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1

TEMA 2: PROBABILIDAD

1

2


2.1. INTRODUCCIÓN2.2. ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE SUCESOS.2.3. DEFINICION AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD.

CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS.2.4. ANÁLISIS COMBINATORIO2.5. PROBABILIDAD CONDICIONADA .2.6. INDEPENDENCIA DE SUCESOS .2.7. TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE

BAYES

PRÁCTICAS: Problemas en clase

2.1 INTRODUCCIÓN

3

Fenómeno determinista: aquel que, al ser reproducido enlas mismas condiciones, conduce inevitablemente al mismo resultado.

Estamos interesados en estudiar fenómenos que presentan incertidumbre,es decir, fenómenos aleatorios.

Fenómeno ó experimento aleatorio:

Experimento que cumple las siguientes condiciones:

• El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas condiciones.

• Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado

del mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles.

4

INTRODUCCIÓN (continuación)

Ejemplos. Son experimentos aleatorios:

• tirar un dado una vez y observar el resultado,

• tirar un dado hasta que salga un seis y contar el número de tiradas que hemos realizado,

• ejecutar un programa y medir el tiempo de ejecución del mismo.

5

INTRODUCCIÓN (continuación)

•Antes de realizar el experimento no sabemos cual va a ser el resultado del mismo, pero sí conocemos los distintos resultados posibles.

•El experimento puede repetirse tantas veces como sea necesario en idénticas condiciones.

6

2.2. ESPACIO MUESTRAL Y ESPACIO DE

SUCESOS

• Se llama espacio muestral asociado a un experimento aleatorio al conjunto de todos los posibles resultados del experimento (llamados sucesos elementales). E.

• A los sucesos, formados por unión de sucesoselementales, se les llama sucesos compuestos.

• Suceso seguro E: aquél que se verifica siempre.

• Suceso imposible : aquél que nunca se verifica.

7

EJEMPLOS

Ejemplo 1 Consideremos el experimento que consiste en lanzar un dado. El espacio muestral asociado es:

1,2,3,4,5,6E

1,1 , 1,2 ,..., 6,6E

•Si el experimento consiste ahora en lanzar un dado dos veces, espacio muestral asociado es (36 elementos).

En el ejemplo anterior, los espacios muestrales son finitos.

También puede suceder que el espacio muestral sea infinitonumerable e incluso infinito no numerable.

Ejemplo 2

8

* Consideremos el experimento que consiste en contar el número de lanzamientos de un dado

hasta que se obtiene un seis. El espacio muestrales , un conjunto infinito numerable.1,2,3,4,...E

* Si el experimento consiste en conocer el tiempo, en segundos, que tarda en ejecutarse un programa, el espacio muestral es (0, ) y por tanto, un conjunto infinito no numerable.

9

Espacio de sucesos

*En el experimento que consiste en lanzar un dado no solamente interesa estudiar los sucesos elementales del espacio muestral sino también resultados tales como ”Sacar un número par”, “Sacar un número 4”, etc, que son subconjuntos del espacio muestral

• El conjunto formado por todos los sucesos compuestos incluido el suceso imposible se llama espacio de sucesos. El espacio de sucesos es el conjunto de las partes del conjunto E.

• Espacio de sucesos:

Operaciones con sucesos

10

• Sean A,B :– Se llama suceso unión de A y B al suceso que resulta cuando

ocurre A, B o ambos a la vez. A B.– Se llama suceso intersección de A y B al suceso que resulta

cuando ocurren al tiempo A y B. A B.– Se llama suceso contrario de A al que se verifica cuando no lo

hace A.– Se llama suceso diferencia de A y B y se designa por A-B

al que resulta cuando ocurre A y no ocurre B.Observemos que:

A

A B A B

Decimos que A implica B (A está contenido en B), , si siempre que ocurre a ocurre B

A B

Si dados dos sucesos A y B al verificarse uno no puede hacerloel otro se dice que ambos son sucesos incompatibles. Se verifica que A B = .

11

Ejemplo 3• Si el experimento consiste en lanzar un dado

y consideramos los sucesos: A = "sacar un número par" y B = "sacar un número 4" , entonces:

1,2,3,4,6

2,4

"Sacar un número impar" 1,3,5

6

A B

A B

A

A B A B

Propiedades de las operaciones

• Conmutativa :

• Asociativa:

• Distributiva:

• Leyes de De Morgan:

12

• Algunas propiedades que se verifican en las operaciones con sucesos son las siguientes:

A B B A

A B B A

A B C A B C

A B C A B C

A B C A B A C

A B C A B A C

A B A B

A B A B

-álgebra de sucesosálgebra de sucesos

13

Definición Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sea un conjunto de subconjuntos de E. Diremos que es una -álgebra de sucesos si verifica:

• a)• b) Si• c) Si

• En el caso de que la propiedad c) solo se verifique para un conjunto finito de sucesos estaríamos hablando de una estructura diferente: la de álgebrade sucesos.

