Aluno(a): ______________________________________________ Número: _______ Turma: _______Pág. 1 APOSTILA DE DESENHO GEOMÉTRICO - 8º ano / EF elaborada pela professora Rosely Maria Wischral, para o Colégio Militar de Curitiba Aluno(a): __________________________________________ Número: _______ Turma: _______
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O plano, a linha e o ponto são entes ideais. Nossa capacidade de imaginar nos permite entendê-los e reco-nhecê-los no vasto espaço que nos rodeia.
O PONTO - é o elemento básico da geometria. Os pontos são representados por letras MAIÚSCULAS do nosso alfabeto. Exemplos:
A LINHA - é uma seqüência infinita de pontos. Se os pontos estiverem alinhados numa mesma direção, temos uma RETA. As linhas (retas) são identificadas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Exemplo:
O PLANO - é um conjunto infinito de pontos. Representamos a idéia de plano por meio de figuras como esta:
Os planos são identificados por letras minúsculas do alfabeto grego, como por exemplo: alfa ( ), beta ( ), gama ( ), delta ( ), ômega ( ), lâmbda ( ), entre outros.
Agora responda:
1. Quais são os entes ideais da geometria?___________________________________
2. Pontos são identificados por letras_______________________________________
3. Retas são identificadas por letras_________________________________________
4. Planos são identificados por ____________________________________________
5. Por um ponto passam ______________________________________________retas.
6. Por dois pontos passa ______________________________________________reta.
Retas coincidentes - duas retas são coincidentes quando possuem todos os pontos comuns.
Indicação: r = s Temos que r e s são conjuntos formados pelos mesmos pontos.
Retas concorrentes - duas retas são concorrentes ou secantes quando possuem um único ponto comum.
r s = P P é o ponto de intersecção entre as retas r e s.
Retas paralelas - duas retas de um plano são paralelas quando não possuem ponto comum. Dizemos que duas ou mais retas têm a mesma direção se elas são paralelas entre si.
Segmentos colineares - segmentos contidos na mesma retas suporte.
AB , BC e CD são colineares.
Segmentos consecutivos - segmentos com uma extremidade comum.
AB e BC são consecutivos e colineares. EF
e FG são consecutivos e não colineares.
Segmentos congruentes - segmentos com a mesma medida.
4,8 cm 4,8 cm
AB e CD são congruentes (têm a mesma medida), ou seja, AB = CD = 4,8 cm.
Indicação: AB CD
Segmentos coincidentes ou sobrepostos - dois segmentos AB e CD são coincidentes (ou sobrepostos) se cada ponto de AB
coincide com um ponto de CD e, reciprocamente, cada ponto de CD coincide
com cada ponto de AB . É evidente que os extremos de dois segmentos coincidentes irão coincidir. Na figura abaixo estão representados os segmentos coincidentes AB
e CD em que A = C e B = D, o que se
representa por AB
= CD , e que se lê: AB coincide com CD ou AB está sobreposto a CD .
12. Observando a figura, marque nos itens abaixo C (certo) ou E (errado).
a. ( ) AB e BC são colineares. g. ( ) BC e CD são consecutivos e não colineares.
b. ( ) AB e CD são congruentes. h. ( ) AB e CD são colineares e consecutivos.
c. ( ) BC e OC são consecutivos. i. ( ) BO e DO são consecutivos e colineares.
d. ( ) OC e CD são colineares. j. ( ) AB e BD são congruentes.
e. ( ) AB e BC são consecutivos. k. ( ) AC e AE são coincidentes.
f. ( ) AD e BC são congruentes. l. ( ) CD e EF
são coincidentes.
Posição absoluta de uma reta - posição absoluta de uma reta é posição que uma reta ocupa sozinha no plano e está relacionada com a linha do horizonte. Há três posições absolutas: horizontal, vertical e in-clinada.
horizontal
vertical inclinadas
13. Trace os segmentos AB , CD e EF de modo que:
AB = 3,2 cm é inclinada; CD = 2,7 cm é vertical; EF
Subtração de segmentos - realizamos essa operação colocando o segmento menor sobre o maior, de forma que tenham uma extremidade comum. Os pontos não comuns constituem a diferença.
Na prática:
Na escada abaixo, é preciso substituir o degrau que quebrou. Se tirarmos do sarrafo a parte que necessi-tamos, quanto sobrará?
Multiplicação de segmentos - basta colocar o segmento consecutivamente numa reta suporte tantas ve-zes quantas forem pedidas.
Ex: Dado AB , efetue graficamente 3 x AB .
Construção: - traçamos a reta suporte r auxiliar; - transportamos AB para a reta r tantas vezes quantas foram pedidas (soma):
3 x AB = A1B3.
Na prática:
Para canalizar o esgoto de uma rua, a prefeitura utiliza tubulões de cimento, conforme o modelo abaixo. Quantos desses tubulões serão necessários para canalizar o trecho a seguir?
Resp: 8 tubos
17. Dado o segmento CD , determine graficamente 5 x CD sobre a reta suporte t.
Idéia de ângulo - um ângulo representa uma mudança de direção. Podemos reconhecer essa mudança:
DEFINIÇÃO DE ÂNGULO: é a região de um plano concebida pela abertura de duas semi-retas que possuem a mesma origem, dividindo este plano em duas partes. O ângulo pode ser identificado das se-guintes formas:
Indicação: MÔN (ângulo MON) ou ou (ângulo alfa)
ELEMENTOS DE UM ÂNGULO: as duas semi-retas são chamadas de lados ( OM e ON ) e a origem (O) comum aos dois lados é denominada de vértice.
18. Observe o ângulo e complete relacionando a 1ª coluna com a 2ª:
c. MÔN = ____________________ d. TÔU (maior) = ____________________
Ângulos congruentes
- são dois ângulos que possuem a mesma medida.
Notação: BÂC DÊF
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE ÂNGULOS
1. Ângulos consecutivos - dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um lado em comum (pertence aos dois ângulos). Podem possuir ponto comum ou não. No exemplo abaixo, são consecutivos os ângulos:
- AÔB e BÔC
- AÔB e AÔC
- AÔC e BÔC
2. Ângulos adjacentes - são denominados ângulos adjacentes dois ângulos que possuem um lado comum (são ângulos consecutivos, tais que os lados não comuns estão em semi-planos opostos em relação ao lado comum). Não possuem ponto comum.
3. Ângulos complementares - são aqueles cuja soma corresponde a 90°.
a + ß = 90°
4. Ângulos suplementares - são aqueles cuja soma corresponde a 180°.
a + ß = 180°
5. Ângulos replementares - são aqueles cuja soma corresponde a 360°.
a + ß = 360°
6. Opostos pelo vértice (OPV) - são dois ângulos tais que os lados de um são semi-retas opostas aos la-dos do outro. Os ângulos opv são congruentes (possuem a mesma medida).
Num shopping center, todas as lojas do último andar são iluminadas pela luz solar durante o dia, enquan-
to nos demais andares a iluminação é artificial. De acordo com essa afirmação, complete as frases abaixo:
# ________________ as lojas do último andar têm iluminação natural.
# A _______________________________ é uma propriedade comum a todas as lojas do último andar.
# As lojas dos outros andares __________________________ iluminação natural. Portanto, a iluminação
natural é uma propriedade exclusiva das lojas do ___________________________________________.
Podemos concluir então que:
O último andar do shopping é um conjunto de lojas que possuem uma propriedade _________________
e ___________________________.
UD II - Ass 1. LG-1 CIRCUNFERÊNCIA
UNIDADE DIDÁTICA II - OS LUGARES GEOMÉTRICOS (LG)
Assunto 1. LG-1 Circunferência
Assunto 2. Retas perpendiculares e LG-2 mediatriz
Assunto 3. LG-3 Retas paralelas
Assunto 4. LG-4 Bissetriz
Assunto 5. LG-5 Arco Capaz
LUGAR GEOMÉTRICO (LG)
É um conjunto de pontos que possuem uma propriedade COMUM e EXCLUSIVA.
