Derivadas-calculo de swokowski

5/8/2018 Derivadas-calculo de swokowski - slidepdf.com

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94 CAP lTULO :3 • LA DER IVADA

D E F I N I C I O N D : E L A I D E R I V A D A

Sea f una funcion definida ell un intervale abierto que contiene a t numero real a. Et

la Figura 3.1 Sf ilustran la grafica d e f y una recta sec-ante l p ( J ' que pasa par P(a , f(a)

y Q(x, f ( x ) ) i . . La recta de Ham punteado I representa una posible recta tangente er

el punta P.

FlGU 3 . 1 FlGlfRA 3.i

,I'

I

'r-:

- _:~.

(I

En la Seccion 2 , . . 1 de f' in imos la pcridiente in de I como el valor de lfrnite de la pen -

d" d j .. ~! 0 .. d .. ' P A ' de II D f···· l'ente e IP Q cuanoo .~ uen te a .. ,,,,$I,',e Ia e 1!11ClOll,~...::,

. f(x)- !{a)m = lim

s+a X·- a

siempre y cuando el Iimite exista. Si se imrcduce unanueva variable h tal quex = a +

It (es decir, h = x ~ cd, como se ilustra en la Figura 3 . . 2 : , se obtiene la siguicrae formula

para m:

m = limf J _ · U

f( a + h) - !(a)

h

que esequivalente a ta anterior. Enel Apendice 11se da una demostracien d ie est a equi-

valencia, El Ifmite anterior es uno de los conceptos fundamentales de! calculoy

se llamaderivada de fa funcion f en a.

DEI lelo (3. '1)

si este limite existe ,

Sea f una funcion definida en un intervale abierto que

contienc a a. La derivada de] en u, denotada pqr/,(a,)l

esta dada par

f'(a)f( a + h) - ita)

Ii

La formula para j'(a) tambien se puede escribir como sigue:



3.1 Ddinici6n d e. la cenvada

F(a)lim lex) - I(,a)

_\-U X - a

EI simbolo 1'(0) se leeIprima dea. La frase rCa) existe significa que cl limite

en las Definiciones (3..1 ) y (3.1'), existe, Sffi'(a) existe decimos que fa funcion res deri-

vable en a, que es diferenciable en a 0. que ltienc derivada en a,

Suponiendo que las funciones fy s de las Definicienes (2.2) y (2.j) de la Seccion

2.1 son derivables en a.s» pueden cnunciar dichas definiciones de la siguicnte manera:

UCAC 0 E E LA(3,.2)DE IV DA

(i) Recta tangente: La pendienle de la recta tangcntea la grafica de f en el punto (a , l(a)) es.f '(a).

[ii) Velocidad: Si un puma P se mueve a 10 largo de

una recta coordenada de manera que al tiempo f su

coordenada es 5(1), eruonces IlU velocidad al tiem-

po a es s ' ( .a ) .

Mas adelarue en el texto se presentan otras aplicacienes de 1 3 derivada.

TUnaftmdioflles derivable en un intervale abierto U 1 , /)1) si 10 es en todosJos mime-

ros c de (a., b). Tambien se eonsideraraa funcicnes que 'Son.derivables en un iruervalo

infinite (a, (0), (-00., a) 0 bien (-00; 00), Para intervalos cerrados usamos la siguienteconvencion que es analoga a ladefinicion de continuidad 'en un intervale cerrado dada

en (2.24),

DEF I C ION (3 .3 )

lim /U, + I J ' I

,I " ' " U IJ

I I I > , I

·01 (/,.- 01

Una funcion fe s derivable en un iute:rvalo eerrado [a , h]

8110 e s e n el intervale abierto (0, b) y los Hmite s

1 " f(a + h i - Ita)1m

/1- - -0- z1

'. f(b + h) - f(b)im n'/i-!o[)-

y

existen.

L08 Iimitespor 18 derecha Y porla izquier da len 1 2 1 Defi-

nicion (3.3) se Haman derh',ada por la derecha y derih'ada por

la lzquierda de fen a'j' b, respectivarnente. Notese que para

la derivada par la derechase tienc que h ~ G" y a + h tien-

de a a POl' fa dereeha . Para Ia derivada par la izquierda sc

ric ne que h:« 0- y b T h tiende a b.par fa izquierda.

