Derivadas implícitas, orden superior, derivate, por fórmula

Elaborado por:

Azahel Hernández Navarrete.

Ingeniería Financiera, 8vo Cuatrimestre.

Cálculo Diferencial, 5to Cuatrimestre.

Examen Unidad 2. Cálculo Diferencial e Integral.

Deriva las Siguientes funciones.

A. Método de los 4 pasos.

I. 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐

1er paso: a 𝑓(𝑥) se le suma h = 𝑓(𝑥 + ℎ)

𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ) − 2(𝑥 + ℎ)2

𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2(𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2)

𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − (2𝑥2 + 4𝑥ℎ + 2ℎ2)

𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2

𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2

2ndo paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) se le resta 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

𝑓(𝑥) = (𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2) − (𝑥 − 2𝑥2)

𝑓(𝑥) = 𝑥 + ℎ − 2𝑥2 − 4𝑥ℎ − 2ℎ2 − 𝑥 + 2𝑥2

𝑓(𝑥) = ℎ − 4𝑥ℎ − 2ℎ2

3er paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) se divide entre h = 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ

Se factoriza el numerador de ℎ−4𝑥ℎ−2ℎ2

ℎ

o ℎ(1−4𝑥−2ℎ)

ℎ

Se cancela h.

o ℎ(1−4𝑥−2ℎ)

ℎ

(1 − 4𝑥 − 2ℎ)

4to paso: a 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: 𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎=

𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)

𝒉

limℎ→0

= 1 − 4𝑥 − 2ℎ

limℎ→0

= 1 − 4𝑥 − 2(0)

𝑓′(𝑥) = 1 − 4𝑥

Resultado de la derivada de la ecuación 𝒇(𝒙) = 𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 es: 𝒇′(𝒙) = 𝟏 − 𝟒𝒙

II. 𝒚 =𝟐𝒙

𝒙𝟑

Sub paso: a 𝑦 =2𝑥

𝑥3, se simplifica a: 𝑦 =2

𝑥2

1er paso: a 𝑓(𝑥) se le suma h = 𝑓(𝑥 + ℎ)

𝑦 =2

(𝑥+ℎ)2

2ndo paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) se le resta 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

𝑦 =2

(𝑥+ℎ)2 −2

𝑥2

𝑦 =2(𝑥2)−(𝑥+ℎ)2(2)

(𝑥+ℎ)2(𝑥2)

𝑦 =2𝑥2−2(𝑥+ℎ)2

𝑥2(𝑥+ℎ)2

Se resuelve el binomio de 𝑦 =2𝑥2−2(𝑥+ℎ)2

𝑥2(𝑥+ℎ)2

o 𝑦 =2𝑥2−2(𝑥2+2𝑥ℎ+ℎ2)

𝑥2(𝑥+ℎ)2

𝑦 =2𝑥2−(2𝑥2+4𝑥ℎ+2ℎ2)

𝑥2(𝑥+ℎ)2

𝑦 =2𝑥2−2𝑥2−4𝑥ℎ−2ℎ2

𝑥2(𝑥+ℎ)2

𝑦 =−4𝑥ℎ−2ℎ2

𝑥2(𝑥+ℎ)2

3er paso: a 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) se divide entre h = 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ

𝑦 =(

−4𝑥ℎ−2ℎ2

𝑥2(𝑥+ℎ)2 )

ℎ

Se realiza la división por método sándwich.

o 𝑦 =(

−4𝑥ℎ−2ℎ2

𝑥2(𝑥+ℎ)2 )

ℎ

1

𝑦 =1(−4𝑥ℎ−2ℎ2)

ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)

Se factoriza el denominador

o 𝑦 =ℎ(−4𝑥−2ℎ)

ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)

Se cancela h de 𝑦 =ℎ(−4𝑥−2ℎ)

ℎ(𝑥2(𝑥+ℎ)2)

o 𝑦 =−4𝑥−2ℎ

𝑥2(𝑥+ℎ)2

4to paso: a 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)

ℎ se le obtiene su límite, donde ℎ → 0: 𝐥𝐢𝐦

𝒉→𝟎=

𝒇(𝒙+𝒉)−𝒇(𝒙)

𝒉

limℎ→0

=−4𝑥−2(0)

𝑥2(𝑥+(0))2

limℎ→0

=−4𝑥

𝑥2(𝑥)2

limℎ→0

=−4𝑥

𝑥4

𝑦′ =−4

𝑥3

Resultado de la derivada de la ecuación 𝒚 =𝟐𝒙

𝒙𝟑 es: 𝒚′ =−𝟒

𝒙𝟑

B. Deriva por fórmula.

I. 𝒇(𝒘) =( √𝒘𝟑𝟒

)(−𝟐𝒘𝟐)

(−𝟐𝒘)𝟐

Se transforma el radical √𝑤34 a exponente 𝑤3/4 .