, entoncesA A

, , entoncesi i

i

A i A

2.3. Definicion Axiomática de Probabilidad.

Consecuencias de los Axiomas

14

Sean E el espacio muestral de un experimento aleatorio y una

-álgebra de sucesos asociada a E. La aplicación es una

probabilidad si:

:P

)AP(AP( i

1=i

i

1=i

=)

• (A1) A , P(A) 0• (A2) P(E)=1• (A3) Si Ai i son tales que Ai Aj= i j,

entonces:

A la terna (E, , P) se le denomina espacio probabilístico

15

CONSECUENCIAS DE LOS AXIOMAS

• (1) Si A1,A2 son tales que A1 A2, entonces P(A1) P(A2).• (2) Si A , entonces 0 P(A) 1.• (3) Si A , .• (4) P( ) = 0.• (5) Si A,B son sucesos cualesquiera, entonces

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

• (6) Si son sucesos cualesquiera, entonces:

P(A)=1-P(A)

1 21

1

1 2

...

... 1 ...

n

n i i j

i i j

n

i j k n

i j k

P A A A P A P A A

P A A A P A A A

1, , nA A

16

Regla de Laplace

7. Sea , un espacio muestral finito siendo los

sucesos elementales e incompatibles dos a dos.1 2, ,..., nE A A A

, 1,2,...,iA i n

Supongamos además que:

P(A1) = P(A2)= ... = P(An) =

Entonces subconjunto B , B = A1 ... Ak, con k n se tiene:

P(B) = P(A1) + P(A2) + ...+ P(Ak) =

1

n

n

k

Regla de Laplace (continuación)

17

Esta propiedad se utiliza para calcular probabilidades de sucesos en

espacios muestrales finitos con resultados equiprobables.Se enuncia:

Nº de elementos de Nº de casos favorables al suceso

Nº de elementos de Número de casos posibles

B BP B

E

Ejemplo Consideremos el experimento aleatorio “lanzar un dado”.

Queremos calcular la probabilidad del suceso A = “sacar un número par”. El espacio muestral es , finito y con los resultados equiprobables. El suceso A es:

1,2,3,4,5,6E

2, 4,6A

Nº de elementos de 3

Nº de elementos de 6

AP A

E

189


19

4

2.4. Análisis combinatorio

20

El problema general es contar cuantos grupos de n elementos se pueden formar a partir de un conjunto de m elementos.

Hay que tener en cuenta los elementos que formanel grupo, y si importa o no el orden de los mismos.La segunda cuestión que hay que tener en cuentaes si se puede repetir o no el mismo elemento dentrodel grupo de n elementos.

21

Análisis combinatorio (continuación)

• Variaciones (sin repetición) de m elementos tomados de n en n (n < m): son los grupos de n elementosdistintos que se pueden formar con los m elementosdados, de forma que dos grupos se diferencian en alguno de los elementos o en el orden de los mismos.

• Se representan por o bien por y su número se calcula así:

,m nV n

mV

,

!1 1

!m n

mV m m m n

m n

22


• Combinaciones (sin repetición) de m elementostomados de n en n (n < m): es el número de grupos de n elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos son diferentes sólo si tienen algún elemento distinto.

• Se representan por o bien por y su número se calcula así:

,m nCn

mC

,

1 1 !

! ! !m n

mm m m n mC

nn m n n

23


• Permutaciones (sin repetición) de m elementos:es el número de grupos de m elementos distintos que se pueden formar con los m elementos dados, de forma que dos grupos se diferencian en el orden de los elementos.

• Se representan por y su número se calcula así:

mP

!mP m

24

Análisis combinatorio (continuación)• Las definiciones correspondientes a variaciones,

combinaciones y permutaciones con repetición sonidénticas salvo que no se exige que los elementos dentrode cada grupo sean distintos entre sí. Además en el caso de las variaciones y las combinaciones no tiene que ser n< m porque cada uno de los m elementos se puede repetir hasta n veces.

• El número de cada una de ellas es el siguiente:

,n n

m m nVR VR m

,

1 1 !

!· 1 !n

m m n

m n m nCR CR

n n m

1 , ,

1

!