Si f es una funcion definida en un intervale cerrado --a" b) y no esta definida fuera de el, entonces las derivadas

por la derecha y por la izquierda perrniten definir las pen-

dienres de las rectas tangentes en los PUH'J ' [OS pea , f(aJ) Y

R(b, fCb)); respectivamentevcorno se ilustra.en la Figura 3.1.

POF10 tanto, para obtener la pendiente de la recta tangente

en P Sf: torna el valor limite de las pendientes de las rectas



CAP l1ULO 3 • LA DER IIVADA

,

secantes que pasan por P y Q cuando Q tiende a P por Ia derecha, Para [a recta tangen-

te en R,el PUnlO Q tiende a R por la izquierda.

La deriv ab ilid a d de una funcion eo intervalosde

la forma [a, b); [O J

O O ) l '(a, b].

o bien ( - 0 0 ' . bJ se define usando I D O S Iirnites per Ia lzquierda o por [a derecha en uno

de los puntas ex t r emes .Si f esta definida en un intervale abierto que contiene a aj. entonces FCa) existe

si }' soto. si las derivadas poria derecha Y'por ta izquierda en a existen ysot; iguales.

Las funeiones euyas graflcas se muestran en la Figura 3 . 4 tienea derivadas porIa dere-

cha y par la izquierda en a que corresponden alas pendientes de las rectas ' I y Ih res-

pectivamente. S1n embargo, como las pendientes de I I Y 1 2 no S O o n iguales, f'(a) no

exists. En general, si la grafica de.ftiene unpico en elpunto p(q, f( tJJ), entonees j

no es derivable en a.

IGUR .A 3.4

-/

\

/

.. t.

. " . . . . -

'" I

-~/ \

y

\ .

\ . . . . _

" \

i.

. 1 . : . '

,fI

~. .

: 5 i fe'S derivable para todo x en un intervalrjenroncea, asociandoa cada x el niime-

fQ/i(X), se obtiene una fiiltlldon J ' llamada deril'vada del. EI valor ae]' en x esra dado

porel siguierue lfmite (0 par un Iirni te unilateral).

l DE VAn (3.4)

CO 0 UN

FUNC ION

F(x)!(x + h) ~ itx)

:::::lim hf j - - < - O

Notese que em(3.4) d mimero xes fijopero arbitrarioy elIiinite se soma hacienda

tender b a cero ...Derivarj tx ; 0 encontrar la derivada de f(x) significa determinar f'(x}.

E J E . L O Sea J l ( J d = 3x2- 5x + 4. Encontrar:

(3. ,'ex); eeldominic de I', Il" 1'(2). j'(-/2)y [(a.);

I'd! una ecuacion parala recta: rangente a la grafica de f en e l punto P(2) f(2.)).

luc·6

(Ill Por (3.4),

. l(x + I I ) - (fx)j'(x) = l~m·· ..

, , ~ o h I

_ I' [3 (:> ;:+ 1 1 )4 - 5lx + h} + 4 l - (3'(2 - 5x + 4)- 1m-=-----~--------''----------

ft~O h



3.1 D dirn ~c i6n d e la d er~ va da 9 1

. iJxC .· + 6xh -j-. 31!~- 5:\"- 51 ! + 4) - (J;){2- 5x + 4)= Elm ---- - -- - -- - -- - --

n ·11 II

=6.'\:- 5

(bl Como j"(x) =6x - 5, In derivada existe para todo uumero real X. Por 10 tanto

e l d om in ic deF e s M .

lr) Sustiruyendnx en F(x~ = 6 - , ( ~ 5,

I T ' : ' ) = 6 f~ l - 5 = 7

- - -

.{II - '\ ::.) - 61-" 2) - 5=-~6, ~ + 5)

