DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT DERET PANGKAT TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA TAK HINGGA
44
Embed
Deret Pangkat Tak Hingga - file.upi.edufile.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._FISIKA/AHMAD_SAMSUDIN... · C x a dx dx d C x a dx d ... Misalnya, dalam perhitungan integral dari
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
TAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGATAK HINGGA
TEOREMA-TEOREMA PENTING TERKAIT DERET PANGKAT
TEOREMA-TEOREMA PENTING
1. Integrasi dan diferensiasi deret pangkat dapat dilakukan per suku, yaitu:
∑∑
∫ ∑ ∑∫∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
−=−
≤−∈−=−
00
0 0
)()(
,,)()(
n
nn
n
nn
q
pn n
q
p
nn
nn
dxaxCdx
daxC
dx
d
raxqpdxaxCdxaxC
Selang konvergensi seragam deret pangkat yang dihasilkan, sama seperti yang semula. Untuk kedua titik ujungnya, perlu diselidiki.
2. Dua deret pangkat dapat di-jumlah/kurang-kan, dan diperkalikan; deret yang dihasilkan memiliki selang konvergensi masing-masing deret. Jadi, misalkan I1 dan I2 selang konvergensi masing-masing deret, maka selang konvergensi deret yang dihasilkan adalah ( lambang teori himpunan bagi irisan).
21 II ∩ ∩
== 00 nn dxdx
3. Dua deret pangkat dapat pula dibagi asalkan penyebutnya tak-nol di x = a, atau nol di x = a, tetapi tercoretkan (seperti pada 2.22). Selang konvergensinya harus dicari kembali.
x
x)1ln( +
4. Suatu deret pangkat dapat disisipkan ke dalam deret pangkat lainnya, asalkan selang konvergensi deret yang disisipkan terkandung dalam deret lainnya. Jadi, misalkan I1 selang konvergensinya I2, maka ( lambang teori himpunan bagi himpunan bagian).
21 II ⊆ ⊆
5. Pernyataan suatu fungsi f(x) dalam deret pangkat konvergen, adalah tunggal.Artinya ada satu pernyataan deret pangkat untuk satu fungsi, sejauh pangkat untuk satu fungsi, sejauh variabel x berada dalam selang konvergensi deret.
URAIAN TAYLOR SEBUAH FUNGSI
• Suatu fungsi S(x) yang diketahui, dapat pula dinyatakandalam suatu deret pangkat. Kenyataan inimenguntungkan, karena deret pangkat sangat mudahditangani secara analitis, ketimbang fungsi S(x) sendiri.Misalnya, dalam perhitungan integral dari fungsi S(x),bila seandainya S(x) adalah suatu fungsi rumit yangbila seandainya S(x) adalah suatu fungsi rumit yangintegralnya tak terdapat dalam tabel integral.
• Sebagai contoh, integral tentu berikut:
• Muncul dalam praktik, yaitu pada persoalan difraksi Fresnel gelombang cahaya oleh sebuah celah. Integral jenis ini tak terdaftarkan dalam tabel integral, karena hasilnya tak dapat diungkapkan dalam pernyataan suatu
∫1
0
2sin dxx
hasilnya tak dapat diungkapkan dalam pernyataan suatu fungsi primitif tertentu. Dalam pasal ini akan dibahas bagaimana integral jenis ini dan perhitungan numerik (secara angka) lainnya dengan menggunakan metode deret pangkat.
• Menguraikan sebuah fungsi f(x) yang diketahui atas deret pangkat. Secara umum, kita tulis
LL +−++−+−+= naxCaxCaxCCxf )()()()( 2
• Tetapan a dapat pula bernilai nol.
LL +−++−+−+= nn axCaxCaxCCxf )()()()( 2
210
• Masalah selanjutnya adalah:
a. Menentukan nilai-nilai koefisien Cn, sebagai fungsi dari n, sehingga sebagai fungsi dari n, sehingga penulisan di atas berupa suatu identitas (berlaku bagi semua nilai x).
b. Menentukan selang konvergensi deret pangkatnya dalam identitas (a) berlaku.
• Dengan menerapkan teorema diferensiasi deret pangkat pada (2.31), kita peroleh:
Disebut deret Binomial, dengan p adalah bilangan real positif atau negatif
Teknik-teknik untuk mendapatkan pernyataan deret suatu fungsi
A. Perkalian suatu deret dengan suatu polinomial atau perkalian deret
dengan deret
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari : ( ) xx sin1+Maka kita lakukan perkalian ( )1+x xsinDengan deret Sbb :
( ) ( )
( ) L
L
!3!3sin1
!5!31sin1
432
53
xxxxxx
xxxxxx
−−+=+
−+−+=+
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari : xex cos
Maka kita lakukan perkalian deretxe xcosDengan deret Sbb :
B. Pembagian suatu deret dengan deret lainnya atau dengan suatu polinomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari : ( )xx
+1ln1
Maka kita lakukan pembagian ( )x+1ln xDengan deret Sbb :
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari :x+1
1
Maka kita lakukan pembagian 1 ( )x+1Dengan Sbb :
Contoh 3
Untuk mencari pernyataan deret dari : xtan
Maka kita lakukan pembagian deret xcosdengan deret Sbb :xsin
C. Menggunakan deret Binomial
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :1
1
+x
Digunakan deret Binomial Sbb :
(contoh B2)
Hasilnya sama dengan contoh B2
D. Substitusi suatu polinomial atau suatu deret untuk variabel dalam deret lain
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari :2xe−
Maka kita lakukan substitusi 2x− pada variabel x dalam deret Sbb :xe
Contoh 2
Untuk mencari pernyataan deret dari : xe tankita lakukan substitusi sbb :
E. Metode Kombinasi
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret dari : xarc tanDigunakan metode Sbb :
karena
Kita tuliskan 1
Sebagai deret Binomial sbb : Kita tuliskan 21
1
t+Sebagai deret Binomial sbb :
sehingga
Soal latihan
x
ex
−1.1
xsec.2 xsec.2
∫ −=
−+ x
t
dt
x
x
0211
1ln.3
2cosh.4
xx eex
−+=
E. Uraian Taylor melalui uraian Mc-Laurin
Contoh 1
Untuk mencari pernyataan deret taylor dari fungsi xlndisekitar x = 1, kita tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
( )432
+−+−=+ xxx( ) ...,432
1ln432
+−+−=+ xxxxx
Kemudian ganti x dengan (x-1), didapat :
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )...,
4
1
3
1
2
1111lnln
432
+−−−+−−−=−+= xxxxxx
Contoh 2
Cari uraian Taylor dari fungsi xcos di sekitar 23π=x
Kita tuliskan:
Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :Lalu gunakan uraian McLaurin untuk :
...,!7!5!3
753
+−+−= xxxxxSin
Kemudian ganti x dengan (x - 3ππππ/2), didapat :
( ) ( ) ( ) ( )...
