1 Ders 14 Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları • Bernoulli Dağılımı • Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım) • Çok Terimli Dağılım • Geometrik Dağılım • Negatif Binom Dağılımı • Hipergeometrik Dağılım • Poisson Dağılımı • Düzgün (Uniform) Dağılım Bernoulli Rasgele Değişkeni Tanım 6.2.1: Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç varsa X’e Bernoulli rasgele değişkeni denir. Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1 değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır . Bernoulli Dağılımı Örnek 6.2.1: Aşağıdaki denemelerde Bernoulli rasgele değişkenini tanımlayınız. 1) Para atılması 2) İçinde M siyah ve N beyaz top bulunan bir kavanozdan bir top çekilmesi 3) Kusurlu ve kusursuz parçaların bulunduğu bir kutudan bir parça çekilmesi
13
Embed
Ders 14 - siirt.edu.tr · 1 Ders 14 Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları • Bernoulli Dağılımı • Binom Dağılımı(İkiTerimli
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
1
Ders 14
Bazı Kesikli Olasılık Dağılımları-I
Bazı Kesikli Olasılık
Dağılımları
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı (İki Terimli Dağılım)
• Çok Terimli Dağılım
• Geometrik Dağılım
• Negatif Binom Dağılımı
• Hipergeometrik Dağılım
• Poisson Dağılımı
• Düzgün (Uniform) Dağılım
Bernoulli Rasgele Değişkeni
Tanım 6.2.1: Bir X rasgele değişkeni için yalnız iki sonuç
varsa X’e Bernoulli rasgele değişkeni denir.
Bir denemede elde edilecek iki sonuç için genellikle 0 ve 1
değerleri karşılık getirilir. 1 değeri belli bir denemenin
başarılı olmasına, 0 ise başarısızlığına karşılıktır.
Bernoulli Dağılımı
Örnek 6.2.1: Aşağıdaki denemelerde Bernoulli rasgele
değişkenini tanımlayınız.
1) Para atılması
2) İçinde M siyah ve N beyaz top bulunan bir kavanozdan
bir top çekilmesi
3) Kusurlu ve kusursuz parçaların bulunduğu bir kutudan
bir parça çekilmesi
2
Bernoulli Dağılımı
Tanım 6.2.2: (Bernoulli Dağılımı) X rasgele değişkeni
0 ve 1 değerlerini alsın. X’in olasılık fonksiyonu:
1
( 1)
( 0) 1 yada
( ) ( ) .(1 ) , 0,1 dir. x x
P X p
P X p q
f x P X x p p x
Bu dağılıma Bernoulli dağılımı denir.
Bernoulli Dağılımı
1( ) ( ) .(1 ) , 0,1 x xf x P X x p p x
Teorem 6.2.1: X, Bernoulli dağılımına sahip bir rasgele
değişken olsun.
Bernoulli dağılımının ortalaması μ ve varyansı σ2, sırasıyla
2 2 2
( )
( ) [ ( )] . .(1 )
E X p
E X E X p q p p
Bernoulli Dağılımı
1 11
0 0
( ) . ( ) . (1 )x x
x x
E X x f x x p p p
2 2 2
12 2 1
0
( ) [ ( )]
( ) . (1 )x x
x
E X E X
E X x p p p
İspat: Beklenen değer tanımından
2 2 (1 ) .p p p p p q
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Tanım 6.3.1: (Binom Rasgele Değişkeni) Birbirinden
bağımsız n Bernoulli denemesinden başarılı olanların
toplam sayısı X rasgele değişkeni olsun. Bir tek deneme
için başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı 1-p
ise aşağıdaki koşulları sağlayan X’e binom rasgele
değişkeni denir.
3
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
1) Deney n özdeş denemeden oluşmaktadır.
2) Her bir deneme için yalnız iki sonuç vardır.
Başarı (S) ve başarısızlık (F)
3) Bir tek deneme için başarı olasılığı olan p her deneme
için aynıdır. Başarısızlık olasılığı q=1-p dir.
4) Denemeler birbirinden bağımsızdırlar.
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Örnek 6.3.1: Aşağıdaki deneylerde tanımlanan X, binom rasgele
değişkenidir.
1) Bir para 10 kez atılsın. X rasgele değişkeni gözlenen turların
sayısıdır.
2) İçinde 8 siyah ve 4 beyaz top bulunan bir kavanozdan tekrar
yerine koyarak 3 top çekilsin. X rasgele değişkeni çekilen siyah
top sayısıdır.
3) İçinde 3 kusurlu ve 7 kusursuz parça bulunan bir kutudan tekrar
yerine koyarak 4 parça seçelim. X rasgele değişkeni seçilen
kusurlu parçaların sayısıdır.