J'fu) = I'm- 5

(d) ComQf(2) = = 3(~i-5(.2) + 4 = J2~ 10 + 4 = 6, el DlmtoP(t:, I{2l) en Jagra-

fica de. ft~ene coordenadas (2,6"). POf (3 ..2) (i], 18.pendiente.de la recta tangente en P

es [(2) = 7(vel' (cj). Usando [a forma de' fa ecuacion de la recta dados un punto " j - '

su pendiente (1 .15), se 0btiene la siguiente ecuacion para la recta tangente "en P :

y - [; = 7(x ~ 2), 0, equivalentemente, 7x - y - 8 = 0, •

EJEM PLO 2 Encontrar FIx) si j(x) = iX . i C . l J l : a J es el u.omJniO de .F?Soluci6n E] dominic de f consta de todos 105 nurneros reales no negatives ..Exa-

minarernos los cases )( > 0 y x = (j par separado. S i x > 0 enteaccs, por (3.4),

Para encontrar el limite. $C racionafiza el numerador y Iuego simplificamos:

., . v x + Ii - \iX ,\/J.: + Ii + ' v ' " " ;f(~,)=hm- _. ~

/,~O h .:\' ..J. '/1 - I,·v- ,/ '\'-"

( . x : + I i ) - x=Hm---==! , . . . o hh/Y + h - _""'x I

= lim --,,~ 0 \. _\'+ h + :' < X

Como X= '0 es un punto extreme de] dominic de f. debe usarse un limite unilateral

para determinar si /'(0) exists ..Suponiendo que Ies derivable en 0 y usando laDefini-

don (3.4) COl) x = 0, obtenernos

\,-'0 + I i - \ 1 ' 0f'Wl= lim

/ 1



98 CAPITULO 3 • LA. DERIVADA

Como este limite no. existe (vease eelEjercicio 46 de 1a Seccion 2.4), /,(O) rampoco exis-

te. Por lo tanto, el dominio de l'es el conjunto de los nurneros reales positives.

-+-

EJE PLO 3 Sea j(x} = Ix~.Dernostrar que InQ es der

vable en O .

Solution En el Ejemplo 8 de la Seccion .t .4se estudi

la grafica de fque se ilustra nuevamentc en la Figura . 3 . :

Geornetricarnente es obvio que loo time derivada en 0 pu

lu grafica Ilene un pica en el origen, Puede demostrarse qu.

/,(0) no existe haciendo ver que las derivadas de jpor la d--

recha y por la izquierda en 0 no son iguales .. Usando los Hn

tes de la D efin ic ion (3 .3) con a = 0 )' b =01obtenemos:

FIGURA3 •.'i

! c + I, I - I 0 I , , _ I I I I .--.--= lim --= 1

II k-U· I I

I h i-= -1

/1 '

Por ]c > tanto, 1'(0) no existe.

Del Ejemplo 3 se concluye qu e la grafica de y = ]x l no tiene una recta tangent.

en el punto P(O , 0).

EI siguienre ejernplo ilustra.la aplicacicn de Ladefinicion equivalente (3.1 ') para cal-

cular /'(0).

EJEMP lO" Sean f txJ = x 1 1 3 ' J i ' a i- 0; Obtcner f ' (a}.

Solucion Usando (3.1 '),.

.,.. '- (I(X) - flo)j (a)=hm' -_ .. -. ,"U:'( - u

_yll-.! _111.1

=fmX" X - (I

si el limite existe. Para investigar Ja existencia del limne S I : ! requiere modificar la form'

del eociente. Un medic para hacerlo es escribir

XI3_UIJ xl.l-al_)

lim - -- = lim - - n : - - - ~ --1 J •.X-(('< - (/ ~C 'U i'.'c -), - (a ~<1

EI denominador puede Iactorizarse usando la formula

II) - q - i - Pl - q)(i)~ + pq - q~')

:\._L.:l -,oJ .3

lim 1:\ 1'3 - ~, --.,,-, ! ' ~-, .

_'~,l (.\ • - (I !ly- ~ + .\""'0 . + 0:' ' " ' I



: 3 . 1 De:fln jc ~6 n d e la denilJada

Dividiendo eJ numerador yel dencminador entre x~n - a 1.1 y tomando el Iimite ob-

tenemos

1tll:!! = Iim . 2 ~ , 1 J I , ~ ,_ _ < _ - · a x~ - + -'i a' - + {!~_,

•

Si una funcion Its derivable en i1entonces los eonti-

nua en 0.,

D mostrad6n Si X esra en el dominic de J y x * a , en - tonce s /(x) puede expresarsecomo sigue:

}('d - _ / \ a ) .fj-y) = /(u) + ~- Ix - 0) .

