Derivative Relation on Fluid Particle

8/17/2019 Derivative Relation on Fluid Particle

1/53

HUBUNGAN DERIVATIF UNTUKPARTIKEL FLUIDA

Tujuan untuk menganalisa gerakan fuida(ar!ikel fuida"Pada uraian awal kita ketahui bahwa bentukvektor dari sebuah medan kecepatan bervariasiterhadap ruang dan #ak!u $

Berdasarkan Hukum Newton II untuk sistem

fuida yang sangat kecil dibutuhkan analisavektor medan kecepatan aliran :

arena setiap komponen skalar !u" v" w#

merupakan $ungsi dari % variabel !&" y" '" t# maka


2/53

(engan mende)nisikan d&*dt + u" dy*dt + v"d'*dt + w" maka:

(engan demikian hal ini berlaku juga jika udigantikan oleh v dan w sehingga persamaandiatas ditulis :

Hal ini bisa diterapkan terhadap variabel yanglain misalnya konsep tekanan :


3/53


4/53

PER%A&AAN DIFEREN%IAL UNTUKK'N%ERVA%I &A%%A


5/53


6/53


7/53


8/53


9/53

,peed o$ sound o$

fiudPers Bernoulli ygmengabaikan beda elevasi

-. + /


10/53


11/53


12/53

+ 012/ *34


13/53

PER%A&AAN DIFEREN%IAL UNTUK&'&ENTU& LINIER

(engan memasukkan persamaan pada tabel kedalam persamaan di atas maka:


14/53

(alam kebanyakan aplikasi seperti persamaanBernoulli biasanya arah . diambil vertikal !keatas#


15/53

GAA PER&UKAAN ARAH


16/53

(5N67N 8N,5P 97N6 ,77 IT7 BI,7 T;


17/53

5TI67 P5


18/53

P5


19/53


20/53

(7


21/53

(IINT56


22/53


23/53

PER%A&AAN DIFEREN%IAL UNTUK&'&ENTU& ANGULER


24/53

PER%A&AAN DIFEREN%IAL

UNTUK ENERGI


25/53


26/53


27/53


28/53


29/53


30/53


31/53


32/53

Adalah aliran di mana elemen fluida bergerak dalam medan aliran

tidak mengalami rotasi. 0=ω

0=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂=∂∂−∂∂ yu

xv

xw

z u

z v

yw


33/53

Dalam koordinat silindris:

0

111

=∂

∂

−∂

∂

=∂

∂

−∂

∂

=∂

∂

−∂

∂

θ θ

θ θ r z r z V

r r

rV

r r

V

z

V

z

V V

r

C t h t h b i li bi di b i li i t ti l


34/53

Contoh-contoh bagian aliran yang bisa dianggap sebagai aliran irrotational :


35/53

Irrotational Flow Applikasi Pers. Bernoulli

konstan

Persamaan di atas berlaku untuk dua titik pada

streamline yang sama. Nilai konstanta

bergantung pada masing2 stream line.

Syarat inviscid:

Incompressible

Steady

Irrotational

=++ gz

V p

2

2

ρ


36/53

Dari pers. uler:

Irrotational flow

( )V V z g p

∇⋅=∇−∇−

ρ

1

( ) ( ) ( )V V V V V V

×∇×−⋅∇=∇⋅2

1

0=×∇ V

( ) ( )V V V V

⋅∇=∇⋅2

1

( ) ( )22

1

2

11V V V z g p ∇=⋅∇=∇−∇−

ρ


37/53

Selama selang dt partikel berpindah dari:

konstan

konstan

!ntegrasi:

r d r r +→ k dz jdyidxr d ˆˆˆ ++=

( ) r d V r d z g r d p ⋅∇=⋅∇−⋅∇− 22

11

ρ

( )2

2

1

V d gdz

dp

=−− ρ

=++∫ gz V dp

2

2

ρ

=++ gz V p

2

2

ρ


38/53

5. Velocity Potential (Ф)

"ntuk velocity field yang irrotational:

Dan hanya valid #ika $ merupakan fungsi skalar.

"ntuk irrotational flow, harus ada

fungsi $ dimana gradiennya merupakan vektor

kecepatan.

0=×∇ V

0)( =∇×∇= φ φ grad curl

φ −∇≡V


39/53

%oordinat silindris:

Velocity potential:

&anya untuk irrotational flow

'alid untuk daerah aliran dimana gaya viskos diabaikan

Irrotational ideal flid !ero viscosity

xu

∂

∂−= φ

yv

∂

∂−= φ

z w

∂

∂−= φ

z k

r e

r er

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=∇ ˆ

1ˆˆ

θ θ

r V r

∂

∂−= φ

θ

φ θ

∂

∂−=r

V 1

z V z

∂

∂−= φ


40/53

Stream Fnction " Velocity Potential untuk #wo$

%imensional, Irrotational, Incompressible

Substitusi pers. stream fnction ke kondisi

irrotational:

(&aplace '.)

xu

∂∂−= φ

yv

∂∂−= φ

yu

∂

∂= ψ

xv

∂

∂−= ψ

0=∂

∂−

∂

∂

y

u

x

v0

2

2

2

2

=∂∂

+∂∂

→ y x

ψ ψ

S


41/53

Substitusi pers. velocity potential ke

persamaan kontinuitas:

(&aplace '.)

Semua fungsi ) atau Ф yang memenuhi pers.

*aplace mempunyai ciri: aliran dua dimensi+

incompressible, irrotational.

0=∂∂

+∂∂

y

v

x

u0

2

2

2

2

=∂

∂+

∂

∂→

y x

φ φ

S f i d l h k t #


42/53

Stream fnction adalah konstan sepan#ang

streamline.

, konstan

d ,-

Slope dari sebuah streamline sebuah garis

konstan :

0=∂

∂+

∂

∂= dy

ydx

xd

ψ ψ ψ

u

v

u

v

y

x

dx

dy=

−−=

∂∂∂∂

−=

/

/

ψ

ψ

ψ


43/53

Sepan#ang garis dengan * konstan d* ,-:

Slope dari sebuah potential line sebuah garis

konstan * :

0=∂∂+

∂∂= dy

ydx

xd φ φ φ

vu

y x

dxdy −=

∂∂∂∂−=

//

φ φ

φ


44/53

ontoh:

Diberikan persamaan incompressible flow field .

a/ Buktikan alirannya irrotational

b/ 0entukan Velocity potential Penyelesaian:

Irrotational flow +! , -.

22 ayax −=ψ 13 −= sa

y

u

x

v z

∂

∂−

∂

∂=ω 2

yu

∂

∂= ψ

xv

∂

∂−= ψ


45/53

%omponen kecepatan

!ntegrasi terhadap 1:

( ) ayayax y

u 222 −=−∂

∂= ( ) axayax

x

v 222 −=−

∂

∂=

( ) ( ) 022222 =+−=−

∂

∂−−

∂

∂=

∂

∂−

∂

∂=

aaay yax x y

u

x

v z ω

ay x

u 2−=∂

∂−= φ

ay x

2=∂

∂φ

)(2 y f axy+=φ


46/53

f = konstan

konstan

yv

∂

∂−= φ

[ ])(22 y f axy y y

axv +∂∂−=

∂∂−=−= φ

dy

df

ax y

y f

axax −−=∂

∂

−−=− 2

)(

22 0=→ dydf

+= axy2φ


47/53


48/53


49/53


50/53


51/53


52/53


53/53

Derivative Relation on Fluid Particle

Documents