Determinação da Latitude e da Declinação R. Boczko IAG-USP 11 05 06
Determinação da Latitude e da
DeclinaçãoR. Boczko
IAG-USP110506
Latitudee Longitude
PN
PS
Equador
Greenwich
Pólo Sul
Movimento noturno aparente olhando ao Sul
Sul
OesteLeste
20 horas
22 horas
24 horas
Latitude AustralZ
N S
W Equador
PS
E
Movimento noturno aparente olhando ao Norte desde o HS
Norte
LesteOeste
Leão
20 horas
22 horas
24 horas
Movimento noturno aparente de uma estrela circumpolar norte
Norte
LesteOeste
Pólo Norte
Latitude BorealZ
PN
Nadir
N S
L
W
PS
PS
Equador
PN
Latitude astronômica e/ou geográfica
PN
PS
Equador
Horizonte
Zênite
G
A
HorizonteA
A = G
x
hPN
= - hPS
Trajetórias diurnas das
estrelas
Trajetórias diurnas
paralelas
Eixo derotação
Equador
PNC
PSC
PN
PS
N
L
Coordenadas Horárias e EquatoriaisZ
PN
H
p
W
M
Tipos deMeridianos
Horizonte
Zênite
Nadir
N S
MeridianoZenital
MeridianoNadiral
Z
Z
Horizonte
PV
PI
Meridiano
Superior
Meridiano
Infe
riorZ
N S
E
W
Nadir
Horizonte
Latitude locale
Declinação da estrelaatravés de
passagens meridianas(Método geométrico)
Latitude e declinação no HN
N
LesteOeste
PN
CS
CI
hs
hp
hi
p
hp = (hs + hi) / 2
hp
p = (hs - hi) / 2
= 900 - p
Se a culminação superior se
der ao sul do zênite:
hs = 1800 - hCS
N S
Z
hs hCS
PN
Equador
PN
p
Latitude e declinação no HS
S
OesteLest
e
PS
CS
CI
hs
hp
hi
r
hp = (hs + hi) / 2
= - hp
r = (hs - hi) / 2
= - (900 - r)
Equador
PN
r
PS
Se a culminação superior se der ao norte do zênite:
hs = 1800 - hCS
SN
Z
hshCS
PS
Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de passagens
meridianas
P
CS
CI
No Verão, quando a noite é curta, o
processo não funciona pois não se pode ver as 2
culminações meridianas num
mesmo dia.
Obtenção do pólo visível através de
culminações
Obtenção do pólo norte com Culminações
SN
Z
Horizonte
Equador
CS
CI
M
PN
Obtenção do pólo sul com Culminações
N S
Z
Horizonte
Equador
CS
CI
M
PS
Latitude locale
Declinação da estrelaatravés de
passagens meridianas(Método algébrico)
Culminações ou passagens
meridianas
Culminação ou passagem meridiana
Z
PN
Na passagemmeridianasuperior:
H 0.
Horizonte
Equador W
S
Na passagemmeridianainferior:H 180o.
L
PS
M
Passagens meridianas no HN
Z
PN
Horizonte
Equador W
S
L
Na passagemmeridianasuperior:
H 0.
Na passagemmeridianainferior:
H 180o.
PSObservador no Hemisfério Norte
N
M
Passagens meridianas no HS
Z
PS
Horizonte
EquadorW
N
L
Na passagemmeridianasuperior:
H 0.
Na passagemmeridianainferior:
H 180o.
PN
S
Observador no Hemisfério Sul
M
Convenção de sinais na passagem meridiana
N S
Z
Horizonte
Z < 0Z > 0
Z: positivo ao norte do zênite
Z: negativo ao sul do zênite
Z
N S
E
W
Nadir
Horizonte
Culminações no HN
SN
Z
Horizonte
Zi
-Zs
PN
Equador
Culminação superior
-zs = –
zs = -
Culminação inferior
+ zi + = 180o
zi = 180o - -
Latitude e declinação no HNzs = -
zi = 180o - -
Somando membro a membro
zi + zs = 180o - 2
= +90o – (zi + zs) / 2
Subtraindo membro a membro
zi - zs = 180o - 2
= +90o – (zi - zs) / 2
Obtenção da latitude local
Obtenção da declinação do astro
Culminações no HS
N S
Z
Horizonte
-Zi
+Zs
PS
Equador
--
-
-
Culminação superior
zs = (-) – (-)
zs = -
Culminação inferior
(-) + (-zi) + (-) = 180o
zi = -180o - -
Latitude e declinação no HSzs = -
zi = -180o - -
Somando membro a membro
zi + zs = -180o - 2
= -90o – (zi + zs) / 2
Subtraindo membro a membro
zi - zs = -180o - 2
= -90o – (zi - zs) / 2
Obtenção da latitude local
Obtenção da declinação do astro
Latitude e declinação
= +90o – (zi + zs) / 2 = +90o – (zi - zs) / 2
Hemisfério Norte
Hemisfério Sul
= -90o – (zi + zs) / 2 = -90o – (zi - zs) / 2
Fórmulas gerais = 90o – (zi + zs) / 2 = 90o – (zi - zs) / 2
+ : observador no HN- : observador no HS
+ : astro no HN- : astro no HS
Latitude e declinaçãoEnunciado:
Um observador vê uma estrela X girando em torno de um ponto no sentido horário. Na culminação superior X está a 20o ao norte do
zênite; na passagem inferior, X se encontra a 70o ao sul do zênite. Determine [a] o hemisfério do observador [b] a latitude
astronômica do observador [c] a latitude geográfica do local [d] a declinação da estrela X.
