dep_ivs.pnzgu.ru€¦ · Web viewЕсли известно значение функции в (n+1) точках i = 0, 1, …, n, то данные параметры легко

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИПЕНЗЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МНОГОПРОФИЛЬНЫЙ КОЛЛЕДЖ

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

междисциплинарного курса

МДК.01.04 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РАЗРАБОТКИ АЛГОРИТМОВ

профессионального модуля

ПМ.01 Разработка программных модулей программного обеспечения для

компьютерных систем

Специальность 09.02.03 Программирование в компьютерных системах

Квалификация выпускника – Техник-программист

Форма обучения – Очная

2015 г.

СодержаниеВведение..........................................................................................................................31. Приближенные числа и действия над ними …………………………………... 5

1.1. Виды погрешностей при приближенных вычислениях ………………………………. 51.2. Приближенные числа …………………………………………………………………….. 6 1.3. Значащие цифры, верные и сомнительные цифры ……………………………………...8 1.4. Округление ………………………………………………………………………………... 9 1.5. Погрешности арифметических операций ………………………………………………10

2. Приближенное решение алгебраических уравнений …………………………112.1. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений с одной переменной …... 122.2. Метод половинного деления ............................................................................................. 152.3. Метод хорд…..………………………………………………………………………….... 16 2.4. Метод простой итерации.....................................................................................................18 2.5. Метод Ньютона (метод касательных) …………………………………………………. 21

3. Приближение функций.............................................................................................233.1. Постановка задачи приближения функции ......................................................................243.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа ........................................................................253.3. Алгоритм вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа ..............26

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .......................284.1. Матрицы и их свойства.......................................................................................................284.2. Выполнение операции над матрицами..............................................................................284.3. Системы линейных алгебраических уравнений...............................................................294.4. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений....................................314.5. Прямые методы решения СЛАУ........................................................................................37

4.5.1. Метод Гаусса …………………………………………………………………… 324.5.2. Метод LU-разложения ………………………………………………………… 33

4.6. Итерационные методы решения СЛАУ ……………………………………………….. 344.6.1. Метод Якоби (метод простой итерации) ………………………………………344.6.2. Метод Зейделя …………………………………………………………………. 34

5. Численное интегрирование и дифференцирование ………………………… 355.1. Постановка задачи численного интегрирования ……………………………………… 355.2. Метод прямоугольников.....................................................................................................365.3. Метод трапеций...................................................................................................................385.4. Метод Симпсона..................................................................................................................39 5.5. Правило Рунге …………………………………………………………………………… 41 5.6. Численное дифференцирование ………………………………………………………… 41

Заключение....................................................................................................................43Литература.....................................................................................................................44

2

Введение

Вычислительная математика – это раздел прикладной математики, в котором приводится разработка, обоснование и реализация (на базе вычислительной техники) методов приближенного решения разнообразных задач на уровне математических моделей.

Основное содержание вычислительной математики составляют численные методы, представляющие собой упорядоченные схемы (итерационные процедуры, расчетные формулы, алгоритмы) переработки информации с целью нахождения приближенного решения рассматриваемой задачи в числовой форме.

Отметим универсальный многоплановый характер вычислительной математики, которая в качестве объектов исследования объединяет задачи, возникающие в математических, естественнонаучных и гуманитарных дисциплинах. Все эти разнообразные задачи интегрируются с помощью единого общего подхода – конструктивное исследование с целью фактического получения решения на основе применения компьютерных ресурсов.

Появление и непрерывное совершенствование быстродействующих электронных вычислительных машин привело к подлинно революционному преобразованию науки вообще и математики в особенности. Изменилась технология научных исследований, колоссально увеличились возможности теоретического изучения, прогноза сложных процессов.

Стало возможным более эффективное познание законов реального мира, значительное увеличение производительности труда, развитие производства, совершенствование управления.

С помощью математического моделирования решение научно-технической задачи сводится к решению математической задачи, являющейся её моделью. Для решения математических задач используются следующие основные группы методов: аналитические, графические и численные.

Основным инструментом для решения сложных математических задач в настоящее время являются численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами; при этом результаты получаются в виде числовых значений.

Численные методы – раздел математики, который со времен Ньютона и Эйлера до настоящего времени находит очень широкое применение в прикладной науке. Традиционно физика является основным источником задач построения математических моделей, описывающих явления окружающего мира, она же является основным потребителем алгоритмов и программ, позволяющих эти задачи с определенным успехом решать.

Необходимо подчеркнуть важные отличия численных методов от аналитических. Во-первых, численные методы позволяют получить лишь приближенное решение задачи, то есть содержит некоторую погрешность. Во-вторых, они обычно позволяют лишь решение задачи с конкретными значениями

3

параметров и исходных данных. Источниками погрешности приближенного решения являются:

1. несоответствие математической задачи (математической модели) изучаемому реальному явлению;

2. погрешность исходных данных (входных параметров);3. погрешность метода решения;4. погрешность округлений в арифметических и других действиях над

числами. Несмотря на эти недостатки, численные методы незаменимы в сложных

задачах, которые не допускают аналитического решения. Эти методы позволяют добиться хорошего количественного и даже качественного результата в описании модели.

К численному методу, кроме требования достижения заданной точности, предъявляется ряд других требований. Предпочтение отдается методу, который реализуется с помощью меньшего числа действий, требует меньшей памяти ЭВМ и, наконец, является логически более простым, что способствует более быстрой его реализации на ЭВМ. Перечисленные условия обычно противоречат друг другу, поэтому часто при выборе численного метода приходится соблюдать компромисс между ними.

При численном решении основных задач необходимо знать какие-либо входные (исходные) данные – начальные, краевые (граничные) значения искомой функции, коэффициенты и правые части уравнений и т.д. Очевидно, что для исследователя важно знать, существует ли решение поставленной задачи, единственно ли оно и как оно зависит от входных данных.

Говорят, что задача поставлена корректно, если она разрешима при любых допустимых входных данных в случае, когда имеется единственное решение и это решение непрерывно зависит от входных данных, т.е. малому их изменению соответствует малое изменение решения. В этом случае говорят, что задача устойчива.

Задача поставлена некорректно, если её решение неустойчиво относительно входных данных, т.е. их малому изменению могут соответствовать большие изменения решения. Известно, что корректной задачей является задача численного интегрирования, а некорректной – задача дифференцирования.

Классическим примером некорректной задачи является задача Коши для уравнения Лапласа. Эта некорректность исходной задачи проявляется и при её численном решении.

В настоящее время развиты методы решения некорректных задач. К числу их относятся так называемые методы регуляризации, которые сводят решение исходной задачи к решению близкой к ней вспомогательной с некоторым малым параметром , так, что при решение вспомогательной задачи должно стремиться к решению исходной задачи. Ниже для некоторых численных методов будут формулироваться условия корректности и устойчивости.

4

Многие численные методы разработаны давно, однако при вычислениях вручную они могли использоваться лишь для решения не слишком трудоемких задач. С появлением компьютеров начался период бурного развития численных методов и их внедрения в практику. Только вычислительной машине под силу выполнить за короткое время объем вычислений в миллиарды, триллионы и более операций, необходимых для решения многих современных задач.

Численный метод наряду с возможностью получения результата за приемлемое время должен обладать и ещё одним важным качеством – не вносить в вычислительный процесс значительных погрешностей.

Современные численные методы и мощные компьютеры дали возможность решать такие задачи, о которых полвека назад могли только мечтать. Но применять численные методы далеко не просто. Цифровые компьютеры умеют выполнять только арифметические действия и логические операции. Поэтому помимо разработки математической модели, требуется еще разработка алгоритма, сводящего все вычисления к последовательности арифметических и логических действий. Выбирать модель и алгоритм надо с учетом скорости и объема памяти компьютера: чересчур сложная модель может оказаться машине не под силу, а слишком простая – не даст физической точности.

Сам алгоритм и компьютерная программа должны быть тщательно проверены. Даже проверка программы нелегка. Проверка алгоритма ещё более трудна, ибо для сложных алгоритмов не часто удается доказать сходимость классическими методами. Приходится использовать более или менее надежные «экспериментальные» проверки, проводя пробные расчеты на компьютере и анализируя их.

