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Didaktik der Geometrie
Lektion 5: Ahnlichkeitsgeometrie, Korper
Andreas Vohns
Zugehoriges interaktives Video unter: https://goo.gl/iY6RyW
Wintersemester 2017/8
Ubersicht
UbersichtInhalte des Lehrplans
Geometrische ModelleModellbilden, Darstellen, Konstruieren
AhnlichkeitsgeometrieAhnlichkeit und StrahlensatzeSatz von
PythagorasKreismessung
KorperObjektbegriffe: KorperVolumensformeln fur Korper
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Ubersicht: Inhalte des Lehrplans
5. Klasse: ausgehend von Objekten der Umwelt durch Idealisierung
und Abstraktion
geometrische Figuren und Krper sowie ihre Eigenschaften erkennen
und beschreiben knnen,
aufbauend auf die Grundschule Kenntnisse ber grundlegende
geometri-sche Begriffe gewinnen,
Skizzen von Rechtecken, Kreisen, Kreisteilen, Quadern und ihren
Netzen anfertigen knnen,
Zeichengerte zum Konstruieren von Rechtecken, Kreisen und
Schrgris-sen gebrauchen knnen, -Mastabszeichnungen anfertigen und
Lngen daraus ermitteln knnen;
Umfangs- und Flchenberechnungen an Rechtecken (und einfachen
dar-aus zusammengesetzten Figuren),
sowie Volums- und Oberflchenberechnungen an Quadern (und
einfa-chen daraus zusammengesetzten Krpern) durchfhren knnen,
Formeln fr diese Umfangs-, Flchen- und Volumsberechnungen
aufstel-len knnen;
Winkel im Umfeld finden und skizzieren, Gradeinteilung von
Winkeln kennen, Winkel mit dem Winkelmesser (Geodreieck) zeichnen
knnen;
einfache symmetrische Figuren erkennen und herstellen knnen.
6. Klasse: Dreiecke, Vierecke und regelmige Vielecke
untersuchen, wesentliche Ei-
genschaften feststellen, -die Figuren skizzieren und
konstruieren knnen, Erkennen, ob Angaben mehrdeutig sind oder
berhaupt nicht in Konstruk-
tionen umgesetzt werden knnen, kongruente Figuren herstellen
knnen, die Kongruenz begrnden knnen;
Eigenschaften von Strecken- und Winkelsymmetralen kennen, und fr
Konstruktion anwenden knnen;
Flcheninhalte von Figuren berechnen knnen, die sich durch
Zerlegen o-der Ergnzen auf Rechtecke zurckfhren lassen,
Volumina von Prismen berechnen, mglichst in
Anwendungsaufgaben.
7. Klasse: Vergrern und Verkleinern von Figuren, hnliche Figuren
erkennen und beschreiben;
Formeln fr Flcheninhalte von Dreiecken und Vierecken begrnden
und damit Flcheninhalte berechnen knnen,
Umkehraufgaben lsen knnen, Gegenstnde, die die Gestalt eines
Prismas oder einer Pyramide haben,
zeichnerisch darstellen knnen, Oberflche, Rauminhalt und Gewicht
von Gegenstnden, die die Gestalt
eines Prismas oder einer Pyramide haben, berechnen knnen;
den Lehrsatz des Pythagoras fr Berechnungen in ebenen Figuren
nutzen knnen.
8. Klasse: den Lehrsatz des Pythagoras fr Berechnungen in ebenen
Figuren und in
Krpern nutzen knnen, eine Begrndung des Lehrsatzes des
Pythagoras verstehen, Berechnungsmglichkeiten mit Variablen
darstellen knnen;
Schranken fr Umfang und Inhalt des Kreises angeben knnen,
Formeln fr die Berechnung von Umfang und Flcheninhalt des
Kreises
wissen und anwenden knnen, Formeln fr die Lnge eines Kreisbogens
und fr die Flcheninhalte von
Kreisteilen herleiten und anwenden knnen;
Formeln fr die Berechnung der Oberflche und des Volumens von
Drehzylindern und Drehkegeln sowie fr die Kugel erarbeiten und
nutzen knnen.
Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 4
Modellbilden, Darstellen, Konstruieren
LehrplanLehrplan
Skizzen von [. . . ] Quadern und ihren Netzen anfertigen
Zeichengerate zum Konstruieren von [. . . ]
Schragrissengebrauchen
Mastabszeichnungen anfertigen und Langen daraus ermitteln
Gegenstande, die die Gestalt eines Prismas oder einerPyramide
haben, zeichnerisch darstellen
Didaktik der Geometrie
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Geometrische Modelle Darstellen Wintersemester 2017/8 5
Modellbilden, Darstellen, Konstruieren
Standards M8Standards M8
. . . in der Lesart dieser Lehrveranstaltung
Modellbildenreale Gegenstande durch mathematische Figuren
und Korper beschreiben und ggf. auch zeichnerisch . . .
Darstellen Zeichnungen erstellen, denen geometrische Figurenals
Gestaltungselemente zu Grunde liegen.
Konstruieren Mit ausgewahlten Werkzeugen, uber die man
gutBescheid wei, Zeichnungen regelgeleitet erstellen, ausdenen man
sich zutraut, auch Zusammenhange uberdie zu Grunde liegenden
Figuren zu entnehmen.
Alle drei haben mit geometrischen Modellengeometrischen Modellen
zu tunDidaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 6
Ahnlichkeit
Intuitives Begriffsverstandnis:Intuitives Begriffsverstandnis:
Mastab (1. Klasse)
Expedition Mathematik 1 (Kraker, Plattner & Preis, 2007)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 7
Ahnlichkeit
Schulbuch-Erklarung:Schulbuch-Erklarung: Ahnlichkeit (3.
Klasse)
Figurlich orientiert (Kraker, Plattner und Preis, 2009)
Bei ahnlichen Figuren sind entsprechende Winkel gleich gro
undentsprechende Streckenlangen stehen im gleichen
Verhaltniszueinander.
Fruher auch ublich:
Abbildungsgeometrisch orientiert
Zwei Figuren sind ahnlich, wenn eine
Ahnlichkeitsabbildung(Verknupfung von Kongruenzabbildung und
zentrischer Streckung)existiert, die die eine auf die andere
abbildet.
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 8
AhnlichkeitFiguren vergroern und verkleinernFiguren vergroern
und verkleinern
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8 9
AhnlichkeitFiguren vergroern und verkleinernFiguren vergroern
und verkleinern
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8
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Strahlensatze
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8
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Strahlensatze: Begrundung
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8
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Strahlensatze: Begrundung
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8
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Strahlensatze: Anwendungen
Ahnliche DreieckeAhnliche Dreiecke
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit . . .& Strahlensatze Wintersemester 2017/8
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Strahlensatze: AnwendungenVermessungsprobleme: Messung kleiner
und groer Strecken wird wechselseitig austauschbar (auch:
unzugngliche Strecken knnen vermessen werden)
Teilungsprobleme: Vorgegebene Strecken lassen sich in jedem
(kommensurablen) Verhltnis teilen: (alte)
Anwendung:Nomogramme(Rechenbltter)
Bildquellen: Lambacher und Schweizer (1971)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 15
Sachverhalte erarbeiten (Grundfragen des MU)
146Jrgen Roth Fachdidaktische Grundlagen
Didaktische Aufgaben
Entdecken von SachverhaltenInduktiv, deduktiv o. Hypothesen
widerlegenBeispiel: Quadrieren vergrert.
Formulieren der Sachverhalteals mathematische Aussagen
Begrnden der AussagenLogische Struktur (Voraussetzung,
Behauptung) herausarbeitenZiele des Begrndens
Wahrheit einer Aussage sichernEinsicht in den Sachverhalt
vermitteln
Verstehen der Sachverhalte
Ziel: Anregen von geistigen Prozessen, die zu (neuen)
mathematischen Erkenntnissen fhren
Fallunter-scheidung
-1,5 -1 -0,5 0,5 1 1,5
0 5
0,5
1
1,5
2
2,5
3
x
y
22 = 4 > 232 = 9 > 342 = 16 > 42 >
\[0; 1]
(Roth (2016) in Anlehnung an Vollrath und Roth, 2012, S.
