Fórmulas de derivación G. Edgar Mata Ortiz
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Transcript
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Fórmulas de derivación
G. Edgar Mata Ortiz
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Fórmula para el producto de dos funciones
Esta fórmula se emplea cuando la expresión que se va a derivar es un producto cuya obtención sería muy laboriosa o incluso imposible de obtener.
En lugar de efectuar la multiplicación indicada, se aplica la fórmula:
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝝏𝒚
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Fórmula para el producto de dos funciones
La fórmula se lee:
La derivada de 𝒖 por 𝒗 es igual a:
𝒖 por la derivada de 𝒗 más
𝒗 por la derivada de 𝒖
Se emplean colores para identificar las dos funciones y sus derivadas
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Derivar
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
La fórmula es:
Es conveniente identificar claramente cuál de las funciones se identificará como 𝒖 y cuál como 𝒗
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Derivar
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑢 = 3𝑥3 + 1𝑑𝑢
𝑑𝑥= 9𝑥2
𝑣 = −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 4 −4𝑥2 − 3 3 −8𝑥
𝑑𝑣
𝑑𝑥= −32𝑥 −4𝑥2 − 3 𝟑
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
La función 𝒖 y
su derivada se
identifican con
color rojo.
La función 𝒗 y
su derivada se
identifican con
color azul
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Ejemplo
Las funciones y sus derivadas se sustituyen en la fórmula.
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= (3𝑥3+1) −32𝑥 −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)
𝑢 = 3𝑥3 + 1𝑑𝑢
𝑑𝑥= 9𝑥2
𝑣 = −4𝑥2 − 3 4 𝑑𝑣
𝑑𝑥= −32𝑥 −4𝑥2 − 3 3
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒙
Ejemplo
Se ordenan los factores de la derivada para facilitar el proceso algebraico (propiedad conmutativa).
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟑+ −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟒(9𝑥2)
Se observa que puede tomarse factor común
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
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Ejemplo
Se obtiene factor común.
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟑+ −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟒(9𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟑[−32𝑥(3𝑥3 + 1) + −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟏(9𝑥2)]
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
El paréntesis rectangular se emplea solamente para
visualizar, con mayor claridad, los factores que
quedan después de extraer el factor común.
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Ejemplo
Existe otro factor común.
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −4𝑥2 − 3 3 + −4𝑥2 − 3 4(9𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −32𝑥(3𝑥3 + 1) −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟑+ −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟒(9𝑥2)
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟑[−32𝑥(3𝑥3 + 1) + −𝟒𝒙𝟐 − 𝟑
𝟏(9𝑥2)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥= −4𝑥2 − 3 3[−32𝒙(3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙2)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝒙 −4𝑥2 − 3 3[−32 (3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙1)]
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
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Ejemplo
Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝒙 −4𝑥2 − 3 3[−32 (3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3[−96𝑥3 − 32 − 36𝑥3 − 27𝑥]
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
La expresión algebraica dentro del paréntesis
rectangular se puede simplificar reduciendo términos
semejantes.
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𝝏𝒙
Ejemplo
Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝒙 −4𝑥2 − 3 3[−32 (3𝑥3 + 1) + −4𝑥2 − 3 (9𝒙)]
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3 −𝟗𝟔𝒙𝟑 − 32 − 𝟑𝟔𝒙𝟑 − 27𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3[−𝟏𝟑𝟐𝒙𝟑 − 27𝑥 − 32]
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Esta última expresión es el resultado.
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𝝏𝒙
Ejemplo
Se efectúan las multiplicaciones dentro del paréntesis rectangular.
𝑦 = 3𝑥3 + 1 −4𝑥2 − 3 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥 −4𝑥2 − 3 3[−132𝑥3 − 27𝑥 − 32]
𝒅
𝒅𝒙𝒖𝒗 = 𝒖
𝒅𝒗
𝒅𝒙+ 𝒗
𝒅𝒖
𝒅𝒙
Si observamos el procedimiento podemos darnos
cuenta que, en realidad, la derivada se obtiene
fácilmente, el resto son operaciones algebraicas
destinadas a simplificar el resultado.
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