7. Derivabilitatea 7. Derivabilitatea func func ţ ţ iei compuse iei compuse Teoremă Teoremă: Fie intervalele I,J R, f : J I şi u:I J două funcţii astfel încât u u este derivabilă este derivabilă î î n n x x 0 0 I, iar f este derivabilă f este derivabilă î î n u(x u(x 0 0 ) ) J. Atunci funcţia compusă f o u f o u : I R este derivabilă este derivabilă î î n x x 0 0 şi ⊂ ∈ ∈ ( ) ( ) ) ( ' )) ( ( ' 0 0 0 ' x u x u f x u f ⋅ = o Demons tra Demons traţ ţ ie. ie. Considerăm funcţia auxiliară unde t 0 = u(x 0 ). Deoarece f este derivabilă în t 0 rezultă imediat că h este continuă în t 0 . Pentru orice x ≠ x 0 , avem egalitatea: (1). Deoarece iar u este derivabilă în x 0 , trecând la limită în relaţia (1) cu x x 0 , obţinem ceea ce încheie demonstraţia. Cum x 0 este arbitrar, deducem următorul rezultat: dacă I, J sunt intervale de numere reale şi f: J R, u : I J sunt derivabile pe J, respectiv pe I, atunci f o u este derivabilă pe I şi are loc următoarea regulă de derivare regulă de derivare: = ≠ − − = → 0 0 0 0 0 ), ( ' , ) ( ) ( ) ( , : t t t f t t t t t f t f t h R J h 0 0 0 0 ) ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( x x x u x u x u h x x x u f x u f − − ⋅ = − − )) ( ( ' ) ( ' ) ( )) ( ( )) ( ( lim 0 0 0 0 0 x u f t f t h x u h x u h x x = = = = → ) ( ' )) ( ( ' ) )( ( ) )( ( lim 0 0 0 0 0 x u x u f x x x u f x u f x x ⋅ = − − → o o ( ) ( ) ) ( ' )) ( ( ' ' x u x u f x u f ⋅ = o Compunerea a două func ţ ii derivabile este o func ţ ie derivabilă. Folosind formulele privind derivarea funcţiilor elementare şi teorema de mai sus, vom alcătui un tabel pentru calculul derivatelor funcţiilor compuse. Exemplu. Exemplu. Să considerăm funcţia f:R->R, f(x) = x n (n natural). Avem f '(x) = nx n-1 , de unde rezultă: (u n (x)) ' = (f ou)’(x) = f '(u(x)) ·u’(x) = nu n-1 (x) • u'(x). Am demonstrat deci formula: (u n )' =nu n-1 ·u'. Analog se justifică celelalte formule din tabelul de mai jos
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
7. Derivabilitatea7. Derivabilitatea func func iei compuse iei compuseTeorem Teorem: :Fie intervalele I,JR,f : JIiu:IJ dou funcii astfel nct uu este derivabileste derivabil nn x x0 0I, iar f este derivabilf este derivabil nn u(x u(x00 ) ) J. Atunci funcia compus f o u f o u : I R este derivabileste derivabil nn x x0 0 i ( ) ( ) ) ( ' )) ( ( '0 0 0'x u x u f x u f = oDemonstra Demonstra ie. ie.Considerm funcia auxiliar unde t0= u(x0). Deoarece f este derivabil n t0rezult imediat c h este continu n t0. Pentruorice x x0, avem egalitatea: (1). Deoareceiar u este derivabil n x0, trecnd lalimit n relaia (1) cu x x0, obinem ceea ce ncheie demonstraia.Cum x0 este arbitrar, deducem urmtorul rezultat: dac I, J sunt intervale de numere reale i f: JR, u : IJsunt derivabile pe J, respectiv pe I, atunci f o u este derivabil peI i are loc urmtoarea regul de derivare regul de derivare:== 0 0000 ), ( ',) ( ) () ( , :t t t ft tt tt f t ft h R J h0000) ( ) ()) ( ()) ( ( )) ( (x xx u x ux u hx xx u f x u f =)) ( ( ' ) ( ' ) ( )) ( ( )) ( ( lim0 0 0 00x u f t f t h x u h x u hx x= = = =) ( ' )) ( ( ') )( ( ) )( (lim0 0000x