248)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 16
Satz von Pythagoras
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 17
Satz von Pythagoras
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 18
Satz von Pythagoras
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 19
Satz von Pythagoras
Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel,
2002)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 20
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al.,
2006)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 21
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al.,
2006)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 22
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al.,
2006)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 23
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al.,
2006)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 24
Satz von Pythagoras
Nach einer Idee von Danckwerts und Vogel (2003)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 25
Satz von Pythagoras
Ahnlichkeitsbeweis der SatzgruppeAhnlichkeitsbeweis der
Satzgruppe
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 26
Satz von Pythagoras
Level 9 Mathematik (Gymnasium (Sachsen); Heinrich et al.,
2006)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Pythagoras Wintersemester 2017/8 27
Satz von Pythagoras
Mathematik heute 9 (Realschule (DE); Griesel und Postel,
2002)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 28
Kreismessung
NaherungNaherung
Expedition Mathematik 4 (Kraker, Plattner & Preis, 2010)
Didaktik der Geometrie
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Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 29
KreismessungIterationIteration (mit DGS)
Didaktik der Geometrie
Ahnlichkeit Kreismessung Wintersemester 2017/8 30
KreismessungIterationIteration (mit Rechnung)
Wir beschrnken uns im Folgenden auf ein-beschriebene n-Ecke. Wir
zeigen, wie manaus der Seitenlnge sn und dem Inkreisradiusn des
regelmigen n-Ecks diejenigen desregelmigen 2n-Ecks rekursiv
berechnenkann (siehe Figur):Es sei AB = BC = ... = s2n die
Seitenlnge desregelmigen 2n-Ecks und AC = sn diejenigedes
regelmigen n-Ecks.Ferner sei x = PB = r n, wobei n = MP
derInkreisradius des regelmigen n-Ecks ist.Nach dem Kathetensatz fr
Dreieck BCH gilt:s2n = BC = BP BH = x 2 r = (r n) 2 r
MA
B
C
P
H
Q
s2n
nsn
2nr
Damit erhlt man: s2n = n2 r (r ) (I)Satz von Pythagoras fr
Dreieck MAQ ergibt:2n = r (s2n/2) = r (r + n)/2.Damit erhlt man: 2n
= nr (r ) / 2 + (II)
Krauter und Bescherer (2013)
Didaktik der Geometrie
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Korper Wintersemester 2017/8 31
Raumvorstellung
PflichtlektureQuelle: Arbeitsgemeinschaft Didaktische Innovation
fur Geometrie (2015)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 32
Objektbegriffe: KorperWahrnehmen und Beschreiben:Wahrnehmen und
Beschreiben: (1. Klasse)
Expedition Mathematik 1 (Kraker et al., 2007)
Didaktik der Geometrie
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Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 33
Objektbegriffe: KorperDarstellen: SchragrisseDarstellen:
Schragrisse (1. Klasse)
Expedition Mathematik 1 (Kraker et al., 2007)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 34
Objektbegriffe: Korper
Darstellen: ProjektionenDarstellen: Projektionen (GZ)
(Krauter & Bescherer, 2013)
Didaktik der Geometrie
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Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 35
Objektbegriffe: KorperDarstellen: SchragrisseDarstellen:
Schragrisse (6. Schulstufe (DE))
Bildquelle: Weigand (2004)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 36
Objektbegriffe: KorperKonstruieren: SchragrisseKonstruieren:
Schragrisse (3. Klasse)
Das ist Mathematik 3 (2. Auflage; Reichel, Litschauer und Gross,
2003)
Didaktik der Geometrie
