Kochrezepten“, sondern als ein auf Verstehen beruhender Lernprozess gesehen wird. Das eigenständige Entwickeln von Lösungsstrategien ist daher höher zu bewerten als stets abrufbares Formelwissen. Ein Unterricht in dem alle Handlungsdimensionen zum Tragen kommen, wird aber nicht auf sicheres Kopfrechnen und Automatisieren von gewissen Grundkenntnissen und Fertigkeiten verzichten können.195
Dies lässt sich auch in einem neuen Trend erkennen, da nun innerhalb des Mathematikunterrichts
größerer Wert auf Output- als auf Inputorientierung gelegt werden soll, zumal nur so festgestellt
werden kann, welche Kompetenzen die Schülerinnen und Schüler tatsächlich erlernt haben.196 Der
Begriff Outputorientierung soll jedoch nicht ausschließlich im Zusammenhang mit Standardtestungen
gesehen werden, sondern auch auf die im Unterricht erfahrbaren Kompetenzen der Schülerinnen
und Schüler, also auch auf soziale und personale Kompetenzen, bezogen werden.
Innerhalb einer Studie konnte gezeigt werden, dass sich anwendungsorientierter, realitätsbezogener
Unterricht durchaus auf die Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler auswirkt, vor allem in den
Bereichen Verständnis und Bewältigung außermathematischer Problemstellungen.197 Es sollen daher
können.205 Vielfach wird den Lernenden von Seiten der Lehrperson zu wenig zugetraut und die
Einstellung, dass zuerst die Grundlagen ausführlich behandelt und geübt werden müssen, bevor zu
Anwendungsbeispielen übergegangen werden kann, auf die meist aufgrund von Zeitmangel
verzichtet wird, ist noch immer weit verbreitet. Das Zerlegen des Stoffes in kleine Portionen führt
häufig dazu, dass ein so genanntes Inselwissen entsteht, welches nur wenig untereinander und auch
nicht mit der Lebenswelt vernetzt wird und so auch nicht flexibel in unbekannten Situationen
eingesetzt werden kann.206
Unsere Schülerinnen und Schüler sind durchaus nicht überfordert, wenn sie die Möglichkeit erhalten, eigene Lernwege zu gehen und aus verschiedenen Lösungswegen diejenigen auszuwählen, mit denen sie am besten zurechtkommen. Ehrlich verdiente und erarbeitete Erfolgserlebnisse stärken das Schüler-Ich mit weiteren positiven Auswirkungen auf Lernmotivation und Anstrengungsbereitschaft.207
Durch geeignete Unterrichtsformen und -methoden sollen den Schülerinnen und Schülern
eigenständiges, verantwortungsbewusstes Arbeiten und so auch Erfolgserlebnisse ermöglicht
werden.208 Die Lernenden sollen nicht nur mit „fertiger“ Mathematik konfrontiert werden, sondern
sollen die Möglichkeit haben, selbst Mathematik zu entdecken. Sie sollen also Mathematik nicht nur
als Produkt, sondern vor allem auch als Prozess erleben und erfahren können. Dabei spielt die
Offenheit des Unterrichts, aber vor allem auch die Offenheit der Aufgaben eine Rolle. Durch das
selbstständige Entdecken-Lassen wird vor allem auch Nachhaltigkeit des Lernprozesses erreicht.209
Um den Lernenden dieses Entdecken ermöglichen zu können, sollten die verwendeten Aufgaben
gewisse Kriterien erfüllen: Sie sollten offen sein, nicht in einzelne Teilschritte untergliedert sein, zum
eigenständigen Denken auffordern und den Schülerinnen und Schülern zu vielfältigen Erfahrungen
verhelfen. Der Gebrauch der Umgangssprache sollte dabei keinesfalls verboten sein, da andernfalls
Kooperations- und Kommunikationsprozesse gehemmt werden.210 Winter stellt in einem seiner
Artikel das „Entdecken lassen“ und das „Belehren“ gegenüber, um so die Vorzüge des aktiv-
entdeckenden Unterrichts hervorzuheben und klar zu machen, dass das entdeckende Lernen ein
wesentlicher Aspekt eines kompetenzorientierten Unterrichts ist:
Lernen durch gelenktes Entdecken Lernen durch Belehren
Lehrer bietet herausfordernde, lebensnahe und nicht so arm strukturierte Situationen an.
Lehrer gibt das Lernziel – möglichst im engen Stoffkontext – an.
Lehrer ermuntert zum Beobachten, Erkunden, Probieren, Fragen.
Lehrer erarbeitet den neuen Stoff durch Darbieten oder durch gelenktes
Für „gute Aufgaben ist konstitutiv, dass - sie strukturelle Zusammenhänge des Faches repräsentieren und geeignet sind,
fachspezifische Verfahren/Methoden deutlich werden zu lassen, - die Lernvoraussetzungen der Schülerinnen und Schüler berücksichtigt werden und - Unterricht geöffnet wird in dem Sinn, dass Schülerinnen und Schüler Subjekte ihrer
Lernprozesse sind.220
Walther spricht von guten Aufgaben, wenn durch sie prozessbezogene Kompetenzen in Verbindung
mit grundlegenden mathematischen Inhalten gefördert werden.221
Grundsätzlich gilt jedoch, dass
in einem lebendigen Unterricht aus jeder noch so unscheinbaren Aufgabe durch Variation von Inhalten und Fragestellungen sowie eine geschickte Einbettung in einen ansprechenden Kontext durch die Lehrkraft ein beachtlicher Lernzuwachs gelingen kann222.
Jede noch so banale Aufgabe kann gut sein, wenn sie die Lernenden zum Weiterdenken, zum Fragen
und Argumentieren anregt.223 Auch wenn das der Fall ist, gibt es durchaus wesentliche „Unterschiede
in der Qualität des Aufgabenmaterials“224 und spezielle Aufgabenmerkmale, die sich für einen
kompetenzorientierten Mathematikunterricht als förderlich erweisen. Diese werden von Bruder,
Büchter und Leuders in fünf Punkten zur Weiterentwicklung der Aufgabenkultur hin zur
Kompetenzförderung festgehalten:
- Es sollen Aufgaben verwendet werden, die nachhaltiges Lernen ermöglichen.
- Die Schülerinnen und Schüler sollen durch die Aufgaben möglichst gut motiviert werden.
- Die Lehrperson muss den Lernenden das Lösen von Aufgaben mit hohem Lernpotential
ermöglichen.
- Es sollen Aufgaben gewählt werden, die das Leistungsniveau der Klasse möglichst gut
abdecken.
- Verschiedene Lern- und Lösungswege müssen im Unterricht bewusst gemacht werden, da
die Lernenden nur so zum eigenständigen, verantwortungsbewussten Lernen befähigt
werden.225
3.1.1.2. Aufgaben zum Lernen
Bisher war ausschließlich von Aufgaben zum Lernen, die für das Entdecken, Üben und Vernetzen
dienlich sind, die Rede. Da es in dieser Arbeit größtenteils um Möglichkeiten zum Erwerb von
Kompetenzen geht, werden hier Aufgaben zum Leisten, bei denen es um die fehlerfreie Anwendung
Ullis Mutter macht eine Diät. Am Anfang der Diät wog sie 87 kg. In der ersten Woche hat sie 1 kg abgenommen. Wie viel kg wiegt Ullis Mutter nach 57 Wochen?237
Es kann auch sehr gewinnbringend sein, die Lernenden selbst Beispiele entwerfen zu lassen, wozu
sich vor allem Fermi-Aufgaben anbieten. 238 Es lässt sich außerdem relativ leicht aus einer
geschlossenen eine realitätsnahe, offene Aufgabe machen, die die Lernenden stärker
herausfordert.239 Zu Beginn könnte man die Schülerinnen und Schüler auch nur vorhandene Beispiele
variieren lassen. Dabei werden die Lernenden zur Reflexion angeregt. Sie müssen über die Lösbarkeit
von Aufgaben nachdenken und auch Grenzfälle berücksichtigen.240
Grundsätzlich ist zu beachten, dass im Unterricht nicht ausschließlich geschlossene Aufgaben, bei
denen alle angegebenen Zahlen verwendet werden und es nicht notwendig ist, selbstständig Daten
zu schätzen oder zu recherchieren, eingesetzt werden sollen, da den Schülerinnen und Schülern
dadurch ein verfälschtes Bild von Mathematik vermittelt wird241:
- Bei Schülern festigt sich der Eindruck, im Mathematikunterricht gehe es allein darum, einen Satz von Verfahren beherrschen zu lernen, mit denen sich ein bestimmter Satz von Aufgaben bearbeiten lässt. Dies führt zu einer Überbetonung der Produktsicht von Mathematik.
- Schüler gewinnen den Eindruck, die Mathematik selbst bestehe aus bestimmten Typen von Aufgaben, die ihnen nur in der Schule begegnen. Ein Einblick in einen authentischen Umgang mit Mathematik bleibt ihnen verwehrt.
- Das Bearbeiten von Aufgaben kann dann zu einem willkürlichen und unreflektierten Ausprobieren kurz zuvor eingeübter Verfahren degenerieren. Schüler fragen sich nicht mehr, ob oder warum sie auf eine bestimmte Weise vorgehen.242
Außerdem kann bei den Lernenden der Eindruck entstehen, dass Mathematik nur aus klar
definierten Wahrheiten besteht. Es wird unter Umständen auch ein falscher Umgang mit Fehlern
vermittelt und Mathematik verarmt so gewissermaßen zu einer Nachahmung von erlernten
Algorithmen.243
Den Schülerinnen und Schülern soll jedoch der Nutzen von Mathematik für ihr persönliches Leben
vermittelt werden. Da rechnerische Tätigkeiten immer mehr von technischen Hilfsmitteln
übernommen werden, sollte vor allem darauf Wert gelegt werden, dass kontrollierende
beziehungsweise beurteilende Tätigkeiten, wie das Schätzen und Runden sowie auch schöpferische
237
Grassmann 1995: 29 – zitiert nach Franke 2003: 146 – zitiert nach Hinrichs 2008: 104 238
Vgl. Humberger 2003: 49; Anmerkung: Dies bedeutet jedoch nicht, dass geschlossene Aufgaben aus dem Unterricht verbannt werden sollen. 242 Büchter; Leuders 2005a: 89 243
Vgl. Leuders 2001: 113
44
und begründende Fähigkeiten besser gefördert werden.244 Der direkte Nutzen von Mathematik hat
also im Wesentlichen abgenommen, wohingegen der indirekte Nutzen245 enorm zugenommen hat.246
Generell sollte auf eine Ausgewogenheit der unterschiedlichen Aufgabentypen Wert gelegt
werden247. Wird dies nicht beachtet, haben die Schülerinnen und Schüler kaum eine Chance,
„fundamentale Ideen der Mathematik und Wege und Möglichkeiten für Anwendungen von
Mathematik zu erfahren und zu verstehen“248.249
Aber auch wenn viele Argumente für den Einsatz offener, authentischer Aufgaben und viele
Argumente gegen eingekleidete Aufgaben sprechen (So spricht sich Heymann beispielsweise gänzlich
gegen die Verwendung eingekleideter Aufgaben im Unterricht aus, da er der Meinung ist, dass sie die
eigentliche Rolle der Mathematik für die Umwelt verschleiern.250), sollte dennoch die Relevanz von
eingekleideten Aufgaben für den Mathematikunterricht nicht unterschätzt werden, da anhand
derartiger Aufgaben eine wichtige Kompetenz, nämlich das Übersetzen eines Textes in
mathematische Symbole erlernt und geübt werden kann und auch Umgangssprache mit Mathematik
in Verbindung gebracht wird.251
Eng gestellte Aufgaben erzwingen und bewirken ein konformes Vorgehen. Sie schränken die Aufgabenstellung darauf ein, den richtigen Weg, die (!) richtige Lösung zu finden – oder eben nicht. Dennoch sind solche Aufgaben, um grundlegende Routinen zu erlernen, nicht zu ersetzen.252
In der Realität kommen jedoch eher unstrukturierte Probleme vor, die sich nicht auf eine gerade
zuvor erlernte mathematische Vorgehensweise beschränken lassen. Häufig sind auch nicht alle zur
Berechnung notwendigen Daten gegeben. Man spricht in diesem Zusammenhang von lebensnahen,
offenen Aufgaben, wozu auch Fermi-Aufgaben zählen.253 Wichtig ist, dass im Unterricht klar zwischen
eingekleideten Aufgaben und realistischen Problemstellungen unterschieden und den Schülerinnen
und Schülern dieser Unterschied und auch der Grund für die Verwendung der jeweiligen Aufgabe
bewusst gemacht wird.254 Um dies zu erreichen, kann es hilfreich sein, die Schülerinnen und Schüler
selbst Einkleidungen für vorgegebene Rechnungen finden zu lassen.255 Eingekleidete Aufgaben
können außerdem Anstöße für weiteres Unterrichtsgeschehen liefern, sie können ausgebaut und
244 Vgl. Herget 1996: 53; vgl. Maaß 2007b: 1ff. 245 Viele technische Geräte würden ohne Mathematik nicht funktionieren. 246 Vgl. Maaß 2007b: 2 247
Siehe Tabelle 1: Klassifikationsschema für Offenheit 248
geöffnet werden. Schließlich kann auch auf reale Gegebenheiten Bezug genommen werden.256
Neben realitätsnahen Beispielen sollten aber auch innermathematische Probleme und
Übungsphasen ihre Berechtigung im Unterricht haben.257
Gegenüberstellung einer eingekleideten, geschlossenen und einer offenen Aufgabe
Um den Unterschied zwischen einer eingekleideten, geschlossenen Aufgabe und einer offenen
Aufgabe klar zu machen, soll hier ein Beispiel angeführt werden:
Aus einem Wasserhahn tropft alle 3 Sekunden ein kugelförmiger Wassertropfen mit dem Durchmesser 4mm. Wie viel Liter Wasser werden dadurch in einem Jahr verschwendet?258
Hierbei handelt es sich um eine eingekleidete, geschlossene Aufgabe, da zum einen von einem
mathematischen Inhalt ausgegangen und ein Kontext, der für die Berechnung jedoch keine wirkliche
Bedeutung hat und somit auch austauschbar ist, dazu erfunden wurde259. Es geht rein um das Üben
gewisser Rechenfertigkeiten.260 Die Lernenden müssen sich nur für das geeignete Lösungsverfahren
entscheiden und anhand dessen das Ergebnis berechnen.261 Es ist außerdem relativ unrealistisch,
dass ein Wasserhahn ein ganzes Jahr lang genau alle 3 Sekunden einen kugelförmigen Wassertropfen
derselben Größe verliert. Zum anderen sind alle zur Berechnung notwendigen Angaben geben und
der Weg, den die Schülerinnen und Schüler zur Lösung des Problems gehen sollen, ist bereits
vorgezeichnet. Diese Aufgabe zielt darauf ab, ein (gerade) zuvor erlerntes Verfahren einzusetzen. Des
Weiteren ist auch nur ein einziges exaktes Ergebnis zu erwarten.262 Derartige Aufgaben erwecken bei
den Schülerinnen und Schülern den Eindruck, dass Mathematik nichts mit dem wirklichen Leben zu
tun hat.263
Leuders führt einige, bereits genannte Charakteristika geschlossener Aufgaben an: eindeutige
Zweckorientierung, Eingleisigkeit des Rechenweges, Existenz einer eindeutigen Lösung und
Engführung in der Aufgabenstellung (dieser Punkt bezieht sich auf die Einschränkung der zu
verwendenden Methoden).264
Werden im Unterricht ausschließlich eingekleidete Aufgaben bearbeitet, so entsteht bei den
Schülerinnen und Schülern ein Zweifel an der Relevanz von Mathematik für das alltägliche Leben.