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Teorem 6.3.1: (Binom Dağılımı) Birbirinden bağımsız n
Bernoulli denemesi için X, her bir denemede başarı
olasılığı p, başarısızlık olasılığı q olan binom rasgele
değişkeni ise, X’in olasılık fonksiyonu:
( ) . . , x=0,1,2,...,nx n xn
f x p qx
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
İspat: n bağımsız denemede başarı sayısı X; 0, 1, …, n
olabilir.SSS…..S
x
FFF…..F
n-x
Çarpım teoreminden ilk x denemenin başarılı, geri kalan
n-x denemenin başarısız olması olasılığı px.(1-p)n-x dir.
Denemeler birbirinden bağımsız olduğundan diğer bir x
“başarı” ve n-x “başarısızlık” dizisinin olasılığı da px.qn-x dir.
Bir grupta x, diğerinde n-x sonuç bulunan n sonucun farklı
dizilerinin sayısı dir.n
x
4
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Bir defada bir olay elde edileceğinden bu olaylar ayrıktır.
Toplama kuralı nedeniyle f(x) (n denemedeki başarı sayısı)
aşağıdaki gibidir.
( ) . . , x=0,1,2,...,n (Binom Dağılımı)x n xn
f x p qx
Olasılıklar toplamı:
0 0
( ) . . ( ) 1n n
x n x n
x x
nf x p q p q
x
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Örnek 6.3.2: Bir para 4 kez atılsın.
a) İki tura
b) En az bir tura
c) 1’den fazla tura gelmesi olasılıkları nedir?
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
44 1 1
( ) ( )2 2
x x
f x P X xx
Çözüm: 4 atıştaki turaların sayısı X olsun. Böylece X
rasgele değişkeni için olasılık fonksiyonu
a) İki tura gelme olasılığı
2 4 24 1 1 1 1 3
(2) ( 2) 6. .2 2 2 4 4 8
f P X
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
b) En az bir tura elde etme olasılığı, bir yada daha çok tura
elde etme olasılığına eşittir.
0 4 0
( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 1 ( 0)
4 1 1 1 151 . . 1
0 2 2 16 16
P x P X P X P X P X P X
c) Birden fazla tura elde etmenin olasılığı
4 4
( 1) ( 2) ( 3) ( 4)
1 ( 0) ( 1)
1 1 111 4.
2 2 16
P X P X P X P X
P X P X
5
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
( ) . . , x=0,1,2,...,n x n xn
f x p qx
Teorem 6.3.2: X rasgele değişkeninin olasılık fonksiyonu
aşağıdaki gibi olsun.
2 2 2
( )
( ) [ ( )]
E X np
E X E X npq
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
İspat: Binom rasgele değişkeni X, her biri 1 değerini p,
0 değerini 1-p olasılığı ile alan n bağımsız Xi, Bernoulli
değişkeninin toplamıdır.
X=X1+X2+…+Xn olduğundan
1 2( ) ( ... )
...
nE X E X X X
p p p np
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
X’in varyansı:
2
1 2( ) ( ... )nVar X Var X X X
Xi’ler bağımsız olduklarından
2
1 2( ) ( ) ( ) ... ( )
...
nVar X Var X Var X Var X
pq pq pq
npq
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)
Örnek 6.3.6: Üç ildeki üç farklı göreve, üç farklı meslekten,
üç aday başvuruyor. Her adayın bulunduğu ildeki göreve
seçilmesi olasılığı 1/3 olmak üzere en az birinin oturduğu
ilde görev alma olasılığı nedir?
p=1/3 (Adayın oturduğu ilde göreve seçilmesi)
q=2/3 (Adayın oturduğu ilde göreve seçilmemesi)
6
Binom Dağılımı
(İki Terimli Dağılım)Çözüm:
Binom deneyi için koşullar:
1) n=3 (sabit)
2) Her aday ya yaşadığı yere görevli gider, ya da gidemez.(iki
sonuç var)
3) p=1/3, q=2/3 (Her aday için aynıdır)
4) Görevlendirmeler bağımsızdır.
0 3
( 1) 1 ( 0)
3 1 2 191 . .
0 3 3 27
P X P X
İstenen olasılık:
Çok Terimli Dağılım
(Multinomial Distribution)
Bir deneyde E1, E2, …, Ek ile gösterilen ayrık sonuçların
elde edildiğini kabul edelim. Denemeler n kez
tekrarlandığında her bir Ei’nin (i=1, 2, …, k) elde ediliş
sayısının ortak dağılımı çok terimli dağılımdır. Çok