Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini Trabajo Práctico, Derivada. 1) Calcula, mediante la definición, la derivada de las funciones en los puntos que se indican. Hallar la ecuación de la recta tangente en dicho punto. Graficar. 1 f(x) = 3x 2 en x = 2. 2 f(x) = x 2 + x en x = 1. 3 f(x) = x 2 − 2x + 3 en x = −1, x = 3 y x = 1. 4 f(x) = ( x-3) 2 +1 en x = -1. 5 f(x)=x 3 +x-4 en x = 1. 6 f(x) = en x = 2. 7 f(x)= en x = 1. 8 en x = 2. 9 f(x)= 3 en x= 3 10 f(x) = en x=2 Algunas soluciones 2) Calcular la derivada de la función f(x) = x 2 + 4x − 5 en x = 1. 1
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Prof. Romina P. Ramos y Claudia Mazzini
Trabajo Práctico, Derivada.1) Calcula, mediante la definición, la derivada de las
funciones en los puntos que se indican. Hallar la ecuación de la recta
tangente en dicho punto. Graficar.
1f(x) = 3x 2 en x = 2.
2f(x) = x 2 + x en x = 1 .
3f(x) = x 2 − 2x + 3 en x = −1, x = 3 y x = 1 .
4 f(x) = ( x-3) 2+1 en x = -1.
5 f(x)=x 3+x-4 en x = 1.
6 f(x) = en x = 2.
7 f(x)= en x = 1.
8 en x = 2.
9 f(x)= 3 en x= 3
10 f(x) = en x=2
Algunas soluciones
2) Ca lcular la der ivada de la función f (x ) = x 2 + 4x − 5 en x = 1 .
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3) Ca lcular der ivada de f (x ) = x 2 − x + 1 en x = −1, x = o y x = 1 .
4) Calcular der ivada de en x = −5. RTA -26
5) Ca lcular der ivada de en x = 1 .
6) Ca lcular der ivada de en x = 2 .
2
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7 )Calcular der ivada de en x = 3 .
8) Ca lcular der ivada de en x = 2 . Rta : -1
2) En cada gráfico determinar los puntos donde la función no es derivable. Explicar por qué. Determinar los intervalos donde f´(x) > 0
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3) Derivada de una función potencial: Forma simple
Ejercicio nº 1) Sol:
Ejercicio nº 2) Sol:
Ejercicio nº 3) Sol:
Ejercicio nº 4) Sol:
Ejercicio nº 5) Sol:
Ejercicio nº 6) Sol:
Ejercicio nº 7) Sol:
Ejercicio nº 8) Sol:
POTENCIASSigue recordando:
4
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y
Ejercicio nº 9) Sol:
Ejercicio nº 10) Sol:
Ejercicio nº 11) Sol:
Ejercicio nº 12) Sol:
Ejercicio nº 13) Sol:
Ejercicio nº 14) Sol:
Ejercicio nº 15) Sol:
Ejercicio nº 16) Sol:
Ejercicio nº 17) Sol:
Ejercicio nº 18) Sol:
Ejercicio nº 19) Sol:
5
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Ejercicio nº 20) Sol:
Ejercicio nº 21) Sol:
Regla nº 2
LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a suma de las derivadas de las funciones
Ejercicio nº 22) Solución:
Ejercicio nº 23) Sol:
Ejercicio nº 24) Sol:
Ejercicio nº 25) Sol:
Ejercicio nº 26) Sol:
Ejercicio nº 27) Sol:
Ejercicio nº 28) Sol:
Ejercicio nº 29) Sol:
Regla nº 3
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LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función menos la primera función por la derivada de la segunda función
Ejercicio nº 30) Solución:
Ejercicio nº 31) Solución:
Ejercicio nº 32) Solución:
Ejercicio nº 33) Solución:
Regla nº 4
LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador menos la función del numerador por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello
por el denominador al cuadrado
Ejercicio nº 34)
Solución:
Ejercicio nº 35)
7
Prof. Romina P. Ramos y Claudia MazziniSolución:
Ejercicio nº 36)
Solución:
Ejercicio nº 37)
Solución:
Ejercicio nº 38)
Solución:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Sol:
Ejercicio nº 40)
Sol:
4) Derivar usando la tabla.
1 2 8
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3 4
5 6
7 8
9 10 f(x)= 4x + e3 x + 1+ 5/x -9
11 12
13 14
15 16
17 18 f(x)= (3x+2). E 5 x - 3
19 20
21 22 f(x)= 7 x +3x - 5
23 24
9
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25 26
27 28 f(x)= 3x. sen 3(3x+5)
29 30
31 32
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5) Crecimiento y Extremos relativos de una función
Calculamos los puntos críticos: son los puntos del dominio que verifican que la derivada primera sea cero o no este definida (no exista). En esos puntos puede haber extremos relativos (máximos o mínimos).
Armamos los intervalos donde la función crece o decrece: tenemos en cuenta el Dominio y los puntos críticos hallados.
Una función tiene un máximo o mínimo relativo en un punto critico si presenta un cambio en el crecimiento de la misma.
Si crece (sube) y después decrece (baja) en ese valor hay un máximo relativo.Si decrece (baja) y después crece (sube), en ese valor hay un mínimo relativo.
Recordemos que los extremos son puntos de la función por lo tanto la ordenada del punto (valor de y) se calcula en la función.
También los extremos se pueden estudiar analizando el signo de la derivada segunda en cada punto crítico. Si la derivada segunda es positiva, en ese punto hay unmínimo relativo y si es negativa, en ese punto hay un máximo relativo.
Una función alcanza un máximo relativo en x1 si y sólo si, f ‘(x1) = 0 (es decir la recta tangente a la curva en x1 es paralela al eje x) y f ‘’(x1) < 0
Una función alcanza un mínimo relativo en x1 si y sólo si, f ‘(x1) = 0 (es decir la recta tangente a la curva en x1 es paralela al eje x) y f ‘’(x1) > 0
Observando el gráfico, podemos ver que la curva tiene un máximo relativo en x = c y un mínimo
relativo en x = r
Ejemplo: Hallar los extremos relativos de f(x) = x3 – 3/2 x2 – 6x + 4
Sabemos que si f ‘(x1) = 0 , entonces en x1 habrá un máximo o un mínimo relativo. Como no conocemos x1, debemos hallarlo/los. Para ello, calculamos f ‘(x) y analizamos para qué valores de ‘x’ será igual a cero (resolvemos una ecuación):
Por lo tanto en esos puntos habrá un máximo o un mínimo relativo, pues en ellos la pendiente de la recta tangente a f(x) es cero, es decir, es paralela al eje x.
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Prof. Romina P. Ramos y Claudia MazziniPara determinar que tipo de extremo es cada uno, debemos calcular f ‘’(x1) y f ‘’(x2) y analizar su signo:
f ‘’(x) = 6x – 3 (recordemos que f ‘’ se obtiene al derivar f ‘)Sustituimos …
f ‘’(x1) = f ‘’(2) = 6.2 – 3 = 9 > 0 por lo tanto en x1 = 2 hay un mínimo relativo
f ‘’(x2) = f ‘’(-1) = 6.(-1) – 3 = -9 < 0 por lo tanto en x2 = -1 hay un máximo relativo
EJERCITACION
5) Determina intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones y analizar si existen sus extremos relativos
a)
b)
c)
d) e)
f)
6) Encontrar los máximos y mínimos relativos de cada una de las siguientes funciones.