Mathematik kann als etwas Unechtes, Gekünsteltes empfunden werden und es kann dazu kommen,
256 Vgl. Hinrichs 2008: 5f. 257
Vgl. Hinrichs 2008: 41 258
Kraker; Plattner; Preis 2010: 222/Nr. 871 – hier ist jedoch anzumerken, dass das genannte Schulbuch auch sehr viele gute offene Aufgaben enthält (siehe dazu beispielsweise Kapitel 4.10.). 259
selbstständig Fragen finden zu lassen, da die Einbindung der Lernenden in den Prozess der Findung
von Fragen und Vermutungen gewinnbringend sein kann.273
3.1.1.4. Modellierungsaufgaben
Ziel eines kompetenzorientierten Unterrichts sollte es sein, die Schülerinnen und Schüler dazu zu
bringen, selbstständig Probleme zu lösen. Um dies zu erreichen, ist es notwendig, sie darauf
vorzubereiten und Teilkompetenzen aufzubauen.274
Sinnvoll für die Schülerinnen und Schüler ist ein langsamer Weg von einfachen offenen Aufgaben zu Problemsituationen. Die Anzahl der offenen Aufgabenbestandteile kann dabei immer weiter erhöht werden.275
Eine Möglichkeit Teilkompetenzen aufzubauen, bietet die Förderung der einzelnen Phasen des
Modellierungskreislaufes276 durch bestimmte Fragen, aber auch Aufgabentypen.277 Es ist jedoch
bereits relativ früh möglich, die Schülerinnen und Schüler selbstständig Probleme modellieren und
den Modellierungsprozess durchführen zu lassen. 278 Insgesamt bieten Modellierungsaufgaben
ungeahnte Möglichkeiten für kompetenzorientierten Unterricht, da gezeigt werden konnte,
dass die offene Aufgabenstellung von Modellierungsproblemen sowie die Notwendigkeit, die komplexe Realität zu vereinfachen, es den Lernenden häufig ermöglichen, ihren Kompetenzen angemessene Lösungswege zu entwickeln. So nehmen leistungsstarke Lernende eher aufwändige, mathematisch anspruchsvolle Modellierungen vor, die sie fordern, während leistungsschwächere Lernende einfachere Wege wählen, auf denen sie ebenfalls zu Lösungen der Aufgabe gelangen können.279
Außerdem ist mit dem Einsatz von Modellierungsaufgaben die Förderung unterschiedlicher
Kompetenzen verbunden. Die Schülerinnen und Schüler lernen dabei unter anderem:
- reale Probleme zu verstehen und zu vereinfachen
- mathematische Modelle zu Problemen zu erstellen
- mathematische Fragestellungen selbstständig zu lösen
- mathematische Resultate in Bezug auf das Ausgangsproblem zu interpretieren
- die gefundene Lösung zu validieren280
Wichtig ist, dass die gewählten Modellierungskontexte auch außermathematisch relevant sind und
so auf das Leben vorbereiten.281
273
Vgl. Büchter; Leuders 2005a: 85 274
Vgl. Greefrath 2007: 43 275
Greefrath 2007: 43 276
Dieser wird in Kapitel 4.6. genauer beschrieben. 277
Innerhalb einer Studie zu Modellierungsaufgaben hat sich herausgestellt, dass bei einem operativ-
strategisch ausgerichteten Unterricht wesentlich größere Leistungszuwächse bezüglich der
Modellierungskompetenzen zu erwarten sind, als bei einem direktiv durchgeführten Unterricht. Am
wenigsten wird laut dieser Studie, die im Zuge des DISUM-Projekts durchgeführt wurde, von
Schülerinnen und Schülern gelernt, die sich selbstständig, ohne jegliche Hilfestellungen, mit den
Aufgaben auseinandersetzen. Die Grundzüge eines operativ-strategischen Unterrichts sind das
selbstständige, individuelle Lernen in der Gruppe und die minimalen Hilfestellungen von Seiten der
Lehrperson. Beim direktiven Unterricht handelt es sich um einen von der Lehrperson geleiteten
Unterricht, bei dem die grundlegenden Aspekte im Plenum erarbeitet werden und die Schülerinnen
und Schüler ansonsten sehr viel in Einzelarbeit erledigen.282
Wie und mit Hilfe welcher Aufgaben Kompetenzen gefördert werden können, wurde nun weitgehend
geklärt. Es stellt sich nun noch die Frage, ob diese Kompetenzen auch längerfristig behalten werden
und wie dies festgestellt werden kann.
Eine nachhaltige Förderung mathematischer Kompetenzen lässt sich insbesondere daran erkennen, dass die Lernenden
- mathematische Fragestellungen auch in Alltagssituationen erkennen und solche Fragestellungen formulieren und erläutern können.
- Mathematisierungsmuster und verschiedene heuristische Vorgehensweisen sowie Darstellungsarten zur Bearbeitung mathematischer Fragestellungen kennen und dass sie diese situations- und sachgerecht anwenden, interpretieren und begründen können.
- Anstrengungsbereitschaft und Reflexionsfähigkeit für ihr eigenes Handeln entwickeln.283
Fermi-Aufgaben können einen wesentlichen Beitrag zum kompetenzorientierten284 Unterricht und
zur Förderung vieler der in Kapitel 2.1. genannten Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten liefern.
Um zu zeigen, welche Kompetenzen im Speziellen durch Fermi-Aufgaben gefördert werden können,
wird auf die in Kapitel 2.1. angeführten Konzepte, also unter anderem auf den Lehrplan und die
Standards für den Mathematikunterricht der 8. Schulstufe Bezug genommen und auf die innerhalb
des genannten Kapitels verwendete Literatur verwiesen. Bereits in 2.1.1. wurden Kompetenzen in
inhaltsbezogene, prozessbezogene, personale und soziale Kompetenzen unterteilt. Mit Hilfe von
Fermi-Aufgaben kann bei richtigem Einsatz eine Förderung all dieser genannten Bereiche erreicht
werden. Wie folgendes Zitat zeigt, werden die inhaltsbezogenen und die prozessbezogenen
Kompetenzen in jedem Fall durch Fermi-Aufgaben angesprochen:
Fermi-Aufgaben tragen außerdem in besonderem Maße zur mathematischen Grundbildung der Schülerinnen und Schüler bei. Dies zeigt sich in Zusammenspiel von prozessbezogenen Kompetenzen (z.B. Problemlösen) und inhaltsbezogenen Kompetenzen (z.B. Messen und Zahl).285
Bezüglich der inhaltlichen Kompetenzen, die sich auch im Lehrplan und in den Standards für den
Mathematikunterricht der achten Schulstufe wiederfinden, kann angemerkt werden, dass speziell
der Umgang mit geometrischen Figuren und Körpern (im Besonderen mit Umfang, Fläche und
Volumen), mit Grafiken, Zahlen (auch mit Zehnerpotenzen286), Maßen, Proportionalität sowie jener
mit funktionalen Zusammenhängen und Modellen anhand von Fermi-Aufgaben geübt werden kann.
Außerdem kann durch den Einsatz von Fermi-Aufgaben der Umgang mit großen Zahlen, das
Umrechnen von Größen287, das Schätzen, Runden, näherungsweise Rechnen und das Abschätzen von
Ergebnissen gefördert werden. Fähigkeiten in diesen Bereichen, die zur Kontrolle vorhandener
Rechnungen dienlich sein können, werden heute durch den Einsatz technischer Hilfsmittel stärker
benötigt, als rein rechnerische Fähigkeiten288. Laut Holtmann und Mühlenfeld werden durch Fermi-
Aufgaben auch noch weitere inhaltliche Kompetenzen, wie das Verwenden geeigneter Einheiten, das
systematische Vorgehen bei der Bestimmung von Anzahlen, das Anwenden von
Grundrechnungsarten und arithmetischen Kenntnissen zu Zahl und Größe, das Vergleichen von
Zahlen und das Wahrnehmen von räumlichen Strukturen nach Maß und Form erlernt.289 Im Weiteren
können funktionale Zusammenhänge fast bei jeder beliebigen Fermi-Aufgabe mitbesprochen
284
Vgl. Kaufmann 2006: 16; wobei hier standardorientiert im Sinne von kompetenzorientiert verwendet wird 285
werden, wenn darauf eingegangen wird, inwiefern sich das Ergebnis verändert, wenn die
Ausgangsdaten anders gewählt werden.
Die prozessbezogenen Kompetenzen, die in den Standards unter den Handlungsbereichen
aufscheinen und die durch Fermi-Aufgaben angesprochen werden, sind hauptsächlich das
Modellieren und das Problemlösen, aber auch das Darstellen, das Finden mathematischer
Zusammenhänge, das geplante, strukturierte Vorgehen, das Entwerfen von Lösungsstrategien, das
Recherchieren, die Nutzung von Medien und technischen Hilfsmitteln unter anderem zur
Informationsbeschaffung, das Präsentieren von Lösungswegen und eigenen Ideen 290 und das
Herangehen an offene Probleme im Allgemeinen291. Es geht auch darum, eigene Lösungswege
darzulegen, über verwendete Darstellungen zu sprechen, Fehler zu finden, zu erklären und zu
korrigieren292, sowie kritisch mit vorhandenen Aussagen aus den Medien umzugehen293. Ferner
werden heuristische Strategien, wie das Stellen von Fragen, und Strategien zur Kontrolle und
Bewertung erlernt. 294 Die Schülerinnen und Schüler lernen ebenso Problemstrukturen zu
durchschauen und die Komplexität vorhandener Probleme zu reduzieren.295
Während alle allgemeinen mathematischen Kompetenzen (Problemlösen, Kommunizieren, Argumentieren, Modellieren, Darstellen) bei jeder Fermi-Aufgabe angesprochen werden, sind die inhaltlichen Kompetenzen abhängig von Fragestellung, Lehrervorgaben und Vorgehensweise der SchülerInnen.296
Viele der in Kapitel 2.1. genannten sozialen Kompetenzen kommen vor allem bei einer Bearbeitung
der Aufgabe in Gruppenarbeit und anschließender Präsentation im Plenum zum Tragen. Dies gilt zum
Beispiel für kooperative Fähigkeiten sowie dafür, dass den Gruppenmitgliedern Toleranz und
Offenheit entgegengebracht wird und dass gemeinsam Konflikte gelöst werden. Außerdem werden
kommunikative Fähigkeiten wie das Argumentieren, Begründen, Diskutieren und Interpretieren
gefördert, die innerhalb der Bildungsstandards für den Mathematikunterricht der achten Schulstufe
zu den Handlungsbereichen gezählt und auch innerhalb des Lehrplanes erwähnt werden, jedoch
innerhalb von schriftliche Tests – somit auch den Standardtestungen – nicht überprüft werden
können, was wiederum bedeuten kann, dass diese Kompetenzen innerhalb des Unterrichts eine
gewisse Vernachlässigung erfahren.
