DERIVADA Y RECTA TANGENTE Definición de Recta Tangente a la gráfica de una función: Suponga que la función f es continua en 1 x . La recta tangente a la gráfica de f en el punto )) ( ( 1 1 x f , x P es la recta que pasa por P y tiene pendiente ) ( 1 x m dada por x x f x x f x m x ) ( ) ( Lim ) ( 1 1 0 1 Si este límite existe. Ejemplo: a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola 1 x y 2 en el punto (2,3). b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbola x y 1 en el punto 3 1 , 3 Halle la pendiente de la tangente a la curva; en el punto indicado. Pregunta Pendiente Ecuación 1. 2 x y 9 ; 2,5 4 2 m 13 x y 4 2. 4 2 x y ; 1,5 - 2 1 - m 3 x y 2 3. x x y 2 4 2 ; 2,0 - 4 2 - m 8 4 x y 4. 9 6 x x y 2 ; 3,0 0 3 m 0 y 5. 3 3 x y ; 1,4 3 1 m 1 x y 3 6. 3 x y 1 ; 2,-7 12 2 m 17 x y 12 7. x y 4 ; 5,3 - 6 1 5 - m 6 6 1 13 x y 8. 3 x x y 2 ; 2,4 - 10 2 - m 16 x y 10 9. 2 x y 4 ; 2,1 1 2 m 3 x y 10. x y 8 ; 4,-4 2 1 4 m 6 - x y 2 1 Definición de la derivada de una función: La derivada de la función f es aquella función, denotada por ' f tal que su valor en un número x del dominio de f está definida por x x f x x f x f x ' ) ( ) ( Lim 0 1 Si este límite existe. Ejemplo: Determine x f ' a) x x f 3 b) x x f
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Transcript
DERIVADA Y RECTA TANGENTE
Definición de Recta Tangente a la gráfica de una función:
Suponga que la función f es continua en 1x . La recta tangente a la gráfica de f en el punto
))(( 11 xf,xP es la recta que pasa por Py tiene pendiente )( 1xm dada por
x
xfxxfxm
x
)()(Lim)( 11
01 Si este límite existe.
Ejemplo:
a) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la parábola 1xy 2 en el punto (2,3).
b) Encuentre una ecuación de la recta tangente a la hipérbolax
y1
en el punto
3
1,3
Halle la pendiente de la tangente a la curva; en el punto indicado.
Pregunta Pendiente Ecuación
1. 2xy 9 ; 2,5 42m 13xy 4
2. 4 2xy ; 1,5- 21-m 3xy 2
3. xxy 2 42 ; 2,0- 42-m 84 xy
4. 96 xxy 2; 3,0 03m 0y
5. 3 3xy ; 1,4 31m 1xy 3
6. 3xy 1 ; 2,-7 122m 17xy 12
7. xy 4 ; 5,3- 615-m 66
1 13xy
8. 3xxy 2 ; 2,4- 102-m 16xy 10
9. 2x
y4
; 2,1 12m 3xy
10. x
y8
; 4,-4 2
14m 6-xy 21
Definición de la derivada de una función:
La derivada de la función f es aquella función, denotada por 'f tal que su valor en un número
x del dominio de f está definida por
x
xfxxfxf
x
'
)()(Lim
01 Si este límite existe.
Ejemplo: Determine xf '
a) x
xf3
b) xxf
Determinar las siguientes derivadas utilizando la definición de límite
Una aplicación importante de la derivada es determinar donde una función alcanza sus valores máximos y
mínimos
Definición: Suponga que D, el dominio de f, contiene el punto c. Decimos que:
)i )(cf Es el valor máximo de f en D, si xxfcf )()( en D
)ii )(cf Es el valor mínimo de f en D, si xxfcf )()( en D
)iii )(cf Es el valor extremo de f en D, si es un valor máximo o un valor mínimo.
)iv La función que queremos maximizar o minimizar es la función objetivo.
Teorema. Si f es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f alcanza un valor máximo y un valor mínimo en ese
intervalo.
Definición de número crítico: Si c es un número del dominio de la función f, y si 0)´( cf o )´(cf no existe, entonces c es un número
crítico de f.
Obtenga los números críticos de la función dada.
