MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios Departamento de Matemáticas Universidad de Sonora
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MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
Un punto indica posición. No tiene largo ni ancho pues debe ser pequeño.
Cuando un punto se mueve, su recorrido se transforma en una línea. La línea tiene largo pero no ancho. Tiene posición, dirección y sentido. Puede ser recta o curva.
Los ángulos miden la cantidad de giro. Está formado por dos semirrectas que comparten un mismo vértice.
La unión de diferentes líneas formando distintos ángulos se convierte en un plano. El plano tiene largo y ancho pero no espesor. Puede estar formado por líneas paralelas o perpendiculares o por líneas curvas.
El recorrido de un plano en movimiento se convierte en un volumen. Puede ser simétrico o asimétrico.
Punto Línea
Área Volumen
Si tenemos una figura bien definida, aún cuando la rotemos, seguiremos reconociéndola
Podemos construir formas y figuras, pero también las encontramos en la naturaleza.
Algunas se forman por repetición de patrones, disponiéndolas de diferentes maneras.
En algunas hay simetría mientras que en otras no la hay.
Algunas veces siguen una estructura, ya sea visible o invisible.
Si tienen anomalías, ésta puede ser funcional.
De unas formas, podemos construir otras.
Enviar un correo electrónico a [email protected]
con los siguientes datos personales: - Nota: Horario o grupo. - Nombre completo, - Correo electrónico (el que más revises), - Teléfono celular.
Formar equipos de 4 personas Cada equipo hará una presentación de 5min de fotografías, figuras o imágenes describiendo sus características geométricas, su periodicidad, su homogeneidad, su simetría, ubicación del punto focal, etc. La presentación debe incluir el nombre de cada integrante.
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
1 1 1 1, , , , .2 3 4 5 etc
El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométrica. El perímetro es la medida del contorno de una superficie. Un ángulo recto es aquel que mide 90°. La hipotenusa es el lado opuesto del ángulo recto en un triángulo.
La apotema es la línea perpendicular trazada desde el centro de un polígono regular a cualquiera de sus lados.
En general para una figura regular tenemos que 𝑃 = 𝑛𝑛
Cuadrado.
Rectángulo.
Triángulo.
Círculo.
Elipse.
Rombo.
Paralelogramo.
Trapecio.
Pentágono regular.
En general, esta fórmula se cumple para cualquier polígono regular.
Un edificio de oficinas que tiene una altura de 15m y su frente mide 6m, se quiere cubrir con ventanales cuadrados que miden 3m de lado. a. ¿Cuántos ventanales se requieren para cubrir toda la
fachada? b. Si en lugar de cubrir toda la fachada, se pretende
cubrir un triángulo, con ventanales de diferentes tamaños ¿Cuál sería el área a cubrir?
c. Si hacemos un tercer diseño donde cubrimos con ventanales, sólo un círculo al centro ¿Cuál sería el área sin ventanales?
𝐴 =𝑏 ∗ ℎ
2
𝐴𝑒 = 𝑏 ∗ ℎ 𝐴𝑐 = 𝑛2
𝑁𝑉 =𝐴𝑒𝐴𝑐
2Circ
SC E Circ
A rA A A
π== −
• El area de un circulo es 420, calcular el diametro
• Calcular la apotema de un octagono que tiene 6 cm de lado y un area de 180
• Calcular el lado de un trianhgulo que tiene 14m de hipotenusa y 7m de lado.
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Cuadrado.
Un cuadrado está formado por 2 triángulos rectángulos isósceles
Rectángulo.
Un rectángulo está formado por 2 triángulos rectángulos escalenos
Trapecio.
Un trapecio está formado por un rectángulo o cuadrado y 2 triángulos rectángulos escalenos.
Rombo.
Un rombo está formado por 2 triángulos isósceles.
Pentágono.
Un pentágono está formado por 5 triángulos isósceles.
En general, un polígono regular de N lados está formado por N triángulos ídénticos.
