UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA “JOSÉ SIMEÓN CAÑAS” GENERALIDADES DEL COMPORTAMIENTO DE CASCARONES Y PLACAS, Y FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA PARA OPTAR AL GRADO DE INGENIERO CIVIL POR: SONIA CAROLINA CALDERÓN CASTILLO ERNESTO BALTASAR MONTES SORIANO OCTUBRE 2009 ANTIGUO CUSCATLÁN, EL SALVADOR, C.A.
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UNIVERSIDAD CENTROAMERICANA
“JOSÉ SIMEÓN CAÑAS”
GENERALIDADES DEL COMPORTAMIENTO DE
CASCARONES Y PLACAS, Y FUNDAMENTOS DEL
ANÁLISIS ESTRUCTURAL DE PLACAS
TRABAJO DE GRADUACIÓN PREPARADO PARA LA
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
PARA OPTAR AL GRADO DE
INGENIERO CIVIL
POR:
SONIA CAROLINA CALDERÓN CASTILLO
ERNESTO BALTASAR MONTES SORIANO
OCTUBRE 2009
ANTIGUO CUSCATLÁN, EL SALVADOR, C.A.
RECTOR
JOSÉ MARÍA TOJEIRA, S.J.
SECRETARIO GENERAL
RENÉ ALBERTO ZELAYA
DECANO DE LA FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA
EMILIO JAVIER MORALES QUINTANILLA
COORDINADOR DE LA CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL
ROBERTO MAURICIO MERLOS LAÍNEZ
DIRECTOR DEL TRABAJO
JOSÉ CARLOS HASBUN HASBUN
LECTOR
EMILIO MARTÍN VENTURA DÍAZ
AGRADECIMIENTOS
Queremos agradecer antes de todo a Dios todopoderoso quien fue el que nos dio la
sabiduría e inteligencia necesaria para la culminar esta etapa de nuestras vidas, sin él nada
de lo que somos ahora sería posible.
A nuestro querido asesor el Dr. José Carlos Hasbún, quien más que un asesor ha sido un
compañero en este trabajo, ya que ha trabajado fervientemente a nuestro lado. Gracias por
exigirnos dar lo mejor de nosotros, no solo en este trabajo sino también a lo largo de toda la
carrera, formándonos para que el día de mañana seamos unos profesionales exitosos.
Agradecemos también a nuestro lector Ing. Emilio Ventura, cuyos aportes fueron
importantes y valiosos dentro del desarrollo de este documento.
Gracias a todos nuestros compañeros con quienes compartimos cada etapa de nuestra
carrera.
Sonia Calderón
Ernesto Montes
DEDICATORIA
Este logro lo dedico a Dios todo poderoso principalmente, pues sin él nada de esto hubiese
sido posible, él fue quien me dio la sabiduría necesaria para poder desarrollar no solo este
trabajo de graduación, sino que todo lo necesario para culminar esta etapa de mi vida. Su
mano me ha sostenido a lo largo de toda mi carrera, este triunfo es por él y para él.
A mis padres quienes fueron mi principal motivación, quienes me han apoyado en todo y
han luchado juntos por darme lo mejor. Gracias por su amor, su comprensión y sus
cuidados (sé que la mayoría de veces se desvelaron conmigo), este triunfo lo dedico a
ustedes, gracias por todo los amo mucho.
A mi hermanito (Rodrigo) quien tuvo paciencia para irme a traer siempre a la Universidad,
siempre a donde estuviese estudiando a la hora que fuese, gracias hermanito por tu apoyo,
amor y comprensión te amo mucho y este triunfo también lo dedico a ti.
A mi compañero de trabajo de graduación, Neto gracias por el apoyo brindado durante toda
la elaboración del documento… ¡lo logramos!
Al Dr. Ing. José Carlos Hasbun quien no solo durante la elaboración de este documento nos
brindó su apoyo incondicional, sino a lo largo de toda la carrera, gracias por cada consejo
expresado en clase, cada comentario, muchas gracias.
A todos los buenos compañeros y amigos que hice durante toda la carrera, su presencia
hizo más agradable cada noche de desvelo y a cada una de las personas quienes de forma
directa e indirecta me apoyaron durante toda mi carrera, gracias por todo.
A todos ellos agradezco y dedico este triunfo,
Sonia Calderón
DEDICATORIA En primer lugar agradecer a Dios por permitirme alcanzar este logro en mi vida. Agradecer
por la vida, la salud, el entendimiento y la voluntad para lograrlo.
A mis padres infinitas gracias por siempre brindarme amor, cariño, compresión, apoyo y
sobre todo una familia feliz que me ha permitido llegar hasta acá. Particularmente gracias a
mi mamá por siempre cuidarme y preocuparse de mí. A mi papá por sus orientación,
consejos y por darme un gran ejemplo de superación y lucha en la vida.
A Gaby, mi hermana, con quien he compartido tanto a lo largo de mi vida y que con su
compañía, cariño y amor ha hecho más fácil lograr esta meta.
A la mejor compañera de tesis que pude tener. Por su optimismo, dedicación y atenderme
siempre su hogar, lo que hizo que la culminación de este documento fuera posible y
agradable. A partir de este momento somos más que compañeros, ¡somos colegas!
A todos mis compañeros de lucha durante la carrera. Jamás olvidare las interminables
jornadas de estudio, tantas anécdotas para el recuerdo, ver salir el sol estudiando y los
buenos momentos que compartimos, ya que sin ustedes no hubiera sido posible este triunfo.
A mis amigos y amigas de toda la vida que de una u otra forma siempre han estado a mí
lado. Gracias por su cariño, apoyo y por todos los excelentes momentos que compartimos y
seguiremos compartiendo juntos.
Al Dr. Ing. José Carlos Hasbun, que desde el inicio confió en nosotros para salir adelante
con este trabajo de graduación. Sus ideas, comentarios y aportes a lo largo de la carrera y
de este trabajo nos han hecho crecer como personas y profesionales.
…. A toda la gente que estuvo alrededor… Gracias… Totales!!!
Ernesto Montes
i
RESUMEN EJECUTIVO
Capítulo 1: Dentro de este capítulo se presenta una introducción y se justifica la
elaboración de este documento, sobre la base de la existencia de una infinidad de
estructuras dentro del área de ingeniería cuyo comportamiento se explica a través del
análisis estructural de cáscaras y placas. Se presentan además los objetivos generales y
específicos que se pretenden cumplir con elaboración de este
documento, junto con sus limitaciones y alcances y una breve reseña histórica de la
implementación de estas estructuras dentro del análisis estructural.
Capítulo 2: Este capítulo tiene como objetivo principal realizar una descripción general de
los elementos cáscara y placa.
