KALKULUS 4 Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA. SARMAG TEKNIK MESIN
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
KALKULUS 4
Dra. D. L. Crispina Pardede, DEA.
SARMAG TEKNIK MESIN
1. Deret Fourier
1.1. Fungsi Periodik
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,1.3. Deret Trigonometri,1.4. Bentuk umum Deret Fourier,1.5. Kondisi Dirichlet,1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.
2. Integral Fourier
KALKULUS 4 - SILABUS
2. Integral Fourier
3. Fungsi Gamma dan Fungsi Beta
3.1. Fungsi Gamma
3.2. Fungsi Beta3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta
4. Transformasi Laplace
4.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace
4.2. Invers dari transformasi Laplace4.3. Teorema Konvolusi4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D.
dengan syarat batas.
� Fungsi f (x) adalah periodik dengan periode T > 0,
jika berlaku f (x + T) = f (x)
untuk semua harga x.
1.1. FUNGSI PERIODIK
Fungsi Periodik dengan periode T.
T
Contoh:
Fungsi periodik yang cukup dikenal:
�
1.1. Fungsi Periodik
Fungsi Sinus
-π π
T = 2π
Contoh:
� Fungsi Cosinus
Gambarkan grafik fungsi cosinus
1.1. Fungsi Periodik
1.1. Fungsi Periodik
Fungsi Cosinus
T = 2π
-π π
Contoh:
� f(x) = sin nx Periode: …
� f(x) = tg x Periode : …
� f(x) = c Periode : …
1.1. Fungsi Periodik
� ..... :Periode , 0 4- ,1
40 ,2
<<−
≤≤=
x
xf(x)
Bila Fungsi f (x) adalah periodik dengan periode T > 0 dimana
f (x + T) = f (x) …(1)
Berdasarkan (1)
1.1. Fungsi Periodik
f (x + 2T) = f ((x+T)+T)
= f (x+T)
= f (x)
Dapat disimpulkan
f (x+nT) = f (x)
Contoh:� Beberapa contoh fungsi periodik
1.1. Fungsi Periodik
T
T T
T
Latihan:Gambarkan diagram dari fungsi periodik berikut:
1.1. Fungsi Periodik
x0 ,xsin
10 :Periode , 0 x 5- ,3
5x0 ,3)x(f .1
π≤≤
<<−
≤≤=
01 :Periode , 10 x 5 ,25
5x0 ,x)x(f .4
4 :Periode , 8 x 4 ,4
4x0 ,x)x(f .3
2 :Periode , 0 x - ,0
x0 ,xsin)x(f .2
2
<<
≤≤=
<<
≤≤=
π
<<π
π≤≤=
� Fungsi f (x) adalah FUNGSI GENAP jika berlaku
f (- x ) = f (x)
1.2. FUNGSI GENAP DAN GANJIL
� Fungsi f (x) adalah FUNGSI GANJIL jika berlaku
f (- x ) = - f (x)
Contoh:
� Perhatikan fungsi f(x) = x
jika x = a , maka f(a) = a
jika x = -a , maka f(-a) = -a
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil
jika x = -a , maka f(-a) = -a
berarti f(-a) = - a
= - f(a)
∴ Fungsi f(x) = x adalah fungsi ganjil.
Contoh:
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil
� f(x) = 2x .
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil
� f(x) = 2x .
� f(x) = x2 .
� f(x) = x + 2.
Latihan:
Selidiki apakah fungsi berikut merupakan fungsi genap atau fungsi ganjil
� f(x) = x3 .
1.2. Fungsi Genap dan Ganjil
� f(x) = x .
� f(x) = x4 .
� f(x) = 4x2 .
� f(x) = sin x.
� f(x) = cos x.
dapat dituliskan sebagai
1.3. DERET TRIGONOMETRI
...nx sinbnx cosa ... x sinbx cosaa nn110 ++++++
Deret trigonometri
)xnin sbxn cosa(a
xnin sbxn cosaa
n
1n
n0
1n
n
1n
n0
++=
++
∑
∑∑∞
=
∞
=
∞
=
di mana ai dan bi disebut sebagai koefisien.
1.3. Deret Trigonometri
xnin sbxn cosaa 1n
n
1n
n0 ++ ∑∑∞
∞
=
∞
=
Deret Fourier adalah deret trigonometri
)xnin sbxn cosa(a n
1n
n0 ++= ∑∞
=
di mana koefisien ai dan bi memenuhi bentuk tertentu.
Misalkan,
fungsi f(x) tertentu dalam interval (-L, L)
dan di luar interval tersebut oleh f(x + 2L) = f(x).
Periode dari fungsi tersebut adalah 2L.
1.4. DERET FOURIER
Periode dari fungsi tersebut adalah 2L.
DERET FOURIER yang berkaitan dengan fungsi
tersebut dapat dinyatakan sebagai …
Deret Fourier:
dimana
1.4. Deret Fourier
dimana
cos
Untuk menentukan a0
1.4. Deret Fourier
dx 0 cos f(x) L
1 dx
L
x 0 cos f(x)
L
1 a
L
L-
L
L-
0 ∫∫ =π
=
dengan demikian a0 dapat dinyatakan sebagai
dx f(x) L
1 a
L
L-
0 ∫=
Jika f(x) mempunyai periode 2L,
maka koefisien Fourier an dan bn
dapat ditentukan serupa menggunakan persamaan
1.4. Deret Fourier
dx xn
cos f(x) 1
a
2Lc
n ∫+
π=
riil.bilangan sembarang c mana di
dx L
xn sin f(x)
L
1 b
dx L
cos f(x) L
a
2Lc
c
n
c
n
∫
∫
+π
=
=
Contoh:
Gambar fungsi berikut dan berikan deret Fourier yang berkaitan dengan fungsi tersebut.
