1 Définitions, unités, ordres de grandeur et notions de thermodynamique Quelques définitions fondamentales Thermodynamique : Science de l’énergie. Énergie : Capacité à faire du travail. Travail : Forme d’énergie qui engage le déplacement d’un corps. Action de convertir l’énergie d’une forme à une autre. Chaleur : Forme d’énergie transmise grâce à une différence de température. Puissance : Énergie déployée par unité de temps. Puissance mécanique : Travail par unité de temps. Puissance thermique : Chaleur transmise par unité de temps. Entropie : Mesure du désordre moléculaire d’un système. Taxe imposée par l’univers sur toute transaction énergétique. Exergie : Énergie qui peut être convertie en travail utile. Système thermodynamique: Quantité de matière ou région de l’espace étudiée. Le système est circonscrit par des frontières qui le séparent du milieu extérieur. Le système est dit ouvert lorsqu’un écoulement traverse ses frontières. Le système est dit fermé lorsqu’aucun écoulement ne traverse ses frontières. Le système est dit isolé lorsque ni écoulement, ni énergie (comme de la chaleur) ne traversent ses frontières. État d’un système : Description du système à l’aide de variables macroscopiques observables (pression, température, volume, masse). Évolution : Changement d’un état à un autre. Cycle : Suite d’évolutions d’un système qui revient à son état initial.
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Définitions, unités, ordres de grandeur et notions de thermodynamique
Quelques définitions fondamentales
Thermodynamique : Science de l’énergie.
Énergie : Capacité à faire du travail.
Travail : Forme d’énergie qui engage le déplacement d’un corps. Action de convertir l’énergie d’une forme à une autre.
Chaleur : Forme d’énergie transmise grâce à une différence de température.
Puissance : Énergie déployée par unité de temps.
Puissance mécanique : Travail par unité de temps.
Puissance thermique : Chaleur transmise par unité de temps.
Entropie : Mesure du désordre moléculaire d’un système. Taxe imposée par l’univers sur toute transaction énergétique.
Exergie : Énergie qui peut être convertie en travail utile.
Système thermodynamique: Quantité de matière ou région de l’espace étudiée. Le système est circonscrit par des frontières qui le séparent du milieu extérieur. Le système est dit ouvert lorsqu’un écoulement traverse ses frontières. Le système est dit fermé lorsqu’aucun écoulement ne traverse ses frontières. Le système est dit isolé lorsque ni écoulement, ni énergie (comme de la chaleur) ne traversent ses frontières.
État d’un système : Description du système à l’aide de variables macroscopiques observables (pression, température, volume, masse).
Évolution : Changement d’un état à un autre.
Cycle : Suite d’évolutions d’un système qui revient à son état initial.
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Sources d’énergie, vecteurs énergétiques et formes d’énergie
Sources d’énergie : Soleil, charbon, pétrole, gaz et nucléaire.
Vecteurs énergétiques : Électricité, hydrogène, éthanol, biodiésel, plutonium-238, Uranium-233, etc.
Formes d’énergie : Potentielle, cinétique, chaleur, travail, etc.
Distinction entre énergies primaire, finale et utile
lumière, électronique Pétrole Essence, diésel Mouvement
Exemples de conversion d’énergie d’une forme à une autre
De la chimie De la chaleur De la cinétique
De l’électricité
À la chimie Réaction chimique
Dissociation et ébullition
Électrolyse
À la chaleur Combustion Transmission de chaleur
Frottement Résistance électrique
À la cinétique
Métabolisme, muscles
Dilatation thermique
Engrenages Moteur électrique
À l’électricité
Pile et batterie Thermo électricité
Dynamo et alternateur
Alternateur
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Production de travail avec une différence de potentiel énergétique
Différence de potentiel Machine Fluide Gravitationnel Turbine hydraulique Eau
Thermique Turbine à vapeur Vapeur Chimique Moteur à combustion Essence/air Électrique Moteur électrique Électrons
Production d’une différence de potentiel énergétique avec du travail
Différence de potentiel Machine Fluide Gravitationnel Pompe Eau
Thermique Thermopompe Réfrigérant Mécanique Compresseur Gaz
Potentiel Inférieur
Potentiel Supérieur
Machine Travail produit
Potentiel Inférieur
Potentiel Supérieur
Machine Travail consommé
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Deux lois fondamentales de la thermodynamique
1ère loi : Dans toute évolution, l’énergie totale est conservée. Elle n’est ni produite, ni détruite. Elle est toutefois convertie d’une forme à une autre.
2ème loi : Dans toute évolution, la qualité de l’énergie totale est dégradée.
Exemple : 10 Joules de chaleur à haute température (provenant de la chambre à combustion) sont transmis à un moteur. Le moteur produit 3 Joules de travail (le mouvement du piston) et rejette 7 Joules de chaleur à basse température dans l’environnement. L’énergie totale (10 Joules) est conservée (la 1ère Loi de la thermodynamique). L’énergie est aussi, simultanément, dégradée (la 2ème Loi de la thermodynamique). En effet, les 7 Joules de chaleur rejetés à basse température sont de l’énergie calorifique de piètre qualité. Ils ne peuvent plus être employés pour produire du travail.
