UTN Facultad Regional Córdoba 73 Prof. Ing. Miguel Ángel Ramadán UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA ANÁLISIS MATEMÁTICO II Apuntes de clases Prof. Ing. Miguel Ángel Ramadán Tema Derivadas de Funciones multivariables [email protected]Por favor, si se encuentra algún error (símbolos, letras, números, etc.) avisar mediante e-mail a la dirección del encabezado. Gracias .- Derivadas parciales Supongamos una función ) ; ( y x f z , continua en todo su dominio (figura 113) y consideremos un punto ) ; ( ) ; ( b a P y x P 0 0 a partir del cual, mediante un incremento infinitesimal x , se llega a un punto ) ; ( o y x Q , obteniéndose un incremento de la función z , debido a la variable x , cuya expresión es: ) , ( ) , ( ) ( ) ( o o o o o i P Q x y x f y x x f f f z z z leído sobre la curva de intersección con el [y=cte=y o ] . Sabemos, por Anam 1, que la derivada de una función se define como el límite del cociente incremental entre el incremento de la función y el incremento de la variable, cuando éste tiende a anularse: v f Lím dv df 0 v Por lo tanto, tomando el límite del cociente incremental formado entre el incremento debido a x y el incremento de x , tendremos: x z x y x f y x x f Lím x z Lím o o o o 0 x x 0 x ) , ( ) , ( que es, por definición de derivada, la derivada de la función con respecto a una de sus variables independientes, la x .
Apunte de un profesor de Análisis Matemático sobre derivadas de funciones multivariables.
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Y la estructura, o ley, de la función buscada es, en su mínima expresión:
)()(..2
)(.2..22)(...).().(2.223
2223
xCosxSent
xCosyxxSentyyxSenyxyxCosy
dt
dz
Y su valor para la condición propuesta, );;();xC(t; 123Cy , es:
)2()2(.3.2
)2(.12.2.22)2(.3.1.)1.2(12)1.2(2.2223
2223
CosSen
CosSenSenCos
dt
dz
C
)4()4(.27
)4(2.82)4(.27.)2()2(
)4()4(.27.2
)4(.12.4.22)4(.27.)2(2)2(2
CosSen
CosSenSenCos
CosSen
CosSenSenCos
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90,13
Cdt
dz
* * * * * * *
264.- Si Cos(x)y.ez para 22 ty2x y ty3x2 , hal lar la variación de z
con respecto a la variable t.
* * * * * * *
265.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita );( yxfz en el
sistema
1)(.2.3
)(.
zLnzyx
zyCosxez, valorándolas en el punto:
a) Q(e;;2), ¿tiene sentido?, ¿por qué?;
b) P(0;-1;1), ¿tiene sentido?, ¿por qué?.
* * * * * * *
266.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita contenida en
03y2x
e
.
Respuesta: 2y3
x2
dx
dy
* * * * * * *
267.- Hallar las der ivadas de )(xgy y )(xhz a part ir de:
)(2.3.2
0).(
xLnyzxe
x
yxLn
* * * * * * *
268.- Hallar las der ivadas de );( yxgu y );( yxhv a part ir de:
)(2.22.)(
zLogxuv
zyxuLnv
* * * * * * *
269.- zzyxyx ...2.210 contiene a );( yxfz ; hallar sus derivadas.
* * * * * * *
270.- La ecuación de estado de un gas perfecto es: P.Vm.C.T donde:
m es la cantidad de gas (moles); C es una constante; T es la temperatura; P es
la presión; V es el volumen.
En cierto instante, 118 moles de gas t ienen un volumen de 0,5 m3 bajo una
presión de 80000 Kg por m2.
Si 84780C , , hallar la velocidad del cambio de la temperatura si el volumen
aumenta 0,001 m3 por segundo y la presión disminuye a razón de 100 Kg por m
por segundo.
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Planteo, Desarrollo y Respuesta
De la ecuación del gas despejamos la temperatura: );( VPfm.C
P.VT
para un valor dado de m .
Si tanto la presión, como el volumen son funciones del t iempo, ya que,
según el enunciado: seg
m ,
3
0010dt
dV y
seg
Kg.m 100
dt
dP entonces:
)())();(();( tFthtgfVPfm.C
P.VT luego: r : ))();(()();()( 0thtgftFVPftF
o sea que 0Cm
VPTr
.
. y entonces: 0
dt
0d
dt
dV
V
r
dt
dP
P
r
dt
dT
T
r
)(
de donde: 00010Cm
P100
Cm
V
dt
dT1 ,
.)(
. y despejando:
2998788084780118
50100800000010V100P0010
Cm
10010
Cm
P100
Cm
V
dt
dT,
,.
,..,],[
.,
.)(
.
Finalmente: seg
)grados(º ,30
dt
dT
*******
La resolución como función compuesta es más direct a: a part ir de la
expresión )())();(();( tFthtgfVPfm.C
P.VT donde t es variable f inal, y P y V
son variables intermedias, aplicamos la regla de la cadena:
84780118
10050001080000
Cm
100V0010P0010
Cm
P100
Cm
V
dt
dV
V
T
dt
dP
P
T
dt
dT
,.
.,,.
.
.,.,
.)(
.
y entonces: seg
)grados(º ,30
dt
dT
* * * * * * *
271.- Hallar las der ivadas de )(xgy y )(xhz a part ir de:
0)2.2.2(5
022.22.3
yxCos
zyx
* * * * * * *
272.- Hallar las der ivadas: x
w ;
x
v ;
y
u a part ir de:
0e3vxLog
0vLnu3y2x
w
yu2
2
1
..
2
.).(
)(..
uLog(y)3.x
* * * * * * *
273.- A part ir de:
12)3()2(32
05.23yLnxLogvu
yxvu hallar todas las der ivadas
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posibles de las funciones implícitas );( yxfu y );( yxfv , valorándolas para la
condición );;;( 1122C .
* * * * * * *
274.- A part ir de: 023.yLn(x) ; 0)(. zLnxy hallar todas las der ivadas posibles
de la función implícita )(xfy y )(xgz , valorándola para la condición );;( 101C .
* * * * * * *
275.- Hallar todas las derivadas posibles de la función implícita contenida en la
expresión 1)(.)(. xSeny
eySenxe , valorándolas para la condición ));(( 01SenC 1 .
* * * * * * *
276.- Hallar todas las derivadas posibles desde: ;0)(. zLny x ;0.3)( 2 yxLn
);(xfy );(xfz ).4;3;2(P
Planteo, desarrollo y resultado:
Armamos el sistema:
0.3)(:
0)(.:
2
2
1
yxLnr
zLnyr x
Desde el que, para obtener
las derivadas solic itadas, der ivamos aplicando la regla de la cadena:
0111
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r luego: 0111
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
x
r
Como se t iene un sistema de una ecuación con dos incógnitas, armamos
una ecuación complementaria con la otra función:
0222
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
con lo que: 0222
dx
dz
z
r
dx
dy
y
r
x
r
Resolviendo por determinantes el nuevo sistema así formado :
-0,02836
1-
..
..P
yx6
1
dx
dy
yx6
1
y
r
z
rx
r
z
r
0y
r
z
r
y
r
0x
r
z
r
x
r
z
r
y
r
z
r
y
r
z
r
x
r
z
r
x
r
dx
dy
P21
21
2
11
2
11
22
11
22
11
y también la derivada:
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y6z
y
x
1zLnyzzLnyLnyy6
y
r
z
r
y
r
x
r
x
r
y
r
z
r
y
r
z
r
y
r
x
r
y
r
x
r
y
r
dx
dzx
1x
21
2121
22
11
22
11
).(..)().(...
046dx
dz
yx6
zyLnzyx6zLnz
P
2
, ..
))(....).((.
Las que toman un valor real al valuarse sus respecti vas expresiones por
las coordenadas del punto P.
Como siempre, al tratarse de números f initos, medibles, se redondean a
dos cifras signif icativas después de la coma por arriba o por debajo de 5.
* * * * * * *
277.- Un cierto fenómeno físico está descri pto por el sistema
0yvu
0x2vu 2
.
donde se sabe que se encuentran implícitas );( yxfu y );( yxgv . Se necesita
encontrar las leyes de variación de y
u
y
x
v
.
