DETERMINANTEN Die Determinante einer (n × n)-Matrix kann folgendermaßen berechnet werden: n =1: det (a 11 )= a 11 n =2: det a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 - a 12 a 21 n =3: det a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 31 a 12 a 23 - -a 13 a 22 a 31 - a 21 a 12 a 33 - a 11 a 32 a 23 Allgemein (für jedes n gültig): det A = n k=1 a ik (-1) i+k det A ik i ist ein beliebiger Zeilenindex A ik . . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k -te Spalte gestrichen werden. – Typeset by Foil T E X – 56
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DETERMINANTEN
Die Determinante einer (n× n)-Matrix kann folgendermaßen berechnet werden:
n = 1 : det (a11) = a11
n = 2 : det(
a11 a12
a21 a22
)= a11a22 − a12a21
n = 3 : det
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23−−a13a22a31 − a21a12a33 − a11a32a23
Allgemein (für jedes n gültig):
det A =n∑
k=1
aik(−1)i+k det Aik i ist ein beliebiger Zeilenindex
Aik. . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spaltegestrichen werden.
– Typeset by FoilTEX – 56
Geometrische Interpretation der Determinante einer2× 2-Matrix
T1 =
T2 =
T3 =
T =
T . . . der Flächeninhalt des von den Vektoren(ab
)und
(cd
)aufgespannten Parallelo-
gramms
– Typeset by FoilTEX – 57
Determinanten von 3x3 Matrizen (Regel von Sarrus)
Die Determinante von A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
ist definiert als
det(A) = a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a21a12a33−a11a32a23 .
∣∣∣∣∣∣2 2 −14 0 20 6 −3
∣∣∣∣∣∣ =
– Typeset by FoilTEX – 58
Eigenschaften von Determinanten
– Typeset by FoilTEX – 59
Geometrische Demonstration der Eigenschaft C
Wenn alle Elemente in einer einzelnen Zeile (oder Spalte) von A mit ei-ner Zahl α multipliziert werden, wird die Determinante mit α multipliziert.
– Typeset by FoilTEX – 60
Geometrische Demonstration der Eigenschaft F
Der Wert der Determinante von A bleibt unverändert, wenn das Vielfache einerZeile (oder einer Spalte) zu einer anderen Zeile (oder Spalte) von A addiert wird.
– Typeset by FoilTEX – 61
Determinanten von (n× n)-Matrizen (Entwicklungssatzvon Laplace)
Entwicklung nach einer Zeile:
det A =n∑
k=1
aik(−1)i+k det Aik i ist ein beliebiger Zeilenindex
Entwicklung nach einer Spalte:
det A =n∑̀=1
a`j(−1)`+j det A`j j ist ein beliebiger Spaltenindex
Aik. . . Matrix, die entsteht, wenn in der Matrix A die i-te Zeile und die k-te Spaltegestrichen werden.
Der Ausdruck (−1)i+j detAij wird auch als Co-Factor Cij bezeichnet:
Cij := (−1)i+j · det Aij
– Typeset by FoilTEX – 62
Entwicklungssatz mit Co-Faktoren
Unter Verwendung von Co-Faktoren vereinfachen sich die Formeln des Entwicklungssat-zes zu:
det A =n∑
k=1
aikCik = ai1Ci1 + ai2Ci2 + · · ·+ ainCin
bzw.
det A =n∑̀=1
a`jC`j = a1jC1j + a2jC2j + · · ·+ anjCnj
Sei A =
a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...an1 an2 . . . ann
, dann ist der Co-Faktor Cij von A gegeben
durch:
– Typeset by FoilTEX – 63
Ein Beispiel:
det
2 −1 0 0 10 2 0 0 −3
−1 2 1 0 02 1 6 3 10 2 1 0 1
=
– Typeset by FoilTEX – 64
Determinanten von Dreiecksmatrizen
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 2 4 20 5 1 3 10 0 3 0 30 0 0 4 20 0 0 0 6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
Allgemein gilt:
Ist A = (aij)n×n (a) eine obere oder (b) eine untere Dreiecksmatrix oder (c) eineDiagonalmatrix, dann ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente:
det(A) = a11× . . .×ann
– Typeset by FoilTEX – 65
Berechnung der Determinante unter Nutzung des Satzesfür Dreiecksmatrizen
Eine beliebige (n × n)-Matrix kann unter Verwendung der Operationen, welche beimGauss-Algorithmus verwendet werden, zu einer Dreiecksmatrix umgeformt werden. Dabeiwird der Wert der Determinante dieser Matrix verändert:
Eigenschaften von Determinanten C,D,F (S. 59)
Diese Veränderungen müssen am Ende bei der Berechnung der Determinante berück-sichtigt werden.
– Typeset by FoilTEX – 66
Ein Beispiel2 −1 2 1 0
−6 3 −7 −2 1−2 1 1 1 1
1 2 0 1 42 1 2 2 3
2 −1 2 1 00 0 −1 1 10 0 3 2 10 5 −2 1 80 2 0 1 3
2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 5 −2 1 80 0 −1 1 1
2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 0 −4 −3 10 0 −1 1 1
2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 0 0 −1 70 0 0 5 4
2 −1 2 1 00 2 0 1 30 0 3 2 10 0 0 −1 70 0 0 0 39
– Typeset by FoilTEX – 67
Determinanten von Blockmatrizen
M =
A B
C D
=
a11 . . . . . . a1m b1,1 . . . b1n... ... ... ...... ... ... ...... ... ... ...
am1 . . . . . . amm bm1 . . . bmn
c1,1 . . . . . . c1m d11 . . . d1,n... ... ... ...
cn1 . . . . . . cnm dn,1 . . . dn,n
,
A . . .m×mB . . . m× nC . . . n×mD . . . n× n
Gilt B = 0 oder C = 0, dann ist det(M) = det(A) det(D).
Also: det
A 0
C D
= det
A B
0 D
= det(A) det(D).
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... und noch ein Determinanten-Beispiel
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
7 −3 −1 523 0 0
0 −2 41 −1004 0 0
0 0 3 −123 0 0
0 0 0 −1 0 0
−75 798 164 24 −5 −1
64 46 −92 −2345 7 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
– Typeset by FoilTEX – 69
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