Um Fermi-Aufgaben innerhalb von Gruppen bearbeiten zu können, müssen die Schülerinnen und
Schüler auch über personale Kompetenzen verfügen, die wiederum durch den Einsatz von Fermi-
Aufgaben gezielt gefördert werden können. Zu den durch Fermi-Aufgaben förderbaren personalen
Kompetenzen zählen die Leistungs- sowie die Anstrengungs- und die Verantwortungsbereitschaft,
Ausdauer, Sorgfalt, Selbstständigkeit, Flexibilität, Kreativität und die Fähigkeit mit Misserfolgen und
Kritik umgehen zu können sowie auch die Fähigkeit, das eigene Vorgehen zu kontrollieren und zu
bewerten297. Es wird ebenso erlernt, Unklarheiten zu verkraften und mit ungenauen Angaben
weiterzurechnen.298
Mit Hilfe von Fermi-Aufgaben können schließlich alle drei Komplexitätsbereiche der Standards für
den Mathematikunterricht abgedeckt werden, da sowohl elementares Wissen über Mathematik und
das Verfügen über grundlegende mathematische Fähigkeiten notwendig sind als auch das Lösen
komplexer Probleme, das Reflektieren über das gelöste Problem und das Nachdenken über
mathematische Zusammenhänge.
Winters Konzept der Grunderfahrungen, die die Schülerinnen und Schüler im Laufe des
Mathematikunterrichts machen sollen und die häufig als Grundlage zur Entwicklung von Standards
für den Mathematikunterricht verwendet werden, wird auch durch Fermi-Aufgaben abgedeckt.
Fermi-Aufgaben tragen unter anderem dazu bei, dass die Welt und die Vielfalt der Mathematik
besser verstanden werden können und, wie bereits erwähnt, Problemlösekompetenzen gefördert
werden. Auch Heymanns sieben Punkte für einen allgemeinbildenden Mathematikunterricht können
zum Teil durch Fermi-Aufgaben abgedeckt werden, da Aufgaben dieser Art auf das Leben vorbereiten
und auch Weltorientierung gewährleisten. Außerdem werden die Verantwortungsbereitschaft und
die Kooperation der Schülerinnen und Schüler untereinander gefördert und der Bereich der Stärkung
des Schüler-Ichs, der im Übrigen zu den personalen Kompetenzen zu zählen ist, angesprochen.
Abschließend ist bezüglich kompetenzorientiertem Unterricht noch Folgendes zu bemerken:
Dabei sei erneut betont, dass nicht eine Aufgabe per se zur Ausformung, Festigung und Weiterentwicklung von Kompetenzen führt, sondern nur ihre adäquate Behandlung in einer Weise, die den Lernenden Gelegenheit gibt, die entsprechenden Tätigkeiten selbst zu vollziehen, mehr noch, über diese Tätigkeiten zu reflektieren, Lösungswege zu begründen, verschiedene Wege zu vergleichen, Ergebnisse kritisch zu diskutieren u.v.a.m. Kurz: Noch bewusster und noch konsequenter als bislang sollte im Unterricht die Kompetenzentwicklung der Schüler im Mittelpunkt der Arbeit stehen.
299
Das heißt, allein die Auswahl der Beispiele, die im Unterricht behandelt werden, ist nicht maßgebend
für den Erfolg innerhalb der Kompetenzförderung. Vielmehr kommt es hingegen darauf an, dass den
Schülerinnen und Schülern eigenverantwortliches und selbstständiges Arbeiten ermöglicht wird.300
kennen316, da es sich bei Fermi-Aufgaben nicht um eindeutig lösbare Aufgaben handelt, die das
Anwenden von zuvor erlernten Verfahren trainieren, sondern um Probleme, die in ihrer Bearbeitung
wesentlich anspruchsvoller sind. Des Weiteren lernen die Schülerinnen und Schüler selbst Fragen zu
stellen und unterschiedliche heuristische Strategien anzuwenden.317 Sie setzen sich mit ungewohnten
Fragestellungen auseinander und gewöhnen sich mit der Zeit daran, sich selbstständig Informationen
zu beschaffen und Lösungsstrategien zu entwickeln.318 Dadurch, dass es nicht nur einen richtigen
Lösungsweg gibt, werden die Schülerinnen und Schüler auch damit konfrontiert, dass sie
Lösungswege anderer nachvollziehen müssen. Auch das Präsentieren und das Argumentieren können
durch Fermi-Aufgaben gefördert werden.319 Durch diese Art der Aufgaben wird den Lernenden
außerdem eine gewisse Fehlerfreundlichkeit vermittelt, welche für den Lernprozess nicht ganz
unwesentlich zu sein scheint.320 Es erweitert sich auch die Frustrationstoleranz auf Seiten der
Schülerinnen und Schüler.321 Wenn von allen Lernenden und Lehrenden akzeptiert wird, dass Fehler
notwendige Begleiterscheinungen des Lernens sind, so kann schließlich produktiv gearbeitet und das
Lernen vorangetrieben werden.322
Ein Fehler kann zu einer fruchtbaren Lerngelegenheit werden, wenn Lernende 1. den Fehler erkennen, also einsehen, dass etwas falsch ist und insbesondere auch, was falsch
ist, 2. den Fehler erklären können, also verstehen, wie es dazu gekommen ist, 3. die Möglichkeit haben, den Fehler zu korrigieren, also eine richtige Vorgehensweise oder
Vorstellung zu erwerben.323
Sofern die Lehrperson nicht zu sehr in den Bearbeitungsprozess eingreift, haben die Lernenden die
Möglichkeit, aus ihren eigenen Fehlern zu lernen, was sehr gewinnbringend sein kann.324
Wie schon erwähnt, fallen Fermi-Aufgaben in den Bereich der Modellierungsaufgaben und können
daher auch dazu genutzt werden, den Lernenden den Modellierungskreislauf beziehungsweise den
Modellierungsprozess und die darin enthaltenen Teilschritte näher zu bringen. 325
Modellierungskompetenzen werden ausgebaut und den Schülerinnen und Schülern wird die
Möglichkeit zur eigenständigen Wissenskonstruktion geboten.326 Ein weiterer wesentlicher Vorteil
von Fermi-Aufgaben ergibt sich daraus, dass die Aufgabenstellung meist nur aus einer einzigen Frage
316 Diese Seite der Mathematik wird im momentan vorherrschenden Mathematikunterricht eher vernachlässigt. 317 Vgl. Greefrath 2010: 81; vgl. Herget 2000a: 297 318
Greefrath klassifiziert Fermi-Aufgaben je nach Umgang mit den Daten innerhalb der Aufgabe. Er
unterscheidet folgende Möglichkeiten:
- Schätzen und Überschlagen von Größen und Anzahlen - Veranschaulichung gegebener Größen und Anzahlen - Schätzen und Überschlagen sowie Veranschaulichen - Gewinnen fehlender Daten aus Annahmen/Alltagswissen - Bestimmen von Daten aus Abbildungen […] - Bestimmen fehlender Daten durch Messung/Experiment […] - Recherchieren von Daten - experimentelles Überprüfen
339
Auch innerhalb des Lehrerkommentars der Fermi-Box wird dieselbe Klassifizierung von Fermi-
Aufgaben vorgenommen. 340 Ursprünglich bezogen sich Fermi-Aufgaben hauptsächlich auf die
Bereiche des Schätzens und Überschlagens und auf die Gewinnung von Daten aus Annahmen
beziehungsweise die Gewinnung von Informationen anhand von Alltagserfahrungen, da sie ihren
Ursprung in der Physik haben.341 Um die Unterschiede der genannten Arten von Fermi-Aufgaben
hervorzuheben, werden nun Beispiele zu den einzelnen Typen angeführt:
- Schätzen und Überschlagen von Größen und Anzahlen: Wie viele Blätter hat eine Buche?
- Veranschaulichen von Größen und Anzahlen: „Bill Gates Vermögen wird auf 40 Milliarden
Dollar geschätzt. Wie lange bräuchte er, um sein gesamtes Geld aus dem Fenster zu
werfen?“342
- Schätzen, Überschlagen und Veranschaulichen: Wie viel Taschengeld bekommen die
Schülerinnen und Schüler deiner Schule jährlich? Wie hoch wäre der Turm, wenn man das
gesamte Taschengeld in Münzen aufeinanderstapeln würde?
- Gewinnung fehlender Daten durch plausible Annahmen: „Wie viele Personen stecken in
4.5. Wie kann man Fermi-Aufgaben im Unterricht einsetzen?
Es gibt verschiedenste Möglichkeiten Fermi-Aufgaben im Unterricht einzusetzen. Man kann sie zum
Beispiel als Einstieg in ein neues Thema verwenden. In diesem Fall spricht man von einem
problemorientierten Einstieg. Fermi-Aufgaben eignen sich jedoch ebenso gut für das
Wiederaufgreifen von Inhalten, die bereits im Unterricht behandelt wurden. Es kann damit
festgestellt werden, inwieweit die Schülerinnen und Schüler in der Lage sind, ihr Wissen, ihre
Fähigkeiten und Fertigkeiten, die sie im Unterricht erlernt haben sollten, flexibel einzusetzen und zur
Bearbeitung komplexer Situationen zu verwenden.385
Betrachtet man Leuders Kriterien für gute Einstiegsaufgaben in das Problemlösen, so kann man
feststellen, dass Fermi-Aufgaben durchaus dazu geeignet sind. Laut Leuders sollten geeignete
Einstiegsaufgaben für das Problemlösen folgende Kriterien erfüllen386:
Solche Aufgaben sollten - vom jeweils aktuellen Schulstoff relativ unabhängig sein - die Schüler dazu motivieren, eigene Methoden zu erfinden - verschiedene Lösungswege besitzen - die Verwendung heuristischer Methoden nahe legen - leicht verständlich und mit Alltagswissen interpretierbar sein.387
4.5.1. Einstieg in Fermi-Aufgaben
Sind die Schülerinnen und Schüler das Arbeiten mit offenen Aufgaben noch nicht gewohnt, so
müssen sie gewissermaßen auf diese Offenheit und auch auf die zu verwendende Kreativität
eingestimmt werden.388 Ebenso müssen die Selbstständigkeit und das eigenständige Denken bewusst
geübt werden, um mit offenen Fragestellungen umgehen zu können.389 Den Lernenden muss bereits
vor der Bearbeitung der ersten Fermi-Aufgaben bewusst gemacht werden, dass es nicht nur einen
einzigen richtigen Lösungsweg und auch keine eindeutige Lösung gibt.390 Um Fermi-Aufgaben
einzuführen, könnte eine erste Fermi-Aufgabe samt Lösung im Plenum besprochen werden.391 Im
Lehrerkommentar zur Fermi-Box wird davon ausgegangen, dass es sinnvoll ist, die allererste Fermi-
Aufgabe ausführlich und gemeinsam im Klassenverband zu bearbeiten, um den Schülerinnen und
Schülern das Prinzip von Fermi-Aufgaben klar zu machen und auch zu zeigen, welche Punkte bei der
Lösung einer derartigen Aufgabe bearbeitet werden sollen.392 Auch Etzold und Frantzke sind
derselben Meinung. Wichtig ist, dass bereits bei der gemeinsamen Bearbeitung der ersten Aufgabe
Vgl. Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007b: 10 und 16
72
darauf Wert gelegt wird, dass das Ergebnis interpretiert und validiert wird und dass es zu einer Phase
der Reflexion kommt.393
Bei fast allen Fermi-Aufgaben ist es lohnend, die Abhängigkeit des Ergebnisses von den getroffenen Annahmen zu diskutieren und so immer wieder auch das Denken in funktionalen Zusammenhängen zu schulen: „Wieso unterscheiden sich die Ergebnisse…?“, „Wie hängt das Ergebnis ab von…?“, „Was wäre wenn…?“
394
Es soll somit auch eine kritische Haltung gegenüber im Alltag vorkommenden Zahlen erreicht
werden.395 Im Anschluss an die Bearbeitung eines ersten gemeinsamen Beispiels könnte eine weitere
Aufgabe gestellt werden, die mittels des Ich-Du-Wir-Prinzips396 bearbeitet wird. Dies bedeutet, dass
zuerst jeder Einzelne für sich über die Aufgabe nachdenkt und einen möglichen Lösungsweg sucht
und diese im Anschluss daran innerhalb von Gruppen bearbeitet wird. Den Abschluss bildet eine
gemeinsame Besprechung und Reflexion im Plenum. Bei der Besprechung beziehungsweise der
Präsentation der Lösungen im Plenum sollte auch darauf Wert gelegt werden, die unterschiedlichen
Lösungswege zu vergleichen.397
Bei der Erstbehandlung von Fermi-Aufgaben sollte die Mathematik, die im Beispiel steckt, den
Schülerinnen und Schülern nicht zu große Probleme bereiten, damit nicht zu sehr vom eigentlichen
Ziel einer Fermi-Aufgabe abgelenkt wird. Es sollte vorerst hauptsächlich darum gehen, die
Schülerinnen und Schüler mit der Bearbeitung derartiger Aufgaben vertraut zu machen.398 Es ist
dabei besonders wichtig, dass sich die Lehrperson bei der Bearbeitung offener Problemstellungen
von Anfang an im Hintergrund hält, da die Schülerinnen und Schüler so eigene Ideen entwickeln und
einbringen können.399 Um Fermi-Aufgaben produktiv im Unterricht einsetzen zu können, sollte die
Lehrperson eine Moderatorenfunktion übernehmen. So können die Schülerinnen und Schüler
wirklich aktiv und selbstständig arbeiten und auch ihre eigenen Wege gehen.400 Ebenso muss gleich
zu Beginn klar gestellt werden, was mit Beispielen dieser Art erreicht werden soll und dass es bei der
Bearbeitung solcher Aufgaben durchaus erlaubt ist, Fehler zu machen,401 da Fehler nicht als
Anzeichen für Misserfolg, sondern als Begleiterscheinung des Lernprozesses, die das Verständnis
erweitern können, zu deuten sind. Fehler sind oft fruchtbar für das weitere Lernen, da sie häufig
bereits einen Kern richtigen Denkens enthalten und dazu dienen können, schlussendlich den
richtigen Weg zu finden. Wird dies im Unterricht beachtet, so kann das eigenständige Denken der
Daraus lässt sich feststellen, dass das zuvor errechnete Ergebnis tatsächlich in diesem
Bereich liegt und somit durchaus möglich ist.