Se cancela el exponente (−2𝑤)2, para pasa a ser (−2)2𝑤2 = 4𝑤2

Se suman los exponentes de la variable w, de la siguiente forma:

o −2(𝑤3

4 + 𝑤2)

o Puesto que en el denominador, tiene una variable w, se sube al numerador

con exponente negativo: 4𝑤2 =𝑤−2

4

o Se procede a continuar la suma de las variables w: 𝑓′(𝑤) =−2(𝑤

34+𝑤2+𝑤−2)

4

o La función queda de la siguiente forma: 𝑓′(𝑤) =−2(𝑤

34)

4

o Se procede a transformar el exponente 𝑤3

4 a radical 𝑓′(𝑤) =−2( √𝑤34

)

4

o 𝑓′(𝑤) =−1 √𝑤34

2

o 𝒇′(𝒘) =− √𝒘𝟑𝟒

𝟐

II. 𝒇(𝒎) =𝟓

𝟒𝒆𝐥𝐧(√𝒎)

Se cancela 𝑒ln de la función 𝑓(𝑚) =5

4𝑒ln(√𝑚), ya que su derivada es la misma.

Se obtiene la radical √𝑚 en exponente 𝑚1/2

Se deriva el exponente 𝑚1/2 en 1

2𝑚

(1

2)−1

Se multiplica el 𝑓(𝑚) =5

4l por la derivada del exponente

1

2𝑚−

1

2, quedando de la

siguiente forma: 𝑓(𝑚) =5

4(

1

2𝑚−

1

2)

𝑓′(𝑚) =5

8𝑚−

1

2

Puesto que el exponente 𝑚−1

2, está negativo, ésta hay que volverlo positivo de la

siguiente forma: 𝑚−1

2 →1

𝑚1/2 por lo que…

𝑓′(𝑚) =5

8(

1

𝑚12

)

𝑓′(𝑚) =5

8𝑚12

𝒇′(𝒎) =𝟓

𝟖√𝒎

III. 𝒚 = 𝒆−𝟓𝒙(𝟓

√𝒙𝟐−𝟓)

Se transforma el radical √𝑥2 − 5 en exponente (𝑥2 − 5)1

2.

Para eliminar la división 5

(𝑥2−5)12

, se procede a subir el denominador al numerador,

cambiando el exponente de positivo a negativo, de la siguiente forma:

5 ((𝑥2 − 5)−1

2)

Se procede a realizar la multiplicación de 𝑦 = (𝑒−5𝑥) (5 ((𝑥2 − 5)−1

2)), a través de la

fórmula UV=UV’+VU’, donde 𝑈 = (𝑒−5𝑥), y 𝑉 = (5 ((𝑥2 − 5)−1

2)).

𝑈 = (𝑒−5𝑥), 𝑉 = (5 ((𝑥2 − 5)−

12))

𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5𝑥1−1)

𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5𝑥0)

𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5(1))

𝑈′ = 𝑒−5𝑥(−5)

𝑈′ = −5𝑒−5𝑥

Se deriva la función (5 ((𝑥2 − 5)−1

2)) en tres

partes: la derivada de (𝑥2 − 5)−1

2 ; de 𝑥2 y la

multiplicación por 5 ((𝑥2 − 5)−1

2) :

o 𝑉′ = (5 (−1

2(𝑥2 − 5)(−

1

2)−1

)) (𝑥2)

o 𝑉′ = (5 (−1

2(𝑥2 − 5)

−3

2 )) (2𝑥2−1)

o 𝑉′ = (−5

2(𝑥2 − 5)

