IFFarroupilha - Campus Alegrete RS – 377 km 27 – Passo Novo Alegrete - RS Fone/Fax: (55) 3421-9600 www.al.iffarroupilha.edu.br Professor Mauricio Lutz 1 DERIVADAS 1) Explorando a idéia de derivada Vamos iniciar a exploração intuitiva da idéia de derivada por meio da ideia de variação de uma função: Observemos que, quando a variável independente x “passa por 0 x e vai até 1 x “, o conjunto de valores da função “passa por ) ( 0 x f e chega até ) ( 1 x f “. Chamamos de variação média da função nesse trecho o quociente: 0 1 0 1 ) ( ) ( x x x f x f - - Exemplo: Se a variável independente é o tempo t e S é o espaço percorrido por um ponto móvel nesse tempo, temos que S é uma função de t e escrevemos ) (t S S = , que é equação horária do ponto material em movimento. Entre os instantes 0 t e 1 t , o ponto material se descola de ) ( 0 t S até ) ( 1 t S . A variação média da função S nesse trecho ou velocidade média com que o ponto material se desloca entre 0 t e 1 t é dado por: 0 1 0 1 ) ( ) ( t t t S t S V m - - =
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derivada variação de uma função - iffmauricio ...iffmauricio.pbworks.com/w/file/fetch/51927705/Derivadas.pdf · Determine a velocidade da partícula no instante t = 2 s. 5) Uma
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Professor Mauricio Lutz
1
DERIVADAS
1) Explorando a idéia de derivada
Vamos iniciar a exploração intuitiva da idéia de derivada por meio da
ideia de variação de uma função:
Observemos que, quando a variável independente x “passa por 0x e vai
até 1x “, o conjunto de valores da função “passa por )( 0xf e chega até )( 1xf “.
Chamamos de variação média da função nesse trecho o quociente:
01
01 )()(xx
xfxf--
Exemplo:
Se a variável independente é o tempo t e S é o espaço percorrido por
um ponto móvel nesse tempo, temos que S é uma função de t e escrevemos
)(tSS = , que é equação horária do ponto material em movimento.
Entre os instantes 0t e 1t , o ponto material se descola de )( 0tS até )( 1tS .
A variação média da função S nesse trecho ou velocidade média com que o
ponto material se desloca entre 0t e 1t é dado por:
01
01 )()(tt
tStSVm -
-=
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Observamos que, fixando 0x , a variação média da função, relativamente
à variação da variável, não é constante e depende de 1x . Assim, tomando vários 1x
cada vez mais próximos de 0x , é possível (mas nem sempre) que essa variação
média tenda a um determinado valor. Ocorrendo isso, no limite, quando 1x tende a
ox , a variação média tende a um valor que será chamado de taxa de variação
instantânea no ponto 0x . À taxa de variação instantânea da função no ponto 0x
chamamos derivada da função f em relação à variável x no ponto 0x e
representamos por:
)(' 0xf
Vamos escrevê-la numa linguagem mais conveniente.
Fazendo , 01 xxx -=D e )()( 01 xfxfy -=D temos:
xxx D+= 01
A variação média de uma função é dada pela razão:
xxfxxf
xxxfxf
xy
D-D+
=--
=DD )()()()( 0
01
01
Como consideremos 1x variando para se aproximar de 0x , vamos
chamá-lo apenas de x , e a variação média da função passa, então, a ser dada por:
x]),[ intevalo no função da média variaçãode (taxa
)()()()(
0
0
00
0
0
x
xxxfxxf
xxxfxf
xy
--D+
=--
=DD
Assim, a variação instantânea da função f no ponto 0x ou a derivada
da função f em relação à variável x no ponto 0x é dada por:
xy
xfx D
D=
®D 00 lim)(' ou
0
00
)()(lim)('
0 xxxfxf
xfxx -
-=
®
ou ainda:
xxfxxf
xfx D
-D+=
®D
)()(lim)(' 00
00
Exemplos:
a) No caso do ponto material em movimento, quando 1t tende a 0t , a velocidade
média pode tender a um valor-limite que dará a velocidade instantânea no instante
0t .
