UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN AGUSTN
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CONTENIDO
1.Introduccin32.Despacho econmico sin considerar las prdidas de
la red32.1.Formulacin del problema32.2.Solucin sin considerar
lmites de generacin42.3 Solucin considerando los lmites en las
potencias generadas83.Despacho econmico considerando las prdidas en
la red103.1.Formulacin del problema113.2.Solucin sin considerar
lmites de generacin113.3.Solucin considerando los lmites de
generacin133.4.Clculo de las prdidas en la red154.Despacho econmico
ambiental en sistemas trmicos184.1.Despacho econmico184.1.1.Funcin
objetivo en sistema trmico184.1.2.Restricciones194.2.Despacho
econmico ambiental194.3.Mtodo propuesto204.3.1.Algoritmo de
solucin21
1. Introduccin La operacin econmica de los Sistemas de Potencia
es muy importante para recuperar y obtener beneficios del capital
que se invierte. Las tarifas que fijan las instituciones
reguladoras y la importancia de conservar el combustible presionan
a las compaas generadoras a alcanzar la mxima eficiencia posible,
lo que minimiza el costo del kWh a los consumidores y tambin el
costo que representa a la compaa esta energa. La operacin econmica
que involucra la generacin de potencia y el suministro, se puede
subdividir en dos partes: una, llamada despacho econmico, que se
relaciona con el costo mnimo de produccin de potencia y otra, la de
suministro con prdidas mnimas de la potencia generada a las cargas.
Para cualquier condicin de carga, el despacho econmico determina la
salida de potencia de cada central generadora que minimizar el
costo de combustible necesario. En este Captulo, slo se considerar
la aproximacin clsica al despacho econmico. 2. Despacho econmico
sin considerar las prdidas de la red Se trata de una formulacin
simplificada del problema general que proporciona una visin fsica
de la solucin. Es directamente aplicable al reparto de potencias
entre generadores de una misma central.
2.1. Formulacin del problema Dado un sistema con n nudos y m
generadores y dadas todas las potencias demandadas por las cargas
SDi, con i=1,2,...,n; determinar la potencia activa que debe
generar cada generador Pi, cuyo costo de operacin es Ci(Pi), con
i=1,2,......,m, para minimizar el costo total CT. Es decir:
Se observa que en la ecuacin (4.2) la restriccin de igualdad
entre la potencia activa demandada por las cargas PD y la potencia
total generada es simplemente el enunciado del principio de
conservacin de la potencia activa en el caso de un sistema sin
prdidas en las lneas de transmisin. Desempea el mismo papel que las
ecuaciones de los flujos de potencias en la formulacin general.
2.2. Solucin sin considerar lmites de generacin
La Figura 4.1 muestra la caracterstica de entrada tpica del
grupo turbina-generador i en funcin de la potencia de salida Pi,
donde Hi corresponde a la entrada de combustible por cada hora de
funcionamiento y Ci al costo del combustible necesario, que se
puede obtener multiplicando los valores de la curva de Hi, por el
costo del combustible. En la curva de costo Ci, es posible definir
el denominado costo incremental CIi de la unidad generadora i como
la derivada de la funcin de costo respecto de la potencia activa
generada, esto es:
Unidades de H: Se mide habitualmente en Mbtu/h o en kcal/h,
donde: 1 Btu (British thermal unit) se define como la cantidad de
calor necesario para elevar en 1 F la temperatura de una lb de agua
a la presin atmosfrica normal. 1 kcal es la cantidad de calor
necesario para elevar en 1 C la temperatura de un kg de agua a la
presin atmosfrica normal. El costo incremental (Costo Marginal) CIi
representa la pendiente de la curva de costo Ci y se puede
interpretar como el costo adicional por hora que tiene aumentar la
salida de la mquina i en un MW. Si las unidades de Ci(Pi) son UM/h
(UM=Unidades Monetarias), las unidades de CIi, son UM/h/MW UM/MWh.