Las placas son elementos paralelepípedos cuya característica principal es que la dimensión
del espesor del elemento es mucho más pequeña en comparación a lo largo y ancho del
mismo. Comúnmente los elementos placa, aparecen dentro de componentes de obras civiles
y estructuras de ingeniería debido a los beneficios brindados tanto geométricamente como
funcionalmente. En condiciones generales un elemento placa sometido a cargas externas
experimenta fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos flectores y torsores. El
comportamiento de estos elementos se puede describir mediante dos maneras: de manera
aproximada, por medio de la división de una serie de vigas ortogonales entre sí y de manera
formal sobre la base del desarrollo de la Teoría de la Elasticidad Plana, cuya formulacion
depende en gran medida de su espesor. A partir del espesor las placas se pueden clasificar
como: placas delgadas con deformaciones pequeñas, placas delgadas con deformaciones
grandes y placas gruesas. Otro aspecto determinante dentro del análisis del comportamiento
de placas son las condiciones de apoyo a las que estará sujeto, un elemento placa puede
tener distintas condiciones de apoyo en cada uno de sus cuatro lados. Por lo general, la
Teoría de Placas es comúnmente aplicable al análisis de losas de concreto reforzado,
paredes de concreto y paredes de mampostería.
Las cáscaras son estructuras con superficies curva que al igual que la placa su espesor es
pequeño en comparación a las otras dimensiones que definen su superficie. Estos elementos
se definen por la geometría de su superficie medía, la cual se encuentra a la mitad de la
ii
distancia entre las superficies exteriores. Las cáscaras se pueden clasificar en base a la
geometría de su superficie media como: curvatura Gaussiana de la superficie y superficies
generadas, donde las superficies generadas se pueden sub-clasificar como superficies de
revolución y superficies de traslación. El comportamiento de un elemento cáscara está
relacionado directamente con la geometría que éste posee, a pesar que las acciones internas
que actúan en el son independientes de esta. Estas fuerzas internas pueden ser de tres tipos:
fuerzas de membrana, fuerzas transversales y momentos flectores y torsores.
Capítulo 3: El objetivo principal de este capítulo es desarrollar la formulación de la
ecuación diferencial que rige el comportamiento de un elemento placa. Para desarrollar esta
formulación es necesario realizar una serie de hipótesis las cuales involucran conceptos
fundamentales de la Teoría de la Elasticidad. Esta teoría tiene como objetivo principal el
estudio de los sólidos deformables cuyo comportamiento es elástico; a estos se le suponen
una serie de cualidades como los son isotropía, homogeneidad y continuidad. Existen dos
casos donde el sistema de fuerzas externas y la sujeción a la que está sometido un sólido
elástico hacen que los esfuerzos y deformaciones sean idénticos en planos paralelos, estos
estados permiten hacer un análisis en un espacio bidimensional por lo que son llamados
Estados de Elasticidad Plana y son: Estado de Deformación Plana y Estado de Esfuerzo
Plano.
Para llevar a cabo la formulación de los elementos placa se realizan una serie de hipótesis,
una de ellas es el considerar que los elementos placa actúan en un estado de esfuerzo plano.
Partiendo de estas hipótesis y haciendo uso de las condiciones de equilibrio, relaciones
cinemáticas y relaciones constitutivas se obtiene la ecuación diferencial que rige el
comportamiento de una placa.
Capítulo 4: Este capítulo aborda de forma generalizada algunos de los métodos numéricos
y aproximados que se pueden utilizar para resolver la ecuación diferencial que rige el
comportamiento de una placa. El objetivo principal de los métodos aproximados es el
encontrar las acciones de diseño de una forma sencilla, sobre la base de una carga máxima
que la estructura será capaz de soportar. El Método de los Coeficientes y el Método de las
Franjas son dos métodos aproximados que se abordan dentro de este capítulo. El Método de
los Coeficientes emplea tablas de coeficientes que abarcan nueve distintas condiciones de
iii
apoyo en cada uno de los cuatro extremos de la placa, basándose en análisis elásticos y
teniendo en cuenta posibilidades de redistribuciones inelásticas de esfuerzos. El Método de
las Franjas aplicado generalmente a losas de concreto reforzado, distribuye la carga a la que
es sometido el elemento de forma segura y conveniente, con el objeto de tener una
distribución de refuerzo económica. Finalmente se presenta un ejemplo ilustrativo de una
losa empotrada en sus cuatro extremos la cual se resuelve por el Método de los Coeficientes
y el Método de las Franjas.
Conclusiones: Dentro de este apartado se incluyen las conclusiones que corresponden a
este trabajo de graduación.
Recomendaciones: Dentro de este apartado se incluyen las recomendaciones realizadas a
este trabajo de graduación.
iv
ÍNDICE
RESUMEN EJECUTIVO .................................................................................................... i
ÍNDICE DE FIGURAS .................................................................................................... vii
ÍNDICE DE TABLAS ....................................................................................................... ix
SIMBOLOGÍA.................................................................................................................. xi
PRÓLOGO .................................................................................................................... xv
CAPITULO 1: INTRODUCCIÓN
1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA................................................................................ 1
Figura 2.1 Dimensiones típicas de las placas ................................................................... 5
Figura 2.2 Configuración de placa cargada transversalmente .......................................... 7
Figura 2.3 Simulación de una placa empotrada en dos extremos dividida en vigas ortogonales .................................................................................................... 8
Figura 2.4 Deformación por cortante en placas delgadas y gruesas .................................. 9
Figura 2.5 Apoyos comunes para placas en una misma estructura. ................................ 10
Figura 2.6 Elemento Cáscara. ....................................................................................... 11
Figura 2.7 Intersección de planos con la superficie. Adaptado de Hoogenboom [p.3]. ... 12
Figura 2.8 Tipos de Curvatura Gaussiana. ..................................................................... 13
Figura 2.9 Cáscara de Revolución.. ............................................................................... 13
Figura 2.10 Ejemplos de Superficies de Traslación.]. ...................................................... 14
Figura 2.11 Componentes de la carga muerta P. .............................................................. 15
Figura 2.12 Fuerzas en una membrana. A ....................................................................... 16
Figura 2.13 Fuerzas cortantes transversales. ................................................................... 17
Figura 2.14 Momentos flectores y torsores. ..................................................................... 17
Figura 2.15 Carga concentrada, este tipo de carga no es compatible con la Teoría de la Membrana.. .................................................................................................. 19
Figura 2.16 Condiciones de borde compatibles con la Teoría de la Membrana. .............. 19
Figura 3.1 Solido elástico atravesado por un plano cualquiera. ...................................... 24
Figura 3.2 Esfuerzos normales y tangenciales actuando en las distintas direcciones de un sólido elástico. ............................................................................................. 25
