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DER GOLDENE SCHNITT Ein Verhltnis, das es in sich hat
A B C D E F G Welches der sieben Rechtecke gefllt die am besten?
Miss bei jedem Rechteck die Seitenlnge ab und trage ihr Lngen in
die nachfolgende Tabelle ein. Gib anschlieend die gesuchten
Verhltnisse an! Finde dazu ganzzahlige Werte! Verhltnis
(lange : kurze Seite) Wert des Bruchs
Verhltnis (lange : kurze Seite)
Wert des Bruchs
A A
B B
C C
D D
E E
F F
G G
Kennst du dieses Gebude? Wo steht es? Seine Mae betragen: 91 m x
22 m x 154 m In welchem Verhltnis stehen Lnge und Hhe sowie Breite
und Hhe zueinander?
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Eine weitere Fragestellung fhrt uns ebenfalls zum Verhltnis des
Goldenen Schnitts: Kaninchen sind dafr bekannt, dass sie viele
Junge gebren. Ein italienischer Mathematiker namens Fibonacci1
wollte wissen, wie viele Kaninchenpaare innerhalb eines Jahres
geboren werden. Er nahm an: Im Januar gibt es ein Paar Kaninchen,
nmlich ein Mnnchen und ein Weibchen. Einen Monat spter im Februar
bekommt es Junge, wiederum ein mnnliches und ein weibliches (also
ein Prchen). Das geht jeden Monat so weiter. Nun knnen die
Jungprchen aber auch wieder Junge bekommen und zwar im bernchsten
Monat nach ihrer Geburt. Also fr die Februargeborenen gibt es im
April den ersten Nachwuchs in Form eines Prchens. Das gilt fr alle
neugeschlpften Kaninchenpaare. berlege nun, wie viele Prchen es am
Ende des Jahres (also im Dezember) gibt, wenn keine Todesflle zu
beklagen sind! Tipp: Lege dir eine bersicht (umgekehrter Stammbaum)
an und trage jeweils ein, wie viele Prchen im Februar, Mrz, April
geboren werden! Auch wenn es am Anfang nicht so scheint, es gibt
ein Prinzip, mit dem man jeweils auf das nchste Monat schlieen
kann.
1 Fibonacci war ein italienischer Mathematiker, der um 1200
lebte. Neben anderen ist es auch ihm zu verdanken, dass die rmische
Ziffernschreibweise durch die indisch-arabischen Ziffern in Europa
abgelst wurde. Er wurde 1179 geboren und hie eigentlich Leonardo da
Pisa, wurde aber Fibonacci genannt, weil er Figlio di Bonaccio, der
Sohn des Bonaccio war, eines bekannten Kaufmanns und Funktionrs der
Republik Pisa im 12. Jahrhundert. Der Vater unterhielt
Handelsbeziehungen mit den arabischen Lndern Nordafrikas und des
Nahen Ostens. Weil der Sohn ihn auf seinen hufigen Reisen
begleitete, konnte er die muselmanischen Schulen besuchen und die
mathematischen Techniken lernen, in denen die Araber Meister waren.
Es war nur natrlich, dass Leonardo dabei auch das System der
indisch-arabischen Ziffern erlernte. Spter fasste er seine
arithmetischen, algebraischen und geometrischen Kenntnisse in
seinem Buch ber Abaci (1202, Liber abaci) zusammen, in dem er auch
die Vorzge der Einfachheit und Praktikabilitt des neuen Zahlsystems
verteidigte. Im Westen wurde dieses System zunchst nicht sofort
wohlwollend aufgenommen. Es gab viele Wissenschaftler, Hndler und
Gelehrte, die sich der neuen Mode widersetzten. In Florenz zum
Beispiel wurde den Bankiers durch die Statuten des Geldwechsels der
Gebrauch arabischer Ziffern verboten. Die Menschen widersetzten
sich den neuen Ziffern, weil es jetzt schwieriger war, die
Rechnungsbcher der Hndler zu verstehen. Langsam, aber unaufhaltsam
setzten sich jedoch auch in Europa die arabischen Ziffern
durch.
Monat Neuge-borene
Jan 0 Feb 1 Mrz 1 April 2 Mai Juni Juli Aug Sept Okt Nov Dez
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Trage die Fibonacci-Zahlen in die nachstehende Tabelle ein und
berechne das Verhltnis benachbarter Zahlen!
