บทที่ 3 อนุพันธ์ และการประยุกต์ (Derivatives and Applications) ในบทนี้จะกล่าวถึงนิยามหรือความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ต่างๆ ทฤษฎีของอนุพันธ์ ตลอดจนการนาเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ ซึ่งรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง การหาค่าสูงสุดและต่าสุด เป็นต้น 3.1 อนุพันธ์ นิยาม 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x คือฟังก์ชัน f โดยที่ f (x) นิยามดังนี้ f (x) = h ) x ( f ) h x ( f lim 0 h โดเมนของ f คือจุดทุกจุดในโดเมน f ที่ทาให้ลิมิตดังกล่าวหาค่าได้ นิยาม 3.2 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (Differentiable) ที่จุด x ถ้า f (x) หาค่าได้ นิยาม 3.3 f เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ถ้า f (x) หาค่าได้ที่ทุกๆ จุดบนโดเมน f ตัวอย่าง 3.1 จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่อไปนี้ 1. f (x) = x 2 2. f (x) = x วิธีทา 1. f (x) = x 2 จาก f (x) = h ) x ( f ) h x ( f lim 0 h = h x ) h x ( lim 2 2 0 h = h x h xh 2 x lim 2 2 2 0 h = h x 2 lim 0 h = 2x
บทที่ 3 อนุพันธ์ และการประยุกต์ (Derivatives and Applications) ในบทนี้จะกล่าวถึงนิยามหรือความหมายของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ต่างๆ ทฤษฎีของอนุพันธ์ ตลอดจนการนาเอาอนุพันธ์ไปประยุกต์ใช้ ซึ่งรวมถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง การหาค่าสูงสุดและต่าสุด เป็นต้น 3.1 อนุพันธ์ นิยาม 3.1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x คือฟังก์ชัน f โดยที่ f (x) นิยามดังนี้ f (x) = lim f (x h) f (x) h 0
h
โดเมนของ f คือจุดทุกจุดในโดเมน f ที่ทาให้ลิมิตดังกล่าวหาค่าได้ นิยาม 3.2 f เป็นฟังก์ชันท
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
บทที ่3 อนุพันธ ์และการประยุกต์ (Derivatives and Applications)
จากรูป เมื่อพิจารณา f (x) ในช่วง [a, b] จะเห็นได้ว่า ที่จุด x = e มีค่าสูงสุดสัมบูรณ์ (Absolute maximum value) ที่จุด x = b มีค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ (Absolute minimum value) ที่จุด x = a และ c, e มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ (Relative maximum value) ที่จุด x = b, d มีค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ (Relative minimum value)
นิยาม 3.7 ก าหนด f เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนคือเซต D ส าหรับค่า c ที่อยู่ใน D จะเรียก f (c) ว่าเป็น 1. ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ f 2. ค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ของ f บน D ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ทุกค่า x ที่อยู่ในโดเมนของ f
นิยาม 3.8 ก าหนด f เป็นฟังก์ชัน และ c เป็นจุดที่อยู่ภายในโดเมนของ f จะเรียก f (c) ว่าเป็น 1. ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c กต็่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด c 2. ค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงเปิดที่รวมจุด c
จากนิยามดังกล่าวนี้ สามารถที่จะขยายในการนิยามค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือต่ าสุดสัมพัทธ์ ที่จุดปลายของช่วงโดเมน f ที่ก าหนด ดังนี้
a b c d e f
31
จะกล่าวว่า f (c) เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงคร่ึงเปิดที่รวมจุด c