1.   Приближенные числа и действия над ними

1.1.  Виды погрешностей при приближенных вычислениях

Точное решение некоторых математических задач невозможно получить классическими методами, или это решение может быть получено в таком сложном виде, что неприемлемо для дальнейшего практического использования. Кроме того, точное решение задачи может потребовать очень большого количества (от нескольких десятков до многих миллиардов) действий. В таких случаях прибегают к приближенным и численным методам решения.

Появление компьютеров значительно расширило область применения этих методов. В настоящее время трудно себе представить инженера, не владеющего компьютером и методами приближённых вычислений.

Заметим, что любой компьютер способен запоминать большие, но конечные массивы чисел и производить над ними арифметические операции и сравнения с большой, но конечной скоростью. То есть машина способна выполнять очень большое, но конечное число операций. Поэтому при работе на компьютере можно использовать только те математические модели, которые описываются конечным

5

набором чисел, и использовать только конечные последовательности арифметических действий.

Математическими моделями различных явлений служат функции, производные, интегралы, дифференциальные уравнения и т.п. При работе на компьютере эти исходные модели следует заменить такими, которые описываются конечными наборами чисел с указанием конечной последовательности действий для их обработки. Для этого функцию заменяют таблицей, определённый интеграл – суммой и т.д. Кроме того, компьютер обладает конечной памятью и может оперировать с числами конечной длины, поэтому промежуточные результаты округляются. В результате этого даже точный метод с конечным числом действий становится приближенным.

Таким образом, решение, полученное численным методом, является приближенным.

Причинами появления погрешностей являются:– несоответствие математической модели изучаемому реальному явлению;– погрешность исходных данных;– погрешность метода решения;– погрешности округлений в арифметических и других действиях над

числами.Погрешность решения, вызванная первыми двумя причинами, называется

неустранимой – она не зависит от математика.Погрешность метода возникает потому, что численным методом, как

правило, решается не исходная задача, а более простая. Кроме того, обычно численный метод основан на бесконечном процессе, который приходится обрывать на некотором шаге.

Большинство численных методов зависит от одного или от нескольких параметров. Выбор параметров метода позволяет регулировать погрешность метода.

Погрешность округлений не должна быть существенно больше погрешности метода. А погрешность метода целесообразно выбирать в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

1.2. Приближенные числа

На практике часто приходится иметь дело с числами, которые выражают истинную величину не точно, а приблизительно. Такие числа называются приближенными.

Пусть   – точное и, вообще говоря, неизвестное значение некоторой числовой величины, а   – её приближённое значение.

Величина

называется абсолютной погрешностью приближённого числа, а в случае   величина

6

– его относительной погрешностью.Решение практических задач вычислительной математики сводится

к нахождению оценок вида (1.1)

где величины      и   называются  верхними границами  соответственно абсолютной и относительной погрешностей числа  (или предельными абсолютной и относительной погрешностями). Так как точные значения числовых величин не известны, то в расчётах для нахождения абсолютной и относительной погрешностей приходится пользоваться приближёнными формулами

(1.2)

если известны верхние границы относительной и абсолютной погрешностей соответственно.

Заметим, что чисел, удовлетворяющих неравенствам (1.1) множество. Поэтому величина предельной погрешности является не вполне определённой. На практике обычно берётся по возможности меньшее значение предельной погрешности. Для каждого приближенного числа обязательно определяется его предельная погрешность (абсолютная или относительная). Предельная абсолютная погрешность позволяет установить пределы, в которых лежит число a. Предельная относительная погрешность характеризует точность вычислений или измерений.

Запись чисел с абсолютной погрешностью имеет вид

, (1.3)с относительной –

. (1.4)

При записи чисел должны соблюдаться следующие правила:1. У границ погрешности принято оставлять одну, максимум две

значащие цифры.2. При записи приближённых чисел с абсолютной погрешностью

количество цифр дробной части у приближённого числа и у границы абсолютной погрешности должно быть одинаковым.

Пример 1.2.1.  При решении задач вместо точного числа π = 3,14159265…  мы используем его приближенное значение 3,14 и совершаем ошибку:

7

  -  3,14 > 0,00159265

Пример 1.2.2.  При измерении длины пути L = 10 км допущена ошибка (L) = 10 м, а при измерении диаметра гайки d = 4 см допущена погрешность (d) = 1 мм. Какое из этих двух измерений более точное?

Решение. Найдём предельные относительные погрешности чисел L и d.По условию задач (L) = 0,01 км, тогда (L) = 0,01 / 10 = 0,001 = 0,1%.

Аналогично, вычисляем: (d) = 0,1 / 4 = 0,025 = 2,5%. Поскольку (L) < (d), то первое измерение является более точным.

1.3. Значащие цифры, верные и сомнительные цифры

На практике используются различные приёмы, позволяющие уже только по записи самого приближенного числа судить о его погрешности.

Запись приближенных чисел и абсолютных погрешностей подчиняется определённым правилам.

Значащими цифрами в записи приближённого числа называются все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1.3.1. Приближенное число 0,38 имеет 2 значащих цифры, 0,308 – три, 0,3080  –  четыре,  0,00308 – три. Значащими цифрами являются подчёркнутые цифры.

Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит одной единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Значащая цифра называется верной в узком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда, соответствующего этой цифре. 

В противном случае цифра считается сомнительной.Если приближенное число записывается без указания его абсолютной

(предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только его верные цифры. При этом верные нули на правом конце числа не отбрасывают. Числа 0,25 и 0,250 как приближенные различны. Если же мы пользуемся записями вида (1.3) или (1.4), то числа в правых частях этих равенств должны быть записаны с одинаковым количеством знаков после запятой.

Абсолютную или относительную погрешность принято записывать в виде числа, содержащего одну или две значащие цифры. При этом округление производится с избытком.

Может оказаться так, что у приближенного числа в его целой части значащих цифр больше, чем верных знаков. В этом случае используется запись в нормализованном виде  a * =  m·10n, при этом число m ≤ 1 должно содержать только верные цифры. В нормализованной записи число m называется мантиссой, n –порядок числа.

8

Заметим, что предельная абсолютная погрешность определяется числом десятичных знаков после запятой: чем меньше десятичных знаков после запятой, тем больше (a*).

Предельная относительная погрешность определяется числом значащих цифр: чем меньше значащих цифр, тем больше (a*).

В то время как значение абсолютной погрешности позволяет точно определить верные цифры приближённого числа, по значению относительной погрешности можно лишь примерно определить их количество при помощи следующих утверждений.

Утверждение 1.1.  Если число   содержит   верных цифр, то справедливо неравенство

Утверждение 1.2.  Для того чтобы число   содержало   верных цифр, достаточно выполнения неравенства

Утверждение 1.3.  Если число   содержит ровно   верных цифр, то

то есть  .

1.4. Округление

Для записи приближенных чисел с верными цифрами применяется округление.

Точные числа также требуется округлить, если количество используемых разрядов ограничено.

Округлением называется замена одного приближённого числа другим, но с меньшим количеством значащих цифр. Различают два способа округления: округление усечением и по дополнению.

При округлении усечением производится простое отбрасывание лишних разрядов. Верхняя граница абсолютной погрешности округления усечением равна единице последнего оставляемого разряда.

При округлении по дополнению, если первая отбрасываемая цифра меньше 5, то производится округление усечением; если первая отбрасываемая цифра равна 5 или больше, то к последнему оставляемому разряду добавляется единица. Верхняя граница абсолютной погрешности такого округления составляет половину последнего оставляемого разряда, то есть в два раза меньше, чем при округлении усечением.

Заметим, что для погрешностей действует иное правило округления: границы погрешностей всегда округляются в сторону увеличения.

9

При выполнении арифметических действий с приближенными числами возникают две взаимообратные задачи:

1. По известным погрешностям входных данных оценить погрешность результата.

2. Определить точность исходных данных, обеспечивающую заданную точность результата.

Кроме того, при работе с приближенными числами необходимо согласовывать точность различных входных данных, чтобы не тратить время на выписывание ненужных и неверных цифр.

В процессе вычислений также необходимо следить за точностью промежуточных результатов.

До начала выполнения арифметических действий применяется округление, чтобы все числа, участвующие в этих действиях, были записаны с одинаковым количеством десятичных знаков. Количество оставляемых десятичных знаков определяется наименьшим числом верных цифр у исходных данных.

При сложении и вычитании приближенных чисел, имеющих одинаковое число верных цифр после запятой, округление не производится.