Respuesta
2v2u
v2
y
u
2v2u
v2
x
v
* * * * * * *
278.- Dada la curva )(xfy definida implícitamente por 0xy2yxz , hal lar
la ecuación de la recta tangente a dicha curva en el punto );( 11P .
Respuesta: x2y
* * * * * * *
Derivada direccional
Vimos que las derivadas parciales de una función );( yxfz , continua, al
igual que todas sus der ivadas, en el entorno de un punto );();( 00 baPyxP de su
dominio (f igura 113), se interpretan como el valor de la pendiente de una recta
tangente a la superf ic ie de la función sobre un punto ubicado en la curva de
intersección de la superf icie que grafica la función con un plano para y
constante, o para x constante, según se trate de:
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x
z
o de
y
z
, respectivamente.
Vimos también que la función toma un valor 000 );( zyxfz para un punto
);( 00 yxP de su dominio. Ello define un punto );;( 000 zyxT , situado sobre la
intersección dicha, en el que se produce la tangencia mencionada.
Cuando x pasa de un valor 0x a otro valor x , mayor o menor que 0x ,
decimos que se produjo un incremento x sobre la recta paralela al eje de
abscisas que pasa por );( 00 yxP . O sea que los desplazamientos de estos valores
de x ocurren en la “dirección x”.
Lo propio ocurre cuando se trata de un incremento y , pero en una
“dirección y”, f igura 114.
Conforme ocurren estos desplazamientos, en una o en otra dirección, las
rectas tangentes t ienen proyecciones sobre el xy , pasantes por );( 00 yxP , y
paralelas o al eje x o al eje y.
En consecuencia, tanto la recta tangente en );;( 000 zyxT , como su
proyección en el xy , están contenidas en una “dirección x” o en una “dirección
y”.
Por ello, podemos decir que la derivada parcial x
z
es una derivada en la
dirección del eje x (en el sentido que corresponda al incremento involucrado), y
que la der ivada parcial y
z
es una derivada en la dirección del eje y (con el
sentido (ley de crecimiento) que le corresponda al incremento de la variable y).
En suma, tales der ivadas parciales son derivadas siguiendo una dirección,
o derivadas direccionales, en la dirección de los ejes coordenados.
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Si ahora pensamos en un punto );( yxU , en el entorno de );( 00 yxP , en el
dominio de la función, f igura 119, podemos decir que entre uno y otro punto
existe un desplazamiento, representado por un incremento s , y v isto sobre el
segmento de la recta s, la que representa una cierta dirección que vincula a
ambos puntos.
El incremento s se v incula con los incrementos x y y a través de la
relación pitagór ica: 22 yxs
El incremento s origina, al pasarse de un punto al otro, incrementos x y
y , los que, a su vez, originan un incremento z en la función, cuya estructura
será:
yxyy
zx
x
zyxfyyxxfffffz
PP
i
210originaldaincrementa );();(
Y como s originó el incremento z , establecemos el cociente incremental
s
z
y determinamos el límite de dicho cociente para cuando 0s ( U t iende
a P), obteniéndose: ds
dz
s
yxyy
zx
x
z
Lims
zLim PP
ss
21
00
Que es una der ivada total, no parcial, que llamaremos, por definición, la
derivada de la función en la dirección s; es decir que tenemos definida una
derivada direccional de la función z, en la dirección s:
s
y
s
x
s
y
y
z
s
x
x
zLim
ds
dz
PPs
210
)()()()( 21
0 SenCosSen
y
zCos
x
zLim
PPs
)()()()( 21
0 SenCosLimSen
y
zCos
x
z
sPP
2
01
0)()()()(
ssPP
LimSenLimCosSeny
zCos
x
z
0)()(
Sen
y
zCos
x
z
PP
puesto que, como sabemos: 0
000
yxs
LimLim
Analizando el plano del dominio observamos que )()( CosSen
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y que )()( CosSen por lo que podemos establecer que:
PPP
Cosy
zCos
x
zCos
y
zSen
x
zSen
y
zCos
x
z
ds
dz
)()()()()()(
El últ imo miembro nos dice que la derivada direccional puede indicarse por
medio de los cosenos directores de la recta dirección s.
Sin embargo, para simplif icar el número de datos, es común util izar la
expresión del segundo miembro, en función del ángulo director con referencia al
eje de abscisas (eje x, en este caso).
Dado que los valores de las derivadas parciales de la expresión son
números reales, y los valores de los cosenos directores están comprendidos en
un intervalo 1;1 , también reales, la derivada direccional es un escalar, esto es,
un número real, f inito, medible.
Ahora, si x
z
ds
dz
rad
2º90rad0º0
y si y
z
ds
dz
rad0º0rad
2º90
Lo que implica que las der ivadas parciales en la dir ección x y en la
dirección y, son casos part iculares de la derivada direccional de la función.
En el caso de una función de tres variables independientes, tal como
);;( zyxfw , si consideramos una dirección s en su dominio, f igura 120, se
tendrá que: 222 zyxs y si 0s
0
0
0
z
y
x
por lo que la estructura de la der ivada direccional de la función w en la
dirección s será:
s
z
s
y
s
x
s
z
z
w
s
y
y
w
s
x
x
wLim
ds
dw
s321
0
o sea que: )()()( Cosz
wCos
y
wCos
x
w
ds
dw
Y si z
w
ds
dw
rad0º0rad
2º90rad
2º90
o x
w
ds
dw
rad
2º90rad
2º90rad0º0
o y
w
ds
dw
rad
2º90rad0º0rad
2º90
Interpretación geométrica de la derivada direccional
Puesto que la secante RT, el incremento s y el incremento z conforman
un triángulo rectángulo, al pasar del punto R al punto T en la superf ic ie de la
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función (de U a P, en el dominio de la función), se t iene un ángulo 0 en el
interior de dicho triángulo, f igura 119.
La tangente del ángulo 0 es: s
zTng
)( 0
La recta tangente a la superf ic ie en T, forma un ángulo posit ivo entre
ella y la recta dirección s.
Cuando 0s entonces º18010 por lo tanto, al tomar
límite del cociente incremental (para definir la derivada direccional ) se t iene:
)()º180()()]([ 1000
TngTngTngTngLims
zLim
ds
dz
ss
lo que implica que el valor de la derivada dir eccional en el punto es el valor de
la tangente tr igonométrica del ángulo posit ivo formado entre la recta tangente en
P y la recta dirección s.
El valor, posit ivo o negativo, de la tangente está relacionado con el hecho
de que la función sea creciente, o decreciente, en el punto de tangencia.
Así, si la situación es la indicada por la f igura 121, entonces:
)()( 000
TngTngLims
zLim
ds
dz
ss
* * * * * * *
Gradiente
A part ir de la función );( yxfz supongamos un vector: ix
zv
P
1
posicionado en );( 00 yxP ; supongamos otro vector: jy
zv
P
2 también
posicionado en P, f igura 122.
Si hacemos la suma vectorial de estos vectores, tenemos:
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jy
zi
x
zv
PP
El vector obtenido, y graficado a part ir del punto P en el plano del dominio
de la función, es definido como el vector gradiente de la función y se lo denota
por: jy
zi
x
zz
PP
Grad(z)
Como todo vector, t iene, f igura 123:
punto de apl icación (P);
dirección (dada por el segmento de recta que lo contie ne (g)); o bien,
orientación (ángulo , con referencia al eje de abscisas);
sentido (indicado por la f lecha en el extremo opuesto al punto de
aplicación); o bien, af ijo (A);
valor absoluto, intensidad, o módulo.
El módulo, o valor absoluto del gradiente, y su orientación, se obtienen
mediante las expresiones:
22
PP y
z
x
zz
Px
z
y
z
arcTng
Derivada direccional y gradiente
Si por el punto P consideramos una dirección s en la que existe la
derivada direccional de la función, su orientación, con respecto al eje de
abscisas, está dada por el ángulo , o sea, por el coseno director )(Cos .