COMUM: a propriedade pertence a TODOS os pontos desse conjunto
EXCLUSIVA: a propriedade pertence SOMENTE a esses pontos.
LG-1 CIRCUNFERÊNCIA É o LG dos pontos do plano que estão eqüidistantes (a uma mesma distância) de um ponto fixo desse plano. A essa distância chamamos de raio (r) e o ponto fixo chamamos de centro (O). Notação: C ( O ; r ) - circunferência de centro no ponto O e raio de medida r.
•Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência.
•Arco - é um pedaço da curva da circunferência.
•Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência.
•Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio.
•Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente.
•Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda.
•Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência).
•Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro.
O - centro da circunferência. DT
= diâmetro OA = OD = OT = raio DGE = um arco da circunferência DE
= uma corda da circunferência, correspondente ao ar-co DGE
FG = flecha do arco DGE reta s = secante H e I = pontos de secância HI
= corda determinada pela secante s reta t = tangente T = ponto de tangência
Ângulos da circunferência
a. Ângulo central – é aquele que tem o vértice b. Ângulo inscrito – é o que tem o vértice na no centro da circunferência (O). circunferência e os seus lados são cordas.
40. A casa de Rosely fica a 550 m de distância da casa de sua amiga Raquel, e a distância entre as casas
de Rosely e Rosângela é de 450 m. Para visitar Rosângela, Rosely precisa passar pela ponte sobre o rio. Assinale no mapa o local onde Rosely mora ( R ), sabendo que 1 cm no papel corresponde a 100 m no terreno.
45. Construa, usando o par de esquadros, retas perpendiculares à reta r passando pelos pontos A, B, C e D
dados:
46. Construa, geometricamente, retas perpendiculares às retas s e t pelo ponto J.
s
t
47. Na parede da casa abaixo, P indica o ponto de onde deverá descer um cano perpendicular ao chão. Construa, geometricamente, essa perpendicular r, representando o cano.
Na figura abaixo, as retas s e t estão a uma distância d da reta r. Assim, as retas s e t estão equi-distantes da reta r e são as paralelas que distam d de r (LG-3), pois TODOS os pontos que distam d da reta r NECESSARIAMENTE pertencem às retas s e t.
Notação: s r t
52. Qual o Lugar Geométrico (LG) dos pontos equidistantes de uma reta conhecida?
53. Construa, geometricamente, o par de retas paralelas à reta v dada, que distam 2,2 cm dela.
Passos: 1. Trace perpendiculares por dois pontos A e B quaisquer da reta v (afastados). 2. A partir da reta v, marque 2,2 cm para cima de A e de B em cada perpendicular determinando A1 e B1, e para baixo de A e
de B em cada perpendicular determinando A2 e B2. 3. Ligue A1 com B1 e A2 com B2, obtendo as duas retas paralelas.
LG-3 RETAS PARALELAS É o LG dos pontos equidistantes de uma reta.
54. Construa, geometricamente, uma reta w paralela à reta s dada, que passe pelo ponto P.
Passos: 1. Ponta seca em P, abertura qualquer, trace um arco e determine A na reta s. 2. Mesma abertura (AP), ponta seca em A, trace um arco passando por P e determine B na reta s. 3. Transporte medida BP para o outro arco com ponta seca em A, determinando C. 4. Ligue PC = reta w.
55. Determine os pontos que distam 1,8 cm da reta s e que pertencem à circunferência, ao triângulo e à reta t, sabendo que: - G e H estão na circunferência, - I e J pertencem ao triângulo e - L e M estão na reta t.
1º - Processo das mediatrizes: só pode ser aplicado quando o divisor for potência de 2 (2, 4, 8, ...) 2º - Processo geral: permite dividir um segmento em qualquer número de partes.
Exemplo: dado AB = 8,0 cm, determinar graficamente 4
AB, pelos dois processos.
1. Processo das mediatrizes
2. Processo Geral
A medida é de 2,0 cm. Portanto, os pontos que dividem o segmento em quatro partes iguais devem ter entre si a distância de 2,0 cm. Confira!!
66. Divida graficamente o segmento VF na proporção 3:2:4.
67. Pelo processo das mediatrizes de divisão de segmentos, divida o segmento CD em 8 partes congru-entes. Dica: para facilitar a construção da 1ª mediatriz, reduza o tamanho de CD , diminuindo a mesma me-dida em ambas as extremidades.
- Bissetriz de um ângulo é o segmento que divide o ângulo em duas partes congruentes.
68. Construa, geometricamente, a bissetriz do ângulo dado.
Notação: Btz
Passos: 1. Trace um arco qualquer com centro em O, determinando os pontos A e B nos lados. 2. Ponta seca em A, trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). O mesmo em B, com a mesma abertura, cruzando com
o arco anterior, determinando o ponto D. 3. Ligue OD = bissetriz
69. Construa geometricamente o LG dos pontos equidistantes das retas r e s dadas.
Passos: 1. Trace um arco de 180°, com centro em O, determinando os pontos A, B e C nas retas r e s. 2. Ponta seca em A, trace um arco de abertura qualquer (maior que a metade de AB). O mesmo em B, com a mesma abertura, cruzando com
o arco anterior, determinando o ponto D. 3. Ligue OD - bissetriz 1 4. Repita o passo 2 nos pontos B e C, determinando o ponto E. 5. Ligue OE - bissetriz 2
UD II - Ass 4. LG-4 BISSETRIZ
LG-4 BISSETRIZ É o LG dos pontos equidistantes de duas retas concorrentes conhecidas.
72. Determine, geometricamente, os pontos P, Q, R e S que se encontram a 2,7 cm de O e que sejam e-
quidistantes das retas v e w dadas.
73. Trace, graficamente, a reta s equidistante das retas y e z, sem recorrer ao vértice.
Passos: 1. Marque dois pontos quaisquer: A na reta y e B na reta z e ligue AB. 2. Ao ligar AB, determinamos quatro ângulos “no interior” das retas y e z, sendo dois de um lado de AB e os outros dois do
outro lado. 3. Construa as quatro bissetrizes desses quatro ângulos, determinando os pontos C e D nos cruzamentos das bissetrizes, um
77. A figura abaixo representa a área de um hotel fazenda que será ampliado. Será construído um salão
de festas (S) a 30 mm do restaurante e a 50 mm do salão de jogos, bem próximo da piscina. Pretende-se construir também uma quadra poliesportiva (Q) a 40 mm da cachoeira e que esteja eqüidistante
das retas AB e AC (linhas de divisa do terreno da fazenda com a estrada e com o sítio primavera). Determine na figura os pontos onde o salão (S) e a quadra (Q) serão construídos.
78. Construa graficamente, nas semirretas dadas, os seguintes ângulos:
Quando você olha para um poste na rua, você o vê segundo certo ângulo. Esse ângulo pode variar em função da posição de onde você esteja olhando.
Observe a figura abaixo.
O ponto P é vértice de um ângulo de medida a, cujos la-dos passam pelas extremidades do segmento AB. Dizemos que o ponto P “enxerga” o segmento AB se-gundo um ângulo de medida a.
Agora, observe a figura. Uma vez que todos os ângulos inscritos num mesmo arco possuem medidas i-guais, podemos concluir que todos os pontos do arco APB enxergam AB
segundo um mesmo ângulo a.
FIGURA 5 cm
Nesse caso, dizemos que o arco APB é um ARCO CAPAZ do ângulo a descrito sobre AB . Sobre um mesmo segmento AB é possível descrever dois arcos capazes do ângulo a, cada um de um la-
A reunião dos dois arcos capazes é um lugar geométrico, pois os seus pontos satisfazem as seguintes condições: • Todo ponto pertencente a qualquer um dos arcos enxerga AB
segundo um ângulo a.
• Somente os pontos pertencentes a qualquer um dos arcos enxergam AB
segundo um ângulo a.