При сложении и вычитании приближенных чисел с различным числом верных цифр после запятой результат округляется по наименьшему числу верных цифр после запятой у исходных данных.

При умножении и делении приближенных чисел с различным числом верных цифр производится округление результата по минимальному числу верных цифр у исходных данных.

1.5. Погрешности арифметических операций

Приведём практические формулы для вычисления верхних границ абсолютной и относительной погрешностей результатов арифметических операций. Для верхней границы абсолютной погрешности суммы и разности двух чисел полагают

а для верхней границы относительной погрешности в случае, когда a и b являются ненулевыми числами одного знака:

где   ,   .

Если    и  , то для вычисления границ относительных погрешностей произведения и частного пользуются формулами

10

из которых легко следуют часто применяемые формулы для вычисления границ абсолютных погрешностей:

Если задана функция нескольких переменных  (или одной переменной в случае  ), то для практического вычисления границ абсолютной и относительной погрешностей приближённого значения

  пользуются формулами:

2. Приближенное решение алгебраических уравнений

Принято выделять следующие основные этапы решения задачи на компьютере:

1. Физическая постановка задачи.2. Математическая постановка задачи. Запись физической задачи в терминах

той или иной математической модели.3. Выбор численного метода для решения поставленной задачи.4. Реализация метода на том или ином языке программирования или с

помощью того или иного пакета решения прикладных задач (Matlab, Maple, Mathcad, Excel и т.д.).

5. Проведение тестовых расчетов и сравнение с данными эксперимента.Простая математическая модель – это совокупность алгебраических формул,

по которым явно вычисляются искомые величины. Однако чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраическими или дифференциальными уравнениями в частных производных. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием современных быстродействующих компьютеров.

Даже для того, чтобы воспользоваться стандартной, т.е. уже готовой программой, нужно иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования.

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближённые. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.

Использование компьютера выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые

11

погрешности, внесенные в процесс решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности возникают из-за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из-за округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на компьютере, а также связаны с точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение. На практике точность выбирают с учетом реализуемости алгоритма на том компьютере, который предполагается использовать для решения. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить решение с заданной точностью за минимальное количество операций, и, следовательно, за минимальное расчетное время.

2.1. Методы решения нелинейных алгебраических уравнений с одной переменной

Дано нелинейное алгебраическое уравнение f(x)=0  (2.1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.Решить уравнение – это найти такое x*  R:  f(x*) = 0. Значение  x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. Д.В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности  {xn},  такой, что

По определению предела, для любого (сколь угодно малого)  ε, найдется такое N, что при  n > N, |xn – x*| <  ε. Члены этой последовательности  xn  называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число ε называют точностью метода, а N – это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью ε.

Существуют различные методы нахождения приближенного решения, т.е. способы построения последовательности итераций {xn}, однако все они строятся по общему принципу:

– задается начальное приближение x0;– организуется итерационный цикл, в котором вычисляется очередное

приближение к решению xk ;

12

– проверяется условие выхода из итерационного цикла по какому-либо критерию.

Наиболее часто используется следующий критерий остановки итерационного процесса: 

|xn+1 – xn| < ε ,т.е. разница между соседними итерациями становится малой. Также для окончания итерационного процесса можно использовать условие 

|f(xn)| < ε ,где f(xn) – невязка метода.Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

Необходимое условие существования корня уравнения на отрезке [a, b]: пусть f(x) непрерывна и  f(a)f(b) < 0  (т.е., на концах интервала функция имеет разные знаки). Тогда внутри отрезка [a, b] существует хотя бы один корень уравнения f(x)=0.

Достаточное условие единственности корня на отрезке [a, b]: корень будет единственным, если  f(a)f(b) < 0 и  f /(x) не меняет знак на отрезке [a, b], т.е. f(x) – монотонная функция, в этом случае отрезок [a, b] будет интервалом изоляции.

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.Существуют различные способы исследования функции: аналитический,

табличный, графический.Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x),

исследование ее поведения при  и нахождении участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ – это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x  и столбца значений функции  f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно малым, а интервал изменения – достаточно большим.

Пример 2.1.1. Решить уравнение x3 – 6x2 + 3x + 11 = 0. Решение.F(x) = x3 – 6x2 + 3x + 11Найдем производную: f/(x) = 3x2 – 12x + 3Найдем нули производной: f/(x) = 3x2 – 12x + 3 = 0; D = 144 – 433 = 108

X1= = 0.268;

X2= = 3.732;

13

Так как f/( ) > 0, то f/(x) > 0 при  , f/(x) < 0 при   и f/(x) > 0

при  . Кроме того, f( ) =< 0, f( ) => 0. Следовательно, на интервале

  функция возрастает от   до f(x1) = 3x12 – 12x1 + 3 = 11.39; на

интервале  – убывает до f(x2) = 3x22 – 12x2 + 3 = -9.39 и на интервале   

возрастает до  , т.е. уравнение имеет три корня.Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2) = -27 < 0, f(-1) = 1 > 0, f/(x) > 0 при   , т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

f(1) = 9 > 0, f(3) = -7 < 0, f/(x) < 0 при  , т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для третьего корня отрезок [4, 5]:

f(4) = -9 < 0, f(5) = 1 > 0, f/(x) > 0 при  , т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Табличный способ:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

f(x) -79 -27 1 11 9 1 -7 -9 1 29 81

Графический способ:

Пусть интервалы изоляции корней известны. Познакомимся с несколькими итерационными методами, позволяющими найти корень на известном интервале изоляции [a, b].

2.2. Метод половинного деления

14

Этот метод называют еще методом дихотомии или методом бисекции. Суть метода заключается в следующем. Найдем середину отрезка [a, b]:  c = (a+b)/2. Корень остался на одной из частей: [a, c] или [c, b]. Если f(a)  f(с) < 0, то корень попал на отрезок [a, c], тогда деление отрезка можно повторить, приняв в качестве нового правого конца точку c, т.е. b = c. В противном случае корень попал на половину [c, b], и необходимо изменить значение левого конца отрезка: a = c. Поскольку корень всегда заключен внутри отрезка, итерационный процесс можно останавливать, если длина отрезка станет меньше заданной точности: |b – a| < ε.  

Пример. Найти первый корень уравнения f(x) = x3 – 6x2 + 3x + 11 = 0 с точностью  .

Вычисления оформим в виде таблицы:

k a b c f(a) f(c) |b-a|

0 -2 -1 -1.5 -27 -10.375 1

1 -1.5 -1 -1.25 -10.375 -4.07813 0.5

2 -1.25 -1 -1.125 -4.07813 -1.39258 0.25

3 -1.125 -1 -1.0625 -1.39258 -0.1604 0.125

4 -1.0625 -1 -1.03125 -0.1604 0.42868 0.0625

5 -1.0625 -1.03125 -1.04688 -0.1604 0.136372 0.03125

6

….......7

8

9

10 -1.05469 -1.05371 -1.0542 -0.01146 -0.00218 0.000977

где a0 , b0 – начальные границы интервала изоляции корня;

В результате расчета приближенное значение первого корня:  при точности   и х = -1.0542 при точности  .

На рис. 2.1 приведена графическая иллюстрация метода.

15

Рис.2.1. Метод половинного деления

2.3. Метод хордВ этом методе кривая f(x) заменяется прямой линией – хордой, стягивающей

точки (a, f(a)) и (b, f(b)). В зависимости от знака выражения f(a) f //(a) метод хорд имеет два варианта, изображенных на рис. 2.2а, б.

Рис. 2.2. Геометрическая интерпретация метода хорд для F(a)F //(a) > 0 (а) и  F(a)F //(a) < 0 (б)

Пусть f(a)f //(a) > 0 (рис. 2а). Тогда x0 = b, точка a будет оставаться неподвижной. Следующее приближение x1 находим как точку пересечения хорды, соединяющей точки (a, f(a)) и (x0, f(x0)) с осью x. Уравнение хорды: 

.Тогда точка пересечения хорды с осью x: 

16

.Пусть теперь f(a)f //(a) < 0 (рис. 2б). Тогда x0 = a, точка b неподвижна.

Проведем хорду, соединяющую точки (b, f(b)) и (x0, f(x0)):

.Вычисляем точку пересечения хорды с осью x:

.На следующей итерации в качестве x0 надо взять вычисленное значение x1.

Таким образом, имеем следующую последовательность вычислений:

если f(a)f //(a) > 0, то x0 = b и   .