En este caso especial, el problema se reduce a resolver solamente
las ecuaciones (4.1) y (4.2), lo que se puede plantear de la
siguiente forma: El valor mnimo de CT se da cuando el diferencial
de la funcin de costos dCT es cero, es decir: Como el costo de
operacin de cada mquina Ci depende slo de la potencia generada por
ella misma Pi y no de las potencias generadas por las otras, el
diferencial anterior queda:
Por otro lado, suponiendo que la potencia demandada por las
cargas PD es constante (debido a los cambios relativamente lentos
en la demanda, que puede considerarse constante en perodos de 2 a
10 minutos), su diferencial ser:
Multiplicando la expresin (4.7) por un nmero real (multiplicador
de Lagrange) y restando el resultado al de (4.6), se obtiene:
La ecuacin anterior se satisface cuando cada uno de los trminos
entre parntesis es igual a cero. Esto es, cuando:
Por lo tanto, el costo mnimo de operacin se tendr cuando todas
las unidades generadoras funcionan con el mismo costo incremental y
se cumple el balance de potencia dado por la ecuacin (4.2). El
sistema de m+1 ecuaciones permite calcular las m potencias a
generar y el costo incremental del sistema.
Ejemplo 4.1: Las curvas de costo de funcionamiento de dos
generadores son: C1(P1)=900+45P1+0.01P12 y
C2(P2)=2500+43P2+0.003P22. La carga total PD que debe ser
suministrada es de 700 MW. Determine la potencia que debe entregar
cada mquina, el costo incremental y el costo total. Resolucin: En
este caso sencillo se puede obtener la solucin en forma analtica
(forma directa). En efecto, se debe cumplir que: =CI1=CI2 y que la
suma de las potencias entregadas por los generadores sea de 700 MW;
es decir, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:
Cuya solucin es: P1=84,6 MW; P2=615,4 MW; CI1=CI2== 46,69 UM/MWh
La Figura 4.2 muestra grficamente que el generador 2 (que tiene un
costo incremental menor) toma la mayor parte de la potencia
demandada.
El costo total de operacin (mnimo) del sistema se determina
usando la expresin (4.1); es decir: CT = C1 + C2 = 900 + 45P1 +
0.01P12 + 2500 + 43P2 + 0.003P22 = 34876.92 UM/hEn general, el
problema se puede resolver mediante un proceso iterativo,
denominado Mtodo de Iteracin en , cuyo procedimiento es el
siguiente: Paso 1: Elegir un valor inicial de Paso 2: Hallar las
correspondientes potencias de los generadores, P1, P2, ....,Pm Paso
3:
El valor de es un valor positivo que corresponde a la tolerancia
aceptable para la solucin.
2.3 Solucin considerando los lmites en las potencias
generadas
Para la obtencin de las ecuaciones de despacho econmico se ha
supuesto que las potencias generadas estaban dentro de sus lmites
prcticos; o lo que es lo mismo, se ha supuesto que se respetan las
restricciones expresadas por la ecuacin (4.3). Considrese ahora un
sistema ejemplo con tres generadores, con las curvas de costos
incrementales mostradas en la Figura 4.3, donde se sealan los
lmites mximos y mnimos de funcionamiento. Supngase que para una
potencia demandada PD el sistema funciona en la condicin de
igualdad de costos incrementales con un valor =1 para todas las
mquinas. A partir de esa situacin, a medida que aumenta la demanda,
aumenta el valor de comn, hasta que se alcanza la potencia mxima en
alguna de las unidades de generacin. En el ejemplo se aprecia cmo
se alcanza primero el lmite de la unidad 3, para =2. Un incremento
adicional en la potencia demandada tendr que ser satisfecho por un
incremento en la generacin de las unidades 1 y 2, funcionando con
la condicin de igualdad de costos incrementales; esta situacin
corresponde por ejemplo al valor 3 de la figura. Este razonamiento,
aunque sin una demostracin matemtica rigurosa, conduce a la
siguiente solucin expresada en palabras: si en el proceso de
bsqueda de la solucin uno o varios generadores alcanzan alguno de
sus lmites, sus correspondientes potencias quedan fijadas en los
lmites alcanzados; los generadores restantes deben funcionar con
igual costo incremental. El costo incremental del sistema es igual
al costo incremental comn de estos ltimos generadores.