−3

2 ) (2𝑥)

o 𝑉′ = (2𝑥) (−5

2) (𝑥2 − 5)

−3

2

o 𝑉′ = (−10𝑥

2) (𝑥2 − 5)

−3

2

o 𝑉′ = −5𝑥(𝑥2 − 5)−3

2

Por tanto: 𝑈𝑉 = [(𝑒−5𝑥) (−5𝑥(𝑥2 − 5)−3

2 )] + [(−5𝑒−5𝑥) (5 ((𝑥2 − 5)−1

2))]

𝑦′ = [(𝑒−5𝑥)(−5𝑥)(𝑥2 − 5)−3

2 ] + [(−5𝑒−5𝑥)(5)(𝑥2 − 5)−1

2]

𝑦′ = [(−5𝑥𝑒−5𝑥)(𝑥2 − 5)−3

2 ] + [(−25𝑒−5𝑥)(𝑥2 − 5)−1

2]

𝑦′ = −5𝑥𝑒−5𝑥(𝑥2 − 5)−3

2 −25𝑒−5𝑥(𝑥2 − 5)−1

2

IV. 𝒇(𝒙) = 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙) (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒

Puesto que 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙) está multiplicando a (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒, entonces se procederá a

usar la siguiente fórmula: UV=UV’+VU’, donde 𝑈 = 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙), y 𝑉 = (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒.

𝑼 = 𝟑 𝐬𝐞𝐜𝟐(𝟏 − 𝒙) 𝑽 = (𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟒

Puesto que la derivada de una secante es 𝑠𝑒𝑐(𝑈) =sec(𝑈) tan(𝑈) (𝑈′), entonces 𝑈 = 3 sec2(1 − 𝑥) se deriva en

2 partes, sec2 y sec en lo siguiente:

𝑈′ = 3(2 sec2−1(1 − 𝑥))(sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))((0) − (𝑥1−1))

𝑈′ = 3(2 sec1(1 − 𝑥))(sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))(−𝑥0) 𝑈′ = 6 sec(1 − 𝑥) (sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥))(−1) 𝑈′ = (−1)6 sec(1 − 𝑥) (sec(1 − 𝑥) tan(1 − 𝑥)) 𝑼′ = −𝟔 𝐬𝐞𝐜(𝟏 − 𝒙) (𝐬𝐞𝐜(𝟏 − 𝒙) 𝐭𝐚𝐧(𝟏 − 𝒙))

Puesto que la función 𝑉 = (5𝑥2 −𝑥)4 está compuesto de un

binomio, entonces se procederá

a derivarlo en 2 partes: (5𝑥2 − 𝑥)4

y 5𝑥2 − 𝑥.

𝑉′ = 4(5𝑥2 − 𝑥)4−1(2(5𝑥2−1 − 𝑥1−1) 𝑉′ = 4(5𝑥2 − 𝑥)3(10𝑥1 − 𝑥0)

𝑉′ = 4(5𝑥2 − 𝑥)3(10𝑥 − (1))

𝑉′ = (10𝑥 − 1)(4)(5𝑥2 − 𝑥)3

𝑽′ = (𝟒𝟎𝒙 − 𝟒)(𝟓𝒙𝟐 − 𝒙)𝟑

[(3𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥))((40𝑥 − 4)(5𝑥2 − 𝑥)3)] + [((5𝑥2 − 𝑥)4)(−6 𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) (𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥)))]

(3)𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥)(40𝑥 − 4)(5𝑥2 − 𝑥)3+(5𝑥2 − 𝑥)4 + (−6) + 𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) + (𝑠𝑒𝑐(1 − 𝑥) + 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥))

(120𝑥 − 12)(5𝑥2 − 𝑥)3 𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥) − 6(5𝑥2 − 𝑥)4 𝑠𝑒𝑐2(1 − 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(1 − 𝑥)

𝑓′(𝑥) = 6(5𝑥2 − 𝑥)3 sec2(1 − 𝑥)[(20𝑥 − 2) − (5𝑥2 − 𝑥) tan(1 − 𝑥)]

C. Obtén la derivada de segundo orden de “y” (y’’), de la siguiente ecuación

implícita.

I. 𝟐𝒙𝒚 − 𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚

Derivada de primer orden (𝑦’).

o Se iguala a “0”.