Figura 3.3 Principio de reciprocidad tangencial. . .......................................................... 26
Figura 3.4 Posición de dos puntos de un sólido antes y después de la deformación........ 28
Figura 3.5 Desplazamiento de la línea AB.. ................................................................... 28
Figura 3.6 Distorsión angular de ABC debido a la deformación. . ................................. 30
Figura 3.7 Componentes del vector de deformación unitaria. . ...................................... 32
Figura 3.8 Modulo de elasticidad .................................................................................. 33
Figura 3.9 Elemento placa antes y después de la deformación. ...................................... 39
Figura 3.10 Fuerzas actuando en la placa. ....................................................................... 40
Figura 3.11 Esfuerzos en el plano normal al eje X. ......................................................... 40
viii
Figura 3.12 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara X. ................... 41
Figura 3.13 Esfuerzos en el plano normal al eje Y. . ........................................................ 42
Figura 3.14 Fuerzas Cortantes, Axiales y Momentos actuando en la cara Y. ................... 42
Figura 3.15 Fuerzas Cortantes Transversales actuando sobre el elemento placa. .............. 43
Figura 3.16 Momentos actuando sobre el elemento placa. .............................................. 44
Figura 3.17 Desplazamiento del plano medio para la dirección Y. .................................. 46
Figura 3.18 Desplazamiento del plano medio para la dirección X. .................................. 47
Figura 4.1 Aproximación de placa en vigas ortogonales. .............................................. 52
Figura 4.2 Valores de ka y kb para el método de Grashof. ............................................. 54
Figura 4.3 Placa dividida en 3 franjas por el método de los coeficientes. ....................... 56
Figura 4.4 Distribución de momentos en ambas direcciones. ......................................... 57
Figura 4.5 Distintas condiciones de apoyo en los elementos placa. ................................ 58
Figura 4.6 Distribución de la carga en dos direcciones. ................................................. 63 Figura 4.7 Variación de momento a lo largo de l/2 ...................................................... 64
Figura 4.8 Distribución de carga para una losa rectangular. ........................................... 65
Figura 4.9 Distribución de carga para una losa rectangular con un borde libre. .............. 68
Figura 4.10 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.................. 68
Figura 4.11 Momentos actuando en un entrepiso obtenidos por el método de los coeficientes. ................................................................................................. 69
Figura 4.12 Entrepiso de concreto reforzado empotrado en sus cuatro bordes.................. 70
Figura 4.13 Distribución de carga para una losa rectangular. ........................................... 71
Figura 4.14 Resultados Obtenidos por el método de las franjas ....................................... 75
Figura 4.15 Discretizacion de una placa rectangular en el software SAP2000.................. 76
Figura 4.16 Diagrama de momento en la dirección X (tn.m E10-3) ................................. 77
Figura 4.17 Diagrama de momento en la dirección Y. ..................................................... 78
Figura 4.18 Resultados Obtenidos a través del software SAP. ......................................... 79
Figura 5.1 Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación. .................................... 82
ix
ÍNDICE DE TABLAS
Tabla 4.1 Condiciones de apoyo en bordes método de los coeficientes. ....................... 58
Tabla 4.2 Coeficientes para momentos negativos en losas. Nilson ............................... 59
Tabla 4.3 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga muerta (d l) en losas. 59
Tabla 4.4 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva (l l) en losas. .... 60
Tabla 4.5 Proporción de la carga q que se reparte en las direcciones la y lb para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos. ........................................... 60
Tabla 4.6 Valores de momentos para la dirección X. ................................................... 77
Tabla 4.7 Valores de momento para la dirección Y. ..................................................... 78
Tabla 5.1 Resultados obtenidos de los ejemplos de aplicación. .................................... 82
x
xi
SIMBOLOGÍA
N��� Vector unitario normal al plano α que contiene el punto P, con respecto al
sistema Oxyz.
T��� Vector de esfuerzos correspondiente al plano α que atraviesa el punto P con
respecto al sistema Oxyz.
δ ���� Desplazamiento.
���, ���, ��� Deformaciones unitarias.
[D] Matriz de deformaciones.
[σ] Matriz de esfuerzos correspondiente a un punto P, con respecto a un sistema
Oxyz.
A , A´ Punto cualquiera en la superficie.
da Diferencial de área.
e Dilatación cubica unitaria.
E Módulo de elasticidad.
F , P Cargas axiales actuando en la placa.
G Módulo de rigidez del material.
la Ancho de un elemento placa.
lb Largo de un elemento placa.
Mxx Momento flector por unidad de longitud producido por σxx.
Mxy Momento de torsión por unidad de longitud producido por τxy.
Myx Momento de torsión por unidad de longitud producido por τyx.
xii
Myy Momento flector por unidad de longitud producido por σyy.
Mϕ , Mθ Momentos flectores por unidad de longitud.
Mϕθ , M θϕ Momentos torsores por unidad de longitud.
Nxx Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σxx.
Nxy Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τxy
Nyx Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por τyx.
Nyy Fuerza horizontal por unidad de longitud producida por σyy.
Nθ , Nϕ Fuerzas normales en el plano por unidad de longitud.
Nθϕ , Nϕθ Fuerzas cortantes en el plano por unidad de longitud
P, P´, Q, Q´ Puntos cualquiera de un sólido elástico.
Pda Componente en z del peso de una cáscara de revolución por diferencial de
área.
Pxda Componente en x del peso de una cáscara de revolución por diferencial de
área.
Pzda Componente en z del peso de una cáscara de revolución por diferencial de
área.
q Carga transversal actuando sobre un elemento placa.
Qθ , Qϕ Fuerzas Transversales.
r Radio de curvatura del paralelo.
Rθ Longitud de la normal entre cualquier punto de la superficie media y el eje
de rotación.
Rϕ Radio de curvatura del meridiano.
xiii
S Superficie que se produce en la intersección de un plano cualquiera con un
sólido elástico
t Espesor de los elementos placa y cáscara.
u° , v° Desplazamientos del plano medio en las direcciones X y Y respectivamente
Vxz Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producida por τxz.
Vyz Fuerza cortante transversal por unidad de longitud producido por τyz.
X, Y, Z Componentes de un eje cartesiano
α Plano cualquiera que intersecta un sólido elástico
γyz Distorsión angular ó deformación por cortante.
θ Ángulo comprendido entre r y cualquier línea de referencia ξ, perpendicular
al eje de la cáscara.
θ1, θ2 Variación angular
λ Coeficiente de lamé
µ Módulo de Poisson
ξ Línea central(eje de la cáscara)
σij Esfuerzo normal, en donde el subíndice i representa el plano sobre el que
actúa el esfuerzo, y el subíndice j, la dirección del esfuerzo.
τij Esfuerzo tangencial o cortante, en donde el subíndice i representa el plano
sobre el que actúa el esfuerzo y el subíndice j, la dirección del esfuerzo.
ϕ Ángulo conformado entre el eje de la cáscara y la normal de la cáscara en el
punto bajo consideración sobre la superficie media de la cáscara.
xiv
xv
PRÓLOGO
Los elementos cáscara y placa en la actualidad resultan ser componentes estructurales
convenientes a considerar debido a las ventajas que ofrecen estos elementos, como lo es su
resistencia estructural y en ocasiones porque permiten sus diseños innovadores agradables a
la vista.