Al igual que las direcciones (o ejes) x, y, z t ienen sus versores i, j, k , la
dirección s t iene su versor 0s , que, como todo vector unitar io, t iene un módulo,
valor absoluto, o intensidad, de valor: 10 s
Graficando este versor sobre la dirección s (f igura 124), a part i r del punto
P, vemos que la orientación posiciona sendos catetos de un triángulo
rectángulo, de modo que, por Pitágoras: 1)()(2
0
22 sCosSen
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por lo que, sumando vectorialmente ambos catetos, obtenemos el versor
dirección: 0)()( sjSeniCos
Si ahora se mult iplica escalarmente (producto punto) el vector gradiente
por el versor dirección, aplicados en el punto P, se obtiene:
ds
dzSen
y
zCos
x
zjSeniCosj
y
zi
x
zsz
PP
P
P
)()()()(0
Este producto punto entre el gradiente y el versor dirección, que nos d a la
derivada direccional de la función en el punto P, también puede desarrollarse
así:
)()(1)(
2222
00 Cosy
z
x
zCos
y
z
x
zCosszsz
ds
dz
PPPP
Siendo el ángulo comprendido entre los dos vectores del producto
(f igura 125), y sabiendo que el coseno de este ángulo puede tomar valores del
intervalo 1;1 , para cualquier valor intermedio el coseno actúa como un factor
atenuador del valor absoluto del gradiente.
Pero si el coseno toma el valor 1, entonces
ds
dzz
ds
dz, que es el valor
máximo que puede tomar la derivada direccional, y por el lo decimos que el valor
de la máxima derivada direccional es el valor del módulo del gradiente; hecho
que sucede cuando 0 , por lo que ambos vectores del producto son
colineales “sumativos” (van en el mismo sentido).
Pero si el coseno toma el valor -1, entonces:
ds
dzz
ds
dz que es
denominada derivada direccional mínima, y signif ica, para radº180 , que los
dos vectores del producto son colineales “sustractiv os” (van en sentido
opuesto).
Cuando la derivada direccional es la máxima, signif ica que la función, en
el punto P, t iene máxima pendiente, o también máxima ley de variación, o
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también máxima velocidad de variación, y la dirección en la que la der ivada es
máxima (o la pendiente es máxima) es la dirección coincidente con la dirección
del gradiente en el punto P.
Por el contrario, la mínima derivada direccional, o bien la mínima
velocidad de variación de la función, se relaciona con el sentido o puesto al de la
máxima der ivada direccional, si bien su valor absoluto es el mismo.
Por otra parte, si el valor de la función es un valor constante k, o sea:
kyxfz );( , se t iene la curva de nivel correspondiente a ese valor k. Esta curva
de nivel es una curva que se desarrolla en el [xy], f igura 126.
Ello indica que en la expresión kyxf );( está implícita la función )(xry
por lo que podemos establecer que: kxrxfyxf ))(;();( con lo que podemos
derivar a la expresión con las propiedades de la der ivación de funciones
implícitas, tomando a x como variable f inal:
0)(
dx
dy
y
f
x
f
dx
kd
dx
dy
y
f
dx
dx
x
f y entonces: t
P
P
p
y
fx
f
dx
dy
que es la pendiente de la recta tangente a la curva de nivel en el p unto P (p en
la f igura 126).
Si consideramos la pendiente del gradiente, en el mismo punto, tenemos:
g
P
P p
x
z
y
z
)Tng(
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De modo que, mult iplicando: 1)Tng(
PP
gtPP
x
z
y
z
y
fx
f
ppdx
dy
Donde tp y gp representan a las respectivas pendientes de la derivada y
del gradiente, tomadas en el punto P, y como su producto resulta -1 ello indica
que ambas pendientes son ortogonales entre sí, es decir, perpendiculares ( g de
la f igura).
El gradiente de la función, resulta así, perpendicular a la curva de nivel de
cota k y en el punto P del dominio de la función. O sea que el ángulo entre
ambas pendientes es rad/º 290 .
Como consecuencia de esto, la derivada direccional de la función en el
punto P, según la dirección de la tangente a la curva de nivel (o sea, la
dirección perpendicular al gradiente) es:
0)º90()(
CoszCosz
ds
dz
P
Dado que la más importante propiedad del gradiente es la de que indica el
sentido de máxima variación de una función, es util izado para indica r
direcciones (o sentidos) de máxima variación de velocidades, temperaturas,
energías, alturas, etc.
* * * * * * *
Como un ejemplo de uso del gradiente en la v ida cot idiana, veamos el s iguiente documento real izado por : “Club de Planeadores Los Caranchos***Aeródromo: Ruta Provincial C-45. Alta Gracia. Departamento Santa María. Provincia de Córdoba. República Argentina***Teoría de Vuelo para Pilotos de Planeador***Stafford Allen
Capítulo IX
LOS PELIGROS OCULTOS Si manejamos un triciclo de reparto no tenemos el menor interés en chocar contra un ómnibus que viene
en sentido contrario. El peligro y, en consecuencia, los resultados de esta acción son obvios. Pero la verdadera amenaza es el ómnibus o el auto que no vemos. El aire, como hemos dicho antes, es invisible y, por lo tanto, el peligro que encierra tiene que ser presentido antes que visto. Sin embargo, el buen piloto de planeador ve el aire y su comportamiento, ya que se ha estado entrenando todo el tiempo sobre lo que está haciendo este elemento. Con el objeto de ayudar al alumno a adquirir este instinto incluimos este capítulo sobre algunas de las
trampas que pueden encontrarse.
GRADIENTE DEL VIENTO
Cuando sopla viento, la capa inferior de aire es frenada por la fricción con el suelo. El aire que se encuentra a 3 centímetros sobre el suelo puede hallarse casi estacionario; a 1,50 metros puede que se perciba una ligera brisa; y a 150 metros tal vez sea un fuerte viento. Este efecto del incremento de la velocidad del viento con la altura es muy pronunciado cerca del suelo y se conoce como gradiente del viento. Siempre se encuentra presente en algún grado y es afectado por muchas cosas, de las cuales la más importante probablemente es el tipo de suelo sobre el cual se desarrolla el viento. Las zonas boscosas harán que el aire se desplace más lentamente que en el caso de superficies planas y libres. Asimismo, el efecto del gradiente del viento es mayor con vientos fuertes que con brisas ligeras.
Tomemos un caso extremo para ver cómo esto afecta al planeador. Imaginemos un viento que sopla a 50 kilómetros por hora a 90 metros de altura y a cero kilómetros a 85 metros. Si un planeador vuela de frente al viento a 60 kilómetros por hora y a una altura de 100 metros, su velocidad real sobre el suelo será de 10 ki lómetros por hora. Cuando el planeador desciende a través del aire y llega a los 85 metros se encuentra con que el viento
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
disminuye repentinamente hasta que cesa por completo hasta quedar en calma completa, con lo que la velocidad de la máquina respecto al aire será de 10 kilómetros por hora. En consecuencia, el planeador entra en pérdida y lo hace en forma muy repentina y aguda. Este ejemplo extremo resulta, por supuesto, imposible en la práctica, pero sí es muy posible que la velocidad del viento sufra una modificación de 25 kilómetros o más entre los 100 y los 5 metros sobre el suelo. En este caso, mientras el planeador se aproxima con viento de frente para aterrizar y desciende desde los 100 metros, habrá una insidiosa tendencia del viento a disminuir que puede -si el piloto es suficientemente estúpido- llevar al planeador peligrosamente cerca de la pérdida a medida que se aproxima al suelo. Las medidas que deben tomarse son obvias. Haga la aproximación con suficiente velocidad y prevenga la disminución repentina del viento poniendo la proa hacia abajo tanto como sea necesario. El gradiente del viento es a menudo muy marcado cuando se aterriza en la cima de una colina. Hay un punto que necesita ser mencionado. Si usted trata de hacer un viraje muy escarpado en un gradiente de viento muy fuerte, las velocidades reales de las alas superior e inferior pueden ser muy distintas y esta diferencia es más marcada cuanto mayor es la envergadura del velero. Cuando nos hallamos con viento de cola el ala situada a un nivel inferior encontrará mayor velocidad del aire y el planeador necesitará cierta cantidad de alerón para obligarlo a hacer el viraje. A medida que completa el viraje hasta hallarse frente al viento mientras desciende, la punta del ala superior es la que enfrenta una mayor velocidad del viento y el planeador puede muy bien mostrar una violenta tendencia a girar en exceso sobre su eje longitudinal o sea a escarpar. La moraleja es clara: no haga virajes escarpados cerca del suelo. ……..”