Der Modellierungskreislauf soll jedoch nicht nur zur Bearbeitungen von offenen Aufgaben, wie zum
Beispiel Fermi-Aufgaben, verwendet werden. Es soll auch über ihn nachgedacht werden, da dies die
Schülerinnen und Schüler dazu anregt, ihr eigenes Vorgehen zu reflektieren, was wiederum zu einem
78
bewussteren und nachhaltigeren Kompetenzzuwachs führen kann.427 Dieses Nachdenken über den
Modellierungskreislauf auf Metaebene soll den Schülerinnen und Schülern das Bearbeiten offener
Aufgaben grundlegend erleichtern.428 Den Lernenden soll jedoch nicht nur der Modellierungskreislauf
als Gesamtes bewusst gemacht werden, sondern auch die einzelnen Teilschritte und die
verwendeten Strategien sollen explizit besprochen werden. 429 Das Betrachten des
Modellierungskreislaufes auf Metaebene soll die Lernenden dazu bringen, selbstständig komplexe
Problemstellungen aufzugreifen und diese zu lösen.430 Die Schülerinnen und Schüler sollen dazu
angeregt werden, kritisch über Ergebnisse nachzudenken und diese nicht bloß hinzunehmen. Die
Ergebnisse sollen auch auf die Realsituation bezogen werden. Durch Aufgaben, die anhand des
Modellierungskreislaufes bearbeitet werden, soll außerdem vermieden werden, dass die Lernenden
unreflektiert Standardverfahren anwenden, ohne sich über die Lösbarkeit des Problems Gedanken zu
machen.431
Um den Schülerinnen und Schülern das Reflektieren über den Lösungsweg und die Problemstellung
zu erleichtern, ist es hilfreich, ihnen gewisse Fragen zu stellen oder Anregungen zum gewünschten
Vorgehen zu formulieren. Hier nur eine kleine, mögliche Auswahl:
- Überprüfe das Ergebnis! - Ist das Ergebnis sinnvoll? - Wie bist du vorgegangen? - Begründe dein Vorgehen! […] - Was konnte ich lernen? […] - Was will ich nächstes Mal anders machen?432
Es kann auch durchaus interessant sein, die Lernenden nach der Bearbeitung einer offenen Aufgabe
aufzufordern, darüber nachzudenken, welche allgemeinen Tipps und Ratschläge sie anderen
Schülerinnen und Schülern geben würden, die noch nie eine offene Aufgabe bearbeitet haben.433
Die Bearbeitung offener Aufgaben kann jedoch nicht nur anhand des Modellierungskreislaufs
geschehen, sondern es gibt auch zahlreiche Fragen und Anregungen, die den Schülerinnen und
Schülern dabei helfen können, die Problemstellung besser zu verstehen und das Problem zu lösen.
Oft genügen einzelne Fragen, um den Lernenden die Bearbeitung der Aufgabe zu erleichtern:
- Worum geht es in dieser Aufgabe? - Was weiß ich schon im Zusammenhang mit diesem Problem? - Welche Methoden und Techniken stehen mir zur Verfügung?434
Was ist jedoch zu tun, wenn man eine Fermi-Aufgabe oder ein anderes offenes Beispiel stellt und
einige Schülerinnen und Schüler bei der Bearbeitung dieser Probleme haben? Hier gilt natürlich, auch
wenn die Lernenden eigenständig arbeiten sollen, dass die Lehrperson die Möglichkeit hat,
Hilfestellungen anzubieten. Grundsätzlich ist jedoch zu beachten, dass nur geholfen werden soll,
wenn es wirklich notwendig ist und dass auch nur minimal geholfen werden soll, um die Schülerinnen
und Schüler nicht zu sehr in ihren Ideen zu beeinflussen.435 Denn wenn die Komplexität einer Aufgabe
derart durch Lösungshinweise heruntergeschraubt wird, dass eine Routineaufgabe daraus entsteht,
so verliert sie ihren Reiz, was sich wiederum negativ auf den Unterricht auswirken kann.436
Im Zweifelsfall gilt: Man sollte lieber auch mal eine einfachere Schülerlösung akzeptieren, um die Schüler ans selbstständige Denken heranzuführen, als sie durch geführte Hilfen zur Wunschlösungen zu führen. Lässt man nach einer Schülerarbeitsphase die verschiedenen Lösungen präsentieren, so erhalten auch die Schüler, die selbst einfache Lösungswege entwickelt haben, Einblicke in die komplexeren Lösungen. Vergleichende Diskussionen über die verschiedenen Lösungswege im Plenum unterstützen dies.
437
Im Buch „Mathematisches Modellieren. Aufgaben für die Sekundarstufe I“ von Katja Maaß befindet
sich eine Liste mit gestuften Hilfen, die man bei Modellierungs- und überhaupt bei offenen Aufgaben
verwenden kann. Es wird zwischen Motivationshilfen, Rückmeldungshilfen, allgemein-strategischen,
inhaltsorientierten strategischen und inhaltlichen Hilfen unterschieden. 438 Innerhalb dieser
verschiedenen Hilfen kann man sich jeweils für indirekte oder direkte Hilfen entscheiden. Bei
direkten Hilfen wird ein spezieller Schüler/eine spezielle Schülerin bezüglich einer konkreten Stelle
innerhalb der Problembearbeitung angesprochen. Indirekte Hilfen beziehen sich hingegen auf die
gesamte Klasse und sind vorwiegend allgemein gehalten.439
Nun einige Auszüge der gestuften Hilfestellungen nach Maaß:
Motivationshilfen: „Du wirst das schon schaffen!“ […]
Rückmeldungshilfen: […]„Da musst du noch mal nachrechnen“
allgemein-strategische Hilfen: „Lies dir die Aufgabe genau durch!“ […] „Welche Daten benötigst du, wie kannst du sie erhalten?“ […]
inhaltsorientierte strategische Hilfen: „Welche Werte fehlen dir? Versuche, Angaben dafür zu schätzen!“ „Welche Bedeutung hat dieser Wert für das Lösen der Aufgabe?“ […]
inhaltliche Hilfen: „Stelle einen Zusammenhang zwischen diesen beiden Werten her!“440
Auch Büchter und Leuders führen einige allgemein-strategische Hilfestellungen an. Darunter befindet
sich unter anderem der Hinweis, dass, wenn geschätzt wird, der kleinstmögliche und der
größtmögliche Wert und deren Auswirkungen auf das Ergebnis betrachtet werden sollen. Im
Weiteren wird darauf hingewiesen, dass das Ergebnis auf die Sinnhaftigkeit geprüft werden soll.441
Auch die Fragen von Pólya, die Leuders in „Qualität im Mathematikunterricht der Sekundarstufe I
und II“ zitiert, fallen zum Teil in den Bereich der allgemein-strategischen Hilfen. Einige Fragen sind
jedoch den inhaltsorientierten strategischen Hilfen zuzuordnen.
Pólya untergliedert den Prozess des Problemlösens in vier unterschiedliche Phasen:
- Problem verstehen: Die Lernenden sollen sich geeignete Fragen stellen und überlegen, ob
das Problem überhaupt lösbar ist.
- Lösungsplan erstellen: Es sollen bekannte Strategien genutzt und Zusammenhänge zwischen
den Daten hergestellt werden.
- Lösungsplan durchführen: Das Problem soll gelöst werden.
- Rückschau und Kontrolle: Durch die Reflexion soll den Schülerinnen und Schülern die
verwendete Methode bewusst gemacht werden, wodurch sie auch für andere, neue
Probleme anwendbar sein soll.442
In die erste Phase fallen viele, der von Maaß genannten allgemein-strategischen Hilfen. Pólya fordert
die Lernenden innerhalb der ersten Phase auch dazu auf, eine Zeichnung zum Problem anzufertigen.
In der zweiten Phase, in der es darum geht, einen Lösungsplan zu erstellen, sollen ähnliche Probleme
betrachtet, das Problem so weit wie notwendig vereinfacht und in leichter lösbare Teilprobleme
zerlegt werden. Anschließend soll versucht werden, die einzelnen Teilprobleme zu lösen. Die
Lernenden werden auch aufgefordert, die vollbrachten Schritte auf ihre Richtigkeit und Sinnhaftigkeit
zu kontrollieren. Dies fällt jedoch auch schon in die Phase der Rückschau und Kontrolle. In dieser
Phase sollen laut Pólya auch Grenz- und Spezialfälle des Problems betrachtet werden.443
Bezüglich der Hilfestellungen muss auch auf die Fermi-Box verwiesen werden, da diese eine Karte
beinhaltet, die den Schülerinnen und Schülern Hilfestellungen bei der Lösung dieser Aufgaben
anhand von Fragen bietet:
441
Vgl. Büchter; Leuders 2005a: 161 442 Vgl. Pólya, George (1945): How to solve it. Princeton University Press – nach Bruder; Collet 2011: 18; nach Leuders 2001: 212 und nach Rasch 2001: 43 443
Vgl. Pólya, George (1945): How to solve it. Princeton University Press - zitiert nach Leuders 2001: 212
81
Abbildung 21: Antworten finden444
Diese Fragen implizieren einige Schritte des Modellierungskreislaufes. Die ersten beiden Fragen
„Worum geht es? Was will ich herausfinden?“ 445 beziehen sich auf die reale Situation. Die
darauffolgenden Fragestellungen beziehen sich zum Teil auf den Übergang von der Realsituation zum
mathematischen Modell. Schließlich wird durch die Frage „Mit welchen kleinen Schritten kann ich
mich der Lösung nähern?“ auf die mathematische Lösung des Problems Bezug genommen und
anschließend wird auch die Phase des Reflektierens und Validierens angesprochen. Grottenthaler
und Vogel haben in ihrem Artikel zu Fermi-Aufgaben ebenfalls einen Leitfaden für Schülerinnen und
Schüler zur Bearbeitung von Fermi-Aufgaben verfasst, wobei viele der Teilfragen bereits innerhalb
der zuvor genannten Konzepte angeführt wurden. In diesem Leitfaden heben sie hervor, dass es
wichtig ist, den Schülerinnen und Schülern zu vermitteln, dass sie keine Angst haben sollen, Fehler zu
machen. Sie sollen kreativ sein und eigene Wege einbringen können. Sie betonen jedoch auch, dass
die eigenen Wege, die bei der Lösung der Problemstellung gegangen werden, begründet und für
andere nachvollziehbar dargestellt werden müssen. 446 Sie haben auch einen Leitfaden zur
Bearbeitung von Fermi-Aufgaben innerhalb von Gruppen erstellt, wobei sie davon ausgehen, dass
der Gruppenarbeitsphase eine Einzelarbeitsphase vorausgeht, in der sich jede/r Einzelne
selbstständig einen möglichen Lösungsweg überlegt. Innerhalb dieses Leitfadens werden die
Schülerinnen und Schüler dazu aufgefordert, sich die Lösungsvorschläge jedes/r Einzelnen anzuhören
und schlussendlich eine gemeinsame Lösung zu finden und diese wiederum Schritt für Schritt
festzuhalten und zu erläutern. Als Hilfe für das Aufschreiben des Lösungsweges werden folgende
Fragen genannt:447
- Wie kommt die Lösung zustande? - Was habt ihr gerechnet? Warum? - Welche Werte habt ihr geschätzt? - Erläutert, wie ihr aus den drei [möglicherweise unterschiedlichen] Einzelvorschlägen zu einem
gemeinsamen gekommen seid: Welche Punkte habt ihr von wem übernommen und warum/warum nicht?448
Insgesamt kann festgehalten werden, dass in der Literatur zahlreiche unterschiedliche Möglichkeiten
geboten werden, die Bearbeitung von Fermi-Aufgaben beziehungsweise von offenen Aufgaben im
Allgemeinen anzuregen. Hierfür spielt natürlich der Modellierungskreislauf eine bedeutsame Rolle,
da er nicht nur für eine spezielle Art von Aufgaben anwendbar ist, sondern flexibel für diverse offene
Fragestellungen eingesetzt werden kann. Für die Lehrperson ist es meines Erachtens wichtig, sich
bereits vor dem Einsatz einer offenen Aufgabe im Unterricht genau zu überlegen, wie diese von den
Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden soll und was von den Lernenden erwartet wird. Dies
soll wiederum auch an die Schülerinnen und Schüler weitergegeben werden. Außerdem sollte sich
die Lehrperson zuvor bereits eine Auswahl an gestuften Hilfestellungen zurechtlegen, damit sie nicht
Gefahr läuft, den Schülerinnen und Schülern den gesamten Lösungsweg vorzugeben, da so der Sinn
einer offenen Aufgabe verloren gehen würde. Um das Potential einer Aufgabe vollständig zu nutzen,
Modellierungskompetenzen weiter zu entwickeln und den Lernzuwachs bewusst zu machen, ist es
notwendig, Reflexionsanlässe zu bieten. Dies können Aufforderungen sein, darüber nachzudenken,
welche Methoden, Verfahren und Strategien nützlich waren, um das Problem zu lösen, oder
unterschiedliche Beispiele, deren Lösungswege miteinander verglichen und deren Unterschiede und
Gemeinsamkeiten hervorgehoben werden.449
4.5.3. Welche Unterrichtsmethoden und -formen eignen sich besonders gut für den Einsatz von
Fermi-Aufgaben?