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Analogamente ao exemplo anterior, fazendo 01 ttt -=D e
)()( 01 tStSS -=D , temos:
ttt D+= 01
A velocidade média é dada pela razão:
)()()()(
01
00
01
01
tttSttS
tttStS
ts
--D+
=--
=DD
Como fixemos 1t tender a 0t , podemos chamá-lo apenas de t , e a
velocidade média no intervalor de 0t a 1t é dada, então, por:
)()()()(
V 0
00
0
0m tt
tSttStt
tStSts
--D+
=--
=DD
=
Logo, a velocidade instantânea no instante 0t é obtida quando fazemos
t tender a 0t ou, equivalentemente, quando fazemos tD tender a 0. Portanto,
representando por )( 0tV a velocidade instantânea no instante 0t , temos:
ts
VVtmtt D
D==
®D®D 00)( limlim0
ou
0
0)(
)()(lim
00 tt
tStSV
ttt --
=®
ou ainda:
ttSttS
Vtt D
-D+=
®D
)()(lim 00
0)( 0
Concluímos, então, que a primeira idéia de derivada de uma função f
num ponto 0x do seu domínio é a variação instantânea de uma função f sofre em
relação à variável x num ponto 0x . Quando essa variável é o tempo, a derivada é a
velocidade instantânea de um ponto material em movimento num determinado
instante 0t .
b) Qual é a derivada da função 3)( xxf = no ponto 20 =x ?
Estamos procurando )2('f .
0
00
)()(lim)('
0 xxxfxf
xfxx -
-=
®
Assim:
124444)2(2)2()42(lim)42(lim2
)42)(2(lim
28
lim2
)2()(lim)2('
22
2
2
2
2
2
3
22
=++=++=++=++
=-
++-=
--
=--
=
®®
®®®
xxxxx
xxxxx
xfxf
f
xx
xxx
Logo, 12)2(' =f .
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c) Determine )3('f , sabendo que xxxf 2)( 2 += .
Estamos procurando )3('f .
0
00
)()(lim)('
0 xxxfxf
xfxx -
-=
®
Assim:
( )
853)5(lim3
)5)(3(lim
3152
lim3
)3()(lim)3('
33
2
33
=+=+=-
+--
-+=
--
=
®®
®®
xx
xxx
xxx
fxff
xx
xx
Logo, 8)3(' =f .
d) Um ponto material se move sobre uma trajetória qualquer segundo a equação
horária 52)( 2 +-= tttS , em que S é dado em metros (m) e t é dado em segundos
(s). Determine a velocidade do ponto material no instante st 20 = .
Estamos procurando )2('S ou )2()( 0VV t = .
0
00
)()(lim)('
0 ttxSxS
xSxx -
-=
®
Assim:
2lim2
)2(lim
22
lim2
5)52(lim)2('
22
2
2
2
2==
--
=--
=-
-+-=
®®®®t
ttt
ttt
ttt
Stttt
Logo, smV t /2)( 0= . Assim, a velocidade no instante 20 =t é de sm /2 .
Exercícios
1) Determine a derivada da função ®Â:f definida por:
a) 12)( += xxf no ponto 1=x ;
b) 1)( 2 -= xxf no ponto 2=x .
2) Determine )2('f , sabendo que ®Â:f é definida por 1)( 3 -= xxf .
3) Um ponto material se move sobre uma trajetória segundo a equação horária
12)( 2 += ttS (em que S é dado em metros e t é dado em segundos). Determine a
velocidade no instante st 3= .
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4) Uma partícula se move em linha reta segundo a equação horária 23)( += ttS
( S é dado em metros e t é dado em segundos). Determine a velocidade da
partícula no instante st 2= .
5) Uma partícula se move sobre um trajetória segundo a equação horária dada
abaixo (em que S é dado em metros e t é dado em segundos). Determine, em
cada caso, a velocidade da partícula no instante indicado.
a) 1102 2 -+= ttS no instante st 3= .
b) ttS 32 += no instante st 2= .
c) 1223 +++= tttS no instante st 1= .
6) A aceleração a é a variação instantânea da velocidade V em relação ao
tempo t num instante 0t , ou seja, é a derivada da velocidade V no instante 0t :
)()( 00' tt Va = . Sabendo que um ponto material tem velocidade variável dada pela
expressão 13 2 += tV , determine sua aceleração, em 2/ sm , nos instantes:
a) st 1= .
b) st 4= .