* * * * * * *
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO I I Ejemplario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
279.- Hallar la der ivada direccional de la función
(0;0)y)(x; para 0
(0;0)y)(x; para 22
2
yx
yx
z
en el punto );( 00P , y en la dirección dada por el vector:
a) );( 11jis ; b) );( 01ij0iv ; c) );( 10ji0r .
Planteo, desarrollo, respuesta
Si la función es diferenciable en );( 00P , se calcula la derivada direccional
por la expresión: oszds
dz
En caso contrar io, hay que apl icar la definición de derivada direccional.
Veamos si es diferenciable en );( 00P : primero debemos ver si es
continua en );( 00P , para lo cual:
1.- por definición, la función es z=0 en dicho punto;
2.- el límite de la función es:
)
)(
()()()()(2
0y0x
2
22
0y0x22
2
0y0x22
2
0y0x
0y0x
x
y1
1yLím
x
yx
1yLím
yx
xyLím
yx
yxLímzLímL
0Acotada)Acotada(
0yLím
0y0x
3.- como 0zL 00P );( la función es continua en );( 00P .
Ahora veamos si es diferenciable en );( 00P : dyy
zdx
x
zdz
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
donde, por der ivación directa:
adaindetermin)(
)..
0
0
yx
yx2
x
z
P
222
3
P
y adaindetermin)(
).(
0
0
yx
yxx
y
z
P
222
222
P
ante la imposibil idad de la derivación directa, apelamos a la definic ión para
obtener las der ivadas:
x
00xzLím
x
00z0x0zLím
x
yxzyxxzLím
x
zLím
dx
dz
0x0xP
0xP
x
0xP
);();();(]
);();([)(
0x
0Lím
x
x
0
Límx
0x
0x
Límx
yx
yx
Límx
0xzLím
30x
2
0x
22
2
0x
0x22
2
0x0x
.][);(
);(
y la otra derivada:
y
0y0zLím
y
00zy00zLím
y
yxzyyxzLím
y
zLím
dy
dz
0y0yP
0yP
y
0yP
);();();(]
);();([)(
0y
0Lím
y
y
0
Límy
y0
y0
Límy
yx
yx
Límy
y0zLím
30y
2
0y
22
0y
y022
2
0y0y
.][
);();(
con lo que el diferencial de la función, en caso de ser diferenciable, sería:
0dy0dx0dyy
zdx
x
zdz PP
..][)(
Ahora encontremos el incremento de la función:
22
2
P
22
2
PPyx
yx0
yyxx
yyxx00zyyxxzz
.
)()(
).()();(];([)(
Con todos estos elementos podemos determinar la diferenciabi lidad de la
función mediante el cálculo del l ímite:
0
0
yxyx
yxLím
yx
0yx
yx
Límyx
dzzLím
2222
2
0y0x22
22
2
0y0x22
PP
0y0x
).(
.
.
))()(
(
para intentar levantar esta indeterminación, aplicamos límites por haz de rectas,
haciendo: xmy . con lo que:
222222
2
0x22
PP
0y0x xmxxmx
xmxLím
yx
dzzLím
.)..(
..)
)()((
adoindetermin)(.)..(
.
32222
3
0x m1
m
m1xm1x
xmLím
por lo que concluimos que la función no es diferenciable en el punto );( 00P , y por
lo tanto, la derivada direccional no se puede calcular por la expresión
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 5 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
oszds
dz y, en consecuencia, será necesario aplicar la definic ión de derivada
direccional, como sigue: 220s0s0s yx
PzQzLím
s
PzQzLím
s
zLím
ds
dz
)()()()(
donde, haciendo: tPQsyx 22 y sabiendo que: s
sso
entonces el segmento dir igido, o vector, que une los puntos P y Q, será:
ostPQ y el punto Q, a part ir del punto P, será: ostPQ
y en consecuencia, la der ivada será:
t
PzstPzLím
t
PzstPzLím
yx
PzQzLím
ds
dz o
0t
o
PQ220s
)().()().()()(
a.- Adaptando el planteo para el caso de );( 00P y );( 11Q , hacemos (f iguras 127):
la dirección es: );( 11jis con lo que 211s 22
y el versor dirección es: );(2
1
2
1
2
jiso
y entonces: );();();();(2
t
2
t
2
t0
2
t0
2
1
2
1t00stPQ o
con lo que la definic ión de der ivada direccional será:
t
0yx
yx
Límt
00z2
t
2
tz
Límt
PzstPzLím
ds
dz 2
t
2
t22
2
0t0t
o
0t
);(]
.[
);();()().(
22
1
t22
tLím
t
t
22
t
Límt
2
t
2
t
2
t
2
t
Límt
2
t
2
t2
t
2
t
Límt
yx
yx
Lím3
3
0t
2
3
0t
22
2
0t
22
2
0t
2
t
2
t22
2
0t
.
)()(
.)(
].
[);(
que es el valor buscado de la derivada direccional en la dirección hacia Q.
b.- si );( 01ij0iv entonces es );( 01Q (f igura 128), o sea, en el sentido
creciente de las x, por lo que la derivada direccional es la der ivada parcial en el
sentido de las x (más arriba calculada por definición); de cualquier manera, el
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
versor dirección es: );( 01i1
i
1
ivo con lo que la der ivada
direccional, apl icando la definic ión, es:
t
yx
yx
Límt
0yx
yx
Límt
00z0tzLím
t
PzvtPzLím
dv
dz0t22
2
0t
0t22
2
0t0t
o
0t
);();( ].
[].
[);();()().(
P0t30t
22
2
0t x
z00Lím
t
0Lím
t
0t
0t
Lím
)(
.
c.- Para el caso de la dirección );( 10ji0r el versor dirección es
);( 10j1
j
1
ji0ro
y el punto Q es );( 10Q , por lo que la dirección es en el
sentido de las y crecientes (f igura 129), por lo que la derivada direccional en
esta dirección es la derivada parcial de la función en la dirección de las y
(PP y
z
dr
dz
).
No obstante, organicemos el cálculo de la der ivada direccional mediante
su definic ión, para este caso:
t
yx
yx
Límt
0yx
yx
Límt
00zt0zLím
t
PzrtPzLím
dr
dzt022
2
0t
t022
2
0t0t
o
0t
);();( ].
[].
[);();()().(
P0t30t
22
2
0t y
z00Lím
t
0Lím
t
t0
t0
Lím
)(
.
* * * * * * *
280.- Hallar:
a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función
z=xySen(3xy) en P(1;);
b) el valor de ésta, en el punto P;
c) el valor de la der ivada d ireccional en la dirección s=2.i+3.j;
d) la expresión funcional de las curvas de nivel de la función;
e) la expresión funcional de la pendiente de las curvas de nivel;
f) la expresión funcional de la pendiente del gradiente;
g) una conclusión al comparar ambas pendientes obtenidas;
h) el valor de la derivada direccional en el punto P, a través del gradiente;
i) el ángulo entre el gradiente en el punto P y la dirección s.
Planteo, desarrollo y resultado:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
a.- La orientación ( ) de la máxima derivada direccional coincide con la
orientación del gradiente de la función.