_ ,< -d

Usando los teeremas sabre limires y [a Deli nicion (3.2;),

,. I" .,_ fl(sl - fl[a)1 >

hmJ(x~ = 11m j({I) , hm . lim Ix - a)T-'~~ X-LJ x-,,:,(1 _\': - f..} _ ' i ! ' "'if

Par 10'tanto, de acuerdo {;dn la Definicion (2,23i),. f es con t i nua ene. • '.

Aplicando los limires unilaterales, se puede gerreralizar el Teorema ('3..5) para In-

cluir funcicnes derivables en un intervale cerrado.

E[ reclproco del Teorerna (3.5) es Ialso porque existen funciones continuos que no

sonaerivabtes. Per ejemplo, sif(x) ;;;;;:xjeneo[lce. 'l jes continua enO; pero se.dernos-• v

no en e1 Ejeruplc 3 que f no es derivable en Q (ve~sela Pigura 3,5).

Cuando y ;;;;;:(x) se utili za n las siguientes ~otaciones para la s derivadas,

NO TA C IO N E S (3 .6)

PARA LAS

DER IVADAS

dy d!, .FUr ) = D ,. (1.,,(-'01 = DxY =y' :;;';;;,,-' = -. j - ' . U{x)}_A ax GX

Todas 'las not ticione/i an teri ores seutilizan en liasmatematicas y sus aplicacio nes,

y es eecomendable queel lector se familiarice.conellas.

El subfndice x en elsnnbelo D ; , ; se utilizapara designara Ia varlable independien-

te o Per ejernplo, si Ia variable independiente es t,escfibimos !'(t)= D. f lU)], Los

simbolos Dx y D/ se llaman operadoees dffereneiales. EI simbolo D; por s( solo no tie-

ne significado simple; sin embargo, si se Je agrega a La de re c haurra ex -pre sion que.inclu-y 8 ! a X, entonces denot3 a la derivada, Para ilustrar esto, usando el EJemp10 I"

Dx(Jx2- 5x + 4) = 6x- 5.

99



100 C A P i T U L O 3 • L A DERiVADA

Se dice que Dx . opera sobre Ia expresion 3x 2- 5x + 4.. La expresion D;,Y puede leerse

como derh'llda de y con respect» a x. EI simbolo d/d» se miJ ' izJ "de mane-fa parecida,

par ejernplo,

Como se indica en (3.6), las neraciones j- y d~vlds tambien se usan para denotar in dcrj-

vada de y con respecto a .r. En la Seccion 3.4 se j .istifica 1 3 1 notacion d)!/dx con base

en el concepto de diferencial.

Concluimos esta secc icn con una aplicacion especializada de la derivada,

FIGURA 3.6EJE P 0 5 En oprica, una funcion Ial que T'(.'t) :: > I

para rode x, puede considerarse como una translcrmacionq ue a m plific a objetos. Como se ilustra e n . la Figura 3.6" la

funcion Jtransformt1! un objeto que Sf extiende sobrc eI.in-

tervalo de .r [a a + h] en un o que se extiende sobre el inter-

valo de y r I C a ) , f(a + h)]. (Piensese C.H una fuenre de lu

a Laizquierda del cje ,r que ptoyecta la imagen en una pclicu-

la localizada sabre el eje x sabre una pantalla ubicada sobre

el ejey ..) La . amplificacion AI defpara r a j a + /1 ] se define

como la razon del tamano (oaltura) de la imagen < lJ t amano

(altura) del cbjero. EI valor de M puede variar dependiendo

del inrervalo [a, a + h]. La amplljicaci61,/ I l t 1 a en x = a se define como Hmh~uA1..

( ) Expre s a r J t1 y Mil e n te rrn in os de f(b) Sea l(x) = x2

• Calcular M , y 1 1 . 1 2,

i.1 ~ I'

OBJETO

o'lucio(a) El tarnafio del objeto es (a + h) - a ::;;:h ~ r ci tamano de la imagen es f(a + 1 1 ) -

f (aJ . POI' 10 tanto,

f{a + h) - f(a)A1 ;;= h y. M; = lim AI =f'f(j~

il~O .