Neben der Auswahl der Aufgaben kommt es vor allem auf den Umgang mit den Aufgaben an, um bei
den Schülerinnen und Schülern einen guten Lernerfolg zu erzielen und sie zu aktivieren. Eine gute
Auswahl von unterschiedlichen Beispielen ist eben noch keine Garantie für erfolgreiches Lernen.450
Genau in diesem Punkt kommen somit die Unterrichtsmethoden ins Spiel.
Erfolgreiches Lernen wird ermöglicht durch eine Vielfalt von Unterrichtsmethoden, bei denen sowohl selbsttätige als auch gelenkte Lernprozesse flexibel und situationsabhängig eingesetzt werden.451
Um jedoch die Ausgangsfrage klären und schließlich auf die verschiedenen Unterrichtsmethoden, die
sich für den Einsatz von Fermi-Aufgaben eignen, eingehen zu können, muss vorerst deklariert
werden, was eigentlich unter einer Unterrichtsmethode verstanden werden kann.
Unter einer Unterrichtsmethode verstehen wir eine typische Handlungsfolge im Unterricht, die folgende Aspekte umfasst:
Sie hat allgemeinen Charakter, d.h., sie kann in ähnlicher Form flexibel in immer neuen Zusammenhängen ablaufen.
Sie ist zielorientiert, d.h., sie ist verbunden mit klar formulierten, spezifischen Funktionen, die es möglich machen, zu entscheiden, inwiefern die Methode zum Erreichen bestimmter Ziele geeignet ist.
Sie ist strukturiert, d.h., sie beschreibt, auf welche Weise die Beteiligten (im Idealfall) handeln und miteinander kommunizieren.
452
Trotz aller Vielfalt der Methoden gibt es doch ein Merkmal, das sie eint: Sie verfolgen das Ziel, Anregung für einen Mathematikunterricht zu geben, in dem die mathematische und soziale Aktivität, das Denken, Handeln und Kommunizieren, oberstes Ziel ist.
453
Gerade kooperative Lernformen können sich positiv auf das Lernen der Schülerinnen und Schüler
auswirken, da sie unter anderem zur Entwicklung des Sozialverhaltens der Lernenden beitragen
können.454 Leuders nennt verschiedene Gründe, warum man Methoden, die kooperatives Lernen
fördern, stärker in den Unterricht einbringen sollte: Durch kooperative Lernformen wird jeder
Einzelne stärker aktiviert und dazu aufgefordert, sich zu engagieren und zu beteiligen. Außerdem
werden kommunikative Kompetenzen sowie auch die Kooperations- und die
Verantwortungsbereitschaft gefördert. Die Schülerinnen und Schüler lernen gemeinsam zu arbeiten
und haben im Idealfall auch keine Angst davor, ihre Kolleginnen und Kollegen um Hilfe zu bitten.455
Kooperatives Lernen unterstützt aber vor allem auch das konstruktivistische Lernen. Insgesamt fasst
Leuders die Vorzüge kooperativer Lernformen folgendermaßen zusammen:456
Kooperative Lernformen bilden die Grundlage dafür, dass kognitives Lernen und soziales Lernen im Unterricht miteinander verbunden werden.457
Um das kooperative Lernen zu fördern, bedarf es jedoch komplexer Aufgaben, die sich auf
unterschiedlichen Niveaus und mit verschiedenen Mitteln lösen lassen. Es sollten auch Aufgaben
sein, bei denen durch die Kooperation untereinander die Bearbeitung und Lösung des Problems
erleichtert wird.458 Dazu bieten sich somit gerade offene Aufgaben, wie zum Beispiel Fermi-Aufgaben,
an.
Anhand dieser allgemeinen Einführung zu Unterrichtsmethoden lässt sich klar erkennen, dass diesen
eine wesentliche Rolle im Mathematikunterricht zukommt. Dazu stellen sich jedoch folgende Fragen,
die innerhalb dieses Kapitels beantwortet werden sollen: Welche Methoden eignen sich besonders
gut für den Einsatz von Fermi-Aufgaben? Und mit welchen Methoden kann kooperatives Lernen
gefördert werden?
4.5.3.1. Mögliche Unterrichtsmethoden/-formen zur Bearbeitung von Fermi-Aufgaben
Gruppenarbeit: Die Gruppenarbeit spielt eine wichtige Rolle für die Förderung der sozialen und
kommunikativen Kompetenzen, da die Schülerinnen und Schüler gemeinsam Lösungen erarbeiten,
die im Anschluss daran im Plenum präsentiert werden können. Zusätzlich werden durch
Gruppenarbeiten auch Möglichkeiten zur so genannten informellen Kommunikation geschaffen. Das
heißt, die Lernenden können in einem angstfreien Klima arbeiten und diskutieren und stehen so
nicht ständig unter dem Druck, bewertet zu werden.459 So kann es bei der Bearbeitung von Fermi-
Aufgaben innerhalb von Kleingruppen auch zur Wissenskonstruktion bei leistungsschwächeren
Schülerinnen und Schülern kommen. Dies ist in Gruppen, in denen sich alle Mitglieder wohl fühlen,
leichter möglich, als in solchen, in denen sich die Lernenden untereinander nicht verstehen.
Innerhalb eines guten Klimas trauen sich auch leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler
Vermutungen zu äußern und überwinden so ihre Angst, sich zu blamieren.460 Im Weiteren fragen
Schülerinnen und Schüler, wenn sie gemeinsam mit Gleichaltrigen arbeiten, eher nach, wenn sie
etwas nicht verstanden haben.461
Maaß vertritt die Meinung, dass die Gruppenzusammensetzungen regelmäßig gewechselt werden
sollten, um so die Vorzüge jeder Variante genießen zu können. Bei leistungsheterogenen Gruppen
können beispielsweise leistungsschwächere Lernende von den stärkeren profitieren, bei
leistungshomogenen Gruppen fällt es wiederum allen Lernenden leichter, sich einzubringen. Auch
Gruppen, die per Zufallsentscheidung entstehen, können ungeahntes Potential aufbringen.462 Das
Grundprinzip einer guten Gruppenarbeit sollte sein, dass jedes Mitglied Verantwortung für die
Gruppe und somit auch für das Handeln der anderen übernimmt.463
458
Vgl. Leuders o.J.: 6; vgl. Röhr 1995: 389 459
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 84ff. 460
Vgl. auch Peter-Koop 2003: 123ff. 461 Vgl. auch Rasch 2001: 301 462 Vgl. auch Maaß 2005a: 21 463
Vgl. auch Heymann 1996: 258
85
Cohen ist der Meinung, dass Gruppenarbeiten folgende Merkmale aufweisen sollen, um
funktionieren zu können: Die Schülerinnen und Schüler sollten in gewisser Weise voneinander
abhängig sein. Es soll eine reziproke Interdependenz herrschen und es soll Wissen und Können
beansprucht werden, über das kein einziges Mitglied der Gruppe allein verfügt. Das heißt, es soll eine
Situation geschaffen werden, in der jedes Gruppenmitglied von den anderen profitieren kann.
Außerdem wird hervorgehoben, dass sich vor allem offene, unstrukturierte Aufgaben für
Gruppenarbeiten eignen, da diese den Austausch der Schülerinnen und Schüler untereinander
automatisch bedingen.464 Ferner müssen innerhalb von Gruppenarbeiten die eigenen Gedanken
verbalisiert werden, wodurch das Verstehen gefördert wird, da die Gedanken und Vorgehensweisen
strukturiert wiedergegeben werden und sich so das Wissen jedes Einzelnen durch die
Zusammenarbeit mit anderen erweitern kann.465
Bei Gruppenarbeiten sollte vor allem darauf geachtet werden, dass eine Ergebnissicherung, zum
Beispiel anhand von Präsentationen, stattfindet.466 Um sich als Lehrperson abzusichern, dass sich
während der Gruppenarbeitsphase keiner der Lernenden ausklinkt, kann beispielsweise erst am Ende
der Gruppenarbeitsphase ein Schüler/eine Schülerin bestimmt werden, der/die die Ergebnisse und
den Lösungsweg der Gruppe präsentieren soll. 467 Die Lehrperson sollte innerhalb von
Gruppenarbeitsphasen die Rolle eines Moderators annehmen und nicht mehr als Wissensvermittler
fungieren.468 Der Lehrer/die Lehrerin hat so auch die Möglichkeit auf individuelle Schwierigkeiten
Einzelner einzugehen.469 Gerade bei offenen Aufgaben (so auch bei Fermi-Aufgaben), die sich auf
unterschiedliche Art und Weise lösen lassen und bei denen unterschiedliche Ergebnisse zu erwarten
sind, ist es sinnvoll, kooperative Unterrichtsformen zu verwenden, da der Austausch untereinander
den Schülerinnen und Schülern das Lösen schwieriger Aufgaben erleichtern kann. In der Gruppe
können so auch Aufgaben bearbeitet werden, die für einzelne Lernende zu schwierig sind.470 Laut
Hinrichs besteht bei Gruppenarbeiten jedoch die Gefahr, dass leistungsschwächere Schülerinnen und
Schüler nicht zum Denken und schon gar nicht zu Wort kommen, weshalb er zum Ich-Du-Wir-Prinzip
tendiert.
Ich-Du-Wir-Prinzip: Bei dieser Methode bekommt jeder Schüler/jede Schülerin die Möglichkeit, in
Ruhe über das Problem nachzudenken und wird nicht sofort mit den Ideen und Lösungsansätzen des
464
Vgl. auch Cohen 1993: 48 – zitiert nach Rasch 2001: 73 465
Vgl. auch Lamberigts; Diepenbrok 1993 – zitiert nach Rasch 2001: 74 466
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 84ff. 467
Vgl. auch Maaß 2007a: 27 468 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 84ff. 469 Vgl. auch Maaß 2007a: 26; vgl. auch Maaß 2005a: 21 470
Vgl. auch Hinrichs 2008: 58ff.
86
Nachbarn konfrontiert.471 Durch das Ich-Du-Wir-Prinzip kann außerdem eine größere Vielfalt an
Ideen und Lösungswegen erreicht werden. Es werden soziale und kommunikative Kompetenzen
gefördert und vor allem das Begründen, Erläutern, Erklären und das Argumentieren geübt.472 Auf die
erste Phase, in der sich jeder für sich mit der Aufgabenstellung beschäftigt, folgt jene, in der in einem
geschützten Raum diskutiert werden kann und Ideen ausgetauscht werden. So dringen die
Schülerinnen und Schüler immer tiefer in das Themengebiet ein. Anschließend werden die Ideen in
der Klasse zusammengetragen, präsentiert und diskutiert.473 Für Fermi-Aufgaben ist diese Methode
besonders gut geeignet, da unterschiedliche Lösungswege gefunden und diese auch verglichen
werden können. Da Fermi-Aufgaben auf unterschiedlichen Niveaus lösbar sind, können sie auch von
leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern bearbeitet werden. Beim Besprechen und
Vergleichen der unterschiedlichen Ideen und Lösungswege profitieren die Lernenden schließlich
voneinander.474
Lawine: Die Lawine funktioniert ähnlich dem Ich-Du-Wir-Prinzip. Ein Problem wird in immer größeren
Gruppen bearbeitet – zuerst allein, dann zu zweit, zu viert, zu acht… - und zum Abschluss jeder Runde
muss sich die Gruppe auf einen gemeinsamen Lösungsweg einigen. Dieser wird wiederum einer
anderen Gruppe vorgestellt und es wird diskutiert, welcher der beiden Lösungswege
besser/schlechter ist und warum das der Fall ist. Diese Methode eignet sich natürlich ausschließlich
für offene Probleme, die auch mehrere Lösungswege und Lösungen zulassen. Vor allem
Kompetenzen wie das Argumentieren und Darstellen werden dabei geübt.475
Placemat:
Placemat (auf Deutsch „Platzdeckchen“) ist eine Methode für die kreative und zugleich kooperative Ideenfindung. Schülerinnen und Schüler sitzen dazu in Vierergruppen und haben in jeder Gruppe ein Blatt vor sich, das entsprechend aufgeteilt ist. Zu einer gestellten Aufgabe notiert nun jeder erste Ideen und Gedanken in sein Feld im Außenbereich. Dann wird das Blatt schrittweise gedreht, sodass jeder die Ideen der anderen Gruppenmitglieder lesen kann. Abschließend einigt man sich auf einen Ansatz, der in das Feld in der Mitte eingetragen wird.476
Diese Methode dient vor allem der Ideenfindung. Es sollen aber auch das schriftliche Erklären und
Argumentieren geübt werden. Grundsätzlich lässt sich Placemat in diversen Phasen des Unterrichts
einsetzen. Besonders gut eignet es sich jedoch für das Sammeln von Ideen zur Lösung offener
471
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 118 472
Vgl. auch Hinrichs 2008: 58ff. 473
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 118; vgl. auch Ulm 2004: 20 474 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 122 475 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 128f. 476
Barzel; Büchter; Leuders 2007: 152
87
Probleme.477 So könnte man diese Methode beispielsweise für den Einstieg in eine Fermi-Aufgabe
verwenden.
