Dépannage du 20 février 2007
Dépannage du20 février 2007
Intra H04 no 4
On définit la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X comme suit :
a) Déterminer la valeur de K. b) Déterminer la fonction de répartition F(x). c) Calculer E(X), l'écart type de X et le fractile d'ordre 0,90
de X.
ailleurs0
4ou x 3 xsix)-k(5
2ou x 1 xsi kx
0 xsi0,1
f(x)
a) Déterminer la valeur de K.
Si x = 0 alors f(x) = 0,1 Si x = 1 alors f(x) = k*x = k Si x = 2 alors f(x) = k*x = 2k Si x = 3 alors f(x) = k(5-x) = 2k Si x = 4 alors f(x) = k (5-x) = k Si x > 4 alors f(x) = 0
Retour sur la théorie
Conditions pour l’existence d’une fonction de probabilité discrète:
1.
2.
0 f(x)
1 f(x)
Selon la condition 2, en les additionnant tous, on obtiens 1:
0,1 + k + 2k + 2k + k = 1
En isolant, on obtient k = 0,15.
La fonction de probabilité sera alors:
ailleurs0
4 xsi0,15
3 xsi0,30
2 xsi 0,30
1 xsi 0,15
0 xsi0,1
f(x)
b) Déterminer la fonction de répartition F(x).Par définition, la fonction de répartition est:
Faisons un tableau:
x)P(X F(x)
x f(x) F(x)
0 0,10 0,10
1 0,15 0,25
2 0,30 0,55
3 0,30 0,85
4 0,15 1,00
5 0,00 1,00
La fonction de répartition F(x) est donc:
5 xsi1,00
4 xsi0,15
3 xsi0,85
2 xsi 0,55
1 xsi 0,25
0 xsi0,10
F(x)
c) Calculer E(X), l'écart type de X et le fractile d'ordre 0,90 de X.
E(x)
La moyenne est 2,25.
25,2
0,15*40,30*30,30*20,15*10,1*0
f(x)*
x
Pour trouver l’écart type, nous devons passer par le calcul de la variance:
Il y a deux formules pour calculer la variance:
et
Nous utiliserons la deuxième formule.
²)(²)(V(x) xExE
)(*)-(xV(x) 2 xf
²)(²)(V(x) xExE Calculons d’abord E(x²):
Alors,
La variance est 1,3875
45,6
0,15*4²0,30*3²0,30*2²0,15*1²0,1*0²
f(x)*²
x
3875,1
²25,245,6
²)(²)(V(x)
xExE
Trouvons maintenant le fractile d’ordre 0,9: Note: La méthode pour trouver un fractile
est basée sur la même logique que pour les centiles, les quartiles et les percentiles.
x f(x) F(x)
0 0,10 0,10
1 0,15 0,25
2 0,30 0,55
3 0,30 0,85
4 0,15 1,00
5 0,00 1,00
Nous cherchons x de sorte que
Le fractile d’ordre 0,9 est 4.
9,0)( xXP
Intra A03 no 4
Trois coiffeurs travaillent dans un salon de coiffure pour hommes. On estime à :
Le 1/15 du temps, le salon est vide Les 2/15 du temps, il n’y a qu’un client Les 3/15 du temps, il y a 2 clients Les 4/15 du temps, il y a 3 clients Les 5/15 du temps, il y a 4 clients ou plus.
Chaque client rapporte un revenu de 10 $ pour sa coiffure. Soit X la variable aléatoire désignant le nombre de clients
présents au salon.
a) Déterminer la distribution de probabilité de X.
x 0 1 2 3 4 et +
f(x) 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15
Note: Il est possible de s’assurer que la distribution de probabilité est valide en vérifiant si la somme de toutes les probabilités est égale à 1.
b) Déterminer sa fonction de répartition.
x 0 1 2 3 4 et +
F(x) 1/15 3/15 6/15 10/15 15/15
c) Calculer la probabilité que :
c1) au moins 3 coiffeurs soient en train de travailler:
c2) au moins l’un des coiffeurs du salon soit en train de travailler.