Uno de los objetivos principales de este documento es ayudar a la comprensión del
comportamiento estructural de los elementos cáscara y los elementos placa, es por ello que
dentro del capítulo dos se presentan las generalidades de éstos, describiendo la geometría
que caracteriza a cada uno de ellos y su importancia dentro del ámbito ingenieril. Además
se aborda de manera general el comportamiento de cada uno de ellos haciendo énfasis en
los esfuerzos y deformaciones que se producen al someter dichos elementos a cargas
externas. También dentro de este capítulo se incluye una discusión relacionada con las
distintas condiciones de apoyo con las que estos elementos pueden ser analizados es
presentada dentro de esta capitulo al igual que las diversas aplicaciones de estas estructuras
dentro de la ingeniería.
El capitulo tres posee como objetivo principal presentar una descripción más detallada del
comportamiento de los elementos placa que la presentada en el capitulo dos. Dentro de este
capítulo inicialmente se presentan conceptos fundamentales de la Teoría de la Elasticidad
los cuales son necesarios para la comprensión del desarrollo de la teoría de placas con la
cual se obtiene la ecuación diferencial de cuarto grado que rige el comportamiento de los
elementos placa. Resuelta esta ecuación diferencial se pueden determinar el campo de
desplazamientos, deformaciones y esfuerzos en cualquier punto de la placa.
Existen diversos métodos numéricos y aproximados para obtener las acciones internas de
los elementos placa, los cuales se diferencian unos de otros por la complejidad de su
desarrollo y el grado de precisión de los resultados. Dentro del capítulo cuatro se presenta
una descripción general de algunos de los principales métodos numéricos y aproximados
con los que se resuelve la ecuación diferencial que rige el comportamiento del elemento
placa y se presentan con más detalle dos métodos aproximados y un ejemplo de aplicación.
Finalmente, se presentan las conclusiones y recomendaciones obtenidas para este trabajo
de graduación.
1
CAPITULO 1
INTRODUCCIÓN
1.1 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA
En El Salvador, el análisis estructural de placas y cascarones es un tema poco abordado
dentro del ámbito académico a nivel de pregrado debido a su complejidad. Sin embargo su
importancia es indiscutible tomando en cuenta un gran número de estructuras cuyo
comportamiento se explica a través de estas tipologías estructurales. Algunos ejemplos de
estas estructuras son ciertos tipos de cimentación, depósitos, pavimentos, paredes, techos y
otros más complejos como silos, barcos, fuselajes de aviones, entre otros.
Por lo anterior se pretende elaborar un documento el cual sirva de guía y facilite la
compresión de aquella persona que se encuentre interesada en ampliar sus conocimientos
en el tema y muy especialmente en la formulación del comportamiento de placas. Así
mismo en la actualidad existe una diversidad de programas de computadora que ofrecen
alternativas para el análisis y el diseño de dichas estructuras, por lo cual es importante que
el usuario posea un conocimiento mínimo necesario para interpretar correctamente los
resultados obtenidos a través de ellos.
1.2 OBJETIVOS
1.2.1 Objetivos Generales
• Ayudar a la comprensión del comportamiento estructural de las cáscaras y placas.
• Introducir la formulación de las placas, mediante su ecuación general, acciones
internas y deformaciones.
1.2.2 Objetivos Específicos
• Caracterizar el comportamiento de los cascarones y placas y su clasificación de
acuerdo a su geometría y espesor.
• Servir como un texto introductorio a los principales métodos aproximados del análisis
estructural de placas.
2
1.3 LIMITES Y ALCANCES
• El tema de cáscaras se abordará de forma introductoria y descriptiva.
• El documento se enfocará en la formulación de los elementos placa, para él cual no se
desarrollarán algoritmos de solución.
• No se abordarán conceptos del diseño de placas.
1.4 ANTECEDENTES
Los cascarones y placas han sido empleados desde mucho tiempo atrás, los cuales se
pueden ver en diversas estructuras comunes y simples, sin embargo su estudio se empezó a
desarrollar de una manera más amplia a partir del siglo XVIII.
La primera aproximación matemática a la teoría de placas fue formulada por Euler en
1766, quien resolvió el problema de la vibración libre en el análisis de placas rectangulares
y circulares. A partir de estos estudios, muchos matemáticos e investigadores se sumaron al
análisis de cáscaras y placas, entre ellos Lagrange, que fue el primero en usar correctamente
las ecuaciones diferenciales en el análisis de placas en 1813.
El ingeniero y diseñador de puentes Navier, introdujo la moderna teoría de elasticidad,
dentro de la cual resolvió muchos problemas que involucraban placas, derivando
correctamente la ecuación diferencial de estas y convirtiéndolas en ecuaciones algebraicas,
usando las series trigonométricas que fueron presentadas por Fourier en la misma década.
Kirchhoff (1824-1887), es considerado el fundador de la teoría de placas que involucra la
combinación del pandeo con el acortamiento de los elementos. Timoshenko contribuyo de
gran manera con el análisis de placas circulares y la solución de problemas de elasticidad
con su publicación “Theory of plates and Shells”.
Con el auge de la industria de la aviación, las teorías de placas fueron retomadas para darle
solución a problemas como vibración, espesor, torsión y otras fuerzas involucradas en
aviones de guerra y comerciales.
A pesar de estos esfuerzos, los problemas de placas involucran un sinfín de ecuaciones, por
lo que alrededor de 1950, surgieron métodos numéricos, como el método de los elementos
3
finitos que anticipaba el uso de computadoras para su desarrollo. Zienkiewicz hizo
numerosos aportes en este campo por lo que desarrolló en gran medida los elementos
finitos en usos de mecánica de materiales.
En tiempos modernos, con la invención y popularización de la computadora, han surgido
muchos programas de computadora que permiten resolver las placas y cascarones
simplemente modelando la estructura y el programa se encarga del análisis estructural e
incluso del diseño correspondiente.
Existe una amplia bibliografía acerca del análisis de cascarones y placas, pero estas
publicaciones presentan un enfoque diferente del que se pretende elaborar en este trabajo de
graduación. Así, muchos de estos documentos desarrollan un análisis complejo y formal
que supone el conocimiento previo de conceptos que no son abordados en los cursos de
estructuras a nivel de pregrado, lo que hace difícil para un estudiante de este nivel
comprender el análisis de estas estructuras a partir de dicha bibliografía.
4
5
CAPITULO 2
GENERALIDADES DE LOS ELEMENTOS PLACA Y CÁSCARA
Las cáscaras y las placas son elementos estructurales complejos, que se constituyen en
opciones ingenieriles que se suelen adoptar en el diseño y construcción de obras civiles por
diversas causas, como reducción de costos, incremento en la capacidad estructural, diseños
arquitectónicos innovadores, por mencionar algunos. Es por ello que el objeto principal de
este capítulo es realizar una descripción general de las características principales que
poseen estos elementos y sus parámetros de clasificación. Así mismo, se pretende abordar
de manera general el comportamiento estructural de dichos elementos ante la acción de
cargas externas.