2𝑥𝑦 − 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 = 0

o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).

2𝑥𝑦 − 𝑦2 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 = 0

−𝑦2 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 = 0

−𝑦2 − 𝑥2 + 𝑥𝑦 = 0

o Se deriva toda la función.

[(2) − 𝑦2−1(𝑦′)][(2) − 𝑥2−1] + (𝑥1−1𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0

[−2𝑦1𝑦′][−2𝑥1] + (𝑥0𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0

−2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + (1𝑦)(+𝑥𝑦′) = 0

−2𝑦𝑦′ − 2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦′ = 0

o Se agrupan los términos con y’.

−2𝑦𝑦′ + 𝑥𝑦′ = +2𝑥 − 𝑦

o Se factoriza la y’ de la función.

𝑦′(−2𝑦 + 𝑥) = +2𝑥 − 𝑦

o Se despeja y’ de la función.

𝑦′ =+2𝑥−𝑦

−2𝑦+𝑥

Derivada de segundo orden (𝑦’’).

o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente

derivación.

o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula: 𝑈

𝑉=

𝑉𝑈′−𝑈𝑉′

𝑉2 , por lo que se realizará lo siguiente:

𝑼 = 2𝑥 − 𝑦 𝑽 = −2𝑦 + 𝑥

𝑼′ = 2𝑥1−1 − 𝑦1−1𝑦′ 𝑼′ = 2𝑥0 − 𝑦0𝑦′

𝑼′ = 2(1) − (1)𝑦′ 𝑼′ = 2 − 𝑦′

𝑽′ = −2𝑦1−1𝑦′ + 𝑥1−1

𝑽′ = −2𝑦0𝑦′ + 𝑥0 𝑽′ = −2(1)𝑦′ + (1)

𝑽′ = −2𝑦′ + 1

o [(−2𝑦+𝑥)(2−𝑦′)]−[(2𝑥−𝑦)(−2𝑦′+1)]

(−2𝑦+𝑥)2

o [((−2𝑦)(2))((−2𝑦)(𝑦′))][((𝑥)(2))((𝑥)(−𝑦′))]−[((2𝑥)(−2𝑦′))((2𝑥)(1))][((−𝑦)(−2𝑦′))((−𝑦)(1))]

(−2𝑦+𝑥)2

o [(−4𝑦)(−2𝑦𝑦′)][(2𝑥)(−𝑥𝑦′)]−[(−4𝑥𝑦′)(2𝑥)][(+2𝑦𝑦′)(−𝑦)]

(−2𝑦+𝑥)2

o Se eliminan paréntesis.

−4𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑥−𝑥𝑦′+4𝑥𝑦′−2𝑥+2𝑦𝑦′+𝑦

(−2𝑦+𝑥)2

o Se ordenan mediante variable x, de mayor a menor en su exponente.

+2𝑥−2𝑥+4𝑥𝑦′−𝑥𝑦′−4𝑦+𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑦𝑦′

(−2𝑦+𝑥)2

o Se realizan las operaciones (suma o resta) de términos iguales.

+2𝑥−2𝑥+4𝑥𝑦′−𝑥𝑦′−4𝑦+𝑦−2𝑦𝑦′+2𝑦𝑦′

(−2𝑦+𝑥)2

+3𝑥𝑦′−3𝑦

(−2𝑦+𝑥)2

o Sustituir y’ con la función obtenida +2𝑥−𝑦

−2𝑦+𝑥 en la función anterior.

+3𝑥(

+2𝑥−𝑦

−2𝑦+𝑥)−3𝑦

(−2𝑦+𝑥)2

o Realizar la multiplicación correspondiente entre +3𝑥 y (+2𝑥−𝑦

−2𝑦+𝑥).

+3𝑥

1(

+2𝑥−𝑦

−2𝑦+𝑥)

((3𝑥)(+2𝑥)(+3𝑥)(−𝑦)

−2𝑦+𝑥)

((6𝑥1+1)(−3𝑥𝑦)

−2𝑦+𝑥)

((6𝑥2)(−3𝑥𝑦)

−2𝑦+𝑥)

(6𝑥2−3𝑥𝑦

−2𝑦+𝑥)

o Realizar la suma de fracciones ubicadas en el numerador.