1. xxxxf 57)( 23 números críticos 31,5
Se calcula )´(xf , se iguala a cero y se despeja x
2. 31
34
37
3)( xxxxf números críticos 73,0,1
3. 32
)4()( 2 xxf números críticos 2,0,2
4. xxxxxf 1224)( 234 números críticos 1,1,3
5. 31
34
4)( xxxf números críticos 0,1
Valor máximo absoluto de una función en todo su dominio: )(cf Es el valor máximo absoluto de la función f si domc de f y si xxcf )()( en el dominio de f
Valor mínimo absoluto de una función en todo su dominio: )(cf Es el valor mínimo absoluto de la función f si domc de f y si xxcf )()( en el dominio de f
Procedimiento para determinar los extremos absolutos de una función en el intervalo cerrado [a, b]
1. Se obtienen los números críticos de la función en (a, b), y se calculan los valores correspondientes de f para
dichos números.
2. Se hallan f (a) y f (b)
3. El mayor de los valores encontrados en los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto, y el menor es el valor
mínimo absoluto.
Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de las siguientes funciones:
1. 3)( xxf En [-2,2]
2. 23 32)( xxxf En [-1/2, 2]
MONOTONÍA Y CONCAVIDAD
Definición Sea f definida en un intervalo I. decimos que:
)i f Es creciente en I si, para toda pareja de números x1 y x2 en I,
)()( 2121 xfxfxx
)ii f Es decreciente en I si, para toda pareja de números x1 y x2 en I,
)()( 2121 xfxfxx
)iii f Es estrictamente monótona en I, si es creciente en I o es decreciente en I.
Teorema de monotonía Sea f continua en un intervalo I y derivable en todo punto interior de I.
)i Si xxf ,0)´( interior a I, entonces f es creciente en I.
)ii Si xxf ,0)´( interior a I, entonces f es decreciente en I.
Encuentre donde f es creciente y donde es decreciente si:
1. 71232)( 23 xxxxf
2. 196)( 23 xxxxf
3. 43)( 23
31 xxxxf
Prueba de la primera derivada: Suponga que c es un número crítico de una función continua f
)i Si ´f cambia de positivo a negativo en c f tiene un máximo local en c
)ii Si ´f cambia de negativo a positivo en c f tiene un mínimo local en c
)iii Si ´f no cambia de signo en c f no tiene ni mínimo local ni máximo local en c
Encuentre los valores máximo y mínimo locales de las funciones:
1. 51243)( 234 xxxxf
Segunda derivada y concavidad: Se analiza como gira la recta cuando nos movemos de izquierda
a derecha a lo largo de la gráfica.
Si gira en sentido contrario a las manecillas del reloj, la gráfica es cóncava hacia arriba. En sentido contrario a
las manecillas del reloj es cóncava hacia abajo.
Teorema de concavidad: Sea f dos veces derivable en el intervalo abierto I.
)i Si 0)´´( xf x en I f es cóncava hacia arriba en I
)ii Si 0)´´( xf x en I f es cóncava hacia abajo (convexa) en I
Prueba de la segunda derivada: Suponga que ´´f es continua cerca de c.
)i Si 0)´( cf 0)´´( cf f tiene in mínimo local en c
)ii Si 0)´( cf 0)´´( cf f tiene in máximo local en c
En vista de la prueba de concavidad, existe un punto de inflexión en cualquier punto donde la segunda derivada
cambie de signo.
Analice cada curva con respecto a concavidades, puntos de inflexión y máximos y mínimos locales. Use la
información para trazar la gráfica.
1. 34 4)( xxxf
2. xxxxf 1232)( 23
3. 46 3)( xxxf
4. 21
)(x
xxf
5. 112)( 3 xxxf
6. 12634)( 23 xxxxf
7. 243)( 34 xxxf
8.
1)(
2
2
x
xxf
9. 153)( 35 xxxf
10. 34
31
8)( xxxf
Problemas de optimización.
11. Un terreno rectangular se encuentra en la orilla de un río y se desea delimitar de modo que no se utilice
alambre a lo largo de la orilla. Si el material para la cerca de los lados cuesta $12 por pie colocado y $18 por pie
colocado para el lado paralelo al río, determinar las dimensiones del terreno de mayor área posible que pueda
delimitarse con $5400 de cerca.
12. Calcular las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que pueda inscribirse en un cono
circular recto de radio 5 cm y altura 12 cm.