Если же f(a)f //(a) < 0, то x0 = a и  .Окончание итерационного цикла в этом методе происходит по условию малости невязки уравнения:

|f(x1)| < ε  или   .Пример 2.3.1. Найти первый и третий корень уравнения x3 – 6x2 + 3x + 11 = 0

методом хорд.

Решение. Для первого корня a = -2, b = -1,  ,

тогда расчет ведется по первым формулам: x0 = b и   .Оформим вычисления в виде таблицы:

k xk |xk+1-xk| f(xk)

0 -1 1

1 -1.03571 0.035714 0.345618

2 -1.0479 0.012187 0.117007

3 -1.05201 0.004108 0.039334

4 -1.05339 0.001379 0.013192

5 -1.05385 0.000462 0.004421

17

Для третьего корня: a = 4, b = 5,  , тогда расчет ведется

по вторым формулам: x0 = a и   .Таблица вычислений:

k xk |xk+1-xk| f(xk)

0 4 -9

1 4.9 0.9 -0.711

2 4.941555 0.041555 -0.02147

3 4.942783 0.001229 -0.00062

4 4.942819 3.57E-05 -1.8E-05

2.4. Метод простой итерации

С помощью эквивалентных преобразований приведем исходное уравнение f(x) = 0 к виду, удобному для применения метода простой итерации: 

x = φ(x).Выберем начальное приближение x0 [a,b]. Следующие итерации находим по формуле: 

xk+1 = φ(xk),т.е. x1=φ(x0), x2=φ(x1) и т.д. Итерационный процесс заканчивается, если

| xk+1 – xk | < ε.Представить исходное уравнение в эквивалентном виде x=φ(x) можно

бесконечным числом способов. Из всевозможных таких представлений выбирают тот, который дает сходящуюся к корню последовательность вычислений.

Достаточное условие сходимости: пусть φ(x) имеет производную на отрезке

[a,b],   и     для всех x из отрезка [a,b], тогда итерационный

процесс сходится к корню уравнения, т.е.  .

18

Геометрический смысл метода простой итерации:

Сходящийся метод простой итерации

Расходящийся метод простой итерации

В качестве начального приближения обычно берут середину отрезка [a,b]:  .

На практике часто в качестве   берут функцию  , где с –

некоторая постоянная. Постоянную c выбирают таким образом, чтобы    для всех x[a,b]. При таком выборе функции   метод простой итерации называют методом релаксации.

Получим условия выбора с для метода релаксации:

Таким образом, если  f/(x) < 0, то 2/f/(x) < c < 0. Если же  f/(x) > 0, то 2/f/(x) > c > 0.

19

Видно, что знак у с совпадает со знаком f/(x). Часто с берут в виде:

.Пример 2.5.1. Найти второй корень уравнения x3 – 6x2 + 3x + 11 = 0, который

лежит на интервале [1, 3] с точностью  .Решение.

Сначала найдем функцию  . В нашем случае f(x) = x3 – 6x2 + 3x + 11.Для нахождения c необходимо найти максимальное и минимальное значения f/(x) на отрезке [1, 3]. Для этого необходимо найти значения f/(x) на концах интервала и в точках, где f//(x) = 0, т.е. в точках экстремума, если такие точки для рассматриваемого интервала существуют. Затем выбрать среди этих значений f/(x) максимальное и минимальное значения:

f/(1) = 3x2 – 12x + 3 = -6, f/(3) = -6,

f//(x) = 6x – 12 = 0 при x = 2,   , f/(2) = -8.Следовательно, 

Таким образом,

.Вычисления оформим в виде таблицы:

k x |xk+1-xk| |f(xk)|

0 2 - 1

1 2.142857 0.142857 0.282799

2 2.102457 0.0404 0.07896

3 2.113737 0.01128 0.022164

4 2.110571 0.003166 0.006213

5 2.111459 0.000888 0.001742

6 2.11121 0.000249 0.000489

Здесь x0 = (1+3)/2 = 2, 

20

   и т.д.Условием окончания итерационного процесса является условие:

|xk+1 – xk| < ε  или |f(xk)| < ε.

2.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Напомним, что мы решаем уравнение f(x) = 0.Метод определяется формулой

Геометрическая интерпретация метода такова (рис. 2.3): участок кривой y = f(x) при  , если  , или  , если  , заменяется отрезком касательной, проведённой из точки xk. Уравнение касательной имеет вид:

.Найдем точку пересечения (которую обозначим как xk+1) касательной с осью y

= 0:

.Откуда

.

Рис. 2.3. Геометрическая интерпретация метода Ньютона

Можно показать, что |xk+1– x*| <  q  |xk – x*|2, т.е. метод сходится со вторым порядком (квадратичная сходимость).

21

Метод Ньютона можно трактовать как метод простой итерации при 

.Замечание. Если известен интервал изоляции корня уравнения, в котором f//(x)

не меняет знак, то в качестве начального приближения берут тот конец интервала изоляции, для которого знаки f(x) и f//(x) совпадают.

Пример 2.4.1. Найти методом Ньютона третий корень уравнения x3 – 6x2 + 3x + 11 = 0, который лежит на интервале [4, 5] с точностью  .

Решение. Сначала убедимся, что f//(x) не меняет знака на заданном отрезке: f//(x) = 6x – 12;f//(x) > 0 при x > 2, т.е. f//(x) > 0 на интервале [4,5]. Так как f(5) = 1 > 0, то x0 = 5.Вычисления оформим в виде таблицы:

k xk |xk+1-xk| f(xk) f/(xk)

0 5 - 1 18

1 4.944444 0.055556 0.027606 17.00926

2 4.942821 0.001623 2.33E-05 16.98059

3 4.94282 1.37E-06 1.66E-11 16.98057

Здесь f(xk) = xk

3 – 6xk2 + 3xk + 11,

f/(xk) = 3xk – 12xk + 3,

  .В качестве корня можно взять значение: x = 4.943. Видно, что процесс

сходится уже на второй итерации.Для сравнения найдем первый корень нашего уравнения x3 – 6x2 + 3x + 11 = 0

на отрезке [-2,-1] методом Ньютона.Решение. Так как f//(x) = 6x – 12, то f//(x) < 0 на интервале [-2,-1], а так как f(-

2) = -27 > 0, то x0 = -2.Вычисления оформим в виде таблицы:

k xk |xk+1-xk| f(xk) f/(xk)

0 -2 -27 39

1 -1.30769 0.692308 -5.41966 23.82249

2 -1.08019 0.227502 -0.50182 19.46272

22

3 -1.05441 0.025783 -0.00613 18.9882

4 -1.05408 0.000323 -9.5E-07 18.98229

5 -1.05408 5.02E-08 -2.3E-14 18.98229

Напомним, что методом дихотомии мы достигли заданной точности 0.001 на 10-ой итерации.

Вычислим второй корень нашего уравнения на отрезке [1,3]. Заметим, что f//(x) = 6x – 12 меняет знак на отрезке при х=2. Уменьшим интервал изоляции так, чтобы f//(x) не меняла знака. Рассмотрим интервал [2.1; 3]:

f//(2.1) = 62.1 – 12 = 0.6 > 0 f(2.1) = 0.101 > 0. Следовательно, x0 = 2.1Вычисления оформим в виде таблицы:

k xk |xk+1-xk| f(xk) f/(xk)

0 2.1 0.101 -8.97

1 2.11126 0.01126 3.95E-05 -8.96286

2 2.111264 4.4E-06 6.47E-12 -8.96286

3 2.111264 7.22E-13 0 -8.96286

Если сравнивать с методом простой итерации, то значение этого корня мы получили за две итерации вместо шести.

Эти примеры показывают, что метод Ньютона является более быстросходящимся. Но для его использования необходимо брать начальное приближение достаточно близкое к корню.

Упрощенный метод Ньютона. Эта модификация метода Ньютона используется, если производная f /(x) представляет собой сложную функцию, и для ее вычисления на каждой итерации используется много времени. Зададим  x0 – начальное приближение и вычислим производную  z = f /(x0). На следующих итерациях используется вычисленное значение производной:

.Это упрощение несколько замедляет процесс сходимости к решению, однако

сокращает время каждого итерационного цикла.