El procedimiento iterativo para hallar ser, en este caso, el
siguiente: Elegir un valor inicial de tal que todos los generadores
operen con el mismo costo incremental y dentro de sus lmites. Si la
eleccin de no es coherente con satisfacer la demanda, ajustarlo
igual que en los casos en los que no se consideran lmites. Si en
este proceso una unidad de generacin alcanza uno de sus lmites,
fijar la potencia a generar por la unidad en ese lmite (mximo o
mnimo) y continuar el proceso de ajuste de con el resto de las
unidades. Ejemplo 4.2: Considere un rango de valores posibles para
PD de 100 a 800 MW para las unidades de generacin del Ejemplo 4.1,
sujetas a los lmites: 50 MW P1 200 MW; 50 MW P2 600 MW. Represente
P1 y P2 en funcin de la potencia demandada para el despacho
econmico. En la Figura 4.4 se representan las curvas de costos
incrementales de los generadores. En la Tabla 4.1 se aprecia que
para valores de hasta 46, P1=50 MW (lmite inferior), mientras que
el generador 2 con P2=PD-50 MW suministra el resto de la carga.
Cuando 1=2=46, la mquina 2 suministra 500 MW, por lo que la carga
total a servir en estas condiciones es de 550 MW. Para valores de
comprendidos entre 46 y 46,6 (46 46,6), ninguna de las unidades
alcanza sus lmites y se puede hallar P1 y P2 haciendo uso de las
frmulas de Costo Incremental del Ejemplo 4.1. Para 1=2=46,6; la
mquina 2 suministra su potencia mxima, 600 MW y la mquina 1 entrega
80 MW, por lo que la carga total a servir en estas condiciones es
de 680 MW. Para valores de mayores que 46,6; P2=600 MW (su lmite
superior) y P1=PD-600 MW. Si 1=49; ambas mquinas entregan su
potencia mxima (200 MW y 600 MW respectivamente), con lo que se
alcanza a servir la carga total de 800 MW. Los resultados se
muestran grficamente en la Figura 4.5.
3. Despacho econmico considerando las prdidas en la red Si todos
los generadores estn situados en una misma central o estn prximos
geogrficamente, es razonable despreciar las prdidas en las lneas
para calcular el despacho econmico. En cambio, si las centrales
estn separadas geogrficamente, se deben considerar las prdidas en
las lneas de transmisin, con lo que el reparto econmico determinado
en el apartado anterior cambia. En un caso sencillo supngase que
todas las unidades de generacin del sistema son idnticas. Entonces,
al considerar prdidas en las lneas, es de esperar que sea ms barato
suministrar ms potencia desde los generadores ms prximos a las
cargas. La forma ms generalizada de abordar el problema del
despacho econmico considerando prdidas en las lneas parte del
supuesto de que se tiene una expresin para esas prdidas Pp, en
funcin de las potencias de salida de los generadores, de la
forma:
3.1. Formulacin del problema
Se trata de encontrar las potencias Pi para minimizar el costo
total CT:
sujeto a:
La restriccin en forma de igualdad es simplemente una
manifestacin del principio de conservacin de la potencia
(activa).
Del mismo modo que en el caso de red sin prdidas, considrese
primero la situacin en la que no existen lmites de generacin. El
valor mnimo de CT se da cuando el diferencial de la funcin de
costos dCT es cero, es decir:
3.2. Solucin sin considerar lmites de generacin
Como el costo de operacin de cada mquina Ci depende slo de la
potencia generada por ella misma Pi y no de las potencias generadas
por las otras, el diferencial anterior queda:
Por otro lado, el diferencial del balance de potencias activas
suponiendo que la potencia demandada por las cargas PD es constante
ser: Multiplicando la expresin (4.18) por un nmero real
(multiplicador de Lagrange) y restando el resultado al de (4.17),
se obtiene:
La ecuacin (4.19) se satisface cuando cada uno de los trminos
entre parntesis es igual a cero. Esto es, cuando:
El coeficiente Pp/Pi corresponde a las prdidas incrementales de
transmisin de la mquina i. Designando al Factor de penalizacin Li
para el i-simo generador como:
Se tiene que como dCi/dPi representa el costo incremental del
i-simo generador, el sistema operar a costo mnimo, cuando el
producto del costo incremental de cada unidad generadora por su
Factor de Penalizacin Li sea el mismo para todas ellas. Por lo
tanto, la solucin del problema queda determinada por las m+1
ecuaciones siguientes, que permiten calcular las potencias a
generar y el costo incremental del sistema:
Se observa que ya no es condicin de ptimo que cada generador
funcione con el mismo costo incremental. Los CI estn ahora
ponderados por los factores de penalizacin Li. Un factor de
penalizacin elevado hace a la correspondiente unidad generadora
menos atractiva. Es de esperar que las centrales alejadas de los
centros de consumo tengan factores de penalizacin mayores que las
ms prximas a dichas cargas.