Schreibgespräch: Grundlegendes Merkmal dieser Methode ist, dass ausschließlich schriftlich
kommuniziert wird. Dadurch entsteht eine angenehme Arbeitsatmosphäre, da gewährleistet wird,
dass alle Ideen vorgebracht werden können und sich die Lernenden nicht gegenseitig ins Wort fallen.
Zu frühe Kritik wird dadurch verhindert. Die Schülerinnen und Schüler üben sich präzise
auszudrücken und verständlich zu argumentieren. Solche Schreibgespräche können beispielsweise
bei einer offenen Fragestellung zur Findung eines gemeinsamen Lösungsweges eingesetzt werden.
Die Ansätze der Kollegen/Kolleginnen werden durchgelesen und kritisch hinterfragt. Es kann daran
weitergearbeitet werden, das Bisherige kann jedoch auch verändert und kritisch bewertet werden.
Wichtig dabei ist, dass es sich um Aufgaben handelt, die auch individuelle Sichtweisen zulassen.
Gerade die Bearbeitung von Fermi-Aufgaben bietet sich dafür also besonders gut an.478
Freiarbeit/Wochenplan: Grundsätzlich geht es bei dieser Unterrichtsform darum, dass die
Schülerinnen und Schüler frei arbeiten, das heißt, sie können im Großen und Ganzen auswählen,
welche Aufgaben sie bearbeiten, mit wem sie die Aufgaben bearbeiten und auch wie viel Zeit sie
dafür aufwenden. Da es sich um eine schülerzentrierte, materialbasierte Unterrichtsform handelt, ist
es wichtig, dass die Lernenden langsam daran gewöhnt werden, selbstständig zu arbeiten und auch
Verantwortung für den eigenen Lernprozess zu übernehmen. Materialbasiert bedeutet aber auch,
dass die Lehrperson im Vorhinein alles genau plant und sich überlegt, welche Aufgaben unbedingt
von jedem/jeder Lernenden innerhalb des vorgegebenen Zeitrahmens bearbeitet werden müssen.
Dadurch, dass individuell gearbeitet wird, hat die Lehrperson die Möglichkeit, sich um einzelne
Schülerinnen und Schüler zu kümmern und diese zu fördern. Wichtig ist jedoch, dass die Lehrperson
die Lernenden selbstständig arbeiten lässt. Gerade deshalb spielt in diesen Unterrichtsphasen das
Material, das den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt wird, eine große Rolle.479
Die Wochenplanarbeit ist eine spezielle Unterform der Freiarbeit. Im Wochenplan kann anhand von
verpflichtenden Aufgaben klar festgelegt werden, was von jedem/jeder Lernenden unbedingt
erledigt werden muss und welche Aufgaben auf freiwilliger Basis bearbeitet werden können. In Bezug
auf Fermi-Aufgaben ließe sich relativ leicht ein Wochenplan mit Hilfe der Fermi-Box erstellen, in dem
beispielsweise auch festlegt werden kann, dass gewisse Beispiele oder eine bestimmte Anzahl an
Beispielen zur Präsentation vorbereitet werden müssen.480 Im Lehrerkommentar wird dafür der so
477
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 152ff. 478 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 192ff. 479 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 76ff.; vgl. auch Büchter; Herget; Leuder; Müller 2007b: 24 480
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 76ff.; vgl. auch Büchter; Herget; Leuder; Müller 2007b: 24
88
genannte „Fermi-Laufzettel“ vorgestellt, auf dem festgehalten wird, welche Beispiele bearbeitet
werden müssen, wie viele Beispiele insgesamt bearbeitet werden sollen, ob die Beispiele in Einzel-,
Partner- oder Gruppenarbeit bearbeitet werden sollen und dass die Bearbeitung innerhalb eines
Fermi-Heftes festgehalten werden muss. Es wird auch festgelegt, welche Aufgaben für eine
Präsentation vorbereitet werden sollen und den Schülerinnen und Schülern wird eine Tabelle zur
Verfügung gestellt, in der sie aufzeichnen sollen, welche Aufgaben sie wann und mit wem bearbeitet
haben, wie viel Zeit sie dafür benötigt haben, ob die Aufgabe für sie interessant war oder nicht und
wie schwierig die Bearbeitung der Aufgabe für sie war.481
Projekt: Innerhalb von Projekten können Kompetenzen wie das Problemlösen, das Kooperieren und
das Präsentieren gezielt gefördert und geübt werden. Außerdem wird durch fächerübergreifendes
Arbeiten dazu beigetragen, dass bei den Schülerinnen und Schülern ein ausgewogenes Bild von
Mathematik entstehen kann. 482 Es werden sowohl kognitive als auch soziale Kompetenzen
berücksichtigt. Es muss Verantwortung für das gemeinsame Lernen übernommen, gemeinsam
gearbeitet und miteinander kommuniziert werden. 483 Mittels Fermi-Aufgaben kann man die
Lernenden an diese Arbeitsform gewöhnen.484 Innerhalb von Projekten können Fermi-Aufgaben aber
auch dazu dienen, gewisse inhaltliche Kompetenzen anzuwenden und zu üben, oder neue
Themenbereiche zu erarbeiten. So könnte man beispielsweise mit Hilfe der Luftballon-Aufgabe (Karte
A10) und ähnlichen Beispielen die Volumsberechnung einführen, indem sie von den Lernenden selbst
entdeckt wird.
Aufgabenkartei: Bei der Aufgabenkartei geht es grundsätzlich darum, die Schülerinnen und Schüler
selbst Aufgaben und deren Lösungen erstellen zu lassen. Diese werden auf Kärtchen geschrieben (auf
einer Seite die Frage, auf der anderen Seite die Lösung). Man erhält so eine ergiebige Sammlung von
Beispielen. Es findet auch auf natürliche Weise eine Differenzierung statt, da die Lernenden nur
solche Aufgaben erstellen, die sie selbst lösen können. Diese Methode kann sehr gewinnbringend
sein, da die Schülerinnen und Schüler meist motivierter sind, wenn sie sich mit eigenen
Problemstellungen beschäftigen können.485 In Bezug auf Fermi-Aufgaben würde es sich anbieten, nur
die jeweilige Fragestellung auf das Kärtchen zu schreiben und die Lösung innerhalb der Gruppe, die
die Frage erstellt hat, aufliegen zu lassen. So kann verhindert werden, dass sich die Schülerinnen und
Schüler auf einen einzigen Lösungsweg beschränken. Die verschiedenen Lösungen könnten
481
Vgl. auch Büchter; Herget; Leuder; Müller 2007b: 27 482
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 174 483 Vgl. auch Leuders 2001: 60f. 484 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 178f. 485
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 60
89
abschließend mit der Lösung der Gruppe, die die Frage erstellt hat, verglichen werden, was vor allem
die Kompetenzen Argumentieren und Kommunizieren fördern würde.
Nun zu einigen Methoden, die für die Ergebnissicherung geeignet sind:
Lerntagebuch, Forschungsheft:
In einem Lerntagebuch dokumentieren und reflektieren Schülerinnen und Schüler ihren individuellen Lernprozess in eigenen Worten. Sie halten alle Aspekte ihrer Arbeit (Ideen, Aha-Erlebnisse, Fehler, Gefühle usw.) fest. Das Lerntagebuch ist damit ein langfristiger und dauerhafter Lernbegleiter.486
In einem Lerntagebuch wird der gesamte Entdeckungs- und Lernprozess, samt Irrwegen und Fehlern,
dokumentiert. Es sollen nicht nur die Lösungswege und die Ergebnisse festgehalten werden, sondern
auch Vermutungen und Gefühle, die während der Bearbeitung aufgekommen sind. Es wird darin also
der individuelle Lernweg festgehalten. Das Lerntagebuch kann dabei helfen, den eigenen Lösungsweg
zu reflektieren, aber auch das eigene Wissen mit anderen zu teilen und auszutauschen.487 Ein
Lerntagebuch ist ebenso ein gutes Kommunikationsmittel zwischen der Lehrperson und dem/der
Lernenden, da individuelle Fragen beantwortet, aber auch Probleme erkannt werden können. Der
Lehrer/die Lehrerin hat darin auch die Möglichkeit, dem Schüler/der Schülerin Ratschläge zu
geben.488 Vorstellbar wäre, ein Lerntagebuch für die Bearbeitung von Fermi-Aufgaben anzulegen, da
so immer wieder verwendete Strategien bewusst gemacht werden können.
Bei offenen Aufgaben sollte jedoch nicht nur auf die Erarbeitung eines Lösungsweges Wert gelegt
werden, sondern es sollte auch beachtet werden, dass die unterschiedlichen Lösungen präsentiert
und anschließend auch diskutiert, verglichen und kritisch beleuchtet werden. Auch hierfür gibt es
wieder diverse Unterrichtsmethoden/-formen, die dafür brauchbar sind:
Poster: Ist zur Dokumentation des Lösungsweges und für die Ergebnissicherung einsetzbar. Dazu
müssen sich die Schülerinnen und Schüler auf die wesentlichen Punkte konzentrieren, kooperieren
und kommunizieren und schließlich klar strukturiert ihren Lösungsweg festhalten, um ihn so den
anderen Lernenden in verständlicher Weise zu vermitteln.489 Die angefertigten Poster könnten für
einen so genannten Museumsrundgang verwendet werden, da so jede/r Einzelne die Lösungen der
anderen begutachten könnte. Die Beispiele samt Bearbeitung können aber auch für den Rest der
Schule zur Schau gestellt werden.490 Bei einem Museumsrundgang könnte der Auftrag gestellt
486
Barzel; Büchter; Leuders 2007: 130 487
Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 130 488 Vgl. auch Barzel; Hußmann; Leuders 2005: 49; vgl. auch Hinrichs 2008: 61 489 Vgl. auch Barzel; Büchter; Leuders 2007: 160ff. 490
Vgl. auch Büchter; Herget; Leuders; Müller 2007b: 18f.
90
werden, dass jede/r Lernende beispielsweise mindestens zwei der dargestellten Lösungswege
schriftlich kommentieren soll.
Präsentation: Der Lösungsweg und die Ergebnisse können nicht nur schriftlich mit Hilfe eines Posters
festgehalten werden, sondern auch vor der Klasse mündlich präsentiert werden. Dies scheint für
offene Problemstellungen sehr gewinnbringend zu sein, da innerhalb einer moderierten Präsentation
die unterschiedlichen Lösungswege miteinander verglichen und kritisch betrachtet werden
können.491 Diese Methode bietet großes Potential für Diskussionen. Speziell das Argumentieren und
das Präsentieren werden dabei geübt. Außerdem versuchen die Schülerinnen und Schüler die
Lösungswege der anderen Gruppen nachzuvollziehen und beleuchten diese kritisch. Es ist wichtig,
dass bei der Präsentation der Lösungswege, nicht nur der ideale Weg, sondern auch Irrwege mit
eingebracht werden, da diese Teil des Lernens sind.492
Neben den zahlreichen, zuvor erläuterten Methoden, erweisen sich auch das selbstständige Finden,
das Verändern und das Vergleichen von Beispielen als sehr vorteilhaft, da die Schülerinnen und
Schüler dazu die vorhandenen Aufgaben erst einmal verstehen müssen. Dadurch werden die
Beispiele aus einer anderen Perspektive betrachtet. Die Schülerinnen und Schüler lernen so, den
Kern einer Aufgabe zu erfassen, was auch hilfreich für die Bearbeitung weiterer Beispiele sein
kann. 493 Das eigenständige Erfinden von Fermi-Aufgaben kann außerdem zur Steigerung der
Motivation beitragen, wodurch die Lernenden auch eher bereit sind, über die Lösbarkeit der
4.6. Reaktionen von Schülerinnen und Schülern auf offene Aufgaben
In der von Katja Maaß durchgeführten Studie zeigte sich, dass sich bei vielen Schülerinnen und
Schülern die Einstellung gegenüber Modellierungsaufgaben bei vermehrtem Einsatz derartiger
Aufgaben zum Positiven gewandt hat oder, sofern sie bereits von Beginn an eine positive Einstellung
hatten, gleich blieb. Es gab jedoch auch Lernende, die Modellierungsaufgaben ablehnend
gegenüberstanden und deren Einstellung sich auch im Laufe der Zeit nicht wirklich veränderte. Die
Ablehnung dieser Schülerinnen und Schüler gegenüber offenen Aufgaben begründet sich zum Teil
darin, dass für sie kein Zusammenhang mit der Mathematik erkennbar war, da ihrer Meinung nach
nicht wirklich gerechnet werden musste.495 Es wurde auch festgestellt, dass eine ablehnende Haltung
gegenüber Modellierungsaufgaben sich auch negativ auf die Leistung dieser Schülerinnen und
Schüler auswirkte. Im Speziellen war dies innerhalb der Phasen der Modellbildung und des
Validierens zu erkennen. Umgekehrt erwies sich innerhalb der Studie auch, dass Lernende, die
Modellierungsaufgaben mit einer positiven Einstellung gegenübertraten, bessere Leistungen in den
zuvor genannten Bereichen erreichen konnten.496
Zwar treten etwa gute Leistungen nicht zwingend gemeinsam mit einer positiven Einstellung gegenüber Mathematik auf, jedoch traf das für einen Großteil der Lernenden in dieser Studie zu.