Grafiquemos la situación en la f igura 130 y determinemos el gradiente en P :
ixyCosxyxySenyj
y
zi
x
zz P
P
P )]3(3)3(.[ 2
j3i3jxy3yCosx3xy3xSen 2P
2 )]()([
o sea que las componentes del gradiente son ambas
negativas y la orientación de éste resulta mayor de
180º, es decir: º180
donde: º,)( 66173
3arctg
x
z
y
z
arctg2
P
con lo que º,66197 .
b.- El valor de la máxima derivada direccional resulta de:
073133y
z
x
zz
ds
dz
ds
dz 22222
PP
MAXP
,][
c.- La dirección s implica una orientación )()2
3arctg(
2
3tg 1 por lo que la
derivada direccional en la dirección s es:
27242
3tgSen3
2
3tgCos3Sens
y
zCos
x
z
ds
dz 112PP ,))((.))((.)]()([][
d.- Si )(. xy3Senxykz , la expresión funcional de las curvas de nivel de la
función z es: );(:)(. yxr0kxy3Senxy que es una expresión portadora de
la función implícita )(xfy , y que, como se observa, no se puede explicitar.
e.- Para conocer la expresión funcional de las pendientes de las curvas de nivel,
derivamos a la portadora de implícita anter ior: 0dx
dy
y
r
dx
dx
x
r
o sea:
0dx
dy
y
r
x
r
de donde: cn2
2
px
y
xy3yCosx3xy3xSen
xy3Cosxy3xy3ySen
y
rx
r
dx
dy
)()(
)]()([
f .- De la expresión funcional del gradiente se obtiene que la pendiente del
mismo es:
g2
2
py
x
xy3Cosxy3xy3ySen
xy3yCosx3xy3xSentg
)()(
)]()()(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
g.- Comparando la pendiente del gradiente con la pendiente de la curva de nivel
vemos que son recíprocas entre sí, lo que nos sugiere que si las mult iplicamos
obtenemos: 1x
y
y
xpp cng
)( lo que implica que el gradiente es
un vector perpendicular a la curva de nivel, en el punto del dominio que se
considere.
h.-
s
sj3i3sj3i3sj
y
zi
x
zsz
ds
dz 2o
2oPoP
P
____
)..()..(][)(
272413
96
32
j3i2j3i3
2
22
2 ,)..(
i.- Sabiendo que: )()()(__
CoszCos1zCosszszds
dzoo
se obtiene:
P
z
ds
dz
Cos
)( y º,,]
,
,[ 37141rad472
0731
2724Cos
z
ds
dz
arcCos 1
P
* * * * * * *
281.- Hallar:
a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función
w=x2+2.y2+z3 en P(3;2;1); b) el valor de ésta, en el punto P; c) el valor de
la derivada direccional en la dirección s=3.i+2.j+k; d) la expresión funcional
de la superf icie de nivel de la función; e) el ángulo entre el gradiente en el
punto P y la dirección s; f) el ángulo entre el vector gradiente y el plano del
dominio.
Planteo, desarrollo, respuesta
a.- Como la máxima derivada direccional en P viene dada por el módulo del
gradiente, su dirección será la de éste, según vimos en el teórico, y entonces se
pueden obtener las orientaciones del vector gradiente con cada uno de los ejes
coordenados, a través de los cosenos directores (f iguras 131):
109
6
96436
6)2()(
222
PPP
P
P z
w
y
w
x
w
x
w
x
w
Cos
de donde:
rad ,º, 9609254109
6Cos 1
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 3 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
y del mismo modo, analizando las proyecciones ortogonales del vector gradiente
sobre las paralelas a los ejes coordenados, se t iene:
109
8
109
y
w
Cos
)( de donde: rad ,º, 7009839109
8Cos 1
109
3
109
z
w
Cos
)( de donde: rad 1,2873,3º
Con lo que la dirección buscada viene dada por los ángulos obtenidos.
Pero como dij imos, la dirección de la máxima pendiente será la del
gradiente, o sea que si calculamos el gradiente en el punto dado, el vector que
se obtiene t iene la dirección buscada:
skjikzjyixk
z
wj
y
wi
x
ww PP 386].3..4..2[][)( 2
En consecuencia, podemos dar la respuesta requerida o dando este vector
dirección, o dando los valores de los cosenos directores de la dirección de
máxima pendiente, o sea del vector gradiente.
b.- 4410109z3y4x2z
w
y
w
x
ww
ds
dw
P
2222
P
222
P
,
^
c.-
2220
123
.2.3 kjik
z
wj
y
wi
x
w
s
sk
z
wj
y
wi
x
wsw
ds
dw
PPP
89914
37
14
31618
14
kj2i3k3j8i6
14
kj2i3kz3jy4ix2 2 ,
.....
.......
d.- kz2.yxw 322 entonces 0kz2.yx 322 de donde: 3 2y2z 2x-k
que es la superf icie de nivel para cuando la función w pasa por el valor k en el
hiperespacio.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 4 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
i . - )(_
Coszszds
dzo luego: º,,]
,[ 6918rad330
109
899Cos
z
ds
dz
Cos 1
P
1
f .-109
10
w
y
w
x
w
Cos
P
22
)( entonces: º,,][ 7016rad290109
10Cos 1
* * * * * * *
282.- Si xyyxLnz )( 2 hallar:
a) la derivada direccional en el punto P(-1;1) en una dirección a elegir;
b) el gradiente de la función en P; c) la dirección u or ientación de la
derivada direccional; d) la máxima derivada direccional en P; e) la
orientación de la máxima der ivada direccional; f) el gráfico del gradiente.
Planteo, desarrollo, respuesta
a)
PP
Seny
zCos
x
z
ds
dzSen
y
zCos
x
z
ds
dz)()( )()(
ejemplo.por ,60º eligiendo )()()(
2Senyx
y
1CosyLny
x
2
P
1x
P
x
b) ijijy
zi
x
zz
P
202
c) La dirección de la derivada direccional en el punto P, es la elegida: =60º.
Aunque también podemos indicarla por s=a.i+b.j donde, si tomamos, por
ejemplo, a=2, entonces b=a.tang(60º)=2.tang(60º)=3,464.
Entonces, la dirección podría estar dada por: s=2.i+3,464.j .
d) 20222
22
y
z
x
zz
ds
dz
P
P
e) rad º1802-
0arctg
x
z
y
z
arctg
P
(por ser una fracción negativa: “y en el límite…”).
f)
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 5 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
283.- Hallar:
a) el ángulo de orientación de la máxima derivada direccional de la función
yx
x2yxfz
.);( en A(-3;-2);
b) el valor de ésta, en el punto A;
c) el valor de la der ivada direccional en la dirección s=2.i+3.j;
d) el valor de la derivada direccional en el punto P, a través del gradiente;
e) la dirección de máxima pendiente de la función;
f) la dirección de pendiente nula, en A, de la función.
Planteo, desarrollo, respuesta
a.- Como zds
dz
el ángulo de or ientación de la máxima der ivada direccional de
la función es el ángulo del gradiente, por lo tanto:
2
3Tg
y
xTg
y2
x2Tg
yx
y2
yx
x2
Tg
x
z
y
z
Tg 1
A
1
A
1
A2
21
A
1
)(
)(
rad 5,3rad ,,, ºº 98280693033156
b.- 217521
94
1
44
yx
x2
yx
y2z
ds
dz2
A2
2
A2A
A
,..
)()(
c.- 7722
3tgSen6
2
3tgCos4Sens
y
zCos
x
z
ds
dz 11AA ,))((.))((.)]()([][
d.-
22ooPoP
P 32
j3i2j6i4sj6i4sj
y
zi
x
zsz
ds
dz)..()..(][)(
___
77213
10
13
188,
e.- La dirección (S) de máxima pendiente de la función dada, será la dirección
del gradiente de la función, ya que la máxima der ivada direccional se obtiene
cuando su valor coincide con el valor absoluto del gradiente; es decir:
jijyx
xi
yx
yj
y
zi
x
zzS
AAA
64
22
22
f .- Pendiente nula se corresponde con derivada direccional nula en el punto A ;
por ello: AA
Seny
zCos
x
z0
ds
dz
)()(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
luego: )()( Seny
zCos
x
z
con lo que:
Ay
zx
z
Tg
)( de donde:
Ay
zx
z
Tg
1
que es la orientación, medida en grados sexagesimales, o en radianes, de la
dirección en que la derivada es nula.
6
23
)3.(22y 4
23
)2.(22
2222
AAAA yx
x
y
z
yx
y
x
z
entonces: º11 33,69rad 588,03
2
6
4
TgTg
Por otra parte, si la dirección viene indicada por el vector S=a.i+b. j:
a
b
3
2 111 TgTg
y
zx
z
Tg
A
de donde: a
b
3
2 por lo que:
2.j3.iS
2b
3a
* * * * * * *
284.- Hallar la derivada direccional de la función )(.. yCosey4xz x22 en el
punto P(0;0) y con or ientación de la dirección dada por =-30º.