3.3. Solucin considerando los lmites de generacin Si se
consideran los lmites de generacin, se tiene una solucin anloga a
la del caso sin prdidas; es decir, hacer funcionar a todos los
generadores que estn dentro de sus lmites de tal forma que se
cumpla que LiCIi=. Si en este proceso una unidad de generacin
alcanza uno de sus lmites, fijar la potencia a generar por la
unidad en ese lmite (mximo o mnimo) y continuar el proceso de
ajuste de con el resto de las unidades.Ejemplo 4.3: Considere las
caractersticas de costo de los generadores del Ejemplo 4.1; es
decir, C1(P1) = 900 + 45P1+0.01P12 y C2(P2) = 2500+43P2+0.003P22.
La carga total PD que debe ser suministrada es de 700 MW. La
expresin simplificada de las prdidas es de la forma: Pp=
(0,00003P12 + 0,00009P22) MW. Determine, utilizando el mtodo de
iteracin en , la potencia que debe entregar cada mquina, las
prdidas en el sistema, el costo incremental y el costo total.
Resolucin: Las ecuaciones a considerar son:
Para comenzar el proceso iterativo se puede considerar como
valor de partida para , el determinado en el Ejemplo 4.1, es decir;
=46,69. La Tabla 4.2 muestra el desarrollo del proceso y los
resultados obtenidos.
Al comparar estos resultados con los del Ejemplo 4.1, se aprecia
que: Los costos incremental y total son ahora mayores, por que se
han considerado las prdidas. La potencia entregada por la mquina 1
aument y la entregada por la mquina 2 disminuy, a pesar de que el
costo incremental de esta ltima es menor. Ello se debe a que su
Factor de Penalizacin es mayor. Iteracin en la potencia de los
generadores: Una manera diferente de resolver este problema es la
siguiente: 1. Elegir valores de Pi tales que ,es decir, en este
paso, no se consideran las prdidas. 2. Con los valores de Pi,
calcular Li y Pp 3. Resolver el sistema de ecuaciones (4.26), para
determinar y nuevos valores para Pi:
4. Comparar los nuevos valores de Pi con los anteriores. Si hay
una diferencia importante, volver al paso 2. En caso contrario,
terminar el proceso Otros Mtodos de bsqueda de la solucin son:
Gradiente de Primer Orden y Gradiente de Segundo Orden.3.4. Clculo
de las prdidas en la red El mtodo expuesto para optimizar la
reparticin de carga entre los generadores de un sistema, requiere
desarrollar una expresin que permita determinar las prdidas totales
de transmisin en funcin de la potencia generada por ellos. Se
aborda esta cuestin indicando uno de los mtodos ms importantes,
aproximado pero sencillo. Segn este mtodo, para unas condiciones
dadas de funcionamiento del sistema (o caso base) las prdidas de
transmisin son funcin cuadrtica de las potencias de los
generadores, lo que se puede escribir segn las ecuaciones (4.27) o
(4.28):
Donde los trminos Bij son los llamados Coeficientes B o
Coeficientes de prdidas y [B] es la matriz de coeficientes de
prdida. Los coeficientes Bij no son verdaderamente constantes sino
que varan segn el estado de carga del sistema y se obtienen a
partir de los resultados de un Clculo de Flujos de Potencia (caso
base). Una vez determinados los coeficientes se tendr una expresin
para las prdidas del sistema en funcin de las potencias generadas
que, en rigor, slo es vlida para las condiciones correspondientes a
esos valores concretos de las potencias de los generadores Pi. En
la prctica, estos coeficientes pueden considerarse constantes,
siempre que las condiciones del sistema no difieran drsticamente de
las del caso base, respecto del cual han sido calculados. En un
sistema real, dada la variacin en la potencia demandada a lo largo
de un da, la diferencia entre las condiciones de funcionamiento del
sistema llegan a ser tan grandes que se hace necesario utilizar ms
de un conjunto de coeficientes B durante el ciclo de carga diario.