15
9
15
61)2(1)3( xPxP
15
14
15
11)0(1)1( xPxP
d) Sachant que le propriétaire du salon encourt des frais fixes hebdomadaires de 1000 $, quelle est la probabilité qu’il fasse des profits si la fonction de profits est exprimée par la relation suivante : P = 1200 $ X – 1000 $?
Observons le tableau suivant:
x 0 1 2 3 4 et +
Profit -1000 200 1400 2600 3800
f(x) 1/15 2/15 3/15 4/15 5/15
On cherche donc :
15
14
15
11)0(1)1()0(Pr xPxPofitP
e) Quel est le profit espéré du salon de coiffure?
$220015
5*3800
15
4*2600
15
3*1400
15
2*200
15
1*-1000
f(x)*
p
E(profit):
Intra A04 no 3 (suite) b) Soit X une variable aléatoire discrète
définie par la fonction de masse de probabilité suivante, où certaines probabilités sont inconnues :
b1) Calculer la probabilité de P(2 X 4). b2) Calculer E(X) et Var(X).
x 1 2 3 4 5 6
P(X=x)
Commençons d’abord par déterminer la valeur de Nous savons que:
Alors,
En isolant, on obtient = 0,1. On obtient donc le tableau suivant:
1 f(x) 182,0)( xf
x 1 2 3 4 5 6
P(X=x) 0,4
b1) Calculer la probabilité de P(2 X 4).
7,0
1,02,04,0
)4()3()2()42(
XPXPXPXP
b2) Calculer E(X) et Var(X).
E(x)
E(x²)
V(x)
3
0,1*60,1*50,1*40,2*30,4*20,1*1
f(x)*
x
2,2
²32,11
²)(²)(
xExE
2,11
0,1*6²0,1*5²0,1*4²0,2*3²0,4*²20,1*1²
f(x)*²
x
QUESTION 4 (intra #3)
La demande journalière Q d’un produit obéit à la loi de probabilité suivante :
Quantité Q 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 0,05 0,15 0,25 0,30 0,15 0,05 0,05
Les demandes journalières successives sont supposées indépendantes.
a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q.
b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine.
c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance.
Note (1) : Une rupture de stock survient lorsque la demande excède la quantité en main d’un article donné.
a) Calculer l’espérance et l’écart type de Q. E(X) = (0 x 0,05) + (1 x 0,15) + (2 x 0,25 ) + (3 x 0,30) +
(4 x 0,15) + (5 x 0,05) + (6 x 0,05)= E(X) = 2,70 Calculons maintenant la variance pour par la suite
trouver l’écart type. Var (X) = E(X2) – (E(X))2 = 9,30 – (2,70)2 = 2,01 E(X2) = (02 x 0,05) + (12 x 0,15) + (4 x 0,25 ) + (9 x 0,30)
+ (16 x 0,15) + (25 x 0,05) + (36 x 0,05)= E(X2) = 9,30 L’écart type est donc la racine de la variance donc la
racine de 2,01 = 1,4177 b) En supposant que le stock est toujours de 5 unités en
début de journée, calculer la probabilité que, sur une semaine de 6 jours, on n’ait une rupture de stock1 que le dernier jour de la semaine.
0,955 x 0,05 = 0,0387
c) Le prix de vente d’un article est de 400 $, tout invendu entraîne une perte de 100 $. De plus, le coût d’une rupture de stock est de 40 $. En supposant un stock journalier de 5 unités, donner les différentes valeurs possibles du bénéfice et calculer son espérance.
Pour obtenir ces valeurs, on sais que chaque jour 5 unités de l’article sont en stock, si la demande pour une journée particulière est nulle alors 100$ par unité stockée en trop sont perdu d’où une perte de 500 $.
Si pour une journée particulière on a une demande d’une unité et bien on fait un profit de 400$ pour cette unité vendue mais une perte de 100$ pour chacun des 4 unités non vendues d’où le profit est nul. Et ainsi de suite.
E(Profit) = (-500 x 0,05) + (0 x 0,15) + (500 x 0,25) + (1000 x 0,3) + (1500 x 0,15) + (2000 x 0,05) + ( 1960 x 0,05) = 823 $