79. Construa, geometricamente, o par de arcos capazes de enxergar AB sob o ângulo a dado.
Passos 1. Transporte o ângulo a para baixo de AB, com o vértice em A e um lado coincidindo com AB. O outro lado chame de t. 2. Trace a reta s, perpendicular a t passando por A. 3. Construa a mediatriz de AB, determinando O1 no cruzamento com s. 4. Na mediatriz, marque o simétrico de O1 em relação a AB, determinando O2. 5. Construa os dois arcos, com centros em O1 e O2 e raios O1A = O2A.
a
LG-5 ARCO CAPAZ É o LG dos seus pontos que “enxergam” um segmento conhecido
84. Um faroleiro em vigília foi contatado por um barco em dificuldade que, logo após enviar sua mensa-
gem, perdeu seu sistema de comunicação. Ao relatar a ocorrência, o faroleiro indicou o local exato do barco, pois o marinheiro havia informado que podia ver o farol ( F ) e as ruínas do forte ( R ) segundo um ângulo 60° e que enxergava o farol ( F ) e a torre de petróleo ( T ) sob um ângulo de 90°. Com essas informações, determine na figura, geometricamente, a localização do barco ( B ) no mo-mento da ocorrência.
85. Considere o desenho a seguir como sendo a sua sala de aula. Marque o quadrinho que corresponde à sua posição na sala. Descubra se mais algum aluno observa o quadro negro sob o mesmo ângulo que você.
Uma linha poligonal aberta é formada por segmentos de reta consecutivos e não colineares, ou seja, seg-mentos de reta que não estão alinhados na mesma reta e que não se fecham.
Linha poligonal fechada (polígono)
Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli (muitos) + gonos (ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares que se fecham.
A região interna a um polígono é a região plana delimitada por um polígono. Muitas vezes encontramos na literatura sobre Geometria a palavra polígono identificada com a região localizada dentro da linha poligonal fechada, mas é bom deixar claro que polígono representa apenas a linha. Quando não há perigo na informação sobre o que se pretende obter, pode-se usar a palavra num ou no outro sentido.
UNIDADE DIDÁTICA III - TRIÂNGULOS
Assunto 1. Estudo geral. Assunto 2. Construção de triângulos escalenos. Assunto 3. Construção de triângulos equiláteros. Assunto 4. Construção de triângulos isósceles. Assunto 5. Construção de triângulos retângulos.
Os segmentos AB, BC, CD, DE e EA são os lados do polígono.
Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono.
Os ângulos do polígono são: A, B, C, D e E.
Polígonos quanto à convexidade
1. Polígono convexo: É uma região poligonal que não apresenta re-entrâncias no corpo da mesma. Isto significa que todo segmento de reta cujas extremidades estão nesta região estará totalmente conti-do na região poligonal.
2. Polígono não convexo: É uma região poligonal que apresenta reentrâncias no corpo da mesma. Ela possui segmentos de reta cujas extremidades estão na região poligonal mas não estão totalmente contidos na região poligonal.
Polígono regular: é o polígono que possui
todos os lados congruentes e todos os ângulos internos con-gruentes.
Polígono irregular: é o polígono que não possui
todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
Nomes dos polígonos Dependendo do número de lados, um polígono recebe os seguintes nomes:
nº de lados polígono nº de lados polígono 1 não existe 11 undecágono 2 não existe 12 dodecágono 3 triângulo 13 tridecágono 4 quadrilátero 14 tetradecágono 5 pentágono 15 pentadecágono 6 hexágono 16 hexadecágono 7 heptágono 17 heptadecágono 8 octógono 18 octadecágono 9 eneágono 19 eneadecágono
# Definição: triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que possui o menor número de lados.
Talvez seja o polígono mais importante que existe.
# Elementos - seja o triângulo AOE ao lado:
a = lado de extremidades O e E - lados e = lado de extremidades A e O
o = lado de extremidades A e E
A = oposto ao lado a - vértices E = oposto ao lado e O = oposto ao lado o
 = ângulo correspondente ao vértice A - ângulos internos Ê = ângulo correspondente ao vértice E
Ô = ângulo correspondente ao vértice O
- a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180º
# Classificação
eqüilátero = três lados congruentes e três ângulos congruentes (60º cada um) - quanto aos lados isósceles = dois lados congruentes e dois ângulos da base congruentes
escaleno = três lados diferentes e três ângulos diferentes
acutângulo = três ângulos agudos (< 90º) - quanto aos ângulos obtusângulo = um ângulo obtuso (> 90º)
retângulo = um ângulo reto (90º)
- o triângulo retângulo é o único cujos lados recebem nomes: hipotenusa (a) = lado oposto ao ângulo reto
# Ceviana: é todo segmento de reta que liga um vértice do triângulo ao lado oposto correspondente ou ao
seu prolongamento.
# Cevianas notáveis e pontos notáveis
- Mediana: é a ceviana que une um vértice ao ponto médio do lado oposto. AMa é uma mediana. o encontro das três medianas determina o baricentro ou centro de gravidade (G), sempre no interior do triângulo.
Observação: o baricentro situa-se a 1/3 do comprimento da me-diana a partir do ponto médio do lado.
- Altura: é a ceviana perpendicular ao lado oposto ou ao seu prolongamento (forma um ângulo reto). BHb e AHa são alturas. o encontro das três alturas determina o ortocentro (O), podendo estar dentro ou fora do triângulo.
- Bissetriz interna: é a ceviana que divide um ângulo em duas partes iguais. Os ângulos CeB,A es-tão divididos ao meio. o encontro das três bissetrizes determina o incentro (I) = centro da circun-ferência inscrita no triângulo, sempre no interior do triângulo.
- Mediatriz (não é ceviana) o encontro das três mediatrizes determina o circuncentro (C) = centro da circunferência circunscrita ao triângulo, podendo estar dentro ou fora do triângulo.
88. Construa geometricamente as três bissetrizes internas
dos triângulos dados, determine os seus incen-tros (I) e trace as circunferências inscritas nos triângulos. Observação: após determinar o incentro, há necessidade de se determinar o raio da circunferência, traçan-do uma perpendicular do incentro a qualquer um dos lados.
Triângulo escaleno: possui três lados diferentes e três ângulos diferentes.
Dica: para resolver os problemas envolvendo construção de figuras planas, analise o enunciado, veja bem o que está sendo solicitado, faça uma figura auxiliar e decida o caminho para a solução da questão. Traçados auxiliares fracos e solução reforçada.
90. Construa geometricamente o triângulo XYZ de lados x = 35 mm, y = 49 mm e z = 58 mm.
91. Construa geometricamente o triângulo FGH de 112 mm de perímetro sabendo que as medidas de seus lados obedecem à proporção 2:3:4. Dica: perímetro é a soma de todos os lados; use divisão proporcional de segmento.
UD III - Ass 2. CONSTRUÇÃO DE TRIÂNGULOS ESCALENOS
92. Construa geometricamente o triângulo ABC sendo dados: a = 4,5 cm, b = 2,5 cm e  = 45º.
Dica: use arco capaz.
93. Construa geometricamente o triângulo AOE, sendo a = 5,8 cm, Ô = 45º e Ê = 60º.
94. Construa geometricamente o triângulo RST sendo dados: r = 68 mm, s = 53 mm e hr = 32 mm. Dica: trace uma paralela ao lado r distante hr (hr é a altura relativa ao lado r).
ISÓSCELES Lados não paralelos congruentes. 3. Trapézios
Apenas dois lados
paralelos, cha-mados de
base maior e
base menor. RETÂNGULO Dois ângulos retos.
UNIDADE DIDÁTICA IV - QUADRILÁTEROS
Assunto 1. Estudo geral. Assunto 2. Construção de quadrado. Assunto 3. Construção de losango. Assunto 4. Construção de retângulo. Assunto 5. Construção de paralelogramo. Assunto 6. Construção de trapézio.
Retângulo - é o paralelogramo eqüiângulo: os quatros ângulos são congruentes (retos).
