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Bizu para construir qualquer grco
Roney Duarte da Silva
February 3, 2016
Part I
Ideia central
Para construir grco podemos criar duas tabelas, um com os valores dos domnio x e outra com os valores
da funo nos respectivos domnios, tambm conhecido como imagem f(x). com posse do conjunto do para
(x, f(x)) facilmente tem-se a curva.
Caso estivermos trabalhando com funes bem conhecidas como sen(x) e cos(x), facilita o aprendizado, a
1
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posse de trs conceitos importantes:
Translao, Homotetia e Reexo.Com posse desses conceitos podemos facilmente manipular alguns tipos de funes e prever sua forma.
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1 TRANSLAO
1 Translao
A translao ocorre quando o grco deslocado para baixo ou deslocado para cima ou para os lados como
na gura (1.1). Podemos ver que a curva mantm o mesmo padro mas pode ser deslocada com auxilio de
artifcios matemticos.
fundamental entender o que ocorre na translao, isto , o que de fato alterado. E de incio importante
notar que observar as mudanas com estgios, ou seja, como apenas uma translao por vez, facilita muito.
Por exemplo, caso o grco
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1 TRANSLAO
Figure 1.1: Translao
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1.1 Translao vertical 1 TRANSLAO
1.1 Translao vertical
Ao transladar verticalmente apenas alteramos os valores da imagem, i. e., os valores de y. Ou seja se queremos,
ou notamos, que o grco est deslocado positivamente, ou negativamente, basta que somemos ou subtramos
esse valor. Tomemos como exemplo a funof(x) = sen(x), essa funo descolada uma unidade positivamente
ao somar uma unidade na imagem da mesma, na gura (1.2) temos a representao de f(x) = sen(x) e a
funo transladada verticalmente p(x) = sen(x) + 1, assim a translao vertical obtida com
f(x) + constante
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1.1 Translao vertical 1 TRANSLAO
Figure 1.2: Translao vertical
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1.2 Translao Horizontal 1 TRANSLAO
1.2 Translao Horizontal
A translao horizontal envolve um procedimento com o domnio, deferente da translao vertical que tem a
imagem incrementada ou subtrada de um valor. Podemos tomar a funo sen(x) novamente e ver o que
acontece quando somamos aos valores da imagem e calculamos aps a soma no mais sen(x), mais sim
sen(x+ constante)
f(x+ constante)
. Na gura (1.3) pode-se repara que se a constante for positiva, o grco deslocado para a esquerda, e se a
constante for positiva o grco deslocado para a direita.
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1.2 Translao Horizontal 1 TRANSLAO
Figure 1.3: Translao horizontal
Observao 1. Como vimos a translao no altera o jeito da curva, mas altera suas razes na maioria das
vezes.
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2 HOMOTETIA
2 Homotetia
Ocorre quando temos uma compresso ou esticamento de uma determinada curva. Podemos ver a funo
f(x) = sen(x) plotada na gura (2.1).
2.1 Homotetia vertical
Ocorre quando alteramos a imagem com um produto, representada pela curva azul da gura (2.1). Esse tipo
de homotetia mantm a posio dos pontos mximos e mnimos, alm das razes se manterem iguais. Isso ocorre
quando aumentamos o volume sonoro de um aparelho de som, ou televisor. A curva ampliada se zermos
constante f(x)
Caso a constante multiplicadora for maior que 1 amplicamos a funo, se for menor que 1 diminumos a
amplicao.
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2.1 Homotetia vertical 2 HOMOTETIA
Figure 2.1: Homotetia vertical
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3 REFLEXO
2.1.1 Homotetia horizontal
Agora chegou a hora de achatar ou esticar a funo. Como esse procedimento est na direo x o que voc
meu caro amigo sugere que deveria mudar? Acredito que pensou no x pois este est na direo horizontal. A
curva vermelha realizou uma homotetia horizontal
f(constante x)
como a constante > 1, os valores foram adiantados na funo, por isso o encurtamento ocorreu.
3 Reexo
A reexo bem intuitiva, essa reexo se d ao redor dos eixos, mudando de quadrantes.
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3 REFLEXO
Fonte: http://migre.me/sSGo5
Figure 3.1: Quadrantes cartesianos
Para mudar simplesmente dos quadrantes que a imagem positiva (quadrantes 1 e 2 para quadrantes 3 e
4) podemos multiplicar a funo inteira por 1
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3 REFLEXO
Figure 3.2: Reexo ao redor do eixo x
Caso queiramos reetir ao redor do eixo y basta multiplicadora o domnio por 1.