2.1 PLACAS
2.1.1 Descripción e importancia de los elementos placa
Las placas son elementos estructurales planos en los que una dimensión del elemento, el
espesor, es relativamente pequeña en comparación a las otras dos, su largo y ancho (ver
figura 2.1), por lo que geométricamente se pueden aproximar a superficies bidimensionales
que suelen trabajar predominantemente a flexión.
Espesor, t
Ancho, la
Largo, lb
t << Ancho; t << Largo
Figura 2.1 Dimensiones típicas de las placas
6
El comportamiento de placa aparece comúnmente en componentes de obras y estructuras de
Ingeniería debido a ciertas conveniencias relacionadas con su geometría y funcionamiento,
tal y como se menciona a continuación:
• Cumplen requisitos importantes de serviciabilidad en diversas estructuras,
brindando así una solución a la necesidad de cubrir espacios, soportar cargas, crear
superficies planas, entre otros. Algunos ejemplos son techos, losas de piso y
paredes.
• El comportamiento bidimensional de las placas, por ejemplo en sistemas de piso, se
traduce en estructuras más livianas, lo que significa una reducción en los costos de
construcción. Así mismo, por tener superficies planas, permite la instalación de
tuberías, conductos eléctricos, de aire acondicionado entre otros, sin el uso de
muchos accesorios (codos, curvas, etc.) lo que también se traduce en menores
costos.
• Permiten capturar mejor el comportamiento de algunos elementos estructurales para
entender de forma más precisa cómo actúan bajo las solicitaciones a las que se ven
sometidos.
2.1.2 Comportamiento
Las secciones transversales de los elementos placa sometidos a una condición general de
carga, experimentan en un caso general, fuerzas cortantes, fuerzas axiales, momentos
flectores y torsores variables por unidad de longitud tal y como se esquematiza en la figura
2.2.
7
Momentos flectores
Fuerzas axiales
Q
F
Cargas externas axiales
Z
X
Y
+
+
Figura 2.2 Configuración de placa cargada transversalmente
El comportamiento de una placa se puede describir básicamente de dos maneras:
a. Mediante la división de la placa en una serie vigas ortogonales entre si, en las cuales
cada una de ellas soporta la carga que les afecta independientemente de la otra.
Esta hipótesis es conservadora, pues en los puntos comunes entre las vigas, actúan
fuerzas en sentido contrario que igualan las cargas y las distribuyan en ambas
direcciones, disminuyendo así los esfuerzos y las deformaciones en cada una de ellas.
Así mismo, debido a que las vigas se encuentran cercanas entre sí, el giro de flexión
provoca entre las vigas paralelas y ortogonales la presencia de un momento torsor que
proporciona más resistencia a las cargas.
Fuerzas cortantes
Momentos torsores
Plano medio
Carga externa transversal “q”
8
Figura 2.3 Simulación de una placa empotrada en dos extremos dividida en vigas ortogonales
Bajo estas consideraciones se han desarrollado varios métodos aproximados para la
solución de los elementos placa, que suelen ser muy sencillos, y con las
b. Sobre la base del desarrollo de la teoría de la elasticidad plana, en la cual el
comportamiento de la placa depende en gran medida del espesor de la misma en
comparación con sus otras dos direcciones.
En base a su espesor se pueden distinguir 3 tipos de placas:
• Placas delgadas con deformaciones pequeñas: cuando las deflexiones que
sufren las placas son relativamente pequeñas en comparación con el espesor de la
placa. Este tipo de elementos permiten realizar una serie de simplificaciones que
facilitan el análisis de su comportamiento estructural (el problema se vuelve
bidimensional) y es la teoría que más se aplica en la mayoría de los elementos
placa, como se verá dentro del capítulo dos.
• Placas delgadas con deformaciones grandes: cuando las deflexiones que sufren
las placas son relativamente grandes en comparación del espesor, se generan
esfuerzos en el plano medio (ver plano medio en figura 2.2) que no pueden ser
despreciados y deben ser considerados en la derivación de la ecuación diferencial
de la placa lo que conlleva a soluciones más complicadas.
Punto común
9
• Placas gruesas: son aquellas en las que el espesor no es tan delgado en
comparación con sus otras dos dimensiones, por lo que su comportamiento es
distinto sobre todo cuando existen cargas concentradas grandes. En este caso, las
deformaciones producidas por cortantes que actúan en el espesor de la placa, no
pueden ser despreciadas ya que se generan distorsiones entre el plano medio y un
plano normal de la placa (ver figura 2.4). Para el análisis de este tipo de placas, se
tienen que considerar las tres dimensiones del elemento (ancho, largo y espesor),
por lo que ya que no son válidas las simplificaciones que se realizan para las
placas delgadas y el problema se vuelve tridimensional y más complejo.
.
Figura 2.4 Deformación por cortante en placas delgadas y gruesas a) Placa delgada deformada sin considerar efectos por cortante (el plano medio permanece siempre normal a un plano cualquiera antes y después de la deformación), b) En las placas gruesas el efecto por cortante debe ser considerado (nótese que después de la deformación, el plano medio ya no es normal a un plano arbitrario
debido a las distorsiones generados por los esfuerzos de corte).
2.1.3 Condición de apoyo
Las condiciones de apoyo de una placa son determinantes en el comportamiento que ésta
tiene ante las cargas aplicadas y de ello dependen los condicionamientos introducidos al
análisis estructural con el que se obtiene su solución. Las placas pueden tener condiciones
de apoyo distintas en cada uno de los cuatro lados (e inclusive en el mismo lado). En la
figura 2.5 aparecen algunas ilustraciones de distintos tipos de apoyo en una misma
edificación, en este caso de dos niveles. Así por ejemplo, para la pared del segundo nivel y
ante cargas que actúan normal a su plano mayor, se ha considerado lo siguiente:
a) Placa delgada b) Placa gruesa
Planos perpendiculares entre sí.
Distorsiones por cortante (Planos no perpendiculares entre sí).
10
a. Una condición de empotramiento para el lado inferior en su conexión con el sistema de
piso.
b. Apoyo articulado en los lados laterales con las paredes perpendiculares del segundo
piso.
c. Extremo superior libre debido a que se supone que la cubierta de techo no tiene rigidez
suficiente para restringir los desplazamientos y los giros.
Figura 2.5 Apoyos comunes para placas en una misma estructura.
De la discusión anterior se dislucida la importancia de mantener la consistencia entre las
condiciones de apoyo consideradas en el análisis (simplemente apoyada, empotrada, libre)
y la practicada en el proceso constructivo a la luz de las necesidades y/o conveniencias
arquitectónicas y estructurales. Debe tenerse presente, además, que las condiciones de
apoyo normalmente adoptadas en un análisis, son solamente aproximaciones de lo que en la
realidad existe físicamente.
2.1.4 Aplicaciones
Algunos de los casos en los que comúnmente se aplica la Teoría de Placas es en el análisis
de losas de concreto reforzado sometidas a cargas gravitacionales y en el análisis de
paredes de concreto y mampostería sometidas a cargas de viento o sismo. A pesar que estos
elementos no están constituidos por un solo material, muchas veces su análisis se realiza
Paredes de segundo nivel.