# Podemos observar no retângulo ABCD:
• as duas diagonais são congruentes e se cruzam no ponto médio: AC
BD
• podemos chamar BC de base e AB de altura (= CD )
• o retângulo possui uma circunferência circunscrita, cujo cen-tro é o ponto M (intersecção das diagonais). Esse ponto é eqüi-distante dos vértices do retângulo, pois é o ponto médio das dia-gonais. O raio da circunferência é a distância de M a qualquer
um dos vértices (Ex: AM ), e mede a metade da diagonal 2d
# Construa geometricamente o retângulo
ABCD, sendo dados:
120. base = 5,2 cm e altura = 3 cm
121. diagonal = 6,2 cm e ângulo formado pelas diagonais = 45º
# Construa geometricamente o trapézio ABCD, sendo dados:
129. base menor = 4 cm, lado1 = 6 cm, lado2 = 5 cm e altura h = 3,5 cm. Apresente uma solução.
Passos: 1. construa duas paralelas distantes 3,5 cm (h) 2. na superior trace b (AB) 3. de A trace l1 determinando D na outra paralela (D’) 4. de B trace l2, determinando C na outra paralela (C’) 5. reforce a solução
130. Base maior CD = 85 mm, lado AD
= 50 mm, base menor AB = 40 mm e a = 30º (ângulo for-mado pela diagonal CA com CD ). Apresente somente uma solução.
Passos: 1. numa reta suporte qualquer trace CD 2. em C construa ângulo 30° (suporte da diagonal AC) 3. de D trace AD determinando A ou A’ na diagonal 4. por A construa uma paralela a CD 5. de A trace AB, determinando B 6. reforce a solução
131. base maior AB = 6 cm, base menor CD = 3 cm, lado AD
= 5,9 cm e altura h = 5 cm
Passos: 1. construa duas paralelas distantes 5 cm (h) 2. na inferior trace AB 3. de A trace AD determinando D ou D’ na outra paralela (uma solução) 4. de D trace CD, determinando C 5. reforce a solução
132. bases AB = 10,6 cm e CD = 4,8 cm, altura h = 5,9 cm e  = 45°
• Raio (r) - é o segmento que vai do centro até um ponto qualquer da circunferência.
• Arco - é um pedaço da curva da circunferência.
• Corda - é o segmento de reta que une as extremidades de um arco; é um segmento que une quaisquer dois pontos da circunferência.
• Diâmetro (d) - é a corda que passa pelo centro da circunferência (maior corda); mede o dobro do raio.
• Flecha - é o segmento de reta que une o centro de uma corda ao ponto médio do arco correspondente.
• Reta secante - é uma reta que passa pela circunferência cortando-a em dois pontos (pontos de secância). A parte da secante que fica no interior da circunferência é uma corda.
• Reta tangente - é uma reta que toca a circunferência em um único ponto (ponto de tangência).
• Semi-circunferência - é a metade da circunferência; é o arco definido por um diâmetro.
• Notação: C ( O ; r ) - circunferência de centro no ponto O e raio de medida r.
• Círculo - é a porção do plano limitada por uma circunferência. O círculo é, portanto, uma superfície. Daí afirmar-se que a circunferência é o contorno do círculo.
O - centro da circunferência. DT
= diâmetro OA = OD = OT = raio DGE = um arco da circunferência DE
= uma corda da circunferência, correspondente ao ar-co DGE
FG = flecha do arco DGE reta s = secante H e I = pontos de secância HI
= corda determinada pela secante s reta t = tangente T = ponto de tangência
UNIDADE DIDÁTICA V - CIRCUNFERÊNCIAS Assunto 1. Circunferência: estudo geral e determinação. Assunto 2. Divisão de circunferências.
UD V - Ass 1. CIRCUNFERÊNCIA: estudo geral e determinação.
- trace a mediatriz m dessa corda, determinando o ponto médio M de AB;
- nomeie C e D os pontos comuns da circunferência e da mediatriz.
O centro O pertence à reta mediatriz m. Então CD é um diâmetro da circunferência.
O ponto C é ponto médio do arco ACB: AC BC
O ponto D é ponto médio do arco ADB: AD BD
Baseado nas informações acima, complete a importante propriedade da circunferência:
141. Dada uma circunferência e três pontos P, R e S, determine geometricamente o centro O da circunfe-rência.
- Trace as mediatrizes de PR e de SR. Essas mediatrizes cruzam-se em apenas UM PONTO, eqüidistante dos pontos P, R e S. Então podemos concluir que esse ponto é o CENTRO da circunferência.
Baseado no exercício acima, complete esta outra importante propriedade da circunferência:
•o
P. . R
. S
“A ______________________ de uma corda passa pelo ________________ da circunferência
e pelos ________________________________________ dos arcos determinados pela corda”
“As __________________ de duas cordas não paralelas determinam o ____________ de uma
circunferência. Por três pontos não colineares podemos traçar uma única ____________________”
152. Divida geometricamente a circunferência dada em 5 partes iguais.
Passos: 1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, obtendo o ponto X 2. determine o ponto médio M de OX 3. centro em M, raio MB, trace um arco, determinando N 4. BN = l5 (aproximado)
153. Divida geometricamente as circunferências dadas em 5 partes iguais e inscreva o pentágono regular.
156. Divida geometricamente a circunferência dada em 9 partes iguais.
Passos: 1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, determinando os pontos A, P e P’’ 2. centro em P e raio OP, determine P’ 3. centro em P” e raio P’P’’, determine P’’’ no prolongamento do diâmetro 4. centro em P’’’ e raio P’’’P, trace o arco determinando N 5. AN = l9 (aproximado)
157. Divida geometricamente as circunferências dadas em 9 partes iguais e inscreva o eneágono regular.
158. Divida geometricamente a circunferência dada em 10 partes iguais.
Passos: 1. siga os 3 passos para determinar o l5:
1.1. trace dois diâmetros perpendiculares entre si, obtendo os pontos X e B 1.2. determine o ponto médio M de OX 1.3. centro em M, raio MB, trace um arco, determinando N
2. ON = l10 (aproximado)
Observação: se você prestar atenção na resolução deste exercício, verá que ao determinar o ponto N, obtemos o triângulo retângulo OBN, cujos catetos são OB = r = l6 e ON = l10 e a hipotenusa BN = l5, conforme mostra a figura ao lado
159. Divida geometricamente as circunferências dadas em 10 partes iguais
3. DIVISÕES APROXIMADAS: 11 partes em diante - Processo de RINALDINI
160. Divida geometricamente a circunferência dada em 11 partes iguais.
Passos orientados pelo professor: (neste exercício, evite fazer traçados desnecessários, evite traçar retas longas quando for possível somente marcar pontos) 1. trace um diâmetro AB vertical 2. centro em A e em B e raio AB, trace dois arcos determinando os pontos C e C’ 3. divida AB pelo mesmo número de partes (pontos) que se deseja dividir a circunferência (neste caso: 11), numerando somente os pontos ímpares (neste caso: 1, 3, 5, 7, 9 e 11), partindo de A = 0 4. partindo de C e passando por cada um dos pontos ímpares assinalados no item anterior, marque os pontos na circunferência do outro lado (Ex: sai de C, passa por 1 e na seqüência vai encontrar a circunferência) 5. mesma coisa do item 4, agora partindo de C’ e marcando a circunferência do outro lado 6. no final dos traçados, a circunferência deverá ficar dividida pelo número de partes solicitado no exercício, lembrando que este processo é aproximado
161. Divida geometricamente a circunferência dada em 12 partes iguais e inscreva o polígono regular.
Passos: 1. some os denominadores para obter o número de partes a dividir a circunferência (neste caso: 1 + 3 + 4 = 8 partes). 2. divida a circunferência pelo número de partes obtido (neste caso: 8) 3. delimite as partes desejadas de acordo com a proporção (neste caso: 1 parte para o K; 3 partes para o L e 4 partes para o B) 4. reforce a solução
165. Três amigos - EDUARDO, MAURÍCIO e PAULO, compraram uma pizza grande, que foi dividida em 9 pedaços iguais. Represente no círculo abaixo as partes que cada um comeu, sabendo que a
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
reta secante - uma reta é secante a uma circunfe-rência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos S1 e S2; podemos dizer também que é a reta que contém uma corda. Na figura ao lado, a reta s é uma reta secante à circunferência, os pon-tos S1 e S2 são os pontos de secância e 21SS é a corda da circunferência que está contida na reta secante s.
reta tangente - uma reta tangente a uma circunfe-rência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto T. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto T é o ponto de tangên-cia e a reta t é uma reta tangente à circunferência.
reta exterior - uma reta exterior a uma circunfe-rência é uma reta que não intercepta a circunfe-rência, ou seja, a reta e a circunferência não pos-suem ponto(s) em comum. Na figura ao lado, a reta e é uma reta exterior à circunferência.