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3 REFLEXO
Figure 3.3: Reexo ao redor do eixo y
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4 APLICAES
4 Aplicaes
Para aplicar o que foi meio jogado para voc meu amiguinho, vamos usar a sua dvida.
1. f(x) = sen(2x+ pi
3
)Ora, pelo que vimos, podemos pensar que essa funo ser dada por uma multiplicao do domnio por
uma constante homotetia horizontal , e logo aps, uma translao horizontal.
sen(x) Hom. hor.
sen(2x) Trans.Hor.
sen(2x+
pi
3
)O grco da funo
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4 APLICAES
Figure 4.1: sen(2x+ pi
3
)pode-se notar que a funo tem conjunto Im = [1, 1], o que confere com a funo seno que limitadade 1 a 1 .16 UFABC-SBC
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4 APLICAES
2. g(x) = 1 + 2sen(x2 pi
6
)Esse caso podemos perceber que alm das alteraes feitas acima, foi somado uma unidade, logo esper-
amos tambm uma translao vertical.
sen(x) Homhor
sen(x
2
)
Transhor
sen(x
2 pi
6
)
Homvert
2sen(x
2 pi
6
)
Transvert
1+ 2sen(x2 pi6
)
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4 APLICAES
Figure 4.2: sen(x) Homhor
sen(x2
) Transhor
sen(x2 pi
6
)
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4 APLICAES
Figure 4.3: sen(x2 pi
6
) Homvert
2sen(x2 pi
6
) Transvert
1+ 2sen(x2 pi
6
)19 UFABC-SBC
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4 APLICAES
Assim chegamos a curva.
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4 APLICAES
Figure 4.4: 1+ 2sen(x2 pi
6
)
21 UFABC-SBC
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5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS
5 Mtodo encontrando alguns pontos
Vale lembrar que esse mtodo serve como guia, as funes trigonomtricas, polinomiais, exponenciais, logartmi-
cas entre outras tem uma curva padro, a partir dessas podemos ter uma ideia da cara da bixa. Mas temos que
ser malandros o suciente para saber onde essa curva vai tocar. Por exemplo, na funo g(x) = 1+2sen(x2 pi
6
)podemos facilmente encontrar onde g(x) = 0
g(x) = 0 1 + 2sen(x
2 pi
6
)= 0
1 + 2sen(x
2 pi
6
)= 0
2sen(x
2 pi
6
)= 1
sen(x
2 pi
6
)= 1
2
Basta lembrar do crculo trigonomtrico (gura (5.1)) , vericar para quais valores de x, sen(x) = 12, vimos
que em 7pi/6 ou 11pi/6 sen(x) assume valores de 12. Assim quando
x
2 pi
6=
7pi
6 x = 8pi
3
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5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS
e
x
2 pi
6=
11pi
6 x = 4pi
Com esse resultado sabemos onde a funo cruza o eixo x, agora basta saber o mnimos da funo e o mximo.
Como g(x) = 1+2sen(x2 pi
6
)a parcela 2sen
(x2 pi
6
)vai variar, lembrando que 1 sen(qualquer merda)
1 ,vemos que quando
sen(x
2 pi
6
)= maximo = 1 g(x) = 1 + 2 1 = 3
e quando
sen(x
2 pi
6
)= mnimo = 1 g(x) = 1 + 2 (1) = 1
O ponto xdo mximo
sen(x
2 pi
6
)= maximo = 1
x
2 pi
6=
pi
2
x =4pi
3
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5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS
esse valor indica que a primeira para cima do sen(x) estudado est antes da curva para baixo. Colocando os
pontos no grco temos
Figure 5.2: Montagem do grco
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5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS
A funo sen(x) oscila de uma forma padro, assim como no temos razes entre zero e o ponto B,
lembre-se que o ponto B representa a raiz da funo. basta traar a curva suavemente e manter o padro de
distncias.
Figure 5.3: Resultado
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5 MTODO ENCONTRANDO ALGUNS PONTOS
Fonte: http://migre.me/sSJrd
Figure 5.1: Crculo trigonomtrico
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I Ideia centralTranslaoTranslao verticalTranslao Horizontal
HomotetiaHomotetia verticalHomotetia horizontal
ReflexoAplicaesMtodo encontrando alguns pontos