3. Приближение функций

23

Если задана функция y(x), то это означает, что любому допустимому значению х сопоставлено значение у. Но нередко оказывается, что нахождение этого значения очень трудоёмко. Например, у(х) может быть определено как решение сложной задачи, в которой х играет роль параметра или у(х) измеряется в дорогостоящем эксперименте. При этом можно вычислить небольшую таблицу значений функции, но прямое нахождение функции при большом числе значений аргумента будет практически невозможно. Функция у(х) может участвовать в каких-либо физико-технических или чисто математических расчётах, где её приходится многократно вычислять. В этом случае выгодно заменить функцию у(х) приближённой формулой, то есть подобрать некоторую функцию (х), которая близка в некотором смысле к у(х) и просто вычисляется. Затем при всех значениях аргумента полагают у(х)(х).

Большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами, так как с ними легко работать. Однако для многих целей используются и другие классы функций.

Выбрав узловые точки и класс приближающих функций, мы должны ещё выбрать одну определённую функцию из этого класса посредством некоторого критерия — некоторой меры приближения или «согласия». Прежде чем начать вычисления, мы должны решить также, какую точность мы хотим иметь в ответе и какой критерий мы изберём для измерения этой точности.

Существуют 3 класса или группы функций, широко применяемых в численном анализе. Первая группа включает в себя линейные комбинации функций 1, х, х2, …, хn, что совпадает с классом всех многочленов степени n (или меньше). Второй класс образуют функции cos aix, sin aix. Этот класс имеет отношение к рядам Фурье и интегралу Фурье. Третья группа образуется функциями e-az. Эти функции встречаются в реальных ситуациях.

Наша задача состоит в том, чтобы по таблице значений х и у построить приближающую функцию. Для этого воспользуемся методами Лагранжа, Ньютона и Эйткена. Потом сравним полученные результаты, отметим достоинства и недостатки, сделаем выводы.

3.1. Постановка задачи приближения функции

Пусть известные значения некоторой функции f образуют некоторую таблицу (табл. 3.1).

Таблица 3.1…

…

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок , но не совпадает ни с одним из значений (i = 0,1, …, n).

24

Очевидный прием решения этой задачи – вычислить значение f(x), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием, однако, можно применить лишь в случае, когда аналитическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, часто аналитическое выражение функции вовсе неизвестно. В этих случаях применяется особый прием — построение по исходной информации (табл. 3.1) приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что

f(x) = F(x). (3.1)

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(х) и F(x) в точках (i = 0,1, …, n), т. е.

(3.2)

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки – узлами интерполяции.

Будем искать интерполирующую функцию F(x) в виде многочлена степени n

(3.3)

Этот многочлен имеет n+1 коэффициент. Естественно предполагать, что n+1 условий (3.2), наложенных на многочлен, позволят однозначно определить его коэффициенты. Действительно, требуя для выполнения условий (3.2), получаем систему из n+1 уравнений с n+1 неизвестными

(3.4)

Решая эту систему относительно неизвестных , мы и ПОЛУЧИМ аналитическое выражение полинома (3.3). Система (3.4) всегда имеет единственное решение, так как ее определитель, известный и алгебре как определитель Вандермонда, отличен от нуля.

Отсюда следует, что интерполяционный многочлен для функции f, заданной таблицей 1.1, существует и единствен (может случиться, что какие-то коэффициенты в , в том числе и равны нулю; поэтому интерполяционный полином при рассмотренных условиях в общем случае имеет степень, не большую, чем n).

Описанный прием в принципе можно было бы использовать и для практического решения задачи интерполирования многочленом, однако на практике используются другие, более удобные и менее трудоемкие способы.

3.2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть функция f задана таблицей 3.1. Построим интерполяционный многочлен

25

Ln(x), степень которого не больше n и для которого выполнены условия (3.2). Будем искать Ln(x) в виде

(3.5)

где li (x) –многочлен степени n, причем(3.6)

Очевидно, что требование (3.6) с учетом (3.3) вполне обеспечивает выполнение условий (3.2).

Многочлены li (x) составим следующим способом

(3.7)

где сi – постоянный коэффициент, значение которого найдем из условия (3.6)

(ни один множитель в знаменателе не равен нулю).Подставим сi в (3.7) и далее с учетом (3.5) окончательно имеем:

(3.8)

Эго и есть интерполяционный многочлен Лагранжа. По таблице исходной функции f формула (3.8) позволяет весьма просто составить «внешний вид» многочлена.

3.3. Алгоритм вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа

Для составления программы вычисления одного значения интерполяционного многочлена Лагранжа на компьютере воспользуемся формулой (3.8). Основная рабочая часть искомого алгоритма состоит из вложенного цикла: во внутреннем цикле вычисляются n+1 значений многочленов-слагаемых вида li(x) (i = 0,1, ..., n), а во внешнем – накапливается общая сумма (3.8).

Работа внутреннего цикла контролируется с помощью индекса j. Изменяясь в пределах от 0 до n, индекс j принимает все-таки ровно n значений, «проскакивая» текущее значение индекса i, определяемого во внешнем цикле. Тем самым обеспечивается правильное составление многочленов-слагаемых li(x) формулы Лагранжа. Носителем окончательного результата является переменная F. Схема алгоритма изображена на рис. 3.1.

26

да нет

|

27

Начало

Ввод n

Ввод таблицы x, y

Ввод A

F=0

Начало циклапо i

от 1 до n

L=1

Начало циклапо j

от 1 до n

i=j

L=L (A-x(j)) / (x(i)- (x(j) )

Конец цикла по i

L= L*y(i)F=F+L

Конец цикла по j

Вывод А, F

Конец

Рис. 3.1. Схема алгоритма вычисления значения интерполяционного многочлена Лагранжа

28

4. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

4.1. Матрицы и их свойстваМатрица – это совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной

таблицы. Чтобы отличать матрицу по внешнему виду от определителя, ее заключают в квадратные скобки. Каждый элемент матрицы снабжают двумя индексами: первый соответствует номеру строки, второй – номеру столбца.

Матрицу называют квадратной, если число строк в ней равно числу столбцов

Диагональной называют матрицу, у которой элементы главной диагонали не равны нулю, а все остальные – нули, например:

Матрицу, у которой элементы главной диагонали равны единице, а все остальные – нули, называют единичной:

Неопределенной называют матрицу, у которой сумма элементов любой строки и любого столбца равна нулю.

Две матрицы равны, если равны соответствующие элементы этих матриц. У равных матриц равны определители. Но из равенства двух определителей еще не следует равенства самих матриц.

4.2. Выполнение операции над матрицами

Сложение и вычитание матриц (векторов)

Результат сложения (вычитания) матриц (векторов) одинакового размера n x m  (A) и (B)  (число столбцов и строк матриц должны совпадать) есть матрица (C) размера n x m,  каждый элемент которой  равен сумме (или разности) соответствующих элементов матиц (A) и (B):

29

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов одинаковой длины n называется сумма парных произведений соответствующих компонентов вектора:

Матричное произведение

Произведением матриц (A) размером n x m   и  (B) размером m x l  называется матрица (C) размером n x l , такая что элемент, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца cij равен скалярному произведению i-ой строки матрицы  (A)  и j-ого столбца матрицы  (B):

Умножим две матрицы, элементами которых являются числа

Руководствуясь приведенным правилом, нетрудно убедиться в том, что  [А][В] ≠ [B][A], т.е. результирующая матрица зависит от последовательности расположения матриц сомножителей.

Обращение матрицы

Матрицей, обратной матрице (А) размера (n x n) называется такая матрица  (А)-1 размера (n x n), что при перемножении этих матриц в любом порядке получается единичная диагональная матрица:

Здесь (1) – это единичная диагональная матрица размера (n x n) – все элементы которой равны 0, за исключением диагональных, которые равны 1.

4.3. Системы линейных алгебраических уравнений

Систему из  n  линейных алгебраических уравнений с n неизвестными  x1, x2, ..., xn  в общем случае принято записывать следующим образом:

30

где аij  и  bi – произвольные константы. Число  неизвестных n называется порядком системы.

Решением СЛАУ является такая совокупность значений переменных  х1, х2,…, хn, которая одновременно обращает все уравнения системы в тождество.

Необходимым и достаточным условием существования и единственности решения системы  уравнений является линейная независимость уравнений. Или, более точно, неравенство нулю определителя, составленного из коэффициентов системы уравнений:

Эквивалентной (и весьма удобной) записью системы линейных уравнений является матричная запись

или сокращенно    ,

в чем легко убедиться, если воспользоваться правилами перемножения матриц: элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы-результата есть скалярное произведение i-й вектор-строки первой матрицы и j-го вектор-столбца второй матрицы.