Respuesta 870ds
dz
P
,
* * * * * * *
285.- Hallar la der ivada direccional de 532 yzxw en el punto P(1;2:-1) y
en la dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.
Planteo, Desarrollo y Respuesta
PPP x
w
y
w
x
wCosCos
x
wCos
y
wCos
x
w
dS
dw
)()()()(
)(362)()1(32312)(332)( CosCosCosyzxCosdS
dwP
P
Para encontrar el ángulo, y su coseno, recurrimos a la geometría analít ica:
si a, b y c, son los números directores de un vector con los respectivos ejes x, y,
z, entonces sabemos que los cosenos directores de e se vector son:
)( ^ )( ^ )(222222222 cba
cCos
cba
bCos
cba
aCos
Y como los ángulos deben ser iguales, por la consigna del problema:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
)( )( )(222222222 cba
cCos
cba
bCos
cba
aCos
Condición que se deberá cumplir, necesariamente, para: a=b=c
con lo que: 3
1
3
1
3
)( )( )(
2
22222222
a
aa
a
aaa
a
cba
aCosCosCos
Por lo que los ángulos iguales son: rad 9553,0º7356,54)3
1arcos(
Y la derivada buscada es: 58,057735,03
1)(
Cos
dS
dw
P
De forma parecida, se podría plantear a través del gradiente:
s
skji
s
skyjzix
s
sk
x
wj
y
wi
x
wsw
dS
dwP
PP
3623320
entonces:
222222362362
bbb
kjibkji
cba
kcjbiakji
dS
dw
P
lo que permite:
58,03
1
3
362
3362
3
3622
kjikji
b
kjibkji
dS
dw
P
* * * * * * *
286.- Si z = 102 -x2-y2, hal lar la derivada direccional de z, en el punto P(4;3),
en la dirección
PQ , para )2,3;1,4(Q .
Planteo, desarrollo, respuesta
Una forma: ;; j6i8jy2ix2jy
zi
x
zzsz
ds
dzP0
050
j20i10
2010
j20i10
323414
j323i414
yyxx
jyyixx
s
ss
22222PQ
2PQ
PQPQ0
,
,,
,,
,,
,,
,,
luego:
948050
2
050
2180
050
j20i10j6i8sz
ds
dz0 ,
,,
,,
,
,,
Otra forma:
)()()()()()( Sen6Cos8Seny2Cosx2Seny
zCos
x
z
ds
dzP
05,0
2,0)(;
05,0
1,0)(
2222
PQPQ
PQ
PQPQ
PQ
yyxx
yySen
yyxx
xxCos
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
O bien:
arcTg(2)Sen)Sen()2Cos(arcTg)Cos(2arcTg1,0
2,0arcTgarcTg
PQ
PQ
xx
yy
luego: 94828Sen6Cos8ds
dz,arcTg(2)Sen6-)Cos(arcTg)()(
* * * * * * *
287.- Hallar la dirección de máxima der ivada di reccional de la función anterior,
en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
Como la máxima derivada direccional ocurre cuando la dirección a
considerar es la del gradiente, la orientación de la máxima derivada direccional
es la or ientación del gradiente; luego, cualquier vector dirección s que se
considere, arbitrariamente, con esa misma orientación º87,216 , será un vector
representativo de la dirección de máxima variación de la derivada direccional en
el punto P; por lo tanto:
º,,
,arcTgº
,
,arcTgarcTg 87216
80
60180
80
60
y
z
y
z
P
Si, por ejemplo, tomamos el vector jis 6,008 , que es precisamente el
gradiente de la función (f igura 132), y lo posic ionamos en el punto P, tendremos
la dirección pedida.
También podríamos elegir, arbitrar iamente,
jbijbias 2 donde b debe satisfacer la relación:
jisb 5,125,1rad785,3Tg2º87,216Tg2 .
Generalmente, con obtener el ángulo de orientación
es suficiente.
* * * * * * *
288.- Si ,4
22
2
yx
xyz
hallar su máxima derivada direccional en P(0,75;0,5).
Planteo, desarrollo, respuesta
22
PPP y
z
x
zz
s
z
donde: 222
222 )(4
yx
xyy
x
z
(que podremos comprobar con cálculos auxiliares);
y también:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 6 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
222
3
222
222
222
322
222
222
)(
8
)(
)(8
)(
8)(8
)(
24)(8
yx
yx
yx
yyxxy
yx
xyyxxy
yx
yxyyxxy
y
z
422
2322222
222
32
222
222
]8[)(48)(4
P
PP
PPyx
yxxyy
yx
yx
yx
xyy
s
z
60,2
5,075,0
]5,075,08[)75,05,0(5,04422
232222
* * * * * * *
289.- Graficar el gradiente de la función anterior, en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
jijy
zi
x
zz
P
P 56,247,0
* * * * * * *
290.- Si P(1;1;0) 23 zxyxw
a.- Hallar el gradiente de la función en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
kjikjxyiyxkz
wj
y
wi
x
ww P
P
P
222)3( 22
b.- Graficar el gradiente.
Respuesta
c.- Hallar la derivada direccional en P, en la dirección de kjiv 632 .
Planteo, desarrollo, respuesta
;)(; kj2i2kjxy2iyx3kz
wj
y
wi
x
wwvw
v
wP
22
P
PP0P
7
k6j3i2
49
k6j3i2
632
k6j3i2
v
vv
2220
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 0 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Entonces: 57,07
4
7
664
7
63222
kjikji
v
w
P
d.- Hallar la máxima derivada direccional en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
3122222
222
P
P
P
z
w
y
w
x
ww
v
w
e.- Hallar la mínima derivada direccional en P.
Planteo, desarrollo, respuesta
3122222
222
P
P
P
z
w
y
w
x
ww
v
w
f .- Hallar la dirección de máxima derivada direccional.
Planteo, desarrollo, respuesta
Si a la dirección buscada la l lamamos
s , es un vector coincidente con el
vector gradiente; por lo tanto, la dirección y el sentido del vector gradiente es la
dirección de la máxima derivada direccional: kjiws P
22 .
Llamando 0s al versor dirección y sabiendo que la dirección de máxima
derivada direccional coincide con el vector gradiente, su valor debe coincidir con
el versor gradiente:
kjikjikjikji
w
w
s
sws
3
1
3
2
3
2
3
22
9
22
)1()2(2
22
22200
o sea que: kCosjCosiCoskjis )()()(3
1
3
2
3
20 (cosenos directores)
o bien, los ángulos directores:
º47,109)3
1(Cos ; º81,131)
3
2( ; rad 84,0º19,48)
3
2( 1-1
CosarcCos
g.- Hallar la dirección de mínima derivada direccional.
Planteo, desarrollo, respuesta
Es la misma dirección, con sentido opuesto, del vector gr adiente:
kjiws P
22
Con cosenos directores: 3
1)( ;
3
2)( ;
3
2)( CosCosCos
* * * * * * *
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 1 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
291.- Hallar la der ivada direccional de la función
22 y2xLogz . en el punto
P(-2;1), según la dirección que une a P con Q(-6;-2).
Respuesta 610ds
dz
P
,
* * * * * * *
292.- Hallar la der ivada direccional de la función
22 y2xLnz . en el punto
P(-2;1), según la dirección que une a P con Q(-6;-2).
Respuesta 41ds
dz
P
,
* * * * * * *
293.- Hal lar la dirección, en el punto R(0;1), en que presenta pendiente nula la
función 22 yxLny3xz )(. .
Respuesta º,821
294.- Hallar la dirección, en el punto R(0;-1), en que presenta pendiente nula
la función 22 yxLny3xz )(. .
Respuesta º,4363
* * * * * * *
295.- Hal lar la derivada de la función 25 y5xz . , en el punto P(1;2), según la
dirección del vector s=4.i+3.j .
Respuesta 8ds
dz
P
* * * * * * *
296.- Hallar la dirección, en el punto P(1;2), en que presenta pendiente nula la
función 24 y3xz . .
