DERIVAÇÃO DE UM SISTEMA BÔNUS-MALUS UMA ABORDAGEM USANDO A TEORIA DA DECISÃO
DERIVAÇÃO DE UM SISTEMA BÔNUS-MALUS
UMA ABORDAGEM USANDO A TEORIA DA DECISÃO
• X é uma var. aleat. Relacionada com um parâmetro w (w e X S)
• D é o conjunto de decisões possíveis
• A distrib. de X quando W=w, é especificada para cada valor de w
• L é a função perda (determina um nº real para perda incorrida quando W=w e tomamos uma decisão (x)
OBJETIVO
• ESCOLHER UMA FUNÇÃO DECISÃO QUE ESPECIFIQUE PARA CADA VALOR DE xS UMA DECISÃO (x)D
: classe de todas as funções decisão :função distribuição de probabilidade de W• A função de risco da decisão quando W=w fica sendo dada por:
S
xdwxfxwLw )()|())(,();(
•A função de risco de fica sendo
)()(),();( wdww
)()()()|()(;);( wdxdwwxfxwLS
• Definindo-se * como sendo a função decisão tal que:
)();(inf);( **
•NESTE CASO * É DEFINIDA COMO FUNÇÃO DECISÃO DE BAYES EM RELAÇÃO A
FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES
• UMA FUNÇÃO QUE MINIMIZA O RISCO PODE SER OBTIDA MINIMIZANDO A INTEGRAL INTERNA PARA CADA x S
)()()()|()](;[);( xdwdwwxfxwLS
• Uma função de decisão de Bayes * em relação à pode ser construída como:
• Para cada valor de x S, seja *(x)=d* onde d* é qualquer função de decisão em D que minimiza a integral
)()()|()](;[ wdwwxfxwL
• MINIMIZAR A INTEGRAL ACIMA É EQUIVALENTE A MINIMIZAR
)()(
)()|();( wd
xh
wwxfdwL
ONDE
)()()|()( wdwwxfxh
PELO TEOREMA DE BAYES
)(
)()|()|(
xh
wwxfxw
• LOGO A FUNÇÃO DE DECISÃO DE BAYES É AQUELA QUE MINIMIZA A PERDA ESPERADA EM RELAÇÃO À DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE A POSTERIORI DE W, OU SEJA, MINIMIZA
]|))(;([ xXxwLEW
-
j ano no seg.por sinistros de nº jk
);...;( 1 tkk
anopor seguradopor sinistros de esperado nº
OBJETIVO
• NO TEMPO t+1 ENCONTRAR O MELHOR ESTIMADOR PARA
);...;( 1 tkk
),...,( : NOTAÇÃO 11 tt kk
• CONSIDERANDO
O JOGO
111 ;; ttt RD
natureza da sestratégia de Espaço - ;0
1 temdecisor do sestratégia de Espaço 1 tD);...;( vetor cada associa que );...;( funções de classe uma É 111t tt kkkk
1 ponto um com t
);( 111 ttt RR
) );( perda da matemática (esperança 11t tF
1) t tempono risco de função(
);();( 1111 tttt FER
tkk
ttt kkPF,...,
111
1
)|,...,(),(
• A seqüência t (t=1,2,...,) forma o jogo estatístico
),,( RD• Onde:
x...x...xx 21 tDDDD
1
1 ),(),...,,...,(t
ttt RRR
1
),(t
ttFE esperada) totalperda a é ( tR
• Admitindo uma distribuição para • f.d.p u() e com f.d. U()
• OBJETIVO: minimizar o risco esperado do processo
0 11 )(),...,,...,(,...),...,( dURR tt
0
1
)(),(t
tt dUFE
01 ,...,
111
1
)()|,...,(),(t kk
ttt
t
dUkkPF
• Logo),...,(
)()|,...,(),...,|(
temosBayes de Teorema Pelo
1
11
t
tt kkP
dUkkPkkdU
),...,(),...,(),(,...),...,( 110
1 ,...,111
1
ttt kk
ttt kkPkkdUFRt
(*) ),...,(),..., |(),( 111 ,...,
0 11
1
ttt kk
tt kkPkkdUFt
),...,( cada e t cada paraminimizar a eequivalent é (*)Minimizar 1 tkk
0 111 ),...,|(),( ttt kkdUF
• Adotando a perda quadrática:2
111 )(),( tttF
•Temos que será aquele que minimizar:
1t
0 1
211
21 ,...,|)(),...,|()( tttt kkEkkdU
O estimador que minimiza o risco do processo é dado por:
),...,|(),...,|(),...,( 11011 tttt kkEkkdUkk
• Considerando
)Poisson(~| ik
),(~ Gama
•Temos que a distribuição a posteriori para será
1)(1 ),...,|( kt
t ekkdU
t
iik
1
onde k
• Logo
),(~,...,| 1 tGamakk t k
• Com:
tkkkkE ttt
k),...,(),...,|( 111
• Seja pk a probabilidade de k sinistros. Logo
00
)()|(),()( dUkKpdkKpkKPpk
k
k
k
kde
k
1
1
1)()1(
)(
!)( 0
1)1(
][]]|[[][ EKEEKE
][][]]|[[]]|[[][ VEKEVKVEKV
1
12
ESTIMADORES PARA E
• PELO MÉTODO DOS MOMENTOS:
xs
x
2
2
xs
x
2
PROPRIEDADES DE • A longo prazo é perfeitamente
discriminante
),...,( 11 tt kk
0)],...,([ 2
111 limlim
t
kkkV
t
ii
ttt
t
•Atende os pressupostos da Teoria da Credibilidade
)1(),...,( 1
11 zt
kzkk
t
ii
tt
t
tz
APLICAÇÃO
• O FATOR f DETERMINARÁ O AGRAVO/DESAGRAVO NA TAXA DE ACORDO COM O HISTÓRICO DO SEGURADO
t
k
f
t
ii
1
Nº DE SINISTROS
k OBS. EST. POISSON EST. POISSON-GAMA
0 156.695 155.756,26 156.685,71
1 37.320 38.942,96 37.340,26
2 5.332 4.868,36 5.323,90
3 594 405,74 589,18
4 56 25,36 55,80
5 3 1,27 4,75
6 - 0,05 0,37
TOTAL 200.000 200.000 200.000
estimativas
p - value <0,0001 0,9398
2500,0ˆ 0875,5ˆ 3479,20ˆ
NÚMERO DE SINISTROS
0 1 2 3 4 5
t
0 1
1 0,9532 1,1405 1,3279 1,5152 1,7026 1,8899
2 0,9105 1,0895 1,2684 1,4474 1,6264 1,8054
3 0,8715 1,0428 1,2141 1,3854 1,5567 1,7280
4 0,8357 1,0000 1,1643 1,3285 1,4928 1,6571
5 0,8027 0,9605 1,1183 1,2761 1,4339 1,5917