1000 𝑁𝑁; Exemple : Poids d’une personne de 75 kg : 75 𝑘𝑘𝑔𝑔 × 10 𝑚𝑚
𝑠𝑠2≈ 750 𝑁𝑁 .
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Pression : (𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓)(𝑠𝑠𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓)
; 1 𝑁𝑁1 𝑚𝑚2 = 1 𝑘𝑘𝑘𝑘∙𝑚𝑚
𝑚𝑚²∙𝑠𝑠²= 1 𝑘𝑘𝑘𝑘
𝑚𝑚∙𝑠𝑠²= 1 𝑃𝑃𝑚𝑚 ; 1 𝑘𝑘𝑁𝑁
1 𝑚𝑚2 = 1𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 ; Autres unités de pression : 1 𝑏𝑏𝑚𝑚𝑟𝑟 = 100 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 ; 1 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟 ≈ 6,9 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚; Pression atmosphérique : 1 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚 = 101,3 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 = 14,7 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑟𝑟 ; Exemple : Pression exercée au sol par une personne de 75 kg dont la surface de contact entre les pieds et le sol est de 2 × 25 𝑎𝑎𝑚𝑚 × 10𝑎𝑎𝑚𝑚 :
𝑃𝑃 = 𝑚𝑚𝑘𝑘𝐴𝐴
=75 𝑘𝑘𝑘𝑘×10𝑚𝑚 𝑠𝑠2�
(2×25𝑓𝑓𝑚𝑚×10𝑓𝑓𝑚𝑚)×10−4𝑚𝑚2
𝑐𝑐𝑚𝑚2
= 15000 𝑁𝑁𝑚𝑚2 = 15000 𝑃𝑃𝑚𝑚 = 15 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 ;
Exemple : Pression effective dans un pneu de voiture ~ 200 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 ; Pression absolue dans le pneu de voiture ~ 200 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 + 101 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚 ≈ 300 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚; La pression atmosphérique est de 101 𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚. Énergie : (𝑓𝑓𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑚𝑚) × (𝑙𝑙𝑟𝑟𝑟𝑟𝑔𝑔𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙𝑟𝑟) ; 1 𝑁𝑁 × 1 𝑚𝑚 = 1 𝑁𝑁 ∙ 𝑚𝑚 = 1 𝐽𝐽; 1 𝑘𝑘𝑁𝑁 ×1 𝑚𝑚 = 1 𝑘𝑘𝐽𝐽 ; Autres unités d’énergie: 1 𝑘𝑘𝑘𝑘ℎ = 1000 𝐽𝐽
Note 3 : ∆℃ = ∆𝐾𝐾 ; Note 4 : Propriétés approximatives de deux fluides couramment utilisés: Air
Masse volumique à 1 atm et 300 K 1,2 kg/m³ Chaleur massique à pression constante à 300 K 1,005 kJ/(kgK) Chaleur massique à volume constant à 300 K 0,718 kJ/(kgK)
Constante du gaz 0,287 kJ/(kgK) Température critique 133 K
Chaleur latente de fusion à 273 K 334 kJ/kg Chaleur latente d’évaporation à 373 K et 101
kPa 2 257 kJ/kg
Température critique 647 K Pression critique 22 MPa
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Utilisation des unités dans les formules : Recommandation!
Exemple de l’équation des gaz parfaits :
𝑃𝑃𝑉𝑉 = 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚
(𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚) ∙ (𝑚𝑚3) = (𝑘𝑘𝑔𝑔) ∙ (? ) ∙ (𝐾𝐾)
Pour que le membre de gauche soit égal au membre de droite, les unités de la constante 𝑚𝑚 dans cette relation doivent forcément être:
(𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚) ∙ (𝑚𝑚3)(𝑘𝑘𝑔𝑔) ∙ (𝐾𝐾) =
(𝑘𝑘𝐽𝐽)(𝑘𝑘𝑔𝑔) ∙ (𝐾𝐾)
et NON (𝑘𝑘𝐽𝐽)(𝑘𝑘𝑚𝑚𝑓𝑓𝑘𝑘)∙(𝐾𝐾)
. Voir la Table A.1 à la page 783 du livre
Thermodynamique, une approche pragmatique. Il est donc fortement recommandé de toujours inscrire les unités dans les formules.
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Interpolation linéaire (triangles semblables)
Exemple : Le prix des miches de pain est une fonction de leur masse et de leur volume:
Volume : 1 L
Masse (g)
Prix ($)
200 1,0 400 1,8 600 2,6
Volume : 2 L
Masse (g)
Prix ($)
400 2,0 600 3,0 800 3,8
1. Déterminez le prix d’une miche de pain de 350 grammes et de 1 litre.
Triangles semblables : 𝐴𝐴𝐵𝐵
= 𝑠𝑠𝑏𝑏→ (1,8−1,0)
(400−200)= (𝑃𝑃1−1,0)
(350−200)→ 𝑃𝑃1 = 1,60 $
400200
1,0
1,8
Masse (g)350
Prix ($)
B
Aa
b
P1
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2. Déterminez maintenant le prix d’une miche de pain de 450 g et de 1,4 litres.
