8/18/2019 derivadas emplicitas
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Matemática III
“Gradiente de una Función de Varias Variables y Derivación Implícita"
Alex Neri [email protected]
Piura, setiembre del 2014
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Ilustración de la Derivada direccional
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Derivada Direccional
Definición (DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DIRECCIONAL)
Sea f una función de dos variables x y y, y sea −→u = cos θ−→i + sin θ
−→ j un vector
unitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de −→u , que se denota D−→u f , es
D−→u f (x, y) = limt→0
f (x + t cos θ, y + t sin θ) − f (x, y)
tsiempre que este límite exista.
Teorema (Derivada Direccional)
Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en la
dirección del vector unitario −→u = cosθ−→i + sin θ−→ j es
D−→u f (x, y) = f x(x, y)cos θ + f y(x, y)sin θ.
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EjemploHallar la derivada direccional de
f (x, y) = 4 − x2 − 1
4y2
en (1, 2) en la dirección de −→u = (cos(π/3))−→i + (sin(π/3))
−→ j .
Hallar la derivada direccional de
f (x, y) = x2 sin2(2y)
en (1, π/2) en la dirección de −→v = 3−→i − 4
−→ j .
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El gradiente de una función de dos variables
El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos variables.
Definición (Gradiente de una función de dos variables)
Sea z = f (x, y) una función de x y y tal que f x y f y existen. Entonces el gradiente
de f , denotado por f (x, y), es el vector
f (x, y) = f x(x, y)−→i + f y(x, y)
−→ j .
f se lee como nabla f. Otra notación para el gradiente es gradf (x, y).
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Ilustración del gradiente de una función
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Ejemplo
Hallar el gradiente de f (x, y) = y ln x + xy2 en el punto (1, 2).
Teorema (Forma alternativa de la derivada direccional)
Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario −→u es
D−→u f (x, y) = f (x, y) ·−→u .
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Ejemplo
Hallar el gradiente de f (x, y) = y ln x + xy2 en el punto (1, 2).
Teorema (Forma alternativa de la derivada direccional)
Si f es una función diferenciable de x y y, entonces la derivada direccional de f en la dirección del vector unitario −→u es
D−→u f (x, y) = f (x, y) ·−→u .
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Ejemplo
Hallar la derivada direccional de f (x, y) = 3x2 − 2y2 en (−3/4, 0), en la dirección de
P (−3/4, 0) a Q(0, 1)
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Aplicaciones del gradiente
Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto (x, y) de unasuperficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en qué dirección moverse de
manera que f (x, y) crezca más rápidamente. Esta dirección se llama la dirección demayor ascenso, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema
siguiente.
Teorema (PROPIEDADES DEL GRADIENTE)
Sea f diferenciable en el punto (x, y).
1 Si f (x, y) = 0, entonces D−→u f (x, y) = 0 para todo u.
2 La dirección de máximo incremento de f está dada por f (x, y). El valor máximo de D−→u f (x, y) es f (x, y).
3
la dirección de mínimo incremento de f está dada por − f (x, y). El valor mínimo de D−→u f (x, y) es − f (x, y).
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Aplicaciones del gradiente
Ejemplo
La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es
T (x, y) = 20 − 4x2
− y2
donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2, 3)aumenta más rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa de ritmo de crecimiento?
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Aplicaciones del gradiente
Teorema (El gradiente es normal a las curvas de nivel)
Si f es diferenciable en (x0, y0) y f (x0, y0) = 0, entonces f (x, y) es normal (ortogonal) a la curva de nivel que pasa por (x0, y0).
EjemploDibujar la curva de nivel que corresponde a c = 0 para la función dada por
f (x, y) = y − sin x
y hallar un vector normal a varios puntos de la curva.
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Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables
Sea f una función de x, y, y z con derivadas parciales de primer orden continuas. Laderivada direccional de f en dirección de un vector unitario−→u = a
−→i + b
−→ j + c
−→k está dada por
D−→u f (x,y,z ) = af x(x,y,z ) + bf y(x,y,z ) + cf z(x,y,z ).