Pólo Sul
Sul
Oeste
Leste
Sentido horário
Hemisfério Sul
zs = +20o
zi = -70o = 90o – (zi + zs) / 2
+ : observador no HN- : observador no HS
= - 90o – (zi + zs) / 2
= - 90o – ([-70] + [+20]) / 2
= - 90o – (- 50) / 2
= - 90o + 25
Ast= Geo = - 65o
= 90o – (zi - zs) / 2
+ : astro no HN- : astro no HS
= - 90o – (zi - zs) / 2
= - 90o – ([-70] - [+20]) / 2
= - 90o – (- 90) / 2
= - 90o + 45
= - 45o
Determinação do centro e do raio de
uma circunferência
Determinação do centro O e do raio R de uma circunferência
A
B
C
MMediatriz N
Mediatriz
O
R = OA = OB = OC
Equação de uma circunferência de centro (xc,yc) e raio R
x
y
O
CyC
xC
R
(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
Circunferência dada por 3 pontos
y1
y2
yC
y3
x1 x2 xC x3
r
C
O x
y
Como obter o xc e yc do centro da circunferência(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2
(x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2
(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2
Igualar:
(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 k (x12 - x2
2 + y12 - y2
2) / 2
yc = [k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2)
(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = (x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 q (x32 - x2
2 + y32 - y2
2) / 2
yc = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2)
Igualar:
[k - (x1 - x2) xc ] / (y1 - y2) = [q - (x3 - x2) xc ] / (y3 - y2)
xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D
D (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2)
xc = [k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2)
xc = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2)
[k - (y1 - y2) yc ] / (x1 - x2) = [q - (y3 - y2) yc ] / (x3 - x2)
yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D
Obter o centro e o raio da circunferência
(x - xc)2 + (y - yc)2 = R2
(x1 - xc)2 + (y1 - yc)2 = R2
(x2 - xc)2 + (y2 - yc)2 = R2
(x3 - xc)2 + (y3 - yc)2 = R2
Sejam:
k = (x12 - x2
2 + y12 - y2
2) / 2
q = (x32 - x2
2 + y32 - y2
2) / 2
xc = [ q (y1 - y2) - k (y3 - y2) ] / D
D = (x3 - x2) (y1 - y2) - (x1 - x2) (y3 - y2)
yc = [ k (x3 - x2) - q (x1 - x2) ] / D
R2 = (x1 - xc)2 + (y1 - yc)2
Meridiano Local, Latitude local
eDeclinação da estrela
através de 3 observações
Meridiano, Latitude e Declinação no HS
OesteLeste
PS
h3
hph1
rh2
a1
a2
ap a3S
Mira
Meridiano, Declinação e Latitude
y1
y2
ypy3
P
x1x2
xp x3
Do céupara o papel
G --> Cai --> xi
G --> Chi --> yi
r’
Do papelpara o céu
C --> Gxp --> ap
C --> Gyp --> hp
= - hp
C --> Gr’ --> r
= - (90 - r)
C (cm)
G (graus)
Escala
Restrições à determinação da Latitude e da Declinação através de 3 medidas
PA estrela não
pode estar muito afastada do pólo
O local não pode estar muito afastado do
equador
Astronomia a serviço da polícia
Ângulo entre o equador e o horizonte
N S
Ângulo entre o equador e o plano
do horizonte: 90o -
Z
PS
WEquador
E Nascer
Ocaso
90-
90-
90-
90-
90-
Nascer do Sol
HorizonteN S
Visto por um observadorno Hemisfério Sul
L
HorizonteN S
Visto por um observadorno Hemisfério Norte
L
Observador no Hemisfério NorteOeste
Leste
SulNorte
Oeste
Leste
SulNorte
Observador no Hemisfério Sul
Ocaso do Sol
HorizonteS N
Visto por um observadorno Hemisfério Sul
W
HorizonteS N
Visto por um observadorno Hemisfério Norte
W
Observador no Hemisfério NorteOeste
Leste
SulNorte
Observador no Hemisfério SulOeste
Leste
SulNorte
Seqüestradores distraídos
900-
Mapa do crime!
Cativeiro dentro desse círculo
Local do seqüestro
Tempo sideral
Tempo sideralZ
PN
TS = H
Horizonte
Equador W
STS
Tempo sideral é o ângulo horário do
ponto
M
Determinação daAscensão Reta
Ascensão reta com passagem meridianaZ
PN
H
TS = HTS = + H
Na passagemmeridianasuperior:
H = 0.
Logo:
= TSPMS
Horizonte
Equador W
S
M
Fim