UNIDADE DIDÁTICA VI - POSIÇÕES RELATIVAS DE RETAS E CIRCUNFERÊNCIAS
Assunto 1. Retas tangentes a circunferências. Assunto 2. Circunferências tangentes a retas. Assunto 3. Circunferências tangentes a circunferências.
A figura abaixo representa duas rodas dentadas e uma cremalheira, partes da engrenagem de um motor.
Desconsiderando os detalhes, podemos notar que sua estrutura básica é constituída por duas circunfe-rências e uma reta que se tangenciam (tocam, encostam) duas a duas, num ponto comum chamado ponto de tangência.
Na figura abaixo T é o ponto de tangência entre a reta r e a circunferência de centro C e T1 é o ponto de tangência entre as duas circunferências de centros O e C.
Uma reta é tangente a uma circunferência quando há apenas um ponto comum entre elas e esse ponto é chamado ponto de tangência. Na figura, a reta r é tangente à circunferência de centro O no ponto de tangência T.
Condição de tangência entre uma reta e uma circunferência
Quando uma circunferência e uma reta estão em tangência, o raio da circunferência sempre é perpendicu-lar à reta tangente no ponto de tangência. Observe o exemplo acima.
A reta suporte do raio perpendicular à tangente é chamada de reta normal.
Agora enuncie a propriedade:
166. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência dada. Identifique o ponto de tangência T.
UD VI - Ass 1. RETAS TANGENTES A CIRCUNFERÊNCIAS
r
•O
T
•
“A reta_______________________ a uma circunferência é SEMPRE perpendicular
ao raio que tem por extremidade o _______________ de _______________________”
167. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência, passando pelo ponto de tan-
gência T dado.
Passos: 1. trace a reta OT 2. construa uma perpendicular a OT passando por T
168. Construa geometricamente uma reta tangente a uma circunferência cujo centro é desconhecido, passando pelo ponto de tangência T dado.
Passos: - Precisamos construir um diâmetro que passe por T. Sabemos que a mediatriz de qualquer corda passa pelo centro da circunfe-rência. 1. ponta seca em T, abertura qualquer, marque dois pontos A e B na circunferência 2. construa a mediatriz de AB, que necessariamente passará por T 3. construa uma perpendicular à mediatriz de AB passando por T
169. Dada uma circunferência, uma reta r e um ângulo a, construa geometricamente retas tangentes à
circunferência, que formem com a reta r um ângulo a.
Passos: 1. transporte o ângulo a para a reta r 2. construa uma perpendicular ao lado do ângulo que não está apoiado em r, passando pelo centro O, obtendo os pontos T1 e T2
na circunferência 3. construa duas tangentes à circunferência que passem pelos pontos de tangência T1 e T2
170. Dada uma circunferência e um ponto P fora dela, trace geometricamente as retas tangentes à circunfe-rência ( t1 e t2 ) que passem por P.
Passos: 1. trace OP e determine seu ponto médio M 2. com centro em M e raio MO, descreva dois arcos que determinam na circunferência os pontos T1 eT2
3. construa as duas tangentes t1 e t2 ligando P com os pontos T1 e com T2
- os triângulos retângulos OT1P e OT2P estão inscritos em semi-circunferências (arco capaz de 90°)
171. Construa geometricamente duas retas tangentes exteriores às duas circunferências dadas.
Passos: 1. numa reta auxiliar, determine graficamente a diferença entre os raios das circunferências dadas (r1 - r2) e chame de r3
2. ligue O1 e O2 e determine o ponto médio M do segmento O1O2
3. centro em O1, construa a circunferência auxiliar de raio r3
4. centro em M e raio MO1, trace um arco cortando a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2 5. partindo de O1 e passando por 1, trace uma reta determinando T1 na circunferência dada (maior) 6. partindo de O1 e passando por 2, trace uma reta determinando T2 na circunferência dada (maior) 7. por O2 trace uma paralela a O1T1 obtendo T3 na circunferência de centro O2
8. por O2 trace uma paralela a O1T2 obtendo T4 na circunferência de centro O2
9. unindo T1 com T3 obtém–se a tangente exterior t1
10. unindo T2 com T4 obtém–se a tangente exterior t2
172. Construa geometricamente duas retas tangentes exteriores às duas circunferências dadas.
173. Construa geometricamente duas retas tangentes interiores às duas circunferências dadas.
Passos: 1. numa reta auxiliar, determine graficamente a soma entre os raios das circunferências dadas (r1+ r2) e chame de r3
2. ligue O1 e O2 e determine o ponto médio M do segmento O1O2
3. centro em O1, construa a circunferência auxiliar de raio r3
4. centro em M e raio MO1, trace um arco cortando a circunferência auxiliar nos pontos 1 e 2 5. trace O11, determinando T1 na circunferência dada (menor) 6. trace O12, determinando T2 na circunferência dada (menor) 7. por O2 trace uma paralela a O1T1 obtendo T3 na circunferência de centro O2
8. por O2 trace uma paralela a O1T2 obtendo T4 na circunferência de centro O2
9. unindo T1 com T3 obtém–se a tangente interior t1
10. unindo T2 com T4 obtém–se a tangente interior t2
174. Construa geometricamente duas retas tangentes interiores às duas circunferências dadas.
Uma circunferência é tangente a uma reta quando há apenas um ponto comum entre elas e esse ponto é chamado ponto de tangência. Na figura, a circunferência de centro O é tangente à reta r no ponto de tangência T.
Condição de tangência entre uma circunferência e uma reta
Quando uma circunferência e uma reta estão em tangência, o raio da circunferência sempre é perpendicu-lar à reta tangente no ponto de tangência. Observe o exemplo acima.
179. Construa geometricamente uma circunferência tangente a uma reta t dada, com centro em O.
180. Construa geometricamente uma circunferência de raio = 2,5 cm, tangente à reta t em T.
181. Construa geometricamente uma circunferência tangente às duas retas concorrentes dadas, sendo dado o ponto T de tangência em r. Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante das retas s e r (LG ......)
182. Construa geometricamente uma circunferência tangente à reta r dada no ponto de tangência T, que
passe pelo ponto M ( MT é corda da circunferência). Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante dos pontos T e M (LG .......)
183. Construa geometricamente uma circunferência tangente às duas retas paralelas dadas, sendo da-do o ponto T de tangência em r. Dica: o centro O da circunferência está eqüidistante das retas s e r (LG ......)
circunferências internas - uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.
circunferências concêntricas - duas ou mais circunferências com os centros coincidentes mas com raios diferentes são cir-cunferências concêntricas.
circunferências excêntricas - são circunferências com centros diferentes. Podem ser exteriores ou interiores.
circunferências tangentes - são circunferências que possuem um só ponto em comum (ponto de tangência). Podem ser interiores ou exteriores.
circunferências secantes - são circunferências que possuem dois pontos comuns
circunferências tangentes
UD VI - Ass 3. CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES A CIRCUNFERÊNCIAS
# duas circunferências que estão no mesmo plano são tangentes entre si, se elas são tangentes à mes-ma reta no mesmo ponto de tangência.
# os centros e o ponto de tangência são colineares (estão na mesma reta): OTO ou TOO
184. Construa geometricamente uma circunferência de centro O2 dado, tangente à circunferência de centro O1 dado.
185. Construa geometricamente uma circunferência tangente à circunferência dada no ponto T dado e que passe pelo ponto P. Dica: o centro está eqüidistante dos pontos P e T. (LG .......)