13. Un rectángulo tiene 120 m. de perímetro. ¿Cuáles son las medidas de los lados del rectángulo que dan el
área máxima?
14. Una ventana tiene forma de rectángulo, culminando en la parte superior con un triángulo equilátero. El
perímetro de la ventana es de 3 metros. ¿Cuál debe ser la longitud de la base del rectángulo para que la ventana
tenga el área máxima?
15. Determinar las dimensiones del cilindro circular recto de mayor área lateral que pueda inscribirse en una
esfera cuyo radio mide 6 pulgadas.
16. De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.
17. Una hoja de papel debe tener 18 cm2 de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y
márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del
papel.
18. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
19. Se tiene un alambre de 1 m de longitud y se desea dividirlo en dos trozos para formar con uno de ellos un
círculo y con el otro un cuadrado. Determinar la longitud que se ha de dar a cada uno de los trozos para que la
suma de las áreas del círculo y del cuadrado sea mínima.
20. Obtener el triángulo isósceles de área máxima inscrito en un círculo de radio 12 cm.
21. Un triángulo isósceles de perímetro 30 cm, gira alrededor de su altura engendrando un cono. ¿Qué valor
debe darse a la base para que el volumen del cono sea máximo?
22. Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus
dimensiones para que se utilice el mínimo posible de metal?
23. Descomponer el número 44 en dos sumandos tales que el quíntuplo del cuadrado del primero más el
séxtuplo del cuadrado del segundo sea un mínimo.
24. Hallar las dimensiones que hacen mínimo el coste de un contenedor que tiene forma de paralelepípedo
rectangular sabiendo que su volumen ha de ser 9 m3 , su altura 1 m y el coste de su construcción por m2 es de 50
€ para la base; 60 para la etapa y 40 para cada pared lateral.
TASAS DE VARIACIÓN RELACIONADAS
VARIABLES RELACIONADAS
Sugerencia para resolver un problema.
Lea cuidadosamente el problema de modo que lo entienda. En ocasiones es útil dibujar la figura. Después
aplique los siguientes pasos:
1. Defina las variables de la ecuación que obtendrá.
2. Escriba los hechos numéricos conocidos acerca de las variables y de sus derivadas con respecto a t
3. Escriba lo que se desea determinar.
4. Escriba una ecuación que relacione las variables que dependen de t. esa ecuación será un modelo
matemático de la situación.
5. Derive con respecto a t los dos miembros de la ecuación obtenida en el paso 4 para relacionar las tasas
de variación de las variables.
6. Sustituya los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso 5 y despeje la cantidad
deseada.
7. Escriba una conclusión que responda las preguntas del problema. No olvide que la conclusión debe
contener las unidades correctas de medición.
EJERCICIOS
1. Una escalera de 25 pies de longitud está apoyada contra una pared vertical. La base de la escalera se hala
horizontalmente alejándola de la pared a 3 pies/s. Se desea determinar qué tan rápido se desliza hacia
abajo la parte superior de la escalera sobre la pared, cuando su base se encuentra a 15 pies de la pared.
R. spies /25.2
2. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3/min. hacia el interior de un depósito cuya forma es la de
un cono invertido de 16m de altura y 4m de radio. ¿Qué tan rápido sube el nivel del agua cuando ésta ha
alcanzado 5m de profundidad? R. min/4074.0 m
3. Un niño vuela una cometa a una altura de 40 pies y lo hace moviéndose horizontalmente a una tasa de 3
pies/s. Si la cuerda está tensa ¿A qué tasa se afloja cuando la longitud de la cuerda suelta es de 50 pies?
R. spies /8.1
4. Se infla un globo esférico de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 5 m3/min. ¿A qué tasa
aumenta el diámetro cuando éste es de 12m? R. min/022.0 m
5. Se está formando una bola de nieve de modo que su volumen se incrementa a una tasa de 8 pie3/min.
¿Determine la tasa a la que el radio aumenta cuando el diámetro de la bola es de 4 pies? R.
min/1591.0 pies
6. Se deja caer arena en un montículo de forma cónica a una tasa de 10 m3/min. Si la altura del montículo
siempre es el doble del radio de la base. ¿A qué tasa se incrementa la altura cuando ésta es de 8m? R.