!52
3
!32
3
23
23
53
+−
+−
−−=−=ππ
ππ xxxxSinxCos
Soal Latihan
Cari uraian Taylor dari fungsi-fungsi berikut melalui uraian McLaurin :
11
)(.1 == adisekitarx
xf
25)(.2 == adisekitarxxf
Beberapa penggunaan deret
A. Perhitungan secara numerik
Contoh 1
hitunglah di x = 0,0015
Contoh 2
hitunglah
Lakukan diferensiasi empat kali dan masukan x=0,1, didapat :
B. Penjumlahan deret
Contoh 1
hitunglah
Mulai dengan deret :
Ambil x = 1
Jadi
69,0....4
1
3
1
2
11 =+−+−
Soal latihan
.........7
1
5
1
3
11.1 =+−+−
.........!7!5!3
.2642
=−+− πππ
Gunakan xarc tan
Gunakan x
xsin!7!5!3
( ) ( ).........
!3
3ln
!2
3ln3ln.3
32
=+++
x
Gunakan 1−xe
C. Menghitung integral tertentu
Contoh :
hitunglah
Mulai dengan deret :
Integral Fresnel, dijumpai pada persoalan Difraksi Fresnel
....!5!3
sin106
22 −+−= xxxx
Jadi
!5!3
D. Menghitung Limit
Contoh :
hitunglah
Jawab :
Soal latihan
dtet t−∫01,0
0
.1
01,01
.22
3
3
=
−xdi
x
ex
dx
d x
13
− xdx
( )x
xx
−→
1lnlim.3
0
E. Menentukan nilai e
Gunakan pernyataan deret pangkat untukxe dengan x = 1
...,!4!3!2
1432
+++++= xxxxex
...,111
11432
+++++=e ...,!4
1
!3
1
!2
111 +++++=e
..718,2...,...017,05,02 =++++=e
F. Menentukan akar suatu bilangan
Tentukanlah niali 9 dengan deret Binomial
Kita tidak bisa menulis
Deret Binomial :
( ) ( ) ( )( )...,
!3
21
!2
111
32
+−−+−++=+ xpppxpppxx p
9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+Kita tidak bisa menulis 9 dengan 81+ atau ( ) 2/181+
Karena konvergensi deret Binomial adalah 1<x
Untuk menyelesaikan ini gunakan resep berikut :
( )nn
n
b
ca
c
ba
/1
/1
= Dengan b >> c
Jadi nilai 9
( )2/12
2/1
10
29
2
109
=
( ) ( ) 2/12/12/1
2/1 64,015100
64
100
1005
100
3659 −=
−=
=
Itulah hasilnya
( ) ( ) ( )3...
8
64,0164,05,0159
22/1 =
+−−+=
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Contoh 1
Selesaikan dengan menggunakan metode deret pangkat yang cocok !Sebuah kereta luncur bermassa m berada pada sebuah jalur tanjakandengan sudut kemiringan θ terhadap horizontal. Di dekat bagian bawah jalurterdapat sebuah tiang bermuatan listrik positif. Muatan yang positif yangsama ditempatkan pula di atas kereta. Jika gesekan kereta luncur denganlintasan diabaikan dan diasumsikan percepatan gravitasi g, berapakahbesar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebutbesar gaya tolak Coulomb (F) yang diperlukan agar kereta luncur tersebuttetap diam di tempatnya. Petunjuk tuliskan F dalam deret pangkat dari θ.
θ
Aplikasi Deret Pangkat pada Persoalan Fisika
Solusi : Agar kereta tetap di tempatnya, maka :
∑ = 0F
θsinwC FF = θsinwC FF =
θsinmgFC =
++−= ....
!5!3
53 θθθmgFC
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Cari solusi PDB berikut :
xyy 2'=
Dengan metode pemisahan variabel
xydy
2= xdxdy
2=xydx
2= xdxy
2=
∫∫ = xdxy
dy2
cxy lnln 2 +=2xCey =
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat
Mencari solusi dengan metode deret pangkat, dimulai dengan :
PDB yang dicari solusinya berorde satu (y’), maka perlu dicari y’ :
...44
33
2210 +++++= xaxaxaxaay
...432' 34
2321 ++++= xaxaxaay 4321
xyy 2'=
PDB :
02' =− xyy
...2222 32
210 +−−−=− xaxaxaxy
...432' 34
2321 ++++= xaxaxaay
+..........................0 32 ++++= xxx
Solusi Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dengan Metode Deret Pangkat