• O • T
• P
• O1
• O2
tangentes externas
# a distância entre os centros é igual à soma dos raios: d(O1, O2) = r1 + r2 #
tangentes internas
# a distância entre os centros é igual à diferença dos raios: d(O1, O2) = r1 – r2 #
186. Construa geometricamente uma circunferência tangente à dada e que passe no ponto S, sendo T o
ponto de tangência. Dica: o centro está eqüidistante dos pontos S e T. (LG .......)
187. Construa geometricamente uma circunferência tangente à reta r dada e tangente à circunferência dada no ponto T.
Passos: 1. ligue OT e construa uma perpendicular a OT passando por T, determinando o ponto X em r 2. construa a bissetriz do ângulo TXr, determinando O1 na reta OT 3. construa agora uma perpendicular a r passando por O1, determinando T1 - ponto de tangência entre a circunferência e a reta 4. construa a circunferência pedida, com centro em O1 e raio O1T ou O1T1
188. Construa geometricamente uma circunferência de centro O3 e r3 = 2 cm, que seja tangente externa
às duas circunferências dadas.
Passos: 1. determine (r1 + r3) e (r2 + r3) 2. O3 está (r1 + r3) de O1 e (r2 + r3) de O2
189. Construa geometricamente uma circunferência que seja tangente à circunferência dada e tangente à reta r dada no ponto P.
Passos: 1. trace uma perpendicular a r por P e marque PQ = raio da circunferência dada para baixo de r 2. construa a mediatriz de OQ, determinando O1 na perpendicular construída 3. com centro em O1 e raio O1P, construa a circunferência pedida
A palavra concordância sugere harmonia, ausência de conflitos. Em geometria, significa estabelecer a concordância entre duas linhas (semi-retas e/ou curvas) e
uni-las de modo que não sejam formados ângulos nos pontos de união, de contato. Assim, a passagem de uma linha para outra se dá harmoniosamente.
Podemos ligar um arco de circunferência e uma semi-reta ou dois arcos de circunferência de maneira aleatória, mas, para que haja concordância entre esses pares de objetos, é necessário que eles sejam tangentes e que possamos passar de um para outro com suavidade.
Agora chamaremos o ponto de tangência de ponto de concordância (de contato das duas linhas em concordância) e cada um dos centros das circunferências suportes dos arcos concordantes de centro de concordância.
Se o arco e a semi-reta estiverem do mesmo lado da normal (perpendicular), dizemos que há uma reversão. Concordância Reversão
Se os dois arcos estiverem do mesmo lado da linha dos centros, dizemos que há uma reversão.
Concordância Reversão
UNIDADE DIDÁTICA VII - CONCORDÂNCIA Assunto 1. Princípios fundamentais. Assunto 2. Concordância dupla, Gola e Ducina.
UD VII - Ass 1. PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DA CONCORDÂNCIA.
A concordância baseia-se em dois princípios fundamentais:
Há concordância Não há concordância
Há concordância Não há concordância
,
2° - Para concordar dois arcos de circunferência, é necessário que as duas circunferências sejam tangentes no ponto de concordância e, neste caso, os centros dos dois arcos e o ponto de concordância pertencem à mesma reta, são colineares.
1° - Para concordar uma semi-reta e um arco de circunferência, é necessário que a reta
seja tangente à curva no ponto de concordância. Neste caso a perpendicular à semi-reta nesse ponto contém o raio e o centro da curva.
1. Concordância entre uma semi-reta e um arco: o raio do arco concordante é sempre perpendicular à semi-reta concordante no ponto de concordância.
190. Concorde a semi-reta Pr
dada com um arco de circunferência de 2,5 cm de raio, sabendo que P é o
ponto de concordância.
Passos: 1. construa a perpendicular à semi-reta no ponto P 2. marque nos dois lados da perpendicular o raio = 2,5 cm, determinando os pontos O1 (acima) e O2 (abaixo) 3. centro em O1 e abertura O1P, construa uma solução (sentido horário) 4. centro em O2 e abertura O2P (= O1P), construa a outra solução (sentido anti-horário)
191. Concorde a semi-reta Ma com um arco que passe pelo ponto P, sendo M o ponto de concordância.
Passos: 1. perpendicular à semi-reta no ponto M 2. ligue MP e trace sua mediatriz, determinando o ponto O no encontro com a perpendicular 3. centro em O, construa o arco pedido
192. Concorde o arco AC de centro O dado com uma semi-reta, sendo A o ponto de concordância.
Passos: 1. ligue OA (prolongar) 2. no ponto A trace uma perpendicular a AO, com origem em A 3. reforce a solução
193. Concorde, no ponto de concordância X, a semi-reta Xy dada com os seguintes arcos: a. arco XA de 2 cm de raio, no sentido horário b. arco XB de 1 cm de raio, no sentido anti-horário c. arco XC de 4 cm de raio, no sentido horário d. arco XD de 3 cm de raio, no sentido anti-horário Obs: trace arcos de 180° (semi-circunferências)
2. Concordância entre arcos: os centros dos dois arcos e o ponto de concordância são colineares.
194. Concorde o arco DE dado com arcos de circunferência de raio = 2,3 cm, sendo D e E o ponto de concordância.
Passos: 1. trace a reta OE 2. marque sobre OE, distantes 2,3 cm (raio) de E, os pontos O1 (à esquerda) e O2 (à direita) 3. centro em O1 e abertura O1E construa uma solução (sentido anti-horário) 4. centro em O2 e abertura O2E (= O1E) construa a outra solução (sentido horário)
195. Concorde o arco KB dado com outro arco de mesmo sentido, que passa pelo ponto M., sendo B o ponto de concordância (tangente interna).
Passos: 1. mediatriz de MB 2. prolongue BO até a mediatriz, determinando O1
196. Concorde o arco FT dado com outro arco de sentido oposto, que passa pelo ponto N., sendo F o ponto de con-cordância (tangente externa).
Passos: 1. mediatriz de FN 2. prolongue OF até a mediatriz, determinando O1
3. com centro em O1, construa o arco pedido
197. Concorde o arco PC dado com os seguintes arcos: a. CA de raio = 1 cm, sendo C o ponto de concordância, de sentido oposto a. CB de raio = 3 cm, sendo C o ponto de concordância, de mesmo sentido a. PD de raio = 2 cm, sendo P o ponto de concordância, de sentido oposto a. PE de raio = 4 cm, sendo P o ponto de concordância, de mesmo sentido
200. Construa geometricamente um arco romano com flecha = 2,5 cm.
1.b ARCO ABATIDO
- arco composto (possui três centros), os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é menor que a metade do vão.
201. Construa geometricamente um arco abatido para as semi-retas dadas, com flecha = 2 cm.
Passos: 1. ligue VW e trace sua mediatriz 2. marque a flecha, determinando o ponto Y 3. marque um ponto O1 qualquer em VW, próximo de V (aproximadamente 1 cm) 4. pegue a medida VO1 e marque em VW, a partir de W, determinando o ponto O2
5. ainda com a mesma medida VO1, marque na flecha, a partir de Y, determinando o ponto Z 6. trace a mediatriz de O1Z, determinando O3 na media-triz de VW 7. ligue O3O1 e prolongue 8. ligue O3O2 e prolongue 9. concluindo, construa 3 arcos concordantes: 1° - centro em O1 e raio O1V, até encontrar a reta O3O1, determinando o ponto de concordância C1
2° - centro em O2 e raio O2W, até encontrar a reta O3O2, determinando o ponto de concordância C2
3° - centro em O3 e raio O3C1, até encontrar C2. Este último arco necessariamente deverá passar por Y
202. Construa geometricamente um arco abatido para as semi-retas dadas, com flecha = 3,5 cm.
1c. ARCO OGIVAL
- arco composto (possui dois centros), os extremos estão sobre a mesma linha horizontal e a flecha é maior
que a metade do vão. A intersecção dos dois arcos dá o vértice da curva, definindo o arco ogival. Os arcos não são concordantes entre si na extremidade da flecha, mas apenas com as semi-retas.
203. Construa geometricamente o arco ogival para as semi-retas abaixo, sabendo que sua flecha é igual
ao vão.