El gradiente de f se define como
∇f (x,y,z ) = f x(x,y,z )−→i + f y(x,y,z )
−→ j + f z(x,y,z )
−→k .
Las propiedades del gradiente son:
1 Duf (x,y,z ) = ∇f (x,y,z ) · u
2 Si ∇f (x, y , z ) = 0, entonces Duf (x,y,z ) = 0 para toda u.
3 La dirección de máximo incremento de f está dada por ∇f (x, y , z ). El valor
máximo de Duf (x,y,z ) es ∇f (x,y,z ).
4 La dirección de mínimo incremento de f está dada por −∇f (x,y,z ). El valormínimo de Duf (x,y,z ) es
−∇f (x,y,z ).
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Regla De La Cadena: Una Variable Independiente
Teorema (Regla De La Cadena: Una Variable Independiente)
Sea w = f (x, y), donde f es una función derivable de x e y. Si x = g(t) y y = h(t),donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y
dw
dt =
∂w
∂x
dx
dt +
∂w
∂y
dy
dt
Ejemplo
Sea w = x2y − y2, donde x = sin t y y = et. Hallar ∂w
∂t cuando t = 0.
Hallar ∂w/∂s y ∂w/∂t para w = 2xy, donde x = s2
+ t2
, y y = s/t.
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Regla De La Cadena: Dos Variables Independientes
Teorema (Regla de la cadena: dos variables independientes)
Sea w = f (x, y), donde f es una función derivable de x e y. Si x = g(s, t) y y = h(s, t) son tales que las derivadas parciales de primer orden
∂x
∂s,
∂x
∂t ,
∂y
∂t ,
∂y
∂s
existen, entonces ∂w
∂s y
∂w
∂t existen y están dadas por
dw
ds =
∂w
∂x
dx
ds +
∂w
∂y
dy
ds , y
dw
dt =
∂w
∂x
dx
dt +
∂w
∂y
dy
dt .
Ejemplo
Utilizar la regla de la cadena para encontrar ∂w
∂s y
∂w
∂t dada w = 2xy donde
x = s2
+ t2
, y y = s/t.
Hallar ∂w
∂s y
∂w
∂t , si s = 1 y t = 2π, dada la función w = xy + yz + xz , donde
x = cos t, y = s sin t y z = t.
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Derivación o diferenciación parcial implícita
Esta sección concluye con una aplicación de la regla de la cadena para determinar la
derivada de una función definida implícitamente. Supóngase que x y y estánrelacionadas por la ecuación F (x, y) = 0, donde se supone que y = f (x) es funciónderivable de x. Para hallar dy/dx se verá que la regla de la cadena proporciona unaútil alternativa. Si se considera la función dada por
w = F (x, y) = F (x, f (x))
se puede aplicar el teorema de la regla de la cadena para obtener
dw
dx = F x(x, y)
dx
dx + F y(x, y)
dy
dx.
Como w = F (x, y) = 0 para toda x en el dominio de f , se sabe que dwdx
= 0 y se tiene
F x(x, y)dx
dx + F y(x, y)
dy
dx = 0
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R l D L C d D i ió I lí i
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Regla De La Cadena: Derivación Implícita
Ahora, si F x(x, y) = 0, se puede usar el hecho de que dxdx
= 1 para concluir que
dy
dx = −
F x(x, y)
F y(x, y).
Teorema (Derivación implícita)
Si la ecuación F (x, y) = 0 define a y implícitamente como función derivable de x,entonces dy
dx = −
F x(x, y)
F y(x, y), F y(x, y) = 0.
Si la ecuación F (x, y , z ) = 0 define a z implícitamente como función diferenciable de x y y, entonces
∂z
∂x = −
F x(x,y,z )
F z(x,y,z ), y
∂z
∂y = −
F y(x,y,z )
F z(x,y,z ), F z(x,y,z ) = 0.
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Ejemplo
Hallar dy/dx, dada la ecuación y3 + y2 − 5y − x2 + 4 = 0
Encontrar ∂z/∂x y ∂z/∂y, dada la ecuación 3x
2
z − x
2
y
2
+ 2z
3
+ 3yz − 5 = 0
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