Detecção de Correlação entre Séries Temporais Utilizando ... · análise de Espectro Cruzado Wavelet, ou Wavelet Cross Spectrum (WCS) e Coerência Wavelet, ou Wavelet ... mesma

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Detecção de Correlação entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência

Wavelet.

Marcus V M Varanis 1, Robson Pederiva

2

1 Unicamp, Campinas, Brasil, [email protected]

2 Unicamp, Campinas, Brasil, [email protected]

Resumo: O principal objetivo deste trabalho é aplicar a análise de Espectro Cruzado Wavelet, ou Wavelet Cross Spectrum (WCS) e Coerência Wavelet, ou Wavelet Coherence (WC), para estudar a semelhança e correlação entre dois sinais com relação a tempo e escalas. Palavras-Chave: Espectro Cruzado Wavelet, Coerência Wavelet, Séries Temporais

1. INTRODUÇÃO

Existem vários métodos convencionais para detecção e analise de semelhança entre sinais e ou séries temporais. Estes métodos podem ser utilizados no domínio do tempo ou no domínio da freqüência. Entretanto, mostram-se ineficientes quando aplicado na análise de sinais ou series de natureza não-estacionária [4]. A limitação desses métodos na análise de sinais não-estacionários possibilitou o desenvolvimento de diversas técnicas de processamento de sinais como tempo-freqüência (Transformada Rápida de Fourier) e tempo-escala (Transformada Wavelet). A Transformada de Wavelet (WT) é um método efetivo para o processamento de sinais e analise de séries temporais do tipo estacionários e não-estacionários [4,5]. A partir dos estudos da Transformada Wavelet foram desenvolvidos o método do Espectro Cruzado Wavelet (Wavelet Cross Spectrum) e a Coerência Wavelet (Wavelet Coherence) [8].

Este trabalho mostra a aplicação das técnicas de Espectro

Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet na detecção de semelhanças entre dois sinais. Para isto, faz-se um estudo comparativo através de sinais simulados computacionalmente.

2. ESPECTRO CRUZADO WAVELET E COERENCIA WAVELET

A transformada wavelet continua de uma função f(t) é definida como a convolução entre f é a função de dilatação ψ chamada de Wavelet Mãe [4].

dta

bttf

abaW f )()(

1),( *

∫∞

∞−

−= ψ (1)

Onde a é o parâmetro de dilatação que tem papel semelhante à freqüência na análise de Fourier, e b é o parâmetro de translação que corresponde à posição da wavelet no espaço [1].

O espectro cruzado wavelet, definido para cada sinal, é

caracterizado pelo módulo e pela fase da transformada wavelet continua obtida utilizando valores complexos [1,3]. Para examinar a relação entre os dois sinais no plano de escala e tempo, define-se o Espectro Cruzado Wavelet como:

),(),(),( baCybaCxbaCxy = (2)

Onde Cx(a,b) e Cy(a,b), representam a transformada

wavelet continua de cada um dos sinais ou séries. O produto apresentado na equação (2) possibilita traçar o gráfico de |Cxy(a,b)|2 [6], o qual resulta em um escalograma, onde torna-se possível a visualização de eventos coincidentes sobre as escalas e freqüências, em cada instante de tempo para os sinais x e y.

Neste trabalho, utilizou-se a coerência wavelet que tem a mesma forma da função de coerência baseado em Fourier definida em [1], sabe-se que esta pode apresentar valores em módulo entre 0 e 1, quanto mais próximo do valor de 1, maior é a correlação entre os sinais. Desta forma a Coerência Wavelet pode ser escrita como mostrada na equação (3):

),(),(

),()),((

2

2

baCyybaCxx

baCxybaC = (3)

A Transformada Wavelet, o Espectro Cruzado Wavelet

permitem representar um sinal ou uma série temporal por meio de um diagrama tempo-freqüência, conhecido como escalograma [4], no qual os coeficientes são representados por meio de intensidade de cores, a cor azul significa menor intensidade do coeficiente wavelet ou energia e a cor vermelha representa maior intensidade dos coeficientes wavelet ou energia.