Interpolation linéaire à 450 g et 1 L : 𝑃𝑃1 = 2,00 $
Interpolation linéaire à 450 g et 2 L : 𝑃𝑃2 = 2,25 $
Masse : 450 g
Volume (L)
Prix ($)
1,0 𝑃𝑃1 = 2,00 1,4 𝑃𝑃3 =? 2,0 𝑃𝑃2 =2,25
Interpolation linéaire à 1,4 L et 450 g : 𝑃𝑃3 =2,10 $
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Intégrale
L’évolution quasi-statique d’un système fermé circonscrit par un piston/cylindre est représentée dans le graphique 𝑃𝑃 − 𝑉𝑉 suivant :
Le travail 𝑘𝑘 fait par le système est estimé à l’aide de l’expression 𝑘𝑘 =∫ 𝑃𝑃 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑉𝑉2𝑉𝑉1
On peut évaluer cette intégrale de deux façons différentes :
Approche mathématique (rigoureuse)
Pour réaliser l’intégrale, il faut connaître la relation entre 𝑃𝑃 et 𝑉𝑉. Dans ce cas-ci, la relation est linéaire :
𝑃𝑃 = 𝑚𝑚𝑉𝑉 + 𝑏𝑏
où 𝑚𝑚 = (𝑃𝑃2−𝑃𝑃1)(𝑉𝑉2−𝑉𝑉1)
(la pente) et 𝑏𝑏 = 𝑃𝑃1𝑉𝑉2−𝑃𝑃2𝑉𝑉1(𝑉𝑉2−𝑉𝑉1)
(l’ordonnée à l’origine). Alors
l’intégrale devient :
𝑘𝑘 = � 𝑃𝑃 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑉𝑉2
𝑉𝑉1= � (𝑚𝑚𝑉𝑉 + 𝑏𝑏) ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉
𝑉𝑉2
𝑉𝑉1=𝑚𝑚2
(𝑉𝑉22 − 𝑉𝑉12) + 𝑏𝑏(𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1)
=12
[𝑉𝑉2(𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2) − 𝑉𝑉1(𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2)]
Pression (kPa)
Volume (m³)
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Approche géométrique (plus rapide)
𝑘𝑘 = ∫ 𝑃𝑃 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑉𝑉2𝑉𝑉1
= Aire sous la courbe = (Aire du rectangle) + (Aire du
triangle)
soit
𝑘𝑘 = � 𝑃𝑃 ∙ 𝑑𝑑𝑉𝑉𝑉𝑉2
𝑉𝑉1= 𝑃𝑃1(𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1) +
12
(𝑉𝑉2 − 𝑉𝑉1)(𝑃𝑃2 − 𝑃𝑃1)
=12
[𝑉𝑉2(𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2) − 𝑉𝑉1(𝑃𝑃1 + 𝑃𝑃2)]
Les unités du travail 𝑘𝑘 sont des (𝑘𝑘𝑃𝑃𝑚𝑚) ∙ (𝑚𝑚3) = (𝑘𝑘𝐽𝐽).
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Dérivée et optimisation
𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑
(𝑥𝑥𝑛𝑛) = 𝑟𝑟𝑥𝑥𝑛𝑛−1 et 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑�𝑓𝑓𝑘𝑘� = 𝑓𝑓′𝑘𝑘−𝑘𝑘′𝑓𝑓
𝑘𝑘2 où 𝑓𝑓 et 𝑔𝑔 sont des fonctions de 𝑥𝑥 et
𝑓𝑓′ et 𝑔𝑔′ sont leurs dérivées.
Exemple : Déterminez le rayon 𝑟𝑟𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡 et la hauteur ℎ𝑓𝑓𝑡𝑡𝑡𝑡 d’un réservoir cylindrique qui minimisent sa surface extérieure 𝑆𝑆. Le volume du réservoir 𝑉𝑉 est fixe.
Le volume du réservoir est donné par
𝑉𝑉 = 𝜋𝜋𝑟𝑟2ℎ (1)
𝑟𝑟 est le rayon et ℎ est la hauteur. La surface extérieure du réservoir est de
𝑆𝑆 = 2𝜋𝜋𝑟𝑟2 + 2𝜋𝜋𝑟𝑟ℎ (2)
Substituons (1) dans (2) pour éliminer la variable ℎ :
extérieure d’un réservoir cylindrique, il faut que sa hauteur soit égale à son diamètre. Par exemple, pour minimiser les pertes de chaleur d’un chauffe-eau électrique cylindrique (et donc minimiser sa consommation d’électricité), il faut l’enrober d’un isolant et égaler sa hauteur au diamètre. Prenez les dimensions du chauffe-eau électrique dans votre logement. Que constatez-vous? Expliquez.