Respuesta rad3204318 ,º,
* * * * * * *
297.- Calcular la derivada direccional de z=3.arctg(2x/y) , según la dirección
=2./3 y en el punto P(1;1).
Respuesta 641ds
dz
P
,
* * * * * * *
298.- Hallar sobre el punto A(2;-1), la der ivada de 3
1
2 xy2yxz .. según la
dirección que une A con B(1;3).
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 7 2 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Respuesta 372ds
dz
P
,
* * * * * * *
299.- Hallar:
a) el gradiente de z=-x2+y2;
b) su valor para el punto P(2;1);
c) su magnitud;
d) su orientación;
e) su gráfica.
Respuestas
a.- jy2ix2jy
zi
x
zz ..
b.- j2i4jy2ix2z PP )..(
c.- 4742024z 22
P,)()(
d.- rad68243153rad46057262
1tg
4
2arctg
x
z
y
z
arctg 1P ,º,,º,)()()(
e.-
* * * * * * *
En los siguientes ejercicios realizar lo indicado en el anterior:
De las dos expresiones de );( yxS obtenidas, “si los primeros miembros son
iguales, entonces los segundos también lo son”, y escribimos:
xy
yxfxy
yx
yxfyxyxS
22
);();();( por lo que:
xy
yxf
yx
yxf 22
);();(
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Tomando ahora límites de ambos miembros:
xy
yxfLím
yx
yxfLím
yxyx
);();( 2
0;0;
2
0;0;
se t iene que: xy
yxf
yx
yxf 22
);();( expresión que nos dice que las
derivadas cruzadas son iguales, y que es lo que Schwa rz quiere demostrar.
Como consecuencia, o corolar io:
.);();();(
etcxyx
yxf
xy
yxf
yx
yxfpnpnm
m
nmn
m
nnm
m
Expresión de la que se deduce que el número de veces en que se der iva
con respecto a cada variable ( frecuencia de derivación de cada variable) es la
misma siempre, cualquiera sea la secuencia de derivación.
Así dist inguimos: orden de derivación, secuencia de derivación, frecuencia
de derivación.
Por ejemplo:
2
5
2
55
23
5
32
5
22
5
22
5 );();();();();();();(
xyxy
yxf
yxyx
yxf
xyxyx
yxf
yx
yxf
xy
yxf
xyx
yxf
xyx
yxf
Diferencial sucesivo (o de orden superior)
Oportunamente vimos que: si );( yxfz su incremento total podía
estructurarse como: IOSdzyxfyyxxfz );();(
donde: dyy
zdx
x
zdz
fue definido como el diferencial de la función.
Es obvio que el diferencial de la función es, en general, una nueva función
en las mismas variables que t iene la función or iginal.
Si ahora se vuelve a diferenciar esta función obtenida, es decir el
diferencial, se obtiene el diferencial del diferencial, o sea el diferencial segundo
de la función, siendo entonces el pr imer diferencial, el diferencial de primer
orden de la función, y se observa el siguiente desarrollo diferenciador:
dydx
x
z
ydxdx
x
z
xdy
y
zddx
x
zddy
y
zdx
x
zddzd )(
2
2
2222
2
2
dyy
zdxdy
xy
zdydx
yx
zdx
x
zdydy
y
z
ydxdy
y
z
x
zddyy
zdydx
yx
z2dx
x
z 22
2
222
2
2
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
El segundo término del sexto miembro implica una aplicación del teorema
de Schwarz.
Un nuevo paso de diferenciación permite obtener el diferencial de tercer
orden de la función, tras sendas aplicaciones de Schwarz:
dydx
yx
z3dx
x
zdy
y
zdydx
yx
z2dx
x
zdzddzd 2
2
33
3
32
2
222
2
223 )(
3
3
32
2
3
dyy
zdydx
yx
z3
y así sucesivamente para n=4; 5; 6;…
A medida que se aplica sucesivamente la diferenciación para
dist intos n, y comparando las estructuras que se obtienen, se inf iere que el
proceso de diferenciación sucesiva t iene una cierta simi litud con el desarrollo de
la potencia enésima de un binomio; por lo que, tomando n=2, por ejemplo, se ve
que:
n
dyy
zdx
x
zdy
y
zdydx
yx
zdx
x
zzd
2
2
2
222
2
22 2
Por lo tanto, se puede simbolizar el proceso de diferenciación sucesiva,
para orden n de diferenciación, mediante la siguiente estructura:
n
n dyy
zdx
x
zzd
Expresión que llamaremos algoritmo diferenciador sucesivo, el que se
interpretará del siguiente modo:
1.- cuando n se apl ica al símbolo del binomio (el signo +) nos indica el número
de términos que tendrá el desarrollo en su mínima expresión; esto es: tres
términos para n=2, 4 términos para n=3; n+1 términos para n=n;
2.- cuando n se apl ica a la derivación de la función, indica el orden de
derivación sucesiva de tal función;
3.- y cuando n se aplica al diferencial de la variable, indica la potencia a que es
elevado el diferencial de la variable (tanto de variable única, como el de
combinación de variables).
También puede observarse, en los desarrollos de 2º y 3e r orden anteriores,
a modo de ejemplo, que la nomenclatura del desarrollo del diferencial “ordena”
en forma alfabética, y decreciente para una y creciente para la otra, la
secuencia de derivación y/o de diferenciación de las variables.
A los f ines prácticos de su apl icación es úti l combinarlo con el l lamado
triángulo de Tartaglia (que se adjunta más adelante), cuya distr ibución adaptada
al algoritmo diferenciador, será:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
n n
dyy
zdx
x
z
0 1
1 1 1
2 1 2 1
.. ……….
Para el n correspondiente, los números de la segunda columna son los
coeficientes de cada der ivada en cada término del desarrollo del diferencial.
Siempre los coeficientes de las derivadas de los extremos del desarrollo
serán 1, mientras que los coeficientes de las der ivadas más internas del
desarrollo están en consonancia con el número de derivadas cruzadas iguales
que la función t iene para ese orden, y frecuencia, de der ivación.
Cabe acotar que en cada línea, en la segunda columna, la cantidad de
coeficientes que aparecen indican la cantidad de términos que el desarrollo del
diferencial t iene.
Además, para n=0 se t iene en el tr iángulo un solo 1; esto indica que hay
un solo término en el diferencial, que es precisamente la función, ya que al ser
n=0 ello indica que la función no será diferenciada, y en este caso, se t iene:
);(
0
0 yxfzdyy
zdx
x
zzd
* * * * * * *
El Triángulo de Tartaglia por Paulino Valderas
Extraído de: http://es.geocities.com/matesbueno/articulos/el_triangulo_de_tartaglia.htm En Matemáticas hay infinidad de triángulos, y algunos de ellos merecen especial mención. El Triángulo de
Tartaglia no es un triángulo en el sentido geométrico de la palabra, sino una colección de números dispuestos en forma triangular que se obtienen de una manera muy sencilla.
... Como se puede observar, en la cúspide del triángulo hay un 1, en la segunda fila hay dos 1, y las demás
filas empiezan con 1 y terminan con 1, y cada número intermedio se obtiene sumando los dos que se encuentran justo encima.
El Triángulo de Tartaglia, llamado también de Pascal, es infinito. Podemos construir todas las filas que
queramos. En el ejemplo de arriba hemos desarrollado once filas. Por convenio, a la primera fila, que solo contiene el 1, le llamaremos fila 0, a la segunda fila, fila 1, a la tercera, fila 2, para que así coincida el nombre de la fila con el número que viene detrás del primer 1 y antes del último 1, etc.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 1 9 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
El Triángulo está relacionado con el desarrollo de las potencias de un binomio y con los números combinatorios.