1.4. Deret Fourier
4x0 ,0 ≤≤=
Jawab:Periode = 8 � 2L = 8 � L = 4
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
Jawab:
Periode = 8 � 2L = 8 � L = 4.
1.4. Deret Fourier
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
5
4 8 12 16-4-8-12-16
0X
Jawab:
Periode = 8 � 2L = 8 � L = 4.
1.4. Deret Fourier
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
Deret Fourier:
L
xn sin b
1nL
xn cos a
2
a (x)f nn
0 π+
∞
=
π+= ∑
Jawab:Deret Fourier, dengan L = 4
1.4. Deret Fourier
4
xn sin b
1n4
xn cos a
2
a (x)f nn
0 π+
∞
=
π+= ∑
dimana 1n =
dx 4
xn sin f(x)
4
1 b
dx 4
xn cos f(x)
4
1 a
4
4-
n
4
4-
n
∫
∫π
=
π=
Jawab:
1.4. Deret Fourier
dx 4
xn cos f(x)
4
1 a
4
4-
n ∫π
=
π
+π
= ∫∫ dx xn
cos 0 dx xn
cos 5 1
40
+= ∫∫ dx 4
cos 0 dx 4
cos 5 4
04-
π= ∫ dx
4
xn cos 5
4
1
0
4-
0
4
0
4-4
xn sin
n
4
4
5 dx
4
xn cos
4
5
−
π
π=
π= ∫
= 0
Jawab:
1.4. Deret Fourier0
4
n4
xn sin
n
4
4
5 a
−
π
π=
0
44
xn sin
n
5
−
π
π=
ππ (-4) n 0 n 5
π−
π
π=
4
(-4) n sin
4
0 n sin
n
5
( ))(-n sin 0sin n
5 π−
π=
( ) ( ))(-n sin n
5 )(-n sin 0
n
5 π−
π=π−
π=
Jawab:
1.4. Deret Fourier
)(nsin - )n (-sin karenaoleh π=π
( ))(-n sin n
5 a n π−
π=
)(n sin n
5 a maka n π
π= )(n sin
n a maka n π
π=
0nsin n, sembaranguntuk =π
0 0 n
5 a jadi n =
π=
0 ...a a a 221 ====
Jawab:
1.4. Deret Fourier
dx f(x) L
1 a
L
L-
0 ∫=
dx f(x) 4
1 a
4
4-
0 ∫=
11040
=
+= ∫∫∫ dx 5
4
1 dx 0 dx 5
4
1
0
4-
4
0
0
4-
( ) ( ) )4(4
5)4(0
4
5 x5
4
1
0
4- =−−==
5 a jadi 0 =
Jawab:
1.4. Deret Fourier
dx 4
xn sin f(x)
4
1 b
4
4-
n ∫π
=
π+
π= ∫∫ dx
4
xn sin 0 dx
4
xn sin 5
4
1
40
∫∫ 44404-
π= ∫ dx
4
xn sin 5
4
1
0
4-
0
4
0
4-4
xn cos -
n
4
4
5 dx
4
xn sin
4
5
−
π
π=
π= ∫
Jawab:
1.4. Deret Fourier
0
4
n4
xn cos-
n
4
4
5 b
−
π
π=
0
44
xn cos -
n
5
−
π
π=
π−
π
π=
4
(-4) n cos -
4
0 n cos -
n
5
( ))(-n cos 0 cos - n
5 π+
π=
( ))(-n cos 1 n
5 π+−
π=
Jawab:
1.4. Deret Fourier
)(n cos )n (- cos karenaoleh π=π
( ))(-n cos 1 n
5 b n π+−
π=
( ))(n cos 1 n
5 b maka n π+−
π=
)1(n cos ganjil,n bila
1n cos genap,n bila
−=π
=π
ganjiln untuk ,n
10- bdan
genapn untuk 0, b jadi
n
n
π=
=
,...3
10- b ,
10- b ; 0 ...b b b 31642
π=
π=====
Jawab:Jadi, deret Fourier dari fungsi
1.4. Deret Fourier
8 :Periode , 0 x 4- ,5
4x0 ,0)x(f
<<
≤≤=
adalah
4
xn sin )n cos (-1
n
5
1n
2
5 (x)f
ππ+
π
∞
=
+= ∑
Latihan:Tentukan deret Fourier dari fungsi berikut:
1.4. Deret Fourier
x0 ,xsin
10 :Periode , 0 x 5- ,3
5x0 ,3)x(f .1
π≤≤
<<−
≤≤=
01 :Periode , 10 x 5 ,25
5x0 ,x)x(f .4
4 :Periode , 8 x 4 ,4
4x0 ,x)x(f .3
2 :Periode , 0 x - ,0
x0 ,xsin)x(f .2
2
<<
≤≤=
<<
≤≤=
π
<<π
π≤≤=
Related Documents