(

6𝑥2−3𝑥𝑦

−2𝑦+𝑥)

(−3𝑦)

1

(−2𝑦+𝑥)2

(

6𝑥2−3𝑥𝑦(−3𝑦(−2𝑦+𝑥))

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

(

6𝑥2−3𝑥𝑦(−3𝑦(−2𝑦)(−3𝑦)(+𝑥))

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

(

6𝑥2−3𝑥𝑦((+6𝑦1+1)(−3𝑥𝑦))

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

(

6𝑥2−3𝑥𝑦+6𝑦2−3𝑥𝑦

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

o Sumar los términos similares.

(

6𝑥2−3𝑥𝑦+6𝑦2−3𝑥𝑦

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

(

6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

o Aplicar el método “Sándwich”

(

6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2

−2𝑦+𝑥)

(−2𝑦+𝑥)2

1

(6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2)(1)

(−2𝑦+𝑥)1(−2𝑦+𝑥)2

6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2

(−2𝑦+𝑥)1+2

6𝑥2−6𝑥𝑦+6𝑦2

(−2𝑦+𝑥)3

o Se factoriza el 6 en la ecuación ubicado en el numerador.

6(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)

(−2𝑦+𝑥)3

o Se obtiene la derivada de segundo orden resultante:

𝑦′′ =6(𝑥2−𝑥𝑦+𝑦2)

(−2𝑦+𝑥)3

II. 𝒙𝟑 − 𝟕 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 = 𝟑𝒚𝟐 − 𝒙𝟐𝒚 Derivada de primer orden (𝑦’).

o Se iguala a “0”.

𝑥3 − 7 + 3𝑥2𝑦 − 3𝑦2 + 𝑥2𝑦 = 0

o Se resuelven los mismos términos (suma o resta).

𝑥3 − 7 + 3𝑥2𝑦 − 3𝑦2 + 𝑥2𝑦 = 0

𝑥3 − 7 + 4𝑥2𝑦 − 3𝑦2 = 0

o Se deriva toda la función.

3𝑥3−1 − (0) + [((2)4𝑥2−1𝑦)(4𝑥2𝑦′)] − [((2)3𝑦2−1)(𝑦′)] = 0

3𝑥2 + [(8𝑥1𝑦)(4𝑥2𝑦′)] − [(6𝑦1)(𝑦′)] = 0

3𝑥2 + [(8𝑥𝑦)(4𝑥2𝑦′)] − [(6𝑦𝑦′)] = 0

3𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑥2𝑦′ − 6𝑦𝑦′ = 0

o Se agrupan los términos con y’.

3𝑥2 + 8𝑥𝑦 + 4𝑥2𝑦′ − 6𝑦𝑦′ = 0

4𝑥2𝑦′ − 6𝑦𝑦′ = −3𝑥2 − 8𝑥𝑦

o Se factoriza la y’ de la función.

𝑦′(4𝑥2 − 6𝑦) = −3𝑥2 − 8𝑥𝑦

o Se despeja y’, de la función.

𝑦′ =−3𝑥2−8𝑥𝑦

4𝑥2−6𝑦

Derivada de segundo orden (𝑦’’).

o De la función de primer orden obtenido, hacer su correspondiente

derivación.

o Puesto que es una división U/V, se procede a realizar la siguiente fórmula: 𝑈

𝑉=

𝑉𝑈′−𝑈𝑉′

𝑉2 , por lo que se realizará lo siguiente:

𝑼 = −3𝑥2 − 8𝑥𝑦 𝑽 = 4𝑥2 − 6𝑦

𝑼′ = (2) − 3𝑥2−1(−8𝑥𝑦′)((1) − 8𝑥1−1𝑦)

𝑼′ = −6𝑥1 − 8𝑥𝑦′ − 8𝑥0𝑦 𝑼′ = −6𝑥 − 8𝑥𝑦′ − 8(1)𝑦

𝑼′ = −6𝑥 − 8𝑥𝑦′ − 8𝑦

𝑽′ = (2)4𝑥2−1(−6𝑦′) 𝑽′ = 8𝑥1 − 6𝑦′ 𝑽′ = 8𝑥 − 6𝑦′

o [(4𝑥2−6𝑦)(−6𝑥−8𝑥𝑦′−8𝑦)]−[(−3𝑥2−8𝑥𝑦)(8𝑥−6𝑦′)]

(4𝑥2−6𝑦)2

o Se multiplican los binomios y trinomios.