u x u fx xx u f x u fx x =o o( ) ( ) ) ( ' )) ( ( ''x u x u f x u f = oCompunerea a dou funcii derivabile este o funcie derivabil.Folosind formulele privind derivarea funciilor elementare i teorema de mai sus,vom alctui un tabel pentru calculul derivatelor funciilor compuse.Exemplu.Exemplu. S considerm funcia f:R->R, f(x) = xn(n natural). Avem f '(x) = nxn-1, de unde rezult:(un(x)) ' = (fou)(x) = f '(u(x))u(x) = nun-1(x) u'(x). Am demonstrat deci formula: (un)' =nun-1u'. Analog se justific celelalte formule din tabelul de mai jos'ln1ua unu( ) '11'uu nun nn =( ) 'cos1'2uutgu =( ) 'sin1'2uuctgu =Derivata luif o u f o u(un)=nun-1u(ua)'=aua-1u'(au) =aulnau'(eu)=euu'(loglog a au) u) = =(sin u)' = cos u u'(cos u)' = - sin u u'Funcia compusfo uu un nu ua aa au ue eu uloglog a au usin ucos utg uctg uarcsin uarccos uarctg uarcctg u( ) '11' arcsin2uuu =( ) '11' arccos2uuu =( ) '11'2uuarctgu +=( ) '11'2uuarcctgu + =Exemple. 1. Pentru a calcula derivata funciei f(x) = (x2+x)3 , notm x x2 2+x= u(x) +x= u(x) i avem f '(x) =(u(x)3) = 3 u2(x) u '(x) = 3(x2+x)2(2x+ 1).2. Pentru a calcula derivata funciei, notm x2= u (x). f '(x) = (eu) ' = eu u' =2) (xe x f =22xxeObserva Observa ie.ie. Dac funcia u este la rndul ei o funcie compus, procedeul seaplic n mod repetat.Exemple. Exemple.( ) ( )( ) ( ) ( ) x xxxxxx x xx x xcos sin 23 sin13 sin3 sin13 sin ln ) 22 cos 2 ln 2 sin 2 ln 2 2 ) 12'22'22 sin'2 sin'sin2 2 2+= + += + = =Observa Observa ie.ie. Se poate arta c dac u i v sunt dou funcii derivabile i u este strict pozitiv,ntr-adevr, cum ( ) ' ln '1'u u v u v uv v + =( ) ( ) ' ln ''ln ' )' ln (1 ln'ln'u u v u u vuuv u v u u v e e uv v v u v u v v + =||
\| + = = =8. Derivabilitatea8. Derivabilitatea func func iei inverse iei inverseVom prezenta o teorem care stabilete condiiile ca funcia invers a unei funcii date, s fie derivabil, ct si o formul de calcul a derivatei acesteia.Teorem Teorem: :Fie I, J intervale si f: I J,o funcie continu si bijectiv. Dacf este derivabil n x0 i f '(x0) 0, atunci funcia invers f -1: J I este derivabil n punctul y0=f(x0) i( ) ( )) ( '100'1x fy f =Observa Observa ii. ii.1. Dac f '(x0) = 0, tangenta n x0 la graficul lui f este orizontal. Rezult c tangenta n y0=f(x0) la graficul lui f -1este vertical, decif -1are n y0 derivat infinit.2. Cum x0este arbitrar, obinem rezultatul:Demonstra Demonstra ie. ie.Fie yy0 oarecare; atunci ecuaia f(x) =y are soluie unic.(deoarece f este bijectiv) i x = f -1(y). Avem x x0 i n plusCum funcia f -1 este continu (vezi capitolul continuitate), avem de unde obinem x x0 . Trecnd la limit n (*) cu x x0obinem concluzia cerut.( )0000001 1) ( ) (1) ( ) () (x xx f x fx f x fx xy yy f y f== 0 01 1) ( ) ( lim0x y f y fy y= = (*)dac I, J sunt intervale, f:I->J este bijectiv i derivabil pe I cu f ' 0 pe I , atuncif -1: JI este derivabil pe J i( )1'1'1=f ffoExemple. 1. Funcia f:RR, f(x) = x3 +x este bijectiv i derivabil cu f ' 0. Atunci f -1 este derivabil i ne propunem s calculm (f -1)'(2).Ecuaia f(x) = 2 are soluia unic x0= 1. Avem f (x) = 3x2+ 1, deci f (1) = 4, de unde:( )41) 1 ( '1) 2 ('1= =ff
Related Documents