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Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 37
Objektbegriffe: KorperAbfolge / SystematikAbfolge /
Systematik
Prisma
Bildquelle: Weigand (2004)
Didaktik der Geometrie
Korper Korperbegriffe Wintersemester 2017/8 38
Objektbegriffe: KorperAbfolge / SystematikAbfolge /
Systematik
Bildquelle: Weigand (2004), Affolter (2011)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 39
Volumen: Wurfel und Quader
Mabegriff bilden:Mabegriff bilden: (1. Klasse)
Quelle: Baireuther (1990, S. 85)
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 40
Volumen: PrismaZerlegenZerlegen (3. Klasse)
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 41
Volumen: Pyramide
ZerlegenZerlegen (3. Klasse)
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 42
Volumen: PyramideSchuttversuch, ZerlegenSchuttversuch, Zerlegen
(3. Klasse)
Expedition Mathematik 3 (Kraker et al., 2009)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 43
Volumen: Cavalieri-Prinzip
Herleitung
Herleitung (anschaulich)
Mathematik 9 (Griesel & Postel, 2002)
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 44
Volumen: ZylinderNaherungNaherung (4. Klasse)
Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 45
Volumen: KegelNaherungNaherung (4. Klasse)
Expedition Mathematik 4 Kraker et al., 2010
Didaktik der Geometrie
Korper Volumen Wintersemester 2017/8 46
Volumen: Cavalieri-Prinzip
Kegelvolumen:Kegelvolumen: Begrundung
Mathematik heute 9 (Griesel & Postel, 2002)
Didaktik der Geometrie
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Korper Volumen Wintersemester 2017/8 47
Volumen: Cavalieri-PrinzipKugelvolumen:Kugelvolumen:
Begrundung
Quelle: Howe (2013)
Didaktik der Geometrie
Literatur
Affolter, W. (Hrsg.). (2011). Das Mathematikbuch 7, Ausgabe A:
Lernumgebungen. Stuttgart: Klett.Arbeitsgemeinschaft Didaktische
Innovation fr Geometrie. (2015). Raumvorstellung die vier
Fakto-
ren. https://goo.gl/7mpFS6.Baireuther, P. (1990). Konkreter
Mathematikunterricht. Bad Salzdetfurth: Franzbecker.Danckwerts, R.
& Vogel, D. (2003). Dynamisches Visualisieren und
Mathematikunterricht. Ein Ausloten
der Chancen an zwei Beispielen. Mathematik lehren, (117), 1922,
39.Griesel, H. & Postel, H. (Hrsg.). (2002). Mathematik heute
9, Realschule. Schulbuch. Schroedel Verlag.Heinrich, R., Hirsch,
A., Rothkirsch, U., Schmidt, U., Schneider, C., Schunk, J. &
Unger, M. (Hrsg.). (2006).
Level 9 Mathematik: Lehrbuch fr die Klasse 9 Gymnasium Sachsen.
Berlin, Frankfurt a. M.: DUDENPAETEC Schulbuchverlag.
Howe, P. (2013). Herleitung des Kugelvolumens mit Halbkugel und
Vergleichskegel (GeoGebra Applet,CC BY 3.0).
https://goo.gl/Z9oCDH.
Kraker, M., Plattner, G. & Preis, C. (2007). Expedition
Mathematik 1: Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M.,
Plattner, G. & Preis, C. (2009). Expedition Mathematik 3:
Schulbuch. Wien: Verlag E. Dorner.Kraker, M., Plattner, G. &
Preis, C. (2010). Expedition Mathematik 4: Schulbuch. Wien: Verlag
E. Dorner.Krauter, S. & Bescherer, C. (2013). Erlebnis
Elementargeometrie. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Hei-
delberg.Lambacher, T. & Schweizer, W. (1971). Geometrie.
Lambacher-Schweizer Mathematisches Unterrichts-
werk. Stuttgart: Klett.Reichel, H.-C., Litschauer, D. &
Gross, H. (2003). Das ist Mathematik: Lehrbuch und Aufgabensammlung
fr
die 3. Klasse der allgemeinbildenden hheren Schulen und der
Hauptschulen (2. Aufl.). Wien: bv & hpt.Roth, J. (2016).
Fachdidaktische Grundlagen: Vorlesungsfolien. Koblenz. Zugriff
unter https://goo.gl/tE1iPsVollrath, H.-J. & Roth, J. (2012).
Grundlagen des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe (2.
Aufl.). Hei-
delberg: Spektrum Akademischer Verlag.Weigand, H.-G. (2004).
MaDiN: Didaktik der Geometrie. https://goo.gl/bBBDHH.
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