497
Es konnte ebenso gezeigt werden, dass eine positive Haltung gengenüber einzelnen Beispielen und
Kontexten noch nicht unbedingt die Haltung gegenüber Modellierungsbeispielen im Allgemeinen
positiv stimmte. Dies gilt jedoch auch für negative Einstellungen gegenüber einzelnen Beispielen.498
Werden die Schülerinnen und Schüler das erste Mal mit Fermi-Aufgaben, oder offenen Aufgaben im
Allgemeinen konfrontiert, so trauen sie sich meist nicht, Abschätzungen zu treffen, da sie es nicht
gewohnt sind, dass es kein eindeutiges, exaktes Ergebnis gibt und dass sie selbstständig Lösungswege
finden sollen.499 Bei einigen Lernenden führten diese Eigenschaften von Fermi-Aufgaben zu einer
ablehnenden Haltung, da ihr Bild von Mathematik, das aussagt, dass jede Aufgabe eine eindeutige
Lösung besitzt, gestört wurde. 500 Dies trifft meist auf Schülerinnen und Schüler zu, die ein
schemaorientiertes Vorgehen im Mathematikunterricht gewohnt sind und denen es lieber ist, wenn
klar zwischen Richtig und Falsch unterschieden werden kann.501 Bei häufigerem Einsatz von offenen
Aufgaben, bei denen Daten geschätzt werden müssen, kann es jedoch bei vielen Lernenden zu einer
zunehmenden Akzeptanz der weichen Mathematik kommen.502 Viele der Lernenden reagierten
vorerst auch negativ auf die Länge der Unterrichtseinheiten, da sie es gewohnt waren, mehrere
Beispiele in einer Unterrichtsstunde zu lösen und nicht ein Beispiel über mehrere Unterrichtsstunden
hinweg zu bearbeiten.503 Die meisten Schülerinnen und Schüler, die offene Aufgaben nicht von
vornherein ablehnten, gewöhnten sich jedoch relativ schnell an die für sie neuen Eigenschaften
dieser Aufgaben. Dies konnte bei jenen, die negativ gegenüber Modellierungsbeispielen eingestellt
waren, nicht beobachtet werden.504 Auch die Einstellung gegenüber Mathematik im Allgemeinen
kann sich durch den Einsatz offener Aufgaben ändern:
Viele der Schülerinnen und Schüler, die eine eher negative Einstellung zu Mathematik hatten, fanden die Modellierungsbeispiele leichter als die üblichen Mathematikaufgaben. Sie meinten, man könne sich in diese Aufgaben besser hineinversetzen und sich die mathematischen Sachverhalte besser merken. Andere nehmen das sinnhafte mathematische Lernen mit Begeisterung auf und betonten die Notwendigkeit zu wissen, warum man etwas lernen muss.
505
Viele Schülerinnen und Schüler sahen zu Beginn der von Katja Maaß durchgeführten Studie
Mathematik als etwas Nutzloses und für die Praxis Unbrauchbares an. Manche erkannten zwar die
Bedeutung der Mathematik in gewissen Berufsfeldern, andere wiederum gaben als Bereich, in dem
Mathematik genutzt wird, nur die Situation des Einkaufens an. Nur wenige wussten vor der
Durchführung der Studie über die Bedeutung von Mathematik für die Gesellschaft und Wissenschaft
und die Notwendigkeit von Mathematik für den Alltag Bescheid.506 Diese Auffassungen des Nutzens
und der Bedeutung von Mathematik änderten sich jedoch im Laufe der Studie, in der regelmäßig
Modellierungsaufgaben bearbeitet wurden, dahingehend, dass den Schülerinnen und Schülern die
Relevanz und Nützlichkeit der Mathematik bewusst wurde und sie den Realitätsbezug zu schätzen
begannen. Laut Studie wurden diese Vorstellungen der Nützlichkeit der Mathematik jedoch nicht bei
allen Lernenden ausgeprägt.507
Grundsätzlich konnte Maaß in ihrer Studie somit zeigen, dass Schülerinnen und Schüler sehr
unterschiedlich auf Modellierungsbeispiele reagieren (von Begeisterung und Engagement bis hin zu
vollkommener Ablehnung) und ihre Reaktionen meist in einem Zusammenhang mit ihrem
mathematischen Weltbild zu sehen sind. Das heißt, die Grundeinstellung gegenüber Mathematik
spielt eine wesentliche Rolle für die Reaktionen der Schülerinnen und Schüler auf offene Aufgaben.508
Aber neben der Grundeinstellung und der Motivation ist es auch wichtig, die Lernenden an die
Lösung realistischer Probleme langsam heranzuführen und ihnen so den Umgang mit offenen
Aufgaben zu erleichtern.509 Auch wenn es immer wieder Lernende gibt, die offene Aufgaben strikt
Für die Bewertung von offenen Aufgaben sollte vor allem auch die Präsentation des Lösungsweges
und der Lösung eine wichtige Rolle spielen. Außerdem können kleinere offene Aufgaben auch Teil
von Schularbeiten sein.516 Bruder, Leuders und Büchter stellen gewisse Anforderungen an Beispiele,
die sich für Schularbeiten eignen:
- Die Aufgabenstellung in Klassenarbeiten sollen wesentliche Teile mathematischer Bildung in den Blick nehmen und nicht etwa Memorierungsfähigkeiten überprüfen – oder anders ausgedrückt: Klassenarbeiten sollen fachlich valide Aufgaben enthalten.
- Leistungen sollen immer auch unter langfristiger Perspektive überprüft werden – etwa nachhaltiges Basiswissen oder übergreifende Problemlösefähigkeiten.
- Die Ergebnisse der Überprüfung sollen gehaltvolle und differenzierte Informationen über Kenntnisse, Fähigkeiten, Vorstellungen und ggf. Fehlerquellen liefern, die Aufgaben sollen also diagnostische Informationen liefern.
517
Diese hier angeführten Punkte bestätigen noch einmal, dass offene Beispiele durchaus innerhalb von
Schularbeiten und ebenso als Hausübungen eingesetzt werden können.518 Bei offenen Beispielen
geht es nicht um die oben genannte Memorierungsfähigkeit, sondern vielmehr um das selbstständige
Problemlösen innerhalb unterschiedlichster Kontexte.
4.7.2. Beurteilung von offenen Aufgaben
Da offene Aufgaben unterschiedliche Lösungswege und Lösungen zulassen, sind sie im Wesentlichen
auch anders zu beurteilen als Beispiele der exakten Mathematik, bei denen nur ein einziger
Lösungsweg möglich ist. Für die Lehrperson stellt sich somit die Frage „Wie bewerte ich die Lösungen
einer offenen Aufgabe und im Speziellen die einer Fermi-Aufgabe?“. Dazu gibt es in der Literatur
wieder unterschiedliche Anregungen, die für die Lehrperson zu beachten sind, beziehungsweise zur
Bewertung einer offenen Aufgabe herangezogen werden können. Wichtig ist, dass es sich um ein
differenziertes Schema handelt, welches unterschiedlichste Lösungen berücksichtigt, da eben eine
selbstdifferenzierende Aufgabe bewertet werden soll.519 Zur Beurteilung von Fermi-Aufgaben können
unterschiedlichste Schemata verwendet und auch je nach Zielsetzung und Bedarf kombiniert werden.
Leuders stellt beispielsweise folgendes Schema zur Bewertung offener Aufgaben vor:
nur notwendig, die abgegebenen schriftlichen Arbeiten zu bewerten, sondern auch Aspekte der
Gruppenarbeit wie die Kooperation der Schülerinnen und Schüler untereinander, die Organisation
und die Präsentation zu beurteilen. Eine mögliche, sehr ausführliche Anleitung zur Beurteilung von
Gruppenarbeiten bietet das Buch „Mathematik Methodik. Handbuch für die Sekundarstufe I und II“:
Was wird bei Gruppenarbeiten bewertet? Inhalte:
- Mathematische Zusammenhänge werden angemessen erfasst. - Die Gruppe hat weiterführende eigene Ideen. - Die Gruppe erarbeitet sich die Inhalte selbstständig. - Es werden mehrere Lösungswege berücksichtigt und evtl. verglichen.
Kooperation: - Die Gruppe arbeitet gut zusammen, keiner wird außen vorgelassen. - Alle Gruppenmitglieder werden mit ihren Fragen und Kommentaren beachtet. - Es wird darauf geachtet, dass im Regelfall alle am Bearbeitungsprozess aktiv beteiligt sind,
diesen aber zumindest nachvollziehen können. Organisation:
- Die Zeit ist sinnvoll eingeteilt und alle tragen dazu bei, dass die Planung eingehalten wird. - Die Gruppe erledigt ihre Arbeit zügig. Auch wenn „Erholungspausen“ gemacht werden, findet
die Gruppe schnell zur Arbeit zurück. - Die Gruppe trifft bei längerfristigen Gruppenarbeiten Absprachen bzgl. Hausaufgaben, um so
zügiger voranzukommen. - Anfallende Aufgaben (z.B. bei der Vorbereitung der Präsentation) sind gerecht und sinnvoll
aufgeteilt. Dokumentation:
- Aus der Dokumentation erkennt man die Kerngedanken der Arbeit. - Das Aufgeschriebene ist inhaltlich richtig. - Die Gliederung ist sinnvoll.
Präsentation: - Die Präsentation ist sachlich richtig. - Sie ist gut und übersichtlich gegliedert. - Die Visualisierung unterstützt das Gesagte. - Die Präsentation hat einen eigenen Stil/eine „eigene Handschrift“.523
Wie man sehen kann, steht hier die Gruppenarbeit als solche und nicht die Bearbeitung einer offenen
Aufgabe im Zentrum. Deshalb sollte bestenfalls nicht nur dieses Bewertungsschema verwendet
werden, sondern beispielsweise die bereits genannten, zur Beurteilung von offenen Aufgaben
anwendbaren Fragestellungen miteinbezogen und so ein kompaktes System zur Bewertung
entworfen werden.
Als Lehrperson sollte man sich bereits vor der Bearbeitung einer Fermi-Aufgabe in der Klasse ein
passendes Bewertungsschema überlegen und den Schülerinnen und Schülern offen darlegen, damit
sie wissen, was von ihnen erwartet wird.
Ein weiteres mögliches Bewertungsschema wird von Katja Maaß angeführt. Dieses bezieht sich
jedoch auf Modellierungsaufgaben. Somit könnte dieses Beurteilungsmodell genau dann verwendet
werden, wenn eine Fermi-Aufgabe anhand des Modellierungskreislaufes bearbeitet werden soll. Die
Gewichtung der Punkte könnte je nach Zielsetzung verändert und adaptiert werden.
523
Barzel; Büchter; Leuders 2007: 88
98
1 Bildung des Realmodells Sind die getroffenen Annahmen sinnvoll? Ist der Grad der Vereinfachung der Problemfrage angemessen?
0-10 Punkte
2 Mathematische Bearbeitung Wurden die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisiert? Wurde eine adäquate mathematische Notation gewählt? Wurden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des mathematisierten Problems richtig angewendet? Ist die Lösung mathematisch korrekt?
0-15 Punkte
3 Interpretation der Lösung Wird die mathematische Lösung bezogen auf die Realität interpretiert? Ist die Interpretation korrekt?
0-5 Punkte
4 Kritische Reflexion Werden alle nötigen Aspekte berücksichtigt? Bleibt die Reflexion oberflächlich? Werden Vergleichswerte hinzugezogen?
0-10 Punkte
5 Dokumentation des Vorgehens Werden die einzelnen Schritte des Vorgehens beschrieben und erläutert
0-15 Punkte
6 Zielgerichtetes Vorgehen Geht der/die Lernende zielgerichtet beim Modellieren vor oder verliert er/sie sich in Details, ohne ein Ergebnis zu erreichen?
0-5 Punkte
max. 60 Punkte
Tabelle 4: Bewertungsschema von Modellierungsaufgaben524
Viele der Hilfsfragen für die Beurteilung von Fermi-Aufgaben finden sich in diesem Schema zur
Bewertung von Modellierungsaufgaben wieder. Dieses zuletzt genannte Bewertungsschema ließe
sich sehr gut mit jenem zur Beurteilung von Gruppenarbeiten kombinieren, um so möglichst alle
Aspekte der Bearbeitung einer Fermi-Aufgabe anhand des Modellierungskreislaufes in der Gruppe zu
erfassen und zu bewerten. Das Bewertungsschema von Modellierungsaufgaben könnte in die
Bereiche Inhalte und Dokumentation des Beurteilungsschemas für Gruppenarbeiten integriert
werden. Es sollte vielleicht auch noch der von Leuders genannte Bereich der Kreativität
miteingebracht werden, da Kreativität bei der Lösung von Fermi-Aufgaben eine nicht ganz
unwesentliche Rolle spielt und die Schülerinnen und Schüler dadurch unter Umständen mutigere
Lösungswege entwerfen. Wie schon erwähnt, könnte die Gewichtung der Punkte je nach Zielsetzung
verändert werden. Maaß führt neben den in ihrem oben dargestellten Bewertungsschema
angeführten Unterpunkten noch das Problemverständnis und das Metawissen über die Modellierung
als mögliche Aspekte einer Diagnose von ausgearbeiteten Lösungen zu Modellierungsaufgaben an.
Ihr Diagnostikbogen dient jedoch weniger der Bewertung von Schülerlösungen, als vielmehr der
Feststellung, welche Teilbereiche des Modellierungskreislaufes noch intensiver gefördert werden
müssen. 525
524 Maaß 2005a: 21 525
Vgl. Maaß 2007a: 38f.
99
4.8. Was spricht gegen den Einsatz von Fermi-Aufgaben im Mathematikunterricht?
Um nicht eine einseitige Sicht auf Fermi-Aufgaben darzulegen, werden in diesem Kapitel auch einige
mögliche Probleme und Hindernisse, die sich im Laufe der Bearbeitung einer offenen Aufgabe
ergeben können, angeführt.