A partir de una frmula de prdidas explcita, el clculo de Pp/Pi es
simple, suponiendo que Bij=Bji.
Existen varios mtodos para la obtencin de los coeficientes B.
Para entender la formulacin, se presenta, a manera de ejemplo, el
caso de un sistema simple (Figura 4.6) formado por dos generadores,
un sistema de transmisin y una carga.
Sean a, b y c las lneas de transmisin con resistencias Ra, Rb y
Rc por las que circulan las corrientes cuyos mdulos son |i1|,
|i2|e|i1+i2|, respectivamente. La potencia activa total perdida en
el sistema de transmisin Pp se puede escribir como:
Escribiendo los mdulos de las corrientes simplemente como: I1,
I2 e I3, respectivamente, se tiene que las prdidas se pueden
escribir como:
Si P1 y P2 son las potencias trifsicas de salida de las mquinas,
con factores de potencia fp1 y fp2 y V1 y V2 son los mdulos de los
voltajes entre lneas en las barras de los generadores, las
corrientes I1 e I2 son:
Si los voltajes se expresan en kV, las resistencias en /fase,
las unidades de los coeficientes B son 1/MW y la potencia perdida
Pp queda expresada en MW. Por supuesto que es posible hacer el
clculo en por unidad. Para el sistema en el cual han sido deducidos
y con la suposicin de que 1 2 I e I & & estn en fase, estos
coeficientes entregan las prdidas en forma exacta, por medio de la
ecuacin (4.35), solamente para los valores particulares de P1 y P2
que resultan de las tensiones y factores de potencia utilizados en
las ecuaciones (4.36). Los coeficientes B son constantes al variar
P1 y P2, slo mientras las tensiones en las barras de los
generadores mantengan un valor constante y los factores de potencia
sean tambin constantes.
4. Despacho econmico ambiental en sistemas trmicos
4.1. Despacho econmicoEl objetivo del despacho econmico clsico
es asignar la generacin total entre unidades generadoras en
servicio de modo de minimizar el costo de abastecer la carga total,
incluyendo perdidas y respetando restricciones operativas de las
unidades del sistema.Modela funciones de produccin de las unidades
generadoras, perdidas de transmisin y limites operativos de las
unidades. Tpicamente asume tensiones constantes en cada barra y
factores de potencia constante y no se modelan las restricciones de
transmisin.4.1.1. Funcin objetivo en sistema trmico La funcin
objetivo FT es igual al costo total e abastecer la carga total, y
est dada por:
Donde FT: costo total de generacin del sistemaFi: costo de
generacin de la unidad iN: nmero de unidades generadoras del
sistemaLos costos de operacin de las centrales trmicas se dividen
en fijos y variables.Los costos variables son, bsicamente los
costos de combustible y dependen del tipo de combustible y del
rendimiento de la maquina. El consumo de combustible (Hi(Pi)) se
mide en unidades de calor, [Kcal/h] o [BTU/h] y la curva de consumo
de modela frecuentemente por una funcin de segundo grado P. El
costo de generacin de cada unidad se obiene muktiplicando os cotos
de operacin por el valor de combustible utilizando por la unidad,
por lo que se tiene:
Donde i es el precio del combustible utilizando por la unidad i,
y ai, bi y ci se determina en base a la informacin del
funcionamiento de la unidad generadora, utilizando ternicas de
identificacin de parmetros, con datos almacenados de potencia de
salida versus combustible de entrada a la unidad.4.1.2.
RestriccionesLa principal restriccin en la operacin del sistema es
que la suma de las potencias generadas sea igual al consumo mas las
perdidas, pero en caso, se simplificara obviando las perdidas. La
ecuacin del balance de potencia resulta:
Donde PL: potencia demandada por la carga del sistemaPi:
Potencia generada por la unidad iOtras restricciones que deben
imponerse al sistema de generacin son los lmites mximos y mnimos de
potencia generada por cada unidad, esto es:
Las restricciones de transmisin no se incluyen, asumiendo que el
voltaje en las barras no variar en forma significativa y que los
niveles de carga de las lneas de transmisin no sern violados.Con
las ecuaciones y restricciones anteriores es posible definir el
problema de despacho econmico.