(b) 51 f(~'{:) =\'"2 emonces del Ejemplo I de Ia Seceion 2.1, f'(a) = 20 " Ypor 10 t an -

to, lM 1 ;; f'(l) = 2 ~: Mz = J / (2} = 4. Notesc quelaamplificacion e n x = 2 e s e

doble de la amplificacion en x = 1. e

EJE '(IC105 3 .1

Ejel'ci¢ios i-tO: (a) Use (3.4) para calcular .f'(x).

(b) Encuentre el dominic de j'. (c) Obrenga una

ecuacicn para 1 3 recta tangente a la grafica de f en

el punto P(l, /0»). <

q. ((y)=\,~x+] II. !"ixJ'-112x)

Ejerci,cios 11~14: Calcule u,».

U. r =7 ''\. \ 1__ .i=1\ + 3f

IJ. r - .2 xs - -lfx + 1 . .I =« (3:( -l - +. I"ix~"'I

2 . {(xl =11 - 0;' :-'/'

J. (,(:\') - Slx -.n X ' 1 =7x1 _ - :)c:

ICy)'-,

X x - 5 . ' 1 : ' (,. /(s) ' = ,\:i .L .\l. .- _ T I

. II \ "I -= :I L x -~) lS . Ibl=l-"

: \ 1 2

Ejerdcios 15~2{1':Calcule I' (a ) utilizando (3. I')..

-

I • flx);;=, 2,



1 ; 0 1.2 Algunes r~sJas, para determiner derivedas

18 J (\1 - " - .\:3

. 2 1 . j ( _ y ) =\._

funcidn f. Trace la gnifica de r y senale en donde

.f no c s d e riv ab le .

,. . .1..,./'(.\) = I Ix - 5)

Ejercieies 21-22: Use las derivadas por la derecha ' \c'

'"lor lu izquierda para demostr ar quer'nc es u ( ; I I " I \ " < 1 1

: . : J 1 ~ - = 5.

:t. )hl = \- 5 1

n.\)= --\._

,j,

Ejerdcios 2,J-26;, Trace la grafica de f ~usela para

eacontrar el dominic de 1'.

I : : " > . : si x <: 0':' nx)=·, -, l,-i - \ > 0

si ,...-:; I

. s i - \ > I

-I

, ,, -

-I

2 . Sea J ( x ) ; ; ; ; : Ixl., Demuestre q O _ 1 : F{x) = 1 si

o X .> 0 y que r e x ) = -1. si x « : O .

J . Sea f{x) '" Ix! /x. Encuentre (a) el dominic de

1'; (b) f' (x) para todo XCIl el domlnio de r.:3 • Demuestre que si lex) es un polinomitr de gra-

do 1 entonces f'(x) es un polinormo de grade

O. ,~Quesuc-ede cuando f(x)

e s un polincmio degrade 20 3?

32. Demuestre que'D".c = 0 para todo numero real

F je r c ic io s . 27 - 28 ,: C ada f i ! ; r , l 1 r a "mesh - a l a gr< lJ it :a d e un a c.

si 1 \ : : ; I

jj 1 \ ' .> 1

5i n :;;x < II + 1)'Ii e s

un entero par

_\ si n ::;S :s II - 1 Y II es

Wli entero irnpar

IJ ~ denota la funcion mayor enrero.l

A 1 G U N A S IR E G L A S I P A R A D E T E R M I N A R D E R I V ' A D A S

Estaseccion contiene algunas regias gene ra l e s que simplifican it a tarea de encontrar de-

rivadas. En las enunciados de los teoremas S I : : ' usara el operador diferencial D~rparadenotar derivadas (vease (3.6)). El primer resulrado de esta seccion s;een-uncia expre-

sando: fa derivada de una constante es cero,

T ,0 1 ( ." . 7 , ) t , I L . . - -_ ~ - - - - J l_ D\(c) = O. _

em I f clan Sea f la Iuncion ccnstante definida pO T I e . . - } = c para todo x. De-

mostraremos que l(x) = O . Como todos los valores de J son iguales a c, results que

f(x + h) = c para todo h. Aplicando (3.4).,

_, . [t« ~ i I ) n\·) , ('-I.' ,

jllxl-Iim- -- =1rm ! =l!mO=OIi ; () 'l Ii-~; 1'1 h ,II

H ultimo paso es consecucncia del Teore rna (2.13)" ••

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