และ f (c) จะเป็นค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ก็ต่อเมื่อ f (x) f (c) ส าหรับทุกค่า x ที่อยู่ในช่วงครึ่งเปิดที่รวมจุด c
ทฤษฎีบท 3.3 ถ้าฟังก์ชัน f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ภายในโดเมนของ f และถ้าอนุพันธ์ของ f ที่จุด c หาค่าได้แล้ว f (x) = 0
จากทฤษฎีนี้แสดงให้เห็นถึงค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c ซึ่งอยู่ในโดเมนของ f ในกรณีที่สามารถหาอนุพันธ์ของ f ที่จุด c ได้ อย่างไรก็ตามพิจารณาฟังก์ชัน f ต่อไปนี้
f (x) = | x – 3 | , 2 x 6
รูปที่ 3.3 f(x) = |x| - 3 โดยที่ 2 ≤ x ≤ 6
จะเห็นได้ว่า f มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 2 และ f มีค่าสงูสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 6 f มีค่าต่ าสุดสัมบูรณ์ที่จุด x = 3 แต่ที่จุดน้ี f ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้
นิยาม 3.9 จุด c ในโดเมน f เรียกว่าเป็นจุดวิกฤต (Critical point) ถ้า f (x) = 0 หรือ f (x) หาค่าไม่ได้
ข้อสังเกต f จะมีค่าสูงสุด หรือต่ าสุดที่จุด c ถ้า c เป็นจุดวิกฤตหรือจุดปลายของโดเมนของ f
รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นตรงที่สัมผัสจุดที่อยู่ด้านซ้ายและด้านขวาของจุดวิกฤต
รูปที่ 3.4 ก รูปที่ 3.4 ข
รูปที่ 3.4 ค
รูปที่ 3.4 แสดงจุดวิกฤตของฟังก์ชัน y = f(x) และความชันของเส้นสัมผัส
y = f(x)
c c
y = f(x)
c
y = f(x)
33
จากรูปที่ 3.4 ก 3.4 ข และ 3.4 ค สามารถสรุปได้ว่า ส าหรับจุดวิกฤตที่ x = c ของฟังก์ชัน f
1. ถ้า f (x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก – เป็น + ที่จุด c จะได้ว่า f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด c 2. ถ้า f (x) เปลี่ยนเคร่ืองหมายจาก + เป็น – ที่จุด c จะได้ว่า f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด c 3. ถ้า f (x) ไม่เปลี่ยนเคร่ืองหมายที่ทั้งสองด้านของจุด c จะได้ว่า f ไม่มีค่าสูงสุดสัมพทัธ์
ทฤษฎีบท 3.4 ก าหนด f (x) และจุดที่อยู่ในโดเมน f ที่ท าให้ f (c) = 0 ถ้า 1. f (x) < 0 แล้ว f มีค่าสูงสุดสมัพัทธ์ที่จุด c 2. f (x) > 0 แล้ว f มีค่าสุดสัมพทัธ์ที่จุด c
จะได ้ f (x) = 3x2 – 3 จะเหน็ได้ว่า f (x) หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ ค่า x ที่เป็นจ านวนจริง
ให้ f (x) = 0 จะได้ 3x2– 3 = 0
นั่นคือ x2 = 1 หรือ x = 1 ดังนั้น ที่จุด x = 1 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณา f (x) = 6x ที่จุด x = 1, f (1) = 6 > 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = 1 ที่จุด x = –1, f (–1) = –6 < 0 ดังนั้น f มีจุดสูงสุดสัมพัทธ์ที่จุด x = –1
ตัวอย่าง 3.19 จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ของ f (x) = x4
วิธีท า จาก f (x) = x4
f (x) = 4x3
f (x) สามารถหาค่าได้ทุกค่า x ที่เป็นจ านวนจริง
ให้ f (x) = 0 ดังนั้น 4 x3 = 0 และจะได้ x = 0
ดังนั้น ที่จุด x = 0 เป็นจุดวิกฤตของ f (x)
พิจารณา f x) = 12 x2 ที่จุด x = 0, จะได้ว่า f 0) = 0 ดังนั้น ยังสรุปไม่ได้ว่าที่จุด x = 0 เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ าสุดสัมพัทธ์หรือไม่
พิจารณาช่วงต่างๆ ของ f (x) ดังนี้
ช่วง x < 0 x > 0 เคร่ืองหมายของ f
(x) - +
เคร่ืองหมายของ f (x) เปลี่ยนจาก – เป็น + ที่จุด x = 0 ดังนั้น f มีจุดต่ าสุดสัมพัทธ์ที่ x = 0
จากรูป ถ้าให้ความกว้างของสี่เหลี่ยมมุมฉาก = x จะได้ความยาวของสี่เหลี่ยมดังกล่าว = 50 – x ดังในรูป ให้ A = พื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก จะได้ A = x (50 – x)