Коэффициенты при неизвестных образуют квадратную матрицу A размером n x n, переменные и свободные члены уравнений – векторы-столбцы (X) и (B) длиной n.

Решение СЛАУ есть вектор (X*), который обращает это матричное уравнение в тождество:

31

Для решения систем линейных алгебраических уравнений применяются точные (прямые) методы, в которых количество арифметических операций, необходимых для нахождения решения, точно определяется порядком системы и итерационные (приближенные) методы, в которых проводится пошаговое, итерационное  уточнение решения.

Оценить близость какого-либо вектора (Х)i к решению системы уравнений можно оценив близость  вектора невязок к нулевому вектору:

Для выражения меры близости в виде числа используется какая-либо норма вектора, например, евклидова норма или длина вектора в n-мерном пространстве (другое определение – это корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя):

Иногда используются другие векторные нормы: норма-максимум (равна наибольшей по абсолютной величине компоненте вектора)

или  норма-сумма (равна сумме абсолютных величин компонентов вектора)

4.4. Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений

Численное решение СЛАУ является часто решаемой задачей в рамках математического моделирования. При этом как размерность задачи, так и характер матриц может существенно меняться. Вычисления, проводимые с определенной точностью, также оказывают влияние на результат решения СЛАУ. Кроме того, сами коэффициенты системы – матрица (А) и свободные члены – (В) могут быть представлены с определенной погрешностью.

Приведем такой пример:Система уравнений

имеет, как нетрудно убедиться подстановкой, единственное решение x = 1, y = 1.Предположим, что при подготовке системы к решению, правая часть первого

уравнения была определена с небольшой абсолютной погрешностью в +0.01, то есть, правая часть первого из уравнений вместо 11 была взята равной 11.01.

32

Единственным решением этой системы уравнений уже будет вектор  x=11.01, y=0.Как нетрудно убедиться, в этом случае погрешность определения значений

переменных оказывается существенно больше, чем погрешность коэффициента. Задачи, в которых малое изменение исходных параметров кардинально сказывается на результате, называются плохо обусловленными.

4.5. Прямые методы решения СЛАУ

4.5.1. Метод ГауссаАлгоритм решения заключается в приведении расширенной матрицы системы

уравнений к треугольному виду (метод Гаусса) или псевдодиагональному виду (метод Гаусса-Жордана).

Рассмотрим метод Гаусса (схему единственного деления) решения системы уравнений. Прямой ход состоит из m-1 шагов исключения.

Шаг 1. Исключим неизвестное   из уравнений с номерами i = 2,3,..m. Предположим, что  . Будем называть его ведущим элементом 1-го шага.

Найдем величины  , i=2,3,...m , называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего, ...m vго уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на  . В результате 1-го шага получим эквивалентную систему уравнений:

Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-ый шаг. Предположим, что ведущий элемент  . Вычислим множители k-го шага:

, i=k+1,...m  и вычтем последовательно из (k+1)-го, ...m -го уравнений системы k-ое уравнение, умноженное соответственно на . После (m-1)-го шага исключения получим систему уравнений, матрица которой является верхней треугольной:

33

На этом вычисления прямого хода заканчиваются.Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим  . Подставляя

найденное значение   в предпоследнее уравнение, получим  . Далее последовательно находим неизвестные  .

В методе Гаусса для вычисления масштабирующих множителей требуется делить на ведущие элементы каждого шага. Если элемент равен нулю или близок к нулю, то возможен неконтролируемый рост погрешности. Поэтому часто применяют модификации метода Гаусса, обладающие лучшими вычислительными свойствами.

Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу (схема частичного выбора). На k-ом шаге прямого хода в качестве ведущего элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент   при неизвестной   в уравнениях с номерами i = k+1, ... , m. Затем уравнение, соответствующее выбранному коэффициенту с номером  , меняют местами с k-ым уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента  . После этой перестановки исключение проводят как в схеме единственного деления. В этом случае все масштабирующие множители по модулю меньше единицы и схема обладает вычислительной устойчивостью.

4.5.2. Метод LU-разложения

Представим матрицу A в виде произведения нижней треугольной матрицы L и верхней треугольной U.

Введем в рассмотрение матрицы

  и  Можно показать, что A = LU. Это и есть разложение матрицы на множители.После разложения матрицы на множители, решение системы сводится к

последовательному решению систем с треугольными матрицами:    и   .

34

4.6. Итерационные методы решения СЛАУ

Решается система Ax = b.Для применения итерационных методов система должна быть приведена к

эквивалентному виду x=Bx+d. Затем выбирается начальное приближение к решению системы уравнений 

и находится последовательность приближений к корню.  Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы было выполнено

условие   . Критерий окончания итераций зависит от применяемого итерационного метода. 

4.6.1. Метод Якоби (метод простой итерации)

Самый простой способ приведения системы к виду удобному для итераций состоит в следующем: из первого уравнения системы выразим неизвестное  x1, из второго уравнения системы выразим  x2, и т. д. В результате получим систему уравнений с матрицей B, в которой на главной диагонали стоят нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

,    i, j = 1, 2, ... , n.Компоненты вектора d вычисляются по формулам:

,   i = 1, 2, ... , n.Расчетная формула метода простой итерации имеет вид

,или в покоординатной форме записи:

,  i = 1, 2, ... , m.Критерий окончания итераций в методе Якоби имеет вид:

 ,   где    .Если   , то можно применять более простой критерий окончания

итераций:

4.6.2. Метод Зейделя

Метод можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея состоит в том, что при вычислении очередного (n+1)-го приближения к неизвестному  xi  при i >1 используют уже найденные (n+1)-е приближения к

35

неизвестным  x1, x2, ..., xi - 1, а не n-ое приближение, как в методе Якоби. Расчетная формула метода в покоординатной форме записи выглядит так:

,  i = 1, 2, ... , m.

Условия сходимости и критерий окончания итераций можно взять такими же, как в методе Якоби.

5. Численное интегрирование и дифференцирование

5.1. Постановка задачи численного интегрирования

При решении задач научного и инженерно-технического характера математическими методами часто возникает необходимость проинтегрировать какую-либо функцию. Есть функции, которые невозможно интегрировать аналитически, т.е. только в некоторых случаях по заданной функции можно найти первообразную. Общим способом интегрирования любых функций является численное интегрирование, методы которого в большинстве своем просты и легко переводятся на алгоритмические языки.

Геометрически интеграл функции  f(x)  в пределах от a до b представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, осью x и прямыми x = a и x = b.

Численные методы интегрирования используют замену площади криволинейной трапеции на конечную сумму площадей более простых геометрических фигур, которые могут быть вычислены точно. В этом смысле говорят об использовании квадратурных формул (по аналогии с задачей о квадратуре круга – построение квадрата с площадью, равной площади круга с определенным радиусом).

В большинстве методов используется приближенное представление интеграла в виде конечной суммы (квадратурная формула):

где ci – постоянные, называемые весами, а  xi – принадлежат интервалу [a,b] и называются узлами.

В основе квадратурных формул лежит идея аппроксимации на отрезке интегрирования графика подынтегрального выражения функциями более простого вида, которые легко могут быть проинтегрированы аналитически и, таким образом, легко вычислены. Наиболее просто задача построения квадратурных формул реализуется для полиномиальных математических моделей.

Многочлен (полином) порядка n имеет вид

36

и определяется значениями (n+1)  констант ai . Если известно значение функции в (n+1) точках   i = 0, 1, …, n, то данные параметры легко определяются из системы (n+1) линейных уравнений  с (n+1) переменными ai

Если все xi различны, то данная система уравнений имеет единственное решение, так как определитель системы, составленный из коэффициентов системы линейных уравнений (так называемый определитель Вандермонда) будет отличен от нуля

Определив коэффициенты интерполяционного многочлена, можно легко вычислить приближенное значение интеграла, заменив подынтегральную функцию на  полученный многочлен

Узлы интерполирования на отрезке интегрирования могут быть расположены на равном удалении друг от друга (эквидистантные узлы). В этом случае для полинома степени n имеем следующее

,   ,   ,   ,где h – шаг, xi – узлы интерполирования.