Losa de entrepiso empotrada en su contorno.
Paredes empotradas en su parte superior e inferior, articulada en los laterales.
11
como placas aunque no posean las propiedades y características en las que se basa la Teoría
de Placas.
2.2 CÁSCARAS
2.2.1 Descripción e importancia
Una cáscara o cascarón es una estructura con superficie curva, que por lo general es capaz
de transmitir cargas en más de dos direcciones hacia los apoyos. Se constituye un
componente de alta eficiencia estructural cuando tiene conformación, proporciones y
apoyos de modo que transmita las cargas sin doblarse ni torcerse. Su espesor es pequeño en
comparación con sus otras dimensiones, pero no suele ser tan delgado como para hacer que
las deformaciones sean excesivas comparadas con su espesor.
Una cáscara se define por la geometría de la superficie media que este posea, la cual se
encuentra a la mitad de la distancia entre la superficie externa (extradós) y la superficie
interna (intradós). Su espesor es la distancia normal a la superficie media entre el extradós y
el intradós (ver Figura 2.6).
INTRADOS
SUPERFICIE MEDIA
EXTRADOS
Espes
or, t
Espesor, t
Figura 2.6 Elemento Cáscara.
2.2.2 Clasificación de superficies de cáscaras
Los cascarones se pueden clasificar a partir de la geometría de su superficie media
atendiendo a los criterios que se exponen a continuación:
12
a) Curvatura Gaussiana de la superficie
En cualquier punto A sobre una superficie cualquiera, se puede trazar un plano tangente a la
cáscara. Un vector normal a dicho plano tangente es considerado un vector normal a la
superficie en ese punto, tal y como se muestra en la figura 2.7.
Figura 2.7 Intersección de planos con la superficie. Adaptado de Hoogenboom [p.3].
Obviamente, un número infinito de planos pueden intersectar la superficie y atravesar el
punto A. Un plano que intersectar el punto A y contiene al vector normal es un plano
normal a la superficie media en ese punto. La curva plana formada por la intersección de
este plano normal con la superficie es denominada Sección Normal de la superficie en ese
punto. Cada una de estas curvas planas posee su curvatura local y su correspondiente radio
de curvatura. Dos, del infinito número de secciones normales, poseen un valor mínimo y un
valor máximo de curvatura. Estas líneas curvas, que resultan ser ortogonales entre sí, son
llamadas Secciones Principales y sus curvaturas, denotadas por K1 y K2, se denominan
Curvaturas Principales de la superficie en el punto A.
El producto de las curvaturas principales Kg= K1.K2 es llamado curvatura Gaussiana de la
superficie en el punto A. Si una de las curvaturas principales es igual a cero la superficie
tiene una curvatura Gaussiana igual a cero. La superficie posee una curvatura Gaussiana
positiva si Kg> 0 y una curvatura Gaussiana negativa si Kg< 0. (Ver Figura 2.8)
Cualquier Plano que se intersecta
A’
Plano General de Curva
A
Vector normal
Plano que Contiene el vector normal
13
Rϕ
y
θ
dA
r ξ
x z
Rθ
Rϕ
Rθ ϕ
r
ϕ
Figura 2.8 Tipos de Curvatura Gaussiana. Adaptado de Hoogenboom [p.4].
b) Superficies Generadas
Estas se pueden dividir en Superficies de revolución y Superficies traslación.
• Superficies de Revolución: son generadas por la rotación de una línea curva alrededor
de un eje fijo. Tal curva es llamada meridiano y el plano que la contiene Plano
Meridiano. Las intersecciones de la superficie con planos perpendiculares al eje de
rotación son círculos paralelos, los cuales son denominados paralelos (ver figura 2.9).
Figura 2.9 Cáscara de Revolución. Adaptado de Baker [1972: p.4].
Donde:
b. Curvatura Gaussiana cero
c. Curvatura Gaussiana negativa
a. Curvatura Gaussiana positiva
Línea Central (eje de la cáscara)
Paralelo
Meridiano N���
14
ϕ Angulo conformado entre el eje de la cáscara y la normal de la
cáscara en el punto bajo consideración sobre la superficie media de la
cáscara.
θ Angulo comprendido entre r y cualquier línea de referencia ξ,
perpendicular al eje de la cáscara.
Los radios de curvatura de una cáscara de revolución son:
Rϕ Radio de curvatura del meridiano.
Rθ Longitud de la normal entre cualquier punto de la superficie media y
el eje de rotación.
r Radio de curvatura del paralelo.
Es importante mencionar que Rϕ y Rθ son los radios principales de curvatura de la
superficie.
• Superficies de Traslación: son generadas por medio del deslizamiento de una
línea(recta o curva) a lo largo de otra línea(recta o curva), manteniendo constante la
orientación del plano que contiene a la curva que se desliza.
Ejemplos de superficies de traslación se pueden observar en la figura 2.10.
Z
XY
Z
X Y
Z
XY
Figura 2.10 Ejemplos de Superficies de Traslación. Adaptado de Hoogenboom [p.6].
b b b
a a
a
b. Paraboloide cilíndrico
a. Paraboloide elíptico
c. Paraboloide hiperbólico
15
ϕ
ϕ
PzdA
PdA
PxdA
dA
Eje X
Eje Z
2.2.3 Comportamiento de los elementos cáscara
El comportamiento de un elemento cáscara está ligado directamente a la geometría que este
posee, aunque el tipo de acciones internas que actúan en el elemento (como resultado de la
acción de una carga externa), son independientes a la geometría de este. El tipo de cascarón
más utilizado en el área de ingeniería es el cascarón generado a través de una superficie de
revolución, por lo que este será el centro de análisis de los siguientes apartados.
2.2.4 Cargas Externas
Las cargas externas consisten en un conjunto de fuerzas que actúan en la superficie externa
e interna del elemento cáscara.
Todas las cargas bajo consideración en cualquier punto de la cáscara de revolución pueden
convenientemente ser representadas en tres componentes ortogonales entre si, en las
direcciones X, Y y Z. La dirección X es paralela a la tangente del meridiano; la dirección Y
es paralela a la tangente del circulo paralelo y la dirección Z es normal a la superficie de la
cáscara.
Como ilustración, si P representa el peso de una cáscara de revolución por unidad de
superficie, la fuerza que actúa sobre el elemento diferencial de superficie considerado en la
figura 2.11 puede descomponerse así:
Figura 2.11 Componentes de la carga muerta P. Adaptado de Baker [1972: p.4]
Donde:
Px= P sin ϕ dA Py= 0 Pz= P cosϕ dA (Ec. 2.1)
Línea central
16
Meridiano (ϕ)
Nθϕ
Nϕθ
2.2.5 Esfuerzos internos
Las fuerzas externas que actúan sobre un cascarón deben de encontrarse en equilibrio con
las fuerzas internas o esfuerzos internos que en él se generan. Estas fuerzas internas están
definidas por los ángulos ϕ y θ (la dirección ϕ se asocia a X y la dirección θ a Y), y son de
tres tipos, cada uno de los cuales se describe a continuación:
• Fuerzas de Membrana, que actúan en el plano de la superficie de la cáscara. (ver figura
2.12).