!· · !kn n

m

k

mPR

n n

25


• En el caso de las permutaciones el total de elementos distintos es k, de los cuales el primero se repite veces, ... , el k-ésimo se repiteveces, de forma que

Cada ni es un número entero mayor o igual que 1.

1 .kn n m1n kn

Ejemplo

26

¿Cuántos números impares distintos de 5 cifras podemos formar con los dígitos 1...9?

• Tendremos un número distinto cada vez que cambie una cifra o cada vez que tengamos una ordenación distinta. Como importa el orden utilizaremos las variaciones. Además cada dígito puede estar más de una vez, luego las variaciones serán con repetición. Para que el número sea impar, el último dígito tiene que ser uno de los 5 dígitos impares. El total será:

4 49 ·5 9 ·5 32805VR

Ejemplo

27

Aplicamos la regla de Laplace.• Casos posibles: permutaciones, ya que siempre colocamos todos

los libros. Las permutaciones son con repetición porque se repiten los libros de Estadística y de Informática.casos posibles:Casos favorables: son las posibles ordenaciones de los tres gruposde libros. Serán P3, ya que los tres grupos son distintos.Probabilidad pedida:

4,510PR

34,5

10

3! 6 110! 5040 8404!·5!

P

PR

Colocamos al azar en una estantería 4 libros de Estadística, 5 de Informática y 1 de Electrónica. Sabiendo que todos los de la mismamateria son iguales entre sí, ¿cuál es la probabilidad de que todos los

de la misma materia estén juntos?

Ejemplo

28

(a) Tenemos un caso favorable, y casos posibles, ya que importa el orden en que salgan las letras. La probabilidad pedida es:

6,4V

6,4

1 1 1

6·5·4·3 360V

• Las seis letras de la palabra MADURO se escriben

en tarjetas, éstas se barajan y a continuación se sacan

cuatro. Calcular:

(a) Probabilidad de que salga la palabra MODA.

(b) Probabilidad de que salgan las letras de la palabra MODA.

(continúa)

29

Ejemplo (continuación)

(b) Los casos posibles son los mismos que en el caso anterior,y los favorables las posibles ordenaciones de las cuatro letras. La

probabilidad es:

4

6,4

4! 24 1

6·5·4·3 360 15

P

V

30

Problema 5

De una caja que contiene 6 bolas negras y 4 rojas se sacan tres bolas, primero sin reemplazamiento y luego con reemplazamiento. Calcular, en ambos casos, la probabilidad de que:

(a) Las tres bolas sean del mismo color.(b) Al menos una sea de cada color.

31

5

32

5

33

2.5. Probabilidad condicionada Ejemplo.

• Consideremos el experimento consistente en extraer una carta de una baraja española y los sucesos A = "extraer figura“ y

B = "extraer rey"

Como el espacio muestral es finito y todos los resultados igualmente probables, aplicando la regla de Laplace se tiene que

y .

Supongamos ahora que se repite el experimento y al extraer la carta se sabe de antemano que es una figura. Este hecho modifica el espacio muestral de manera que ahora solamente hay 12 resultados posibles de los cuales cuatro son favorables. Por tanto,

12

40P A

4

40P B

4sabiendo que ha ocurrido

12P B A

34

Probabilidad Condicionada. Definición.

– Sean A y B dos sucesos de :

La probabilidad de que ocurra "B" sabiendo queha ocurrido "A", se llama probabilidad de B condicionada por A, se designa por P(B/A) y se define:

(*)

por tanto:

P(B A) = P(A) P(B/A)

P(B A)P(B/A)= ,

P(A)

(*) Se demuestra que se trata de una probabilidad.

35

2.6. INDEPENDENCIA DE SUCESOS

En muchas ocasiones:

El que haya ocurrido un determinado suceso no influye sobre la probabilidad de que ocurra otro suceso.

En este caso se dice que los dos sucesos sonsucesos independientes

36

Ejemplo Consideremos nuevamente el experimento de extraer una carta de una baraja española.

Consideremos los sucesos

B = "Sacar un rey"

C = "Sacar un oro“

Si ahora se sabe de antemano que la carta es un oro,la probabilidad de que la carta extraída sea un rey es

la misma que si no se hubiera tenido informaciónprevia.

• Se dice entonces que los sucesos B = “Sacar un rey”y C = “Sacar un oro” son independientes.