([(4𝑥2)(−6𝑥)][(4𝑥2)(−8𝑥𝑦′)][(4𝑥2)(−8𝑦)])([(−6𝑦)(−6𝑥)][(−6𝑦)(−8𝑥𝑦′)][(−6𝑦)(−8𝑦)]) − ([(−3𝑥2)(8𝑥)][(−3𝑥2)(−6𝑦′)][(−8𝑥𝑦)(8𝑥)][(−8𝑥𝑦)(−6𝑦′)])

(4𝑥2 − 6𝑦)2

([(−24𝑥2+1)(−32𝑥2+1𝑦′)(−32𝑥2𝑦)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)(+48𝑦1+1)]) − ([(−24𝑥2+1)(+18𝑥2𝑦′)][(−64𝑥1+1𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)])

(4𝑥2 − 6𝑦)2

([(−24𝑥3)(−32𝑥3𝑦′)(−32𝑥2𝑦)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑥𝑦𝑦′)(+48𝑦2)])([(+24𝑥3)(−18𝑥2𝑦′)][(+64𝑥2𝑦)(−48𝑥𝑦𝑦′)])

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se realizan las operaciones entre términos similares (suma o resta).

(−24𝑥3)(+24𝑥3)(+48𝑥𝑦𝑦′)(−48𝑥𝑦𝑦′)(−32𝑥2𝑦)(+64𝑥2𝑦)([(−32𝑥3𝑦′)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)])([(−18𝑥2𝑦′)])

(4𝑥2 − 6𝑦)2

(+32𝑥2𝑦)([(−32𝑥3𝑦′)][(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)])([(−18𝑥2𝑦′)])

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se eliminan paréntesis y corchetes.

(+32𝑥2𝑦)(−32𝑥3𝑦′)(+36𝑥𝑦)(+48𝑦2)(−18𝑥2𝑦′)

(4𝑥2 − 6𝑦)2

+32𝑥2𝑦 − 32𝑥3𝑦′ + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2 − 18𝑥2𝑦′

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se ordenan por variable x de mayor a menor exponente.

−32𝑥3𝑦′ − 18𝑥2𝑦′ + 32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se factoriza y’. opción A.

𝑦′(−32𝑥3 − 18𝑥2) + 32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se sustituye la y’ por el resultado obtenido al final de la derivada de primer

orden realizado (𝑦′ =−3𝑥2−8𝑥𝑦

4𝑥2−6𝑦):

(−3𝑥2 − 8𝑥𝑦

4𝑥2 − 6𝑦) (−32𝑥3 − 18𝑥2) + 32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se multiplican los términos del numerador.

[((−3𝑥2)(−32𝑥3)(−3𝑥2)(−18𝑥2))((−8𝑥𝑦)(−32𝑥3)(−8𝑥𝑦)(−18𝑥2))]

4𝑥2 − 6𝑦+

32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2

1

(4𝑥2 − 6𝑦)2

[((−96𝑥3+2)(+54𝑥2+2))((+256𝑥3+1𝑦)(+144𝑥2+1𝑦))]

4𝑥2 − 6𝑦+

32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2

1

(4𝑥2 − 6𝑦)2

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦4𝑥2 − 6𝑦

+32𝑥2𝑦 + 36𝑥𝑦 + 48𝑦2

1

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se suman las fracciones ubicadas en el numerador.

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦[(32𝑥2𝑦)(4𝑥2 − 6𝑦)][(+36𝑥𝑦)(4𝑥2 − 6𝑦)][(+48𝑦2)(4𝑥2 − 6𝑦)]4𝑥2 − 6𝑦

(4𝑥2 − 6𝑦)2

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦[(128𝑥2+2𝑦 − 192𝑥2𝑦1+1)][(+144𝑥2+1𝑦 − 216𝑥𝑦1+1)][(192𝑥2𝑦2 − 288𝑦1+2)]4𝑥2 − 6𝑦

(4𝑥2 − 6𝑦)2

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦 + 128𝑥4𝑦 − 192𝑥2𝑦2 + 144𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 + 192𝑥2𝑦2 − 288𝑦3

4𝑥2 − 6𝑦

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se realizan las operaciones (suma o resta) correspondientes.