Passos: 1. trace a reta QR, prolongando para os dois lados 2. como foi dada a medida da flecha, devemos marcá-la na mediatriz de QR, determinando o ponto P - para determinar os centros dos arcos: 3. trace a mediatriz de PQ, determinando O1 em QR 4. trace a mediatriz de PR, determinando O2 em QR - construa agora os dois arcos: 5. centro em O1 e raio O1Q, levanta um arco até P 6. centro em O2 e raio O2R, levanta outro arco até P
204. Construa geometricamente um arco ogival para as semi-retas de vão KW = 10 cm e flecha = 7 cm. Obs: use a reta dada para suporte de K e W e não esqueça de construir as semi-retas para baixo
205. Construa geometricamente um arco ogival eqüilátero para as semi-retas dadas.
Passos: - como o arco é eqüilátero, o vão ST é o raio dos arcos a serem traçados (observe que assim você estará construindo um triângulo eqüilátero) 1. centro em S e raio ST, levanta um arco 2. centro em T e raio ST, levanta outro arco
1d. ARCO ESCONSO
- arco composto (possui dois centros), os extremos não estão sobre a mesma linha horizontal. A distância ente as duas semi-retas ainda é chamada de vão.
206. Construa geometricamente um arco esconso para as semi-retas dadas.
Passos: 1. construa duas perpendiculares às semi-retas, uma por A e outra por B e ambas para dentro do vão 2. na perpendicular traçada por A, marque O1 qualquer, próximo de A, distante menos que a metade do vão 3. medida AO1, na outra perpendicular, a partir de B, determinando C (BC AO1) 4. trace a mediatriz de O1C, determinando O2 na perpen-dicular por B 5. ligue O2O1 prolongando - construa agora os dois arcos: 6. centro em O1 e raio O1A, levanta um arco até a reta O2O1, determinando o ponto de concordância D 7. centro em O2 e raio O2B, levanta um arco até o ponto de concordância D
207. Construa geometricamente um arco esconso para as semi-retas dadas.
2. de sentidos opostos
2a. ARCO GOLA
- arco composto, os extremos estão alinhados na mesma perpendicular às duas semi-retas paralelas de sentidos opostos.
208. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco gola AB, sendo o ponto de concordância qual-quer.
Passos: 1. ligue AB e marque um ponto de concordância C qualquer em AB 2. trace as mediatrizes de AC e de CB, marcando os pontos médios M1 e M2, respectivamente - construa agora os dois arcos: 3. centro em M1 e raio M1A, concorde um arco no sentido horário até o ponto de concordância C 4. centro em M2 e raio M2B, concorde outro arco no sentido horário até o ponto de concordância C
- arco composto, os extremos não estão alinhados na mesma perpendicular às
duas semi-retas paralelas de sentidos opostos.
211. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina AB, sendo o ponto de concordância qualquer.
Passos: 1. construa duas perpendiculares às semi-retas dadas, uma por A e a outra por B 2. ligue AB e marque um ponto de concor-dância C qualquer em AB 3. trace a mediatriz de AC e marque O1 na perpendicular por A 4. trace a mediatriz de BC e marque O2 na perpendicular por B - construa agora os dois arcos: 5. centro em O1 e raio O1A, concorde um arco no sentido horário até o ponto de con-cordância C 6. centro em O2 e raio O2B, concorde outro arco no sentido horário até o ponto de con-cordância C
212. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina GK, sendo o ponto de concordância o ponto médio de GK.
213. Concorde as semi-retas paralelas dadas com um arco ducina DE, com o ponto de concordância dis-
tante 4,3 cm de D.
Concordância de semi-retas perpendiculares (nos prolongamentos)
214. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo R e S os pontos de concordância.
Passos: 1. trace duas perpendicular às semi-retas, uma em R e a outra em S, determinando o ponto O1 no encontro das duas 2. centro em O1 e raio O1R, concorde um arco de 270°, determinando o ponto de concordância C na perpendicular traçada por S 3. trace a mediatriz de CS, determinando o ponto médio O2
4. centro em O2 e raio O2S, concorde outro arco até C
215. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo M e N os pontos de concordância.
Concordância de semi-retas concorrentes não perpendiculares (nos prolongamentos)
216. Concorde as duas semi-retas dadas por meio de dois arcos, sendo A e B os pontos de concordância.
Passos: 1. trace duas perpendicular às semi-retas, uma em A e a outra em B, determinando o ponto O1 no encontro das duas 2. centro em O1 e raio O1A, concorde um arco até a perpendicular traçada por B determinando o ponto de concordância C 3. trace a mediatriz de CB, determinando o ponto médio O2
4. centro em O2 e raio O2B, concorde outro arco até C
Introdução - retificar uma circunferência é fazer com que toda a sua linha, que é curva, torne-se reta. É o
mesmo que traçar o segmento de reta que corresponde à medida de seu comprimento.
Existem diversos métodos de retificação, desenvolvidos por vários geômetras. Veremos três deles.
Como sabemos, e Arquimedes também sabia, existe uma razão constante entre o comprimento (C) de
qualquer circunferência e seu diâmetro (d). Tal razão é representada pela letra grega p (pi), que vale a-
proximadamente 3,1416. Assim:
p = dC
C = p d = 3,14.d = (3 + 0,14)d = 3d + 0,14d = 3d + 7
1d = 3d +
7
d
C = 3d + 7d
Deste modo, Arquimedes concluiu que o comprimento de uma circunferência é, aproximadamente, o tri-
plo mais um sétimo do diâmetro. Então: dividindo-se o diâmetro de uma circunferência em 7 partes iguais
e transportando essa medida mais 3 vezes a medida do diâmetro
sobre uma reta suporte, obtém-se o seg-
mento de reta que corresponde ao comprimento da circunferência.
UNIDADE DIDÁTICA VIII - RETIFICAÇÃO DE CIRCUNFERÊNCIA Assunto 1. Problema direto: processo de Arquimedes. Assunto 2. Problema direto: processo do segmento-soma. Assunto 3. Problema direto: processo de Terquem. Assunto 4. Problemas inversos sobre retificação. Assunto 5. Retificação de arcos - problema direto. Assunto 6. Retificação de arcos - problema inverso.
UD VIII - Ass 1. PROCESSO DE ARQUIMEDES DE RETIFICAÇÃO.
219. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte
abaixo.
Passos: 1. trace um diâmetro AB na circunfe-rência e divida-o em 7 partes 2. transporte para a reta suporte a sétima parte do diâmetro e mais três vezes o diâmetro 3. identifique e reforce a solução
220. Construa uma circunferência de raio = 2,5 cm e depois a retifique graficamente pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte abaixo.
221. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Arquimedes. Utilize a reta suporte abaixo.
Acompanhe o raciocínio: sabemos que 2 = 1,41 e 3 = 1,73. Assim, 2 + 3 = 3,14 = p
p = dC
C = p d = 2.p.r = 2( 2 + 3 )r = 2(r 2 + r 3 ), mas r 2 = l4 e r 3 = l3
C = 2.l4 + 2.l3
sendo l4 = lado do quadrado inscrito na circunferência l3 = lado do triângulo eqüilátero inscrito na circunferência
Então: dividimos a circunferência em 4 partes iguais e determinamos o l4, a seguir dividimos a circunfe-rência em 3 partes iguais e determinamos o l3. Transportando duas vezes cada uma das medidas obtidas (l3
e l4)
sobre uma reta suporte, obtemos o segmento de reta que corresponde ao comprimento da circunferên-cia.
222. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo do segmento-soma. Utilize a reta supor-te abaixo.
Passos: 1. determine o l4
2. determine o l3
3. transporte para a reta suporte duas vezes cada uma das medidas obtidas 4. identifique e reforce a solução
223. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo do segmento-soma. Utilize a reta supor-te abaixo.
UD VIII - Ass 2. PROCESSO DO SEGMENTO-SOMA DE RETIFICAÇÃO.
224. Retifique graficamente a circunferência dada pelo processo de Terquem (ou tangente de 30°). Utilize
a reta suporte abaixo.