4.2. Despacho econmico ambientalEl problema de despacho econmico
ambiental es una extensin del problema de despacho econmico
expuesto anteriormente. Se agregan restricciones ambientales del
contaminante que se quiere disminuir, tales como xidos de azufre,
xidos de nitrgeno, dixido de carbono y material particulado.La neta
es encontrar la potencia generada Pi por cada unidad que minimice
el costo de operacin total mientras que los requerimientos de
carga, la capacidad de generacin y las restricciones de emisiones
de contaminantes se encuentren satisfechos.Para incluir las
emisiones en el despacho de la generacin se han propuesto
diferentes mtodos: Minimizar la emisiones total de contaminantes,
utilizando como funcin objetivo una funcin de las emisiones del
contaminante o contaminantes que desee disminuir. Incluir el
control de emisiones en el despacho econmico convencional sumando
funciones de emisiones a la funcin de costo de combustibles de las
unidades. Resolver el problema de minimizacin clsico incorporando
las funciones de emisiones como restricciones.El primer mtodo solo
es til para efectos de estudio ya que no considera ls costos de
combustibles. Su solucin entrega el valor mnimo de emisiones, que
es la ideal, ambientalmente hablando, pero es la ms costosa
econmicamente.En el segundo, las emisiones se incluyen ya que sea
como ponderador para cada funcin o con el costo por polucin de cada
tipo de contaminantes incluido. La dificultad, en este caso, se
presenta en el clculo de los costos por emisiones de contaminantes,
puesto que estos costos no siempre se pueden especificaren trminos
monetarios, o no existen parmetros para cuantificar monetariamente
los efectos de la contaminacin. El ltimo mtodos es mas adecuado
cuando existen leyes que restringen las emisiones de algn
contaminante, debido a que existe un problema similar al anterior,
puesto que es difcil conocer cul es el mejor valor al cual
restringir las emisiones.4.3. Mtodo propuestoLa formulacin
matemtica del problema es:
En la formulacin anterior, el mtodo de ponderaciones se usa para
definir la importancia relativa del costo y las emisiones, Debe
notarse que los ponderadores Wc y Ws no son valores fijos, son
herramientas para observar la relacin entre las dos funciones
objetivo ya que no es posible minimizar las dos funciones a la
vez.Las funciones de emisin de SO2 se modelan con ecuaciones
cuadrticas dependiendo de la potencia generada por la
central.4.3.1. Algoritmo de solucinEn el lazo inicial se calcula el
despacho que minimice la funcin objetivo con ponderadores
definidos. En el Lazo posterior se corrigen los ponderadores de
acuerdo a la restriccin de emisiones de SO2. El esquema de
algoritmo se muestra en la siguiente figura.
El algoritmo se puede resumir en dos pasos: a. Mtodo de
iteraciones en El despacho se calcula, primero, ignorando la
restriccin de emisiones de SO2. Los ponderadores inciales son Wc= 1
y Ws= , por lo que se minimiza la funcin de costos en la primera
iteracin. El algoritmo iterativo utilizado es el mtodo de iteracin
en , cuyo diagrama de flujo se muestra en la figura. Para la
primera iteracin de este algoritmo, se debe entregar un valor
inicial al modelo, y para la segunda se utiliza este valor
ponderado por una constante. En las iteraciones restantes, el
algoritmo calcula el nuevo valor de interpolando con sus dos
valores anteriores y los errores correspondiente a estas
iteraciones.
b. Revisin de emisiones de S02 y correccin de
ponderadoresDurante el proceso, los ponderadores Wc y Ws (que deben
sumar uno) se modifican en una pquela cantidad w, vairandolos desde
1 y 0 y entre 0 y 1, respectivamente, lo que entrega el despacho
econmico ambiental para todo el universo de ponderadores. Esta
operacin es equivaente a aumentar la influencia de las emisiones de
SO2 en la funcin objetivo.Se define la tasa de disminucin de
emisiones R como sigue:
El valor de R corresponde a la tasa marginal de costos respecto
a las emisiones de SO2.
Inicialmente (wc=1, Ws=0), R es pequeo debido a que un pequeo
aumento en los costos produce una gran disminucin en las emisiones,
y a medida que Wc disminuye, R aumenta. Esto se puede observar
claramente en la figura, donde se muestra una curva de equilibrio
(trade off) tpica.
Tcnicas 23