MC Beatriz Gpe. Zaragoza Palacios Departamento de Matemáticas
Universidad de Sonora
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
1
´
´ ´
´ ´
´ ´
0
1
´n n
d cu cudxd u v u vdxd uv uv vudxd u vu uvdx v vd cdxd xdxd u nu udx
−
=
± = ±
= +
− =
=
=
=
• Derivar las siguientes funciones: [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
1
´
´ ´
´ ´
´ ´
0
1
´n n
d cu cudxd u v u vdxd uv uv vudxd u vu uvdx v vd cdxd xdxd u nu udx
−
=
± = ±
= +
− =
=
=
=
4( ) 3f x x=
2 4( ) 8f x x x= + −
3( )f xx
=
3
1( )f xx
=
En un piso de oficinas se quiere que la oficina del jefe sea rectangular con un área máxima. Si solamente tenemos 12m de tablaroca ¿Cuáles son las dimensiones de la oficina? Para el rectángulo sabemos que:
Sustituyendo en la fórmula del área:
2 2A xyP x y== + 12P m= 12 2 2
66
x yx yx y
= += +− =
2(6 ) 6A xy x x x x= = − = −
Derivando respecto a x e igualando a cero encontraremos el área máxima:
2(6 ) 6A xy x x x x= = − = −
2 2(6 ) 6 6 2dA d d dx x x x xdx dx dx dx
= − = − = −
0 6 2x= − 6 2x= 3x =Sustituyendo en la fórmula del perímetro obtenemos:
12 2 26 6 33
x yy xy
= += − = −=
En un piso de oficinas se quiere que la oficina del jefe sea rectangular con un área máxima. Si solamente tenemos 12m de tablaroca ¿Cuáles son las dimensiones de la oficina? Pero el ancho máximo que puede tener es 2m
2 2A xyP x y== + 12P m= 12 2 2
66
x yx yx y
= += +− =
2(6 ) 6A xy x x x x= = − = −
Representación. La forma es representativa cuando ha sido derivada de la naturaleza, o del mundo hecho por el ser humano. La representación puede ser realista, estilizada o semi-abstracta.
Significado. El significado se hace presente cuando el diseño transporta un mensaje.
Función. La función se hace presente cuando un diseño debe servir un determinado propósito.
Si no existe un marco real, los bordes de un cartel, o las páginas de una revista o las diversas superficies de un paquete se convierten en referencias al marco para los diseños respectivos.
Si no existe un marco real, los bordes de un cartel, o las páginas de una revista o las diversas superficies de un paquete se convierten en referencias al marco para los diseños respectivos.
El plano de la imagen es en realidad la superficie plana del papel (o de otro material) en el que el diseño ha sido creado.
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • Formas como punto, como línea, como plano. • Formas positivas y negativas. • La forma y su distribución de color • Interrelación de formas • Estructura visible • Estructura invisible • Estructura de repetición
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • Forma como punto, como línea, como plano.
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • Formas positivas y negativas.
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • La forma y la distribución de color.
Forma blanca sobre fondo blanco Forma blanca sobre fondo negro Forma negra sobre fondo blanco Forma negra sobre fondo negro
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • Interrelación de formas
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • Estructura invisible. Las líneas estructurales no
forman parte indispensable en la composición, por lo que desaparecen, aunque sigue prevaleciendo un orden determinado.
La manera en que una forma es creada u organizada junto a otras formas, está gobernada por lo que denominamos “estructura”. • Estructura visible. Las líneas estructurales forman
parte elemental del diseño y pueden tener un ancho delgado o prominente.
• Estructura de repetición.
• Anomalía
• Gradación
• Radiación
2
2 2 2
2
4
A bapaA
P a b cP lA rP nla b c
π
=
=
= + +=
==
+ =
( )
2
2 2
22
2
2
P b aA l
DdA
P rb B h
A
baA
π
= +
=
=
=
+=
=
Encontrar el perímetro y el área del cuadrado y el rectángulo con los siguientes datos: a = x + 1 b = 3x - 5 l = x +5
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
Ahora hacer el cálculo si 𝑥 = 6.
Encontrar el perímetro y el área del cuadrado y el rectángulo con los siguientes datos: a = 7 b = 13 l = 11
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
Si el lado de un rectángulo mide la mitad que el lado más grande. ¿Cuál es su perímetro?
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
La base de un rectángulo mide 8𝑚 menos que su altura. Calcula las dimensiones si su perímetro es de 40𝑚. Calcular su área.
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
Un terreno mide 30𝑚 de frente y 360𝑚2 de área. Se quiere dejar un patio al frente del tercio de su tamaño ¿Cuál es el área restante para construir la casa?
Pero ahora queremos una alberca cuadrada que mida 1/5 del área del patio, ¿Cuánto medirá de cada lado?
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
Supongamos que tenemos un círculo de radio 𝑟 = 35 y dentro ponemos un cuadrado. ¿Cuál es el área máxima que podemos encontrar?
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
2A l=
( )( )
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
70 2490 2,450
2
c a b a l
r l
l
l
= + = =
=
=
= =
2 2, 450A l= =
Continuando con el mismo problema, ahora dividimos el cuadrado en 4 triángulos. ¿Cuál es el perímetro de cada triángulo?
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
35 35 49.52 2
84
P a b c
P
P
= + +
= + +
=
( )
2
2
2 2 2
2
2
2
2
paA
A lDdA
baA
A rb B a
A
A baa b c
π
=
=
=
=
=
+=
=
+ =
2 2
2 2
2
(2 ) 3.14
1.141,396.5
f cuad circ
f
f
f
f
A A A
A l r
A r r
A rA
π
= −
= −
= −
=
=
Finalmente dibujamos un cuadrado al exterior del círculo. Calculemos el área que queda por fuera del círculo
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