E o escalograma de coerência é definido como [1,6]:

Detecção de Correlação Entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet Marcus V M Varanis, Robson Pederiva.

2

dttbayCtbaCxa

baC

t

t

xy ),(*),(1

),( ++= ∫∆−

∆−

(4)

3. ANÁLISE

Para entendimento do procedimento de calculo, inicialmente fez-se a simulação de dois sinais de função seno, defasados de π/4, as funções geradoras dos sinais são apresentadas nas equações (5) e (6), em seguida calculou-se a Transformada Wavelet continua, o Espectro Cruzado Wavelet e a Coerência Wavelet, posteriormente os escalogramas e gráficos. Com relação à Wavelet Mãe, utilizou-se a Wavelet de Morlet.

Os procedimentos acima foram utilizados para todas as

simulações apresentadas neste trabalho.

)16sin( tx π= (5)

)4

16sin(π

π += ty (6)

Na figura 1 apresentam-se os sinais x e y no domínio do tempo, e também os escalogramas resultantes da Transformada Wavelet dos sinais x e y. É possível notar que ambos os sinais apresentam valor de escala por volta de 105, durante todo o tempo de analise dos sinais, o que já se esperava em função dos sinais x e y terem a mesma freqüência fundamental.

Figura. 1. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da

CWT.

Na Figura 2 apresenta-se a sobreposição dos sinais no domínio do tempo e o escalograma resultante do calculo do Espectro Cruzado Wavelet (WCS), novamente mostra-se a coincidência do valor de escala durante toda a duração dos sinais.

Figura. 2. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS.

Na figura 3 apresenta-se o gráfico de Coerência Wavelet (WC), como já citado, assim como na função coerência baseada na analise de Fourier, pode apresentar valores entre 0 e 1, quanto mais próximo do valor de 1, maior é a correlação entre os sinais. É possível notar na figura 3 que os sinais x e y apresentam coerência 1, ou valor muito próximo, durante todo o tempo dos sinais.

Figura. 3. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.

Na simulação seguinte utilizaram-se os mesmos sinais apresentados nas equações (5) e (6), porem, adicionou-se um ruído branco a ambos.

Percebe-se que tanto no escalograma da Transformada Wavelet, apresentado na figura 4, quanto no escalograma do Espectro Cruzado Wavelet, que é possível detectar o mesmo valor de escala dos sinais sem a adição do ruído branco.

Figura. 4. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da

CWT.

Figura. 5. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS.

Nessa simulação a Coerência Wavelet entre os sinais, apresenta variação grande ao longo do tempo, isso deve-se ao fato da adição do ruído branco aos sinais x e y.

Figura. 6. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.

Na simulação a seguir utilizou-se o sinal apresentado na equação (5) e um chirp quadrático apresentado na equação (7).

)256sin( 2ty π= (7)

Na figura 7 onde são apresentados os sinais temporais e os escalogramas da Transformada Wavelet, percebe-se que visualmente já não é possível afirmar que exista semelhança entre os sinais. Porém quando aplica-se o Espectro Cruzado Wavelet, é possível ver que no intervalo de 0 a 200 s, existe forte semelhança entre suas escalas, como mostrado na figura 8.

3

Figura. 7. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da

CWT.

Figura. 8. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS.

A análise feita via Coerencia Wavelet, é possível verificar existência de correlação entre os sinais entre 0 e 1200 segundos, aproximadamente. A diferença que existente nos valores das duas análises, deve-se ao fato da dificuldade de visualização de escalas de baixo valor do sinal defino pela equação (7).

Figura. 9. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.

