Descomposici´ on en Fracciones Parciales En cursos m´as avanzados, sobre todo en c´ alculo y en ecuaciones diferenciales, para integrar un cuociente de dos polinomios, a menudo es necesario expresarlo como la suma de dos o m´as cuocientes menos “complicados” denominados fracciones parciales. Se centrar´ a la atenci´on en cuocientes de la forma p(x) q(x) donde p(x),q(x) son polinomios reales. Si el grado de p(x) es menor que el grado de q(x), entonces p(x) q(x) se denomina fracci´ on propia. La descomposici´ on en fracciones parciales supone que p(x) q(x) es una fraccin propia. En caso que no lo sea, basta con hacer la divisin polinomial de p(x) por q(x) para obtener p(x) q(x) = c(x)+ r(x) q(x) donde el grado de r(x) es menor que el de q(x). Cualquier fracci´ on propia p(x) q(x) se puede descomponer en la suma de fracciones parciales, como sigue: 1. Factorizar el denominador q(x) completamente sobre los reales. 2. Si q(x) tiene un factor lineal que no se repite, de la forma ax + b, entonces la descomposici´ on en fracciones parciales de p(x) q(x) contiene un t´ ermino de la forma A ax + b , A constante. 3. Si q(x) tiene un factor lineal, que se repite k veces, de la forma (ax + b) k , entonces la descom- posici´on en fracciones parciales de p(x) q(x) contiene los t´ erminos de la forma: A 1 ax + b + A 2 (ax + b) 2 + ··· + A k (ax + b) k , A 1 ,A 2 ,...A k constantes. 4. Si q(x) tiene un factor cuadr´ atico que no se repite, de la forma ax 2 + bx + c, entonces entonces la descomposici´ on en fracciones parciales de p(x) q(x) contiene un t´ ermino de la forma : Ax + B ax 2 + bx + c , AyB constantes. 5. Si q(x) tiene un factor cuadr´atico, que se repite k veces, de la forma (ax 2 + bx + c) k , entonces la descomposici´ on en fracciones parciales de p(x) q(x) contiene los t´ erminos de la forma: A 1 x + B 1 ax 2 + bx + c + A 2 x + B 2 (ax 2 + bx + c) 2 + ··· + A k x + B k (ax 2 + bx + c) k A 1 ,A 2 ,...A k ,B 1 ,B 2 ,...B k constantes.