Figura 2.12 Fuerzas en una membrana. Adaptado de Baker [1972: p.4]
Donde:
Nθ, Nϕ Fuerzas normales en el plano por unidad de longitud.
Nθϕ, Nϕθ Fuerzas cortantes en el plano por unidad de longitud.
Estas fuerzas pueden variar a lo largo del meridiano y del paralelo.
Paralelo (θ)
Nθ
Nϕ
17
Meridiano (ϕ)
Paralelo (θ)
Qθ
Qϕ
Meridiano (ϕ)
Paralelo (θ)
• Fuerzas Transversales Qθ y Qϕ como se muestra en la figura 2.13.
Figura 2.13 Fuerzas cortantes transversales. Adaptado de Baker [1972: p.5]
• Momentos flectores Mϕ y Mθ por unidad de longitud y momentos torsores Mϕθ y M θϕ
por unidad de longitud.( véase la figura 2.14)
Figura 2.14 Momentos flectores y torsores. Adaptado de Baker [1972: p.5]
Mθ
Mϕ
Mθϕ
Mϕθ
Representación de momento
18
2.2.6 Condición de equilibrio
Las ecuaciones obtenidas en virtud de las condiciones de equilibrio y compatibilidad de
deformaciones se analizaran considerando un diferencial del elemento cáscara.
Considerando un diferencial del elemento cáscara sometido a fuerzas externas, este
Caso 7 Caso 8 Caso 9Coeficiente Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5 Caso 6�� ��T
�� ��T
60
Tabla 4.4 Coeficientes para momentos positivos debidos a carga viva (l l) en losas. Nilson [1998: p.369]
Tabla 4.5 Proporción de la carga q que se reparte en las direcciones la y lb para calcular el cortante en la losa y las cargas en los apoyos. Nilson [1998: p.370]
Ca, l l 0.036 0.027 0.027 0.032 0.032 0.035 0.032 0.028 0.03
Cb, l l 0.036 0.027 0.032 0.032 0.027 0.032 0.035 0.03 0.028
Ca, l l 0.040 0.030 0.031 0.035 0.034 0.038 0.036 0.031 0.032
Cb, l l 0.033 0.025 0.029 0.029 0.024 0.029 0.032 0.027 0.025
Ca, l l 0.045 0.034 0.035 0.039 0.037 0.042 0.04 0.035 0.036
Cb, l l 0.029 0.022 0.027 0.026 0.021 0.025 0.029 0.024 0.022
Ca, l l 0.050 0.037 0.04 0.043 0.041 0.046 0.045 0.04 0.039
Cb, l l 0.026 0.019 0.024 0.023 0.019 0.022 0.026 0.022 0.02
Ca, l l 0.056 0.041 0.045 0.048 0.044 0.051 0.051 0.044 0.042
Cb, l l 0.023 0.017 0.022 0.020 0.016 0.019 0.023 0.019 0.017
Ca, l l 0.061 0.045 0.051 0.052 0.047 0.055 0.056 0.049 0.046
Cb, l l 0.019 0.014 0.019 0.016 0.013 0.016 0.02 0.016 0.013
Ca, l l 0.068 0.049 0.057 0.057 0.051 0.06 0.063 0.054 0.05
Cb, l l 0.016 0.012 0.016 0.014 0.011 0.013 0.017 0.014 0.011
Ca, l l 0.074 0.053 0.064 0.062 0.055 0.064 0.07 0.059 0.054
Cb, l l 0.013 0.01 0.014 0.011 0.009 0.01 0.014 0.011 0.009
Ca, l l 0.081 0.058 0.071 0.067 0.059 0.068 0.077 0.065 0.059
Cb, l l 0.010 0.007 0.011 0.009 0.007 0.008 0.011 0.009 0.007
Ca, l l 0.088 0.062 0.08 0.072 0.063 0.073 0.085 0.07 0.063
Cb, l l 0.008 0.006 0.009 0.007 0.005 0.006 0.009 0.007 0.006
Ca, l l 0.095 0.066 0.088 0.077 0.067 0.078 0.092 0.076 0.067
Cb, l l 0.006 0.004 0.007 0.005 0.004 0.005 0.007 0.005 0.004
0.85
1.00
0.95
0.90
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
0.50
Caso 7 Caso 8 Caso 9Coeficiente Caso 6Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5
qa 0.50 0.50 0.17 0.50 0.83 0.71 0.29 0.33 0.67
qb 0.50 0.50 0.83 0.50 0.17 0.29 0.71 0.67 0.33
qa 0.55 0.55 0.20 0.55 0.86 0.75 0.33 0.38 0.71
qb 0.45 0.45 0.80 0.45 0.14 0.25 0.67 0.62 0.29
qa 0.60 0.60 0.23 0.60 0.88 0.79 0.38 0.43 0.75
qb 0.40 0.40 0.77 0.40 0.12 0.21 0.62 0.57 0.25
qa 0.66 0.66 0.28 0.66 0.90 0.83 0.43 0.49 0.79
qb 0.34 0.34 0.72 0.34 0.10 0.17 0.57 0.51 0.21
qa 0.71 0.71 0.33 0.71 0.92 0.86 0.49 0.55 0.83
qb 0.29 0.29 0.67 0.29 0.08 0.14 0.51 0.45 0.17
qa 0.76 0.76 0.39 0.76 0.94 0.88 0.56 0.61 0.86
qb 0.24 0.24 0.61 0.24 0.06 0.12 0.44 0.39 0.14
qa 0.81 0.81 0.45 0.81 0.95 0.91 0.62 0.68 0.89
qb 0.19 0.19 0.55 0.19 0.05 0.09 0.38 0.32 0.11
qa 0.85 0.85 0.53 0.85 0.96 0.93 0.69 0.74 0.92
qb 0.15 0.15 0.47 0.15 0.04 0.07 0.31 0.26 0.08
qa 0.89 0.89 0.61 0.89 0.97 0.95 0.76 0.80 0.94
qb 0.11 0.11 0.39 0.11 0.03 0.05 0.24 0.20 0.06
qa 0.92 0.92 0.69 0.92 0.98 0.96 0.81 0.85 0.95
qb 0.08 0.08 0.31 0.08 0.02 0.04 0.19 0.15 0.05
qa 0.94 0.94 0.76 0.94 0.99 0.97 0.86 0.89 0.97
qb 0.06 0.06 0.24 0.06 0.01 0.03 0.14 0.11 0.03
Caso 9
0.85
Caso 6 Caso 7 Caso 8Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 5Proporcion
de la carga
0.50
0.80
0.75
0.70
0.65
0.60
0.55
1.00
0.95
0.90
�� ��T
�� ��T
61
Los momentos máximos negativos de borde se obtienen cuando dos placas adyacentes a un
borde particular sostienen la totalidad de la carga muerta y viva, por lo que los momentos
se calculan para la totalidad de la carga (no hay distinción de carga muerta y carga viva).