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 256𝑥4𝑦 + 144𝑥3𝑦 + 128𝑥4𝑦 − 192𝑥2𝑦2 + 144𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 + 192𝑥2𝑦2 − 288𝑦3

4𝑥2 − 6𝑦

(4𝑥2 − 6𝑦)2

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3

4𝑥2 − 6𝑦

(4𝑥2 − 6𝑦)2

o Se realiza operación “Sándwich”.

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3

4𝑥2 − 6𝑦

(4𝑥2 − 6𝑦)2

1

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3

(4𝑥2 − 6𝑦)1(4𝑥2 − 6𝑦)2

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3

(4𝑥2 − 6𝑦)1+2

−96𝑥5 + 54𝑥4 + 384𝑥4𝑦 + 288𝑥3𝑦 − 216𝑥𝑦2 − 288𝑦3

(4𝑥2 − 6𝑦)3

D. Resuelve la derivada en su más alto orden posible de las siguientes funciones.

I. 𝑓(𝑥) = −3

720𝑥6 +

12

360𝑥5 −

10

120𝑥4 +

9

18𝑥3 − 50𝑥 + 8

o Derivada de primer orden.

𝑓𝐼(𝑥) = [(𝟔) (−3

720𝑥6−1)] [(𝟓) (+

12

360𝑥5−1)] [(𝟒) (

−10

120𝑥4−1)] [(𝟑) (

+9

18𝑥3−1)] [(𝟏)(−50𝑥1−1)] + (0)

𝑓𝐼(𝑥) = [(−18

720𝑥5)] [(

+60

360𝑥4)] [(

−40

120𝑥3)] [(

+27

18𝑥2)] [(−50𝑥0)]

𝑓𝐼(𝑥) = [(−18

720𝑥5)] [(

+60

360𝑥4)] [(

−40

120𝑥3)] [(

+27

18𝑥2)] [(−50(1))]

𝑓𝐼(𝑥) = [(−18

720𝑥5)] [(

+60

360𝑥4)] [(

−40

120𝑥3)] [(

+27

18𝑥2)] [(−50)]

o Derivada de segundo orden.

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟓) (−18

720𝑥5−1)] [(𝟒) (

+60

360𝑥4−1)] [(𝟑) (

−40

120𝑥3−1)] [(𝟐) (

+27

18𝑥2−1)] [(−50)]

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(−90

720𝑥4)] [(

+240

360𝑥3)] [(

−120

120𝑥2)] [(

+54

18𝑥1)] [(0)]

Simplificar fracciones.

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(−90

90720

90

𝑥4)] [(+240

120360

120

𝑥3)] [(−1𝑥2)][(3𝑥)]

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(−1

8𝑥4)] [(

2

3𝑥3)] [(−1𝑥2)][(3𝑥)]

o Derivada de tercer orden.

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟒) (−1

8𝑥𝟒−𝟏)] [(𝟑) (

2

3𝑥𝟑−𝟏)] [(𝟐)(−1𝑥𝟐−𝟏)][(3𝑥𝟏−𝟏)]

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(−4

8𝑥3)] [(

6

3𝑥2)] [(−2𝑥1)][(3𝑥0)]

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(−4

8𝑥3)] [(2𝑥2)][(−2𝑥)][(3(1))]

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(−4

8𝑥3)] [(2𝑥2)][(−2𝑥)][(3)]

o Derivada de cuarto orden.

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(𝟑) (−4

8𝑥𝟑−𝟏)] [(𝟐)(2𝑥𝟐−𝟏)] [((𝟏) − 2𝑥𝟏−𝟏)] [(0)]

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(−12

8𝑥2)] [(4𝑥1)][(−2𝑥0)]

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(−12

8𝑥2)] [(4𝑥)][(−2(1))]

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(−6

4𝑥2)] [(4𝑥)][(−2)]

o Derivada de quinto orden.