Werner Blum nennt unterschiedliche Hindernisse für anwendungsbezogenen Unterricht:
- Organisatorische Hindernisse: Hierzu zählt er die strenge Aufteilung des gesamten
Unterrichts in einzelne Schulstunden, die den Einsatz von offenen Aufgaben, deren
Bearbeitung häufig mehrerer Stunden bedarf, erschwert.526 Doch auch wenn Fermi-Aufgaben
relativ viel Zeit kosten, so rentieren sie sich doch, da durch sie nachhaltig gelernt und dieses
Wissen somit leichter reaktiviert werden kann.527
- Schülerbezogene Hindernisse: Offene Aufgaben sind für die Schülerinnen und Schüler oft
schwieriger als so genannte Standard-Mathematikaufgaben, da sie Kreativität sowie auch
grundlegende Fähigkeiten und Fertigkeiten der Mathematik, wie zum Beispiel das
Modellieren, erfordern. Durch den Einsatz offener Aufgaben wird somit der
Mathematikunterricht für die Schülerinnen und Schüler anspruchsvoller. 528
- Lehrerbezogene Hindernisse: Auch für die Lehrperson wird der Mathematikunterricht
anspruchsvoller, wenn Anwendungsbezüge und offene Aufgaben eingebaut werden. Das
Unterrichtsgeschehen wird schwerer vorhersehbar und dadurch auch weniger kontrollierbar.
Die Lehrperson selbst bedarf weiterer Qualifikationen und Kenntnisse des Umfeldes der
jeweiligen offenen Aufgabe, was die Vorbereitung erschwert und so auch die
Vorbereitungszeit entsprechend verlängert. Um diese lehrerbezogenen Hindernisse
überwinden zu können, ist es notwendig, dass ein neues Lehrer-Bild definiert und auch von
den Lehrerinnen und Lehrern akzeptiert und umgesetzt wird. 529 Auch der Umgang mit den
unterschiedlichsten und vielfältigen Schülerlösungen ist nicht immer einfach und erfordert
von der Lehrperson zusätzliche methodische Anstrengungen.530
- Materialbezogene Hindernisse: Häufig wird von Lehrpersonen auch mangelndes Material als
Grund für den fehlenden Einsatz offener Aufgaben genannt. Dies sollte jedoch in der
heutigen Zeit kein Hindernis mehr sein, da es, wie in Kapitel 4.9. erläutert wird, zahlreiche
Möglichkeiten gibt, an Materialien zu kommen. Das Problem liegt meist darin, dass diese
Quellen den Lehrerinnen und Lehrern nicht bekannt sind.531
Meines Erachtens sind die Hauptursachen für das Vermeiden des Einsatzes von offenen,
anwendungsbezogenen Aufgaben im Mathematikunterricht im Bereichen der schüler- und der
lehrerbezogenen Hindernisse zu suchen. Maaß fasst dies folgendermaßen zusammen:
Als eine zentrale Barriere gegen die feste Etablierung von Realitätsbezügen in den Unterricht werden zunehmend die Beliefs der Lernenden und der Lehrenden gesehen.
532
Sowohl für Lehrerinnen und Lehrer als auch für die Lernenden ist es angenehmer und weniger
aufwendig, wenn der Unterricht möglichst anspruchslos gehalten wird.533 Jedoch ist es für alle
Beteiligten wesentlich befriedigender, wenn anspruchsvollere, kompetenzorientierte Aufgaben
eingesetzt werden.534 Gerade zu Beginn können sich die Schülerinnen und Schüler nur schwer damit
abfinden, dass es kein eindeutiges Ergebnis gibt und dass nicht klar zwischen Richtig und Falsch
unterschieden werden kann.535 Auch wenn der Einsatz von Modellierungs- und anderen offenen
Aufgaben der Lehrperson und auch den Schülerinnen und Schülern zu Beginn Schwierigkeiten
bereitet, sollten derartige Beispiele in den Unterricht integriert werden, um die Lernenden an die
Lösung komplexer Problemsituationen zu gewöhnen.536 Das Argument des zu großen Aufwands wird
von den Lehrpersonen natürlich nicht explizit genannt. Vielmehr rechtfertigen sie sich dadurch, dass
sie den hohen Zeitanspruch, das nicht-vorhandene Material und auch die fast unmögliche
Leistungsbewertung als Gründe anführen.537 Herget und Scholz erwähnen neben den bereits
genannten Hindernissen beziehungsweise Argumenten gegen den Einsatz von offenen Aufgaben
noch die Ablenkung von der wirklichen Mathematik, was durch den meist umfangreichen Kontext
einer offenen Aufgabe bedingt ist und den Autoritätsverlust der exakten Mathematik, da bei offenen
Aufgaben klar zu Tage tritt, dass in der realen Welt häufig die weiche Mathematik vorherrschend ist.
Noch im selben Absatz erklären sie jedoch, dass sich der größte Teil der genannten Argumente, die
gegen den Einsatz offener Aufgaben im Unterricht sprechen, entkräften lässt.538 Viele Lehrpersonen
und Lernende haben Vorbehalte gegenüber Aufgaben, bei denen geschätzt wird, da sie nicht in den
Bereich der exakten Mathematik fallen und so nicht als mathematisch genug angesehen werden.539
Da offene Aufgaben häufig innerhalb von Gruppenarbeiten bearbeitet werden, sind auch der soziale
Druck, das Verstecken und die Überforderung Einzelner innerhalb der Gruppe sowie auch die
Um die Suche nach Fermi-Aufgaben zu erleichtern, sollen hier einige mögliche Quellen und
Methoden zur Findung dieser speziellen Aufgabenart gegeben werden. Eine der wohl wichtigsten
Quellen ist die Fermi-Box. Die Fermi-Box für die Unterstufe enthält 80 Kärtchen mit je einem
Themengebiet, zu dem wiederum einzelne Teilfragen gegeben sind. Auch die Zeitschriften „Praxis der
Mathematik in der Schule“, „Mathematik lehren“ und vor allem die Ausgaben von „Materialien für
einen realitätsbezogenen Mathematikunterricht“ liefern immer wieder Artikel zu Fermi-Aufgaben,
oder auch allgemeiner zu offenen Aufgaben. Hin und wieder lassen sich sogar ausgearbeitete
Konzepte samt Arbeitsblättern finden. Es sollen hier nur einige Beispiele genannt werden: Die
hunderterste Ausgabe von „Mathematik lehren“ enthält innerhalb der so genannten „Mathe-Welt“
mehrere Arbeitsblätter zu Fermi-Aufgaben und bietet auch mögliche Lösungen an. Passende
Aufgaben für die letzten Mathematikstunden vor Weihnachten findet man beispielsweise in der
hundertdreiundsechzigsten Ausgabe von „Mathematik lehren“. In der Zeitschrift „Praxis der
Mathematik in der Schule“ sind die Beispiele meist in Artikeln integriert. Auch im Internet lassen sich
immer wieder Anregungen und Materialien für einen offenen Unterricht finden.544 Abgesehen von
den bereits genannten Quellen werden auch immer wieder innerhalb von Zeitungsartikeln Fermi-
Fragen oder Anregungen für Fermi-Aufgaben angeboten. So wurden zu Schulbeginn folgende
Aussagen im Steiermark-Teil der Kleinen Zeitung getroffen:
- 34,6 Millionen Euro werden für den Schulbeginn in der Steiermark ausgegeben. - 3000 Meter schreibt eine Kugelschreibermine. - 2 Kilogramm an Schulheften und Blöcken verbraucht ein durchschnittlicher Volksschüler im
Jahr. - 1,67 Kilometer beträgt die durchschnittliche Schulweglänge der Grazer. - 60.000 Gläschen frischer Milchgetränke werden täglich an 500 steirische Volksschulen
geliefert.545
Diese Aussagen eignen sich besonders gut dazu, einen interessanten Einstieg ins neue Schuljahr zu
finden, da sie sich auf die Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler beziehen und dadurch auch leicht
verständlich sind. Jede einzelne dieser Aussagen wird zu einer Fermi-Aufgabe, wenn man ein „Stimmt
das wirklich?“ hinzufügt. Hin und wieder lassen sich derartige Aussagen auch innerhalb von
Artikelüberschriften finden:
Die Österreicher fuhren 2010 1,8 Millionen Mal um die Erde.546
Auch hier reicht es, die Schülerinnen und Schüler zur Überprüfung der Aussage aufzufordern. Hier
ließe sich auch eine Diskussion bezüglich Umweltschutzes anschließen, wodurch diese Aussage auch
als Ausgangspunkt für fächerübergreifenden Unterricht dienen könnte. Der Einsatz von
544 Beispielsweise www.mued.de und www.kira.tu-dortmund.de 545 Pillmayr 05.09.2011: 12 546
Zeitungsartikeln bringt auch diverse Vorteile mit sich: Die Schülerinnen und Schüler müssen genau
lesen und den Texten die notwendigen Daten entnehmen. Es handelt sich um authentische,
lebendige Situationen und es wird auch klar, wo Mathematik in der realen Welt vorkommt. Zusätzlich
kann mit Hilfe von Zeitungsartikeln das kritische Hinterfragen angeregt werden und auch die „passive
Konsumentenhaltung der Schüler“547 abgebaut werden.548
Neben den genannten Möglichkeiten sollte man auch nicht vergessen, Schulbücher aufmerksam
durchzublättern, da einige neuere Ausgaben bereits Fermi-Aufgaben enthalten. So befindet sich
beispielsweise im Schulbuch „Expedition Mathematik 2“ folgende Aufgabe:
a) Ein Stapel mit 100 Blatt Papier hat eine Höhe von 1,1 cm. Wie dick ist ein Blatt Papier?
b) Wie viele Blätter muss man aufeinanderlegen, damit der Stapel so hoch wird wie der Eiffelturm (320 m)?
c) Wie viele Blätter benötigt man für einen Stapel bis zum Mond? d) Wie viele A4-Blätter muss man nebeneinanderlegen, um am Äquator einmal um die Erde zu
kommen? e) Wie groß ist das Volumen des Papierstapels jeweils? f) Wie schwer ist der Papierstapel jeweils?549
Die ersten beiden Fragen sind noch keine wirklichen Fermi-Fragen, da alle zur Berechnungen
notwendigen Daten gegeben sind. Dies könnte jedoch leicht geändert werden, indem man die erste
Frage zur Gänze entfernt und bei der zweiten Frage die Angabe der Höhe weglässt. Um jedoch den
Schülerinnen und Schülern den Einstieg zu erleichtern, könnte die Aufgabe so, wie sie im Schulbuch
zu finden ist, gegeben werden, da die Teilaufgaben ansteigend nach Schwierigkeits- und
Öffnungsgrad geordnet sind.
Besteht gerade keine Möglichkeit auf die genannten Quellen zuzugreifen, so muss man als
Lehrperson selbst kreativ werden, um Fermi-Aufgaben zu finden. Dazu gibt es unterschiedliche
Wege: Häufig reicht es, die Welt durch die so genannte „mathematische Brille“ zu betrachten.550
Dazu können auch Fotos sehr nützlich sein, da die reale Situation immer wieder in die Berechnungen
mit einbezogen wird und die Schülerinnen und Schüler gewisse Bezugspunkte in der Realität finden
zu werden.556 Um die Möglichkeit des Aufgaben-Öffnens klar zu machen, werden nun zwei Beispiele
angeführt:
Katrin sieht täglich 1 ½ Stunden fern. a) Wie viele Stunden sind dies in einer Woche zu 7 Tagen? b) Wie viele Stunden sind das in einem Monat mit 30 Tagen?
557
Hierbei handelt es sich um eine eingekleidete, geschlossene Aufgabe. Es wurde von einem
mathematischen Themengebiet (hier der Bruchrechnung) ausgegangen und versucht, dazu einen
Kontext zu finden. Es wurden auch alle zur Berechnung notwendigen Daten gegeben, wodurch die
wahre Aufgabe nur mehr darin besteht, das richtige, wahrscheinlich gerade zuvor erlernte Verfahren
anzuwenden. Eine zum Kontext passende, offene Aufgabe könnte folgendermaßen lauten:
- Wie viele Stunden siehst du in der Woche/im Monat fern?
- Wie viel Zeit hast du in deinem Leben bereits vorm Fernseher verbracht?
Ein weiteres Beispiel einer geschlossenen Schulbuch-Aufgabe:
Abbildung 24: Louvre Pyramide558
Auch hier kommt dem Kontext wiederum keine Bedeutung für die geforderten Berechnungen zu. Er
dient nur als Einkleidung des mathematischen Inhalts. Um diese Aufgabe zu öffnen, gibt es
unterschiedliche Möglichkeiten: Zum einen könnte die Frage angeschlossen werden, wie viele
Menschen innerhalb der Pyramide Platz finden könnten und zum anderen könnte den Schülerinnen
und Schülern ausschließlich die Abbildung gegeben werden. Wird die zweite Variante gewählt, so
ergeben sich wieder unterschiedliche Wege. Die Lernenden könnten entweder selbst Fragen finden,
oder es könnten folgende Fragen gestellt werden:
- Wie viele Menschen finden in der Pyramide Platz?
- Wie viele Quadratmeter Glas wurden für die Konstruktion der Pyramide verwendet?
- Wie viele aufgeblasene Luftballons würden in die Pyramide passen?
Tabelle 4: Bewertungsschema von Modellierungsaufgaben .............................................................. 98
110
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