1/

10P B C

INDEPENDENCIA DE SUCESOS

37

• Si A,B :

– Se dice que A y B son independientes si P(A/B) = P(A)

De esta definición se deduce que:

•A y B son independientes P(A B) = P(A)P(B)

• Demostración:

• Si A y B son independientes, entonces y, de la definición

de probabilidad condicionada resulta:

P A B P A

P A BP A B P A P A B P A P B

P B

• Recíprocamente, si , sustituyendo en la

definición de probabilidad condicionada tenemos:

P A B P A P B

P A P BP A BP A B

P B P By son independientes.P A A B

38

INDEPENDENCIA DE n SUCESOS

• Sean A1,...,An , se dice que son sucesosindependientes si para toda subcolección

{Ai1,...,Aik} de {A1,...,An}

se verifica que:

P(Ai1 ... Aik) = P(Ai1) ... P(Aik)

39

Ejemplo:

Lanzamos dos dados. Llamamos “resultado alto de un dado” si sale cuatro o más con ese dado y “resultado bajo” en caso contrario. Consideramos los sucesos: • A: “Con el primer dado se obtiene un resultado alto”• B: “Con uno de los dados se obtiene un resultado alto y con el otro bajo”• C: “La suma de los resultados de los dos dados es cinco”.

Estos tres sucesos ¿son independientes?

Ejemplo (continuación)

40

21 1 1 1( ) ,

12 2 2 2P A P B

4 12,3 , 3, 2 , 1, 4 , 4,1

36 9P C P

1

36P A B C

1 1 1

2 2 9P A P B P C

1

36P A C

1 1 1

2 9 18P A P C

Los sucesos A, B, C no son independientes.

Teorema de la probabilidad compuesta

41

Si los sucesos son independientes es posible calcular la probabilidad de la intersección de varios sucesos multiplicando las probabilidades; si no lo son, para calcular dicha probabilidad se utiliza la siguiente regla,llamada regla de la probabilidad compuesta.

• Teorema de la probabilidad compuesta:

Sean A1,...,An ,

1 2

1 2 1 3 1 2 1 1

( ... )

( ). ( / ). ( / )... ( / ... )n

n n

P A A A

P A P A A P A A A P A A A

42

2.6. Teorema de la Probabilidad Total

• Sean los sucesos A1,..., An tales que, forman una partición del espacio muestral E, (es decir, son incompatibles dos a dos y su unión es E). Sea B un suceso cualquiera de y supongamos conocidas , entonces:

P(B) = P(A1)P(B/A1) + ... + P(An)P(B/An)

Tenemos que:B = B E = B (A1 A2 ... An)

B = (A1 B) (A2 B) ... (An B)

Veamos esto a continuación en un gráfico:

( ) y 1,...i iP A P B A i n

43

Gráfico del Teorema de la Probabilidad Total

B = (A1 B) (A2 B) ... (An B)

A1 A3 AnAn-1A2

B

Demostración:

44

B = (A1 B) (A2 B) ... (An B)

Sucesos incompatibles

• Por el axioma (A3):

P(B) = P(A1 B) +...+ P(An B)

• Y utilizando la definición de probabilidad condicionada tenemos:

P(B) = P(B/A1)P(A1) + ... + P(B/An)P(An)

45

Problema 14

Se sacan a la vez dos cartas de una baraja española y a continuación se lanza un dado por cada carta de oros que hubierasalido.

a) Calcular la probabilidad de que los dados sumen cuatro puntos.

b) Sabiendo que el número total de puntos sobre la mesa es 4, calcular la probabilidad de que se hubiera sacado sólo unacarta de oros.

46

Problema 1313

47

2.6. Teorema de Bayes

• En las hipótesis del teorema anterior, las probabilidades "a posteriori" esto es, para un cierto suceso Aj la P(Aj/B) j=1,2, …,n son iguales a:

j jj n

i i

i=1

P(B/ )P( )A AP( /B) =A

P(B/ )P( )A A

resultado que se conoce como: Teorema de Bayes

48

Demostración:

Utilizando la definición de probabilidad condicionada y el Teoremade la Probabilidad Total tenemos:

j j j

j n

i i

i=1

P( B) P(B/ )P( )A A AP( /B)= =A

P(B)P(B/ )P( )A A

49

13

50

PLANTEAMIENTODEL PROBLEMA

OBTENCIÓN DE LA MUESTRA

TRATAMIENTO DE LA INFORMACIÓN

PLANTEAMIENTODEL MODELO

ESTIMACIÓN Y CONTRASTE

CRÍTICA DE RESULTADOS

TEORÍA DE MUESTRAS

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

INFERENCIA ESTADÍSTICA

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