𝑓𝑉(𝑥) = [(𝟐) (−6

4𝑥𝟐−𝟏)] [(𝟏)(4𝑥𝟏−𝟏)][(0)]

𝑓𝑉(𝑥) = [(−12

4𝑥1)] [(4𝑥0)]

𝑓𝑉(𝑥) = [(−12

4𝑥)] [(4(1))]

𝑓𝑉(𝑥) = [(−12

4𝑥)] [(4)]

o Derivada de sexto orden.

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(𝟏) (−12

4𝑥𝟏−𝟏)] [(0)]

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(−12

4𝑥0)]

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(−3(1))]

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(−3)] o Derivada de séptimo orden.

𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(0)] 𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = 0

II. 𝒇(𝒙) =𝟓

𝟐𝟏𝟎𝒙𝟕 −

𝟖

𝟏𝟐𝒙𝟔 +

𝟗

𝟏𝟔𝒙𝟓 −

𝟑

𝟖𝒙𝟑 − 𝟓

o Derivada de primer orden.

𝑓𝐼(𝑥) = [(𝟕) (5

210𝑥7−1)] [(𝟔) (

−8

12𝑥6−1)] [(𝟓) (

9

16𝑥5−1)] [(𝟑) (

−3

8𝑥3−1)] [−(𝟎)]

𝑓𝐼(𝑥) = [(35

210𝑥6)] [(

−48

12𝑥5)] [(

45

16𝑥4)] [(

−9

8𝑥2)]

o Derivada de segundo orden.

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟔) (35

210𝑥6−1)] [(𝟓)(−4𝑥5−1)] [(𝟒) (

45

16𝑥4−1)] [(𝟐) (

−9

8𝑥2−1)]

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(150

210𝑥5)] [(−20𝑥4)] [(

180

16𝑥3)] [(

−18

8𝑥1)]

Simplificar fracciones.

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(150

30210

30

𝑥5)] [(−20𝑥4)] [(180

416

4

𝑥3)] [(−

18

28

2

𝑥1)]

𝑓𝐼𝐼(𝑥) = [(5

7𝑥5)] [(−20𝑥4)] [(

45

4𝑥3)] [(

−9

4𝑥1)]

o Derivada de tercer orden.

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟓) (5

7𝑥5−1)] [(𝟒)(−20𝑥4−1)] [(𝟐) (

45

4𝑥3−1)] [(𝟏) (

−9

4𝑥1−1)]

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(25

7𝑥4)] [(−80𝑥3)] [(

90

4𝑥2)] [(

−9

4𝑥0)]

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(25

7𝑥4)] [(−80𝑥3)] [(

90

4𝑥2)] [(

−9

4(1))]

𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑥) = [(25

7𝑥4)] [(−80𝑥3)] [(

90

4𝑥2)] [(

−9

4)]

o Derivada de cuarto orden.

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(𝟒) (25

7𝑥4−1)] [(𝟑)(−80𝑥3−1)] [(𝟐) (

90

4𝑥2−1)] [(0)]

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(100

7𝑥3)] [(−240𝑥2)] [(

180

4𝑥1)]

𝑓𝐼𝑉(𝑥) = [(100

7𝑥3)] [(−240𝑥2)] [(

180

4𝑥)]

o Derivada de quinto orden.

𝑓𝑉(𝑥) = [(𝟑) (100

7𝑥3−1)] [(𝟐)(−240𝑥2−1)] [(𝟏) (

180

4𝑥1−1)]

𝑓𝑉(𝑥) = [(300

7𝑥2)] [(−480𝑥1)] [(

180

4𝑥0)]

𝑓𝑉(𝑥) = [(300

7𝑥2)] [(−480𝑥)][(45(1))]

𝑓𝑉(𝑥) = [(300

7𝑥2)] [(−480𝑥)][(45)]

o Derivada de sexto orden.

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(𝟐) (300

7𝑥2−1)] [(𝟏)(−480𝑥1−1)][(0)]

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(600

7𝑥1)] [(−480𝑥0)]

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(600

7𝑥)] [(−480(1))]

𝑓𝑉𝐼(𝑥) = [(600

7𝑥)] [(−480)]

o Derivada de séptimo orden.

𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(𝟏) (600

7𝑥1−1)] [(0)]

𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(600

7𝑥0)]

𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(600

7(1))]

𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(600

7)]

o Derivada de octavo orden.

𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = [(0)] 𝑓𝑉𝐼𝐼(𝑥) = 0