При n = 0 получаем  метод прямоугольников. График функции f(x)  на отрезке интегрирования  заменяется на горизонтальную линию (полином степени 0).

5.2. Метод прямоугольников

Пусть функцию (рис. 5.1) необходимо проинтегрировать численным методом на отрезке [a, b]. Разделим отрезок на N равных интервалов (на рисунке N = 4).

37

Рис. 5.1. Геометрический смысл определенного интеграла

Площадь каждой из 4-х криволинейных трапеций можно заменить на площадь прямоугольника. Ширина всех прямоугольников одинакова и равна 

В качестве выбора высоты прямоугольников можно предложить выбрать значение функции на левой границе (метод левых прямоугольников). В этом случае высота первого прямоугольника составит f(a), второго – f(x1),  третьего – f(x2), последнего – f(x3). Приближенное значение интеграла получается суммированием площадей прямоугольников:

Если в качестве выбора высоты прямоугольников взять значение функции на правой границе (метод правых прямоугольников), то в этом случае высота первого прямоугольника составит f(x1), второго – f(x2),  третьего – f(x3), последнего – f(b):

Как видно, в этом  случае, одна из формул дает приближение к интегралу с избытком, а вторая c недостатком. Можно предложить еще один способ, очевидно лучший, чем обе эти формулы – использовать для аппроксимации значение функции в середине отрезка интегрирования (метод центральных или средних прямоугольников):

В общем виде, если отрезок [a, b]  разбить на N равных интервалов интегрирования и к каждому интервалу применить формулу прямоугольников, то

38

получим:

5.3. Метод трапеций

Использование для интерполяции полинома первой степени (прямая линия, проведенная через две точки) приводит к формуле трапеций. В качестве узлов интерполирования берутся концы отрезка интегрирования. Таким образом, криволинейная трапеция заменяется на обычную трапецию, площадь которой может быть найдена как произведение полусуммы оснований на высоту.

В случае N отрезков интегрирования для всех узлов, за исключением крайних точек отрезка, значение функции войдет в общую сумму дважды (так как соседние трапеции имеют одну общую сторону):

Интересно, что формула трапеций может быть получена, если взять половину суммы формул прямоугольников по правому и левому краям отрезка:

Проиллюстрируем использование формулы трапеций на примере рис. 1:

Величину I можно представить как сумму площадей трапеций (в данном случае четырех):

5.4. Метод Симпсона

39

Использование трех точек для интерполирования подынтегрального выражения позволяет использовать параболическую функцию (полином второй степени). Это приводит к  формуле Симпсона приближенного вычисления интеграла.

Рассмотрим произвольный интеграл

Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо [a,b] стали [-1,1], для этого введем переменную z:

.

Тогда    и 

Рассмотрим задачу интерполирования полиномом второй степени (параболой) подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки: z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2).  Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции как

                Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома

, проходящего через три точки  ,  и примет вид

     или  

Коэффициенты легко могут быть получены

40

Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена

Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что

   соответствует  

   соответствует  

   соответствует  Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:

,   и  

При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит

Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго – a+2h, a+3h, a+4h, третьего –  a+4h, a+5h, a+6h  и т.д.  Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:

В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом

, что эквивалентно

,

41

так как  .Погрешность этого приближенного метода уменьшается пропорционально

длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз: δ  ~ h 

4.

5.5. Правило Рунге

Как правило, чем меньше длина каждого интервала, т.е. чем больше число этих интервалов, тем меньше различаются приближенное и точное значение интеграла. Это справедливо для большинства функций. В методе трапеций ошибка вычисления интеграла (δ) приблизительно пропорциональна квадрату шага интегрирования h 2 : δ ~ h 2 .

Таким образом, для вычисления интеграла некоторой функции в пределах a, b необходимо разделить отрезок [a, b] на n0 интервалов и найти сумму площадей трапеций. Затем нужно увеличить число интервалов (n1), опять вычислить сумму трапеций и сравнить полученное значение с предыдущим результатом. Это следует повторять до тех пор (ni), пока не будет достигнута заданная точность результата (критерия сходимости).

Для методов прямоугольников и трапеций обычно на каждом шаге итерации число интервалов увеличивается в 2 раза, т.е. ni+1 = 2 ni. Алгоритм процедуры интегрирования можно записать следующим образом:

интеграл (I) рассчитывается по формуле

,   где        ,а критерий сходимости

Главное преимущество правила трапеций – его простота. Однако если при вычислении интеграла требуется высокая точность, применение этого метода может потребовать слишком большого количества итераций или машинного времени.

5.6. Численное дифференцированиеАппроксимация производных. Производной функции называется

предел отношения приращения функции y к приращению аргумента x при стремлении x к нулю:

(5.1)

Обычно для вычисления производных используют готовые формулы (таблицу производных) и к выражению (1.1) не прибегают. Однако в численных расчетах на компьютере использование этих формул не всегда удобно и возможно. В частности, функция может быть задана в виде таблицы значений. Значение шага

42

полагают равным некоторому конечному числу, и для вычисления значения производной поучают приближенное равенство

(5.2)Это соотношение называется аппроксимацией (приближением) производной с

помощью отношения конечных разностей (значения , в формуле (5.2) конечные в отличие от их бесконечно малых значений в (1.1)).

Рассмотрим аппроксимацию производной для функции , заданной в табличном виде: в узлах Пусть шаг – разность между соседними значениями аргумента – постоянный и равен h. Запишем выражения для производной в узле . В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:

(5.3)

с помощью левых разностей;

(5.4)

с помощью правых разностей;

(5.5)

с помощью центральных разностей.Можно найти также выражения для старших производных:

(5.6)

Таким образом, используя формулу (5.2), можно найти приближенные значения производных любого порядка. Однако при этом остается открытым вопрос о точности полученных значений.

6. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

6.1.Постановка задачи

Вспомним основные понятия дифференциальных уравнений [1–5]. Дифференциальные уравнения делят на два класса: обыкновенные, содержащие одну независимую переменную (очень часто это время) и производные по ней, и дифференциальные уравнения в частных производных, содержащие несколько независимых переменных и частные производные по ним. В данной главе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Чтобы решить обыкновенное дифференциальное уравнение, необходимо знать значение зависимой переменной и (или) её производных при некоторых значениях независимой переменной. Если эти дополнительные условия задаются при одном значении независимой переменной, то такая задача называется задачей с

43

начальными условиями, или задачей Коши. Например, дано дифференциальное уравнение

(6.1)

и начальное условие. (6.2)

Необходимо найти функцию, удовлетворяющую как уравнению , так и начальному условию . Очень часто независимой переменной в является время, а условие представляет значение искомой функции в начальный момент времени. Например, движение материальной точки, падающей под действием силы тяжести (без учета сопротивления воздуха), описывается обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка

,

где — расстояние точки от начала отсчета, — ускорение силы тяжести.В начальный момент времени известны расстояния точки от начала отсчета

и начальная скорость точки .

Если дополнительные условия задаются при двух или более значениях независимой переменной, то задача называется краевой. Обычно условия задаются в двух точках — краях отрезка и задача называется двухточечной. В краевой задаче дополнительные условия называются граничными условиями. Например, стационарное распределение температуры в тонком стержне длины описывается уравнением

,

,где — температура стержня, — коэффициент теплопроводности, – коэффициент теплообмена, — плотность внутренних источников тепла, – температура окружающей среды. На концах стержня задаются граничные условия первого рода , . На границах стержня возможны также граничные

условия второго рода (условия Неймана) и условия третьего рода

.

8.2. Одношаговые методы решения задачи Коши

6.2.1. Метод Эйлера

44

В одношаговых методах решение в новой точке получается из одного решения в предыдущей точке. Одношаговые методы предназначены для решения дифференциальных уравнений вида

, (6.3)

где , — начальное условие.

Интервал , на котором ищется решение, разобьём на ряд отрезков узлами с постоянным шагом . Представим точное решение задачи в точке в виде

ряда Тейлора с центром в точке

, (6.4)

где точное решение в точке .По правилу дифференцирования функций многих переменных, получаем

Отбросив в остаточный член, получим ( означает )

(6.5)

По формуле можно, последовательно исходя из , вычислить и т. д. Например, ограничиваясь производными первого порядка, получаем одношаговый метод

45

Однако вычисление производных от может представлять весьма сложную задачу. Метод, основанный на применении ряда Тейлора, малоприменим, т. к. требует вычисления большого числа частных производных. Практически берут

, тогда получается формула метода Эйлера (Euler).. (6.6)

Мы обозначили через и точные значения решения и функции правой части в точке , а через и — значения, полученные по методу Эйлера.