Nesta ultima simulação utiliza-se o sinal descrito pela equação (5) e um sinal complemente aleatório. Na figura 10 observa-se os sinais no domínio do tempo e os escalogramas da Transformada Wavelet Continua. Nota-se que pela análise visual dos escalogramas não é possível estabelecer qualquer correlação entre os sinais analisados.

Figura. 10. Sinais temporais x e y e seus respectivos escalogramas da

CWT.

Já a análise feita via Espectro Cruzado Wavelet, apresentado na figura 11, indica-se a existência de correlação entre os sinais entre 0 e 200 segundos e também no final da descrição dos sinais por volta de 1900-2000 segundos.

Figura. 11. Sinais x e y sobrepostos e escalograma da WCS

A análise feita via Coerencia Wavelet, é possível verificar existência de correlação entre os sinais entre 0 e 400 segundos e também no final da descrição dos sinais por volta de 1700-2000 segundos, aproximadamente.

Figura. 12. Gráfico de Coerência Wavelet entre sinais x e y.

3. CONCLUSÃO

Este trabalho apresentou as técnicas de Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet para detecção de semelhanças ou correlação entre sinais ou séries temporais, principalmente para sinais não-estacionários. Os resultados mostram que as aplicações de tais técnicas são eficientes, como demostrado através de simulações computacionais, feitas em Matlab.

Em alguns casos notou-se que visualmente existe uma

diferença grande entre a análise de Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet, como citado anteriormente, isso deve-se ao fato de existir dificuldade na visualização de escalas de baixo valor através do escalograma.

A eficiência dos métodos utilizados esta fortemente

vinculada a escolha da Wavelet Mãe, um estudo mais detalhado sob esta pode ser vista em [9].

Detecção de Correlação Entre Séries Temporais Utilizando Espectro Cruzado Wavelet e Coerência Wavelet Marcus V M Varanis, Robson Pederiva.

4

Um próximo passo testar a essa abordagem com sinais

reais, provenientes de um sistema mecânico, por exemplo. Também pode-se testar a aplicação do método a séries temporais como dados de bolsa de valores e dados climáticos.

Poderia também criar um classificador para analise dos resultados.

AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem ao Capes pelo apoio financeiro.

REFERENCIAS

[1] D. Labbat, “Recent advances in wavelet analyses: Part 1. A review of concepts,” Journal of Hydrology

Volume 314, Issues 1-4, Pages 275-288, 25 November 2005.

[2] C. Torrence, G. Compo, “A Practical Guide to Wavelet

Analysis,” Bulletin of the American Meteorological Society, 79 pp. 61-78, 1998.

[3] A. Grinsted, J. C. Moore, S. Jevrejeva, “Application of the cross wavelet transform and wavelet coherence to geophysical time series,” Nonlinear Processes in Geophysics, Vol. 11, November 2004.

[4] S.G.MALLAT “A Wavelet Tour of Signal Processing: The Sparse way”, Academic Press, San Diego, USA, 2009.

[5] I. Daubechies, “Ten Lectures on Wavelets,” Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1992.

[6] J. Bigot, M. Longcamp, F. Dal Maso and D. Amarantini, “new statistical test based on the wavelet cross-spectrum to detect time–frequency dependence between non-stationary signals: Application to the analysis of cortico-muscular interactions,” NeuroImage, Volume 55, Issue 4, Pages 1504-1518, 15 April 2011.

[7] X. Rodó, M. Àngel R. Arias, “A new method to detect transitory signatures and local time/space variability structures in the climate system: the scale-dependent correlation analysis,” CLIMATE DYNAMICS Volume 27, Number 5, 441-458, June 2006.

[8] M. I. Plett, “Transient Detection With Cross Wavelet

Transforms and Wavelet Coherence,” Signal Processing, IEEE Transactions on, 1605-1611, May 2007.

[9] R. C. Guido, “A note on a practical relationship

between filter coefficients and scaling and wavelet functions of Discrete Wavelet Transforms,” Applied Mathematics Letters, Volume 24, Issue 7, Pages 1257-1259, July 2011.