Deret Taylor dan Analisis Galat

Powerpoint Templates Page 1

Deret Taylor dan Analisis Galat

Indriati., ST., MKom

http://www.powerpointstyles.com/


• Definisi :Andaikata f dan semua turunannya, f’,f’’,f’’’,… menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo dan xє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :

...)(!

)(....)(!2

)()(!1

)()()( )(''2

0'

o

mm

oo

ooo xf

mxxxfxxxfxxxfxf

Deret taylor



• Jika (x-xo)=h, maka :

• Contoh :Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitar xo=1.Penyelesaian :

f(x) = sin(x) f’’’(x) = - cos(x) f’(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x) f’’(x) = - sin(x) dst.

...)(!

....)(!2

)(!1

)()( )(''2

0' o

mm

oo xfmhxfhxfhxfxf



maka :

Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.

• Contoh-1 :f(x)= sin(x) dimana xo = 0

...)1sin(24

)1cos(6

)1sin(2

)1cos()1sin( )sin( )(432

hhhhxxf

...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432 hhhhxf



• Penyelesaian :

• Contoh-2 : f(x)=ex dimana xo=0Penyelesaian :

)0cos(6

)0sin(2

)0cos()0sin( )sin( )(32 hhhxxf

1206 )sin( )(

53 xxxxxf

...!4

)0(!3

)0(!2

)0(!1

)0()( 043

02

00

exxexexeexf x

...!4!3!2

1)(43

02

xxexxexf x



• Karena suku-suku deret Taylor tidak berhingga banyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu. Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakan deret Taylor terpotong yg dinyatakan:

Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai suku order ke-n dapat ditulis :

)()(!

)(....)(!2

)()(!1

)()()( )(''2

0' xRxf

nxxxfxxxfxxxfxf no

nn

oo

ooo

)(/ );()!1()()( )1( residusisagalatdisebutxcxcf

nxxxR o

non

)()()( xRxPxf nn



dimana :

Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde ke-4

Penyelesaian :

)(!

)()(1

ok

n

k

ko

n xfkxxxP

)()!1(

)()( )1()1(

cfnxxxR n

no

n

)1sin(!4

)1()1cos(!3

)1()1sin(!2

)1()1cos(!1

)1()1sin()(432

4

xxxxxP

)cos(!5

)1()()!14(

)1()(5

)14()14(

4 cxcfxxRGalat



• Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yg didapatkan. Kita harus memahami dua hal, yaitu :a. Bagaimana menghitung galatb. Bagaimana galat timbul

Analisis Galat



• Misalkan :

• Contoh :

: , ^

makaasejatinilaiterhadaphampirannilaiadalaha

galatdisebutaa ^

45,10 10,5; ^

aa 05,05,1045,10

^ aaMutlakGalat

%100 : xa

relatifGalat R

%100 : ^ xa

hampiranrelatifGalat RA



• Contoh :Diketahui : a= 10/3; â = 3,333Hitung : (a). Galat !

(b). Galat mutlak !(c). Galat relatif !(d). Galat relatif hampiran !

Penyelesaian :(a). Galat : є = a-â = 10/3 – 3,333

= 10.000/3000 – 9999/3000 = 1/3000 = 0,000333



(b). Galat mutlak : |є|=|a-â) = 0,000333(c).

(d).

Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran (iteration), єRA dihitung dengan cara :

dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya

0,01%100%x (10/3)

0,000333 100%x : relatifGalat aR

9991100%x

3,3330,000333 100%x :hampiran relatifGalat ^

aRA

1

1

r

rrRA a

aa



• Proses lelaran dihentikan bila :|єRA| < єS

єS = Toleransi galat yang dispesifikasikanSemakin kecil єS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya

• Contoh :Diketahui : Xr+1=(-Xr

3 + 3)/6; r =0,1,2,3 Xo= 0,5; єs= 0,00001 Hitung : єRA !



• Penyelesaian :Xo = 0,5X1 = 0,4791667;

X2 = 0,4816638;

X3 = 0,4813757;

X4 = 0,4814091;

X5 = 0,4814052;

sRA

043478,0X

)XX(

1

o1

sRA

0051843,0X

)XX(

2

12

sRA

0005984,0X

)XX(

3

23

sRA

0000693,0X

)XX(

4

34

! ,0000081,0X

)XX(

5

45 berhentisRA



• Secara umum terdapat dua sumber utama penyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu :1. Galat pemotongan (truncation error)2. Galat pembulatan (round-off error)Ada sumber galat lain, yaitu :1. Galat eksperimental2. Galat pemrograman

SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK



(1). Galat Pemotongan (truncation error). Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagai pengganti formula eksak. Maksudnya, ekspresi matema-

tika yg lebih kompleks diganti dengan formula yg lebih sederhana. Tipe galat pemotongan bergantung pd

metode komputasi yg digunakan untuk penghampiran shg kadang-kadang di-

sebut juga galat metode.



• Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :

dimana : h = lebar absis xi+1• Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan

deret Taylor di sekitar x = 0 !Penyelesaian :f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)f’(x) = - sin(x)f’’(x) = - cos(x)

hxfxfx iif )()()( 1

1

'



• Maka :

• Galat pemotongan :

......!10!8!6!4!2

1)cos()(108642

xxxxxxxf

Nilai hampiran Galat pemotongan

)()!1(

)()( )1()1(

cfnxxxR n

no

n

)cos(!7

)()!16(

)0()(7

)16()16(

6 cxcfxxR



• Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kita peroleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada selang tertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilai maksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selang yg diberikan, yaitu :

)!1()x-(xx )()(

)1(o)1(

ncfxR

nn

xcxn Maks

o



• Contoh-1 :Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) dan beri-kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !Penyelesaian :

f(x) = ln(x) f(1) = 0f’(x) = 1/x f’(1) = 1

f’’(x) = -1/x2 f’(1) = -1f’’’(x) = 2/x3 f’’’’(1) = 2

f(4)(x) = - 6/x4 f(4)(1) = -6f(5)(x) = 24/x5 f(5)(c) = 24/c5



• Deret Taylor :

• Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo-tongan < 0,0000034.

)(4

)1(3

)1(2

)1()1()ln( 4

432

xRxxxxx

)(4

)1,0(3

)1,0(2

)1,0(1,0)9,0ln( 4

432

xR

)(1053583,0)9,0ln( 4 xR

0000034,05!

(-0,1)xc24)9,0(

5

519,0

5

Maksc

R



• Contoh-2 :Hampiri nilai secara numerik, yaitu :dengan deret Maclaurin orde 8 ! Penyelesaian :

Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :

dxex1

0

2

2

)( xexf

2

)( xexf

!4!3!21

86422 xxxxe x

dxxxxxdxe x )!4!3!2

1(861

0

1

0

422

4617724,12161

421

101

311

01

21642103

9753

xxxxxxx



• Perhitungan dgn metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan dengan komputer karena semua bilangan riil tdk dapat disajikan secara tepat di dlm komputer. Keterbatas an komputer dlm menyajikan bilangan riil menghasilkan galat yg disebut galat pembulatan.GALAT PEMBULATAN



• Contoh :1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan 0,166667.Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 =

-0,00000033.Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajian bilangan riil, yaitu :(a). Bilangan titik tetap (fixed point) Contoh : 62.358; 0,013; 1.000



(b). Bilangan titik kambang (floating point) Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03 0,1714 x 10-13 atau 0,1714E-13

Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebut juga “Angka Bena” (significant figure).



• Adalah angka bermakna, angka penting atau angka yg dapat digunakan dgn pasti.• Contoh :

43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3) 0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4) 0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2) 278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0) 0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)

ANGKA BENA



• Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakan jumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.

• Contoh :

9800667,024

)2,0(2

)2,0(1)2,0(42

Cos

Galat pemotongan Galat pembulatan

GALAT TOTAL



• Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karena kita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.



• Di dalam metode numerik, fungsi f(x) sering diganti dgn fungsi hampiran yang lebih sederhana. Satu cara mengungkap-kan tingkat ketelitian penghampiran itu adalah dengan menggunakan notasi : O-Besar (Big-Oh). ORDE PENGHAMPIRAN



• Misal : f(h) dihampiri dgn fungsi p(h).Jika |f(h)-p(h)| ≤ M|hn|, yg dlm hal ini M adalah konstanta riil > 0, maka kita katakan bahwa p(h) menghampiri f(h) dengan orde penghampiran O(hn) dan ditulis dgn :

f(h) = p(h) + O(hn) O(hn) juga dapat diartikan sebagai orde galat

dari penghampiran fungsi. Karena h umumnya cukup kecil, yaitu < 1, maka semakin tinggi nilai n semakin kecil galat, yg berarti semakin teliti penghampiran fungsinya.



• Metode yg berorde O(h2) misalnya, lebih teliti drpd metode yg berorde O(h). Juga pada metode yg berorde O(h2), jika ukuran h dijadikan setengah kali semula, maka galatnya menjadi seperempat kali galat semula.Umumnya deret Taylor digunakan untuk menghampiri fungsi. Misalkan :

xi+1 = xi + h, i=0,1,2,….. Adalah titik-titik sebesar h, maka hampiran f(xi+1) dengan deret Taylor di sekitar xi adalah :



Dalam hal ini :

Jadi, kita dapat menuliskan :

)()(!

)(....)(!2

)()(!1

)()()( 1)(1''

21'1

1

inin

nii

iii

iii

ii xRxfnxxxfxxxfxxxfxf

)()(!

....)(!2

)(!1

)()( 1)(''

2'

1 inin

n

iiii xRxfnhxfhxfhxfxf

11)1(

)1(

1 );()()!1(

)(

iinn

n

in xtxhOtfnhxR

n

k

ni

kk

i hOxfkhxf

0

11 )()(

!)(



• Contoh :

)(!4!3!2

1)( 5432

hOhhhhexf x

)(4432

)ln()( 55432

hOxxxxxxxf

)(!5!3

)sin()( 753

hOhhhhxf

)(!6!6!4

1)cos()( 8642

hOhhhhxf


Deret Taylor dan Analisis Galat

Documents