Погрешность аппроксимации (равна величине отброшенного остаточного члена) для метода Эйлера имеет порядок . Это так называемая локальная

ошибка. За шагов образуется глобальная ошибка порядка [3, 7] и именно она определяет ошибку решения уравнения. То есть метод Эйлера является методом первого порядка.

Из геометрической интерпретации метода Эйлера (рис. 6.1) видно, что при нахождении используется — тангенс угла наклона касательной к кривой решения в точке . Очевидно, что угол наклона будет определен приближенно, и возникает ошибка (на рис. 8.1 ). Кривая решения заменяется ломаной линией — ломаной Эйлера.

Рис. 6.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Известно несколько модификаций метода Эйлера, в которых точнее определяется тангенс угла наклона касательной. Например, в методе Эйлера-Коши с итерациями на каждом шаге вычисляется начальное значение (как в обычном методе Эйлера)

,затем решение уточняется с помощью итерационной формулы

,

46

0y

0x 1x 2x

y y x 0 0 0y y y x x x

h 1y x 1y

y

x

где — номер итерации.Итерации проводят до тех пор, пока не выполнится условие

где — заданное значение.Обычно достаточно проделать 3–4 итерации. Погрешность метода имеет

порядок .

6.2.2. Методы Рунге-Кутты

Среди одношаговых методов наибольшее распространение получили методы Рунге-Кутты (Runge-Kutta). Методы строятся по общей формуле

. (6.7)Функция должна приближать отрезок ряда Тейлора (6.4) с точностью

, но не содержать трудновычислимых производных функции .Метод Рунге-Кутты первого порядка ( ) – это метод Эйлера, т. к.

используются только значения . Выведем формулы для метода Рунге-Кутты второго порядка ( ).

Представим функцию в виде , (6.8)

где  — константы, которые необходимо определить из сравнения с рядом Тейлора.

В (6.8) вычисляется как взвешенное среднее значение , вычисленное в двух точках. Для определения разложим второе слагаемое в (6.8) в ряд Тейлора с центром в точке до членов порядка , тогда

(6.9)

Подставляя (6.9) в (6.7), получим

. (6.10)

Соответствующий отрезок ряда Тейлора (6.5) имеет вид

. (6.11)

Сравнивая (6.10) и (6.11), получаем систему из трех уравнений

47

(6.12)

Из трех уравнений (6.12) необходимо найти четыре параметра. Удобные расчетные формулы получаются, если принять

Тогда (6.7) запишется в виде

(6.13)

Метод Рунге-Кутты второго порядка имеет погрешность порядка . Метод называют двухэтапным, т. к. метод требует двух вычислений функции правой части.

В общем виде s-стадийный (s-этапный) явный метод Рунге-Кутты строится по следующей формуле [6]

, (6.14)где

(6.15)

Обычно .

Наибольшее распространение среди методов Рунге-Кутты получил

48

четырехэтапный метод четвертого порядка точности, имеющий погрешность аппроксимации

(6.16)

Метод Рунге-Кутты четвертого порядка весьма прост, довольно эффективен, когда отрезок интегрирования не очень велик и нужна сравнительно невысокая точность.

6.2.3. Решение систем дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений n-го порядка

Одношаговые методы можно применять для решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Система уравнений записывается в виде

(6.17)

где — номер каждой зависимой переменной ; — независимая переменная.

Начальные условия имеют вид . (6.18)

К системе вида (6.17) может быть сведено дифференциальное уравнение

49

высшего порядка

с начальными условиями .

Применим цепочку преобразований

Начальные условия примут вид

Таким образом, уравнение n-порядка свелось к системе из уравнений первого порядка. Неизвестными являются .

Пример.Уравнение с начальными условиями , ,

сводится к системе уравнений

с начальными условиями .При решении одношаговыми методами систем дифференциальных уравнений

вида (6.17) для каждого -го значения независимой переменной независимо друг от друга вычисляются все значения зависимых переменных . Обозначим

через значение зависимой переменной , вычисленное при значении независимой переменной.

Метод Эйлера для решения системы вида (6.17) имеет вид

50

. (6.19)Покоординатная запись выражения (6.19) имеет вид

При решении системы дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты используются те же формулы (6.16), что и для одного уравнения, но скаляры заменяются на векторы , функция – на вектор-функцию и т. д.

8.2.4. Оценка погрешности одношаговых методов. Адаптивный выбор шага

Абсолютная погрешность одношаговых методов по сравнению с неизвестным точным решением может быть оценена по правилу Рунге [2]

, (6.20)

где — решение уравнения с шагом ; — решение с шагом ; — порядок

метода (для метода Эйлера , для метода Рунге-Кутты ), — номера

узлов, совпадающих в расчетах с шагом и (при использовании шага берутся

нечетные узлы).Правило Рунге используется для адаптивного выбора шага интегрирования.

На каждом шаге интегрирования при переходе от к вычисления производят

51

дважды: с шагом и (рис. 6.2). Соответственно получаются два значения и

, соответствующие .

Рис. 6.2. Вычисления при оценке погрешности по правилу Рунге

Если , вычисленная по , больше заданной величины , то шаг уменьшается вдвое и процедура повторяется. Если значительно меньше , то шаг увеличивается вдвое и процедура повторяется. Если соизмерима с , то шаг не изменяется.

Если решается система уравнений, то оценка по правилу Рунге имеет вид

,

где — кубическая норма разности векторов решений, полученных с шагом и

(при использовании шага берутся нечетные узлы).

Заключение

Конечные формулы, описывающие тот или иной численный метод, зачастую выглядят странно, не вызывая ощущения их связности с исходной задачей. У непосвященного человека они могут вызвать недоумение, непонимание и реакцию «Зачем решать задачу так сложно? Я сделаю по-своему, намного проще и очевиднее». И решение несложной задачи, например, взятие определенного интеграла, которое надлежащим выбором метода вычислений делается за доли секунды, растягивается на часы из-за метода левых прямоугольников. Если Вы ощутили на практике магию конечного результата и простоту построений методов вычислений, подобных ошибок у Вас не будет ни при самостоятельной реализации численных методов, ни при использовании готовых решений в виде математических пакетов. В этом случае цель настоящего пособия достигнута.

52

x1ix ixh

2h

iy

**y

*y

y

Литература

1. Калиткин, Н.Н. Численные методы: учеб. пособие для вузов / Н.Н. Калиткин. – СПб.: БХВ-Петербург, 2011. – 508 с.

2. Денисова, Э.В. Основы вычислительной математики: учеб.-метод. пособие / Э.В. Денисова, А.В. Кучер. – СПб.: НИУ ИТМО, 2010. – 164 с.

3. Бахвалов, Н.С. Численные методы. Решение задач и упражнения: учеб. пособие / Н.С. Бахвалов, А.А. Корнеев, Е.В. Чиженков. – М.: Дрофа, 2009. – 393 с.

4. Вержбицкий, В. М. Вычислительная линейная алгебра / В. М. Вержбицкий. – М.: Высш. шк., 2009. – 351 с.

5. Гладких, О.Б. Введение в численные методы: учеб.-метод. пособие / О.Б. Гладких, О.Н. Прокуратова. – Елец: Изд. ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008. – 140 с.

6. Амосов, А. А. Вычислительные методы / А. А. Амосов, Ю. А. Дубинский, Н. В. Копченова. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: Издат. дом МЭИ, 2008. – 672 с.

7. Чивилихин, С.А. Вычислительные методы в технологиях программирования. Элементы теории и практикум / С.А. Чивилихин. – СПб.: СПбГУИТМО, 2008. – 108 с.

8. Волков, Е.А. Численные методы / Е.А. Волков. – СПб.: Лань,2008. – 256 с.9. Вержбицкий, В. М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные

уравнения) / В. М. Вержбицкий. – М.: "ОНИКС 21 век", 2005. – 432 с. 10. Формалев, В. Ф. Численные методы / В. Ф. Формалев, Д. Л. Ревизников.

– М.: Физматлит, 2004. – 400 с.

Интернет-ресурсы

1. Образовательный математический сайт. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www. exponenta .ru/

2. Сайт Константина Полякова. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://kpolyakov.spb.ru/index.htm

53