En los bordes discontinuos, los momentos negativos se suponen iguales a un tercio de los
momentos positivos en la misma dirección. Estos momentos deben de tenerse en cuenta en
el diseño ya que la rigidez torsional de la viga o muro de borde, suministra en general un
grado de restricción en bordes libres.
Cuando la carga muerta actúa sola, los momentos positivos presentan poca rotación en los
bordes continuos debido a que las cargas en los dos paneles adyacentes tienden a producir
rotaciones opuestas que se cancelan o balancean entre sí. Bajo esta condición, los bordes
continuos pueden considerarse empotrados y los momentos se pueden calcular a partir los
coeficientes de la tabla 4.3. Los momentos positivos para carga viva, se obtienen cuando
esta se coloca únicamente en la placa de análisis y en ninguna placa adyacente. Para este
caso, la rotación en los bordes continuos debe ser considerada y se supone que existe un
50% de restricción para calcular los momentos producidos por las cargas vivas, por lo que
los coeficientes para este cálculo se obtienen de la tabla 4.4.
Los cortantes y cargas en los soportes de las losas (vigas, muros, etc.) se calculan a partir
de los coeficientes presentados en la tabla 4.5.
4.3 MÉTODO DE LAS FRANJAS
El Método de las Franjas es especialmente utilizado para el diseño de elementos placa de
concreto reforzado, en donde se divide la carga a la que es sometido el elemento (carga q
por unidad de superficie uniformemente distribuida) de forma arbitraria y/o conveniente en
ambas direcciones. El principal objetivo de este método es llegar a una distribución de
acero que sea segura, económica y evite problemas a nivel de cargas de servicio,
relacionadas con agrietamientos o deflexiones excesivas.
Este Método de las Franjas es atractivo no solo por su seguridad y economía sino también
por su versatilidad para diversas condiciones de carga y apoyo, porque representa una
formalización de los procedimientos que siguen de manera instintiva los diseñadores para
colocar el refuerzo en la mejor posición posible, y se justifica sobre la base que el concreto
62
reforzado por su alta ductilidad, es capaz de transmitir las cargas en consistencia con la
manera en la que ha sido distribuido el refuerzo por el diseñador.
En este método, se divide la carga a la que está sometido el elemento de forma conveniente
y a partir de esta división se determina inicialmente un campo de momentos que cumpla los
requisitos de equilibrio. Posteriormente se diseña el refuerzo del elemento para que sea
capaz de resistir tal campo de momentos. Así, si se puede encontrar una distribución de
momentos que satisfaga tanto el equilibrio como las condiciones de frontera para
determinada distribución de cargas externas y si la capacidad a momentos de fluencia del
elemento no se excede en ninguna parte, entonces la distribución de cargas externas
considerada representará un límite inferior de la capacidad de carga real.
Atendiendo a los objetivos de este documento, la presentación del método estará limitada a
la determinación del campo de acciones (cortantes o momentos) al que una placa es
sometida ante la distribución de carga que ha sido considerada o supuesta.
Para un elemento pequeño de placa con lados dx y dy, de la ecuación 3.83 se tiene:
0<u��01< + 0<u��03< + 2 0<u��0103 = − } donde q es la carga externa por unidad de área; Mxx y Myy son los momentos flectores en
las direcciones X y Y respectivamente; y Mxy es el momento de torsión.
Conforme al teorema del límite inferior, cualquier combinación de Mxx, Myy y Mxy que
satisfaga las ecuaciones de equilibrio en todos los puntos de la placa y que cumpla las
condiciones de frontera es una solución válida, siempre y cuando se coloque refuerzo para
soportar dichos momentos.
El Método de las Franjas se caracteriza por suponer que el momento de torsión Mxy es igual
a cero, y con ello se considera que la resistencia a torsión de la placa no contribuye a
resistir carga alguna por lo que la ecuación 3.83 se reduce a:
0<u��01< + 0<u��03< = − } (Ec. 4.9)
63
la
}2 }2
La ecuación anterior puede dividirse convenientemente en dos partes, que representan la
acción de una franja de viga sin torsión para el eje X y para el eje Y respectivamente:
0<u��01< = − �} (Ec. 4.10)
0<u��03< = − :1 − �;} (Ec. 4.11)
donde k es la proporción de la carga que toma la franja en la dirección X y (1 - k) la
proporción de la carga que toma la franja en la dirección Y.
El valor de k depende de la distribución de carga que se desee realizar, un valor de k = 0
indica que las franjas toman toda la carga en la dirección Y, un valor de k = 1 indica que
toda la carga se transmite en la dirección X, y un valor de k = 0.5 supone que la carga se
divide igualmente en las dos direcciones.
Así por ejemplo, para una placa cuadrada simplemente apoyada en los cuatro bordes con
una longitud de lados la y lb (la = lb = l ) y una carga q uniformemente distribuida por unidad
de área (ver figura 4.6), la figura 4.7 ilustra el campo de momentos que se obtiene al
considerar k = 0.5.
Figura 4.6 Distribución de la carga en dos direcciones. Adaptado de Nilson [1998: p.460]
Debido a que la carga sobre todas las franjas en cada una de las direcciones es q
2, para una
franja a lo largo de A-A’ se obtiene el valor de momento máximo siguiente:
lb
A A’
64
}2
}4
− }4 }�<16
l
}2 }2
u�� = }�<16 (Ec. 4.12)
Debido a las condiciones establecidas se obtiene el mismo valor máximo de momento para
una franja orientada en la dirección Y.
Por otro lado, siempre en este caso, nótese que no se presenta variación transversal de Mxx
a lo ancho de la placa como se muestra en la figura 4.7.
Figura 4.7 Variación de momento a lo largo de l
2 Adaptado de Nilson [1998: p.460]
Diagrama de momentos
l
Mmax = ���=�
Diagrama de cortante
65
q q
}2 }2
}2
}2
}2
}2 }2 }2
}2 }2
}
}
} }
Para una losa rectangular con todos sus extremos empotrados resulta conveniente la
distribución de carga que se muestra en la figura 4.8.
Figura 4.8 Distribución de carga para una losa rectangular. Adaptado de Nilson [1998: p.462]
La franja a lo largo de A-A’ se encuentra sometida a la siguiente condición:
C’
C
D’
D
A A’
B B’
lb
la
�� − ��2 ��4
��4
��4
��4
}2
la ��4 ��4
66
q q
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la
siguiente expresión:
us = }��<12 − 11}��<384 (Ec.4.13)
La franja a lo largo de B-B’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición:
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la
siguiente expresión:
us = }��<24 − 11}��<384 (Ec.4.14)
La franja a lo largo de C-C’ esta se encuentra sometida a la siguiente condición:
por lo que los valores de momentos en los extremos se pueden obtener a partir de la