Gabarito
1) a) 2 b) 4
2) 12 3) 12m/s 4) 3m/s
5) a) 22m/s b) 7m/s c) 7m/s 6) a) 6m/s2 b) 24m/s2
2) Interpretação geometrica da derivada
Através da geometria analítica sabemos determinar a inclinação da reta,
ou seja, dada uma reta r , seu coeficiente angular é expresso por:
12
12ym
xxy
--
=
em que ),(P 111 yx e ),(P 222 yx são dois pontos quaisquer da reta r . Chamando de
a o ângulo que r forma como o eixo x , o coeficiente m é a tangente de a , ou
seja:
atgm =
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Vejamos, agora, o que vem a ser a inclinação de funções (ou de
curvas que as representam) em um determinado ponto. Intuitivamente, a inclinação
de )(xfy = em ( ))(, 00 xfx é a inclinação da reta tangente em ( ))(, 00 xfx ou
simplismente em 0x .
Consideremos, por exemplo, a inclinação da função 2)( xxf = , ou da
curva que a representa, no ponto 0x .
A inclinação da secante AB é dada por:
( ) ( )( )
( )hx
hhhx
hxhx
xhxxfhxf
+=+
=-+
=-+-+
0
20
20
20
00
00 22
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À medida que B vai se aproximando de A ,ou seja, quando h vai
tendnedo a 0, a reta AB vai se aproximando cada vez mais da reta tangente t em
0x . Isso significa que a inclinação de 2)( xxf = em 0x vai tendendo a 02x .
Numa linguagem mais precisa, escrevemos:
000
00
02)2(lim
)()(lim xhx
hxfhxf
hh=+=
-+®®
que é exatamente )(' 0xf , a derivada da função f no ponto 0x ( com a diferença
de que aqui chamamos o acréscimo de h em lugar de xD ). Portento, existindo
)(' 0xf , existirá a reta tangente e:
atgxf =)(' 0
que é o coeficiente da reta r , tangente ao gráfico de )(xfy = no ponto ( ))(, 00 xfx .
Assim, a equação da reta tangente ao gráfico de )(xfy = no ponto ( ))(, 00 xfx é
dado por:
0
00
)()('
xxxfy
xf-
-= ou ))((')( 000 xxxfxfy -=-
Observação: Para admitir reta tangente em um determinado ponto, o gráfico da
função não pode dar “salto” (não pode ser descontínuo nele) nem mudar
bruscamente de direção (formar “bico”) nesse ponto. Não admitem tangente em 0x
os seguintes gráficos de funções:
Retas paralelas ao eixo y não têm coeficiente, pois °= 90tgm não está
definido. Assim, se a tangente ao gráfico de uma função num ponto é paralela ao
eixo y , a função também não admite derivada nesse ponto e dizemos que não
existe a tangente ao gráfico por esse ponto. São exemplos disso as funções, nos
pontos 0x indicados:
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Exemplos:
a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 2)( xxf = no ponto
10 =x .
A equação da reta tangente ao gráfico de 2)( xxf = no ponto 10 =x é
dado por:
)1)(1(')1( -=- xffy
Como 11)1( 2 ==f , basta calcular )1('f , na qual podemos calcular de
duas formas distintas:
2)2(lim)2(
lim121
lim
1)1(lim
)1()1(lim)1('
)()(lim)('
00
2
0
2
00
00
0
=+=+
=-++
-+=
-+=Þ
-+=
®®®
®®®
hh
hhhhh
hh
hfhf
fh
xfhxfxf
hhh
hhh
ou
2)1(lim)1(
)1)(1(lim
11
lim1
)1()(lim)1('
)()(lim)('
11
2
110
0
0
=+=-
+---
=--
=Þ--
=
®®
®®®
xx
xx
xx
xfxf
fxx
xfxfxf
xx
xxxx
Portanto: 12)1(21)1)(1(')1( -=Û-=-Û-=- xyxyxffy
Logo, 12 -= xy é a equação da reta tangente ao gráfico de 2)( xxf = no
ponto 10 =x .
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b) Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função 3)( xxf = no ponto