Si queremos desarrollar las potencias de una suma, tenemos: (a + b)
2 = a
2 + 2ab + b
2
(a + b)3 = a
3 + 3a
2b + 3ab
2 + b
3
(a + b)4 = a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + b
4
etc... Como se puede comprobar si nos fijamos en los coeficientes que acompañan a las potencias de a y de b,
son los mismos números que los de la fila correspondiente del Triángulo. Así por ejemplo: (a + b)
4 = a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + b
4 = 1a
4 + 4a
3b + 6a
2b
2 + 4ab
3 + 1b
4
Es fácil también darse cuenta de que a aparece elevado a la potencia máxima y luego en cada sumando va disminuyendo la potencia (en el último ejemplo, a
4, a
3, a
2, etc.), mientras que b no aparece en el primer término,
sí en el segundo, y luego va aumentando su potencia hasta acabar solo en el último término. Cada número que aparece en el Triángulo se puede calcular independientemente del resto. Si queremos
averiguar un número de la fila 20, por ejemplo, no es necesario calcular todas las filas anteriores. Cada número en realidad es un número combinatorio; para obtenerlos hay una fórmula un poco rara, donde aparecen dos números uno encima de otro entre paréntesis y luego aparecen números con signos de admiración, los factoriales. La fórmula en concreto es:
Veamos un ejemplo de cálculo para entender la fórmula:
Hemos calculado el número combinatorio 8 sobre 5 y nos ha dado 56. Si nos fijamos en el Triángulo de
Tartaglia de arriba del todo veremos que en la fila 8, en el quinto lugar si no contamos el primer 1, tenemos 56. Cada número del Triángulo es el resultado de calcular el número combinatorio que corresponde a su fila y
al lugar que ocupa dentro de ella. El Triángulo se puede expresar también así:
...
Si por ejemplo queremos calcular el término de la cúspide, cero sobre cero, podemos aplicar la fórmula, teniendo en cuenta que el factorial de cero es por definición igual a uno, 0! = 1.
De forma análoga se pueden ir calculando todos los restantes números combinatorios y se puede comprobar que
van coincidiendo con los términos del Triángulo. Con todo lo que hemos explicado no será muy difícil comprender la fórmula general para el cálculo del desarrollo
de un binomio, llamada el Binomio de Newton:
Para terminar, queremos recordar al matemático italiano, del que procede el nombre, Niccolò Fontana, apodado
Tartaglia porque era tartamudo. Vivió entre los años 1500 y 1557, nació en Brescia, Italia y enseñó en varias universidades hasta establecerse en Florencia en 1542. Resolvió la ecuación de tercer grado y escribió tratados
361.- Verif icar que 0160zd3 , corresponde a )( yxLnz , para x=1, y=0,
dx=dy=0,1.
* * * * * *
362.- Hallar el diferencial segundo de )()( yLn10xLn4yxyxz 22 para C(0;0).
Respuesta:
adoindeterminzd2 porque la función no es diferenciable en el punto dado; o sea,
las derivadas parciales de primer orden no son continuas en dicho punto.
* * * * * *
363.- Hallar el diferencial segundo de la función anter ior en C(1;1).
Respuesta:
En este punto la función es diferenciable, por lo tanto:
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 6 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
22C
2
2
2
2C2 dy12dydx2dx6dy
y
102dydx2dx
x
42zd .)])()[()(
* * * * * * *
364.- Verif icar que 0zd0
2
3 );(
)( si )()( yCosxSenz .
* * * * * *
365.- Verif icar que )....,.()();(
22
2
12
2 dy4dydx4dx250ezd si xyez .
* * * * * * *
Los Cuestionar ios, como el s iguiente, deberían ser resueltos a medida que se va progresando en el análisis de los temas. Las preguntas que contienen pueden ser uti l izadas en el Examen Final.
UNIVERSIDAD TECNOLÓG ICA
NACIONAL
FACULTAD REGIONAL CÓRDOBA
ANÁLISIS MATEMÁTICO II
Cuestionario Prof . Ing .
Mig ue l A nge l Ram ad á n
1.- En la definición de derivada, ¿por qué es necesario que el incremento de la
variable t ienda a anularse?
2.- ¿Por qué la derivada parcial no es una tangente?
3.- En un entorno reducido, la distancia de algún punto del entorno al punto
entorno es nula: ¿por qué es verdadera/falsa esta afirmación?
4.- ¿Qué es diferenciabilidad de una función mult ivariable?
5.- ¿Sobre qué plano se grafican las curvas de nivel?
6.- ¿Cuáles son los pasos para graficar una función mult ivariable?
7.- ¿Cuál es el dominio de una función ksrfz );( ?
8.- ¿Qué t ipo de entorno valida la definición de límite?. Explique.
9.- Indique la interpretación geométrica de la derivada parcial con respecto a la
variable y.
10.- Explique si es continua la raíz cúbica de la suma de los cubos de x y de y.
11.- ¿Por qué es, o no, diferenciable en el origen la función 42 yxz ?
12.- ¿Qué establece el teorema del valor medio?
13.- Una función que t iene límite en un punto de su dominio, ¿es o no continua
en ese punto?
14.- ¿Qué establece el corolar io del Teorema de Schwarz?
15.- Una función );( yxfz ¿puede tener derivada total?
17.- ¿Cuál es el dominio de una derivada 2
2
3
3xyx
z
?
18.- Explique el tr iángulo de Tartaglia.
19.- Cite los métodos posibles para el cálculo de derivadas.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 7 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
20.- Expl ique si la derivabil idad de una función mult ivariable en un punto
implica, o no, continuidad de la función en ese punto.
21.- ¿Qué indica la derivada parcial de una función mult ivariable para cierto
punto de su dominio?
22.- ¿Qué indica el diferencial de una función mult ivariable para cierto punto
de su dominio?
23.- ¿Para qué sirve el diferencial de una función mult ivariable?
24.- Enuncie la regla de la cadena para la der ivación de una función
compuesta.
25.- Explique si siempre una derivada compuesta de una función mult ivariable
es una derivada total.
26.- ¿Cuándo una función mult ivariable es portadora de una función implícita?
27.- Cite los cuatro pasos de obtención de la derivada de una función implícita .
28.- ¿Por qué las derivadas parciales de una función mult ivariable en un cierto
punto de su dominio están relacionadas con el plano tangente a la superf ic ie
que grafica la función, en relación a dicho punto?
29.- El vector gradiente de la función mult ivariable se grafica perpendicular a
la superf ic ie de nivel de la función, y por lo tanto, representa a la normal al
plano tangente, y a la superf icie de la función: ¿es verdadero/falso?, explique.
30.- La derivada direccional indica la dirección en que la función cambia
velozmente sus valores: ¿es verdadero/falso?, explique.
31.- ¿Cuáles son los componentes de un gradiente de una función?
32.- ¿Cómo y para qué se relacionan el gradiente de una función y la derivada
direccional?
33.- ¿En qué dirección y orientación la función );( yxfz t iene una ley de
variación nula en un cierto punto P de su dominio?¿y las del gradiente?
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ÍNDICE
Pág. Contenido
Parte 1
1 Conceptos Básicos.
Parte 2
73 Derivadas parciales.
75 Interpretación geométrica de la derivada parcial.
76 Cálculo de la der ivada parcial .
77 Ejemplario.
90 Teorema del valor medio.
92 Diferencial total.
93 Aplicación del diferencial al cálculo de aproximaciones y errores.
97 Función diferenciable.
100 Ejemplario.
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 8 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
116 Derivación de funciones compuestas.
117 Regla de la cadena.
121 Ejemplario.
130 Derivación de funciones implícitas.
134 Método general de derivación de funciones implícitas.
138 Ejemplario.
147 Derivada direccional.
150 Interpretación geométrica de la derivada direccional.
151 Gradiente.
152 Derivada direccional y gradiente.
156 Ejemplario.
174 Plano tangente.
176 Interpretación geométrica del diferencial.
177 Recta normal.
180 Relación (del plano y la recta) con el gradiente.
181 Ejemplario.
191 Derivadas sucesivas.
193 Teorema de Schwarz.
195 Diferenciales sucesivos.
197 Triángulo de Tartaglia.
199 Ejemplario.
205 Cuestionario.
206 Índice.
Parte 3
208 Extremos.
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Recreo: Qu ino, en: Gente en su sit io .
UTN F a cu lta d Reg io n a l Có r d ob a 2 0 9 P r o f . I n g . M i g u e l Á n g e l R a m a d á n
Agenda:
Por favor, coloque aquí las respuestas a la consigna formulada en la página 9