Dass verschiedene Gren in genau diesem Verhltnis stehen, kommt
auch in der Natur vor! Spiralfrmiges Wachstumsmuster des
Fhrenzapfens Beim Tannenzapfen gehrt jeder Samen zu zwei Spiralen.
Acht dieser Spiralen verlaufen im Uhrzeigersinn, 13 in entgegen
gesetzter Richtung. Das Verhltnis von 8:13 kommt mit 1:1,625 schon
recht nahe an den Goldenen Schnitt heran.
Spiralfrmiges Wachstumsmuster bei Pflanzen hnlich wie beim
Tannenzapfen gehrt auch bei vielen anderen Pflanzen, jeder Samen zu
beiden Spiralen! Die eine Spirale dreht sich immer im Uhrzeigesinn,
die andere gegen den Uhrzeigersinn. Berechne fr die folgenden
Pflanzen das Verhltnis im Uhrzeiger : gegen Uhrzeiger!
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Bekannt ist auch, dass bereits die Menschen der Renaissance
Krperstudien betrieben haben, in denen der Goldene Schnitt eine
wesentliche Rolle spielte. Sie griffen dabei auf die
Schnheitsideale der Antike zurck, fr deren Skulpturen ebenfalls
diese Proportion verwendet wurde.
Krperstudie von Leonardo da Vinci und von Albrecht Drer
bereinander gelegt ergibt sich, dass die (Krper-)Proportionen
nahezu identisch sind! Nur im Bereich des Kopfes gibt es markante
Unterschiede. Wir sehen, dass sich auf die Studien Rechtecke legen
lassen, deren Seitenverhltnisse das Verhltnis des Goldenen Schnitts
ergeben. Man nennt ein solches Rechteck Goldenes Rechteck!
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Konstruktion des Goldenen Schnitts Das Besondere am Goldenen
Rechteck ist also, dass das kleinere Restrechteck, das durch das
Abschneiden eines Quadrats entsteht, stets wieder ein Goldenes
Rechteck ist. Wegen dieser speziellen Eigenschaft bezeichnet man
das Goldene Rechteck auch als das Rechteck mit dem tanzenden
Quadrat. Wie lang sind die ersten fnf Quadratseiten und die ersten
fnf Rechtecksseiten? Wenn man in die stndig kleiner werdenden
Quadrate jeweils einen Viertelkreis mit der Seitenlnge des neuen
Quadrats als Radius einzeichnet, entsteht eine Spirale. Zeichne nun
eine solche Spirale und gestalte sie frbig!
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Konstruktion der Goldenen Spirale
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Untersuchungen an der Regenbogenforelle Untersuche mithilfe der
beiden goldenen Rechtecke beim Kopf und der Schwanzflosse die
Regenbogenforelle! Wo liegt ungefhr das Auge? Wo ungefhr die
Schwanzflosse?
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Konstruktion des Goldenen Dreiecks aus einem regelmigen Fnfeck
Verbindest du die Eckpunkte A, B und D zu einem Dreieck, dann
entsteht ein Goldenes Dreieck! Miss die Winkel und Seitenlnge! Wo
zeigt sich das Verhltnis des Goldenen Schnittes?
Zeichne nun alle fnf mglichen Goldenen Dreiecke im Fnfeck ein!
Miss alle entstehenden Seiten mglichst genau nach! Kannst du bei
diesen Seiten nochmals das Verhltnis des Goldenen Schnittes
finden?
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VW-Beetle und der Goldene Schnitt Finde das Goldenes Rechteck,
das den VW-Beetle umschreibt! Untersuche die Gestaltung des
VW-Beetle anschlieend mit weiteren Gnomonen und Goldenen
Rechtecken!
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Der Goldene Schnitt und die Werbung Der Goldene Schnitt ist fr
die Werbung und Gestaltung von Werbeplakaten von zentraler
Bedeutung! Zeichne ein Goldenes Rechteck mit den Seitenlngen 16 cm
und 10 cm! Entwirf ein Plakat, ein Buchcover, fr dein
Lieblingsprodukt und achte dabei auf den Goldenen Schnitt!!