Passos: 1. trace um diâmetro AB na posição vertical - identifique com A a extremidade inferior e com B a superior 2. construa uma perpendicular ao diâmetro passando por B 3. construa um ângulo de 30° com: vértice em O, um lado OB e o outro lado corta a perpendicular ao diâmetro à esquerda de B, determinando o ponto C 4. a partir de C, marque na perpendicular 3 vezes o raio da circunferência, determinando o ponto D 5. ligue AD, que corresponde a pr 6. para obter o comprimento C = 2 pr some duas vezes AD numa reta suporte auxiliar 7. identifique e reforce a solução
225. Construa uma circunferência de raio = 2,5 cm e depois a retifique graficamente pelo processo de Terquem. Utilize a reta suporte abaixo.
UD VIII - Ass 3. PROCESSO DE TERQUEM DE RETIFICAÇÃO.
PROBLEMA INVERSO SOBRE RETIFICAÇÃO (DESRETIFICAÇÃO)
- Consiste em se determinar a medida do raio de uma circunferência, conhecendo-se a medida dela retifi-cada. Os mesmos conhecimentos que permitiram resolver o problema direto podem ser utilizados na reso-lução do problema inverso.
1. processo inverso de Arquimedes
Já vimos que:
p = dC
C = p d = 3,14.d = (3 + 0,14)d = 3d + 0,14d = 3d + 7
1d = 3d +
7
d
C = 3d + 7d
Então C = 3d + 7
d =
7
d22
d = 22
C7, ou seja, dividimos o comprimento da circunferência retificada em
22 partes e pegamos 7, determinando assim o diâmetro da circunferência. Para se obter o raio, dividimos o
diâmetro ao meio.
226. Utilizando o processo inverso de retificação de Arquimedes e sabendo que uma circunferência retifi-cada mede AB , determine geometricamente a medida do raio r dessa circunferência e construa a circunferência com centro em O dado.
Resposta: r = ____________ cm
UD VIII - Ass 4. PROBLEMAS INVERSOS SOBRE RETIFICAÇÃO.
229. Utilizando o processo inverso de retificação de Terquem (ou tangente de 30º) e sabendo que uma
circunferência retificada mede AB , determine geometricamente a medida do raio r dessa circunfe-rência.
Resposta: r = _________ cm (compare com o resultado obtido no exercício 226)
Passos: 1. sabemos que AB = 2pr (comprimento da circunferência dada). Divida AB ao meio (diminua o tamanho de AB nas duas extremidades para facilitar o traçado da mediatriz) e determine a medida de pr (metade de 2pr) 2. construa uma circunferência de raio r’ qualquer com centro em O’ dado e retifique-a por Terquem obtendo pr’ - para se determinar o raio pedido, utilizamos segmentos proporcionais, que será visto com maiores detalhes no 9° ano: 3. num dos lados do ângulo dado, marque pr’ a partir de P, determinando Q 4. nesse mesmo lado, a partir de Q, marque r’, determinando R 5. no outro lado do ângulo dado, marque pr (determinado no passo 1) a partir de P, determinando S 6. ligue SQ e trace uma paralela a SQ partindo de R, determinando T no outro lado 7. reforce a solução r = ST
Um arco é a parte de uma curva que está entre dois pontos especificados. Fisicamente, é fácil calcular o
comprimento de um arco de uma determinada curva: pegue um pedaço de barbante, ajuste-o à curva entre
os pontos, estique o fio e meça o seu comprimento com uma régua. Daí o termo retificar um arco. Geome-
tricamente, o problema é um pouco mais complicado. Retificar um arco de circunferência é construir um
segmento de reta cujo comprimento é igual ao comprimento do arco. Como acontece na circunferência,
não há processo exato para retificação de arcos, mas vamos estudar um processo aproximado de erro teó-
rico desprezível.
Algebricamente, utilizamos regra de três simples, sendo l o com-
primento do arco retificado e x° a medida do arco em graus.
Retificação de arcos
1. arco menor que 90° (arco < 90°)
232. Retifique geometricamente o arco AB de centro O dado, menor que 90°.
Passos: 1. complete a circunferência 2. trace a reta s, suporte do raio AO, determinando C na outra ponta do diâmetro AC 3. construa uma tangente t à circunferência, passando por A 4. mediatriz de OC
M1
5. mediatriz de OM1
M2
6. centro em C e raio CM2, trace um arco determinando D no prolongamento do diâmetro AC 7. ligue DB, determinando E na tangente t 8. reforce a solução: AE
UD VIII - Ass 5. RETIFICAÇÃO DE ARCOS - PROBLEMA DIRETO.
235. Retifique geometricamente um arco de 90° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada. Dica: retifique por Terquem e divida pr ao meio.
Resposta: _________ cm
3. arco entre 90° e 180° (90° < arco < 180°)
236. Retifique geometricamente o arco AB de centro O dado, cuja medida está entre 90° e 180°.
Passos: 1. complete a circunferência 2. a partir do ponto C (próximo ao ponto médio do arco), trace a reta s passando por O, determinando D na outra ponta do diâ-metro CD (a partir daqui, serão duas retificações de arcos menores que 90°: um para cima e outro para baixo) 3. construa uma tangente t à circunferência, passando por C 4. mediatriz de OD
M1
5. mediatriz de OM1
M2
6. centro em D e raio DM2, trace um arco determinando E no prolongamento do diâmetro CD 7. ligue EB, determinando F na tangente t 8. ligue EA, determinando G na tangente t 9. reforce a solução: FG
239. Retifique geometricamente um arco de 180° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada. Dica: retifique por Terquem e pr é a solução.
Resposta: _________ cm
240. Retifique geometricamente um arco de 180° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada.
241. Retifique geometricamente um arco de 300° pertencente à circunferência dada, determinando sua medida aproximada.
Passos: 1. retifique a circunferência por qualquer processo 2. retifique o arco replementar daquele cuja retificação se pede (neste caso: 360° - 300° = 60°) 3. efetue a subtração gráfica entre o segmento da retificação da circunferência e o segmento da retificação do arco replementar 4. essa diferença é a solução
242. No projeto de uma máquina, duas polias, de raios iguais a 15 cm e 30 cm, têm seus centros distantes
75 cm. Determine graficamente o comprimento aproximado da correia acoplada a essas polias (observe a figura). Faça 1 cm no papel correspondendo a 10 cm no real. Dica: 1. trace as tangentes comuns exteriores às circunfe-
rências, determinando os 4 pontos de tangência 2. retifique os dois arcos definidos pelos pontos de
tangência 3. obtenha graficamente a soma das retificações dos
PROBLEMA INVERSO SOBRE RETIFICAÇÃO (DESRETIFICAÇÃO)
- Consiste em se determinar a medida do arco, conhecendo-se a medida dele retificado. Os mesmos co-
nhecimentos que permitiram resolver o problema direto podem ser utilizados na resolução do problema
inverso.
- Algebricamente, utilizamos regra de três simples, sendo l o
comprimento do arco retificado e x° a medida do arco em graus.
243. Determine geometricamente o arco cuja retificação m = 3,8 cm e que pertence a uma circunferência de centro O e raio = 3 cm.
Passos: 1. construa a circunferência de raio 3 cm e divida-a em 4 partes ABCD (AC horizontal e BD vertical) - siga a seqüência para retificação de arco < 90°: 2. prolongue o diâmetro AC para os dois lados 3. construa uma tangente t à circunferência, passando por A 4. mediatriz de OC
M1
5. mediatriz de OM1
M2
6. centro em C e raio CM2, trace um arco determinando E no prolongamento do diâmetro AC 7. ligue ED, determinando F na tangente t - aqui duas situações poderão ocorrer: 8. se m for menor que AF, marque na tangente t a partir de A, determinando o ponto I 8.1. ligue IE e marque o ponto G na circunferência 8.2. reforce a solução: arco AG (< 90°) 9. se m for maior que AF, marque na tangente a partir de F, determinando o ponto I depois de A 9.1 ligue IE e marque o ponto G na circunferência 9.2. reforce a solução: arco DG (> 90°)
UD VIII - Ass 6. RETIFICAÇÃO DE ARCOS - PROBLEMA INVERSO.